Grafici Funkcije Direktne i Obrnute Proporcionalnosti

2. GRAFICI FUNKCIJE DIREKTNE I OBRNUTE PROPORCIONALNOSTI. LINEARNA FUNKCIJA 2.1. Pravougli koordinatni sistem u ravni. Koordinate tačke. Poznat nam je postupak kako se svakoj tački prave pridružuje tačno jedan realan broj pri čemu svakom realnom broju odgovara tačno jedna tačka. Takvu pravu nazivamo brojna prava ili brojna osa. Neka se u jednoj ravni nalaze dvije brojne ose koje se sijeku u tački O i koje zaklapaju pravi ugao (Sl.2.1.).

Sl.2.1. Brojne prave OB i OC nazivamo koordinatne ose !

Označimo ove ose sa Ox i Oy (Sl.2-1). Tako smo došli do pravouglog Dekartovog koordinatnog sistema u ravni. Prave Ox i Oy nazivamo koordinatne ose. Tačku O nazivamo koordinatni početak. Uzmimo proizvoljnu tačku A u ravni koordinatnog sistema, pa odredimo njene projekcije na koordinatne ose paralelno tim osama. Tako ćemo dobiti tačke B i C od kojih je B na x-osi, a C na y-osi. Tim tačkama, redom, odgovaraju realni brojevi x i y koje nazivamo koordinate tačke M u posmatranom koordinatnom sistemu i to x nazivamo njenom apscisom, a y ordinatom. Da tačka A ima koordinate x i y to označavamo ovako A(x, y). Kako je A proizvoljna tačka ravni, to svakoj tački ravni odgovaraju dva realna broja, dvije njene koordinate u odnosu na neki koordinatni sistem. I obrnuto, ako uzmemo ma koji uređen par realnih brojeva, na jedinstven način u koordinatnom sistemu možemo odrediti tačku koja odgovara tom paru brojeva. Na našoj slici tačka je A(4, 3). Vidimo da tačka A ima prvu koordinatu 4, koju nazivamo apscisa tačke A, i drugu koordinatu 3, koju nazivamo ordinata tačke A.

Rene Dekart (lat. Renatus des Cartes, fr. René Descartes) je francuski matematičar, filozof i naučnik. Svojim djelom Geometrija (La geometrie) postavio je osnove današnjoj analitičkoj geometriji kojom je povezao geometriju sa algebrom. Rođen je 31. marta 1596. godine u La Eju (La Haue, danas La Haue Descartes) u Francuskoj. Obrazovanje je stekao u Anjonu upisavši Jezuitsku školu u La Flešu (La Fleche). Tu je proveo osam godina učeći logiku, matematiku i tradicionalnu Aristotelovu filozofiju. U školi je Dekart shvatio koliko on u stvari malo zna. Jedini predmet kojim je bio zadovoljan bila je matematika. Ovo saznanje ne samo što je uticalo na njegov način razmišljanja, već i na njegov cjelokupni rad. Po završetku škole preselio se u Pariz. Diplomirao je prava 1616. godine. Živio je, radio i učio u mnogim zemljama Europe, jer je mnogo putovao. Dekart se vremenom umorio od čestih putovanja i odlučio da se skrasi. Izabrao je Holandiju. Nakon dvadesetak godina života i rada u Holandiji, pozvan je od švedske kraljice Kristine na dvor u Štokholm. Tu je proveo posljednje godine života. Umro je 11. februara 1650. godine od zapaljenja pluća, u pedeset i četvrtoj godini. Najpoznatija Dekartova djela: Geometrija (La Geometrie); Svijet (Le Monde, ou Traité de la Lumiere); Rasprava o metodi (Discours de la method pour bien conduire sa raison et chercher la verite dans les sciences); Dioptrija (La Dioptrique), Meteori (Les Meteores); Meditacije o prvoj filozofiji (Meditationes de prima philosophia, 1641)

2

Dekartov pravougli koordinatni system je ravan u kojoj se nalazi podijelio na četiri dijela. Te dijelove nazivamo kvadranti (Sl.2.2.).

Sl.2.2. U drugom kvadrantu je apscisa negativna, a u četvrtom je negativna ordinata!

2.2. Rastojanje između dvije tačke. Koordinate središta duži. Neka su date tačke A(x1, y1) i B(x2, y2) (Sl.2.3). Odredimo rastojanje ovih tačaka, odnosno odredimo dužinu duži AB. Prema Sl.2.2. zaključujemo da vrijedi: AC = A1B1 = OB1 – OA1 = x2 – x1 BC = BB1 – CB1 = y2 – y1 . Primjenom Pitagorine teoreme na trougao ABC, dobije se: AB2 = AC2 + BC2 , d = AB =

AB2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 .

3

Sl.2.3. Udaljenost tačaka A i B računamo koristeći Pitagorinu teoremu!

Primjer 1: Odrediti rastojanje tačaka A( – 2, 7) i B(4, –1). Rješenje: d = AB = =

(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 = (4 + 2)2 + (− 1 − 7 )2 = 36 + 64 = 10 .

Primjer 2: Date su koordinate vrhova trokuta ABC i to: A(– 4, –3), B(8, 2) i C(5, 6). Odrediti obim ovog trokuta. Rješenje: AB =

(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

BC =

(xC − xB )2 + ( yC − yB )2 = (5 − 8)2 + (6 − 2)2 = (xC − x A )2 + ( yC − y A )2 = (5 + 4)2 + (6 + 3)2 =

AC =

=

(8 + 4)2 + (2 + 3)2

= 144 + 25 = 13.

O = AB + BC + AC = 13 + 5 + 9 2 = 9(2 + 2 ) .

4

9 + 16 = 5 . 81 + 81 = 9 2 .

Odredimo, sada, tačku M(xM, yM) koja je središte duži AB (Sl.2.4.). Posmatrajmo date tačke A(x1, y1) i B(x2, y2) i njihovo središte M(xM, yM). Uočimo trouglove AMD i BMC. Ova dva trougla su podudarna, jer su pravougli sa jednakim oštrim uglovima i jednakim hipotenuzama. Kako je AD = xM – x1, MC = x2 – xM , DM = yM – y1, CB = y2 – yM , AM = MB, to je: Sl.2.4. Tačka M je središte duži AB !

AD = MC


xM – x1 = x2 – xM




2xM = x1 + x2




xM =

x1 + x2 2

DM = CB


yM – y1 = y2 – yM


2yM = y1 + y2




yM =

y1 + y2 . 2

Dobili smo da tačka M ima sljedeće koordinate:  x + x y + y2  M 1 2 , 1 . 2   2

Primjer: Odrediti dužine težišnica trokuta ABC ako njegovi vrhovi imaju koordinate : A(– 3, –1), B(6, –2), (7, 3). Rješenje: Odredimo, prvo, koordinate središta stranica datog trokuta. Neka je A1 središte stranice BC ( skiciraj sliku u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu!). Tada za koordinate tačke A1 vrijedi:  x + xC yB + yC   6 + 7 − 2 + 3  13 1  A1  B , ,  = A1   = A1  ,  . 2  2   2  2  2 2

Za težišnicu ta = AA1 vrijedi:

5

ta = AA1 =

(x

) ( 2

A1

− x A + y A1 − y A

2

2

)

2

2

 13  1  =  + 3  +  + 1 2  2 

2

2

2

361 9 370  13 + 6   1 + 2   19   3  =  + =  +  =   +  = 4 4 4  2   2   2  2

370 ≈ 9,62 . 2 Odredimo, na analogan način, koordinate tačke B1 koja je središte stranice AC: =

 x + xC y A + yC   − 3 + 7 −1+ 3  B1  A , ,  = B1   = B1 (2, 1) . 2  2   2  2

Za težišnicu tb = BB1 vrijedi: tb = BB1 =

=

(x

B1

− xB

) + (y 2

(− 4)2 + 32

B1

− yB

)

2

=

(2 − 6)2 + (1 + 2)2

= 16 + 9 = 25 = 5 .

3 3 Na analogan način se dobije tačka C1  , -  i treća težišnica tc = 2 2

202 ≈ 7,11 . 2

Pitanja za ponavljanje: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Kako izgleda Dekartov pravougli koordinatni sistem?Skiciraj! Koju tačku nazivamo koordinatni početak? Šta nazivamo koordinatnim osama ? Koju osu nazivamo apscisna osa? Šta je osa ordinata? Koje brojeve nazivamo koordinate tačke? Kako nazivamo koordinate tačke? Na koliko dijelova je ravan podijeljena Dekartovim pravouglim koordinatnim sistemom? Kako nazivamo te dijelove? 9. U kojem kvadrantu svaka tačka ima obje koordinate pozitivne? 10. U kojem kvadrantu su obje koordinate svake tačke negativne? 11. U kojim kvadrantima svaka tačka ima pozitivnu apscisu? 12. U kojim kvadrantima svaka tačka ima negativnu ordinatu? 13. Kako računamo udaljenost između dviju tačaka? 14. Kako određujemo koordinate središta duži čiji krajevi su dati svojim koordinatama?

6

Zadaci za vježbu i utvrđivanje: 2.1. Predstavi u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu tačke: a) A(2, 5) b) B(4, – 3) c) C(–3, 4) 2.2. Predstavi u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu tačke: a) M(–2, 5) b) N(–4, – 3) c) P(–1, 2) 2.3. Odredi apscisu date tačke: a) P(–5, 11) b) A(22, –4) c) B(–14, 8) 2.4. Odredi ordinatu date tačke: a) Q(13, 21) b) B(2, –14) c) M(10, –7) 2.5. Odredi koordinate tačaka koje su simetrične s obzirom na y–osu tačkama: a) A(–3, 6) b) N( 5, – 2) c) P(–2, –4) 2.6. Odredi koordinate tačaka koje su simetrične s obzirom na x–osu tačkama: a) A(4, –2) b) D( 1, – 5) c) E( 2, –4) 2.7. Konstruiraj (konstruiši) trokut ako su dati njegovi vrhovi: a) A(– 1, 2), B(4, –2), C(5, 3) b) A(–2, –1), B(2, 0), C(0, 4) 2.8. Konstruiraj (konstruiši) kvadrat ako su dati njegova tri vrha: a) A(– 1, 0), B(2, 0), C(2, 3) b) A(2, –2), B(5, 1), C(–1, 1) 2.9. Konstruiraj (konstruiši) pravougaonik ako su dati njegovi vrhovi: a) A(–3, –1), B(4, –1), C(4, 2), D(–3, 2) b) A(–2, 1), B(3, 1), C(3, 3), D(–2, 3) 2.10. Date su koordinate tačaka A i B. Odrediti dužinu duži AB: a) A(–3, –1), B(9, 4) b) A(3, –2), B(–3, 6) 2.11. Date su koordinate tačaka M i N. Odrediti dužinu duži MN: a) M(–3, 1), N(1, –2) b) M(–4, 8), N(12, –4) 2.12. Izračunati obim trokuta ABC ako su poznate koordinate njegovih vrhova:  15  a) A(–5, 4), B(1, –4), C(7, 4) b) A(–2, 0), B 2,  , C(2, 3)  2 2.13. Odrediti koordinate središta duži ako su date koordinate njenih krajeva: a) A(–5, –1), B(7, 5) b) A(6, –3), B(4, 9) 2.14. Izračunati dužine težišnica trokuta ABC ako su poznate koordinate vrhova: a) A(–7, 0), B(5, 4), C(–1, –4) b) A(3, 0), B(6, 7), C(8, –1)

7

2.3. Pojam funkcije sa skupa A u skup B

U školskom predmetu Matematika često pominjemo funkciju. U prethodnim razredima funkcija je više puta obrađivana. Šta moramo imati da bi govorili o jednoj funkciji? Šta je funkcija sa skupa A u skup B? Posljednje pitanje nas usmjerava prema skupovima A i B. I zaista uvijek kada govorimo o funkciji moramo imati dva skupa ( koji mogu biti i međusobno jednaki). Ako izuzmemo dva skupa, šta nam je još potrebno poznavati da bi imali funkciju? Kada su data dva skupa ( A i B) mi moramo znati kako se svakom elementu skupa A pridružuje jedan ( bolje reći tačno jedan, znači ne dva ili više ) elemenat skupa B. Kada ovo imamo mi smatramo da nam je poznata jedna funkcija sa skupa A u skup B. Posmatrajmo skupove A = {a, b, c, d} i B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} zadane njihovim Venovim dijagramima Sl.2.5.

Sl.2.5. Svakom elementu skupa A pridružen je tačno jedan elemenat skupa B !

Neka je elementu a∈A pridružen elemenat 1∈B. Ovo možemo pisati ovako:

Neka, dalje, vrijedi:

8

Navedenim pridruživanjem su određeni parovi (a, 1), (b, 2), (c, 5), (d, 4). Skupom f = {(a, 1), (b, 2), (c, 5), (d, 4)} potpuno je određeno pravilo po kome se svakom elementu iz skupa A pridružuje tačno jedan elemenat skupa B. Skupovima A i B i pravilom f potpuno je određena jedna funkcija sa skupa A u skup B. Znači, funkcija je određena sa dva skupa i jednim pravilom po kome se elementima iz prvog skupa pridružuju elementi iz drugog. Posmatranu funkciju možemo označiti ovako:

Skup A se naziva i oblast definisanosti ( ili domen) funkcije. Skup elemenata iz B koji su pridruženi elementima skupa A nazivamo oblast vrijednosti funkcije ( ili kodomen). Kodomen je podskup skupa B. U našem primjeru kodomen je skup B' = {1, 2, 4, 5}. Kako funkciju zadajemo? Poznato je da mi od prvog razreda proučavamo skupove brojeva ( od skupa N do skupa R), i zato ćemo prilikom proučavanja funkcije pod skupovima A i B podrazumijevati neki od tih skupova ili njihovih dijelova (podskupova). Pri zadavanju funkcije potrebno je naznačiti o kojim skupovima se radi i precizno odrediti pravilo pridruživanja. To možemo zadati na više načina kao što su: -

shemom ( kao na Sl.2.5.) tabelom dijagramom formulom.

Mi ćemo pravilo pridruživanja najčešće zadavati formulom. Kada su poznati skupovi A i B mi često funkciju zadajemo samo formulom. Primjer 1: Neka je data funkcija f : N → N zadana formulom f(n) = 3n+2. Koji elementi su pridruženi prirodnim brojevima 1, 3 i 7? Rješenje:

f (1) = 3⋅1 + 2 = 3 + 2 = 5 f (3) = 3⋅3 + 2 = 9 + 2 = 11

9

f (7) = 3⋅7 + 2 = 21 + 2 = 23. Odgovor: Datim brojevima su, redom, pridruženi brojevi 5, 11 i 23.

Primjer 2: U sljedećoj tabeli dati su podaci o temperaturi zraka tokom jednog zimskog dana: Sat Temperatura

7 –4

8 –1

9 0

10 3

11 5

12 8

13 12

15 14

Navedenom tabelom određena je jedna funkcija sa skupa A u B. Odrediti skupove A i B.

Rješenje: Skup A ima elemente koje pronalazimo u prvom redu tabele, a skup B se sastoji od brojeva iz drugog reda u tabeli: A = { 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15 }, B = { –4, –1, 0, 3, 5, 8, 12, 14 }.

2.4. Grafik funkcije direktne proporcionalnosti y = kx.

Posmatrajmo funkciju f : R → R y = f ( x ) = ax,

zadanu formulom (a∈R ).

Takve su slijedeće funkcije: y = x, y = 2x,

y = 5x, y = 0,5 x 1 y = – x, y = –2x, y = − x . 4 Svaka od ovih funkcija svakom elementu iz skupa R (svakom realnom broju) pridružuje tačno jedan realan broj. Tako, na primjer, funkcija zadana sa y = 2x brojevima 1, 3, 4, 5 redom, pridružuje brojeve 2, 6, 8, 10. Svaka funkcija se može predstaviti grafički u pravouglom koordinatnom sistemu. Na x–osi se predstavljaju elementi prvog skupa ( skupa A), a na y–osi predstavljaju se elementi drugog skupa ( skupa B). Predstavimo u istom koordinatnom sistemu funkcije

10

y = x, y = 2x, y = 5x, y = 0,5 x Odaberimo nekoliko vrijednosti promjenljive x (x je realan broj!) i odredimo odgovarajuće vrijednosti promjenljive y ( to su oni realni brojevi koji su pridruženi izabranim vrijednostima za x). Sve izabrane vrijednosti i njima odgovarajuće realne brojeve unesimo u slijedeću tabelu ( izabrane vrijednosti za x upisane su u prvi red tabele) : x –4 –2 0 1 2 3 4 y=x –4 –2 0 1 2 3 4 y = 2x –8 –4 0 2 4 6 8 y = 5x – 20 –10 0 5 10 15 20 y = 0,5x –2 –1 0 0,5 1 1,5 2 Sada nacrtajmo pravougli koordinatni sistem i u njega ucrtajmo tačke koje odgovaraju parovima (x, y) : x je izabrana vrijednost iz skupa realnih brojeva, a y je odgovarajući realan broj. Za funkciju y = 2x parovi su: (–4, –8), (–2, –4), (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8). Pronađimo odgovarajuće parove za svaku od preostale tri funkcije i ucrtajmo tačke u koordinatni sistem. Spajanjem odgovarajućih tačaka dobiju se grafici kao na Sl.2.6. y = 5x

y = 2x

y=

y=x

Sl.2.6. Sve prave s pozitivnim smjerom x – ose grade oštre uglove !

Šta zapažamo?

11

1 x 2

Svi grafici su prave! Svi grafici prolaze koordinatnim početkom! Svi grafici prolaze prvim i trećim kvadrantom! Sve prave s pozitivnim smijerom x – ose grade oštre uglove! Većoj vrijednosti parametra a odgovara veći nagibni ugao prave prema pozitivnom smjeru x – ose . Funkciju y = ax + b (u navedenim primjerima je b = 0) nazivamo linearna funkcija. Neka su nam, sada, date funkcije y = – x,

y = –2x,

1 y=− x. 4

Na isti način kao i u prethodnom slučaju formirajmo tabelu. x –4 –2 0 2 3 y = –x 4 2 0 –2 –3 y = –2x 8 4 0 –4 –6 1 1 1 3 y= − x – − 1 0 4 2 2 4 y = −x

4 –4 –8 –1

y = −2 x

1 y=− x 4

Sl.2.7. Sve prave s pozitivnim smjerom x – ose grade tupe uglove !

Šta možemo kazati o funkcijama čije grafike smo skicirali na prethodnoj slici?

12

Svi grafici su prave! Svi grafici prolaze koordinatnim početkom! Svi grafici prolaze drugim i četvrtim kvadrantom! Sve prave s pozitivnim smijerom x – ose grade tupe uglove! Većoj vrijednosti parametra a odgovara veći nagibni ugao prave prema pozitivnom smjeru x – ose .

2.5. Linearna funkcija y = f(x) = kx + n, gdje su k, n ∈ R. Eksplicitni i implicitni oblik Posmatrajmo sada funkciju f : R → R zadanu formulom y = f(x) = kx + n , gdje su k i n ma koji realni brojevi (k ≠ 0). Ovaj oblik zadavanja funkcije nazivamo eksplicitni oblik. Ako se funkcija zada u obliku F(x, y) = 0, tada kažemo da je zadana u implicitnom obliku.

Primjer 1: Datu funkciju y = 2x – 3 napisati u implicitnom obliku. Rješenje: Funkcija je zadana u eksplicitnom obliku. Ako sve članove koji se nalaze na desnoj strani u y = 2x – 3 premjestimo na lijevu stranu i izvršimo sređivanje, dobije se jednačina kojom je naša linearna funkcija zadana u implicitnom obliku: y = 2x – 3




y – 2x + 3 = 0




2x – y – 3 = 0.

Rezultat: Implicitni oblik date funkcije je : 2x – y – 3 = 0.

Primjer 2: Funkciju 2x – 3y + 6 = 0 transformisati u eksplicitni oblik. Rješenje: Iz datog, implicitnog, oblika funkcija se transformiše u eksplicitni na sljedeći način: 2x – 3y + 6 = 0
– 3y = – 2x – 6 /·( – 1)
3y = 2x + 6 /:3 2
y = ⋅x+2. 3 2.6. Grafik linearne funkcije y = kx + n. Geometrijsko značenje

13

parametara k i n Odaberimo, po želji, vrijednosti za parametre k i n, formirajmo odgovarajuću funkciju, napravimo tabelu i na osnovu dobijenih podataka nacrtajmo grafik funkcije! Neka je k = 2 i n = –3 . Odgovarajuća funkcija je zadana sa y = 2x – 3. Formirajmo tabelu sa izabranim vrijednostima za x ( treba ih birati tako da nam bude olakšano unošenje podataka u koordinatni sistem) i odgovarajućim vrijednostima za y:

x y = 2x–3

–2 –7

–1 –5

0 –3

1 –1

2 1

3 3

(4, 5) y = 2x − 3 (3, 3)

(2,1)

odsjecak na y − osi

{

0 (1, − 1)

3   , 0 2 

(0, − 3)

(−1, − 5) Sl.2.8. Za crtanje grafika linearne funkcije dovoljno je imati dvije tačke !

Koje osobine ima funkcija zadana sa y = 2x – 3? Grafik funkcije je prava.

14

4 5

3  Grafik funkcije siječe x – osu u tački  , 0  , a y – osu u tački (0, – 3). 2  Odsječak na y – osi između koordinatnog početka i presječne tačke sa grafikom funkcije y = 2x – 3 ima dužinu 3 i nalazi se na negativnom dijelu ose. Ovo znači da parametar n za funkciju y = kx + n ima značenje odsječka koji grafik funkcije odsijeca na y – osi.

Primjer: U istom koordinatnom sistemu nacrtati grafike funkcija a) b)

y = x, y = x + 5, y = – 2x , y = –2x + 4,

y = x – 4, y = –2x – 4,

y=x–5. y = –2x + 7 .

Posmatrajući dobijene grafike, šta zapažamo? Rješenje: Koristeći tabelu sa odabranim brojevima nacrtaćemo tražene grafike (Sl.2.7. i Sl.2.8.). x y= x y=x–5 y=x+4 y=x+5 y = – 2x Y = – 2x – 4 y = –2x + 5 y = –2x + 7

–3 –3 –8 1 2 6 2 11 13

0 0 –5 4 5 0 –4 5 7

3 3 –2 7 8 –6 – 10 –1 1

y=x

y = −2 x + 7 y= x+5

y= x−4

y = −2 x + 4 y = −2 x − 4

y = x−5

y = −2 x

Sl.2.9. Grafici svih funkcija su paralelne prave Sl.2.10. I sada su grafici paralelne prave

15

Posmatrajući prave koje smo dobili kao grafike datih funkcija u ovom primjeru, uočavamo da su svi grafici funkcija koje imaju isti koeficijent k paralelni međusobno. Tako je u prvom slučaju k = 1 i imamo tri prave koje su paralelne s pravom y = x. U drugom slučaju ( pod b)) koeficijent k = – 2, pa imamo nove četiri međusobno paralelne prave (Sl.2.9. i Sl.2.10.).

Koeficijent k određuje nagibni ugao prave (grafika linearne funkcije y = kx +n) prema x – osi.

Pitanja za ponavljanje: 1 . Kada kažemo da imamo funkciju sa skupa A u skup B? 2. Šta je domena funkcije, a šta njena kodomena? 3. Može li kodomena funkcije sa skupa A u skup B biti skup B? 4. Šta je domena funkcije y = kx + n? 5. Šta je kodomena funkcije y = kx + n? 6. Kako se može zadati funkcija? 7. Šta je linearna funkcija? 8. Šta je grafik linearne funkcije? 9. Kojom tačkom prolazi grafik funkcije y = kx za sve vrijednosti od k ? 10. Šta je grafik funkcije y = kx ako je k = 0 ? 11. Kakvo zančenje ima parametar n ? 12. Šta je grafik funkcije y = kx + n ? 13. Šta je grafik funkcije y = kx + n, ako je k = 0 ? 14 Šta određuje koeficijent k kod funkcije y = kx + n ?

Zadaci za vježbu i utvrđivanje: 2.15. Data je funkcija f: R → R, određena formulom f(x) = 5x. Odrediti: a) f(1) b) f(5) c) f(– 3) 2.16. Data je funkcija f(x) = – 4 x. Odrediti: 1 a) f   b) f(–2) c) f(– 3)  2 2.17. Data je funkcija f: R → R, određena formulom f(x) = 2x + 3. Odrediti: a) f(0) b) f(2) c) f(3) 2.18. Data je funkcija f(x) = 3x – 2 . Odrediti:

16

a) f(2)

 4 c) f  −   3

b) f(–1)

2.19. Data je funkcija f(x) = 6x – 10 . Odrediti: a) f(1) b) f(f(1))

c) f(f(–1))

2.20. Data je funkcija f: N → N, određena formulom f(n) = 3n – 2. Odrediti slike prvih 10 prirodnih brojeva. 2.21. Ako je f(x) = 5x + 1, odrediti x tako da vrijedi: a) f(x) = 11 b) f(x) = 16

c) f(x) = –9

2.22. Dopuni date tabele: a)

x 3x

2.23.a) 2.24.a) 2.25.a) 2.26.a) 2.27.a) 2.28.a)

–2

6 –3

6

15 36

b)

x x+3

–4

0 0

5 4

6

U istom pravouglom koordinatnom sistemu nacrtati grafik datih funkcija: y=x b) y = 2x c) y = 5x y=–x b) y = –2x c) y = –3x 1 4 5 b) y = x c) y = − x y= − x 2 5 4 y= x+3 b) y = x – 3 c) y = 2x + 5 y = –3x + 1 b) y = –3x – 1 c) y = –2x + 5 3 y= 3 b) y = –2 c) y = 2

2.29.a) x = 3

b) x = –5

c)

x= −

5 4

2.30. Napisati jednačinu prave koja prolazi datom tačkom A i koordinatnim početkom: a) A(2, 10) b) A(–2, –6) c) A(–3, 15) Odrediti vrijednost koeficijenta a tako da grafik funkcije zadane sa y = ax prolazi datom tačkom A: 2.31.a) A(4, 0) b) A(–1, –5) c) A(3, –12) 5 1  4 2.32.a) A(–3, 2) b) B , 5  c) C  , −  6 2  3 2.33. Ispitaj da li tačka A(–1, 2) pripada grafiku funkcije određene sa y = 3x + 5. 2.34. Ispitaj da li tačka A(2, 5) pripada grafiku funkcije određene sa y = –x + 8. 2.35. Ispitaj da li tačka A(3, 8) pripada grafiku funkcije određene sa y = 6x – 10.

17

2.36. Koja od tačaka A(2, 3), B(2, 1), C(3, 4) pripada grafiku funkcije y = 3x – 5? 2.37. Nacrtaj grafik funkcije y = – 2x + 5 i utvrdi koja od tačaka A(0, 3), B(0, 5) i C(2, 3) pripada dobijenoj pravoj. 2.38. Kolika mora biti vrijednost od y da bi tačka M(6, y) pripadala grafiku funkcije y = 2x – 1 ? 2.39. Tačka A(1, 7) pripada grafiku funkcije y = 3x + 2a. Nacrtati grafik funkcije. 2.40. Data je funkcija f(x) = x – 6m. Odrediti vrijednost parametra m tako da bude f(3) = – 9, a zatim nacrtati grafik date funkcije. 2.41. Funkcija f : R → R određena je formulom f(x) = 2x + n. Odrediti n tako da grafik funkcije prolazi datom tačkom: a) A(2, 6) b) M( –3, 5) c) C (1, – 3) 2.42. Napisati jednačinu prave koja prolazi datom tačkom A i na y–osi odsijeca dati odsječak n: a) A(1, 5), n = 3 b) A(–2, 3), n = 6 c) A(11, 10), n = –1 2.43. Napisati jednačinu prave koja prolazi datom tačkom B i na x–osi odsijeca dati odsječak m: a) B(3, –5), m = 2 b) B(–1, –2), m = –4 c) B(6, 4), m = 3 2.44. Odredi vrijednost parametra m tako da grafik funkcije zadane formulom y = (2m – 1)x + 3m – 15 prolazi koordinatnim početkom. 2.45. Formulom y = (1 – a)x + 5 zadana je linearna funkcija. Odrediti vrijednost parametra a ako se zna da tačka S(3, 2) pripada grafiku funkcije. 2.46. Odredi parametar a tako da tačka A(2, 4) pripada grafiku funkcije f(x) = 3x – a . 2.47. Izračunati površinu pravouglog trougla određenog datom pravom i koordinatnim osama: a) y = x – 3 b) y = –2x – 10 c) y = 2x – 4 d) y = –4x – 4 2.48. Odrediti obim pravouglog trougla određenog datom pravom i koordinatnim osama: 3 5 a) y = x − 3 b) y = x + 5 4 12 20 5 c) y = − x + 20 d) y = − x − 10 21 12

18

2.7.

Nule linearne funkcije x → kx + n ( R → R)

Kada funkcija y = 2x – 3 ima vrijednost nula? y=0

=> 2x – 3 = 0

=> 2x = 3

=>

x=

3 . 2

Vidimo da je vrijednost funkcije y = 2x – 3 jednaka nuli za x = ako je x =

3 . Znači, 2

3 , tada je y = 0. Ovu vrijednost za x nazivamo nula funkcije. 2

Nula funkcije je ona vrijednost promjenljive x za koju je vrijednost promjenljive y jednaka nuli.

Nula funkcije y = 2x – 3 je x =

3 . 2

Ako posmatramo Sl.2.8. uočavamo da je nula funkcije apscisa one tačke u kojoj grafik funkcije presijeca x – osu. Ovaj zaključak vrijedi u općem slučaju.

Primjer: Odrediti nulu funkcije y = 3x + 5. Rješenje: y = 0

=> 3x + 5 = 0

=> 3x = – 5

=>

5 x=− . 3

5 Nula date funkcije je x = − . 3

Odrediti nulu funkcije zadane sa y = ax + b. Nula funkcije zadane sa y = ax + b je x = −

Pitanja za ponavljanje: 1. Šta je nula funkcije?

19

b , a ≠ 0. ( Provjeri rezultat!) a

2. Koju vrijednost promjenljive x nazivamo nula funkcije y = kx + n? 3. Koliko funkcija y = kx + n ima nula? 4. Kada funkcija y = kx + n nema ni jednu nulu?

Zadaci za vježbu i utvrđivanje: Odrediti nulu date funkcije: y = 7x b) y = 12 x y = – 4x b) y = – 5x y= x+2 b) y = x – 8 y = 4x + 12 b) y = 2x – 18 2 4 11 2.53.a) y = x + 4 b) y = − x + 3 5 3 2.54.a) x + y = 3 b) 3x + 7y = 12 2.49.a) 2.50.a) 2.51.a) 2.52.a)

c) c) c) c)

y = 33 x y = – 18 x y=–x+3 y = – 8x + 32 3 5 c) y = x − 4 9 c) 5x – 4y = 15

2.55. Funkcija f : Z → Z zadana je formulom f(x) = x – 2. Odrediti nulu funkcije. 2.56. Funkcija f : R → R zadana je formulom f(x) = 2x – b. Odrediti b tako da je x = 2 nula funkcije. 2.57. Odredi vrijednost parametra m tako da funkcija y = (3m + 1)x – 7m + 8 ima nulu x = 1. 2.58. Za koju vrijednost parametra k funkcija (k – 1)x + 3y – 5 = 0 ima nulu x = 4?

2.8. Tok linearne funkcije y = kx + n

Posmatrajmo funkciju y = 2x sa skupa R u R. Uzmimo dva ma koja realna broja x1 i x2 , pretpostavimo da je x1 < x2 ( ovo znači da je x2 – x1 > 0) i odredimo njima pridružene realne brojeve y1 i y2 : y1 = 2x1

i

y2 = 2x2 .

Vrijedi: y2 – y1 = 2x2 – 2x1 = 2( x2 – x1 ) > 0 . Otuda je

Znači da vrijedi:

20

y2 – y1 > 0

=>

y2 > y1 .

x1 < x 2

=>

y1 < y2 .

Iz navedenog zaključujemo da posmatrana funkcija većem realnom broju pridružuje veći broj. Za ovakvu funkciju mi kažemo da je rastuća funkcija ili jednostavno, da raste.

Sve četiri funkcije čiji grafici su predstavljeni na Sl.2.6. su rastuće.

Posmatrajmo sada funkciju y = – 2x . Uzmimo dva ma koja realna broja x1 i x2 , pretpostavimo da je x1 < x2 ( i sada je x2 – x1 > 0) i odredimo njima pridružene realne brojeve y1 i y2 : y1 = –2x1

i

y2 = –2x2 .

Vrijedi: y2 – y1 = –2x2 – (– 2x1) = –2 ( x2 – x1 ) < 0 . Otuda je

Dakle, vrijedi:

y2 – y1 < 0

=>

y2 < y1 .

x1 < x 2

=>

y1 > y2 .

Iz navedenog zaključujemo da posmatrana funkcija većem realnom broju pridružuje manji broj. Za ovakvu funkciju mi kažemo da je opadajuća funkcija ili jednostavno, da opada. Sve funkcije čiji grafici su predstavljeni na Sl.2.7. su opadajuće.

Provjerimo kada je funkcija y = kx + n rastuća, a kada opadajuća. Uzmimo dva ma koja realna broja x1 i x2 , pretpostavimo da je x1 < x2 ( i sada je x2 – x1 > 0) i odredimo njima pridružene realne brojeve y1 i y2 : y1 = kx1 + n

i

y2 = kx2 + n.

Vrijedi: y2 – y1 = ( kx2 + n) – ( kx1 + n ) = kx2 + n – kx1 – n = = kx2 – kx1 = k ( x2 – x1) . Faktor ( x2 – x1) je po pretpostavci pozitivan broj, pa znak proizvoda k ( x2 – x1) zavisi od toga kakav znak ima broj k. Ako je k > 0, tada je i proizvod k( x2 – x1) > 0, a u slučaju da je k < 0, tada je proizvod k( x2 – x1) < 0. Otuda vrijedi:

21

x2 > x1 => y2 > y1 ako je k > 0, kada je funkcija y = kx +n rastuća . x2 > x1 => y2 < y1 ako je k < 0, kada je funkcija y = kx +n opadajuća. Funkcija y = kx + n je rastuća ako je k > 0, i opadajuća uvijek kada je k < 0. Iz navedenog vidimo da na tok funkcije ne utiče parametar n i da on zavisi jedino od znaka koeficijenta k. Kratko rečeno, vrijedi, ako je kod linearne funkcije y = kx + n koeficijent k pozitivan funkcija je rastuća, a ako je k negativno, funkcija je opadajuća. Šta možemo reći za tok linearne funkcije y = kx + n ako je k = 0?

Primjer: Odrediti grafike funkcija y = 2x + 5 i y = –2x + 5, a zatim uočiti uglove koje grafici zaklapaju s pozitivnim smijerom x – ose. Grafike datih funkcija dobijemo određivanjem njihovih tačaka ( najmanje po dvije). x y = 2x + 5 y = – 2x + 5

–2 1 9

0 5 5

a)

1 7 3

3 11 –1

b) y = 2x + 5

y = −2 x + 5

β

α

Sl.2.11. Ugao α je oštar, a ugao β je tup !

22

2 9 1

Ako je koeficijent k kod linearne funkcije y = kx + n pozitivan, onda je ugao koji grafik ove funkcije zaklapa s pozitivnim smijerom x – ose oštar, i funkcija raste. Ako je koeficijent k kod linearne funkcije y = kx + n negativan, onda je ugao koji grafik te funkcije zaklapa s pozitivnim smijerom x – ose tupi, i funkcija opada.

Primjer: Neka je data funkcija y = 2x + 6. Predstaviti datu funkciju grafički, odrediti njenu nulu i ispitati tok. Koliki su odsječci koje grafik funkcije gradi na koordinatnim osama? Rješenje: Izborom vrijednosti za x i određivanjem vrijednosti za y formirajmo tabelu: x y = 2x + 6

–5 –4

–4 –2

–3 0

–2 2

0 6

Unesimo dobijene parove brojeva u koordinatni sistem:

23

1 8

2 10

Nula funkcije je: y = 0 => 2x + 6 = 0 => 2x = – 6 => x = – 3. Kako je k = 2 > 0, to je data funkcija rastuća. Isti zaključak se može izvesti i direktno sa slike! Neposredno sa slike čitamo odsječke na koordinatnim osama: na y – osi odsječak je n = 6, a na x – osi odsječak je m = –3.

Pitanja za ponavljanje: 1. Kada kažemo da je funkcija rastuća, a kada da je opadajuća? 2 . Za kakve vrijednosti od a je funkcija y = ax + 5 rastuća? 3. Kada je funkcija y = ax – b opadajuća, a kada rastuća? 4 . Kada grafik funkcije y = kx + n s pozitivnim smijerom x – ose zaklapa oštar, a kada tup ugao?

Zadaci za vježbu i utvrđivanje: Odrediti interval u kojem data funkcija raste: 2.59.a) y = x b) y = –2x 2.60.a) y = x + 4 b) y = x – 12

c) y = 74x c) y = – 3x + 6

Odrediti interval u kojem data funkcija opada: 2.61.a) y = –3x b) y = –2x c) y = 9x 2.62.a) y = –x – 16 b) y = 7x + 4 c) y = –5x + 18 Za koje vrijednosti parametra m je data funkcija rastuća: 2.63.a) y = mx b) y = (m + 2)x c) y = (2m – 11)x 2.64.a) y = (m+3)x + 1 b) y = (m – 2)x + 3 c) y = (5 – m)x + 4 Za koje vrijednosti parametra k je data funkcija opadajuća: 2.65.a) y = kx b) y = (k + 3)x c) y = (2k – 8)x 2.66.a) y = (k–3)x – 5 b) y = (k – 2)x + k c) y = (6 – k)x + 3k 2.67. Funkcija f : R → R određena je formulom f(x) = 2ax + 5. Odrediti vrijednost parametra a tako da grafik funkcije bude prava koja je paralelna s datom pravom: a) y = 6x + 7 b) y = 8x – 10 c) y = –12x + 18 d) x + y – 3 = 0 e) 2x – y + 10 = 0 f) 3x + 2y – 1 = 0

24

2.68. Odredi vrijednost parametra a tako da grafici dviju datih funkcija budu paralelne prave: y = (a – 1)x + 15 , y = 4x + 33. 2.69. Odredi vrijednost parametra m tako da grafici datih funkcija budu paralelne prave: y = (a – 1)x + (a + 3) , y = (3a + 5)x + (a – 11) . 2.70. Odrediti jednačinu one prave koja je paralelna s pravom y = 3x + 11, i koja prolazi tačkom M(4, 9). 2.71. Funkcija y = 2x + n siječe y–osu u tački B(0, 4). Odrediti nulu i nacrtati njen grafik. U kojem intervalu data funkcija raste ?

2.9. Znak linearne funkcije y = ax + b Prilikom ispitivanja funkcije često je potrebno utvrditi da li je i kada funkcija pozitivna, a kada negativna. Drugim riječima, često je potrebno odrediti znak funkcije. Pokažimo na primjerima kako se određuje znak linearne funkcije.

Primjer 1: Odrediti znak funkcije y = 3x – 15 : Rješenje: Provjerimo, prvo, kada je data funkcija pozitivna: y > 0




3x – 15 > 0




3x > 15




x > 5.

Vidimo da je funkcija y = 3x – 15 pozitivna za sve vrijednosti promjenljive x koje su veće od broja 5. Odredimo, sada, interval u kojem je data funkcija negativna: y