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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO QUESTÕES COMENTADAS PROF. JOSIMAR PADILHA
As questões abordam os seguintes temas: RACIOCÍNIO LÓGICO: 1 Estruturas lógicas. 2 Lógica de argumentação: analogias,
inferências, deduções e conclusões. 3 Lógica sentencial (ou proposicional). 3.1 Proposições simples e compostas. 3.2 Tabelas-verdade. 3.3 Equivalências. 3.4 Leis de De Morgan. 3.5 Diagramas lógicos. 4 Lógica de primeira ordem. 5 Princípios de contagem e probabilidade. 6 Operações com conjuntos. 7 Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais.
01. Julgue o item: Em uma limpeza na repartição do prédio do INSS em Brasília, um un!ion"rio re!ol#eu de uma li$eira alguns pedaços de papéis semidestruídos !om o nome de tr%s pessoas: Abreu, Abraão e Adão& Ele !onseguiu des!obrir que um deles tem '( anos de idade e é pai dos outros dois, !u)as idades são: *' e + anos& -es!obriu, ainda, que Adão era militar, Abreu era mais .el#o que Abraão, !om dierença de idade inerior a *( anos, e des!obriu também que o de + anos de idade era médi!o e o outro, proessor& /om base nessas inormações, é !orreto airmar que Abreu não tem + anos de idade e Abraão não é médi!o&
/onsiderando os símbolos l0gi!os 1 2negação3, 4 2!on)unção3, . 2dis)unção3, → 2!ondi!ional3 e as proposições )ulgue o item& Q : 2a 4 1 b3 . 21 a 4 !3 → b . ! e R: 22a 4 1 b3. 21 a 4 !33 4 21 b 4 1 !3, 02. As tabelas5.erdade de 6 e de 7 possuem !ada uma, lin#as e a proposição 7 →6 é uma tautologia& 03. /onsidere que as seguintes premissas se)am .erdadeiras: 89: Se o un!ion"rio do INSS é dedi!ado e não alta ao ser.iço, então 8edro trabal#a no INSS& 8+: Se osé não é un!ion"rio do INSS ou 8edro trabal#a no INSS, então ;aria não é uma un!ion"ria e$emplar& 8*: < un!ion"rio do INSS é dedi!ado e ;aria é uma un!ion"ria e$emplar& A partir das premissas é !orreto airmar que osé é un!ion"rio do INSS, 8edro não trabal#a no INSS e o un!ion"rio do INSS é dedi!ado&
8roposições também são deinidas por predi!ados que dependem de .ari".eis e, nesse !aso, a.aliar uma proposição !omo = ou > .ai depender do !on)unto onde essas .ari".eis assumem .alores& 8or e$emplo, a proposição ?@odos os analistas são #omens, que pode ser simbolizada por ∀( x )( A( x ) → H ( x )) , em que A2$3 representa ?$ é analista e 2$3 representa ?$ é #omem, ser" = se $ perten!er a um !on)unto de pessoas que torne a impli!ação =C !aso !ontr"rio, ser" >& 8ara e$pressar simboli!amente a proposição ?Algum analista é #omem, es!re.e5se ∃( X )( A( x ) ∧ H ( x )) & Nesse !aso, !onsiderando que $ pertença ao !on)unto de todas as pessoas do mundo, essa proposição é =& Na tabela abai$o, em que A e B simbolizam predi!ados, estão simbolizadas algumas ormas de proposições& 04. /onsiderando que (∀ x ) A( x ) e (∃ x) A( x ) são proposições, é !orreto airmar que a proposição
(∀ x ) A( x)
(∃ x) A( x ) é a.aliada !omo = em qualquer !on)unto em que $ assuma .alores&
André, un!ion"rio do INSS é ai!ionado em ra!io!ínio l0gi!o e em !erto dia realizou o seguinte desaio aos seus !olegas de trabal#o da seguinte orma: 8egou quatro !artões es!re.eu um nDmero em um lado e no outro uma letra, segundo ilustrado abai$o&
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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO QUESTÕES COMENTADAS PROF. JOSIMAR PADILHA Andre airmou: ?@odos os !artões que t%m uma .ogal numa a!e t%m um nDmero par na outra& Ele perguntou para seus !olegas: 8ara .erii!ar se tal airmação é .erdadeira quais !artões de.em ser .irados ulgue o item: 05- Seria !orreto se um dos amigos airmasse que é sui!iente .irar o primeiro e o Dltimo !artão& FABA7I@IF7A B:
=alorando as proposições simples que !ompõem a proposição 8 temos: !: a!e de uma !arta #" um nDmero par ')" no .erso #" um animal mamíero' 6 ' Neste !aso não pre!isamos .irar a !arta B, pois temos a !erteza que a proposição 8 é .erdadeira, ou se)a, segundo as .alorações a!ima temos que ela pode sempre ser" .erdadeira& >IF7A /:
=alorando as proposições simples que !ompõem a proposição 8 temos: !: a!e de uma !arta #" um nDmero par " no .erso #" um animal mamíero')" 6 ' Neste !aso não pre!isamos .irar a !arta /, pois temos a !erteza que a proposição 8 é .erdadeira, ou se)a, segundo as .alorações a!ima temos que ela sempre ser" .erdadeira& >IF7A -:
=alorando as proposições simples que !ompõem a proposição 8 temos: !: a!e de uma !arta #" um nDmero par ' no .erso #" um animal mamíero')" 6 ')" Neste !aso temos que .irar a !arta -, pois não temos a !erteza que a proposição 8 é .erdadeira, ou se)a, segundo as .alorações a!ima temos que ela pode ser .erdadeira ou alsa& 7esposta Oetra /& 07- !oli(i% 8i/il -S! - 2013 Em um reino distante, um #omem !ometeu um !rime e oi !ondenado R or!a& 8ara que a sentença osse e$e!utada, o rei mandou que !onstruíssem duas or!as e determinou que ossem denominadas de >or!a da =erdade e >or!a da ;entira& Além disso, ordenou que na #ora da e$e!ução o prisioneiro de.eria proerir uma sentença asserti.a qualquer& Se a sentença osse .erdadeira, ele de.eria ser enor!ado na >or!a da =erdade& Se, por outro lado, a sentença osse alsa, ele de.eria ser enor!ado na >or!a da ;entira& Assim, no momento da e$e!ução, oi soli!itado que o prisioneiro proerisse a sua asserção& Ao azer isso, o !arras!o i!ou !ompletamente sem saber o que azer e a e$e!ução oi !an!elada Assinale qual das alternati.as representa a asserção que o prisioneiro teria proerido& 2A3 ?Est" !#o.endo orte& 2B3 ?< !arras!o não .ai me e$e!utar& 2/3 ?A soma dos Tngulos de um triTngulo é !ento e oitenta graus& 2-3 ?-ois mais dois é igual a !in!o& 2E3 ?Serei enor!ado na >or!a da ;entira&
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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO QUESTÕES COMENTADAS PROF. JOSIMAR PADILHA 8omet$io: A Ban!a =unesp e$ige um !on#e!imento de sentenças e!#adas 2 proposições3 e sentenças abertas& ma bela questão em que o e$aminador soube apli!ar de maneira !on!reta os prin!ípios undamentais da O0gi!a 8roposi!ional& Segundo a questão e$istem duas or!as para e$e!ução do prisioneiro, no qual, se proerisse uma sentença .erdadeira, ele de.eria ser enor!ado na >or!a da =erdade, mas, por outro lado, se a sentença osse alsa, ele de.eria ser enor!ado na >or!a da ;entira& U primeira .ista temos uma interpretação que tal situação é absurda, porém quando analisamos pelo ponto de .ista l0gi!o podemos interpretar que e$istem pensamentos passí.eis de .aloração 2 = ou > 3 dentro da l0gi!a bi.alente e pensamentos !ompletos que não possuem interpretação, ou se)a, sentenças abertas& Nesse !aso, o prisioneiro ao proerir a sentença dei$ou o !arras!o !ompletamente sem saber o que azer, pois aquilo que ele ou.iu não propor!ionou a e$e!ução do prisioneiro , ou se)a , uma sentença que não !onduzia a or!a da .erdade nem a or!a da mentira , sendo dessa orma a e$e!ução !an!elada& Bem, isto se de.e ao ato que a sentença se trata.a de um pensamento !ompleto que não era nem .erdadeiro nem also, ou se)a, uma SEN@ENVA ABE7@A& Analisando as opções de.emos en!ontrar a sentença aberta que o prisioneiro proeriu propor!ionando sua absol.ição&
2A3 ?Est" !#o.endo orte: W uma proposição , pois pode ser .erdadeira ou alsa, seria e$e!utado de qualquer ormaC 2B3 ?< !arras!o não .ai me e$e!utar: W uma proposição, pois possui .aloração, no !aso alsa, seria e$e!utado na or!a da mentiraC 2/3 ?A soma dos Tngulos de um triTngulo é !ento e oitenta graus& W uma proposição, pois possui .aloração, no !aso .erdadeira, seria e$e!utado na or!a da .erdade& 2-3 ?-ois mais dois é igual a !in!o& W uma proposição, pois possui .aloração, no !aso alsa, seria e$e!utado na or!a da mentira& 2E3 ?Serei enor!ado na >or!a da ;entira& A sentença não é nem .erdadeira e nem alsa& 8ois se tentarmos .alorar !omo .erdadeira , a mesma se torna alsa, e se tentarmos .alorar !omo alsa se torna .erdadeira, ou se)a, não possui .aloração G sentença aberta& < prisioneiro proeriu a sentença que est" na letra E&
7esposta: Oetra E&
09- Em um posto de is!alização da 87>, !in!o .eí!ulos oram abordados por estarem !om alguns !ara!teres das pla!as de identii!ação !obertos por uma tinta que não permitia o re!on#e!imento, !omo ilustradas abai$o, em que as interrogações indi!am os !ara!teres ilegí.eis&
*%$.
A proposição P → Q é .erdadeira de a!ordo !om os a$iomas da l0gi!a, ou se)a, sua tabela5 .erdade& P Q P→Q = = = = > > > = = > > = Segundo o !omando da questão temos ainda o tre!#o: ?8ara .erii!ar se essa inormação est" !orreta, os poli!iais de.erão retirar a tinta das pla!as, ou se)a, !om au$ilio das pla!as .erii!aremos se a inormação é .erdadeira&
De %(o$&o (om % *l%(% %(im% %, ,ete@%, ,e$+o /%lo$%&%,: to&%, %, t$, let$%, ;o$em /og%i, → o =me$o ;o$m%&o *o$ u%t$o %lg%$i,mo,< > *%$ → ')" 6 ')" =
A primeira sentença é .erdadeira e a segunda sentença 2aberta3 não é .erdadeira nem alsa, assim operando os .alores pelo !one!ti.o !ondi!ional temos um resultado que não é nem .erdadeiro nem also, logo temo, ue $eti$%$ % tit% &% *l%(% *%$% /e$i;i(%$ ,e % ,ete@% > /e$&%&ei$%.
De %(o$&o (om % *l%(% %(im% %, ,ete@%, ,e$+o /%lo$%&%,:
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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO QUESTÕES COMENTADAS PROF. JOSIMAR PADILHA to&%, %, t$, let$%, ;o$em /og%i, → o =me$o ;o$m%&o *o$ u%t$o %lg%$i,mo,< > *%$ → ' 6' >
A primeira sentença é alsa e a segunda é .erdadeira, assim operando os .alores pelo !one!ti.o !ondi!ional temos um resultado que é .erdadeiro , logo +o > e(e,,$io $eti$%$ % tit% &o, (%$%(te$e, ileg/ei, *%$% /e$i;i(%$ ,e % ,ete@% > /e$&%&ei$%.
De %(o$&o (om % *l%(% %(im% %, ,ete@%, ,e$+o /%lo$%&%,: to&%, %, t$, let$%, ;o$em /og%i, → o =me$o ;o$m%&o *o$ u%t$o %lg%$i,mo,< > *%$ → ')" 6 ')" =P>23
A primeira sentença é aberta2 não é alsa nem .erdadeira3 e a segunda é uma sentença aberta 2 não é alsa nem .erdadeira3, assim operando os .alores pelo !one!ti.o !ondi!ional temos um resultado que é indeterminado 2 nem .erdadeiro nem also3 , logo > e(e,,$io $eti$%$ % tit% &o, (%$%(te$e, ileg/ei, *%$% /e$i;i(%$ ,e % ,ete@% > /e$&%&ei$%.
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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO QUESTÕES COMENTADAS PROF. JOSIMAR PADILHA
De %(o$&o (om % *l%(% %(im% %, ,ete@%, ,e$+o /%lo$%&%,: to&%, %, t$, let$%, ;o$em /og%i, → o =me$o ;o$m%&o *o$ u%t$o %lg%$i,mo,< > *%$ → ' 6' =P>23
A primeira sentença é aberta2 não é alsa nem .erdadeira3 e a segunda é .erdadeira, assim operando os .alores pelo !one!ti.o !ondi!ional temos um resultado é .erdadeiro independente do .alor da primeira sentença2 ante!edente3, logo +o > e(e,,$io $eti$%$ % tit% &o, (%$%(te$e, ileg/ei, *%$% /e$i;i(%$ ,e % ,ete@% > /e$&%&ei$%.
De %(o$&o (om % *l%(% %(im% %, ,ete@%, ,e$+o /%lo$%&%,: to&%, %, t$, let$%, ;o$em /og%i, → o =me$o ;o$m%&o *o$ u%t$o %lg%$i,mo,< > *%$ → " 6 ')" =P>23
A primeira sentença é aberta2 não é alsa nem .erdadeira3 e a segunda é alsa, assim operando os .alores pelo !one!ti.o !ondi!ional temos um resultado que não nem .erdadeiro nem also, logo > e(e,,$io $eti$%$ % tit% &o, (%$%(te$e, ileg/ei, *%$% /e$i;i(%$ ,e % ,ete@% > /e$&%&ei$%. RE!OSA CERA 8?. 0- Em um posto de is!alização da 87>, os .eí!ulos A, B e / oram abordados, e os seus !ondutores, 8edro, orge e ;"rio, oram autuados pelas seguintes inrações: 2i3 um deles esta.a dirigindo al!oolizadoC 2ii3 outro apresentou a /N .en!idaC 2iii3 a /N apresentada pelo ter!eiro motorista era de !ategoria inerior R e$igida para !onduzir o .eí!ulo que ele dirigia& Sabe5se que 8edro era o !ondutor do .eí!ulo /C o motorista que apresentou a /N .en!ida !onduzia o .eí!ulo BC ;"rio era quem esta.a dirigindo al!oolizado& /om relação a essa situação #ipotéti!a, )ulgue os itens que se seguem& /aso queira, use a tabela na !oluna de ras!un#o !omo au$ílio&
I& A /N do motorista do .eí!ulo A era de !ategoria inerior R e$igida& II& ;"rio não era o !ondutor do .eí!ulo A& III& orge era o !ondutor do .eí!ulo B& I=& A /N de 8edro esta.a .en!ida& =& A proposição ?Se 8edro apresentou /N .en!ida, então ;"rio é o !ondutor do .eí!ulo B é .erdadeira& Estão !ertos apenas os itens A3 I e II& B3 I e I=& /3 II e III& -3 III e =& E3 I= e =&
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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO QUESTÕES COMENTADAS PROF. JOSIMAR PADILHA A questão a!ima se trata de uma !orrelação, em que iremos asso!iar os elementos apresentados no te$to& 8ara mel#or resolução torna5se interessante !onstruir a tabela abai$o: Nomes =eí!ulos Inrações
8edro
orge
;"rio
Segundo as inormações temos: 1- S%Fe-,e ue !e&$o e$% o (o&uto$ &o /e(ulo 8< *$ee(Ge&o % (>lul%:
Nomes =eí!ulos Inrações
8edro
orge
;"rio
8
2- M$io e$% uem e,t%/% &i$igi&o %l(ooliH%&o< *$ee(Ge&o % (>lul%:
Nomes =eí!ulos Inrações
8edro
orge
;"rio
8 Al(ooliH%&o
3- O moto$i,t% ue %*$e,etou % 8NI /e(i&% (o&uHi% o /e(ulo B: Se o motorista que apresentou a /N .en!ida !onduzia o .eí!ulo B, então podemos !on!luir que não era ;"rio, pois esta.a al!oolizado, nem 8edro, pois !onduzia o .eí!ulo /& Sendo assim, o que apresentou a /N .en!ida oi orge e dirigia o .eí!ulo B & Nomes 8edro orge ;"rio 8 B =eí!ulos 8NI /e(i&% Al(ooliH%&o Inrações
4- !o&emo, (o(lui$ ue !e&$o %*$e,etou 8NI e$% &e (%tego$i% i;e$io$ eKigi&% e M$io &i$igi% o /e(ulo A.
Nomes =eí!ulos Inrações
8edro
orge B 8NI /e(i&%
8 8NI (%tego$i% i;e$io$
-e a!ordo !om a tabela preen!#ida podemos )ulgar os itens:
I& A /N do motorista do .eí!ulo A era de !ategoria inerior R e$igida& Item errado. II& ;"rio não era o !ondutor do .eí!ulo A& Item errado. III& orge era o !ondutor do .eí!ulo B& Item certo. I=& A /N de 8edro esta.a .en!ida& Item errado.
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;"rio A Al(ooliH%&o
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO QUESTÕES COMENTADAS PROF. JOSIMAR PADILHA =& A proposição ?Se 8edro apresentou /N .en!ida, então ;"rio é o !ondutor do .eí!ulo B é .erdadeira& ?8edro apresentou /N .en!ida2 >3 ;"rio é o !ondutor do .eí!ulo B2>3 K = Item certo, segundo a tabela condicional . Re,*o,t% Cet$% D.
eKto *%$% %, ue,tLe, &e 10 % 13
>i!ou pior para quem bebe < go.erno ainda espera a !onsolidação dos dados do primeiro m%s de apli!ação da Oei Se!a para a.aliar seu impa!to sobre a !assação de /Ns& As primeiras pro)eções indi!am, porém, que as apreensões subirão, no mínimo, 9(X& Antes da .ig%n!ia da Oei Se!a, eram suspensas ou !assadas, em média, apro$imadamente 9&((( /Ns por ano& Se as pre.isões esti.erem !orretas, a média anual de.e subir para pr0$imo de 9Y(&(((& A tabela a seguir mostra esses resultados nos Dltimos anos 2onte: -ENA@7AN3&
10 - 8ara que a média de /Ns suspensas ou !assadas, de +((* a +((, atin)a o .alor pre.isto de 9Y(&(((, ser" ne!ess"rio que, em +((, a quantidade de /Ns suspensas ou !assadas se)a um nDmero
A3 inerior a 9(&(((& B3 superior a 9(&((( e inerior a +((&(((& /3 superior a +((&((( e inerior a ++(&(((& -3 superior a ++(&((( e inerior a +H(&(((& E3 superior a +H(&(((&
/s& /s 9( ]
=eí!ulos (( 23 (( 23
@empo2#3
A grandezas tempo e .eí!ulos podem ser simplii!adas& 7epresentando a proporção, em que as grandezas 87>s e =eí!ulos são diretamente propor!ionais:
10
5 8 x 5 x = 80 80 x = = 16 PRFs 5 =
tem E$$%&o.
B3 A !on!ession"ria que administra uma rodo.ia aumentou o preço do ped"gio em 9X& 8orém, nos eriados, quando o tr"ego aumenta, a !on!ession"ria passou a !on!eder um des!onto de 9X no .alor do ped"gio& Nessa situação, o preço do ped"gio !obrado pela !on!ession"ria nos eriados é igual ao preço antigo, anterior ao aumento& < aumento no preço de 9X dos ped"gios pode ser representado: 9((,((2 .alor simulado3 [ 9X K 115 simultaneamente& As proposições são, requentemente, simbolizadas por letras maiDs!ulas: A, B, /, - et!& As proposições !ompostas são e$pressões !onstruídas a partir de outras proposições, usando5se símbolos l0gi!os, !omo nos !asos a seguir&
AB, lida !omo ?se A, então B, tem .alor l0gi!o > quando A or = e B or >C nos demais !asos, ser" =C
A=B, lida !omo ?A ou B, tem .alor l0gi!o > quando A e B orem >C nos demais !asos, ser" =C
AB, lida !omo ?A e B, tem .alor l0gi!o = quando A e B orem =C nos demais !asos, ser" >C
1 A é a negação de A: tem .alor l0gi!o > quando A or =, e =, quando A or >& ma sequ%n!ia de proposições A, Af, &&&, A G é uma dedução !orreta se a Dltima proposição, A G , denominada !on!lusão, é uma !onsequ%n!ia das anteriores, !onsideradas = e denominadas premissas& -uas proposições são equi.alentes quando t%m os mesmos .alores l0gi!os para todos os possí.eis .alores l0gi!os das proposições que as !ompõem& A regra da !ontradição estabele!e que, se, ao supor .erdadeira uma proposição 8, or obtido que a proposição 8 2183 é .erdadeira, então 8 não pode ser .erdadeiraC 8 tem de ser alsa&A partir dessas inormações, )ulgue os itens os itens subsequentes&
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RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO QUESTÕES COMENTADAS PROF. JOSIMAR PADILHA 20- /onsidere as proposições A, B e / a seguir&
A: Se ane é poli!ial ederal ou pro!uradora de )ustiça, então ane oi apro.ada em !on!urso pDbli!o& B: ane oi apro.ada em !on!urso pDbli!o& /: ane é poli!ial ederal ou pro!uradora de )ustiça& Nesse !aso, se A e B orem =, então / também ser" =& Comentário: /epresentando as proposiBes com seus respecti+os operadores lEgicos temos:
V/
V
Premissa A: H(ane " policial 5ederal) + ( ane " procuradora de 8ustia)J H(ane " apro+ada em concurso)J K L
V
Premissa B: H(ane 5oi apro+ada em concurso)J K L
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