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Unidad 1 - Paso 2 - Reconocer Los Elementos Ele mentos Matemáticos Que Implica El Sistema De Conversión Analógica Digital John Steven Posso Posso Caicedo cod: 1112461199 Omar Gomez Vasquez cod: 1101682891 John Elkin Quintero Quintero cod: 1102813009 1102813009 Beatriz Katalina Torres Nuñez cod: 40936585
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
En el siguiente trabajo realizaremos, un ejercicio de R esumen sumen — En muestreo, un segundo ejercicio de cuantización y un último ejercicio de la transformada discreta de Fourier, en este punto realizaremos un algoritmo de la transformada y un video explicándolo; pero para poder desarrollar estos ejercicios primero debemos responder seis (6) preguntas como aporte teórico que nos servirá en el desarrollo de los demás puntos.
ACTIVIDADES A DESARROLLAR. I. MUESTREO Según el capítulo 14 “Muestreo y cuantización” del libro de Ambardar, página 446:
También realizaremos una investigación sobre el rango de frecuencia que el oído humano es capaz de escuchar y el rango de frecuencia de cinco (5) instrumentos musicales.
-- In the following work we will perform a sampling Abst Abstract ract -exercise, a second quantization exercise and a final exercise of the discrete Fourier transform, at this point we will perform an algorithm of the transformation and a video explaining it; but in order to develop these exercises we must first answer six (6) questions as a theoretical contribution that will help us in the development of the other points. We will also conduct research on the frequency range that the human ear is able to hear and the frequency range of five (5) musical instruments
Introducción El Procesamiento digital de señales se ha convertido en u n apoyo de muchas otras disciplinas como son las telecomunicaciones, control, la medicina, etc. Hoy en día es más evidente que esa interacción que se mencionó sea profundizada más con el tema de la televisión digital, la multimedia y los sistemas de información, como podemos ver cada vez se muestra más la conectividad en las comunicaciones de forma inalámbrica donde el procesamiento y acoplo de las señales digitales juegan un papel importante en el desarrollo tecnológico. Lo realmente importante es como el procesamiento de las señales digitales nos permite que los sistemas puedan tener comunicación en tiempo real esto debido a que las señales se deben muestrear a la salida a la misma velocidad que aquellas de tiempo continúo.
EJERCICIO 1: JOHN ELKIN QUINTERO
4500 Hz 4500Hz ω 2 ω 2 22000 2000 4000π ⁄ 1 ω 2 1 1 4500 4500 2 2 ω 1 9000π ⁄ ω > 2ω 4500
Siendo ( ) = (2 ) donde la frecuencia = 2000 . Resuelva: 1.1 ¿Se presenta fenómeno alias o aliasing si ( ) es muestreada a = 4500 ? Explique paso a paso y si presenta alias, encuentre la frecuencia Solución = 2000
El periodo de muestreo y la frecuencia de muestreo en radianes por segundo son respectivamente.
Notar que y por lo tanto se cumplen las condiciones del teorema de muestreo. La señal queda unívocamente determinada por las muestras, no hay aliasing
2
1.2 ¿Se presenta fenómeno alias o aliasing si ( ) es muestreada a = 3500 ? Explique paso a paso y si presenta alias, encuentre la frecuencia Solución = 2000
3500 3500HzHz
ω 2 ω 2 22000 2000 4000π ⁄ 1 ω 2 1 1 3500 3500 2 2 ω 1 7000π ⁄ < 2ω 3500 20003500 1500
El periodo de muestreo y la frecuencia de muestreo en radianes por segundo son respectivamente.
Finalmente
7 1024 1024 2 21024 512ℎ
EJERCICIO 2 BEATRIZ KATALINA TORRES NUÑEZ Siendo
Resuelva:
1.1
Encuentre las frecuencias componentes de la señal
1.2
Si la señal tiene una frecuencia de muestreo y se desea realizar la reconstrucción de la señal, identifique si las componentes senoidales no sufren fenómeno de alias, y si alguna de ellas lo sufre, indique cuál y por qué.
de cada una de las
Tenemos
9 2 1ℎ 1ℎ90ℎ 89ℎ ≥2 90≥21 Podemos, decir que no hay alising Luego
20 3 10 10ℎ90ℎ 9 2 + 3 20 + 7 10 102424 80 ≥2 9 2 90≥210 2 90≥20 2 22 7 1024 1 ℎ 512ℎ 3 20 512ℎ90ℎ 422ℎ 20 2 ≥2 DESARROLLO
Tenemos.
Podemos, decir que no hay alising
Entonces
Entonces.
90
Si la señal tiene una frecuencia de muestreo y se desea realizar la reconstrucción de la señal, identifique si las componentes senoidales no sufren fenómeno de alias, y si alguna de ellas lo sufre, indique cuál y por qué.
Como , no se cumplen las condiciones del teorema de muestreo y se espera que se produzca aliasing.
9 2 + 3 20 + 7 1024 90
220 10ℎ
3
90≥2512 90≥1024
5 ≥ 12
Aquí si hay aliasin
Como se puede observar SI se presenta fenómeno alias o aliasing si es muestreada a S=5k Hz, para que no se presente debe ser muestreada por una frecuencia mayor o igual a los 12k Hz.
Ejercicio 3: OMAR GOMEZ VASQUEZ
4 8 4, 4, 8 84 4 Siendo una señal banda de paso y frecuencia
con frecuencia
Entonces podemos decir que:
. Resuelva:
1.1. Encuentre el ancho de banda
de la señal
6 5 1
( )
¿Se presenta fenómeno alias o aliasing si x(t) es muestreada a S=12,5k Hz? Explique paso a paso y si presenta alias, encuentre la frecuencia
1.2. Encuentre la frecuencia de muestreo para que no se presente fenómeno alias.
Solución. La frecuencia de Nyquist establece que la frecuencia de muestreo, debe ser como mínimo el doble que el ancho de banda de la señal muestreada para que no presente el fenómeno alias o aliasing.
2∗ 16
≥ 2 12.5 12.5 ≥ ≥ 2 6 6 12.5 12.5 ≥ 12 12
EJERCICIO 4: JOHN STEVEN POSSO CAICEDO Siendo x(t)= cos (12kπ t) Resuelva: ¿Se presenta fenómeno alias o aliasing si x(t) es muestreada a S=5k Hz? Explique paso a paso y si presenta alias, encuentre la frecuencia Solución.
Sabemos que frecuencia angular
Tomamos (
12
2
Como se puede observar NO se presenta fenómeno alias o aliasing si x(t) es muestreada a S=12k Hz, ya que es muestreada por un número mayor a los 12k Hz. Entonces podemos decir que:
6 12.5 12.5 6,5
) y lo igualamos a (w).
2 1200 120000
Despejamos (f) para saber cuál es la frecuencia de nuestra señal.
12000 6 12000 2 2 La frecuencia de Nyquist establece que la frecuencia de muestreo, debe ser como mínimo el doble que el ancho de banda de la señal muestreada para que no presente el fenómeno alias o aliasing.
≥ 2 5 ≥ ≥ 2 6 6
EJERCICIO 5 JEISON 5 JEISON FERNANDO MENDOZA PENDIENTE
4
,
II. CUANTIZACIÓN EJERCICIO 1 JEISON 1 JEISON FERNANDO MENDOZA
1.3. Hallamos la relación señal a ruido de cuantización
10∗log10 ,, 5,6548 5,6548
PENDIENTE
EJERCICIO 2: JOHN STEVEN POSSO CAICEDO Siendo la señal muestreada:
Ejercicio 3: OMAR GOMEZ VASQUEZ
{0.2,0.5,0.5,0.8,1.0,1.5,1.5,0.7 }
Con un cuantizador de
¿cuál es el error rms
{0,0.5,0.8,1.0,1.0,1.5,1.8,2.0 } Y la señal de error:
1.1. Halle la potencia de ruido 1.2. Halle la potencia 1.3. Halle la relación señal a r uido de cuantización
Solución 1.1. Hallamos la potencia del Error o Potencia del ruido
− ∑ =
0.2, 0,0.3,0.2, 0, 0,0. ,0.33,1.3 . ,
32 12 √ ∆1212 ∆ 2 ∆ 212 ∆2.79 2.√ 712192 0.805
∑ =
0.2,0.5,0.5,0.,0.88,1.0,1.,1.55,1.,1.55,0.,0.77 .
12
de la cuantización?
EJERCICIO 4 BEATRIZ KATALINA TORRES NUÑEZ Siendo la señal muestreada:
{0,0.2,0.5,1.0,1.4,1.8,2.0,2.4 } La señal cuantizada:
{0,0.5,1.0,1.0,1.8,2.0,3.5,3.5 } 1.1.
Calcule la señal de error:
1.2.
Halle la potencia de ruido
1.3.
Halle la potencia
1.4.
Halle la relación señal a r uido de cuantización
1.2. Hallamos la potencia de la señal.
−
se muestrea y se cuantiza
una senoide con un intervalo de escala completa de
La señal cuantizada:
{0.2,0,0.3,0.2,0,0,0.3,1.3}
32
DESARROLLO
Iniciamos
5
Calcule la señal de error: Tenemos la señal muestreada:
{0,0.2,0.5,1.0,1.4,1.8,2.0,2.4 } Luego la señal cuantizada:
{0,0.5,1.0,1.0,1.8,2.0,3.5,3.5 }
Se obtiene
Ahora se resta
{ 0,0.3,0.5,0,0.4,0.2,1.5,1.1 }
Halle la potencia de ruido Tenemos
− 1 = ∑
Luego sería que:
√ ∆1212 ∆ 2 ∆∗√ ∆∗ √ 1212 ∆10∗10− ∗ √ 1212 √ 503 2 ∆ 2 22 √ 503 115.47 2 log 7 115.47 .
III. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
18 0 + 0.3 + 0.5 + 0 + 0.4 + 1.5 + 1.1 + 0. 2 18 0 +0.09+0.25+0+0.16+0.04 +2.25+1.21 48 .
Cada estudiante realizará el algoritmo de la Transformada Discreta de Fourier, en el cual debe estar planteada la sumatoria de transformada. Dicho algoritmo se realizará para una señal de longitud de tres (3) muestras. Los tres valores de las muestras corresponden a los tres últimos números del documento de identificación, por ejemplo, si mi cédula es 80765437, entonces el algoritmo se hará para la señal x[ n] = [4 3 7]. Para desarrollar esta parte el estudiante podrá utilizar Matlab, Octave Online, o Scilab.
Finalmente
∞
Halle la potencia
∑ −/
Tenemos
=−∞
1 −
∑ =
BEATRIZ KATALINA TORRES NUÑEZ CC 40936585 40936 585 x[n] = [ 585]
Luego sería que:
18 0 + 0.2 + 0.5 + 1.0 + 1.4 + 2.0 + 2.4 + 1. 8 18 0+0.04+0.25+1+1.96+3.24+4 +5.76
Remplazamos Para K=0
+ − − − − + − ++ +
Como resultado quedaría que:
16.861 2.076 2.076 EJERCICIO 5: JOHN ELKIN QUINTERO Se va a muestrear una senoide con niveles de amplitud de -2V y 2V, y se va a cuantizar por redondeo con un error rms = 10mv. ¿Cuántos bits se requieren? Solución
Para K=1
+ − − − +
6
− + − + − Identidad de Euler
− +[( )()] + [( )()] +( )√ + ( ) √ , , ,+ , +,, . + ,
Entonces
Para K=2
+ − − − − + + − + − Identidad de Euler
− +[( )()] + [( )()] +( )√ + ( ) √ , , ,+ , +,, . + ,
Entonces
Código Octave . x = [5 8 5]; N = length(x); X = zeros(3,1); for k k = 0:N-1
for n n = 0:N-1 X(k+1) = X(k+1) + x(n+1)*exp(-j*2*pi*k*n/N); end end t = 0:N-1 subplot(311) stem(t,x); xlabel('Tiempo xlabel('Tiempo (s)'); (s)'); ylabel('Amplitud' ylabel('Amplitud'); ); title(' title(' Dominio de Tiempo - Secuencia de Entrada' ) subplot(312) stem(t,X) xlabel('Frecuencia' xlabel('Frecuencia'); ); ylabel('|X(k)|' ylabel('|X(k)|'); ); title(' title(' Dominio de Frecuencia - Respuesta de Magnitud' ) subplot(313) stem(t,angle(X)) xlabel('Frecuencia' xlabel('Frecuencia'); ); ylabel('Fase' ylabel('Fase'); ); title('Dominio title('Dominio de Frecuencia - Respuesta de Fase' ) X angle(X)
7
JOHN STEVEN POSSO CAICEDO CC 1112461199
1,9,9 Resolvemos Para K=0
1 1 0 − 0 ∑ − 9 9 1 0 ∑ − 1 − 9 9 2 0 ∑ − 2 − 0 1+9+9 0 19 + 0 Para K=1
1 1 0 − 1 ∑ − 9 − 1 1 ∑ − 1 − 9 2 1 ∑ − 2 − Identidad de Euler
− 1 1+9− 9[(23 )(23)]+9 − 9[(43 )(43 )] 1 1+9(12 )9√ 23 + 9 (12 )9 √ 23 1 1 4,5 7,79 4,5 + 7,79 1 8+0 Para K=2 Entonces
0 − 1 1 2 ∑ − 9 − 1 2 ∑ − 1 − 9 2 2 ∑ − 2 − Identidad de Euler
− Entonces
8
2 1+9− 9[(43 )(43)]+9 −
AnguloFase=angle(X) % Resultado o comprobación del Angulo de fase
9[(83 )(83 )] 2 1+9(12 )9√ 23+9 (12 )9 √ 23 1 1 4,5 7,79 4,5 + 7,79 1 8+0
A.ALGORITMO A. ALGORITMO DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER.
Código Matlab .
x = [1 9 9] % Muestras últimos números de la cedula N = length(x); % Numero de Muestras X = zeros(N,1); % Valor de X
Gráfico 1. Código en Matlab
for k k = 0:N-1 % Valor de “k” por “n” por la suma de Exponenciales for n n = 0:N-1 X(k+1) = X(k+1) + x(n+1)*exp(-j*2*pi*k*n/N); %Suma de Exponenciales End % fin suma exponenciales End % fin de la transformada t = 0:N-1; % número de muestras 0 variable en el tiempo 3 % GRAFICAS subplot(311)% subplot(311)% Primera Grafica stem(t,x); % Variables xlabel('Tiempo(s)' xlabel('Tiempo(s)'); ); % componentes en x ylabel('Amplitud' ylabel('Amplitud'); ); % componentes en y title('Dominio title('Dominio de Tiempo - Secuencia de Entrada' ) % título grafica subplot(312)% subplot(312)% Segunda Grafica stem(t,X)% stem(t,X)% Variables xlabel('Frecuencia' xlabel('Frecuencia'); ); % componentes en x ylabel('|X(k)|' ylabel('|X(k)|'); ); % componentes en y title('Dominio title('Dominio de Frecuencia - Respuesta de Magnitud' ) % título grafica subplot(313)% subplot(313)% Tercera Grafica stem(t,angle(X)) % stem(t,angle(X)) % Variables xlabel('Frecuencia' xlabel('Frecuencia'); ); % componentes en x ylabel('Fase' ylabel('Fase'); ); % componentes en y title('Dominio title('Dominio de Frecuencia - Respuesta de Fase' )% título grafica TransformadaDiscretaFourier=X % Resultado de la Transformada Discreta de Fourier
Gráfico 2. Código en Matlab resultado de la transformada discreta Fourier y comprobación de Angulo de fase
9
x0 18+0J Se realiza el cálculo cuando k = 1
− − − x1 8e− + 9e− + 1e− x1 8e + 9e− + 1e− Fórmula identificada:
e− cos cosw jsinw Remplazamos valores Gráfico 3. Grafica en Matlab Transformada Discreta Fourier
x1 8+9[cos(2π3 )jsen (2π3 )] +1[cos(4π3 )jsen (4π3 )] x1 8+9 12j9√ 23+1( 12)j1 √ 23 x1 36,928 Realizamos el cálculo cunado k=2
Gráfico 4. Comprobación con el comando fft.
OMAR GOMEZ VASQUEZ CC 1101682891
8,9,1
− − − x2 8e− + 9e− + 1e− x2 8e + 9e− + 1e− Fórmula identificada:
Resolviendo
,,
Ahora remplazamos los valores en k
1;2; 3 0 Tenemos la formula.
∞
N xk =−∞ ∑ xne− Entonces remplazamos valores. Teniendo definidas las variables
− − − x0 8e− + 9e− + 1e− x0 81 + 91 + 11
e− cos cosw jsinw Remplazamos valores
x2 8+9[cos(2π3 )jsen (2π3 )] +1[cos(4π3 )jsen (4π3 )] x2 8+9 12j9√ 23+1( 12)j1 √ 23 x2 3+8,660
10
1 0+0[(23 ) (23 )] +9[(43 ) (43 )] 1 0+0+(12 )0√ 23+9(12 )9 √ 23 1 0+004.5+7.794 1 4.5+7.794 Tercero reemplazamos k(2) para las muestras
− 0 …………. ………….1 ∑6∗− 0 − − 0 …………. ………….1 ∑1∗− 0 − − 9 …………. ………….1 ∑9∗− 9 2 0 + 0− + 9−
Aplicamos el teorema de Euler:
JOHN ELKIN QUINTERO CC 1102813009
0,0,9 Primero reemplazamos k(0) para las muestras
0,0,9
− 0 …………. ………….0 ∑0∗− 0 0 − 0 …………. ………….0 ∑0∗− 0 0 − −
9 …………. ………….0 ∑9∗
9 9
Entonces tenemos que cuando k toma valor de (0) y aplicamos la fórmula de la transformada de Fourier a la muestra, obtenemos de la suma:
0 0+0+99 9 009+0 − 0 …………. ………….1 ∑6∗− 0 − − 0 …………. ………….1 ∑1∗− 0 − − 9 …………. ………….1 ∑9∗− 9 1 0 + 0− + 9−
Según reemplazamos k(1) para las muestras
Aplicamos el teorema de Euler:
− cos cos
− cos cos 2 0+0[(23 ) (23 )] +9[(43 ) (43 )] 2 0+0+(12 )0√ 23+9(12 )9 √ 23 2 0+004.5+7.794 2 4.57.794
Se obtiene el siguiente resultado
+ .+. .. Comprobamos el resultado en octave online:
11
IV. Cada estudiante realizará un video en you tube, tube, en el cual explicará línea a línea el funcionamiento del algoritmo de la transformada discreta de Fourier (TDF) Link del video realizado por OMAR GOMEZ VASQUEZ https://youtu.be/odv-eY0yspE Link del video realizado por JOHN ELKIN QUINTERO https://www.useloom.com/share/c79164c9d0404676997e567a 34cd0b16 Link del video realizado por
JOHN STEVEN POSSO
CAICEDO https://youtu.be/JYUYToiVDpc Link del video realizado por
BEATRIZ KATALINA
TORRES NUÑEZ https://youtu.be/Aq4dauZ_Ve0
V. Cada estudiante investigará sobre el rango de frecuencias que el oido humano es capaz de escuchar, además investigará cual es el rango de frecuencias que emiten cinco (5) instrumentos musicales, y a partir de este dato, argumentará a que frecuencia de muestreo mínima se debe muestrear cada uno de los cinco (5) instrumentos musicales para ser digitalizados de manera correcta. Rango de frecuencias audibles por el ser humano: (20Hz20kHz)[6] El “sonido” se utiliza para indicar el sonido que puede ser percibido por el oído humano, es decir, el “sonido” “sonido” se refiere al sonido audible, a menos que se clasifique de otra forma. Una definición razonablemente estándar de sonido audible es, la de una onda de presión con frecuencia entre Y con una intensidad por encima del umbral de audición estándar. Dado que el oído está rodeado por el aire, o tal vez bajo el agua, las ondas de sonido están limitadas limitadas a ser ondas longitudinales. También se pueden especificar los rangos normales de presión sonora y la intensidad del sonido.
20 20.000 ,
Un instrumento musical es un sistema para producir tonos placenteros (cultural). Consiste en la combinación combinación de uno o más sistemas resonantes capaces de producir uno o más tonos y de los medios para excitar estos sistemas que están b ajo el control de sus intérpretes. A continuación, se mostrarán los instrumentos con su rango de frecuencias y al frente la frecuencia a la que debe ser muestreado, calculado con la frecuencia de N yquist:
Fagot (1-7kHz)
Trompeta (1-7.5kHz)
Flauta (3-8kHz)
=16kHz
Oboe (2-12kHz)
=24kHz
Clarinete (2-10kHz)
=14kHz =15kHz
=20kHz
12
Los múltiples sonidos que existan en nuestro entorno el ser humano han construido diferentes instrumentos musicales. Existen diversos tipos de instrumentos musicales y pueden clasificarse de acuerdo con la manera en que se produce el sonido, miremos Flauta, Clarinete, Trompeta, Tambor, Guitarra acústica.
VI. ¿Cuál es el fenómeno fenómeno llamado Alias o Aliasing?
APORTES TEÓRICOS
VII. ¿Qué indica el el teorema de muestreo de Nyquist?
1) ¿Qué es una señal muestreada? Una señal muestreada es una señal continua a la que se le hace un proceso de muestro donde se pierden alguna parte de sus datos, la perdida de datos depende a que frecuencia se muestree la señal, es un proceso que se realiza en el (eje x). El proceso de muestro debe cumplir con el teorema de Nyquist para que se pueda reconstruir la señal con poca perdida de datos. [1] Teorema de Nyquist:
2∗
El fenómeno Alias o Aliasing se presenta cuando una señal es muestreada por debajo de su frecuencia de Nyquist en las direcciones "x" e "y", esto quiere decir que si la frecuencia de muestreo es menor a dos veces la frecuencia máxima de la señal analógica se presenta el fenómeno alias y la señal original no puede ser reconstruida a partir de la señal digital debido a la perdida de información
El teorema especifica que una señal continua con un ancho de banda definido por una frecuencia máxima máxima puede ser reconstruida por completo a partir de un tren de impulsos periódicos de muestreo de frecuencia frecuencia máxima igual o mayor a dos frecuencias máximas de dicha señal analógica. Esto quiere decir que el teorema de Nyquist nos dice que la frecuencia de muestreo tiene que ser el doble o mayor a la frecuencia máxima
=
≥2
x
VIII. ¿Qué realiza la transformada de Fourier?
Fig. 1. Proceso de Muestreo
La transformada de Fourier cambiar de dominio una señal de tiempo a frecuencia y viceversa. También para identificar los armónicos que son múltiplos de la frecuencia original. Es realiza una función dada que dice cuánto hay de una cantidad en cada instante de tiempo, la Transformada da otra función que dice la cantidad que tiene a cada función de frecuencia. IX. ¿Qué es la transformada rápida de Fourier?
2) ¿Qué es una señal cuantizada? Después de hacer el proceso de muestre en la señal (eje x), se procede a realizar una cuantización (eje y), que es asignar valores, esto depende directamente de los bits de cuantización, proporcional a la amplitud de la señal original, En este proceso también se genera una pérdida de información que se llama error de cuantificación, siempre existirá por la baja de nivel que debe tener un señal para poder ser cuantificada en un sistema digital. [2]
: : 2 :
Este tipo de transformada se refiere a la extracción de senos y consenso cuando se súper ponen y de esta manera tiende a reducir la función original a la vez la transformación de una función del tiempo en una función de frecuencia. Es decir, algoritmo para el cálculo de la Transformada Discreta de Fourier basado en la división del tiempo, eliminando así gran parte de los cálculos repetitivos que hay que que llevar a cabo si se desea resolver de forma directa. Herramienta fundamental en el procesado digital de señales.
CONCLUSIONES. Por medio de las lecturas realizadas a los artículos propuestos en la guía integrada de actividades e investigaciones en la web, me pude dar cuenta de la importancia que tiene procesamiento Digital de señales en nuestra vida diaria, ya que en casi todos los dispositivos electrónicos, manejan un procesamiento de señal que nos ha permitido acelerar procesos que antes eran muy lentos y engorrosos, y otros nos ha per mitido hacer la vida más fácil y práctica.
Fig. 2. Proceso de Cuantificación Las temáticas propuestas por el curso de procesamiento Digital de Señales, son de vital importancia para nuestro aprendizaje
13
como futuros ingenieros, puesto que nos ha permitido conocer de qué manera y con qué procesos se puede analizar una señal discreta, también de qué manera se puede buscar patrones por emparejamiento, como es el caso de la correlación. Así que de nosotros como estudiantes depende un b uen aprendizaje, y logrará el éxito, no solo en el análisis y tratamiento de señales digitales, sino también en cursos futuros donde se necesite tener herramientas de análisis de señales discretas Quedo demostrado que la Transformada de Fourier tiene una aplicación importantísima en los procesos digitales que permite el desarrollo tecnológico. Por medio de la elaboración del trabajo se concluye el familiarizarnos con el análisis matemático de cada uno de los ejercicios propuestos para fortalecer nuestras competencias.
R EFERENCIAS EFERENCIAS [1] A. Ambardar, Muestreo ideal. In procesamiento de señales analógicas y digitales, Segunda ed., Mexico: Cengage Learming, 2002, pp. 446-455 [2] A. Ambardar, Cuantizacion. In Procesamiento de señales analógicas y digitales, segunda ed., Mexico: Cengage Learming, 2002, pp. 456-460. [3] A. Ambardar, Cuantizacion. In Procesamiento de señales analógicas y digitales, segunda ed., Mexico: Cengage Learming, 2002, pp. 460-464. [4] A. Ambardar, T ransformada de Fourier Tiempo Discreto. In procesamiento de señales analógicas y digiteles, Segunda ed., Mexico: Cengage learming, 2002, p. 482.
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