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GRAFOS 1. La matriz de adyacencia del grafo G es 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 entonces,
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1
A) G es un pseu pseudog dograf rafoo B) G es es un grafo grafo com comple pleto to C) G no no es es con conex exo o Solución: Supongamos V={v 1 ,v ,v2 ,v ,v3 ,v ,v4 } } son los vértices del grafo. n los pseudografo est!n permitidas las aristas cu"os e#tremos coinciden, es decir, los la$os. n la matri$ de ad"acencia dada se o%serva o%serva &ue m11=1, un la$o en v 1 m22=1, un la$o en v 2 m33=1, un la$o en v 3 m44=1, un la$o en v 4 Se trata de un pseudografo.
iclo es un camino cerrado donde los (nicos vértices repetidos son el primero " el (ltimo uando un ciclo contiene todos los vértices del grafo se llama ciclo +amiltoniano. +amiltoniano. -uestro grafo contiene contiene siete vértices, " el camino en cuestin los recorre todos sin repetir vértice, es por tanto ciclo +amiltoniano. +amiltoniano.
%. ado el grafo de la figura
A) &s $amilt $amiltoni oniano ano B) 's eule euleri rian ano o C) 's ipa ipart rtit ito o Solución: el su%grafo de la figura siguiente contiene un ciclo +amiltoniano
2. Sea A la matriz de adyacencia de un multigrafo G con vrtices !v1, v",###,vn$ y sea a"%&% una de las entradas de A# 'ntonces, A) 'xiste un camino con tres vrtices entre v" y v%#
B) Hay tres tres aristas aristas con extre extremos mos los !rtices !rtices 2 y ". #) (ay tres vrtices adyacentes con v" y v% Solución:
en los multigrafos se define la matri$ de ad"acencia: ai'=n(mero de aristas cu"os vértices son v i " v ' , i ' aii=) *or tanto si a23=3 entonces +a" 3 aristas con vértices e#tremos v2 " v3
". Sea G un grafo con vrtices y C&*v1,v%,v",v+,v,v,v-,v1) un camino en G# A) C es un camin camino o .amilt .amiltoni oniano ano
B) # es un cicl cicloo $amilt $amiltoni oniano ano C) C no est/ ien ien defin definido ido Solución: di%u'ando el su%grafo asociado al v1 camino v" v v%
vv
v+
Vemos &ue se s e trata de un ciclo +amiltoniano.
/n grafo &ue contiene un ciclo +amiltoniano se denomina grafo +amiltoniano. -o es euleriano por&ue por&ue +a" seis vértices &ue tienen grado 3, es decir grado impar. impar. 0ecuérdese &ue si un grafo es euleriano todo vértice vé rtice tiene grado par. par. -o es %ipartito por&ue por&ue el ciclo asociado a la figura anterior es de longitud impar. impar.
'. Sea G un grafo conexo cuyos vrtices son !v 1, v", v%, v+, v$# La sucesi2n *v 1,v",v%,v,v1,) es3 A) 4n camino camino euleri euleriano ano B) 4n ciclo ciclo .amil .amilton tonian iano o
#) (inguno (inguno de de los anterior anteriores es Solución:
el su%grafo v1 asociado al camino es el de la v" figura. /n camino euleriano es un v% camino &ue contiene todas las aristas apareciendo cada una v+ v de ellas e#actamente una ve$. n nuestro caso caso desconocemos todas las aristas del grafo, no podemos asegurar &ue sea euleriano. ampoco es un ciclo c iclo +amiltoniano, puesto &ue de%e pasar por todos los vértices sin repetir repetir repetir ninguno.
. Sea 5 un mapa cuyas regiones se pueden
0 1 2 0 0 0 1 , 1 1
colorear con s2lo dos colores3
A) &l pseudomultigrafo dual es *ipartito B) 6odas las caras son pol7gonos con un n8mero par de lados# C) 9o existen tales mapas# Solución: veamos dos e'emplos de tales mapas
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0 1 1 = 8 1 1 0 1 1 1 1 0
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0 = 1
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A) A y B son isomorfos m%os mapas se pueden colorear con dos colores. ntendiendo &ue caras se refiere a regiones, el grado de las regiones internas es 3 " 4 respectivamente. Si un mapa se puede colorear con dos colores, regiones ad"acentes tendr!n asociados colores diferentes5 manteniendo la misma coloracin para las regiones &ue para las aristas asociadas por la transformacin dual, las aristas conectaran vértices &ue provienen de regiones ad"acentes " por tanto tendr!n distintos colores.
+. ado el digrafo eti:uetado
v1
Grafo A
v" Grafo B
"
1
v+
1
1
" "
" y
;Cu/l es la distancia entre x e y< B) ' C)1" A) Solución: siguiendo el algoritmo de 6i'7stra " colocando en cada vértice la distancia desde #, o%tenemos: 0 1
v"
v1
x
1
%
B) A y C son isomorfos C) B y C son isomorfos Solución: el grado de un vértice se o%tiene sumando los elementos de la fila. 9atri$ : grv1 ;=15 grv2 ;=35 grv3 ;=25 grv4 ;=2 9atri$ 8: grv1 ;=35 grv2 ;=15 grv3 ;=25 grv4 ;=2 9atri$ : grv1 ;=35 grv2 ;=35 grv3 ;=35 grv4 ;=3 -o se puede esta%lecer un isomorfismo entre " , ni entre 8 " , puesto &ue no se pueden +acer corresponder los grados de los vértices. ntre " 8 se puede esta%lecer el isomorfismo:
"
v%
v+
v%
6onde las lar sin levantar el l/piz del papel y sin diu>ar dos veces la misma arista< A)
B)
#)
" %
+
,. adas las matrices de adyacencia A, B y C de tres grafos
Solución:
para resolver este e'ercicio +a" &ue anali$ar el grado de cada vértice. *ara &ue se pueda di%u'ar en las condiciones pedidas de%e ocurrir una de: - odos los grados son pares, entonces es un grafo euleriano, es decir, admite un circuito euleriano.
- 6os " e#actamente dos vértices tienen grado impar, entonces se podr de C es igual a 1 entonces existe una arista entre el vrtice i y el > en el grafo# C) Si el grafo es conexo entonces todas las entradas de C son no nulas# Soluci2n3 ecordando la teor7a3 Si 5 es la matriz de adyacencia de un grafo, el elemento *i,>) de 5 n nos da el n8mero de caminos de longitud n con extremos vi y v ># 'xistir/ un camino entre v i y v > si la entrada *i,>) de la matriz C&5 p5 p1###5 es no nula#
'n C estar7an refle>ados todos los posiles caminos de longitudes3 1, ", %,###,p 'l grafo es conexo si y s2lo si todas las entradas de C son no nulas # 'sto nos indica :ue la respuesta C) es correcta# Eara ver :ue las otras respuestas son falsas, uscaremos e>emplos adecuados
aristas# ;Cu/l de las siguientes afirmaciones es cierta<
A) 0RB) F&1" C) F&10 Solución: aplicando el primer teorema de la teorrafo : 3,1,2,2 >rafo 8: 3,3,2,2 >rafo : 2,2,1,3 6e ser isomorfos los ser!n " .
2+. Sea G el grafo de la figura
A) G es .amiltoniano B) 9o tiene un camino simple :ue pase por todos los vrtices C) 9o es .amiltoniano Pistas: s f!cil encontrar un camino simple &ue pase por todos los vértices. Ba", por tanto, &ue decidir si es o no +amiltoniano# Supongamos &ue es +amiltoniano, entonces si eliminamos 7 vértices " sus aristas no de%en o%tenerse m!s de 7 componentes cone#as. am%ién podemos intertar %uscar eun ciclo +amiltoniano. Véase al final de este documento
entonces3 A) 's ipartito ya :ue tiene un n8mero par de vrtices B) 's .amiltoniano C) 's euleriano Solución: C M s +amiltoniano como todos los grafos completos. -o es euleriano por&ue todos seis vértices son de grado A impar;. -o esa %ipartito por&ue tiene ciclos de longitud impar 3, por e'emplo;.
2,. ;Cu/l de las siguientes afirmaciones sore los
"1. Consideremos el grafo G de la figura3
". Sea ? - el grafo completo con - vrtices,
grafos de la figura es cierta
C A
B
A) B y C tienen un camino euleriano B) A es euleriano C) A tiene un camino euleriano y B un circuito euleriano# Solución: anali$amos los grafos por separado. n +a" dos vértices de grado impar, no es grafo euleriano pero admite un camino euleriano. n 8 todos los vértices son de grado par, luego es una grafo euleriano. tiene m!s de dos vértices con grado impar, luego no es euleriano ni admite camino euleriano.
A) 'l grafo no es plano por:ue dos aristas se cortan# B) 'l grafo no es plano por:ue todo vrtice es de grado %# C) 'l grafo es plano Solución: s plano por&ue es isomorfo al mapa
2-. adas las matrices de adyacencia de los grafos A, B y C siguientes3 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 2 8 = 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 , 0 0 0 1 1 1 1 0
1
1
1
0
1
1
0
1 = 0
1
0
0
"2. Sea el grafo completo ? r *r@")# 'ntonces ? r es ipartito#
A) (o cual3uiera 3ue sea r. B) S7, para todo valor de r# C) S2lo si r es par#
Solución:
no puede ser %ipartito, cual&uiera &ue sea r, dado &ue para cuales&uiera tres vértices v ,i v ' , v7 podemos encontrar el ciclo de longitud 3: vi
vD
v >
0ecordamos el teorema: /n grafo es %ipartito si " solo si no tiene ciclos con longitud impar
"". Cu/l de estas afirmaciones es falsa3 A) 9odo grafo tiene un n:mero impar de !rtices de grado par. B) 6odo grafo tiene un n8mero par o cero de vrtices de grado impar# C) La suma de los grados de los vrtices de un grafo es par# Solución: seg(n el primer teorema la suma de todos los grados de los vértices tiene &ue ser par proviene del +ec+o de &ue cada arista se cuenta dos veces;. *or tanto, el n(mero de vértices con grado impar tiene &ue ser par. n el e'emplo:
A) 'l grafo es euleriano B) 'l grafo es % regular
#) &l grafo es $amiltoniano Solución:
Los grados de los vértices son: 3, 3, 3, 3, 3, 3, 2 luego no puede ser grafo euleriano. /n grafo es 7regular si todos los vértices tienen el mismo grado 7. videntemente +a" un vértice &ue no es de grado 3, luego no puede ser 3regular s +amiltoniano puesto &ue el camino cu"o su%grafo:
es un ciclo +amiltoniano, pues es un camino cerrado, pasa por todos los vértices " no repite ninguno.
". 'n el mapa de la figura las regiones :ue se tenemos los siguientes grados: 3,2,2,3 iene por tanto 2 vértices de grado par.
designan por i3 "
"%. Sea el grafo completo ? r *r@1)# Su matriz de adyacencia es3 A) aii&1, ai>&1 *i distinto de >) B) aii&1, ai>&0 *i distinto de >)
1
%
+
#) aii ai;1 5i distinto de ;) Solucin: anali$amos aii=1 tiene la$os " por tanto es un pseudografo ai'=) no tiene arista entre los vértices vi " v ' *or tanto, en un grafo completo - no +a" la$os aii=) - toda pare'a de vértices est!n conectados ai'=1 i ';
el grado de la regi2n " es3 A) H
B) 1 C) Solución: Se denomina gradode una regin a la longitud del camino &ue la %ordea. *oniendo nom%re a los vértices v1
"'. Sea el grafo de la figura3
v" "
1
v vH
v+
v %
+
v v%
asociar %i"ectivamente, por&ue en una +a" 2 " en el otro grafo +a" 3.
"-. Sea ? n el grafo completo con n@% vrtices, n
l camino &ue %ordea 0 2 es: v1 , v2 , v3 , v4 , v1 , vA , vM , vH , vG , vA , v1 ; luego la longitud es 1)
par3 A) es euleriano B) es ipartito
"+. Sea ? - el grafo completo con - vrtices, entonces3 A) 's ipartito ya :ue tiene un n8mero par de vrtices# B) 's .amiltoniano C) 's euleriano Solución: C M tiene M vértices, el grado de cada vértice es A, por&ue e#iste una arista por cada pare'a de vértices. Si los vértices son { v1 , v2 , v3 , v4 , vA , vM } los grados son: A, A, A, A, A, A -o puede ser euleriano, para &ue lo fuera tienen &ue ser todos los grados pares. -o es %ipartito por&ue de tres vértices se puede o%tener un ciclo de grado 3 impar;. s +amiltoniano por&ue el camino: v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,vA ,vM ,v1 ; es un ciclo +amiltoniano. v" v 1
v%
v-
v
v+
? -
",. Los dos grafos de la figura
#) es $amiltoniano Solución:
este es un e'ercicio &ue +a aparecido en varias ocasiones. n general, para cual&uier nD2 tenenmos: - C n es +amiltoniano - C n es euleriano si n es impar, no lo es si n es par. - C n no es %ipartito
%. La matriz de adyacencia del grafo G es 1 1 1 0
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0
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1
1
A) G es pseudografo B) G es un grafo completo C) G no es conexo Solución: dado &ue tiene en los elementos de la diagonal un 1, +a" la$os en cada vértice, por tanto es un pseudografo. -o es completo por&ue, por e'emplo, m14=) " por tanto no +a" arista entre v 1 " v4. s cone#o por&ue el camino v1 ,v2 ,v4 ,v3 ,v1 ; recorre todos los vértices, " dic+o camino es posi%le por&ue: m12=1 v1 v2 m24=1 v2 v4 m43=1 v4 v3 m31=1 v3 v1
%1. Sea A la matriz de adyacencia de un digrafo con A) Son isomorfos pues tienen el mismo n8mero de vrtices y de aristas# B) Son isomorfos por:ue se puede estalecer un isomorfismo entre ellos#
#) (o son isomorfos pues en uno $ay dos !rtices de grado 2 y en el otro $ay tres !rtices de grado 2. Solución:
los grados de am%os grafos son >rafo 1K: 2,3,4,2,3,4 >rafo 2K: 2,4,2,4,2,4 Si +u%iera un isomorfismo tendrercicio pospuesto3 encontrar un ciclo .amiltoniano al grafo3
(emos otenido, as7, un vrtice :ue no puede participar en el ciclo con dos aristas# Luego no puede .aer tal ciclo .amiltoniano# Jamos a suponer :ue existe para este grafo un ciclo .amiltoniano# 6engamos en cuenta lo siguiente3 - Cada vrtice participa con dos de sus aristas al ciclo - Si saemos :ue un vrtice tenemos determinadas dos de sus aristas, las dem/s no participar/n en el ciclo y las podemos eliminar a fin de otener el posile ciclo# 'n el grafo anterior se oserva :ue las cuatro es:uinas 8nicamente tienen dos aristas, luego de existir el ciclo, formar7an parte de l#
Eodemos eliminar
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