GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Física para todos

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Carlos Jiménez Huaranga

LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL Alrededor de 1685, Newton logró demostrar que las todos los cuerpos en el Universo se atraen entre sí gravitacionalmente. Newton descubrió que: "La fuerza de atracción entre dos cuerpos es proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa"

M1

F

g =G

MT = 9,8 m / s 2 2 RT

gx = G

d

F =G

Se sabe que la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre es:

Si la masa no varía y el radio se duplica, entonces, la ecuación sería:

M2 F

Ejemplo: ¿Qué valor tendría la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra si su radio se duplica y la masa permanece constante?

gx = M1 M 2 d2

Donde: M1 y M2: masas de los cuerpos, expresadas en kilogramos (kg). d: distancia que separa los centros de las masas, expresada en metros (m). F = Fuerza de atracción entre las masas, expresada en newton (N). G = Constante de gravitación universal G = 6,67 · 10-11 N.m2/kg2

MT MT 1 M 1 =G = ·G 2T = ·g 2 2 (2 RT ) 4R T 4 R T 4

1 2 (9,8 m / s 2 ) → g x = 2,45 m / s 4

Aceleración de la gravedad a una altura “h” de la superficie (gh):

h

gh = g

Datos: M1= 800 kg; M2= 1 000 kg; d = 2 m Usemos la ecuación: F = G Reemplazamos datos:

F = 6,67·10−11

Aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta o satélite (g): g

g =G

M: masa del planeta o satélite R: radio del planeta o satélite G: constante de gravitación universal.

M R2

R2 ( R + h) 2

R: radio del planeta o satélite h: altura respecto a la superficie g: aceleración de la gravedad en la superficie. gh: aceleración de la gravedad a una altura “h”

M1 M 2 d2

(800)(1000) 22 −6 Luego: F = 13,34·10 N

g

R

Ejemplo: Calcular la fuerza con que se atraen dos cuerpos de masas 800 kg y 1 000 kg, separadas por una distancia de 2 m

gh

Ejemplo: Calcular el valor de la aceleración de la gravedad a una altura de la superficie terrestre igual a 2 veces el radio de la Tierra. Dato: h = 2R En la ecuación:

R2 R2 R2 g gh = g =g =g = 2 2 2 ( R + h) ( R + 2 R) (3R ) 9

gh =

9,8 m / s 2 2 → g h = 9,09 m / s 9

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Carlos Jiménez Huaranga M2=5·106 kg

Aceleración de la gravedad en el interior de un planeta o satélite (gi) 300 m

500 m

400 m

R

gi = g

x

x R

M1=15·106 kg

M3=12·106 kg

La energía potencial del sistema es:

U = −G Ejemplo: Si queremos determinar la aceleración de la gravedad en el punto medio del radio terrestre, la distancia “x” es igual a “R/2”; entonces:

gi = g

R/2 1 g 9,8 m / s 2 = g· = = R 2 2 2

U = −G

M 1M 2 MM M M −G 1 3 −G 2 3 d12 d13 d 23

15·106 ·5·106 15·106 ·12·106 5·106 ·12·106 −G −G 300 400 500

U = -25·1010 G – 45·1010 G – 12·1010 G U = -82·1010 G = -82·1010 · 6,67·10-11

U = −54,7 J

g i = 4,9 m / s 2 ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL La energía potencial gravitacional (U) de dos partículas de masas M1 y M2 separadas por una distancia "d" es:

Ejemplo: Un cuerpo de masa “m” es soltado desde una altura igual al radio terrestre “R”, ¿con qué velocidad llegó el cuerpo a Tierra? A h=R

M1

M2 B R d

U = −G

M1 M 2 d

Donde: U = energía potencial gravitacional y se expresa en joules (J) M1 y M2 = masas y se expresan en kilogramos (kg) d = distancia de separación y se expresa en metros (m) Ejemplo: La energía potencial gravitacional de un sistema formado por dos masas de 106 kg cada una y separadas 10 m, es igual a:

U = −6,67·10 −11 ·

106 ·106 → U = − 6,67 J 10

Ejemplo: Si se tiene 3 masas ubicadas en los vértices del triángulo, tal como se observa en la figura. Calcular la energía potencial gravitacional del sistema mostrado.

Por conservación de energía mecánica: Em(A) = Em(B) Ec(A) + Ep(A) = Ec(B) + Ep(B) Como el cuerpo es soltado en “A”: Ec(A) = 0

−G

m M m v2 mM = −G R+h 2 R

Simplificamos “m” y reemplazamos “h=R”

−

GM GM v 2 GM = − → v= 2R 2 R R

Donde; M: masa de la Tierra. Pero, también se sabe que: g = Entonces: v =

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gR

GM R2

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Carlos Jiménez Huaranga 3ra LEY: (Ley de los periodos)

LEYES DE KEPLER 1ra LEY: (Ley de las órbitas) "Todos los planetas giran alrededor del Sol describiendo una órbita elíptica en la cual el Sol ocupa uno de los focos".

"Los cuadrados de los periodos de revolución planetarios son proporcionales a los cubos de los radios de sus órbitas."

R

T2 = cons tan te R3

Fuente: www.kalipedia.com

2da LEY: (Ley de las áreas) R: radio de la órbita T: periodo de rotación

"El radio vector posición que une un planeta con el sol describe áreas iguales en tiempos iguales".

Ejemplo: Dos satélites S1 y S2 orbitan circularmente alrededor de un mismo planeta. El primero tarda 216 horas en recorrer su órbita. El segundo tiene un periodo de 27 horas. Calcular la relación de los radios de sus órbitas R1/R2. Datos: T1 = 216 horas; T2 = 27 horas Fuente: www.kalipedia.com

Ejemplo: La trayectoria de un planeta, cuyo año consta de 240 días, encierra un área total "P". Determinar el área "S" si para ir desde "B" hasta "C" emplea 36 días. "O": Centro elíptico C S Sol

B

T 21 T 2 2 216 2 27 2 R 31 216 2 = → = → = R 31 R 32 R 31 R 32 R 32 27 2 2

2 R R 31  216   63  = =  3  = ( 23 ) 2 → 1 = 4 3   R2 R 2  27   3 

Elipse

O

Como las áreas barridas por el radio vector posición son proporcionales al tiempo que emplea en barrerlas, podemos plantear:

Área barrida tiempo de B a C = Área total tiempo total

3P S 36 días = → S= 20 P 240 días

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Carlos Jiménez Huaranga

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Dos cuerpos se atraen con una fuerza de 800 N. Si uno de ellos duplica su masa y el otro la triplica y la distancia entre ellos se cuadruplica. ¿Cuál es la nueva fuerza de atracción gravitatoria entre ellos? A) 600 N B) 150 N C) 200 N D) 300 N E) 100 N 02. Si el módulo de la fuerza de atracción del Sol sobre un planeta es igual a 4·1022 N. Si la masa del Sol se volviese 3 veces mayor y la distancia se redujera a la mitad, el módulo de la fuerza de atracción entre ellos sería: A) 120·1021 N B) 15·1022 N 22 C) 240·10 N D) 24·1012 N 20 E) 5·10 N 03. Determinar la fuerza resultante que actúa sobre la masa "2m". Considere: F =

3m

A) F D) 4F

a

2m

B) 2F E) 6F

a

Gm 2 a2

m

C) 3F

04. Dos masas M y 9M están separadas por una distancia “D”. En la línea que las une colocamos una tercera masa “m” y observamos que se mantiene en equilibrio. ¿A qué distancia de la masa “M” se encuentra “m”? A) D/2 B) D/3 C) D/4 D) D/6 E) D/9 05. Una masa "5m" se encuentra ubicada en el punto (- 4/5; 3/5) y otra masa "8m" en el punto (1; 0). Determinar la fuerza resultante que soportaría una masa "m" ubicada en el origen (0; 0) (G = constante de gravitación) A) 5 Gm2 B) 3 Gm2 C) 8 Gm2 2 2 D) 13 Gm E) 15 Gm 06. Dos cuerpos celestes esféricos de masas "4M" y "9M" y radios "R" y "2R" respectivamente se encuentran separados de tal manera que sus superficies distan "3R". Determinar la fuerza de atracción entre los cuerpos. Considere: F = A) F/2 D) 2F

GM 2 R2

B) F/3 E) 3F

C) F

07. Si la masa terrestre aumentase en un 60% y el radio se duplicara. La aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: A) Aumentaría en un 40% B) Aumentaría en un 80% C) Disminuiría en un 40% D) Disminuiría en un 60% E) Permanecería constante 08. ¿Cuál será el peso de una persona que pesa 600 N si el radio de la Tierra se duplicara y su masa se triplicara? A) 150 N B) 300 N C) 450 N D) 400 N E) 900 N 09. En la superficie de un planeta, una pelota tiene un peso de 720 N. ¿Qué peso tendría dicha pelota si la masa del planeta se duplica y su radio se hiciera el triple? A) 80 N B) 160 N C) 240 N D) 120 N E) 200 N 10. Calcular la aceleración de la gravedad en la superficie del Sol, considerando el radio del Sol cien veces el radio terrestre y la masa del Sol 250 000 veces la masa de la Tierra A) 98 m/s2 B) 196 m/s2 2 C) 245 m/s D) 490 m/s2 2 E) 980 m/s 11. La masa de la Luna es 1/80 de la masa de la Tierra y su radio 1/4 de ésta. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna? Considere: g= aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra. A) g/20 B) g/4 C) g/5 D) g/10 E) g/16 12. La masa de un planeta desconocido es el doble de la masa terrestre pero su densidad es igual al de la Tierra. Determinar la aceleración de la gravedad en la superficie de dicho planeta. g=aceleración de la gravedad en la superficie terrestre A) 2g D)

3

B) g/2

2 g E)

3

C)

2g

4 g

13. ¿Qué porcentaje de la aceleración gravedad en la superficie terrestre aceleración de la gravedad en un situado a una altura "3R/2", de superficie? (R = Radio terrestre) A) 50% B) 75% C) 32% D) 25% E) 16%

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de la es la punto dicha

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14. ¿A qué altura de la superficie terrestre, la aceleración de la gravedad se reduce al 64% con respecto al valor en la superficie? (R=Radio de la Tierra) A) R/2 B) R/4 C) R/3 D) R/5 E) R/8 15. La aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta es la octava parte de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre, si la masa del planeta es el doble de la masa de la Tierra. Determinar su radio: (R = radio terrestre) A) R B) 2 R C) 4 R D) 8 R E) 16 R 16. La masa de Júpiter es casi 300 veces mayor que la de la Tierra. Si el radio de aquel planeta fuera igual al radio terrestre, ¿cuántas veces mayor o menor que en la Tierra sería la aceleración gravitatoria en Júpiter? A) 150 veces menor B) 300 veces mayor C) 500 veces menor D) 300 veces menor E) 500 veces mayor 17. Un cuerpo pesa 320 N en la superficie terrestre. ¿Cuánto pesará a una altura igual a tres veces el radio de la Tierra? A) 80 N B) 160 N C) 20 N D) 35,5 N E) 106, 6 N

Carlos Jiménez Huaranga 21. Dos satélites de la Tierra cada una de masa "m", se mueven en órbitas circulares concéntricas con la Tierra. Si sus posiciones son 2R y 4R respecto del centro terrestre; en que relación están sus energías cinéticas A) 1/6 B) 1/2 C) 3 D) 1/4 E) 4 22. Dos satélites de masas MA y MB se encuentran en órbitas circulares de radios RA y RB alrededor de un planeta de masa M. Hallar la relación entre las energías cinéticas de A y B. Considere: MA = 2MB y RB = 1,5 RA A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 23. En la Tierra un hombre puede saltar una altura máxima "H", mientras que en un planeta salta solamente 0,5 H. Si el radio de este planeta es cuatro veces más grande que la Tierra, ¿qué relación existirá entre las densidades de este planeta y la Tierra? A) 2 B) 3 C) 4 D) 1/2 E) 1/4 24. En la figura se observa el movimiento de un planeta en torno a una estrella "E". Si se sabe que desde la posición "P", tarda el quíntuple en llegar a "A" que de "C" hasta "P", encontrar qué fracción de la superficie elíptica es la porción sombreada. B

18. Un cuerpo pesa al nivel del mar 75 N. ¿A qué altura debe elevarse para que su nuevo peso sea 3 N? Considere: R = radio terrestre A) R B) 2R C) 3R D) 4R E) 5R 19. ¿En qué relación están los valores de la aceleración de la gravedad en dos puntos, uno situado a una profundidad igual a la cuarta parte del radio terrestre y el otro a una altura igual al radio terrestre ambos respecto de la superficie de la Tierra. A) 1; 1 B) 1; 2 C) 1: 4 D) 3; 1 E) 3; 4 20. Un planeta "M" tiene 2 satélites "A" y "B" los que giran a su alrededor, describiendo órbitas aproximadamente circulares. Si el período de "B" es 160 días y el radio de la órbita de giro de "A" es la cuarta parte del radio de la órbita de "B". Hallar el período de "A" A) 10 días B) 15 días C) 20 días D) 25 días E) 30 días

E A

C P

A) 1/6 D) 3/2

D

B) 2/3 E) 5/7

C) 4/5

25. Si un planeta que gira alrededor del Sol demora 9 días en trasladarse de A hacia B, determinar el periodo de órbita.

A

5S

3S B A) 48 días D) 18 días

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B) 24 días E) 20 días

C) 15 días

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26. ¿Con qué velocidad lineal gira un satélite alrededor de la Tierra en una órbita circular de radio "4R"?

GM = 8 km / h R Donde: R = Radio terrestre; M= masa de la Tierra A) 8 km/s B) 6 km/s D) 4 km/s E) 2 km/s

C) 5 km/s

27. Un planeta tiene dos satélites que orbitan concéntricamente en trayectorias circulares respecto del planeta. Uno de ellos tiene un periodo de 27 días, el otro demora 6 días en barrer el 75% del área total encerrada por su trayectoria. Hallar la relación de sus radios vectores. A) 9/16 B) 1/4 C) 12/15 D) 2/9 E) 9/4 28. Un cuerpo de masa "m" es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad "V0". Desde la superficie de la tierra, donde su masa es "M" y su radio "R". Calcular su velocidad, cuando ha recorrido una altura igual a "R"

2GM Considere: vo = R vo 2 2 vo D) 4 A)

B)

2 vo 2

E)

2 vo

C)

vo 4

Carlos Jiménez Huaranga 29. ¿Cuál será la variación de la energía cinética de un satélite de masa "m" al cambiar de una órbita a otra alrededor de la Tierra, si las aceleraciones de la gravedad en las órbitas son: g/4 y g/9; respectivamente. M = masa de la Tierra G= constante de gravitación R= radio terrestre g= aceleración de la gravedad en la superficie terrestre A) GmM/2R B) GmM/12R C) GmM/6R D) GmM/12R E) GmM/3R 30. Un satélite se encuentra en una órbita circular alrededor de la Tierra, a una altura donde la aceleración de la gravedad es la cuarta parte de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre. Determine el periodo de traslación en la órbita del satélite ; considere: R = radio terrestre g = aceleración de la gravedad en la superficie terrestre. A) 4π

R g

B) 2π

R g

C) 4π

g 2R

D) 4π

R 2g

E) 4π

2R g

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