Gradientes o Series Variables

 

 

GRADIENTES O SERIES VARIABLES

“Ap Apre rend ndee a co cono noce cerr el ve verd rdad ader ero o valo valorr de dell tiem tiempo po:: arre arreba bata ta,, co coge ge y

aprove apro vech chaa cada cada mo mome ment nto. o. Na Nada da de oc ocio iosi sida dad; d; fuer fueraa pe pere reza za;; na nada da de aplazamientos; nunca dejes para mañana lo que puedes hacer hoy ”.  

LORD CHESTERFIELD

INTRODUCCIÓN

En paí países ses co con n eco econom nomía ías s in infl flaci acion onari arias as los los de deud udor ores es de cré crédi dito tos s son son bi bien en favorecidos por este tipo de situación económica; ello se debe a que están en la posibilidad de liquidar sus pasivos con dinero más barato, razón por la cual los acree acr eedor dores es no rec recup upera eran n tota totalm lment ente e el di dine nero ro prest prestado ado (pérd (pérdid ida a de pod poder  er  adquisitivo del dinero). Cuando Cuan do se ot otorg orga a cré crédi dito tos s con con tasas tasas de inte interé rés s fi fija jas, s, ese ese hec hecho ho fi fina nanci ncier ero o cons consti titu tuye ye un subs subsid idio io impl implíc ícit ito o pa para ra a favo favorr de dell deud deudor or y en co cont ntra ra de dell intermediario financiero que actúa como persona superavitaria.  Al analizar el efecto anterior, claramente se concluye que el prestamista necesita recuperar cuanto antes el monto del dinero concedido en préstamo; de otra parte, los usuarios del dinero adquiri adquiridos dos a largo plazo, que genera generalment lmente e tiene limita limitada da liquidez, también necesitan conocer los diferentes sistemas de amortización de créditos, para que mediante uno de ellos inicien con cuotas bajas que se vayan incrementando al ritmo de sus ingresos. Estas circunstancias económicas que rodean una operación financiera plantean la neces ne cesid idad ad de dis diseña eñarr mo mode delo los s ma mate temá máti tico cos s qu que e co consi nside deren ren fl fluj ujos os de ca caja ja conf co nfor orma mado dos s po porr un una a se seri rie e de pa pago gos s qu que e no se sean an ig igua ualles, es, si sino no qu que e se incrementen increm enten o dismi disminuyan nuyan periódica periódicamente, mente, llama llamados dos GRADIENTES O SERIES VARIABLES. Para este tipo de modelo, también es necesario hacer la suposición teórica de que valores como el mantenimiento de un vehículo, gastos operativos de una empresa, se incrementan de período a período en una cantidad, siempre igual (en la vida real, es imposible que dicho incremento sea igual); sin embargo, en la serie de los gradientes, también se estudia esta realidad. El pro propó pósi sito to de esta esta un unid idad ad de la las s Ma Mate temá máti tica cas s Fi Fina nanc ncie iera ras s o In Inge geni nier ería ía Económ Eco nómica ica,, es real realiza izar anál análisi isis s, se de an est este eizar mod modelo denom denomina do pa Gradientes o . As Así, í,r el en ento tonc nces es, anal aliz arán ánelo un una a seri serie einado de pago gos s qu que e se Serie Series s Varia Variables bles

 

aument aume ntan an o di dism smin inuy uyen en cad cada a un uno o co con n re respe spect cto o al an ante teri rior or en un una a ca cant ntid idad ad consta con stante nte de uni unidade dades s mon moneta etaria rias, s, la que se den denomi ominará nará gradiente lineal o aritmético, y la serie de pagos que se aumenta o disminuye en un porcentaje consta con stante nte que se ide identi ntific fica a com como o gradiente geométrico; en forma adicional se hará especial atención en un tipo de gradiente que se llama gradiente escalonado, cuya característica característica princip principal al es de que las cuotas permanecen fijas por un tiemp tiempo o (puede ser un año o más de acuerdo a las partes partes), ), para después aumentar en un valor fijo, sea en unidades monetarias o en forma porcentual.

Análisis de ejemplo 1. Un crédito se está amortizando con 8 cuotas mensuales, que se incrementan cada mes en $ 6.000. El valor de la primera cuota es de $ 105.000; si la tasa de interés concertada entre las partes por la operación es de 3.0% mensual, calcular el valor  inicial de la deuda. Diagrama de flujo de caja:

Para plantear la ecuación de valor se elige el momento cero: Pv = Va = ¿ Variables Fv1 = $ 105.000 G = $ 6.000 N = 8 cuotas, meses, períodos ¡ = 3.0% mensual Pv = $ 105.000/(1 + 0.03)1 + $ 111.000/(1 + 0.03)2 + $ 117.000/(1 + 0.03)3 + $ 123.000/(1 + $129.000/(1 + 0.03)7 + $+0.03)4 147.000/(1 + 0.03)8 +0.03)5 + $ 135.000/(1 + 0.03)6 + $ 141.000/(1 Pv = $ 101.941.75 + $ 104.628.15 + $ 107.071.57 + $ 109.283.91 + $ 111.276.53 + $ 113.060.37 + $ 114.645.90 + $ 116.043.16 Pv = $ 907.951.34 La solución al ejercicio es sencilla; se trata de traer a valor presente flujos de efectivo diferentes mediante la fórmula de valor presente (Vp = Fv/(1 + i)n; pero si el ejercicio se conformara por varios pagos o flujos de efectivo, ejemplo 70, la solución del ejercicio sería muy tediosa; lo anterior es la razón por la cual es necesario necesar io rec recurri urrirr a utiliz utilizar ar un mod modelo elo mat matemá emátic tico o den denomi ominad nado o Gra Gradie diente ntes s o Series Variables mediante el cual se obtienen: expresiones (fórmulas) para hacer 

 

movimientos de flujos de efectivo de forma directa sin hacer uso del método del valor presente de cada ingreso.

DEFINICIÓN Se llam llama a gra gradi dien ente te a un una a ser serie ie de pag pagos os per perió iódi dico cos s que que ti tien enen en un una a le ley y de formación que hace referencia a que los pagos pueden incrementarse o disminuir  con relación al pago anterior, en una cantidad constante en pesos o en forma porcentual.

CONDICIONES PARA QUE UNA SERIE DE PAGOS SEA UN GRADIENTE Las siguientes son las condiciones para que una serie de pagos periódicos se considere un sistema de gradientes:   

Los pagos deben tener una ley de formación. Los pagos deben ser periódicos. La serie de pagos debe tener un valor presente o actual equivalente a un valor futuro o monto equivalente.



El número de períodos debe ser igual al número de pagos.  Al analizar las condiciones anteriores con las de las anualidades, solamente se encuentra una diferencia que es : Mientras que en el sistema de anualidades

los pagos son iguales, en el sistema sistema de gradi gradientes entes los pagos tienen una ley de formación. En consecuenci consecuencia, a, una anualidad es un caso especial de un gradiente en el que la variación de una cuota con respecto a la otra es cero ; siendo esta la razón por la que el tratamiento que se le da a los gradientes es igual al de las anualidades. De igual manera que en las anualidades, en los gradientes, tanto aritmético como geométrico se presenta las siguientes combinaciones: En el caso de cuotas que

crec cr ecen en enlineal una una creciente cant cantid idad ad vencido, fi fija ja a tr trav avés los los pe perí odos os,, se pres presen enta un gradiente siéslasdecuotas seríod pagan al final detacada período; gradiente lineal creciente anticipado, si las cuotas se cancelas al principio del período y gradiente lineal creciente diferido, si el pago de la primera cuota se posterga en el tiempo; las mismas combinaciones anteriores se presentan para el gradiente lineal decreciente.

Cuando las cuotas se incrementan cada período ya no en una cantidad, sino en forma porcentual o valor relativo y el pago se realiza al final del período, se tiene un gradiente geométrico creciente vencido; si el pago de las cuotas es en fo form rmaa an anti tici cipa pada da,, se tr trat ataa de un grad gradie ient ntee ge geom omét étri rico co crec crecie ient ntee anticipado y si las cuotas se cancelan en períodos posteriores a la fecha de realizada la operación financiera, se trata de gradiente geométrico creciente

 

diferido; las mismas combinaciones anteriores se presentan para el gradiente geométrico decreciente.

GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO En el gradiente aritmético que es una serie de pagos periódicos en el que cada pago es igual al anterior aumentado o disminuido en una cantidad constante de unidades monetarias, si la constante es positiva, se genera el gradiente aritmético creci cre cien ente te,, y si la co const nstan ante te es ne nega gati tiva va se ge gene nera ra el gr grad adie ient nte e ari aritm tmét étic ico o decreciente. Es obvio de que si la constante es cero, todos los pagos son iguales, caso en el cual la serie se convierte en una anualidad. Por ejemplo, si un crédito se cancela con cuotas mensuales que crecen cada mes en $ 6.000, la serie de pagos conforman un gradiente lineal creciente y si los pagos disminuyen en la misma cantidad cada período, se constituye en gradiente lineal decreciente.

VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE LINEAL CRECIENTE Es un valor de una serie de pagos varia variables bles ubicados en el present presente, e, que result resulta a de sumar los valores presentes de cada pago o cuota que se aumentan cada período en una cantidad constante (G). El sigu siguie ient nte e gr gráf áfic ico o co corre rresp spond onde e a un una a op oper eraci ación ón fi fina nanci ncier era a cu cual alqu quie iera ra co con n gradiente lineal: Fórmula 1: Pv = C1 [[(1 + i)n – 1]] / [i(1 + i)n] + G / i [[(1 + i)n – 1]] / [i(1 + i)n – n / (1 + i)n] Fórmula 2: Nomenclatura: Pv = valor presente o valor actual de la serie de gradientes C1 = valor de la primera cuota de la serie o sea del gradiente ¡ = tasa de interés de la operación N = número de pagos, ingresos o términos del gradiente o serie G = valor de la constante en que se incrementa cada cuota o término Ejemplo 1.

 

Hallar el valor presente de la siguiente serie de rentas si la tasa de interés es del 5.0% durante seis períodos de tiempo. Variables.

Fórmula.

Pv = ¿

Pv = C1[[(1 + i)n -1]] / [i(1 + i)n] + G/i [[(1 + i)n -1]] / [i(1 +i)n

C1 = $ 800 G = $ 200 N = 6 cuotas o pagos ¡ = 5.0%

- n/(1 + i)n] Pv = $ 800[[ 800[[(1 (1 + 0.05)6 – 1]] / [[0.05(1 0.05(1 + 0.05)6] + $ 200 / 0.05 [[(1 + 0.05)6 - 1]] / [0.05(1 + 0.05)6 – 6 / (1 + 0.05)6] Pv = $ 6.454.15

Ejemplo 2. Una máquina de triturado se cancela mediante 30 pagos mensuales que cada período se incrementan en $ 12.000, sabiendo que la cuota uno tiene un valor de $ 160.000 y la tasa de inter interés és que se negoci negoció ó fue del 3.0%, calcular el valor de la máquina de contado. Variables Pv = ¿ C1 = $ 160.000 G = $ 12.000 N = 30 cuotas o pagos ¡ = 3.0% mensual

   

Fórmula La misma del ejercicio anterior  Pv = $ 160.000[[(1-03)30 – 1]] / [0.03(1.03)30] + $ 12.000 / 0.03 [[(1.03)30 -1]] / 0.03(1.03)30 30 / 81.03)30] Pv = $ 160.000(1.4272625 / 0.0728179) + $ $ 400.000(19.6004348 – 12.3596026) Pv = $ 3.136.069.57 + $ 2.896.332.88 Pv = $ 6.032.402.45

Análisis de la solución : Fina Financ ncie iera rame ment nte e es eq equi uiva vale lent nte e ca cance ncela larr en la fe fech cha a de la negoc negocia iaci ción, ón, $ 6.032.402.45 a cancelar 30 cuotas o pagos mensuales que cada período (mes) se incrementan en $ 12.000, habiendo cancelado una primera cuota por $ 160.000, reconociendo una tasa de interés del 3.0% mensual.

VALOR ACTUAL O PRESENTE DE UN GRADIENTE LINEAL O ARITMÉTICO DECRECIENTE

 

Corresponde a un valor que ubicado en el presente equivale a una serie de pagos periódicos que tienen la particularidad de disminuir, cada uno con respecto al anterior, en una cantidad constante de unidades monetarias (G).

El siguiente gráfico corresponde a una operación financiera con gradiente lineal decreciente:  Al comparar el gradiente lineal o serie de pagos creciente con el gradiente lineal decreciente, se puede concluir que la única diferencia es el signo del gradiente (G); siendo de signo positivo para el gradiente creciente y para el gradiente decreciente de signo negativo. Consecuente con lo anterior, para encontrar una ecuación que permita calcular el valor val or pre present sente e de un grad gradien iente te dec decreci recient ente, e, bast basta a cam cambia biarr el signo signo del val valor  or  constante (G) de más por menos.

Fórmula para el valor presente de un gradiente aritmético decreciente: Pv = C1[[(1 + i)n -1]] / [i(1 [i(1 + i)n] - G/i [[(1 + i)n -1]] / [i(1 +i)n - n/(1 + i)n] Cuando se halla el valor presente de un gradiente de esta característica, dicho valor, gráfica y realmente, queda ubicado un período anterior al primer pago, o sea que es equivalente a una ecuación de fecha focal en el momento cero.

Ejemplo:

Un activo fijo se acuerda cancelarlo con 18 pagos mensuales que tiene una disminución de período a período de $ 10.000; habiendo cancelado una primera cuota de $ 2.500.000 y la tasa de financiación concertada es de 3.0% mensual, calcular el valor presente del activo.

Fórmula a utilizar : Pv = C1[[(1 + i)n -1]] / [i(1 [i(1 + i)n] - G/i [[(1 + i)n -1]] / [i(1 +i)n - n/(1 + i)n] Pv = $ 2.500.000[[(1.03)18 – 1]] – 1]] / [0.03(1.03)18] - $ 10.000 / 0.03 [[(1.03)18 – 1]] / 0.03(1.03)18 – 18 / 1.03)18] Pv = $ 33.323.645.98

 

  Ecuación para hallar el valor de cualquier cuota (enésimo pago) : Con el ejemplo anterior, las cuotas disminuyen en $ 10.000 cada mes; el valor de la primera cuota fue de C1, la segunda cuota será de (C1 - $ 10.000), la tercera cuota será de (C1 - $ 20.000) y la enésima cuota será de [C1 – (n – 1)G]. Cn = [C1 – (n – 1)G]

Nomenclatura: Cn = valor del pago n. N = número de la cuota o pago G = disminución en el valor de cada cuota