Gráficas de Las Funciones Trigonométricas Periodo III

CENTRO PILOTO SIMÓN BOLÍVAR “Educando y Ampliando Horizontes” Gráficas de las funciones trigonométricas Matemáticas Grado 10° No. de guía:

Fecha de entrega: Octubre 9/2021

Código: PGF-03-RO1 Versión: 3.0 Docente: Nelson Javier Rueda R. Fecha de elaboración: 29/09/2021 Periodo III

Grupos:10-1,10-2,10-3 Sesiones:

Horas:

Estudiante:

DERECHO BÁSICO DE APRENDIZAJE Comprende y utiliza funciones para modelar fenómenos periódicos y justifica las soluciones. CRITERIOS DE EVALUACIÓN Realiza las gráficas de las funciones trigonométricas Seno, Coseno y Tangente VALOR Responsabilidad CONTEXTUALIZACIÓN Hasta ahora hemos hablado por separado de funciones, como la función lineal y la función cuadrática, y de los conceptos de Seno y Coseno para la solución de triángulos tanto rectángulos como oblicuángulos. Sin embargo, Seno, Coseno y las demás razones trigonométricas también se corresponden con funciones que tienen la característica de ser funciones periódicas. Se dice que una función es periódica cuando sus imágenes se repiten exactamente en el mismo orden en ciertos intervalos del dominio de la función. PROFUNDIZACIÓN GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Como se mencionó en la contextualización, las funciones trigonométricas son funciones periódicas, de tal manera que sus imágenes se repiten en determinados intervalos. Para poder observar esta condición vamos a representar dichas funciones de manera gráfica. Para ello vamos a realizar primero tablas de valores que correspondan a cada una de las funciones. Hasta ahora las tablas de valores que hemos realizado han tenido solo unos cuantos valores para la variable 𝑥 y dichas tablas solo han constado de dos filas (una para la variable 𝑥 y otra para la variable 𝑦), estas a diferencia constarán de los valores de los ángulos notables (una lista que se proporcionará más adelante) y de tres filas, dos para 𝑥 y una para 𝑦. El objetivo de incluir una fila adicional es colocar la equivalencia entre grados y radianes (equivalencias que ya se trabajaron en una guía anterior). Las tablas de valores por lo tanto lucirán así: 𝑥 (𝑒𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠) 𝑥 (𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠) 𝑦 (𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎) En la primera de las filas colocaremos los valores de los ángulos notables en grados (0, 30, 45, 60, 90) y los valores equivalentes a estos en cada uno de los cuadrantes (es decir a 90° le sumaremos 0, luego 30, luego 45 y así sucesivamente. Después hacemos lo mismo con 180° y luego con 270°). Así obtenemos lo siguiente: 𝑥 (𝑒𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠) 𝑥 (𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠) 𝑦 (𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛)

0

30

45

60

90

120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360

En la segunda de las filas colocaremos los valores equivalentes en radianes, de los ángulos notables colocados en la primera fila (recordemos que el periodo pasado se realizó la conversión de ángulos en grados a radianes). Se obtiene la siguiente tabla: 𝑥 (𝑒𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠) 𝑥 (𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠)

0 0

30 𝜋 6

45 𝜋 4

60 𝜋 3

90 𝜋 2

120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360 2𝜋 3𝜋 5𝜋 𝜋 7𝜋 5𝜋 4𝜋 3𝜋 5𝜋 7𝜋 11𝜋 2𝜋 3 6 3 4 6 4 2 6 4 3

𝑦 (𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛) Finalmente, en la última de las filas colocaremos los valores obtenidos mediante la calculadora de la función que vamos a hallar, iniciaremos con el cálculo de los valores para la función Seno: Tabla de valores para la función Seno: 𝑥 (𝑒𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠) 0 30 45 60 90 120 135 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 2𝜋 3𝜋 𝑥 (𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠) 0 6 3 4 2 3 4 0,707 0,866 𝑦 (𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛) 0 0,5 1 0,866 0,707

150 180 210 225 240 5𝜋 𝜋 7𝜋 5𝜋 4𝜋 6 3 6 4 0,5 0 −0,5 − −

0,707 0,866

270 300 315 330 360 3𝜋 5𝜋 7𝜋 11𝜋 2𝜋 4 6 2 3 − −0,5 0 −1 − 0,866 0,707

Nota: Los valores que hemos colocado en la tabla se han tomado con máximo 3 decimales Como podemos observar los valores encontrados están repetidos, tal y como habíamos mencionado, al decir que la función era periódica. También se puede observar que los valores obtenidos a partir del ángulo de 180° son negativos, pero tienen los mismos valores. A partir de la tabla vamos a realizar la gráfica de la función Seno, para ello ubicamos los valores correspondientes a los ángulos en radianes (segunda fila de la tabla) en el eje 𝑥 del plano cartesiano, mientras en el eje 𝑦 debemos ubicar los valores obtenidos para la función Seno (tercera fila de la tabla de valores).

Recomendación: Para realizar las gráficas en papel milimetrado se puede tomar en el eje 𝒙 un cuadro para cada 15 grados, es decir que en total se utilizarán 24 cuadros desde el 0 hasta el 𝟐𝝅. Mientras que para el eje 𝒚 utilizar 10 cuadros desde el 0 hasta el 1 y 10 cuadros desde el 0 hasta el -1, de tal forma que el 𝟎. 𝟓 quedará ubicado en el cuadro 5, mientras que el 𝟎. 𝟕𝟎𝟕 quedará ubicado en el cuadro 7, más 1 milímetro.

Gráficas de las funciones trigonométricas- Matemáticas 10° – Periodo II

Una vez ubicadas las divisiones en los ejes, se ubican los puntos correspondientes que relacionen la coordenada de 𝑥 en radianes, con la coordenada de 𝑦 correspondiente al Seno del grado:

Luego unimos los puntos para realizar la curva:

Realizaremos ahora la gráfica de la función Coseno, siguiendo los mismos pasos que utilizamos para graficar la función Seno: Tabla de valores para la función Coseno: Gráficas de las funciones trigonométricas- Matemáticas 10° – Periodo II

Las dos primeras filas son iguales a las de la función Seno, la tercera corresponde a calcular el valor de Coseno (con calculadora) para cada uno de los ángulos: 𝑥 (𝑒𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠) 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 2𝜋 3𝜋 5𝜋 𝜋 7𝜋 5𝜋 4𝜋 3𝜋 5𝜋 7𝜋 11𝜋 2𝜋 𝑥 (𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠) 0 6 3 4 2 3 6 3 4 6 4 2 6 4 3 0,866 0,707 −0,5 − − − −0,5 0,707 0,866 𝑦 (𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛) 1 0,5 0 − −1 0 0,5 1 0,707 0,866

0,866 0,707

Realizamos la misma división en el plano cartesiano que para la función Seno y marcamos los puntos:

Luego unimos los puntos para realizar la curva:

Finalmente realizaremos la gráfica de la función Tangente: Gráficas de las funciones trigonométricas- Matemáticas 10° – Periodo II

Tabla de valores para la función Tangente: Las dos primeras filas son iguales a las de la función Seno, la tercera corresponde a calcular el valor de Tangente (con calculadora) para cada uno de los ángulos: 𝑥 (𝑒𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠) 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 2𝜋 3𝜋 5𝜋 𝜋 7𝜋 5𝜋 4𝜋 3𝜋 5𝜋 7𝜋 11𝜋 2𝜋 𝑥 (𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠) 0 6 3 4 2 3 6 3 4 6 4 2 6 4 3 − − 𝑦 (𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛) 0 0,577 1 1,732 −1 − 0 0,577 1 1,732 −1 − 0 1,732

0,577

1,732

0,577

En este caso para los valores de 90° y 270° la calculadora nos indica que existe una indeterminación, esto se debe a que la función Tangente no está definida para estos valores, de tal manera que en la gráfica aparecerá una asíntota (Una línea a la que la función se acerca pero no la toca). Y para los valores del eje 𝑦 debemos dar los valores de 0,577 y 1,732 (también esos mismos valores pero negativos) Recomendación: Para la gráfica en hoja milimetrada de esta función en el eje 𝑦 se utiliza una escala de 2 cuadros, es decir que 2 cuadros equivalen al número 1, luego dejamos 2 cuadros para ubicar el número 2 y así sucesivamente. De igual manera lo hacemos en la parte negativa del eje 𝑦. Como medida auxiliar para realizar la curva, podemos hallar otros puntos (se recomiendan tan(15), tan(75), tan(105), tan(255) y tan(285)) y con la ubicación de estos puntos se visualiza un poco mejor el tipo de gráfica que se va a trazar. Ubicamos los puntos hallados en el plano cartesiano y de igual manera trazamos las asíntotas (las líneas que aparecen en color rojo, estas líneas pueden ser trazadas también en línea entrecortada):

Luego trazamos las curvas, uniendo los puntos obtenidos y teniendo en cuenta que las asíntotas son líneas que la función no toca:

Gráficas de las funciones trigonométricas- Matemáticas 10° – Periodo II

Actividad Realizar en hojas milimetradas las gráficas de las funciones trigonométricas Seno, Coseno y Tangente; en el intervalo entre 0 y 2𝜋. Cada una de las gráficas realizadas equivale a una nota procedimental. Webgrafía Si aun tienes dudas respecto al tema puedes consultar en los siguientes enlaces: https://www.youtube.com/watch?v=n6857q5hM5E https://www.youtube.com/watch?v=nssmxLMdzXE https://www.youtube.com/watch?v=6ueY7cpfaRg https://www.youtube.com/watch?v=BKHd-DrEuyI https://www.youtube.com/watch?v=5YjtKzisda4

AUTOEVALUACIÓN Contesta a cada uno de los ítems siguientes marcando si o no:

SI

NO

¿Tomé el tiempo necesario para desarrollar la guía de manera consciente y responsable? ¿Realicé todos los puntos de la actividad? ¿Me ayudé con el material trabajado durante el periodo? En el desarrollo de la guía cuando tuve dudas, ¿utilicé alguna ayuda o los links sugeridos para responderlas? Asigna una calificación numérica de acuerdo a lo contestado en la autoevaluación

Gráficas de las funciones trigonométricas- Matemáticas 10° – Periodo II