GRUPO-3-CABLE-COLGANTE-1.docx

ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA POLITECNI CA DE DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE MECANICA

ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA

ANALISIS MATEMAT MATEMATICO ICO III I II “CABLES COLGANTES”

INTEGRANTES: Estefanía Bravo Pamela Pino Erika Medina  John Pacheco Pacheco  Jonathan Goyes Darwin Medina

PERIODO ACADEMICO: OCTUBRE 2014 – FEBRERO 2015

CABLES COLGANTES Considere un cable o una cuerda que cuela de dos !untos " y B #$ura%& no necesariamente al mismo nivel' "suma que el cable es (e)ible de modo que debido a su cara #la cual !uede ser debida a su !ro!io !eso& o a fuer*as e)ternas actuantes& o a una combinaci+n de ,stas% toma la forma como en la $ura' -ea C la !osici+n m.s ba/a del cable& y esco/a el e/e 0 y 1 como en la $ura& donde el e/e 1 !asa !or C'

"hora considere aquella !arte del cable entre el !unto m.s ba/o y cualquier !unto P en el cable con coordenadas #)& y%'

esta !arte estar. en equilibrio debido a la tensi+n 2 en el !unto P& la fuer*a hori*ontal 3 en C& y la cara vertical total en el semento CP del cable denota !or 4#)% la cual se asume en al5n !unto 6& no necesariamente en el centro del arco CP'

Demostraci+n de la ecuaci+n7  27 tensi+n el !unto P 37 tensi+n en el !unto m.s ba/o' 47 !eso #de!ende de 0% 8' 3acemos sumatorias de fuer*as& recordando que el cable esta en equilibrio  F  X =0

∑

− H + Tcosθ =0

Tcosθ = H 

1

∑ F  =0 Y 

−W  + Tsenθ=0

Tsenθ =W 

2

9' Dividimos la ecuaci+n 9 sobre la uno y tenemos Tsenθ W  = Tcosθ  H  senθ W  = cosθ  H  senθ dy = tgθ = = a la pendientede larectatangente enel punto P cosθ dx

dy W  = dx  H 

:' Derivar con res!ecto a 0& tomando en cuenta7 37 es constante !or ser la tensi+n en el !unto mas ba/o' 47 !uede de!ender de 0 2 d  y 1 dW  = 2 d x  H  dx

Ecuaci+n fundamental

dW  dx

;e!resenta el incremento en 4 !or

unidad de incremento en )< esto es la cara !or unidad de distancia en la direcci+n hori*ontal'

=a ecuaci+n fundamental !uede ser utili*ada !ara diferentes caras !or unidad de distancia hori*ontal obtenemos varias ecuaciones diferenciales las cuales !roducen varias formas del cable' Para e/ercicios donde el !eso es des!reciable siem!re tendremos que sacar la forma del cable y este ti!o de !roblemas son de ran uso en la construcci+n moderna de !uentes' Determinaci+n de la forma del cable7 EJE;C>C>? >=@-2;"2>A?7 @n cable (e)ible de !oco !eso #des!reciable% so!orta un !uente uniforme' a% Determine la forma del cable' b% 2ensi+n en el !unto m.s ba/o' c% 2ensi+n en los so!ortes'

L

a

b De la ecuaci+n fundamental tomaremos

dW  dx

una constante w

llamada el !eso !or unidad de lonitud' 2

d  y 1 dW  = 2 d x  H  dx

2

d  y dx

2

w  H 

=

;esolvemos la siuiente ecuaci+n diferencial de

seundo orden'

''   w  y =  H    !ero

' 

 y = p

'' 

 y =

dp dx

dp w = dx  H  w  dx ∫ dp =∫ H   p=

w x +c 1  H 

Condiciones iniciales en el !unto m.s ba/o y!

< ) < yb c 1= 0 w  p=  x  H  dy w =  x dx  H   w  xdx + c ∫ dy =∫ H 

 y =

2

w 2 x + c2  Condiciones iniciales7 yb & ) 2 H 

c 2= b

 y =

w 2 x +b 2 H 

orma del cable

Tensin e! "#n$% &'s ba(%:  y =

w 2 x +b 2 H 

 y =

w 2 x 2 H 

Condiciones7 b& P#=F9&a%

w  L a= 2 H  4

 H =

2

w 2  L 8a

Tensin en !%s s%"%)$es

=w ∫ dW  dx

dy W  = dx  H 

→

w constante W  tg θ =  H 

tgθ =

;eem!la*amos 3 1 4

wx 2

w L /8a

rem!la*ando en el !unto P#=F9& a%

tg θ =

4a

 L

ormamos un tri.nulo rect.nulo y obtenemos sus lados e hi!otenusa

√ 16 a + L 2

2

 I = -i utili*amos la f+rmula 8H de las sumatorias de fuer*as  2enemos7  H =Tcosθ

Donde !or el tri.nulo obtenemos

que se conoce7 T =

H  cos θ

cosθ =

L

√ 16 a + L 2

2

y3

2

w L /8a

T =  L / √ 16 a2 + L2

T =

wL 2 2 16 a + L  √  8a

CATENARIA In$)%*#++in " diferencia del cable colante& en la catenaria si se toma en cuenta el !eso& es decir no se lo des!recia' Para ello& consideramos un semento de cuenta como se muestra en la $ura' Este semento& su!uestamente in$nitesimal& esta a!licado en la $ura' El !eso esta uniformemente distribuido sobre el arco P6 en la $ura'

D+nde7 ∆ s=

ds dx

∆ x=

dx dx

∆ y=

dy dx

Entonces7

√

( )

2

ds = 1 + dy 1 dx dx

Esta ecuaci+n se utili*a m.s tarde !ara demostrar la ecuaci+n de la catenaria •

Procedemos ahora con la demostraci+n de la ecuaci+n7

dw dw  = ds ds dw  ∗dx dw ds  = ds dx dw  ∗ds dw ds  = dx dx

De lo anteriormente teno la equivalencia de

√

ds dx

( )

dw dw  dy  = 1+ dx ds dx

2

Es f.cil ver que si el !eso de la cuerda es w& entonces es correcto dw  = w ds

a$rmar que7

√

2

dw d  y  = w 1 + 2 dx dx

De la ecuaci+n demostrada anteriormente tomo7  x ∗ dw d w T   = 2 dx dx 2

2

dw d  y  = ∗T  dx d x 2

En este caso vamos a considerar el !eso

√

2

( )

d  y w  dy = ∗ + 1 dx d x 2 T 

2

dy = p dx 2

d  y dp = 2 dx dx dp w = ∗ √ 1 + p2 dx T 

∫

dp

√ 1 + p

w T 

=∫  dx 2

¿| p + √ 1+ p 2|=

 p + √ 1+ p =e 2

 p + √ 1+ p =e 2

w x + C 1 T 

w  x + C 1 T 

w  x T 

C 1

e

C 1

e =C 2

 p + √ 1+ p =e 2

w  x T 

C 2

 x = 0 y ' ( 0 )=0 C 2 =1

 p + √ 1+ p =e 2

( √ 1 + p ) =( e 2 2

w  x T 

w  x T 

− p

)

2

1 + p

2e

wx T 

2

=e

2

 w  x T 

2

 p= e

(

w  x T 

−2 e  p + p2

 w  x T 

w

−1

1 T  x  p= e − e 2

(

−w

w

dy 1 T  x = e −e dx 2

∫

[

1  T  dy = 2 w

(

∫

) p = dydx

−w T 

x

) w

w T  x T  e dx − T  w

w

1 T  T  x  y = e +e 2w

{ ==

x

T 

−W  T 

x

∫

w e T 

− w x T 

dx

]

) +C 

3

1 ∗T  2

 y b b = ∗( 2 )+ C 3 w  x 0

T  T  C 3 =b −  pero b= w w C 3 =0

(

T  e  y = w

w  x T 

−w

+ e T  2

x

)

 y por or!ula laecucion " nos "uedaes 7

T   w  y =  cosh x w T 

E,ERCICIOS DE APLICACI-N DE CABLE COLGANTE @n cable de un !uente colante tiene sus so!ortes al mismo nivel& se!arado a una distancia de K !ies' -i los so!ortes est.n a 8 !ies m.s alto que

el !unto mínimo del cable& use un con/unto a!ro!iado de e/es !ara determinar7 a% @na ecuaci+n !ara la curva en la cual el cable cuela asumiendo que el !uente es de !eso uniforme y que el !eso del cable es des!reciable' b% Determinar la !endiente del cable en los so!ortes'

8 ft

K ft  2omamos un e)tremo7

 2

sin θ

2

 2

cos θ

8 ft 4 3

9K ft

a% L)  2

cos θ

Ly 3  

2 sin θ  N 4  

 2

cos θ   3

T  sin θ T  cos θ   W  t θ   H  dy dx

 

2

d  y 2 dx

 

2 sin θ  4

W   H 

 <

dy t θ  dx

W   H  dW  dx 1

constante# !or demostraci+n%

 H 

3 constante de tensi+n en el !unto m.s ba/o' 2

d  y 2 dx

 

W   H 

ecuaci+n diferencial

;esolviendo7 2

d  y 2 dx dp dx

  

W   H 

!

W   H 

W   dx ∫ dp =∫ H 

! C8  

W   H 

 )  C8

{

 x =0  y =0

dy dx

2

!O 

d  y 2 dx

dy

W   H 



 x 

W  x dx ∫ dy   ∫ H  W   H 

y C9  3

Q

y

2

  C9

2

{

x =0  y =250

250

WL 8a

2

  9K

w

y

x

WL 8a

2

8ax

2

2 L

2

 Q

 x

De la demostraci+n

2

2

 9K

  9K

500

y

y

¿ ¿ 2¿ 8 ( 100 ) ¿  x

 Q )9 9K

2

625

9K

#!ar.bola%

b% y  yR 

 x

2

625 2 x 625

 9K so!orte7 P #9K& 8%

ecuaci+n de la curva

yR 

2 ( 250) 625

./  0

!endiente

E,ERCICIOS DE APLICACI-N DE CATENARIA @n cable de densidad & lbF!ie :& que !osee un volumen iual a 9&9!ie :& cuela de dos so!ortes que est.n al mismo nivel y se!arados !or 89 !ies& si la !endiente del cable en cualquiera de los so!ortes es 8K&9' Calcule la tensi+n del cable en el !unto m.s ba/o

Datos7 S& lbF!ie: A9&9!ie : 089 !ies dx =!=15,2 dy

 2T -oluci+n m SA

(

! = 0,4

lb e

t 

)(

2,2 t )

m&UU lb

4m 4#&UU lb%#:9ftFse 9% 49U&8V lb ftFse 9

√

2

2

d  y W  dy = 1 +( ) 2 T  dx dx dP W   = √ 1+ p 2 dx T 

∫

dP

√ 

1 + P

2

=

W  T 

 ∫ dx

<

dy  P= dx

2

<

dP d  y  = dx d x 2

arc tag

√ 

2

√ 

2

ln ¿ P + 1+ P

ln ¿ P + 1+ P

 P + √ 1+ P =e 2

Wx

∨¿

Wx + C 1 T 

∨¿

Wx T 

∫

∫ (e

(

T   y = e 2 W 

Wx T 

{

→ c1

Wx T 

1  P= ( e T  − e 2

1 dy = 2

<

C# =  x =0  y $ =0

−Wx

)

T 

<

P=

dy dx

−Wx

Wx T 

−e −Wx

+e

T 

)  d)

T 

{

) +C 

 y =0 →C  = −T  2 W   x =0

2

Wx −1 T  cosh ¿

(

T  ∴ y = e 2 W 

Wx T 

− Wx

+e

T 

)− T W  → y = T W  ¿

Derivamos7 dy  Wx =sinh dx T  W = 28,16

T =

dy =15,2 dx

<

<

lbt  s

2

Wx −1

sinh ( 15,2 )

( =

28,16

)(

lbt  s

2

60 t ) −1

sinh ( 15,2 )

= 494,68 lbt  2 s

 x =60

<



T =494,68

 lbt  2

s

@n cable !esa ': lbF!ie& cuela de dos so!ortes que est.n a un mismo nivel y a : !ie de se!araci+n' -i la !endiente del cable en uno de los so!orte es U&K' Determine7 a% la tensi+n del cable en el !unto m.s ba/o b% la ecuaci+n !ara la curva en el cual el cabe cuela

Datos7 w =0.3 lb / pie

a ¿ T =&

dx =!=8.5 dy

 x = 300 pie

b ¿ ecuacion cur'a=&

dy dx

¿ ¿ 1 +¿

a% 2

d  y dx

2

 =

W  √ ¿ T 

dy  y = = P dx $ 

 

donde

2

d  y $   y = 2 = P dx $ $ 

$ 

 P =

W  2 1 + P √  T 

dP W   = √ 1+ P 2 dx T 

∫

dP

√ 1 + P −1

= 2

sinh  P =

 p=sinh (

W  T 

 ∫ dx

W  x + C 1 T 

-i7 )& P W

W  X ) T 

W  T  (¿ X ) dy =sinh ¿ dx X ) dx + C  ∫ dy =∫ sinh ( W  T 

2

W  x T  (¿)+ C 2 T   y =  cosh ¿ w

 y =

-i7 )& y W

 T  W   T    cosh ( X )− W  T  W 

dy T  W  W  =   sinh ( X ) dx W  T  T  dy W  =sinh ( X ) dx T 

8,5= sinh (

0,3.300

T 

)

C 2 =

W ecuaci+n'

−T  W 

C 1= 0

( 8,5 )=¿ 90 T 

sinh

T =

b%

−1

¿

90 2,83

 y =

T =31,826 lb

 T  W   T    cosh ( X )− W  T  W 

 y =106.08 cosh ( 0.009421 X )−106.08