Grado de Libertad

Grado de libertad (ingeniería) Saltar a: navegación, búsqueda Para otros usos de este término, véase Grados de libertad. El número de grados de libertad en ingeniería se refiere al número mínimo de parámetros que necesitamos especificar para determinar completamente la velocidad de un mecanismo o el número de reacciones de una estructura.

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1 Grados de libertad en mecanismos o 1.1 Definición o 1.2 Grados de libertad en mecanismos planos 2 Grados de libertad en estructuras 3 Véase también

Grados de libertad en mecanismos Un cuerpo aislado puede desplazarse libremente en un movimiento que se puede descomponer en 3 rotaciones y 3 traslaciones geométricas independientes (traslaciones y rotaciones respecto de ejes fijos en las 3 direcciones de una base referida a nuestro espacio de tres dimensiones). Para un cuerpo unido mecánicamente a otros cuerpos (mediante pares cinemáticos), algunos de estos movimientos elementales desaparecen. Se conocen como grados de libertad los movimientos independientes que permanecen.

Definición Más concretamente, los grados de libertad son el número mínimo de velocidades generalizadas independientes necesarias para definir el estado cinemático de un mecanismo o sistema mecánico. El número de grados de libertad coincide con el número de ecuaciones necesarias para describir el movimiento. En caso de ser un sistema holónomo, coinciden los grados de libertad con las coordenadas independientes. En mecánica clásica y lagrangiana, la dimensión d del espacio de configuración es igual a dos veces el número de grados de libertad GL, d = 2·GL.

Grados de libertad en mecanismos planos Para un mecanismo plano cuyo movimiento tiene lugar sólo en dos dimensiones, el número de grados de libertad del mismo se pueden calcular mediante el criterio de Grübler-Kutzbach:

donde: , movilidad. , número de elementos (eslabones, barras, piezas, etc.) de un mecanismo. , número de uniones de 1 grado de libertad.

, número de uniones de 2 grados de libertad. Importante: esta fórmula es válida sólo en el caso de que no existan enlaces redundantes, es decir enlaces que aparecen físicamente en el mecanismo pero no son necesarios para el movimiento de éste. Para poder emplear el criterio, debemos eliminar los enlaces redundantes y calcular entonces los grados de libertad del mecanismo. Todas las partes fijas (uniones al suelo) se engloban como el primer elemento. Aunque el grado de libertad de algunas uniones es fácil de visualizar, en otras ocasiones se pueden cambiar por sistemas equivalentes.

Grados de libertad en estructuras Podemos extender la definición de grados de libertad a sistemas mecánicos que no tienen capacidad de moverse, llamados estructuras fijas. En el caso particular de estructuras de barras en d dimensiones, si n es el número de barras y existen m restricciones (uniones entre barras o apoyos) que eliminan cada una ri grados de libertad de movimiento; definimos el número de grados de libertad aparentes como:

GL: Grados de libertad del mecanismo. n: Número de elementos de barras de la estructura. ri: Número de grados de libertad eliminados por la restricción

.

En función de la anterior suma algebraica podemos hacer una clasificación de los sistemas mecánicos formados a base de barras:   

Estructuras hiperestáticas, cuando GL < 0. Estructuras isostáticas, cuando GL = 0. Mecanismos, cuando GL > 0.

Grado de libertad (física) Saltar a: navegación, búsqueda Para otros usos de este término, véase Grado de libertad. El número de grados de libertad en un sistema físico se refiere al número mínimo de números reales que es necesario especificar para determinar completamente el estado físico. El concepto aparece en mecánica clásica y en termodinámica. En mecánica, por cada partícula libre del sistema y por cada dirección en la que ésta es capaz de moverse existen dos grados de libertad, uno relacionado con la posición y el otro con la velocidad. El número de grados de libertad de un sistema cuando existen ligaduras entre las partículas, será el número total de variables, menos el número de ligaduras que las relacionan. Obsérvese que esta definición no coincide ni con la definición de grados de libertad que se usa en ingeniería de máquinas, ni con la que se usa en ingeniería estructural.

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1 Grados de libertad en mecánica clásica o 1.1 Ejemplos 2 Grados de libertad en mecánica estadística o 2.1 Teorema de equipartición de la energía 3 Véase también

Grados de libertad en mecánica clásica En mecánica hamiltoniana el número de grados de libertad de un sistema coincide con la dimensión topológica del espacio de fases del sistema. En mecánica lagrangiana el número de grados de libertad coincide la dimensión del fibrado tangente del espacio de configuración del sistema. Un conjunto de N partículas intereactuantes pero moviéndose sin restricciones en el espacio tridimensional tiene 6N grados de libertad (tres coordenadas de posición y tres velocidades). Si el conjunto de partículas se mueve sobre un estado d-dimensional el número de grados de libertad es 2d·N. Si existen ligaduras entre las partículas el número de grados de libertad será

Ejemplos 

Partícula libre

Una sola partícula libre tiene 6 grados de libertad 

Partícula obligada a moverse sobre una superficie

La superficie supone una ligadura para las posiciones, ya que debe cumplirse

y otra para las velocidades, ya que la velocidad debe ser en todo momento tangente a la superficie, por lo que

por tanto el número de grados de libertad es

valor que coincide con lo que se espera para un movimiento en una variedad bidimensional.

Ejemplo: Diferentes formas de visualizar los 3 grados de libertad de una molécula diatómica en forma de pesa. (CM: centro de masas del sistema, T: movimiento traslacional, R: movimiento rotacional, V: movimiento vibracional.) 

Dos partículas en los extremos de una varilla

Por tener dos partículas tenemos 12 grados de libertad, pero la condición de que la distancia entre las partículas sea fijada supone una ligadura para sus posiciones y otra para sus velocidades, lo que nos da

Estos grados de libertad se pueden representar por variables diferentes (las tres coordenadas del centro de la varilla y los dos ángulos que dan la orientación de ésta, con sus correspondientes velocidades). 

Un sólido rígido

Un sólido formado por  o o o o

partículas posee en principio

variables. Pero el número de ligaduras es:

Para la primera partícula, ninguna Para la segunda partícula, 2 (la distancia a la primera y su velocidad, como en el caso de dos partículas unidas por una varilla) Para la tercera partícula, 4 (las distancias a las dos primeras partículas y sus correspondientes velocidades) Para la cuarta y siguientes, 6, ya que una vez dada la distancia a tres partículas, la distancia a todas las demás está también fijada).

Por tanto el número de grados de libertad es

que se pueden representar por seis variables (la posición del centro de masa y los ángulos de Euler) y sus correspondientes velocidades. En general, no todas las ligaduras pueden representarse mediante una reducción en el número de variables (aunque sí en el número de variables independientes). Cuando tenemos un sistema en el cual las ligaduras no son integrables, se dice que el sistema es no holónomo. Es importante señalar que la convención para contabilizar los grados de libertad en ingeniería mecánica es diferente, siendo justamente la mitad que en los casos (1) y (2).

Grados de libertad en mecánica estadística Teorema de equipartición de la energía Artículo principal: Teorema de equipartición.

En el límite clásico de la mecánica estadística la energía de un sistema en equilibrio térmico con n grados de libertad cuadráticos e independientes es:

Donde: es la constante de Boltzmann es la temperatura es el número de grados de libertad del sistema