Gradientes de Velocidad y Esfuerzos Tangenciales

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“GRADIENTES DE VELOCIDAD Y ESFUERZOS TANGENCIALES”

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Gradiente de velocidad y esfuerzos tangenciales Los fluidos no resisten los esfuerzos cortantes por lo que estos fluirán sin importa lo pequeño que el esfuerzo aplicado.

Cada fluido de acuerdo a su naturaleza tendrá una cierta tendencia a oponerse a fluir lo cual se definió como viscosidad. Esto no implica que no se tendrá deformación como resultado de un esfuerzo cortante, si no que se limitará de cierta manera.

Por ejemplo, el agua tendrá mas fluencia que la miel para un mismo esfuerzo aplicado.

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Si se consideran dos placas que se extienden horizontalmente lo suficiente para soportar un fluido y donde una de las placas está en movimiento y recordando la condición de no resbalamiento (no-slip condition) se tendrá la siguiente distribución,

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Las cuales están relacionadas con la ley de Newton de viscosidad que establece una relación lineal entre el esfuerzo cortante y la deformación (du/dy = gradiente de velocidad) a través de una constante de proporcionalidad llamada viscosidad dinámica y que está dada por,

du   dy

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La viscosidad se origina debido a dos efectos físicos principales:  Cohesión intermolecular: Debiera ser de mayor importancia (frecuentemente dominante) en la mayoría de los líquidos para los cuales las moléculas están densamente compactadas.  Transferencia de momento a nivel molecular: Más relacionada con los gases en los cuales las moléculas están mas separadas pero moviéndose a gran velocidad.

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Gradiente de velocidad y esfuerzos tangenciales De manera general:

 liquido , siTemp     gas , siTemp   

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Para un líquido, debido a su estructura molecular se presenta cambios en la energía cinética y el momento con el incremento de temperatura. Entonces a mayores temperaturas las fuerzas disponibles para romper los enlaces moleculares son mucho mas grandes que a temperaturas bajas y el orden que se tenía es alterado.

También la fricción interna es reducida por lo que un líquido es menos viscoso a altas temperaturas.

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Para los gases, su representación es mejor observada como un volumen fijo cerrado. A temperatura baja (figura a) las colisiones moleculares y por ende el intercambio intermolecular de momento son relativamente infrecuentes.

Pero al aumentar la temperatura (figura b), resulta en un aumento de energía y de momento, como resultado de velocidades mas grandes las moléculas viajan una distancia mas grande lo que incrementa la posibilidad de colisiones con otras partículas.

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Entonces tanto el número de colisiones y el intercambio de momento que tiene lugar con las colisiones se incrementan con la temperatura para un gas. Por lo tanto, estos factores resultan en un incremento de la viscosidad. De modo que el concepto de difusión de momento simplemente se refiere a la mezcla a nivel molecular de porciones de flujo con alto momento (alta velocidad) con porciones de flujo con bajo momento (baja velocidad) o una mezcla de gradientes de velocidades.

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Difusión de momento El resultado final es en general una homogeneidad del perfil de velocidades como se muestra en la figura. Si se considera que ambas placas en la figura tengan U=0 a t = 0, el fluido no tiene movimiento en la región entre las placas. En un instante siguiente la placa superior se pone en movimiento con una velocidad U debido a una fuerza tangencial F. En este instante el perfil de velocidad (figura a)

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En donde la velocidad del fluido inmediatamente adyacente a la placa superior es la misma que la placa (condición de no resbalamiento) pero es cero en todas las demás localizaciones.

Cabe mencionar que esto no significa que las moléculas que conforman el fluido tengan cero velocidad, pero que cuando sus velocidades son tomadas en promedio en un pequeño volumen (concepto de medio continuo) este promedio es cero.

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Pero porciones del fluido con alto momento adyacentes a la placa superior están colisionando con porciones de momento cero e intercambiando momento con ellos. Entonces, a un tiempo siguiente poco después de la iniciación del movimiento, el perfil de velocidad (figura b).

Se nota que la alta velocidad (momento) presenta difusión desde la placa superior hacia el interior de la región del fluido contenida en las placas.

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La figura c muestra la repetición y continuación de este proceso en posteriores instantes de tiempo.

Finalmente se observa que el campo de velocidad es uniforme y ha alcanzado la apariencia de un perfil linear excepto cerca de la placa inferior. Cuando el flujo alcanza su estado estable, un perfil de velocidad completamente lineal puede ser observado.

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Se ha visto que la difusión de momento es debida a interacciones entre porciones de fluido de relativamente alta velocidad con porciones de fluido de relativamente baja velocidad (gradientes de velocidades) como se muestra en la figura.

Se puede observar que existe una diferencia de velocidades en la dirección y puesto que u2 > u1.

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Por lo tanto, al menos una parte del intercambio de momento entre las dos porciones que interactúan tiene lugar en la dirección tangente (~ x) a través de una fuerza generada por el esfuerzo cortante. Si relacionamos lo anterior con la ley de Newton de la viscosidad,

du   dy

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Se comprueba que el esfuerzo cortante asociado a esta ecuación está físicamente relacionado con intercambios de momento entre porciones de fluido en contacto y que ejercen una fuerza de fricción interna. Estas porciones de fluido deben de estarse moviendo a diferentes velocidades (gradientes de velocidad) para crear el intercambio de momento. Al mismo tiempo esto garantiza que la en la expresión matemática de la ley de viscosidad de Newton,

du 0 dy

y

 0

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También se puede ver que para la diferencia de velocidad u2 – u1,  se incrementará con el aumento de  (constante de proporcionalidad).

Finalmente, se puede comentar que lo anterior aplica tanto para líquidos como para gases dentro de la definición de medio continuo y claro tomando en cuenta las variaciones mencionadas de  para líquidos y gases.

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Ejercicio.

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Solución. El esfuerzo cortante está dado por la ley de Newton de viscosidad,

du   dy Entonces si la distribución de velocidad u = u(y) es conocida, el esfuerzo cortante puede ser determinado en todos los puntos al evaluar el gradiente de velocidad du/dy,

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Gradiente de velocidad y esfuerzos tangenciales Solución. entonces, du 3Vy  2 dy h

Para la parte inferior de la placa y = -h, por lo que, du 3V  dy h

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Gradiente de velocidad y esfuerzos tangenciales Solución. Por lo tanto el esfuerzo cortante será,  placa inf erior





2  3 V 0 . 04 lb  seg / ft 32 ft / seg        0.2in1 ft / 12in  h 

 14.4lb / ft 2

Puesto que la distribución de la velocidad es simétrica, el esfuerzo cortante en la placa superior será de igual magnitud y dirección.

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Gradiente de velocidad y esfuerzos tangenciales Solución.

Para la sección en el punto medio donde y = 0, du 0 dy

El esfuerzo cortante será,

 sec cion  0 m edia

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Gradiente de velocidad y esfuerzos tangenciales Ejercicio.

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Solución. El esfuerzo cortante está dado por la ley de Newton de viscosidad,

du   dy Donde,

  

y

 sup erficie donde y  0

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será,

 sup erficie y 0

 du       dy  y 0

du  U  y   cos   dy 2  2

en y = 0,

du  U 1  dy 2 

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Puesto que,   

 sup erficie

donde



SG

 H 2O



 0.92 1000 kg / m 3



 U      2    U  4x10 m / seg 0.92 x10 kg / m   2 U  0.578 N / m 2



4



2



3

3



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