Grundlagen der Elektrotechnik 2

Grundlagen der Elektrotechnik

1.2.

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Seite 16

Berechnung von Netzwerken

1.2.1. Allgemeines Elektrische Netzwerke entstehen durch die Zusammenschaltung von aktiven und passiven Zweipolen. Hierbei entstehen Knoten, Zweige und Maschen: • • •

Ein Zweig ist eine Kette von Zweipolen, die alle vom selben Strom durchflossen werden. Ein Knoten ist der Verbindungspunkt mehrerer Zweige. Eine Masche ist eine in sich geschlossene Kette von Zweigen.

Knoten

U01

R1

R2

Masche

Zweig

U02

Knoten Bild 17: Zweige, Maschen und Knoten in einem Netzwerk. Um den elektrische Zustand eines Netzwerkes zu beschreiben, sind für alle Ströme und Spannungen Zählpfeile entsprechend dem Verbraucherzählpfeilsystem einzuführen.

U1 I1 U01

U2 I3

R1 R3

R2 U3

I2 U02

Bild 18: Zählpfeile in einem Netzwerk. Danach kann die Berechnung des Netzwerkes erfolgen.

1.2.2. Kirchhoff'sche Sätze Die für elektrische Netzwerke geltende Grundgesetze wurden von dem Physiker Gustav, Robert Kirchhoff (1829 - 1887) aufgestellt. Es handelt sich um zwei Kirchhoff'sche Sätze: die Knotenregel und die Maschenregel. Erster Kirchhoff'scher Satz (Knotenregel): In einem Knoten eines elektrische Netzwerkes kann keine Ladung gespeichert werden. Daraus folgt, daß von einem Knoten genauso viele Ladungsträger pro Zeiteinheit zufließen müssen, wie abfließen können. Gleichbedeutend damit ist die Aussage, daß die unter Beachtung des Vorzeichens gebildete Stromsumme in einem Knoten den Wert Null hat.

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n

∑I k =1

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=0

k

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(26)

Dem Knoten zufließende Ströme werden positiv gezählt und vom Knoten abfließende Ströme werden negativ gezählt. Beispiel 7: Für das Netzwerk im letzten Bild soll für den oberen Knoten der Erste Kirchhoff'sche Satz (Knotenregel) angewandt werden.

I1 + I 2 - I3 = 0 Zweiter Kirchhoff'scher Satz (Maschenregel): In einer geschlossenen Masche eines elektrische Netzwerkes ist die vorzeichenrichtig gebildete Summe aller Spannungen gleich Null. n

∑U m =1

m

=0

(27)

Die Begründung ergibt sich aus der Überlegung, daß bei einem vollständigen Umlauf in einer Masche beim Zurückkehren an den Ausgangspunkt auch das Ausgangspotential wieder erreicht werden muß. Die Spannungen, die in der Umlaufrichtung der Masche liegen werden positiv gezählt und die Spannungen, die entgegengesetzt zum Umlaufsinn der Masche liegen werden negativ gezählt. Beispiel 8: Für das Netzwerk im letzten Bild soll für die linke Masche der Zweite Kirchhoff'sche Satz (Maschenregel) angewandt werden.

- U 01 +U1 +U 3 = 0

1.2.3. Netzwerkberechnung Meist sind in einem Netzwerk die Spannungen der Quellen (aktiver Zweipol) und die Widerstände der Verbraucher (passiver Zweipol) gegeben. Die Ströme und Spannungen in allen Zweigen ist oft gesucht. Diese Aufgabe läßt sich durch die Anwendung der Kirchhoff'schen Sätze und das Ohm'sche Gesetz lösen. Mit den Kirchhoff'schen Sätzen läßt sich dann ein System linearer Gleichungen aufstellen, das die Zweigströme als Unbekannte enthält. Die Zahl der zur Lösung des Systems notwendigen Gleichungen kann aus folgender Überlegung gewonnen werden. Wenn das Netz K Knoten und Z Zweige enthält, so sind für die Berechnung der Z unbekannten Zweigströme Z linear unabhängige Gleichungen erforderlich. Die Anwendung des ersten Kirchhoff'schen Satzes liefert zunächst (K-1) unabhängige Gleichungen. die Gleichung für den K-ten Knoten geht aus den (K-1) bereits aufgestellten Gleichungen hervor.

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Zu diesen (K-1) Gleichungen sollen M weitere Gleichungen aus der Anwendung des zweiten Kirchhoff'schen Satzes verwendet werden, so daß die Zahl Z der benötigten unabhängigen Gleichungen erreicht wird.

Z = (K-1) + M

(28)

Daraus ergibt sich die Anzahl der fehlenden Maschengleichungen, wenn die (K-1) Knotengleichungen verwendet werden, zu

M = Z - K +1.

(29)

Beispiel 9: Für das im Bild dargestellte Beispiel soll die Netzwerkberechnung durchgeführt werden.

U1 I1 U01

Knoten 1 U2

R1

I3

Masche 1 R3

Masche 2

R2

I2

U3

U02

Knoten 2

Bild 19: Beispiel Netzwerkberechnung Gegeben sind die Spannungen und Widerstände: U01 = 12 V, U02 = 6 V, R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω, R3 = 30 Ω. Gesucht sind die drei Ströme: I1 , I2 und I3. Das Netzwerk hat zwei Knoten K=2 und drei Zweige Z=3. Die Anzahl der benötigten Maschengleichungen ist M = Z - K +1 = 3 - 2 +1 = 2. Somit wird das Netzwerk also mit einer Knotengleichung und zwei Maschengleichungen vollständig beschrieben. Für den Knoten K1 gilt I1 + I2 - I3 = 0. Für die Masche M1 gilt -U01 + U1 + U3 = 0. Für die Masche M2 gilt -U01 + U1 - U2 + U02= 0. Für die drei Widerstände gilt das Ohm'sche Gesetz U1 = R1 x I1, U2 = R2 x I2,, U3 = R3 x I3.

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Setzt man dies in die Maschengleichungen M1 und M2 ein und bringt die bekannten Spannungen auf die rechte Seite des Gleichungssystems, so erhält man:

I1 + I 2 − I 3 = 0 R1 ⋅ I 1 + R3 ⋅ I 3 = U 01 R1 ⋅ I 1 − R2 ⋅ I 2 = U 01 − U 02 Die Auflösung von diesen drei Gleichungen nach den drei unbekannten Strömen kann mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren erfolgen. Man erhält als Lösung:

R2 ⋅ U 01 + R3 ⋅ (U 01 − U 02 ) R2 ⋅ ( R1 + R3 ) + R1 ⋅ R3 R ⋅ I − U 01 + U 02 I2 = 1 1 R2 I3 = I1 + I 2 I1 =

Wesentlich übersichtlicher kann das Gleichungssystem gelöst werden, wenn es in Matrixform dargestellt wird.

R⋅I =U Hierbei ist R die Widerstandsmatrix, I der Stromvektor und U der Spannungsvektor.

 1  R =  R1   R1

1 0

−R

2

  0 −1  I1        I I U , , = =  R3   2   U 01  I  U −U  0   3 02   01

Die Lösung lautet dann: −1

I = R ⋅U Die Matrix R-1 wird inverse Matrix Widerstandsmatrix oder Leitwertmatrix genannt. Mit leistungsfähigen Mathematikprogrammen kann sie leicht berechnet werden. Im folgenden wird die Lösung mit MATLAB mit dem folgende Programmbeispiel berechnet. % %----------------------------------------------------------------% Grundlagen Elektrotechnik 1 Beispiel 9 %----------------------------------------------------------------% % Vorgabe der Widerstände und Spannungen % R1=10; R2=20; R3=30; U01=12; U02=6; % % Aufbau der Widerstandsmatrix % R=[ 1 1 -1 R1 0 R3 R1 -R2 0]

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% % Aufbau des Spannungsvektors % U=[ 0 U01 U01-U02] % % Lösung des Gleichungssystems % I=inv(R)*U % % Spannungen an den Widerständen % DR=[R1 0 0 0 R2 0 0 0 R3]; UR=DR*I % % Verbrauchte Leistung an den Widerständen % PR=UR.*I PVGesamt=[1 1 1]*PR % % Erzeugte Leistung der beiden Quellen % PQuelle=U01*I(1)+U02*I(2) Das Programm Beispiel9.m wird mit dem MATLAB-Interpreter bearbeitet und als Ergebnis erhält man die Lösung mit R= 1 1 -1 10 Ω 0 Ω 30 Ω 10 Ω -20 Ω 0 Ω U= 0V 12 V 6V I= 0.3818 A -0.1091 A 0.2727 A UR = 3.8182 V -2.1818 V 8.1818 V PR = 1.4579 W 0.2380 W 2.2314 W

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PVGesamt = 3.9273 W PQuelle = 3.9273 W Die von der Quelle gelieferte Leistung PQuelle entspricht genau der Leistung PVGesamt, die in den Widerständen in Wärme umgesetzt werden.

1.2.4. Reihenschaltung von Widerständen und Spannungsteiler Man spricht von einer Reihenschaltung, wenn die in Reihe geschalteten Bauelemente vom gleichen Strom durchflossen werden. Im folgende Bild ist die Reihenschaltung zweier Widerstände und deren Umwandlung in eine Ersatzwiderstand gezeigt. Für das im Bild dargestellte Beispiel soll die Netzwerkberechnung durchgeführt werden.

I Masche 1 R1

U1

U0

I U0

R3

Rers

U0

U2

Bild 20: Reihenschaltung von Widerständen Aus der Masche erhält man die Gleichung

U 0 = U1 +U 2 Mit Hilfe des Ohm'schen Gesetzes erhält man für die Spannungen an den Widerständen

U 1 = R1 ⋅ I1U 2 = R2 ⋅ I 2 . Wird dies in die obige Maschengleichung eingesetzt, so erhält man

U 0 = I ⋅ R1 + I ⋅ R2 = I ⋅ ( R1 + R2 ) . Das Ergebnis wird in die im obigen Bild rechts gezeigte Ersatzquelle umgewandelt.

U 0 = I ⋅ Rers Durch Vergleich der letzten beiden Gleichungen erhält man.

Rers = R1 + R2 Die Reihenschaltung von zwei Widerständen kann also ersetzt werden durch einen Widerstand von der Summe der beiden Einzelwiderstände. Für n in Reihe geschaltete Widerstände gilt.

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n

Rers = R1 + R 2 + ... + R n = ∑ Ri

(30)

i =1

Für n in Reihe gleiche geschaltete Widerstände R gilt damit

Rers = n ⋅ R . Hierbei beachte man, daß der Ersatzwiderstand Rers der Reihenschaltung immer größer ist als der größte Einzelwiderstand in der Reihenschaltung. Werden zu einer bestehenden Reihenschaltung weitere Widerstände in Reihe geschaltet, so kann sich der Gesamtwiderstand nur vergrößern. Beispiel 10: Wie groß ist der Ersatzwiderstand für eine Reihenschaltung von zwei Widerständen mit 10 Ω und 70 Ω ? Ergebnis: 80 Ω Aus dem obigen Bild ist zu erkennen, daß die Widerstände die Gesamtspannung in die Teilspannungen aufteilen. Da durch alle Widerstände der gleiche Strom fließt, wird die Spannung im Verhältnis der Widerstandswerte aufgeteilt. Eine Reihenschaltung mehrerer Widerstände mit Anschlüssen an der Zusammenschaltung nennt man Spannungsteiler. Die Spannungen verhalten sich hierbei wie die Widerstandswerte.

U1 R1 = U 0 R1 + R2 U2 R2 = U 0 R1 + R2 U1 R = 1 U 2 R2 Der Spannungsteiler wird zum Anpassen von Spannungen an einen Verbraucher verwendet. Eine Anwendung des Spannungsteilers ist das Potentiometer. Hierbei ist eine stetige Änderung des Verhältnisses U1 / U2 möglich. Es gilt

R1 = R ⋅ (1 − x) und R2 = R ⋅ x . mit 0 ≤ x ≤ 1 Das folgende Bild zeigt das Schaltbild des Potentiometers.

(31)

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I R (1-x)

U1

U0

I U0

Rx

R

U2

U

Bild 21: Schaltbild des Potentiometers Beispiel 11: Wie groß ist die Spannung U, wenn der Widerstand R durch den Schleifer im Verhältnis x=0.3 geteilt wird und U0 = 40 V beträgt ? Ergebnis: 12 V

1.2.5. Parallelschaltung von Widerständen und Stromteiler Man spricht von einer Parallelschaltung, wenn an den parallel geschalteten Bauelemente die gleiche Spannung anliegt. Im folgende Bild ist die Parallelschaltung zweier Widerstände und deren Umwandlung in eine Ersatzquelle gezeigt. Für das im Bild dargestellte Beispiel soll die Netzwerkberechnung durchgeführt werden.

I

Knoten 1 I1

I2 I

R1

U0

R2

U0

U0

Rers

U0

Bild 22: Parallelschaltung von Widerständen Aus dem Knoten erhält man die Gleichung

I = I1 + I 2 Mit Hilfe des Ohm'schen Gesetzes erhält man für die Ströme durch die Widerstände

I1 =

U U0 I2 = 0 . R2 R1

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Wird dies in die obige Knotengleichung eingesetzt, so erhält man

I=

U0 U0 1 1 + = U 0 ⋅ ( + ) = U 0 ⋅ (G1 + G2 ) . R1 R2 R1 R2

Das Ergebnis wird in die im obigen Bild rechts gezeigte Ersatzbild umgewandelt.

I = U 0 ⋅ Gers Durch Vergleich der letzten beiden Gleichungen erhält man.

Gers = G1 + G 2 Die Parallelschaltung von zwei Widerständen kann also ersetzt werden durch einen Widerstand von der Summe der beiden Einzelleitwerte. Für n parallel geschaltete Widerstände gilt. n

Gers = G1 + G 2 + ... + G n = ∑ Gi

(32)

i =1

Der wichtige Spezialfall zweier parallel geschalteter Widerstände führt auf

1 1 1 = + . Rers R1 R2 Man erhält damit für den Ersatzwiderstand

Rers =

R1 ⋅ R2 R1 + R2

(33).

Hierbei beachte man, daß der Ersatzwiderstand Rers der Parallelschaltung immer kleiner ist als der kleinste Einzelwiderstand in der Parallelschaltung. Werden zu einer bestehenden Parallelschaltung weitere Widerstände parallel geschaltet, so kann sich der Gesamtwiderstand nur verkleinern. Beispiel 12: Wie groß ist der Ersatzwiderstand für eine Parallelschaltung von zwei Widerständen mit 10 Ω und 70 Ω ? Ergebnis: 8.749 Ω Wie groß ist der Ersatzwiderstand für eine Parallelschaltung von drei Widerständen mit 10 Ω, 30 Ω und 70 Ω ? Ergebnis: 6.7742 Ω Betrachtet man im obigen Bild einen Knotenpunkt, so sieht man, daß sich der Strom I in die Teilströme I1 und I2 aufteilt. Da an allen Widerständen die gleiche Spannung vorhanden ist, teilen sich die Ströme im Verhältnis entsprechend der Leitwerte auf. Bei parallel geschalteten Widerstandselementen verhalten sich die Ströme zueinander wie die Leitwerte der Elemente, durch die diese Ströme fließen. Für den Stromteiler gilt:

I1 G1 = I G1 + G2

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I2 G2 = I G1 + G2 I1 G1 = I 2 G2 Beispiel 13: Zwei parallelgeschaltete Widerstände haben die Werte R1 = 570 kΩ und R2 = 900 kΩ. Der Strom I2 beträgt 5 mA. Wie groß ist der Gesamtstrom I ? Ergebnis: I = 12.89 mA

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1.3.

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Reale Strom- und Spannungsquelle

Viele der verwendeten technischen Spannungs- und Stromquellen lassen sich durch ein einfaches Ersatzbild beschreiben. Es besteht aus der Kombination einer idealen Quelle mit einem Widerstand. Das folgende Bild zeigt die reale Spannungsquelle. U Leerlaufpunkt A I U0 Ri I Ri Quellenkennlinie

U

U0

B Kurzschlußpunkt

I

Bild 23: Reale Spannungsquelle Die Klemmenspannung der Spannungsquelle beträgt

U = U 0 − I ⋅ Ri

(34).

Ausgezeichnete Werte dieser Quelle sind ihre Leerlaufspannung

Ul =U0

(35),

die sich für I=0 ergibt und ihr Kurzschlußstrom

Ik =

U0 Ri

(36),

der sich für U=0 ergibt. Die reale Stromquelle ist im nächsten Bild dargestellt. Man erhält sie, indem einer idealen Stromquelle ein Innenleitwert parallel geschaltet wird. U Leerlaufpunkt A I I0

Gi

U Quellenkennlinie

U Gi

B Kurzschlußpunkt I 0 Bild 24: Reale Stromquelle Der Ausgangsstrom dieser Quelle beträgt

I

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I = I 0 − U ⋅ Gi

(37).

Ausgezeichnete Werte dieser Quelle sind ihr Kurzschlußstrom

Ik = I0

(38),

der sich für U=0 ergibt und ihre Leerlaufspannung

Ul =

I0 Gi

(39),

die sich für I=0 ergibt. Die Strom- und Spannungsquellen sind äquivalent für den Fall, daß

Ri =

1 Gi

(40)

gewählt wird. Unter Verwendung dieser Beziehung lassen sich die beiden Ersatzbilder ineinander überführen. Die ideale Spannungsquelle hat den Innenwiderstand Ri=0 und die ideale Stromquelle hat den Innenwiderstand Ri=∞.

1.4.

Der Grundstromkreis

Die Kombination einer Spannungsquelle mit einem Verbraucher stellt den einfachsten Stromkreis dar. Die Spannungsquelle besteht dabei aus einer Quelle konstanter Spannung U0 und dem Innenwiderstand Ri. Der Verbraucher Ra wird an den Klemmen der Spannungsquelle angeschlossen. Dieser Stromkreis ist deshalb so wichtig, weil man jedes komplizierte Netzwerk auf diesen Grundstromkreis zurückführen kann, und dann sein Verhalten einfach zu übersehen ist.

Ia U

A

Ra Leerlaufpunkt

Lastkennlinie

Ri Ra

U0

Ua

Ua

Arbeitspunkt Quellenkennlinie

B Ia Aktiver Zweipol

I Kurzschlußpunkt

Passiver Zweipol

Bild 25: Der Grundstromkreis Im obigen Bild ist die Lastkennlinie des Grundstromkreises gezeigt. Die folgenden Punkte Arbeitspunkte sind wichtig:

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• • •

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Leerlaufpunkt I = 0, Ra = ∞, Kurzschlußpunkt U = 0, Ra = 0, Anpassung Ra = Ri.

Im Leerlaufpunkt arbeitet die Quelle ohne Belastung. Im Kurzschlußpunkt sind die Punkte A und B der Quelle kurzgeschlossen. Zwischen diesen beiden extremen Punkten, die nur theoretisch interessant sind liegt der normale Arbeitspunkt A, der sich in Abhängigkeit vom Lastwiderstand einstellt. Ein besonderer Arbeitspunkt liegt bei Anpassung Ra = Ri vor. Hier wird, wie wir später herleiten, die maximale Leistung an den Verbraucher übertragen. Im Bild 20 wurde dieser Stromkreis bereits berechnet. Für die Spannung erhält man

Ra x = U0 1+ x Ra + Ri

U = U0

(41)

mit

x=

Ra . Ri

Führt man den Kurzschlußstrom Ik

Ik =

U0 Ri

(42)

ein, der im Kurzschlußfall fließt, so erhält man die durch den Verbraucher fließenden Strom mit

I=

U0 U Ri 1 = 0⋅ = Ik . Ra + Ri Ri Ra + Ri 1+ x

(43)

Für die im Verbraucher abgegebene Leistung erhält man, wenn man die Kurzschlußleistung Pk einführt, die im Kurzschlußfall im Innernwiderstand der Quelle umgesetzt wird, 2

Pk =

U0 Ri

(44) 2

Ra 1 x U2 2 = U0 ⋅ ⋅ = Pk ⋅ . Pa = 2 Ra ( Ra + Ri ) Ra (1 + x) 2

(45)

Die maximale Leistung wird bei Anpassung übertragen wenn x=1 ist. Um dies zu zeigen wird Pk(x) nach x differenziert und dann die Nullstelle der Ableitung gesucht. Man erhält

dPa (1 + x) 2 − 2 ⋅ (1 + x) ⋅ x 1− x . = Pk ⋅ = Pk ⋅ 4 dx (1 + x) (1 + x) 3

Als Nullstelle der Ableitung erhält man x=1. Die maximal übertragbare Leistung beträgt für x=1

Pa = Pk ⋅

1 . 4

(46)

Der Wirkungsgrad η der Energieübertragung errechnet sich aus dem Quotient der von dem Verbraucher aufgenommene Leistung Pa und der von der Quelle erzeugten Leistung P0. Die von der Quelle erzeugten Leistung P0 erhält man mit 2

U0 U 02 Ri 1 P0 = = ⋅ = Pk ⋅ Ra + Ri Ri ( Ra + Ri ) (1 + x) und der Wirkungsgrad der η Energieübertagung ergibt sich mit

(47)

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ηa =

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Pa x = . P0 1 + x

(48)

Das nächste Bild zeigt Spannung, Strom, Leistung und Wirkungsgrad beim Grundstromkreis. Die Maximale Leistung wird bei Anpassung x=1 an den Verbraucher übertragen.

Anpassung bei x=1

1 0.8

Spannung U/U0

0.6 I/Ik=0.5 und U/U0=0.5 bei Anpassung 0.4 0.2 0

Strom I/Ik 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 x=Ra/Ri

8

9

10 x=Ra/Ri

Wirkungsgrad η

0.8 0.6

η=0.5 und P/Pk=0.25 bei Anpassung

0.4 0.2 0

Leistung P/Pk 1

2

3

4

5

6

7

Bild 26: Spannung, Strom, Leistung und Wirkungsgrad beim Grundstromkreis In der folgenden Tabelle die wichtigen Arbeitspunkte des Grundstromkreises zusammengefaßt. Arbeitspunkt Ua Ia Kurzschluß x=0 0 Ik U0 0 Leerlauf x=∞ Anpassung x=1 0.5⋅Ik 0.5⋅U0 Tabelle 6: Arbeitspunkte Grundstromkreis

Pa Pk 0 0.25⋅Pk

η 0 1 0.5

Die Anpassung des Verbraucherwiderstandes an den Innenwiderstand der Quelle kann unter verschiedenen Gesichtspunkten erfolgen: Energietechnischer Gesichtspunkt: Die Energietechnik umfaßt die Gebiete der Elektrotechnik, die sich mit der Erzeugung, dem Transport und der Anwendung elektrischer Energie befassen. Die Übertragung und Umwandlung der Energie soll mit möglichst großem

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Wirkungsgrad erfolgen, so daß die Verluste gering bleiben. Die Stromkreise der Energietechnik arbeiten also fast im Leerlauf x→∞. Nachrichtentechnischer Gesichtspunkt: Die Nachrichtentechnik umfaßt die Gebiete der Elektrotechnik, in denen elektrische Größen als Träger von Signalen oder Nachrichten verwendet werden und wo es darauf ankommt, diese Größen entweder zu übertragen oder zu wandeln. Um die Nachricht bestmöglichst zu identifizieren soll die maximale Leistung übertragen werden. Die Stromkreise der Nachrichtentechnik arbeiten also bei Anpassung x=1. Die Kennwerte des Grundstromkreises können meßtechnisch bestimmt werden. Der Widerstand Ra wird abgeklemmt (Ra →∞) und die Spannung an den beiden Punkten A und B wird gemessen. Damit erhält man die Leerlaufspannung U0. Dann wird der Widerstand Ra solange verringert, bis die an den Punkten A und B gemessene Spannung gleich U0/2 wird. Der Widerstand Ra hat den Wert des Innenwiderstandes Ri der Quelle.