Grafici Funkcija Zadaci IV Deo

1. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije

y = 3 x 2 − x3

Oblast definisanosti (domen) Ova funkcija je svuda definisana jer nema razlomaka a treći korern je svuda definisan... D f = (−∞, ∞)

Ovo nam govori da nema vertikalne asimptote. Nule funkcije

y = 0 → x 2 − x 3 = 0 → x 2 (1 − x) = 0 x = 0; x = 1 X osu grafik seče u dvema tačkama: y

2 1 -5 -4 -3 -2 -1

0 1 -1

2 3

4

5

x

Znak funkcije

Kao i uvek, najpre razmišljamo od čega zavisi znak funkcije?

y = 3 x 2 − x3 = 3 x 2 (1 − x) Samo od 1-x , pa je y

1 8

-

8

2

1

-5 -4 -3 -2 -1

1-x

0 -1

1 2 3 4

5 x

na skici je to

Parnost i neparnost

f ( − x ) = 3 ( − x ) 2 − ( − x )3 = 3 x 2 + x 3 Funkcija nije ni parna ni neparna! www.matematiranje.com

1

Ekstremne vrednosti (max i min) i monotonost ( rašćenje i opadanje)

y = 3 x 2 − x3 lakše nam je da tražimo izvod ako funkciju posmatramo kao 1

y = ( x 2 − x3 ) 3 1 −1 1 y`= ( x 2 − x3 ) 3 ⋅ ( x 2 − x3 )` 3 2 − 1 2 3 3 y`= ( x − x ) ⋅ (2 x − 3 x 2 ) 3 1 2 x − 3x 2 y`= 3 3 ( x 2 − x3 )2

y`= 0 → 2 x − 3x 2 = 0 → x(2 − 3x) = 0 → x = 0 ∨ x =

2 3

Za x = 0 y = 3 0−0 = 0

Za x =

2 3

3 2 2 4 8 4 4 y = 3 ( ) 2 − ( )3 = 3 − =3 = 3 3 9 27 27 3 Dakle :

2 34 , ) 3 3

M 1 (0, 0); M 2 ( y 7 6 5 4 3 2 -5 -4 -3 -2 -1

1

M (0, 0)

M (

2 3

,

4 3

)

0 1 2 -1

3

4

5

x

-2 -3

Od čega nam zavisi znak prvog izvoda ?

-

0

2 3

8

x(2-3x) 8

Pa samo od izraza u brojiocu!

x 2-3x y` www.matematiranje.com

2

Prevojne tačke i konveksnost i konkavnost

y = 3 x 2 − x3 2 − 1 2 3 3 y`= ( x − x ) ⋅ (2 x − 3 x 2 ) radimo kao izvod proizvoda 3 2 2 − − 1 y``= [(( x 2 − x 3 ) 3 )`(2 ⋅ x − 3 x 2 ) + ( x 2 − x3 ) 3 ⋅ (2 x − 3 x 2 )`] 3 5 2 − − 1 2 2 3 3 2 2 2 3 3 y``= [− ( x − x ) ⋅ (2 x − 3 x ) ⋅ (2 x − 3 x ) + ( x − x ) ⋅ (2 − 6 x)] 3 3 Posle pažljivog sredjivanja dobijamo da je 1 −2 y``= 3 3 x 2 (1 − x) 4

Odavde možemo zaključiti da nema prevojnih tačaka i da je uvek y`` 0 A ovo je očigledno tačno za svako realno x , pa je D f = (−∞, ∞) A odavde zaključujemo da funkcija nema vertikalne asimptote. Nule funkcije

y=0 za x-2 = 0 , to jest x = 2 y

2 1 -5 -4 -3 -2 -1

0 1 -1

2 3

4

5

x

Znak funkcije

y=

x−2 x2 + 2

Kako je izraz u imeniocu uvek pozitivan, zaključujemo da znak zavisi samo od brojioca...

2

2

8

-

8

y

-5 -4 -3 -2 -1

x-2

1 0

-1

1

2 3

4

5

x

Parnost i neparnost

f ( − x) =

−x − 2 (− x) + 2 2

=

−x − 2 x2 + 2

≠ f ( x)

Funkcija nije ni parna ni neparna. www.matematiranje.com

5

Ekstremne vrednosti (max i min) i monotonost ( rašćenje i opadanje)

x−2

y= y`=

x2 + 2 ⋅ x − 2) ( x − 2)`⋅ x 2 + 2 − ( x 2 + 2)`( ( x + 2) 1 2

1⋅ x 2 + 2 − y`= 1⋅ x 2 + 2 −

2

2 x2 + 2 x2 + 2

y`=

x 2 + 2 mora kao složena funkcija...

⋅ ( x 2 + 2)`( ⋅ x − 2)

2 x +2 x2 + 2 1 2

pazi ,

⋅ 2 x ⋅ ( x − 2)

( x 2 + 2) 2 − x( x − 2) x2 + 2 x2 + 2 x2 + 2 − x2 + 2 x

y`= y`= y`= y`=

( x 2 + 2) x 2 + 2 2 + 2x ( x 2 + 2) x 2 + 2 2( x + 1)

ili ako odmah pripremimo za drugi izvod y`=

( x 2 + 2) x 2 + 2

2( x + 1) ( x + 2) 2

3 2

y`=0 za x+1 = 0 , to jest x = -1 Za x = -1 y=

−1 − 2 −3 −3 3 = = ⋅ =− 3 1+ 2 3 3 3

M (−1, − 3) y 7 6 5 4 3

-5 -4 -3 -2 -1

M (− 1, −

2 1 0 1 2 -1 -2 3) -3

3

4

5

x

-1

8

-

8

Znak prvog izvoda zavisi samo od izraza u brojiocu , pa je : 2x+2 y`

tačka M minimum funkcije. www.matematiranje.com

6

Prevojne tačke i konveksnost i konkavnost y= y`=

x−2 x2 + 2 2( x + 1) ( x + 2) 2

y``= 2

3 2 3 2

3 2

( x + 1)`( ⋅ x + 2) − (( x + 2) )`( x + 1) 2

2

3 2 2

(( x + 2) ) 2

3 2

3

−1 3 1 ⋅ ( x + 2) − ( x 2 + 2) 2 ( x 2 + 2)`( ⋅ x + 1) 2 y``= 2 ( x 2 + 2)3 2

3

( x 2 + 2) 2 − y``= 2

1

3 2 ( x + 2) 2 ⋅ 2 x ⋅ ( x + 1) 2 ( x 2 + 2)3

3

1

( x 2 + 2) 2 − 3( x 2 + 2) 2 ⋅ x ⋅ ( x + 1) y``= 2 ( x 2 + 2)3

1

izvučemo zajednički ( x 2 + 2) 2 u brojiocu

1

y``= 2 y``= 2

( x 2 + 2) 2 [ x 2 + 2 − 3 x ⋅ ( x + 1)] ( x 2 + 2) 3 x 2 + 2 − 3x 2 − 3x ( x + 2) 2

y``= 2

5 2

−2 x 2 − 3 x + 2 ( x + 2) 2

5 2

y``= 0 −2 x 2 − 3 x + 2 = 0 → x1,2 = Za x1 = −2 → y1 =

1 −b ± b 2 − 4ac → x1 = −2 ∧ x2 = 2a 2

−4 6

1 → y1 = −1 2 Imamo dve prevojne tačke: −4 P1 (−2, ) 6 1 P2 ( , −1) 2 Za x2 =

www.matematiranje.com

7

y 7 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1

4 P (−2, − ) 6

-2 -3

1 2 3 1 P ( , −1) 2

4

5

x

Znak drugog izvoda opet zavisi samo od izraza u brojiocu −2 x 2 − 3 x + 2 . Upotrebićemo da kvadratni trinom ima znak broja a = -2 svuda osim izmedju nula! -

-

+ 1 2

-2

Asimptote funkcije ( ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti)

Vertikalna asimptota ne postoji. Horizontalna asimptota lim

x−2

x−2

= lim

= lim

x−2

x →±∞ 2 2 x (1 + 2 ) x (1 + 2 ) x x moramo odvojiti limese za + i za – beskonačno!

x →±∞

x2 + 2

x →±∞

PAZI ! Pošto smo dole dobili apsolutnu vrednost,

2

x−2 =1 x →+∞ 2 x (1 + 2 ) x x−2 lim = -1 x →−∞ 2 − x (1 + 2 ) x KАД X TEŽI + BESKONAČNO HORIZONTALNA ASIMPTOTA JE y = 1 lim

KАД X TEŽI - BESKONAČNO HORIZONTALNA ASIMPTOTA JE y = -1 Na slici bi to izgledalo ovako: y

1.

y=-1

.-1

y=1 x

Kose asimptote naravno nema, jer postoji horizontalna! www.matematiranje.com

8

Konačan grafik je :

y 7 6 5

4 3 2 -5

-4 -3

-2

y=1

1 -1 0 1

y=-1

-1 P1

M

2

3

4

5

x

P2

-2 -3

-1

-2

1 2

www.matematiranje.com

9

10