Grado Absoluto, Relativo - 1

 

ÁLGEBRA  1ro. Secundaria –

POLINOMIOS Observación: Dos

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

o más términos se pueden sumar o restar sólo si son semejantes, para lo cual se suman o restan los coeficientes y se escribe la misma parte literal. Ejemplo: Reduce: 2 2 2 2 E = 4x y –  – 6xy  6xy   – 8x – 8x y + xy   – 5 – 5 –  – 2  2 2 2 E = 4x y –  – 5xy  5xy   – 7 – 7

Es una combinación de constantes y variables en cantidades finitas, relacionadas por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación,, división, potenciación y radicación, sin variables en multiplicación los exponentes. Ejemplo: 3 4 -5 4 xyz ; x y   ; x  + x +   2 2

3. POLINOMIO: Es una expresión algebraica finita de la forma: 2 3 n a0 + a1x + a2x  + a3x  + . . . + anx  

Variable.-  Es un símbolo que puede ser sustituido por un elemento cualquiera de un conjunto de números. Ejemplos : x ; y ; z ; etc etc

Donde: a0  ; a1  ; a2  ; a3  ; . . coeficientes. n x  es la variable; n  N.

Constante.- Es un símbolo numérico. 7 , etc

Ejemplos : 5 ; 9 ;

3.1. NOTACIÓN Se denota con letras mayúsculas y las variables con letras minúsculas. Ejemplo.

NOTA.-  Las expresiones que no cumplen con la definición anterior, reciben el nombre TRASCENDENTES (no algebraicas). Ejemplo: 2

3

1 + x + x  + x  + x  + ...............

b)

2  + 3  + 4  

x

de

EXPRESIONES

P(x)  Se lee P de “x” (x  variable) P(x, y)  Se lee P de “x, y” (x, y  variable)

4

a)

x

an  son números reales y se llaman

3.2. CLASES

x

POLINOMIO POLINOM IO CE RO.- Todos

1.1. CLASIFICACIÓN DE LAS L AS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

MONOMIO.- Tiene un término algebraico.

De acuerdo a la forma de sus variables pueden ser:

Ejemplo: 3x ; 5x2  ; 7/2 7/2 x2y5  ; etc

A). EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

BINOMIO.- Tiene dos términos algebraicos unidos por suma o

Cuando las variables no están afectadas por el signo radical ni al exponente fraccionario. fraccionario. A su vez pueden ser:

diferencia. Ejemplo: 2 2 2 9 x + 5 ; 3x  + y   ; 5/3 5/3 x  + 7x  ; etc

R A C I O N A L E S E N T E R A S .-  Cuando los exponentes de las variables son números enteros positivos, no hay variables en el denominador. Ejemplos: 3

x yz ; RAC I ON AL E S

3

2

4

5

7

TRINOMIO.- Tiene tres términos algebraicos. Ejemplo:

;

3

3

2 a  + 5b  c   ; x  + 3y   – 12z – 12z  

2

3

-2

2

-2

xyz   ;

1  1

;

5 4 a+2 a+3 abc   ; 3x   y  a 2

4.1. GRADO DE UN MONOMIO * G.R = es el exponente de la variable. * G.A = es la suma de los exponentes de las variables. Ejemplo: 9 5 P(x; y) = 3x y   GR(x) = 9 GR(y) = 5 GA(P) = 9 + 5 = 14

 N



4.2. GRADO DE UN POLINOMIO G.R. = El mayor exponente de cada variable. G.A. = Es el mayor grado de sus términos. 9 2 7 15 8 13 P(x, y) = 5x y  + 3/2 x y   - 8x y     GR(x) =9 GR(y) = 15 GA(P) = 7 + 15 = 22

2.1. ELEMENTOS DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO exponente -2

3

 x

2

coeficiente

3

y   parte literal (variable)

5. VALOR NUMÉRICO Es el resultado que se obtiene al reemplazar las variables, de una expresión algebraica, por v valores alores determinados. Ejemplo: Halla el V.N de 3x2y

2.2. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos que tienen la misma PARTE LITERAL. Ejemplo: 1 2 3 x2yz x yz ; 3 2 Tienen en común : x y z

2

 

2

Es una combinación de constante y variables relacionadas por las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación en sus bases y en cantidades limitadas. Ejemplo: 3

2

Es una característica de las expresiones algebraicas relacionada con los exponentes: Grado Absoluto (G.A.).- Se refiere a todas las variables. Grado Relativo  (G.R.).- Se rrefiere efiere a una de las variables.

2. TÉRMINO ALGEBRAICO

2x

2

4. GRADO

F RA C C I ON ARI A S .- 

xyz   ;

2

x +5x+6 ; x  –  –6x+9 6x+9 ; x  –  –xy+y xy+y  ; etc

9

Cuando por lo menos hay una variable en el denominador o las variables del numerador están afectadas al menos de un exponente entero negativo. Ejemplo:

2

su coeficientes con cero “0”.  “0”.  

2

; -2x yz

Para x = 2 ; y =3

Solución:

2

3(2)  (3) = 36 1º B imestre

1

 Martín Tello

 

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6. OPERACIONES

6.- Halla el GR y GA del monomio: 2 3 5 12 M(x, y) = a b x y  

ADICIÓN .- Se escriben las expresiones algebraicas unas a continuación de otras con sus propios signos y luego se reducen los términos semejantes, si los hay.

Solución: Son variables solo x, y por lo tanto G.R(x) = 5 G.R(y) = 12 G.A = 5 + 12 = 17

SUSTRACCIÓN.- Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y luego se reducen los términos semejantes, si los hay.

7.- Si : a = 2 ; b = 1 Halla: 5a2b

PROBLEMAS RESUELTOS

Solución:

Reemplazamos y operamos.

1.- Calcula la suma de coeficientes de los siguientes términos semejantes, sabiendo que la única variable es x. 3a xa 5   ;    7ax8  

2

5(2) (1) = 5(4)(1) = 20  8.- Si: m = ½ ; b = 2 ; c = 3 Calcula:

Solución: Son semejantes, entonces los exponentes son iguales:  a + 5 = 8 a = 3 Luego la suma de los l os coeficientes es: 3a + -7a = -4a pero a = 3 Luego: -4a = -4(3) = -12

4m 3 12 bc 2  

Solución:  1  4  3 12 x   2 x 32    2  2

3

216

3  a 2

2.- Calcula “a” si el término 37 x y  es de grado 14.

 2 (6)  12  

9.- Si : a = 3 ; b = 4 ; c =

Solución: La suma de los exponentes es 14. 3a 14  a = 4 3a + =2 12=

Calcula: 3.- Halla m en el siguiente polinomio, si tiene grado absoluto igual a 10. m+6 m+7 P(x) = 7 + 5x  – 3x  

1 2

 

 

4 ab ac bd     n d m

3 x  4

m + 7,

1



3 x 

1 3

1

4

6

2

  2

3x4x4+2-

4.- Del siguiente polinomio, se conocen los siguientes datos: GR(x) = 7; GR(y) = 8 m+1 m n n+2 P(x,y) = 2x  – 3x y  + 5y ¿Cuál es el GA del polinomio?

4  x  12



 =

6

m=3

149 3

 

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I I).- Subraya la alternativa correcta. 1).-¿Cuál es el valor de “a” si se sabe que los términos

Solución:

En P(x,y) el mayor exponente de “x” es: m+1  m + 1 = 7  m = 6 De igual forma, el mayor exponente de “y” es n + 2.    n + 2 = 8 n = 6 Luego, el grado absoluto de P(x,y) es: m + n Es decir: 6 + 6 = 12

6 7 xa  3  ;  5 2 x12   a) 8

b) 9

son semejantes?

c) 5

d) 6

e) 7

2).-Calcula: m + 1, sabiendo que 0,2y son términos semejantes: a) 5

5.- Dado: 3 2 3 2 2 2 2 M(x, y) = (((x y ) x y) xy )   Halla su grado absoluto:

b) 6

c) 7

d) 9

m+2

;

  - 5 11 y8  

e) 8

3).-Calcula el valor de t+10 si los siguientes términos son semejantes. t+65

0,45a

Solución:

a) 16

Resolvemos los exponentes de x [(3 x 3 + 2) x 2 + 1] x 2= 46  Ahora de y: [(2 x 3 + 1)x 2 + 2] x 2 = 32  G.A. = 46 + 32 = 78 

b) 17

  a72     ; -5 41

c) 18

d) 19

e) 20

4).-Halla m si el siguiente monomio es de 2° grado: M(x) = -7 7 x m3   a) 5

1º B imestre

3

;d=

Solución:

Solución: Tomamos el mayor ex exponente ponente entre m + 6 y entonces el mayor es m + 7. Luego, igualamos a 10. m + 7 = 10

1

m=6 ; n=

1

2

b) 4

c) 3

d) –2

e) –5

 Martín Tello

 

ÁLGEBRA  1ro. Secundaria –

5).- Calcula el grado del siguiente término: M(x, y) =  a) 1

b) 2

5 3

15).- Halla la suma de coeficientes de : 2 H(x) = 3x   + 5x + 7

    7 x 2 ywt  

a) 8

c) 3

d) 4

e) No tiene

  t   m

a) 1

b) 4

a) 7

 

d) 3

2 a+1

M(x, y) = 15a x

e) 8

b) 1

c) 2

a) 8

2

b) 15

c) 12

e) 17

c) 215 II).- Resuelve. 2

1).- Halla los V.N. de 3x  ; para : x = 2

t+c

8-c

M(x, y) = 15   11 x  y   c) 3

d) 4

a+b

M(x, y) = -3/5   2  x c) 9

b+8

 . y

d) 7

3 2 y  ; para : y = -5 5

3).- Halla los V.N. de: -4xy ; para: x = -3 ; y = -2

e) 5

2

9).- Calcula “a+b” en el siguiente monomio, si además se sabe que GRx = 15; GRy =10.

b) 11

d) 21

NIVEL II

2).- Halla los V.N. de:

a) 15

e) 4

2

.y  

b) 175 e) 255

b) 2

d) 3

H(x) = 4x   + 8x + 9

8).- Halla “t” en el siguiente monomio si se conoce que es de séptimo grado respecto a ”x” y que su G.A. G .A. es 12:  

a) 1

e) 17

17).- Halla la suma de coeficientes de :

7).- Calcula el coeficiente del siguiente monomio sabiendo que es de octavo grado.

a) 375 d) 225

d) 13

t 7

y

c) 2

c) 12

16).- Calcula la suma de coeficientes del polinomio: 3 2 W(x) = 4x  –  – 5x  + 3x – 1

6).- Halla el valor de m, si se sabe que el siguiente monomio es de noveno grado respecto a “y” y de sexto grado respecto a “x”.  M(x, y) =  5 3 x

b) 15

4).- Halla los V.N. de: x  –  – 5 ; para : x = 3 3

 

5).- Halla los V.N. de: x  –  – 3x ; para : x = -3

e) 5

6).- Halla los V.N. de: x  + 2xy + y  ; para: x = -5 ;y=5

2

2

10).- Calcula la suma de coeficientes del polinomio: 3

2

7).- Halla los V.N. de: x  + 8xy – 2 ; para: x =2 ; y = 1/8

2

W(x) = 8x   – – 4x  + 8x – 6 a) 17

b) 11

c) 12

d) 10

e) 14

11).- Calcula el valor de “a”, si se sabe que t 1  términos semejantes. t1 = 2 11  x a 6   a) 19

b) 11

Si : a = 3 ; b = 4 ; c = 1/3 ; d = 1/2 m=6;n=¼

y t2  son

2

t2 = 0.3x9  

c) 13

d) 15

2

8).- Calcula el V.N. de: a  –  – 2ab + b   9).- Calcula el V.N. de:

c

m    2   d n

e) 18 10).- Calcula el V.N. de: b    6m  

12).-Calcula el valor de “m”, si se sabe que el monomio M(x, y, z) = 3 7 x my2z4  es de noveno grado. a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

11).- Halla: P(3) + P(10) si:

e) 5

2

P(x) = 7x  + 5x – 10 13).-Si el polinomio es de octavo grado, calcula el valor de “m”.  P(x) = a) 1

a) 838

c) –1

d) 4

c) 812

d) 828

e) -810

d) 1

e) 0

2

7 xm5  2x m  0,2xm 6  

b) –3

b) 816

12).- Si: P(x) = 3x  + x –3 Calcula: P(P(P(1)))

e) 2

a) 3

b) 5

c) 18

14).-Halla “a” si GR(x) = 6 en:   4

a

a+1

P(x) = 0,25x   – – 2x a) 6

b) 5

1º B imestre

c) 4

2

13).- Dado: P(x) = 7x  –  – 3x + 6  – x  

9

 – y  

d) 3

Halla P(1) a) 8 b) 12

e) 2

3

c) 9

d) 5

e) N.A.

 Martín Tello

 

ÁLGEBRA  1ro. Secundaria –

5

2

3

14).- Dado: P(x) = 10x   – – 13x  + x  –  – 6 Calcula: P(1)

a) –8

b) 5

c) 16

d) –4

2

e) N.A.

3

15).- Dado: P(x) = 7x  + 4x   + 24 Halla: P(4)

CLAVES DE RESPUESTAS a) 392

b) 396

c) 328

d) 315

e) 414

2

NIVEL I 

16).- Si: P(x) = 5x  + 7x – 12 Calcula : P( 1)P( 1)   a) 1

b) –1

c) 2

d) –2

1) b 5) c 9) a 13) e 17) d

e) 0

2

17).- Si F(x) = 5x  + 2x – 4,

2) c 6) b 10)d 14) b

3) b 7) a 11) d 15) b

4) 8) 12) 16)

a d c b

2) 6) 10) 14) a 18) b 22) d

3) 7) 11) a 15) a 19) b 23) a

4) 8) 12) 16) 20)

d a c

Calcula: F(2) a) 21

b) 20

c) 10

d) 22

e) 24

NIVEL II 1 3 18).- Si P(x) = 2x  + x 3  +   3 5 2

1) 5) 9) 13) c 17) b 21) d

Calcula: P(0) a) 1

b) 1/3

c)

18   5

d)

20   e) N.A. 3

2

19).- Si: P(x) = x   – – 3x + 1 Calcula: P(-9) a) 1

b) 109

c) –109 d) 55

e) -55

2

20).- Si f(x) = x  + x + 1 Halla: f(3) a) 9

b) 12

c) 13

d) 14

e) 1

21).- Halla : P(1) + P(-1) si se sabe que: 2

3

P(x) = 1 + x + 2x  + 3x   a) –1

b) –2

c) ½

d) 6

e) –1/2

2

22).- Si: P(x) = 2x  + 5x + 1 Calcula: P(-3) a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

23).- Halla: P(2) + P(10) si: 2

P(x) = 7x  + 5x – 10 a) 768

b) 716

1º B imestre

c) 712

d) 728

e) -710

4

 Martín Tello