Grupo 1.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA.

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL. “PROBLEMAS RESUELTOS DE VIBRACIONES MECÁNICAS.”

GRUPO N°1 ASIGNATURA: DINÁMICA (IC-244) ALUMNO: MEDINA QUISPE, Luis Alberto. MEDINA QUISPE, Jhonatan Alexander. DE LA CRUZ CISNEROS, Juan Junior. PRADO TAQUIRE, Brigmar.

DOCENTE: Ing. CRISTIAN CASTRO PEREZ

AYACUCHO-PERÚ 2014

Índice general

1

Ejercicios resueltos del capitulo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1

Ejercicio 1.1

5

1.2

Ejercicio 1.3

6

1.3

Ejercicio 1.5

7

1.4

Ejercicio 1.7

7

1.5

Ejercicio 1.9

8

1.6

Ejercicio 1.11

9

1.7

Ejercicio 1.13

11

1.8

Ejercicio 1.15

12

1.9

Ejercicio 1.17

12

1.10

Ejercicio 1.19

14

1.11

Ejercicio 1.21

15

1.12

Ejercicio 1.23

16

1.13

Ejercicio 1.25

18

1.14

Ejercicio 1.27

20

1.15

Ejercicio 1.29

22

1.16

Ejercicio 1.31

23

1.17

Ejercicio 1.33

24

1.18

Ejercicio 1.35

25

1.19

Ejercicio 1.37

26

1.20

Ejercicio 1.39

28

1.21

Ejercicio 1.41

29

1.22

Ejercicio 1.43

30

1.23

Ejercicio 1.45

31

1.24

Ejercicio 1.47

32

1.25

Ejercicio 1.49

34

1.26

Ejercicio 1.51

35

1.27

Ejercicio 1.53

36

1 — Ejercicios resueltos del capitulo 1.

El libro utilizado es de VIBRACIONES MECANICAS DE SINGERESU S. RAO 5ta edición. Los ejercicios de resolución son del capitulo 1 del ejercicio 1.1-1.53

(numeros impares).

224, 224, 225,

1.1

Ejercicio 1.1 Ejercicio 1

El estudio de la respuesta de un cuerpo humano sujeto a vibración y/o choque es importante en muchas aplicaciones. Estando de pie, las masas de la cabeza, el torso, las caderas, las piernas, la elasticidad y/o amortiguamiento del cuello, la columna vertebral, el abdomen y las piernas, influyen en las características de la respuesta. Desarrolle una secuencia de tres aproximaciones mejoradas para modelar el cuerpo humano. Solucion: I).

II Y III).

Ejercicios resueltos del capitulo 1.

6

1.2

Ejercicio 1.3 Ejercicio 2

Un motor reciprocante está montado sobre una cimentación como se muestra en la figura 1.63. Las fuerzas y momentos desbalanceados desarrollados en el motor se transmiten al marco y la cimentación. Para reducir la transmisión de la vibración se coloca una almohadilla elástica entre el motor y el bloque de cimentación. Desarrolle dos modelos matemáticos del sistema siguiendo un refinamiento gradual del proceso de modelado.

Solucion: a) Para un grado de libertad.

a) Para dos grados de libertad.

1.3 Ejercicio 1.5

1.3

Ejercicio 1.5 Ejercicio 3

Las consecuencias del choque de frente de dos automóviles se pueden estudiar considerando el impacto del automóvil contra la barrera, como se muestra en la figura 1.65. Construya un modelo matemático considerando las masas de la carrocería del automóvil, el motor, la transmisión y la suspensión, así como la elasticidad de los amortiguadores, el radiador, la carrocería de metal, el tren motriz y los soportes de montaje del motor.

Solucion:

1.4

Ejercicio 1.7 Ejercicio 4

Determine la constante de resorte equivalente del sistema de la figura 1.67.

Solución :

Hacemos un diagrama de las constantes del resorte que actúan tanto en serie y paralelo.

7

Ejercicios resueltos del capitulo 1.

8

Entonces tenemos lo siguiente:   2k1 k2 k3 1 1 1 = + + ⇒ keq1 = keq1 2k1 k2 2k3 k2 k3 + 2k1 k3 + k1 k2 k5 (keq1 + k4 ) 1 1 1 ⇒ keq = = + keq keq1 + k4 k5 k5 + k4 + keq1 1

keq =

1.5

k2 k3 k4 k5 + 2k1 k3 k4 k5 + k1 k2 k4 k5 + 2k1 k2 k3 k5 k2 k3 k4 + k2 k3 k5 + 2k1 k3 k4 + 2k1 k2 k5 + k1 k2 k4 + k1 k2 k5 + 2k1 k2 k3

Ejercicio 1.9

Ejercicio 5

En la figura 1.69 encuentre la constante de resorte equivalente del sistema en la dirección de θ .

1.6 Ejercicio 1.11

9

Solución:

Por equivalencia de energía potencial: 1 1 1 1 1 1 keq θ 2 = kt1 θ 2 + kt2 θ 2 + k1 (l1 θ )2 + k2 (l1 θ )2 + k3 (l2 θ )2 2 2 2 2 2 2 Luego despejando la constante de resorte equivalente tenemos:

keq = kt2 + kt1 + l1 2 k1 + l1 2 k2 + l2 2 k3

1.6

Ejercicio 1.11 Ejercicio 6

Una máquina de masa m = 500 kg está montada en una viga de acero sólo apoyada de longitud l = 2 m que tiene una sección transversal (de profundidad = 0,1 y ancho = 1,2m) y módulo de Young E = 2,063x1011 N/m2 . Para reducir la deflexión vertical de la viga, se fija un resorte de rigidez k a la mitad de su claro, como se muestra en la figura 1.71. Determine el valor de k necesario para reducir la deflexión de la viga en: a) 25 por ciento de su valor original. b) 50 por ciento de su valor original. c) 75 por ciento de su valor original.

Solución:

Para viga simple apoyada con carga en la parte central: I=

1 (1,2)(0,1)3 = 10−4 m4 12

Ejercicios resueltos del capitulo 1.

10

k1 =

48EI (48)(2,06)(1011 )(10−4 ) = = (12,36)(107 )N/m l3 8

Deflexión inicial: δ1 =

mg 500(9,81) = = 396,8447(10−7 )m k1 12,36(107 )

Cuando el resorte de rigidez k es añadido al sistema: keq = k + k1 La nueva deflexión es: a).

25 %δ1 =

δ1 mg δ1 4mg ⇒ = ⇒ keq = = 4k1 4 keq 4 δ1

Luego: k + k1 = 4k1 ⇒ k = 3k1 Finalmente reemplazamos k1

k = 37,08(107 )N/m b).

50 %δ1 =

mg δ1 2mg δ1 ⇒ = ⇒ keq = = 2k1 2 keq 2 δ1

Luego: k + k1 = 2k1 ⇒ k = 2k1 Finalmente reemplazamos k1

k = 12,36(107 )N/m c).

75 %δ1 =

3δ1 4k1 k1 ⇒ k + k1 = ⇒ k= 4 3 3

k = 4,12(107 )N/m

1.7

Ejercicio 1.13

Ejercicio 7

1.7 Ejercicio 1.13

11

Una viga en voladizo de longitud L y módulo de Young E se somete a una fuerza de flexión en su extremo libre. Compare las constantes de resorte de vigas con secciones transversales en la forma de un circulo (de diámetro d ), un cuadrado (de lado d ) y un círculo hueco (de diámetro medio d y espesor de pared t = 0,1d). Determine cuál de estas secciones transversales conduce a un diseño económico para un valor especificado de rigidez de la flexión de la viga. Solución: b). Para un circulo:

k=

2EI Eπd 4 = L 32L

b). Para un cuadrado:

k=

2EI Ed 4 = L 6L

b). Para un circulo hueco:

2EI πEt(d + t) πE(0,11d 2 ) = = L L L Para un diseño económico es mejor la sección del circulo hueco, puesto que su rigidez es mayor en comparación a las otras dos secciones. k=

Ejercicios resueltos del capitulo 1.

12

1.8

Ejercicio 1.15 Ejercicio 8

La relación fuerza-deflexión de un resorte helicoidal de acero utilizado en un motor se encuentra experimentalmente como F(x) = 200x + 50x2 + 10x3 , donde la fuerza (F) y la deflexión (x) se miden en libras y pulgadas, respectivamente. Si el resorte experimenta una deflexión permanente de 0.5 pulg durante la operación del motor, determine la constante de resorte lineal equivalente del resorte a su deflexión permanente.

Solución:

Tenemos como dato: F(x) = 200x + 50x2 + 10x3 Cuando x = 0.5 : ⇒ F (x) = 200(0,5) + 50(0,5)2 + 10(0,5)3 F (x) = 113,75b Ley de Hooke : F = kx ⇒ 113,75 = k(0,5)

k = 227,5 lib/pulg

1.9

Ejercicio 1.17 Ejercicio 9

El trípode mostrado en la figura 1.73 se utiliza para montar un instrumento electrónico que encuentra la distancia entre dos puntos en el espacio. Las patas del trípode se ubican simétricamente con respecto al eje vertical medio, y cada pata forma un ángulo α con la vertical. Si cada pata tiene de longitud l y rigidez axial k, encuentre la rigidez de resorte equivalente del trípode en la dirección vertical.

El trípode podemos representarlo como:

1.9 Ejercicio 1.17

13

De la energía potencial, tenemos:    x 2 1 1 2 s 2 keq x = 3 kxs ⇒ keq = 3k 2 2 x Geometricamente de la figura tenemos: (l − xs )2 = l 2 + x2 − 2lx cos α l 2 + xs 2 − 2lxs = l 2 + x2 − 2lx cos α l 2 + x2 − 2lx cos α + 2lxs − xs 2 = 0 ..........(1) Despejando x de la ecuacion (1)    21 # 2lxs − xs 2 ........(2) x = l cos α 1 ± 1 − l 2 cos2 α √ θ Usando la relacion 1 − θ ≈ 1 − en la ecuacion (2) 2     2 2lxs − xs x = l cos α 1 ± 1 − ...........(3) 2l 2 cos2 α "

Asumiendo que el valor de x será pequeño, y que xs 2 es pequeño en comparacion a 2lxs , tenemos que:   2lxs x = l cos α 1 − 1 + 2 2 2l cos α xs ..........(4) x= cos α Sustituyendo (4) en la primera fórmula,la rigidez de resorte equivalente del trípode en la dirección vertical sería:  keq = 3k

xs xs cos α

2



xs cos α ⇒ keq = 3k xs

2

keq = 3kcos2 α

Ejercicios resueltos del capitulo 1.

14

1.10

Ejercicio 1.19 Ejercicio 10

La figura 1.75 muestra un sistema en el cual la masa m está directamente conectada a los resortes con rigideces k1 y k2 en tanto que el resorte con rigidez k3 o k4 entra en contacto con la masa basada en el valor de su desplazamiento. Determine la variación de la fuerza ejercida por el resorte sobre la masa a medida que el desplazamiento (x) de ésta varía.

Solucion:

Hacemos un grafico del problema.

En el sistema mostrado tenemos que: F = (k1 + k2 )x Cuando la masa m se mueve hasta el punto A. F1 = (k1 + k3 ) (x − d2 ) + k2 (x + d2 ) Cuando la masa m se mueve hasta el punto B. F2 = (k1 + k3 ) (x + d4 − d2 ) + (k2 + k4 ) (x + d2 − d4 ) Entonces la variacion de la fuerza del resorte en funcion de su desplazamiento es: ∆F = F2 − F1 = (k1 + k3 ) (x + d4 − d2 ) + (k2 + k4 ) (x + d2 − d4 ) − (k1 + k3 ) (x − d2 ) − k2 (x + d2 ) ∆F = (k1 + k3 ) d4 − d4 k2 + k4 (x + d2 − d4 )

1.11 Ejercicio 1.21

1.11

Ejercicio 1.21 Ejercicio 11

La figura 1.77 muestra un manómetro de tubo en forma de U abierto por ambos extremos que contiene una columna de mercurio líquido de longitud l y peso específico γ. Considerando un pequeño desplazamiento x del menisco del manómetro a partir de su posición de equilibrio (o nivel de referencia), determine la constante de resorte equivalente asociada con la fuerza de restauración.

Solucion:

Hacemos un gráfico del problema:

Sabemos por la ley de hooke que: F = kx .......(1) En este caso tenemos un fluido, entonces podemos determinar la constante de resorte.

15

Ejercicios resueltos del capitulo 1.

16

F P= ⇒ F = PA A

( donde:

P : presion ejercida. A : area de la seccion transversal.

P = ρgh

En este caso tomando el punto de referencia en el punto O

P = ρgx

pero

γ = ρg ⇒ P = γx

F = Aγx .........(2) Reemplazando (2) en (1) Aγx = kx ⇒ k = Aγ Pero como existe una fuerza restauradora Fr , este produce tambien produce un pequeño desplazamiento x Entonces tambien existe otro constante de la misma magnitud , el cual tambien estan en paralelo,por tanto: keq = k + k = 2k

keq = 2Aγ

1.12

Ejercicio 1.23

Ejercicio 12

Encuentre la constante de resorte equivalente y la masa equivalente del sistema que se muestra en la figura 1.79 con referencias a θ . Suponga que las barras AOB y CD son rígidas con masa insignificante. Solucion:

1.12 Ejercicio 1.23

Hacemos un gráfico del problema:

Entonces tenemos lo siguiente: K23 =

k2 + k3 πd 2 ∧ k4 = Aρg = ρg k2 k3 4

De la energía cinética tenemos:
2 1
2 1 1 m1 l1 θ˙ + (m1 + m) l3 θ˙ = meq θ˙ 2 2 2 2

17

Ejercicios resueltos del capitulo 1.

18

meq =

m1 l1 2 θ˙ 2 l3 2 θ˙ 2 + (m + m) 1 θ˙ 2 θ˙ 2

Entonces la mas equivalente es:

De la energía potencial tenemos: 1 1 1 1 1 k1 (l1 θ )2 + k23 (l2 θ )2 + kt θ 2 + k4 (l3 θ )2 = keq θ 2 2 2 2 2 2 keq =

θ 2 πd 2 ρg(l3 θ )2 k1 (l1 θ )2 (k2 + k3 ) (l2 θ )2 + k + t 2 + θ2 k2 k3 θ 2 θ 4θ 2

Entonces la constante de resorte equivalente es:

1.13

Ejercicio 1.25 Ejercicio 13

La figura 1.81 muestra una barra de tres escalones empotrada por uno de sus extremos y sometida a una fuerza axial F aplicada en el otro extremo. La longitud del escalón i es li y su área de sección transversal es Ai , i = 1, 2, 3. Todos los escalones son del mismo material con módulo de Young Ei = E, i = 1, 2, 3. a) Encuentre la constante de resorte (o rigidez) ki del escalón i en la dirección axial (i = 1, 2, 3). b) Encuentre la constante de resorte equivalente (o rigidez) de la barra escalonada, ke q, en la dirección axial de modo que F = keq x. c) Indique si los escalones se comportan como resortes en serie o en paralelo.

Solucion: a):

1.13 Ejercicio 1.25

19

Para calcular ki tenemos que tomar encuenta que xi =

Fli Ai E

 F : es la fuerza.      l : es la longitud. i donde:   Ai : es el á rea de la secció n.    E : es el mó dulo de Young. si ki esta dada por la fórmula: ki =

F F ⇒ ki = Fl i xi AE i

ki =

Ai E li

b):

Para calcular la constante de resorte equivalente keq : F donde xeq es el total de la extensió n de las barras entonces tenemos que: xeq Fl2 Fl3 F Fl1 + + ⇒ keq = Fl = Fl3 Fl2 1 A1 E A2 E A3 E A E +A E +A E

keq = xeq

1

2

keq =

3

A1 E A2 E A3 E + + l1 l2 l3

c):

Si tomamos que ki de cada uno de los resortes tendríamos que de la fórmula:    k1 : constante del resorte 1 Ai E ki = tendremos que keq = k1 + k2 + k3 donde: k2 : constante del resorte 2  li  k3 : constante del resorte 3 Tomando en cuenta que la constante para resorte en paralelo es : keq = k1 + k2 + k3

Eso quiere decir que la ecuación sacada en la solución (b) es equivalente a la constante de resorte paralelo por lo cual decimos que es un resorte en paralelo

Ejercicios resueltos del capitulo 1.

20

πGi Di 4 − di 4 kti = 32li

1.14




Ejercicio 1.27 Ejercicio 14

La figura 1.83 muestra una flecha de tres escalones empotrada por un extremo y sometida a un momento de torsión T en el otro extremo. La longitud del escalón es li y su diámetro es Di , i = 1, 2, 3. Todos los escalones son del mismo material con módulo de cortante Gi = G, i = 1, 2, 3. a) Encuentre la constante de resorte torsional (o rigidez) kti del escalón i (i = 1, 2, 3). b) Encuentre la constante de resorte torsional equivalente (o rigidez) de la flecha escalonada, kteq , de modo que T = kteq θ . c) Indique si los escalones se comportan como resortes torsionales en serie o en paralelo.

Solucion: a):

Para calcular kti tenemos que tomar encuenta que θi =

32T li
πGi Di 4 − di 4

 F : es la fuerza.        li : es la longitud. donde: Gi : es el mó dulo de cortante del material.     Di : es el diametro externo.    di : es el diametro interno si kti esta dada por la formula: kti =

T ⇒ kti = θi

T 32T li πGi (Di 4 −di 4 )

1.14 Ejercicio 1.27

21

b):

Para calcular la constante de resorte equivalente kteq : kteq =

T donde θeq es el total deflexion angular de los escalones de la flecha entonces tenemos que: θeq

θeq = θ1 + θ2 + θ3 Debido a que a los escalones de la flecha se les aplica una misma torsion por tanto: T = kt1 θ1 = kt2 θ2 = kt3 θ3 = kteq θeq kteq θeq kteq θeq kteq θeq + + = θeq ⇒ kteq kt1 kt2 kt3



1 1 1 + + kt1 kt2 kt3

 =1

πG1 (D1 4 −d1 4 ) πG2 (D2 4 −d2 4 ) πG3 (D3 4 −d3 4 ) + + kt1 + kt2 + kt3 32l1 32l2    32l3  =  kteq = kt1 kt2 kt3 πG2 (D2 4 −d2 4 ) πG3 (D3 4 −d3 4 ) πG1 (D1 4 −d1 4 ) 32l1

32l2

32l3





1024 G1 l2 l3 D1 4 − d1 4 + G2 l1 l3 D2 4 − d2 4 + G3 l1 l2 D3 4 − d3 4


kteq = π 2 G1 G2 G3 D1 4 − d1 4 D2 4 − d2 4 D3 4 − d3 4 c):

De la solucion (b) demostramos que:

   kt1 : constante del resorte 1 kt1 + kt2 + kt3 kteq = donde: kt2 : constante del resorte 2  kt1 kt2 kt3  kt3 : constante del resorte 3

Eso quiere decir que la ecuación sacada en la solución (b) es equivalente a la constante de resorte en serie por lo cual decimos que es un resorte en serie.

Ejercicios resueltos del capitulo 1.

22

1.15

Ejercicio 1.29 Ejercicio 15

La figura 1.84 muestra un resorte neumático. Este tipo de resorte se suele utilizar para obtener frecuencias naturales muy bajas al mismo tiempo que mantiene una deflexión cero sometida a cargas estáticas. Encuentre la constante de resorte de este resorte neumático, suponiendo que la presión p y el volumen v cambian adiabáticamente cuando se desplaza la masa m.

Sugerencia: pvγ = constante en un proceso adiabático, donde γ es la relación de calores específicos. Para aire, γ = 1,4 Solucion:

Tenemos del problema que: pvγ = cte ......(1) entonces derivando la ecuacion (1) tenemos: d pvγ + γvγ−1 pdv = 0 dp = −

pγ dv ......(2) v

Hallamos el volumen

(dv)

para un pequeño desplazamiento (dx) de la masa m ,tenemos que:

dv = −Adx ⇒ reemplazando en la ecuacion (2) dp =

pγA dx ........(3) v

Ahora al aplicar una fuerza (dF) tenemos dF = Ad p al reemplazar en la ecuacion (3) dF =

pγA2 dx .......(4) v

pero sabemos que por la ley de hooke dF = kdx De la ecuacion (4) tenemos que la constante del resorte es:

1.16 Ejercicio 1.31

1.16

Ejercicio 1.31 Ejercicio 16

Derive la expresión para la constante de resorte equivalente que relaciona la fuerza aplicada F con el desplazamiento resultante x del sistema que se muestra en la figura 1.86. Suponga que el desplazamiento del eslabón es pequeño.

Solucion:

Hacemos un gráfico del problema:

Aplicamos momento respecto al punto O:

∑ M0 = 0 ⇒ Fl + k2 x2 l2 − k1 x1 l1 − k3 x3 l = 0 F=

k1 x1 l1 k2 x2 l2 + k3 x3 − = keq x l l

23

Ejercicios resueltos del capitulo 1.

24

Sustituyendo el desplazamiento horizontal tenemos: k1 (l1 θ ) l1 k2 (l2 θ ) l2 + k3 (lθ ) − l l  2  2 l2 l1 + k3 − k2 keq = k1 l l

F = keq (lθ ) =

Sustituyendo los valores de la gráfica:  !2  !2 l 3 2l 3 keq = k + 3k − 2k l l k 8 keq = + 3k − k 9 9

1.17

Ejercicio 1.33 Ejercicio 17

Dos resortes helicoidales, uno de acero y el otro de aluminio, tienen valores idénticos de d y D. (a) Si la cantidad de vueltas en el resorte de acero es de 10, determine la cantidad de vueltas requerida en el resorte de aluminio cuyo peso será igual al del resorte de acero, (b). Encuentre las constantes de los dos resortes. Solucion: a).

Las constantes de los resortes helicoidales del acero y del aluminio son:

Gac d 4 donde: Kacero = 8D3 Nac

(

Gal d 4 Kaluminio = donde: 8D3 Nal

Gac : modulo de cortante del acero Nac : numero de vueltas (

Gal : modulo de cortante del aluminio Nal : numero de vueltas

De los datos del problema tenemos: Wac = Wal El peso de un resorte helicoidad esta dado por:  πd 2 W = πDNρ donde: ρ : Densidad del material 4  2  2 πd πd πDNac ρac = πDNal ρal del problema d ≈ D y Nac = 10 4 4 

1.18 Ejercicio 1.35

25

El numero de vueltas del aluminio estara dado por:

Nal = 10 ρρacal b).

Kacero =

Gac d 4 8D3 Nac

para d ≈ D y Nac = 10

Kacero =

1.18

Gac d Gal dρal y Kaluminio = 80 80ρac

Ejercicio 1.35 Ejercicio 18

Diseñe un resorte neumático con un recipiente cilíndrico y un pistón para lograr una constante de resorte de 75lb/pulg. Suponga que la presión del aire disponible es de 200 lb/pulg2 . Solucion:

Sabemos que la constante del resorte neumático es: 3πD3 l c=µ 4d 3 P=

F πD2 ⇒F = P para la presion igual a P = 200 lib/pulg2 A 4

F = 50πD2 Ahora sabemos que la fuerza es equivalente a: 2 F = cv0 ⇒ 50πD2 = 75v0 ⇒ v0 = πD2 3 l=

  2d 1+ D

200d 3 200d 3

2 ⇒ l = 2 3Dµ 1 + 2d 3Dµ 1 + 2d D v0 D 3 πD

Ejercicios resueltos del capitulo 1.

26

El diseño dependerá del valor que se le de para cualquier caso disponible en lo que es la ingeniería

l=

1.19

200d 3
pulg πD3 µ 1 + 2d D

Ejercicio 1.37 Ejercicio 19

Dos resortes no lineales, S1 y S2 están conectados en dos formas diferentes como se indica en la figura 1.88. La fuerza, Fi , en el resorte Si está relacionada con su deflexión (xi ) como Fi = ai xi + bi xi 3 , i = 1, 2 donde ai y bi son constantes. Si W = keq x, donde x es la deflexión total del sistema, define una constante de resorte lineal equivalente ke q, encuentre una expresión para keq en cada caso.

Solucion a):

Hacemos un diagrama para los resortes que están en serie:

1.19 Ejercicio 1.37

27

Con las condiciones dadas tenemos que: Fi = ai xi + bi xi 3 donde i = 1, 2 W = a1 x1 + b1 x1 3 ..........(1) W = a2 x2 + b2 x2 3 .........(2) Ahora tenemos por dato que W = keq x donde x = x1 + x2 (deflexion total del sistema) Sumando (1) y (2) tenemos: a1 x1 + b1 x1 3 + a2 x2 + b2 x2 3 .........(3) 2

2W = a1 x1 + b1 x1 3 + a2 x2 + b2 x2 3 ⇒ W = a1 x1 + b1 x1 3 + a2 x2 + b2 x2 3 = keq (x1 + x2 ) 2

keq =

a1 x1 + b1 x1 3 + a2 x2 + b2 x2 3 2 (x1 + x2 )

Solucion b):

Hacemos un diagrama para los resortes que están en paralelo:

Del diagrama hecho tenemos lo siguiente : F1 = a1 x + b1 x3 ..........(1) F2 = a2 x + b2 x3 ..........(2) W = F1 + F2 ⇒ W = a1 x + b1 x3 + a2 x + b2 x3 pero W = keq x Entonces tenemos igualando ambas ecuaciones: keq x = a1 x + b1 x3 + a2 x + b2 x3

keq = a1 + a2 + (b1 + b2 ) x2

Ejercicios resueltos del capitulo 1.

28

1.20

Ejercicio 1.39 Ejercicio 20

Encuentre la constante de resorte de la barra bimetálica que se muestra en la figura 1.89 en movimiento axial.

Solucion:

La constante de resorte equivalente en una barra en movimiento axial es:    E : Modulo de Young de la barra. EA k= donde: A : Area de la seccion transversal.  l  l : longitud de la barra. Entonces tenemos:  
 0,5 2 207x109 100 100 ⇒ kac = 414x105 N/m kac = 0,5  
 0,5 2 83x109 100 100 kal = ⇒ kal = 166x105 N/m 0,5 Debido a que las barras estan en paralelo entonces: keq = kac + kal ⇒ keq = 414x105 + 166x105

keq = 530x105 N/m

1.21

Ejercicio 1.41 Ejercicio 21

Un extremo del resorte helicoidal está fijo y el otro está sometido a cinco fuerzas de tensión diferentes. Las longitudes del resorte medidas con varios valores de las fuerzas de tensión se dan a continuación.

1.22 Ejercicio 1.43

29

Determine la relación fuerza-deflexión del resorte helicoidal. Solucion:

Haciendo una tabla ya calculando las deflexiones del resorte para cada fuerza aplicada.

Con estos datos en una hoja de calculo hallamos la relación que tiene la fuerza con la deflexión del resorte.

Por tanto la relacion de fuerza - deflexión es :

( F = 7,842x + 1,5249

1.22

donde:

F : La fuerza aplicada al resorte. x : La deflexion producida por la fuerza.

Ejercicio 1.43 Ejercicio 22

En la figura 1.92 se muestra una flecha de hélice compuesta, hecha de acero y aluminio. a) Determine la constante de resorte torsional de la flecha. b) Determine la constante de resorte torsional de la flecha compuesta cuando el diámetro interno del tubo de aluminio es de 5 cm en lugar de 10 cm.

Ejercicios resueltos del capitulo 1.

30

Solucion:

Debido a que los materiales de acero y de aluminio de la flecha son concentricos , se considera como resortes que están en paralelo. a)

Hallamos la constante torsional del resorte para el acero: 
Gac = 80 109 Pa      D = 0,25 m
πGac 4 4 Kacero = D − d donde:  32l d = 0,15 m     l=5m Re emplazando estos valores tenemos:


π80 109 0,254 − 0,154 ⇒ Kacero = 5,34072 106 N - m/rad Kacero = 32(5) Hallamos la constante torsional del resorte para el aluminio: 
Gac = 26 109 Pa      D = 0,15 m
πGac 4 4 Kaluminio = D − d donde:  32l d = 0,1 m     l=5m Re emplazando estos valores tenemos:


π26 109 Kaluminio = 0,154 − 0,14 ⇒ Kaluminio = 0,2074 106 N - m/rad 32(5) Keq = Kacero + Kaluminio

Keq = 5,34072 106 + 0,2074 106

1.23 Ejercicio 1.45

31

b)

En el material de aluminio para d = 0,05 m


π26 109 Kaluminio = 0,154 − 0,054 ⇒ Kaluminio = 0,2552 106 N - m/rad 32(5)

Keq = 5,34072 106 + 0,2552 106

1.23

Ejercicio 1.45 Ejercicio 23

Resuelva el problema 1.44 suponiendo que los diámetros de los resortes 1 y 2 son de 1.0 pulg y 0.5 pulg, en vez de 2.0 pulg y 1.0 pulg, respectivamente. Solucion:

Sabemos que la constante del resorte helicoidal esta dado por: k=

Gd 4 D3 n

Para el acero tenemos los siguientes datos:  n = 10      D = 12 pulg  d = 1 pulg     G = 12(106 ) lib/pulg2 Reemplazando los datos tenemos: kacero =

12(106 )14 ⇒ kacero = 694,44 lib/pulg 123 (10)

Para el aluminio tenemos los siguientes datos:  n = 10      D = 10 pulg  d = 0,5 pulg     G = 4(106 ) lib/pulg2 Reemplazando los datos tenemos: kaluminio = a).

4(106 )(0,5)4 ⇒ kaluminio = 25 lib/pulg (103 )(10)

cuando el resorte helicoidal de aluminio se coloca dentro del resorte helicoidal de acero, se considera resortes paralelos.

Ejercicios resueltos del capitulo 1.

32

keq = kacero + kaluminio ⇒ keq = 694,44 + 25

keq = 719,44 lib/pulg b).

cuando el resorte helicoidal de aluminio se coloca sobre el resorte helicoidal de acero, se considera resortes en serie.

1 1 1 kacero + kaluminio 694,44 + 25 = + = = keq kacero kaluminio (kacero )(kaluminio ) (694,44)(25)

keq = 24,3050 lib/pulg

1.24

Ejercicio 1.47 Ejercicio 24

Un intercambiador de calor se compone de seis tubos de acero inoxidable idénticos conectados en paralelo como se muestra en la figura 1.94. Si cada tubo tiene un diámetro externo de 0.30 pulg, un diámetro interno de 0.29 pulg y 50 pulg, determine la rigidez axial y la rigidez torsional con respecto al eje longitudinal del intercambiador de calor.

Solucion: a)

tenemos las siguientes propiedades para el acero. Eac = 30x106 lb/pulg2 ∧ Gac = 12x106 lb/pulg2 Para hallar la rigidez axial :

1.25 Ejercicio 1.49


π EA donde: A = 0,302 − 0,292 l 4
2 6π 30x10 4 0,30 − 0,292 ⇒ k = 2780,31 lb/pulg k= 50 k=

Entonces la rigidez axial equivalente por estar en paralelo será : keq = k1 + k2 + k3 + k4 + k5 + k6 = 6k

b)

Para hallar la rigidez torsional : k=


π12x106 0,304 − 0,294 reemplazando los valores tenemos: 32x50

k = 24,2025 lb - pulg/rad Entonces la rigidez torsional equivalente por estar en paralelo será : keq = k1 + k2 + k3 + k4 + k5 + k6 = 6k

1.25

Ejercicio 1.49

Ejercicio 25

En la figura 1.96 encuentre la masa equivalente del ensamble de balancín con respecto a la coordenada x.

33

Ejercicios resueltos del capitulo 1.

34

Solucion:

Hacemos un gráfico sobre los desplazamientos que realizan la masa m1 y m2

La energía cinética (T) se expresa (para pequeños desplazamientos ) como: 1 1 1 T = m1 x˙12 + m2 x˙2 + J0 θ˙ 2 2 2 2

1 donde: T = meq x˙2 2

Reemplazando tenemos: 1 1 1 1 meq x˙2 = m1 x˙12 + m2 x˙2 + J0 θ˙ 2 2 2 2 2
2
x˙ 2 x˙ ba m2 x˙2 b meq = m1 2 + 2 + J0 2 x˙ x˙ x˙

donde:

 a   x˙1 = x˙ b x ˙   θ˙ = b

1.26 Ejercicio 1.51

35

meq = m1

1.26

 a 2 b

 2 1 + m2 + J0 b

Ejercicio 1.51 Ejercicio 26

Dos masas, con momentos de inercia de masa J1 y J2 se colocan en flechas rotatorias rígidas conectadas por medio de engranes, como se muestra en la figura 1.98. Si la cantidad de dientes en los engranes 1 y 2 son n1 y n2 , respectivamente, encuentre el momento de inercia de masa equivalente correspondiente a θ1 .

Solucion:

La relación entre el número de dientes y las velocidades angulares de cada engranaje esta dado por:   n1 θ 1 n1 = θ2 n2 ⇒ θ2 = θ1 n2 La energía cinética (T) se expresa (para pequeños desplazamientos ) como: 1 1 T = J1 θ˙12 + J2 θ˙22 2 2

1 Para movimiento rotacional T = Jeq θ˙12 2

Reemplazando tenemos: 1 ˙2 1 ˙2 1 ˙2 Jeq θ1 = J1 θ1 + J2 θ2 2 2 2

  2 1 ˙2 1 ˙2 1 n1 ⇒ Jeq θ1 = J1 θ1 + J2 θ˙1 2 2 2 n2

 Jeq = J1 + J2

1.27

Ejercicio 1.53

n1 n2

2

Ejercicios resueltos del capitulo 1.

36 Ejercicio 27

Encuentre la masa equivalente del sistema que se muestra en la figura 1.100.

Solucion:

Hacemos un gráfico sobre los desplazamientos que realizan la masa del bloque y de la esfera m y ms

La energía cinética (T) se expresa (para pequeños desplazamientos ) como: 1 1 1 1 T = mx˙2 + J0 θ˙ 2 + Js θ˙s2 + ms x˙s2 2 2 2 2

1 Para movimiento traslacional T = meq x˙2 2

1.27 Ejercicio 1.53

37

Reemplazando tenemos:

1 1 1 1 1 meq x˙2 = mx˙2 + J0 θ˙ 2 + Js θ˙s2 + ms x˙s2 2 2 2 2 2

   x˙   θ˙ =   l  1       l2   ˙  θs = x˙ l1 rs donde:  2   Js = ms rs 2   5      l2    x˙s = x˙ l1

Reemplazando todos estos valores tenemos:        2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 l2 2 1 2 2 2 l2 2 + + ms x˙ meq x˙ = mx˙ + J0 x˙ ms rs x˙ 2 2 2 l1 2 5 l1 r s 2 l1  2  2  2 1 2 l2 l2 meq = m + J0 + ms + ms l1 5 l1 l1