Grue Tours
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DdS n˚1 06/01/2009
Devoir Surveill´e de DdS P.A. Boucard, M. Trovalet
Dur´ee : 2h - sans document, sans calculatrice
´ Etude de la fl` eche d’une grue
Nom :
Pr´ enom :
Groupe :
Mise en situation La figure 1.1 repr´esente une grue de chantier. Selon les utilisations, la fl`eche de cette grue (partie sup´erieure droite) peut ˆetre ´equip´ee de un ou plusieurs chariots de diff´erents types (chariots 1 et/ou 2 sur la figure). Tirant
Chariot 1
Chariot 2
Flèche de la grue
Fig. 1.1: Sch´ema typique d’une grue de chantier
Nous allons nous int´eresser ici au dimensionnement de la fl`eche principale de cette grue sous diff´erentes sollicitations ainsi qu’au pied de la grue (partie verticale). Les 5 parties propos´ ees (num´ erot´ ees de 1.1 ` a 1.5) sont totalement ind´ ependantes et sont pr´ esent´ ees sur deux groupes de pages ind´ ependants (1.1 ` a 1.3 et 1.4 ` a 1.5 ). Il est demand´e de r´epondre directement sur le sujet et de rendre celui-ci a` la fin de l’´epreuve sans avoir oubli´ e de compl´ eter l’entˆ ete en pages 1 et 8 avec vos nom, pr´enom et groupe. Bien ´evidemment, des sch´emas graphiques avec des codes de couleurs adapt´es sont les bienvenus... 1/13
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1.1
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Poutre r´ ealis´ ee en composite
On souhaite, pour des raisons de poids, ´etudier la possibilit´e de r´ealiser la fl`eche de cette grue dans un mat´eriau composite. Le choix se porte vers un composite 3D. Ce mat´eriau est compos´e de fibres de carbone a` haute raideur orient´ees dans 3 directions orthogonales entre elles, noy´ees dans une matrice en r´esine ´epoxy dont la raideur est plus faible. Ce mat´eriau est consid´er´e comme homog`ene ´elastique lin´eaire `a l’´echelle de la poutre. 1˚) Quelle propri´et´e doit encore v´erifier ce mat´eriau pour qu’il puisse ˆetre utilis´e pour l’´etude en RdM ? R´ eponse
Fig. 1.2: Variation de la raideur en fonction de la direction
On a cherch´e a` caract´eriser la raideur de ce mat´eriau. Pour cela on imagine qu’il est constitu´e d’une infinit´e de ressorts assembl´es dans toutes les directions. On a trac´e sur la figure 1.2 la variation de sa raideur en un point dans toutes les directions. 2˚) Justifier la forme de la figure 1.2, en particulier, le fait que trois directions perpendiculaires soient identifiables (une petite figure est la bienvenue !). R´ eponse
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1.2
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Poutre r´ ealis´ ee en acier
Bien que la solution d’une fl`eche en composite soit une solution int´eressante, elle n’est financi`erement pas viable pour ce type d’application. Le constructeur pr´ef`ere donc choisir une solution o` u la poutre est r´ealis´ee dans un alliage m´etallique. Afin de dimensionner la fl`eche, on doit d´eterminer les caract´eristiques du mat´eriau le constituant. Pour cela, on a r´ealis´e un essai de traction sur une ´eprouvette constitu´ee du mˆeme mat´eriau que la fl`eche. La figure 1.3 est le trac´e obtenu `a l’issu de cet essai et repr´esente l’´evolution de la contrainte normale σ en MPa en fonction de la d´eformation longitudinale en %.
(MPa) 600 500 400 300 200 100 0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
(%) Fig. 1.3: Courbe contrainte/d´eformation pour l’essai de traction
1˚) En indiquant dans trois couleurs diff´erentes vos constructions graphiques sur la figure 1.3 d´eterminer les valeurs num´eriques du module d’Young E, de la limite ´elastique Re et de la limite pratique d’´elasticit´e Rp0,2 = Rp . Toutes ces valeurs seront donn´ees en MPa. R´ eponse
2˚) Sachant que le mat´eriau test´e est un alliage m´etallique, donner un ordre de grandeur du coefficient de poisson ν (cette question ne n´ecessite pas d’utiliser la figure 1.3 !). R´ eponse
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3˚) Que valent la contrainte a` rupture σr et la d´eformation `a rupture r ? Ces deux derni`eres valeurs v´erifient-elles la loi de Hooke ? Justifier votre r´eponse sans r´ ealiser aucun calcul. R´ eponse
On s’int´eresse maintenant `a l’´etude de la fl`eche proprement dite. On mod´elise naturellement la fl`eche par une poutre en consid´erant que la liaison avec le corps de la grue est une articulation, et on suppose qu’`a l’autre extr´emit´e (de par la pr´esence du tirant suppos´e rigide) la poutre est en appui simple. Compte-tenu des diff´erents chariots dont on peut l’´equiper, on s’int´eresse successivement `a deux chargements possibles sur cette fl`eche. Le premier repr´esente une action li´ee a` la pr´esence du seul chariot 1, le second repr´esente des actions li´ees simultan´ement au chariot 1 (charge concentr´ee) et au chariot 2 (charge r´epartie).
1.3
Chargement li´ e` a la pr´ esence du chariot 1
Le mod`ele propos´e pour cette ´etude est celui de la figure 1.4. Comme indiqu´e sur cette figure, on suppose que l’action m´ecanique ext´erieure en A est : − −F → y T(Ext.− = → − →P outre) 0 A Cette poutre est articul´ee au point O et en appui simple au point B. Les diff´erentes longueurs sont indiqu´ees sur la figure.
4L L
3L
y F z
B
O A
x
Fig. 1.4: Mod´elisation de la poutre
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1˚) Faire l’´etude statique de la poutre et d´eterminer les actions m´ecaniques en O et B en fonction des donn´ees F et L. R´ eponse
2˚) L’´etude pr´ec´edente permet de consid´erer le mod`ele de la figure 1.5 pour l’´etude de RdM.
4L L
3L
y 3F/4 z O
F/4
F
B A
x
Fig. 1.5: Mod´elisation de la poutre avec toutes les actions ext´erieures connues
−→ − D´eterminer le torseur des efforts int´erieurs pour un point de coupure G tel que OG = x→ x et pour x ∈ [0, L] et x ∈ [L, 4L].
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R´ eponse : coupure pour x ∈ [0, L]
R´ eponse : coupure pour x ∈ [L, 4L]
3˚) Identifier la nature des sollicitations dans chaque partie de la poutre. R´ eponse
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4˚) Tracer les diagrammes de l’effort tranchant Ty et du moment fl´echissant Mf z en indiquant les valeurs remarquables. R´ eponse
Ty
O
x L
4L
Mfz
O
x L
4L
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Nom :
1.4
Pr´ enom :
Groupe :
Chargement li´ e` a la pr´ esence des deux chariots
. La fl`eche de la grue supporte maintenant les deux chariots dans la configuration de la figure 1.1. Le mod`ele propos´e pour cette ´etude est celui de la figure 1.6.
4L L
2L
L
y p
F O z
C x A
B
Fig. 1.6: Mod´elisation de la poutre
Comme indiqu´e sur cette figure, on suppose que les actions m´ecaniques ext´erieures sont : – une charge concentr´ee en A not´ee F . – une pression lin´eique constante p entre B et C, Cette poutre est articul´ee au point O et en appui simple au point C. Les diff´erentes longueurs sont indiqu´ees sur la figure. 1˚) Faire l’´etude statique de la poutre et d´eterminer les actions m´ecaniques en O et C en fonction des donn´ees p, F et L. R´ eponse
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L’´etude pr´ec´edente permet de consid´erer le mod`ele de la figure 1.7 pour l’´etude de RdM.
4L L
2L
L
y pL F 8 + 2 z
p
F O
x A
B
7pL F 8 +2 C
Fig. 1.7: Mod´elisation de la poutre avec toutes les actions ext´erieures connues
−→ − 2˚) D´eterminer le torseur des efforts int´erieurs pour un point de coupure G tel que OG = x→ x et pour x ∈ [0, 2L],x ∈ [2L, 3L] et x ∈ [3L, 4L]. Pr´eciser la nature des sollicitations dans chaque partie de la poutre.
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R´ eponse : coupure pour x ∈ [0, 2L]
R´ eponse : coupure pour x ∈ [2L, 3L]
R´ eponse : coupure pour x ∈ [3L, 4L]
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3˚) Tracer les diagrammes de l’effort tranchant Ty et du moment fl´echissant Mf z en indiquant les valeurs remarquables. R´ eponse
Ty
O
x 2L
3L
4L
Mfz
O
1.5
x 2L
3L
4L
´ Etude d’une forme particuli` ere du pied de la grue
A priori, le pied, soit la partie verticale de la grue, est de section constante, mais on va supposer ici que l’on cherche a` optimiser cette partie de la grue suppos´ee ˆetre soumise a` un chargement de compression. On choisit donc de mod´eliser le pied de la grue par une poutre dont la section varie avec l’abscisse x, comme repr´esent´e sur cette la figure 1.8. L’aire de la section a` l’origine de la poutre est not´ee S0 et l’aire de la section a` l’autre extr´emit´e de la poutre (de longueur L) est not´ee SL . L’´equation qui r´egit la forme de la section s’´ecrit sous la forme : S(x) = A + Bx2 .
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x SL
x
S(x)
L
y
Oz
y
Oz
S0
Fig. 1.8: Partie verticale de la grue `a section variable
1˚) Donner l’expression de l’aire S(x) d’une section d’abscisse x en fonction de S0 , SL , L et x. (Ceci revient a` d´eterminer les constantes A et B). R´ eponse
On n´eglige ici le poids propre de la grue. On suppose que la poutre est encastr´ee en O et soumise → − − a` son autre extr´emit´e `a un effort F = −F → x. 2˚) R´ealiser le sch´ema du probl`eme en pr´ecisant les axes.
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3˚) D´eterminer le torseur des efforts int´erieurs en tout point G d’abscisse x de la poutre. A quelle sollicitation ´el´ementaire est soumise cette poutre ? R´ eponse
4˚) A quelle type de contrainte est soumis un point de la section droite de la poutre ? Repr´esenter graphiquement les contraintes sur une section droite. R´ eponse
5˚) Donner l’expression de la contrainte en tout point d’une section droite d’abscisse x de la poutre en fonction de S0 , SL , L, x et F . R´ eponse
6˚) D´eterminer en quel point de la poutre la contrainte est maximale et donner son expression. R´ eponse
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