Gradiente de Energia

GRADIENTE DE ENERGIA La energía específica en la sección de un canal se define como la energía por peso de agua en cualquier sección de un canal medido con respecto al fondo del mismo. La energía total de una sección de un canal puede expresarse como:

donde: 

= Energía total por unidad de peso.



= Energía específica del flujo, o energía medida con respecto al fondo del canal.



= velocidad del fluido en la sección considerada.



= presión hidrostática en el fondo o la altura de la lámina de agua.



= aceleración gravitatoria.



= altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia.



= coeficiente que compensa la diferencia de velocidad de cada una de las líneas de flujo también conocido como el coeficiente de Coriolis.

La línea que representa la elevación de la carga total del flujo se llama "línea de energía" . La pendiente de esta línea se define como el "gradiente de energía". De acuerdo al principio de la conservación de la energía, la energía total de una sección (A) deberá ser igual a la energía total en una sección (B), aguas abajo, más las pérdidas de energía entre las dos secciones (hf), para canales con una pendiente pequeña.

Esta ecuación se llama "ecuación de energía"

Cuando :

y

Es la ecuación de la energía de Bernoulli. EJERCICIO Se usara el agua de un lago para generar electricidad por medio de la instalacion de un turbogenerador hidraulico en un lugar donde la profundidad del agua es de 50m. el agua se alimentara a razon de 5000 kg/s. si se mide que la potencia electrica generada es de 1862 kW y la eficiencia del generador es de 95%, determinese. A) la eficiencia total del turbogenerador, B) la eficiencia mecania de la turbina y C) la potencia en la flecha suministrada por al turbina al generador. SOLUCION: Un turbogenerador hidraulico va a generar electricidad a partir de agua de un lago. Deben determinarse la eficiencia total, la eficiencia de la turbina y la potencia en la flecha. Hipotesis 1: El nivel de agua en el lago permanece constante 2. La energia mecanica del agua a la salida de la turbina es despreciable. Propiedades. La densidad del agua puede tomar como p = 1000 Kg/m³. Analisis. A por conveniencia, se toma el fondo del lago como el nivel de referencia. Entonces, la energía cinetica y la potencial del agua son cero y el cambio en su energía mecánica por unidad de masa queda: 1 kJ p m kg e mec ,ent −e mec ,sal = −0=gh= 9.81 2 ( 50 m) =0.491 kJ / kg 2 p s 1000 m 2 s

(

)

( )

Por tanto, la razón a la cual la energía mecánica es suministrada a la turbina por el fluido y la eficiencia total quedan:

∆ Emec , fluido =m ( e mec ,ent −e mec ,sal )=( 5000 kg /s )

( 0.491kg kJ )=2455 kW

ntotal=nturbogenerador=

´ .elect , sal W 1862 kW = =0.76 ´ ∆ E .mec , fluido 2455 kW

b) Si se conoce la eficiencia total y la del generador, la eficiencia mecánica de la turbina se determina a partir de: nturbogenerador =nturbina . generador →n turbina=

nturbogenerador 0.76 = =0.80 ngenerado r 0.95

C) la salida de potencia en la flecha se determina con base en la definición de eficiencia mecánica, W flecha , sal =nturbina|∆ E´ . mec, fluido|=( 0.80 )( 2455 kW )=1964 kW

Note que el lago alimenta 2455kW de energía mecánica a la turbina, la cual convierte 1964kW de ella en trabajo en la flecha que impulsa el generador, el cual genera 1862kW de potencia eléctrica. Se tienen perdidas irreversibles a través de cada componente.

LA ECUACIÓN DE BERNOULLI Los efectos que se derivan a partir de la ecuación de Bernoulli eran conocidos por los experimentales antes de que Daniel Bernoulli formulase su ecuación, de hecho, el reto estaba en encontrar la ley que diese cuenta de todos esto acontecimientos. En su obra Hydrodynamica encontró la ley que explicaba los fenómenos a partir de la conservación de la energía (hay que hacer notar la similitud entre la forma de la ley de Bernoulli y la conservación de la energía).

Posteriormente Euler dedujo la ecuación para un líquido sin viscosidad con toda generalidad (con la única suposición de que la viscosidad era despreciable), de la que surge naturalmente la ecuación de Bernoulli cuando se considera el caso estacionario sometido al campo gravitatorio. La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

P: Es la presión estática a la que está sometido el fluído, debida a las moléculas que lo rodean



ρ: Densidad del fluído.



v: Velocidad de flujo del fluído.



g: Valor de la aceleración de la gravedad (9,81m/s² en la superficie de la Tierra).



h: Altura sobre un nivel de referencia.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluídos. Un fluído se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluídos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluídos son tanto gases como líquidos. Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 

El fluído se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un

punto no varía con el tiempo. 

Se desprecia la viscosidad del fluído (que es una fuerza de rozamiento interna).



Se considera que el líquido está bajo la acción del campo gravitatorio únicamente.

El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluído fluja en horizontal un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá. Un ejemplo práctico es el caso de las alas de un avión, que están diseñadas para que el aire que pasa por encima del ala fluya más velozmente que el aire que pasa por debajo del ala, por lo que la presión estática es mayor en la parte inferior y el avión se levanta. El caudal (o gasto) se define como el producto de la sección por la que fluye el fluído y la velocidad a la que fluye. En dinámica de fluídos existe una ecuación de continuidad que nos garantiza que en ausencia de manantiales o sumideros, este caudal es constante. Como implicación directa de esta continuidad del caudal y la ecuación de Bernoulli tenemos un tubo de Venturi. Un tubo de Venturi es una cavidad de sección

S1

parte se estrecha, teniendo ahora una sección entonces tenemos que

V 2 >V 1

. Por tanto:

por la que fluye un fluído y que en una S 2 P 2

, y con la condición anterior de las velocidades

. Es decir, un estrechamiento en un tubo horizontal

implica que la presión estática del líquido disminuye en el estrechamiento.

EJERCICIO Un huracán es una tormenta tropical formada sobre el océano por presiones atmosféricas bajas. Conforme un huracán se aproxima a tierra, lo acompañan prominencias oceánicas inmoderadas (mareas muy altas). Un huracán de la clase 5 se caracteriza por vientos de más de 155mph, aunque la velocidad del viento en el “ojo” es muy baja. En la figura, se ilustra un huracán que flota en el aire sobre una prominencia oceánica de abajo. La presión atmosférica a 200 mi del ojo es de 30.0 in Hg (en el punto 1, por lo general normal para el océano) y los vientos están calmados. La presión atmosférica del huracán, en el ojo de la tormenta es de 22.0 in Hg. Estima la prominencia oceánica en a) en el ojo del huracán, en el punto 3, y b) el punto 2, en donde la velocidad del vientos es de 155mph. Tome las densidades del agua de mar y del mercurio como 64 lbm/ft³, respectivamente, y la densidad del aire a la temperatura y presión normales a nivel del mar como 0.076 lbm/ft³.

SOLUCION: Un huracán se avanza sobre el océano. Deben determinarse los tamaños de las prominencias oceánicas en el ojo y en las regiones activas del huracán. Hipotesis. 1 El flujo del aire dentro del huracán es estacionario, incomprensible e irrotacional (de modo que la ecuación de Bernoulli es aplicable). (en verdad, esta es una hipótesis muy cuestionable para un flujo intensamente turbulento, pero se justifica en la resolución.) 2 el efecto del agua que se arrastra hacia el aire es despreciable. Propiedades. Se dan las densidades el aire a las condiciones normales, del agua de mar y del mercurio como 0.076 lbm/ft³, 64lbm/ft³ y 848lbm/ft³ respectivamente. Analisis. A) la presión atmosférica reducida sobre el agua hace que esta se eleve. En consecuencia, la presión disminuida en el punto 2 en relación con la del 1 provoca que el agua del océano se eleve en el punto 2. Lo mismo se cumple para el punto 3, en donde la velocidad del aire de la tormenta es despreciable. La diferencia de presión dada en términos de la altura de la columna de mercurio puede expresarse en términos de la altura de la columna de agua de mar por: ∆ P= ( pgh ) Hg=( pgh )am → h am=

phg h pam Hg

Entonces la diferencia de presión entre los puntos 1 y 3, en términos de la altura de la columna de agua de mar, queda: 12∈¿ 1 ft ¿ ¿ phg f t3 h1= h Hg= 848 lbm/ lbm/f t 3 [ ( 30−22 ) inHg ] ¿ pam 64

(

)

Lo cual equivale al oleaje del tormenta en el ojo del huracán, ya que la velocidad del viento allí es despreciables y no se tienen efectos dinámicos. B) para determinar la elevación adicional del agua del océano en el punto 2, debida a los fuertes vientos en ese punto, se escribe la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B los cuales se encuentran en la parte superior de los puntos 2 y 3, respectivamente. Note que VB≅0

(la región del ojo del huracán esta en relativa calma) y

Z A =Z B

(los dos puntos

están sobre la misma recta horizontal), la ecuación de Bernoulli se simplifica a: P A V 2A P V2 P −P A V 2A + + ZA= B + B + ZB → B = pg 2 g pg 2 g pg 2g Se sustituye: 1.4667 ft P B−P A V ( 155 mph ) s = = ( )=803 ft pg 2g 1mph 32.2 ft 2 s2 2 A

2

(

)

En donde p es la densidad del aire en el huracán. Debe notarse que la densidad de un gas ideal a temperatura constante es proporcional a la presión absoluta y que la densidad del aire a presión atmosférica normal de 14.7 psia ≈ 30 in Hg es de 0.076 lbm/ft³, la densidad del aire en el huracán es : Paire =

Paire 22∈Hg ibm P atmaire = 0.076 3 =0.056 lbm/ft ³ Patm aire 30∈Hg ft

(

)(

)

Con la aplicación de la relación desarrollada antes en el inciso a), se determina que la altura de la columna de agua de mar equivalente a 803ft de altura de la columna de aire es:

0.056 lbm 3 Paire ft hdinamica= h = ( 803 ft )=0.70 ft Pam aire 64 lbm 3 ft

(

)

Por lo tanto, la presión en el punto 2 es 0.70 ft de columna de agua de mar más baja que la presión en el punto 3, debido a las altas velocidades del viento, lo que hace que el océano se eleve 0.70 ft más. Entonces, el oleaje total de la tormenta en el punto 2 queda: h2=h1+ hdinamica=8.83+ 0.70=9.53 ft Discusión. En este problema interviene un flujo intensamente turbulento y la intensa desintegración de las líneas de corriente y, como consecuencia, la aplicabilidad de la ecuación de Bernoulli en el inciso b) es cuestionable. Además, el flujo en el ojo de la tormenta no es irrotacional y la consta de esta ecuación cambia a traces de esas líneas. Se puede pensar en el análisis de Bernoulli como el caso ideal limite y se muestra que la elevación del agua de mar debida a los vientos de alta velocidad no puede ser más de 0.70ft. El poder del viento de los huracanes no es la única causa del daño a las zonas costeras. La inundación y la erosión oceánicas que provienen de las mareas excesivas son precisamente tan graves como lo son las altas olas que se generan por turbulencia y la energía de la tormenta.