GRADIENTE, Divergente y Rotacional

 

GRADIENTE El gradiente normalmente denota una dirección en el espacio según la cual se aprecia una variación de una determinada propiedad propiedad o magnitud física. En otros contextos se usa informalmente gradiente, para indicar la existencia de gradualidad o variación gradual en determinado aspecto, no necesariamente relacionado con la distribución física de una determinada magnitud o propiedad propiedad..  

Defnición   El gradiente de un campo escalar, que sea diferenciable en el entorno de un punto, es un vector denido como el único que permite hallar la derivada direccional en cualquier dirección como:

siendo un vector unitario y la derivada direccional de en la dirección de , que informa de la tasa de variación del del campo campo escalar al desplaarnos según esta dirección:

!na forma equivalente de denir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por cualquier desplaamiento innitesimal, da el diferencial del campo escalar:

"on la denición anterior, el gradiente est# caracteriado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:  

Interpretación del Gradiente   $e forma geom%trica el gradiente es un vector que se encuentra normal a una supercie o curva en el espacio a la cual se le esta estudiando, en un punto cualquiera, llamese &lgunos e'emplos son:

,

,

etc%tera.

 

•

"onsidere una habitación en la cual la temperatura se dene a trav%s de un campo escalar, de tal manera que en cualquier punto

, la

temperatura es . &sumiremos que la temperatura no varia con respecto al tiempo. (iendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dar# la dirección en la cual se calienta m#s r#pido. )a magnitud del gradiente nos dir# cu#n r#pido se calienta en •

esa dirección. "onsidere una monta*a en la cual su altura en el punto

se dene

como . El gradiente de H en ese punto estar# en la dirección para la que hay un mayor grado de inclinación. )a magnitud del gradiente nos mostrar# cu#n empinada se encuentra la pendiente.  

Aproximación lineal de una unción   El gradiente de una función f  denida  denida de Rn a R caracteria la me'or aproximación lineal de la función en un punto particular x + en Rn. (e expresa aproximación así: donde  

es el gradiente evaluado en x +.

Propiedades   El gradiente verica que: Es ortogonal a las supercies equiescalares, denidas por cte.. &punta en la dirección en que la derivada direccional es m#xima. • • • •

•

(u módulo es igual a esta derivada direccional m#xima. (e anula en los puntos estacionarios -m#ximos, mínimos y puntos de silla El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, irrotac ional, esto es,

 

Expresión en dierentes sistemas de coordenadas   & partir de su denición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas. En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente

 

 

En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores de escala, mediante la expresión

/ara coordenadas cilíndricas -h0  h z   1,

 resulta

y para coordenadas esf%ricas -hr     1, h2  r ,

  

Gradiente de un campo vectorial

  En un espacio euclídeo, el concepto de gradiente tambi%n puede extenderse al caso de un campo vectorial, siendo el gradiente de diferencial del campo al realiar un desplaamiento

un tensor que da el

Este tensor podr# representarse por una matri , que en coordenadas cartesianas est# formada por las tres derivadas parciales de las tres componentes del campo vectorial.  

Ejemplo 3editar4 5

 x  y   z  su vector gradiente es: $ada la función f - x  , y  z  , z   5 x  6  6 7 y   8 sin- z 

 

Aplicaciones en sica   El 9radiente posee innumerables aplicaciones en física, especialmente en electromagnetismo y mec#nica de uidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar. !no de ellos es el campo electrost#tico, electrost#tico, que deriva del potencial el%ctrico

 

 ;odo odo campo que pueda pueda escribirse como el gradiente gradiente de un campo escalar, escalar, se  ; denomina potencial, conservativo o irrotacional . &sí, una fuera conservativa deriva de la energía potencial como )os gradientes tambi%n aparecen en los procesos de difusión que verican la ley de sumideros> la divergencia de dicho campo ser# diferente de cero. ??  

Divergencia de un campo vectorial   )a divergencia de un campo vectorial es un campo escalar, y se dene como el u'o del campo vectorial por unidad de volumen:

donde S es una supercie cerrada que se reduce a un punto en el límite. El símbolo

representa el operador nabla.

Esta denición est# directamente relacionada con el concepto de u'o del campo. "omo en el caso del u'o, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee manantiales. (i la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El e'emplo m#s característico lo dan las cargas el%ctricas, que dan la divergencia del campo el%ctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo el%ctrico.

 

(e llaman fuentes escalares del campo

al campo escalar que se obtiene a

partir de la divergencia de )a divergencia de un campo vectorial se relaciona con el u'o a trav%s del teorema de 9auss o teorema de la divergencia.  

!oordenadas cartesianas   "uando la denición de divergencia se aplica al caso de un campo expresado en coordenadas cartesianas,

el resultado es sencillo:

 

!oordenadas ortogonales   (in embargo, para un caso m#s general de coordenadas ortogonales ortogonales curvilíneas, como las cilíndricas o las esf%ricas, la expresión se complica debido a la dependencia de los vectores de la base con la posición. )a expresión para un sistema de coordenadas ortogonales es:

$onde los

son los factores de escala del sistema de coordenadas,

relacionados con la forma del tensor m%trico en dicho sistema de coordenadas. Esta fórmula general, para el caso de coordenadas cartesianas - h x     h y     h z     1 se reduce a la expresión anterior. /ara coordenadas cilíndricas  resulta:

/ara coordenadas esf%ricas -

 resulta

 

 

!oordenadas generales   En sistemas de coordenadas generales, no necesariamente ortogonales, la divergencia de un vector puede expresarse en t%rminos de las derivadas parciales respecto a las coordenadas y el determinante del tensor m%trico:

 

Divergencia de un campo tensorial   El concepto de divergencia puede extenderse a un campo tensorial de orden superior. superior. En una variedad de @iemann la divergencia de un tensor ; completamente sim%trico

(e dene como:

/or e'emplo, en teoría de la relatividad especial la energía de un sistema se representa por un tensor sim%trico de segundo orden, cuya divergencia es cero. $e hecho el principio de conservación de la energía relativista toma la forma:

 

Teorema de la divergencia   El teorema de la divergencia, frecuentemente llamado teorema de 9auss, relaciona el u'o de un campo vectorial a trav%s tr av%s de una supercie cerrada con la integral de la divergencia de dicho campo en el interior del volumen encerrado por una supercie. Ese resultado lo hace interesante en

 

aplicaciones relacionadas relacionadas con la electroest#tica como en la mec#nica de uidos. El teorema teorema se enuncia así: (ea (ea una función vectorial sobre un con'unto frontera sea

y sea

diferenciable diferenciab le denida

un con'unto cerrado limitado por una

o supercie de contorno -que sea una variedad diferenciabl diferenciable e y

el vector normal en cada cada punto de la supercie, entonces se cumple cumple que:

Rotacional  

Introducción   Aatem#ticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

&quí, BS es el #rea de la supercie apoyada en la curva C, que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo completo -que es un vector, sino solo su componente según la dirección normal a BS y orientada según la regla de la mano derecha. /ara obtener el rotacional completo deber#n calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares. &unque el que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de cero no implica que las líneas de campo giren alrededor de ese punto y lo encieren. /or e'emplo, el campo de velocidades de un uido que circula por una tubería -conocido como perl de /oiseuille posee un rotacional no nulo en todas partes, salvo el e'e central, pese a que la corriente uye en línea recta:  

 

)a idea es que si colocamos una rueda de paletas innitamente peque*a en el interior del campo vectorial, esta rueda girar#, aunque el campo tenga siempre la misma dirección, debido a la diferente magnitud del campo a un lado y a otro de la rueda.  

"uente "u ente vectorial # escalar 3editar4

&l campo vectorial, , que se obtiene calculando calculando el rotacional de un campo campo en cada punto,

se conoce como las uentes vectoriales de

-siendo las fuentes escalares

las que se obtienen mediante la divergencia. !n campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectoriales. C si est# denido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede expresarse como el gradiente de una función escalar:  

Expresión en coordenadas cartesianas   /artiendo de la denición mediante un límite, puede demostrarse que la expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es

que se puede expresar de forma m#s concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:

En la notación de Einstein, con el símbolo de )eviD"ivita se escribe como:  

 

 

Expresión en otros sistemas de coordenadas   (i se emplean sistemas de coordenadas diferentes del cartesiano, la expresión debe generaliarse, para incluir el que los vectores de la base dependen de la posición. /ara un sistema de coordenadas ortogonales, como las cartesianas, las cilíndricas o las esf%ricas, la expresión general precisa de los factores de escala:

-donde, en cartesianas, h x     h y     h z     1 y reobtenemos la expresión anterior. anterior. En coordenadas cilíndricas y en coordenadas esf%ricas

.