Gradiente Aritmetico y Geometrico

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

ECONOMÍA DE PROCESO DOCENTE: Ing. Chú Esquerre, Teresa

ALUMNOS: Aguila Cuisano, Jhon Laiza Escobedo, Jhaxon

Trujillo- Perú 0

2014

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FACTORES DE GRADIENTE ARITMÉTICO (P/G Y A/G) Un gradiente aritmético es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. Es decir, el flujo de efectivo, ya sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada periodo. La cantidad del aumento o de la disminución es el gradiente. Por ejemplo, si un ingeniero industrial predice que el costo del mantenimiento de un robot aumentará en $ 500 anuales hasta que la máquina se desecha, hay una serie gradiente relacionada y la cantidad del gradiente es $500. Primero suponga que el flujo de efectivo al final del año 1 no forma parte de la serie del gradiente, sino que es una cantidad base. Esto es conveniente porque en las aplicaciones reales la cantidad base en general es mayor o menor que el aumento o la disminución del gradiente. Por ejemplo, si una persona compra un automóvil usado con una garantía de un año, se podría esperar que durante el primer año de operación tuviera que pagar tan sólo la gasolina y el seguro. Suponga que dicho costo es $1 500; es decir, $1 500 es la cantidad base. Después del primer año, la persona tendría que solventar el costo de las reparaciones, y razonablemente se esperaría que tales costos aumentaran cada año. Si se estima que los costos totales aumentarán en $50 cada año, la cantidad al segundo año sería $1 550, al tercero, $1 600, y así sucesivamente hasta el año n, cuando el costo total sería $1 550 + (n – 1)50. El diagrama de flujo de efectivo para esta operación se muestra en la figura 2.10. Observe que el gradiente ($50) aparece por primera vez entre los años 1 y 2, y la cantidad base no es igual al gradiente. El símbolo G para los gradientes se define como: G = cambio aritmético constante en la magnitud de los ingresos o desembolsos de un periodo al siguiente; G puede ser positivo o negativo.

Figura 2.10 Diagrama de una serie gradiente aritmético con una cantidad base de $1 500 y un gradiente de $50.

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Figura 2.11 Serie gradiente aritmético convencional sin la cantidad base.

El flujo de efectivo en el año n (CFn) se calcula como CFn = cantidad base + (n – 1)G Si se ignora la cantidad base, se puede construir un diagrama de flujo de efectivo generalizado de gradiente aritmético (creciente), como se muestra en la figura 2.11. Observe que el gradiente empieza entre los años 1 y 2. A éste se le denomina gradiente convencional. EJEMPLO 2.9 Una compañía de ropa deportiva ha iniciado un programa para registrar su logo. Espera obtener ingresos de $80 000 por derechos el próximo año por la venta de su logo. Se espera que los ingresos por derechos se incrementen de manera uniforme hasta un nivel de $200 000 en 9 años. Determine el gradiente aritmético y construya el diagrama de flujo de efectivo. Solución La cantidad base es $80 000 y el aumento total de ingresos es Aumento en 9 años = 200 000 – 80 000 =120 000 Gradiente =

=

Figura 2.12 Diagrama para la serie gradiente, ejemplo 2.9 .

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Se derivan tres factores para los gradientes aritméticos: el factor P/G para el valor presente, el factor A/G para serie anual y el factor F/G para el valor futuro. Existen varias formas para derivarlos. Aquí se usa el factor de valor presente con pago único (P/F,i,n); aunque se llega al mismo resultado utilizando los factores F/P, F/A o P/A. En la figura 2.11 el valor presente en el año 0 sólo del gradiente es igual a la suma de los valores presentes de los pagos individuales, donde cada valor se considera como una cantidad futura. P=G(P/F,i,2) +2G(P/F.i,3)+3G(P/F,1,4)+…[(n-2)G](P/F,i,n-1)+ [(n-1)]G(P/F,i,n) Factorice G y aplique la fórmula P/F:

*(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

+

[2.11]

Al multiplicar ambos lados de la ecuación [2.11] por (1 + i)1 se obtiene:

(

)

*(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

+

*(

)

+

[2.12]

Reste la ecuación [2.11] de la ecuación [2.12] y simplifique

*(

)

(

)

(

)

(

)

+

[2.13]

La expresión entre corchetes que se encuentra a la izquierda es la misma que la que se presenta en la ecuación [2.4], donde se derivó el factor P/A. Sustituya la forma cerrada del factor P/A de la ecuación [2.6] en la ecuación [2.13] y despeje P para obtener una relación simplificada.

*(

)

(

)

* *

(

(

(

)

)

(

)

(

+

)

+

[2.4] [2.6]

) (

)

(

)

+

[2.14]

La ecuación [2.14] es la relación general para convertir un gradiente aritmético G (sin incluir la cantidad base) para n años en un valor presente en el año 0. La figura 2.13a se convierte en el flujo de efectivo equivalente que se indica en la figura 2.13b. El factor de valor presente de gradiente aritmético, o factor P/G, se expresa en dos formas distintas:

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*

(P/G,i,n)

(P/G,i,n)

(

(

) (

)

(

)

+

) (

[2.15]

)

Figura 2.13 Diagrama de conversión de un gradiente aritmético a un valor presente.

El gradiente empieza en el año 2 y P está ubicado en el año 0. La ecuación [2.14], expresada como una relación de ingeniería económica, tiene la siguiente forma: P = G(P/G,i,n)

[2.16]

La serie anual uniforme equivalente (valor A) de un gradiente aritmético G se calcula multiplicando el valor presente de la ecuación [2.16] por la expresión del factor (A/P,i,n). En forma de notación estándar, el equivalente de la cancelación algebraica de P se utiliza para obtener el factor (A/G,i,n). A = G(P/G,i,n)(A/P,i,n) = G(A/G,i,n)

*

*

(

) (

(

)

)

(

)

+

+[

( (

) )

]

[2.17]

La expresión entre corchetes en la ecuación [2.17] se denomina el factor de gradiente aritmético de una serie uniforme y se identifica por (A/G,i,n). Este factor convierte la figura 2.14a en la figura 2.14b

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Figura 2.14 Diagrama de conversión de una serie gradiente aritmético a una serie anual uniforme equivalente.

Los factores P/G y A/G y las relaciones se resumen en el forro interior de la portada. Los valores de los factores se tabulan en las dos columnas situadas más a la derecha en las tablas de factores 1 a 29, al final de este libro. No existe una función directa de celda individual en una hoja de cálculo para determinar P o A con un gradiente aritmético. Utilice la función VNP para P, y la función PAGO para A, después de que todos los flujos de efectivo se ingresen en las celdas. (El uso de las funciones VNP y PAGO para este tipo de series de flujo de efectivo se analizan en el capítulo 3.) Se puede derivar un factor F/G (factor gradiente aritmético, valor futuro) al multiplicar los factores P/G y F/P. El factor resultante, (F/G,i,n), entre corchetes, y la relación de ingeniería económica son.

( *( ) (

)

)+

El valor presente total PT para una serie gradiente debe considerar por separado la base y el gradiente. En consecuencia, para series de flujo de efectivo que impliquen gradientes convencionales:  La cantidad base es la cantidad A de serie uniforme que empieza en el año 1 y se extiende hasta el año n. Su valor presente se simboliza con PA.  Para un gradiente creciente, la cantidad gradiente debe agregarse a la cantidad de la serie uniforme. El valor presente es PG.  Para un gradiente decreciente, la cantidad gradiente debe restarse de la cantidad de la serie uniforme. El valor presente es –PG.

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Las ecuaciones generales para calcular el valor presente total PT de los gradientes aritméticos convencionales son: PT = PA + PG y PT = PA – PG

[2.18]

De manera similar, las series anuales totales equivalentes son AT = AA + AG y AT = AA – AG

[2.19]

Donde AA es la cantidad base anual y AG es la cantidad anual equivalente de la serie gradiente. EJEMPLO 2.10

Tres condados adyacentes en Florida acordaron emplear recursos fiscales ya destinados para remodelar los puentes mantenidos por el condado. En una junta reciente, los ingenieros de los condados estimaron que, al final del próximo año, se depositará un total de $500 000 en una cuenta para la reparación de los viejos puentes de seguridad dudosa que se encuentran en los tres condados. Además, estiman que los depósitos aumentarán en $100 000 por año durante 9 años a partir de ese momento, y luego cesarán. Determine las cantidades equivalentes de a) valor presente y de b) serie anual, si los fondos del condado ganan intereses a una tasa del 5% anual.

Figura 2.15 Serie de flujos de efectivo con un gradiente aritmético convencional (en unidades de $1 000), ejm. 2.10

Solución a) El diagrama de flujo de efectivo desde la perspectiva del condado se muestra en la figura 2.15. Se deben realizar dos cálculos y luego se tiene que sumar: el primero para el valor presente de la cantidad base PA, y el segundo para el valor presente del gradiente PG. El valor presente total PT ocurre en el año 0, lo cual se indica mediante la partición del diagrama de flujo de efectivo de la figura 2.16. En unidades de $1 000, el valor presente, a partir de la ecuación [2.18] es PT = 500(P/A,5%,10) + 100(P/G,5%,10) = 500(7.7217) + 100(31.652) = $7 026.05 ($7 026 050)

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b) También aquí es necesario considerar por separado al gradiente y a la cantidad base. La serie anual total AT se encuentra usando la ecuación [2.19]. AT = 500 + 100(A/G,5%,10) = 500 + 100(4.0991) = $909.91 por año ($909 910) Y AT ocurre desde el año 1 hasta el año 10.

FACTORES PARA SERIES GRADIENTE GEOMÉTRICO Es común que las series de flujo de efectivo, tales como los costos de operación, los costos de construcción y los ingresos, aumenten o disminuyan de un periodo a otro mediante un porcentaje constante, por ejemplo, 5% anual. Esta tasa de cambio uniforme define una serie gradiente geométrico de flujos de efectivo. Además de los símbolos i y n utilizados hasta el momento, ahora se necesita el término g = tasa de cambio constante, en forma decimal, mediante la cual las cantidades aumentan o disminuyen de un periodo al siguiente La figura 2.17 presenta diagramas de flujo de efectivo para series gradiente geométrico con tasas uniformes de aumento o disminución. La serie empieza en el año 1 a una cantidad inicial A1, la cual no se considera una cantidad base, como en el gradiente aritmético.

Figura 2.17 Diagrama de flujo de efectivo de una serie gradiente geométrico a) creciente y b) decreciente y valor presente Pg.

La relación para determinar el valor presente total Pg para toda la serie de flujo de efectivo puede derivarse al multiplicar cada flujo de efectivo en la figura2.17a por el factor P/F: 1/(1 + i)n. ( (

)

*(

)

(

)

(

)

(

(

)

) )

(

)

(

)

7

(

(

)

(

) )

(

)

+

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Se multiplican ambos lados por (1 + g)/(1 + i), se resta la ecuación [2.20] del resultado, se factoriza Pg y se obtiene:

(

(

)

*(

)

+

)

Se despeja Pg y se simplifica.

(

(

)

)

[2.21]

El término entre corchetes en la ecuación [2.21] es el factor de valor presente de la serie gradiente geométrico para valores de g que no son iguales a la tasa de interés i. La notación estándar usada es (P/A,g,i,n). Cuando g = i, sustituya i por g en la ecuación [2.20] para obtener (

(

)

(

)

(

)

(

)

)

El término 1/(1 + i) aparece n veces, de modo que

((

)

[2.22]

)

En resumen, la relación de ingeniería económica y las fórmulas de factor para calcular Pg en el periodo t = 0 para una serie gradiente geométrico que inicia en el periodo 1 en la cantidad A1 y aumenta por una tasa constante de g cada periodo, son Pg = A1(P/A,g,i,n) (

[2.23] )

(P/A,g,i,n)= [

]

[2.24]

EJEMPLO 2.11 Los ingenieros del SeaWorld, una división de Busch Gardens, Inc., desarrollaron una innovación en un deporte acuático existente para hacerlo más excitante. La modificación cuesta sólo $8 000 y se espera que dure 6 años con un valor de salvamento de $1 300 para el mecanismo solenoide. Se espera que el costo de mantenimiento sea de $1 700 el primer año, y que aumente 11% anual

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en lo sucesivo. Determine el valor presente equivalente de la modificación y del costo de mantenimiento si la tasa de interés es de 8% anual. Solución: El diagrama de flujo de efectivo (figura 2.18) muestra el valor de salvamento como un flujo de efectivo positivo y todos los costos como negativos. Con la ecuación [2.24] y g i calcule Pg. La PT total es. PT= -8000-Pg+1300(P/F,8%,6) PT= -8000-1700*

(

)

+

(P/F,8%,6)

PT= -8000-17000(5.9559) +819.26= $ -17305.85

Figura 2.18 Diagrama de flujo de efectivo de un gradiente geométrico, ejemplo 2.11

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO Gradiente aritmético 2.27 Una secuencia de flujo de efectivo inicia en el año 1 en $3 000 y aumenta en $1 000 cada año hasta el año 10. a) Calcule el valor del gradiente G, y b) determine la cantidad de flujo de efectivo en el año 8 y c) encuentre el valor de n para el gradiente. Solución:

 G = $1000  (b) CF8 = 3000 + 1000(7-1) CF8 = $10000  (c) n = 10

2.29 Para la secuencia de flujo de efectivo que comienza en el año 1, expresada por la relación 900 – 100k, donde k representa los años 1 a 5, a) Determine el valor del gradiente G, y b) calcule el flujo de efectivo en el año 5. Solución:

CFn = cantidad base + (n – 1) G

900 – 100k Donde: G = $100 (b) CF5 = 900 – 100(5) = $400 10

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3.31 Chevron-Texaco espera que los ingresos provenientes de pozos stripper (aquellos que producen menos de diez barriles diarios) disminuyan de acuerdo con un gradiente aritmético de $50 000 por año. Estos ingresos anuales se espera sean de $280 000 (es decir, al final del año 1), y la compañía espera que la vida útil de los pozos sea de cinco años. a) ¿Cuál es el monto del flujo de efectivo en el año 3, y b) ¿cuál es el valor anual uniforme equivalente en los años 1 a 5 del ingreso que generan los pozos, con una tasa de interés de 12% anual?

Solución: 280000

CFn = cantidad base + (n – 1) G

230000 180000 130000

(a) CF3 = 280,000 – 2(50,000)

80000

= $180,000 0

1

2

3

i = 12% anual

(b) serie anual total equivalente es: AT = AA – AG A = 280,000 – 50,000(A/G,12%,5) = 280,000 – 50,000(1.7746)

A = $191,270

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4

5 Años

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3.33Amazon estudia la adquisición de un sistema de cómputo avanzado para cubicar las dimensiones de un libro (medir su altura, longitud y ancho de modo que se use el tamaño adecuado de caja para enviarlo). Esto ahorrará material, cartón y mano de obra. Si en el primer año los ahorros serán de $150 000 y de $160 000 en el segundo, y las cantidades se incrementan anualmente en $10 000 durante ocho años, ¿cuál es el valor presente del sistema, con una tasa de interés de 15% anual? Solución:

PT = PA + PG P = A(P/A,15%,8) + G(P/G,15%,8) P = 150,000(P/A,15%,8) + 10,000(P/G,15%,8) P= 150,000(4.4873) + 10,000(12.4807) P = $797,902

2.35Ford Motor Company puede reducir en 80% el costo requerido por instalar instrumentos para recabar datos en los vehículos de prueba por medio de usar transductores de potencia de giroscopio desarrollados por MTS. a) Si se espera que el costo en este año (es decir, al final del año 1) sea de $2 000, ¿cuál fue el costo el año anterior a la instalación de los transductores? b) Si se espera que los costos se incrementen por año $250 durante los cuatro años siguientes (es decir, hasta el año 5), ¿cuál es el valor anual equivalente de los costos (años 1 a 5) con una tasa de interés de 18% anual? Solución: Costo = 2000/0.2 = $10,000

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(b) G = 250 A = 2000 + 250(A/G,18%,5) = 2000 + 250(1.6728) = $2418 2.37Una compañía farmacéutica importante pronostica que en los años por venir podría verse involucrada en litigios relacionados con los efectos colaterales que se perciben en uno de sus medicamentos antidepresivos. A fin de preparar fondos destinados especialmente para esto, la empresa quiere tener dinero disponible dentro de seis años, que hoy tiene un valor presente de $50 000 000. La compañía espera reservar $6 000 000 el primer año e incrementar esta cifra de manera uniforme en cada uno de los cinco años siguientes. Si la empresa espera obtener 12% anual sobre el dinero que reserve, ¿cuánto debe incrementar cada año la cantidad reservada a fin de alcanzar su objetivo? Solución:

50 = 6(P/A,12%,6) + G(P/G,12%,6) 50 = 6(4.1114) + G(8.9302) G = $2,836,622

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO Gradiente geométrico 2.39 Suponga que le pidieran preparar una tabla de valores de los factores (como la que se encuentra al final del libro) para calcular el valor presente de una serie de gradiente geométrico. Determine los tres primeros valores (es decir, para n = 1, 2 y 3) para una tasa de interés de 10% anual, y una tasa de incremento de g de 4% anual. Solución: n = 1: [

n = 2: [

n = 3: [

(

)

(

)

(

)

] = 0.9091 n Factor de valor presente i=10% y g=4% 1 0.9091 2 1.7686 3 2.5812

] = 1.7686

] = 2.5812

2.41 Se sabe que el esfuerzo que se requiere para mantener un microscopio electrónico de barrido se incrementa en un porcentaje fijo cada año. Una compañía de mantenimiento de equipos de alta tecnología ofrece sus servicios por una cuota de $25 000 para el primer año (es decir, al final del año 1), con incrementos de 6% anual a partir de entonces. Si una empresa de biotecnología desea celebrar un contrato de tres años para aprovechar las ventajas de ciertas exenciones fiscales temporales, ¿cuánto debe estar dispuesta a pagar si usa una tasa de interés de 15% anual? Solución: P = 25000[

(

)

] = $60247

Pg=$60247 i = 15% g = 6% Años

25000 25000(1.06)

1

25000(1.06)

14

2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO 2.43 Determine cuánto dinero habría en una cuenta de ahorros que comenzó con un depósito de $2 000 en el año 1, y cantidades posteriores que se incrementaban 10% cada año. Use una tasa de interés de 15% anual y un periodo de siete años.

Solución: P = 2000[

(

)

]

P = 2000(5.3481) P = $10696 F = 10696(F/P,15%,7) F = 10696(2.6600) F = $28452

F=$28452 P=$10696 i=15% g=10%

0

1

2

3

4

5

6

7 Años

2000 2000(1.1)1 2

2000(1.1)

3

2000(1.1)

2000(1.1)

4 5

2000(1.1)

6

2000(1.1)

15

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO 2.45 Thomasville Furniture Industries ofrece varios tipos de telas de alto rendimiento capaces de resistir productos químicos tan dañinos como el cloro. Cierta compañía manufacturera del oeste medio de los Estados Unidos que usa la tela en varios de sus productos reportó que el valor presente de sus compras de este material durante un periodo de cinco años había sido de $900 000. Si se sabe que los costos se incrementaron en forma geométrica 5% por año durante ese periodo, y que la empresa usa una tasa de interés de 15% anual para sus inversiones, ¿cuál fue el costo de la tela en el año 2? (

900,000 = A[

)

]

900000 = A{3.6546) A = $246263 al año 1 Costo en el año 2 = 246263(1.05) = $258576 P=$900000

i=15% g=5% 1

2

3

4

5 Años

$246263

$246263(1.05) 2

$246263(1.05)

3

$246263(1.05)

$246263(1.05)

4

2.47 Una empresa de consultoría del norte de California quiere comenzar a ahorrar dinero para reemplazar sus servidores de red. Si invierte $3 000 al final del año 1 e incrementa la cantidad invertida 5% cada año, ¿cuánto habrá en la cuenta dentro de cuatro años si percibe intereses a una tasa de 8% anual? Solución: P = 3000[

(

)

]

P= 3000{3.5522} P= $ 10657

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO F = 10657(F/P,8%,4) F= 10657(1.3605) F = $14498 F=$14498 P=$10657

i=8% g=5% 1

2

3

4 Años

$3000

$3000(1.05) $3000(1.05)

2

$3000(1.05)

3

EQUIVALENCIAS PARA SERIES Y CANTIDADES ÚNICAS 4.26 El misil Patriot, desarrollado por Lockheed Martin para el ejército estadounidense, se diseñó para derribar aeronaves y a otros misiles. El costo original del Patriot Avanzado con Capacidad-3, estaba planeado para costar $3.9 mil millones, pero debido al tiempo adicional requerido para crear el código de computación y a las pruebas fallidas ocasionadas por vientos fuertes en la instalación de White Sands Missile Range, el costo real fue mucho más elevado. Si el tiempo total de desarrollo del proyecto fue de 10 años y los costos aumentaron a una tasa de 0.5% mensual, ¿a cuánto ascendió el costo final? Solución: Periodo= 10 años X 12meses =120 meses F = 3.9*109(F/P,0.5%,120) = 3.9*109(1.8194) = $7.09566*109 i= 0.5% mensual 1 2 3 4 11 12

P=3.9*109

5

6

7

8

9 10

años

F=7.09566*109

17

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO 4.28 A fines del primer trimestre del año 2000, una huelga de 40 días en Boeing dio como resultado una reducción en 50 entregas de aviones jet. Con un costo de 20 millones por avión ¿cuál fue el costo equivalente a final del año de la huelga (por ejemplo del último trimestre) con una tasa de interés de 18% anual compuesto mensualmente? Solución:

1er trimestre = 3 meses

i=

= 1.5%mensual

n = 12 meses – 3 meses = 9 F = 50(20*106)(F/P,1.5%,9) F = 1*109(1.1434) i= 1.5% mensual

F = $1.1434 *109 1

2 3 4

5

6

7

8

9 10 11 12

meses

P=1*109

F=1.1434*109

4.30 Thermal Systems, compañía que se especializa en el control de olores, deposita hoy $10 000, $25 000 al final del sexto mes, y $30 000 al final del noveno mes. Calcule el valor futuro (al final del año 1) de los depósitos, con una tasa de interés de 16% anual, compuesto trimestralmente. Solución: 1 Trimestre = 3 meses

i=

F = 10,000(F/P,4%,4) + 25,000(F/P,4%,2) + 30,000(F/P,4%,1) F= 10,000(1.1699) + 25,000(1.0816) + 30,000(1.04) F = $69,939 F=69939 30000

25000

10000

meses 0 1

2 3 4

5

6

7

8

9 10 11 12

i=4% Trimestral

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO 4.39 A continuación se presentan los flujos de efectivo (en miles) asociados con el sistema de aprendizaje Touch, de Fisher Price. Calcule la serie uniforme trimestral, en los trimestres 0 a 8, que sería equivalente a los flujos de efectivo mostrados, con una tasa de interés de 16% anual, compuesto trimestralmente. Solución:

Trimestre

Flujo de efectivo, $/trimestre

1 2-3 5-8

1000 2000 3000

P-1 = 1000(P/F,4%,2) + 2000(P/A,4%,2)(P/F,4%,2) + 3000(P/A,4%,4)(P/F,4%,5) P-1 = 1000(0.9246) + 2000(1.8861)(0.9246) + 3000(3.6299)(0.8219) P-1 = $13363

A = 13,363(A/P,4%,9) A = 13,363(0.13449)

A = $1797.19

A= 3000 A=2000 A=1000 Trimestre

0

1

2

3

4

5

i=4%trimestral al A=1797.19

19

6

7

8

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

Equivalencia cuando PP < PC

4.41 En el tiempo t = 0, un ingeniero depositó $10 000 en una cuenta que paga un interés del 8% anual compuesto semianualmente. Si retiras $1 000 en los meses 2, 11 y 23 ¿cuál es el valor total de la cuenta al final de 3 años? Considere que no hay composición alguna entre los periodos. Solución: F = (10,000 – 1000)(F/P,4%,6) – 1000(F/P,4%,5) – 1000(F/P,4%,3) F = 9000(1.2653) – 1000(1.2167) – 1000(1.1249) F = $9046

P=10000 F=9046 i = 4% semestral 0 1

2

3

11

12

13

23

24

25

36

Meses

1000

1000

1000

20