Grafos 1

 

Grafos Definición 8.1.1:  Un grafo (o grafo no dirigido)  G consiste en un conjunto V de vértices (o nodos) y un conjunto E de ejes (ejes, aristas o arcos) de tal manera que

cada eje e ! E está asociado con un par de vértices no ordenados. Si hay un eje único e asociado con los vértices v y w, escribimos e = (v, w) o e = (w, v). En este contexto, (v, w) denota un eje entre v y w en un grafo no dirigido y no es un par ordenado.

Un grafo dirigido (o dígrafo) G consiste en un conjunto V de vértices (o nodos) y un conjunto E de ejes (aristas o arcos) de manera que cada eje e ! E está asociado con un par ordenado de vértices. Si hay un eje único e asociado con el par ordenado (v, w) de vértices, escribimos e = (v, w), que denota un eje de v a w.  

Un eje e en un grafo (no dirigido o dirigido) que está asociado con el par de vértices v y w se dice que e incide en v y w, y v y w se dice que inciden en e y que son vértices adyacentes.  Si G es un grafo (no dirigido o dirigido) con vértices V y ejes E, escribimos G = (V, E).    A menos que se especifique especifique lo contrario, se supone que los conjuntos E y V son finitos y se supone que V no es vacío. 

 

La definición 8.1.1 permite que ejes distintos se asocien con el mismo par de vértices. Por ejemplo, en la Figura 8.1.5, los ejes e1 y e2 están asociados con el par de vértices {v1, v2}. Tales ejes se llaman ejes paralelos. Un eje e incidente en un solo vértice se llama un bucle o loop. Por ejemplo, en la Figura 8.1.5, el eje e3 = (v2, v2) es un bucle. Un vértice, como el vértice v4 en la Figura 8.1.5, que no incide en ningún eje se llama vértice aislado.

Un grafo sin bucles ni ejes paralelos se denomina grafo simple. Nota: Algunos autores no permiten bucles y ejes paralelos cuando definen grafos. Uno esperaría que si no se hubiera alcanzado un acuerdo sobre la definición de "grafo", la mayoría de los otros términos en la teoría de grafos tampoco tendrían definiciones estándar. Este es de hecho el caso. Al leer artículos y libros sobre grafos, es necesario verificar las definiciones que se utilizan.  Pasamos a continuación a un ejemplo que muestra cómo se puede usar un modelo grafo para analizar un problema de fabricación.  Ejemplo 8.1.5: con frecuencia en la fabricación, es necesario perforar muchos orificios en láminas de metal (consulte la Figura 8.1.6). Los componentes pueden ser atornillados a estas hojas de metal. Los orificios se pueden taladrar utilizando una taladradora bajo el control de una computadora. Para ahorrar tiempo y dinero, la taladradora debe moverse lo más rápido posible. Modela la situación como una grafo. 

Solución: los vértices de la grafo corresponden a los orificios (consulte la Figura 8.1.7). Cada par de vértices está conectado por un eje. Escribimos en cada eje el tiempo para mover la prensa taladradora entre los orificios correspondientes. Un grafo con

números en los ejes (como el grafo de la Figura 8.1.7) se denomina grafo ponderado.

 

Si el eje e está etiquetado como k, decimos que el peso del eje e es k. Por ejemplo, en la Figura 8.1.7 el peso del eje (c, e) es 5. En un grafo ponderado, la longitud de un camino es la suma de los pesos de los ejes del camino. Por ejemplo, en la Figura 8.1.7 la longitud de la ruta que comienza en a, pasa por c, y termina en b es 8.

En este problema, la longitud de una ruta que comienza en el vértice v1 y luego visita v2, v3,. . . , en este orden, y termina en vn representa el tiempo que le toma al taladro presionar para comenzar en el orificio h1 y luego pasar a h2, h3,. . . , en este orden, y terminar en hn, donde el agujero hi corresponde al vértice vi. Una ruta de longitud mínima que visita cada vértice exactamente una vez representa la ruta óptima que debe seguir el taladro.  Supongamos que en este problema se requiere que la ruta comience en el vértice a y finalice en el vértice e. Podemos encontrar la ruta de longitud mínima al enumerar todas las rutas posibles de a a e que pasan por cada vértice exactamente una vez y elegir la más corta (consulte la Tabla 8.1.1). Vemos que el camino que visita los vértices a, b, c, d, e, en este orden, tiene una longitud mínima. Por supuesto, un par diferente de vértices inicial y final puede producir un camino aún más corto. 

Enumerar todas las rutas del vértice v al vértice w, como hicimos en el Ejemplo 8.1.5, es una forma bastante lenta de encontrar una ruta de longitud mínima de v a w que visita cada vértice exactamente una vez. Desafortunadamente, nadie conoce un método que sea mucho más práctico para los grafos arbitrarios. Este problema es una versión Sección del 8.3.  problema del vendedor ambulante. Discutiremos ese problema en la

 

Ejemplo 8.1.7 Grafos de similitud Este ejemplo trata el problema de agrupar objetos "similares" en clases basadas en las propiedades de los objetos. Por ejemplo, supongamos que un algoritmo en particular se implementa en C++(lenguaje de programación) por varias personas y queremos agrupar los programas "similares" en clases basadas en ciertas propiedades de los programas (consulte la Tabla 8.1.2). Supongamos que seleccionamos como propieda propiedades des  1. El número de líneas en el programa.  2. El número de declaraciones de retorno en el programa.  3. El número de llamadas de función en el programa programa.. 

Un grafo de similitud G  se construye de la siguiente manera. Los vértices corresponden a los programas. Un vértice se denota (p1, p2, p3), donde pi es el valor de la propiedad i. Definimos una función de disimilitud como sigue. Para cada par de vértices v = (p1, p2, p3) y w = (q1, q2, q3), establecemos s (v (v,, w) = | p1 "q1 | + | p2 "q2 | + | p3 "q3 |.  Sea vi sea el vértice correspondiente al programa i, obtenemos  s (v1, v2) = 36, s (v1, v3) = 24, s (v2, v3) = 38, s (v2, v4) = 76, s (v3, v5) = 20,  s (v1, v4) = 42, s (v2, v5) = 48, s (v4, v5) = 46, s (v1, v5) = 30, s (v3, v4) = 54.  Si v y w son vértices correspondientes a dos programas, s(v, w) es una medida de cuán diferentes son los programas. Un valor grande de s(v, w) indica disimilitud, mientras que un valor pequeño indica similitud.  Para un número fijo S, insertamos un eje entre los vértices v y w si s(v, w)