Gonzalez.gonzalez.zuñiga Tarea2

UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA DEPARTAMENTO DE OBRAS CIVILES VALPARAISO – CHILE

Tarea n°2 Ingeniería Sísmica

Integrantes:

Pedro González A. Francisco González R. Francisco Zúñiga O.

Carrera:

Ingeniería Civil

Fecha:

16/06/2014

Junio de 2014

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles

Índice 1

CONSIDERACIONES GENERALES .......................................................................................................................... 2 1.1 1.1.1 1.1.2

1.2 1.2.1 1.2.2

1.3 1.3.1

2

Material: .............................................................................................................................................................................2 Disposiciones geométricas: ...............................................................................................................................................2

CARGAS: .......................................................................................................................................................... 3 Peso propio:.......................................................................................................................................................................3 Peso sísmico .....................................................................................................................................................................3

PARÁMETROS NCH 433 MOD 2009 Y D61: ................................................................................................... 3 Espectro de diseño ............................................................................................................................................................4

ANÁLISIS CON ETABS. ............................................................................................................................................. 5 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3

2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3

2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5

3

CARACTERÍSTICAS DE LA ESTRUCTURA ................................................................................................... 2

CORTE BASAL MÁXIMO Y MÍNIMO DEFINIDO POR LA NORMA: ............................................................... 6 Corte basal máximo: ..........................................................................................................................................................6 Corte basal mínimo:...........................................................................................................................................................6 Análisis Corte basal ...........................................................................................................................................................6

ANÁLISIS DE DESPLAZAMIENTOS .............................................................................................................. 7 Sismo en dirección X: ........................................................................................................................................................8 Sismo en dirección Y: ........................................................................................................................................................8 Análisis por torsión accidental ...........................................................................................................................................9

ANÁLISIS ESTÁTICO SEGÚN NCH 433 ....................................................................................................... 12 Limitaciones de los coeficientes sísmicos: ......................................................................................................................12 Cortes basales .................................................................................................................................................................13 Análisis de los desplazamientos:.....................................................................................................................................14 Análisis por torsión accidental: ........................................................................................................................................15 Comentarios: ...................................................................................................................................................................18

ANÁLISIS SÍSMICO SIN ETABS ............................................................................................................................. 19 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4

3.2 3.2.1

3.3 3.3.1

PERIODOS Y MODOS DE VIBRAR DE LOS PRIMEROS TRES MODOS DEL EDIFICIO ........................... 19 Cálculo de la matriz de rigidez del sistema. ....................................................................................................................20 Matriz de masas del edificio. ...........................................................................................................................................26 Modos de vibrar y periodos fundamentales.....................................................................................................................27 Comparación de resultados con la parte 1, comentarios. ...............................................................................................28

DETERMINACIÓN DEL CORTE BASAL, MEDIANTE LA LEY DE COMBINACIÓN CQC ........................... 28 Comparación de resultados con la parte 1, comentarios. ...............................................................................................30

DESPLAZAMIENTOS DEL CENTRO DE GRAVEDAD Y DEL BORDE DE CADA NIVEL. .......................... 31 Comparación de resultados con la parte 1, comentarios. ...............................................................................................35

1

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles

1

CONSIDERACIONES GENERALES

Se establecen las consideraciones generales a utilizar para el análisis. 1.1

CARACTERÍSTICAS DE LA ESTRUCTURA

La estructura propuesta posee las siguientes características: 1.1.1

Material:

La estructura está hecha de hormigón H25 cuyas propiedades son: Densidad La densidad a utilizar corresponde a

,

-

Módulo de elasticidad: El módulo de elasticidad a utilizar es el propuesto por ACI-318: √ Para hormigón H25 queda definido como:

,

- , de esta manera el módulo de elasticidad

[ 1.1.2

]

Disposiciones geométricas:

La estructura está compuesta por 4 niveles donde el primero tiene 5[m] de altura y los demás tienen 3 [m] de altura. En planta la estructura está compuesta por 4 muros de 3 metros de largo y 20 [cm] de espesor, además posee una losa de 14 x 10 [m] por nivel de 12 [cm] de espesor. Las disposiciones de los elementos se pueden observar en la siguiente figura:

2

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles 1.2

CARGAS:

El cálculo de las cargas del edificio es el siguiente: 1.2.1

Peso propio:

Corresponde al peso muerto de la estructura, para cada piso se considera la mitad del muro inferior y la mitad del muro superior, además de la losa respectiva de 12 [cm] y una sobre losa de 4 [cm] De esta manera: ) ) ) )

(( (( (( ((

( ( ( (

) ) ) )

( ( (

)) )) ))

(

))

Cargas de uso: Las cargas de uso se obtienen según la Norma NCh1537 Mod. 2009. Las cuales según la tabla 4, (Viviendas: Áreas de uso general) son: ,

-

La cual se utilizara en los 4 niveles por igual.

1.2.2

Peso sísmico

Según la Nch 433 Mod 2009 se debe considerar un Peso sísmico equivalente al peso propio de la estructura más un 25% de la sobrecarga el cual se utilizara en el cálculo a mano y en el análisis estático: De esta manera

A nivel de piso las masas sísmicas quedan definidas como , , , ,

Finalmente 1.3

-

, -

PARÁMETROS NCH 433 MOD 2009 Y D61:

La estructura es del tipo habitacional estará emplazada en viña del mar en consecuencia su categoría de ocupación es del tipo II según la tabla 4.1 de la norma Nch 433 y la zona sísmica a utilizar según la tabla 4.2 de la misma es la zona 3.

3

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles 1.3.1

Espectro de diseño

El espectro de diseño que determina la resistencia sísmica de la estructura está definido en la sección 6.3.5 como:

Donde: I: coeficiente relativo al edificio, cuyos valores se especifican en la tabla 6.1 de acuerdo a la categoría de ocupación, para una categoría II se obtiene un Valor de I=1 A: aceleración efectiva máxima la cual se determina en la tabla 6.2 de acuerdo con la zona sísmica del país, para la zona 3 se obtiene un valor de Α: factor de amplificación el cual se determina para cada modo de vibrar n, de acuerdo con la expresión: . / . / En que = periodo de vibración del modo n , p, S = parámetros relativos al tipo de suelo los cuales se determinan en el D61- tabla 12.3:

De esta manera el espectro elástico de diseño (sin el R*), queda de la siguiente manera:

4

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles

ESPECTRO ELASTICO DE DISEÑO 12 10

Sa [m/s2]

8 6 4 2 0 0

1

2

3

4

5

6

Periodo Natural Tn [seg]

R* = factor de reducción se determina en la sección 6.3.5.3 como:

T* = periodo del modo con mayor masa traslacional equivalente en la dirección de análisis. = factor de modificación de respuesta estructural y se establece de acuerdo con la tabla 5.1 de la Nch 433, además en esta tabla se obtiene R para el análisis estático a realizar más adelante: Para muros de hormigón armado se obtiene:

2

ANÁLISIS CON ETABS.

Se realiza a modelar la estructura con las características ya mencionadas en el software ETABS. Se aplican cargas debido al uso y a la sobre losa puesto que el software calcula el peso de la estructura por si solo de esta manera las cargas quedan: [

]

[

]

Una vez definidas las sobrecargas se procede a definir el peso sísmico de la estructura, mediante el comando mass source se define el peso sísmico como: Finalmente se procede a calcular el periodo de la estructura con mayor masa traslacional en las direcciones X e Y obteniendo:

5

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles ,

-

,

-

Conociendo estos valores se procede a calcular los factores de reducción de respuesta para ambas direcciones de análisis obteniendo: Y el peso sísmico asciende a 336 [T]. 2.1

CORTE BASAL MÁXIMO Y MÍNIMO DEFINIDO POR LA NORMA:

2.1.1

Corte basal máximo:

Según el ítem 6.3.7 de la Nch 433 el corte basal máximo no necesita ser mayor que Donde

se obtiene de la tabla 6.4:

De esta manera: 2.1.2

,

-

Corte basal mínimo:

Según el ítem 6.3.7 de la norma establece que el corte basal no debe ser menor que: , 2.1.3

-

Análisis Corte basal

Ingresando el espectro reducido y corriendo el programa se obtuvieron los siguientes cortes basales para ambas direcciones de análisis: ,

-

,

6

-

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles Observando los resultados se observa que para la dirección Y, el corte cumple con lo estipulado con la norma, no así en la dirección X donde el corte basal resultó ser menor al mínimo impuesto por la norma. En consecuencia se debe modificar el factor reducción del espectro con tal que cumpla con la norma:

Modificando el espectro en X y corriendo nuevamente el programa se obtiene un corte basal , - donde cumple con lo requerido por la norma. en X de 2.2

ANÁLISIS DE DESPLAZAMIENTOS

Una vez determinados los cortes basales de la estructura en ambas direcciones se procede a verificar que los desplazamientos cumplan con lo estipulado en la sección 5.9.2 y 5.9.3 que indican: 5.9.2 el desplazamiento relativo máximo entre 2 pisos consecutivos, medidos en el centro de masas en cada una de las direcciones de análisis, no debe ser mayor que la altura entre piso multiplicada por 0.002 5.9.3 el desplazamiento relativo máximo entre 2 pisos consecutivos, medidos en cualquier punto de la planta en cada una de las direcciones de análisis, no debe exceder en más de 0.001*h al desplazamiento relativo correspondiente medido en el centro de masas, en que h es la altura entre piso.

El software ETABS entrega Las derivas totales máximos entre piso y las derivas del centro de masa de esta manera se procede a calcular el drift del punto cualquiera (el más desfavorable) de la siguiente manera:

7

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles De esta manera se obtienen los siguientes resultados para ambas direcciones de análisis: 2.2.1

Sismo en dirección X:

PISO 1 2 3 4

DERIVA TOTAL 0.000539 0.001056 0.001218 0.001268

DERIVA CM 0.00032 0.000627 0.000732 0.000759

PISO 1 2 3 4

DERIVA TOTAL 0.000419 0.000822 0.000947 0.000989

DERIVA CM 0 0 0 0

2.2.2

SISMO EN X DERIVA EN X DERIVA punto VERIFICACION 0.000219 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000429 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000486 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000509 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA DERIVA EN Y DERIVA punto VERIFICACION 0.000419 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000822 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000947 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000989 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA

Sismo en dirección Y:

PISO 1 2 3 4

DERIVA TOTAL 0 0 0 0.000002

DERIVA CM 0 0 0 0

PISO 1 2 3 4

DERIVA TOTAL 0.00032 0.000649 0.000762 0.000816

DERIVA CM 0.00032 0.000649 0.000762 0.000795

SISMO EN Y DERIVA EN X DERIVA punto VERIFICACION 0 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000002 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA DERIVA EN Y DERIVA punto VERIFICACION 0 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000021 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA

Como se observa los desplazamientos obtenidos están por debajo de los máximos permitidos por lo que cumplen con la Nch 433.

8

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles

2.2.3

Análisis por torsión accidental

El efecto de la torsión accidental se considera como lo estipulado en la sección 6.3.4 b Se aplican momentos de torsión estáticos en cada nivel calculado como el producto de la variación del esfuerzo de corte combinado en ese nivel, por una excentricidad accidental dada por:

Se debe tomar igual signo para las excentricidades en cada nivel. De esta manera los momentos aplicados para cada dirección de análisis son: Sismo en dirección X:

piso 1 piso 2 piso 3 piso 4

Zk [m] 5 8 11 14

VX (Ton] 22.39 19.85 15.72 9.17

ΔVx 2.54 4.13 6.55 9.17

bky [m] 10 10 10 10

e Mk [ton-m] 0.35714286 0.90714286 0.57142857 2.36 0.78571429 5.14642857 1 9.17

Sismo en dirección Y:

piso 1 piso 2 piso 3 piso 4

Zk [m] 5 8 11 14

VX (Ton] 27.99 24.96 19.7 11.33

ΔVx 3.03 5.26 8.37 11.33

bky [m] 14 14 14 14

e 0.5 0.8 1.1 1.4

Mk [ton-m] 1.515 4.208 9.207 15.862

Estos momentos estáticos mk se aplican al modelo como una fuerza estática obteniendo los siguientes resultados para los desplazamientos:

9

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles 2.2.3.1

Caso 1:

Signo positivo de los momentos Sismo en Dirección X: SISMO EN X DERIVA EN X PISO 1 2 3 4 PISO 1 2 3 4

DERIVA TOTAL 0.000631 0.001241 0.001435 0.001496

DERIVA CM 0.00028 0.000692 0.000808 0.000838

DERIVA TOTAL 0.000502 0.000989 0.001143 0.001197

DERIVA CM 0 0 0 0

DERIVA punto 0.000351 0.000549 0.000627 0.000658

VERIFICACION

CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA DERIVA EN Y DERIVA VERIFICACION punto 0.000502 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000989 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.001143 NO CUMPLE CON LAS DISPOSICIONES DE LA NORMA* 0.001197 NO CUMPLE CON LAS DISPOSICIONES DE LA NORMA*

Sismo en Dirección Y:

PISO 1 2 3 4

DERIVA TOTAL 0.000161 0.000324 0.000379 0.000398

DERIVA CM 0.00006 0.000115 0.000133 0.000137

PISO 1 2 3 4

DERIVA TOTAL 0.000465 0.000941 0.001106 0.001171

DERIVA CM 0.00032 0.000649 0.000762 0.000795

SISMO EN Y DERIVA EN X DERIVA punto VERIFICACION 0.000101 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000209 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000246 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000261 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA DERIVA EN Y DERIVA punto VERIFICACION 0.00038 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.00074 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000872 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000919 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA

10

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles 2.2.3.2

Caso 2

Signo negativo de los momentos Sismo en Dirección X: SISMO EN X DERIVA EN X PISO 1 2 3 4 PISO 1 2 3 4

DERIVA TOTAL 0.000631 0.001241 0.001435 0.001496

DERIVA CM 0.00034 0.000692 0.000808 0.000838

DERIVA TOTAL 0.000502 0.000989 0.001143 0.001197

DERIVA CM 0 0 0 0

DERIVA punto 0.000291 0.000549 0.000627 0.000658

VERIFICACION

CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA DERIVA EN Y DERIVA VERIFICACION punto 0.000502 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000989 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.001143 NO CUMPLE CON LAS DISPOSICIONES DE LA NORMA* 0.001197 NO CUMPLE CON LAS DISPOSICIONES DE LA NORMA*

Sismo en Dirección Y:

PISO 1 2 3 4

DERIVA TOTAL 0.000161 0.000324 0.000379 0.000398

DERIVA CM 0.00006 0.000115 0.000133 0.000137

PISO 1 2 3 4

DERIVA TOTAL 0.000465 0.000941 0.001106 0.001171

DERIVA CM 0.00032 0.000649 0.000762 0.000795

SISMO EN Y DERIVA EN X DERIVA punto VERIFICACION 0.000101 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000209 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000246 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000261 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA DERIVA EN Y DERIVA punto VERIFICACION 0.000145 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000292 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000344 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000376 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA

Se observa que para un sismo en dirección X las derivas en dirección Y , para los pisos 3 y 4 no cumplen con lo estipulado en la norma, sin embargo la diferencia es mínima (0.001 v/s 0.0011), teniendo esto en cuenta se aceptan los desplazamientos, debido a que al aplicar los momentos estáticos al sismo, no refleja la realidad y se puede estar sobre-estimando los resultados debido a que la planta en dirección x no es simétrica ya provocando momentos torsores y al aplicar momentos adicionales se generaran mayores desplazamientos, sin embargo al observar los resultados se observa que se comporta de buena manera al aplicar estos momentos adicionales, para los demás casos los requisitos de desplazamiento cumplen satisfactoriamente con lo estipulado en la norma Nch 433.

11

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles 2.3

ANÁLISIS ESTÁTICO SEGÚN NCH 433

Según Nch 433 existen requisitos para realizar este análisis, para este caso es válido debido a que la estructura no posee más de 5 pisos y tiene una altura menor a 20 [m]. El esfuerzo de corte basal está dado por: Donde: C = coeficiente sísmico (

)

Cabe destacar que se utilizara el peso sísmico calculado a mano para ser consecuente con el análisis. ,

-

Anteriormente se obtuvieron los periodos naturales para cada dirección de análisis: ,

-

,

-

De esta manera se calculan los coeficientes sísmicos correspondientes:

2.3.1

Limitaciones de los coeficientes sísmicos:

2.3.1.1

Coeficiente sísmico mínimo

La Nch 433 establece que en ningún caso el valor de C será menor que

2.3.1.2

Coeficiente sísmico máximo

La Nch 433 establece que el valor de C no necesita ser mayor que:

Este valor es válido para R=7 correspondiente a la estructura y se obtuvo de la tabla 6.4 de la Nch 433 Cuando los edificios estructurados para resistir las solicitaciones sísmicas mediantes muros de hormigón armado, el valor máximo del coeficiente sísmico obtenido se puede reducir multiplicándolo por el factor f que se define como:

12

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles Donde q es el menor de los valores obtenidos por el cálculo del cociente del esfuerzo de corte tomado por los muros de hormigón dividido el corte total en cada uno de los niveles de la mitad inferior del edificio. Como la estructura está compuesta solo por muros de hormigón armado, la totalidad de las solicitaciones sísmicas son recibidas por los muros en consecuencias el valor de q es 1. De esta manera el factor f equivale a 0.75 Finalmente:

Considerando ambas limitaciones establecidas por la norma se observa que para la dirección X, no cumple con el mínimo establecido y para la dirección Y supera el máximo recomendado por lo que finalmente se obtiene:

2.3.2

Cortes basales

Los cortes basales para cada dirección de análisis son: ,

,

-

Según Nch 433 las fuerzas sísmicas horizontales se pueden calcular por la expresión ∑ En que: √

√

Así obtenemos las fuerzas horizontales para cada dirección de análisis: Dirección X:

Nivel

Zk[m]

Ak

DIRECCION X Pj

1 2 3 4

5 8 11 14

0.198216274 0.147130055 0.191743621 0.46291005

87 81 81 72

17.24481586 11.91753446 15.53123329 33.32952359

∑AjPj

78.0231072

13

Aj*Pj

Fk [Tonf] 4.72986879 3.26871419 4.25987126 9.14154576

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles

Dirección Y:

2.3.3

DIRECCION Y Pj Aj*Pj

Nivel

Zk

Ak

1 2 3 4

5 8 11 14

0.198216274 0.147130055 0.191743621 0.46291005

87 81 81 72

17.2448159 11.9175345 15.5312333 33.3295236

∑AjPj

78.0231072

Fk [Ton] 7.44954334 5.148224844 6.709297242 14.39793457

Análisis de los desplazamientos:

Para calcular los desplazamientos se utiliza el software ETABS donde se ingresan las respectivas fuerzas en cada dirección de análisis y se realiza un análisis análogo al modal espectral mencionado anteriormente: Obteniendo los siguientes resultados: Fuerzas aplicadas en dirección X: SISMO EN X

PISO 1 2 3 4

DERIVA TOTAL 0.000521 0.001014 0.001177 0.001236

DERIVA CM 0.00034 0.000676 0.00079 0.000827

PISO 1 2 3 4

DERIVA TOTAL 0.000249 0.000473 0.000542 0.000568

DERIVA CM 0 0 0 0

DERIVA EN X DERIVA punto VERIFICACION 0.000181 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000338 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000387 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000409 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA DERIVA EN Y DERIVA punto VERIFICACION 0.000249 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000473 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000542 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000568 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA

14

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles Fuerzas aplicadas en dirección Y SISMO EN Y

PISO 1 2 3 4

DERIVA TOTAL 0 0 0 0.000002

DERIVA CM 0 0 0 0

PISO 1 2 3 4

DERIVA TOTAL 0.000371 0.00074 0.000872 0.000941

DERIVA CM 0.00038 0.00074 0.000872 0.000919

DERIVA EN X DERIVA punto VERIFICACION 0 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000002 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA DERIVA EN Y DERIVA punto VERIFICACION 0.000009 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000022 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA

Se observa que los desplazamientos cumplen con lo requerido por la Nch 433, para ambas direcciones de análisis. 2.3.4

Análisis por torsión accidental:

Los resultados del análisis hecho por las fuerzas estáticas aplicadas en cada una de las direcciones de la acción sísmica se combinan con los del análisis de torsión accidental. Para este efecto, se aplican momentos de torsión en cada nivel, calculados como el producto de las fuerzas estáticas que actúan en ese nivel por una excentricidad accidental dada por:

De esta manera las fuerzas aplicadas en cada dirección son: DIRECCION X Aj*Pj

Nivel

Zk[m]

Ak

Pj

1 2 3 4

5 8 11 14

0.198216274 0.147130055 0.191743621 0.46291005

87 81 81 72

17.24481586 11.91753446 15.53123329 33.32952359

∑AjPj

78.0231072

15

Fk [Tonf]

Mk [tonf-m]

4.729868787 3.268714187 4.259871265 9.141545761

1.689238853 1.867836678 3.347041708 9.141545761

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles

Nivel

Zk

Ak

Pj

DIRECCION Y Aj*Pj

1 2 3 4

5 8 11 14

0.198216274 0.147130055 0.191743621 0.46291005

87 81 81 72

17.2448159 11.9175345 15.5312333 33.3295236

∑AjPj

78.0231072

Fk

Mk [tonf-m]

7.44954334 5.148224844 6.709297242 14.39793457

3.72477167 4.118579875 7.380226966 20.1571084

Se debe tomar igual signo para los momentos en cada nivel. De manera análoga a la anterior se obtienen los resultados de las derivas para cada caso aplicado. 2.3.4.1

Caso 1:

Signo positivo de los momentos Fuerzas aplicadas en Dirección X:

PISO

DERIVA TOTAL

1 2 3 4

0.000438 0.000848 0.000982 0.00103

PISO

DERIVA TOTAL

1 2 3 4

0.000174 0.000323 0.000364 0.00038

DERIVA CM 0.00032 0.000617 0.000722 0.000755 DERIVA CM 0 0 0 0

SISMO EN X DERIVA EN X DERIVA punto

VERIFICACION

0.000118 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000231 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.00026 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000275 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA DERIVA EN Y DERIVA punto VERIFICACION 0.000174 0.000323 0.000364 0.00038

CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA

16

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles Fuerzas aplicadas en Dirección Y:

PISO 1 2 3 4

DERIVA TOTAL 0.000183 0.000366 0.000431 0.000457

DERIVA CM 0.00006 0.00013 0.000152 0.000157

PISO 1 2 3 4

DERIVA TOTAL 0.000536 0.001072 0.001264 0.001348

DERIVA CM 0.00032 0.000649 0.000762 0.000795

2.3.4.2

SISMO EN Y DERIVA EN X DERIVA punto VERIFICACION 0.000123 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000236 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000279 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.0003 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA DERIVA EN Y DERIVA punto VERIFICACION 0.00038 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.00074 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000872 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000919 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA

Caso 2

Signo negativo de los momentos Fuerzas aplicadas en Dirección X:

PISO 1 2 3 4

DERIVA TOTAL 0.000604 0.00118 0.001373 0.001443

DERIVA CM 0.00038 0.000734 0.000859 0.000898

PISO 1 2 3 4

DERIVA TOTAL 0.000324 0.000624 0.00072 0.000757

DERIVA CM 0 0 0 0

SISMO EN X DERIVA EN X DERIVA punto VERIFICACION 0.000224 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000446 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000514 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000545 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA DERIVA EN Y DERIVA punto VERIFICACION 0.000324 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000624 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.00072 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000757 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA

17

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles Fuerzas aplicadas en Dirección Y:

PISO 1 2 3 4

DERIVA TOTAL 0.000183 0.000366 0.000431 0.000457

DERIVA CM 0.00006 0.00013 0.000152 0.000157

PISO 1 2 3 4

DERIVA TOTAL 0.000536 0.001072 0.001264 0.001348

DERIVA CM 0.00038 0.00074 0.000872 0.000919

SISMO EN Y DERIVA EN X DERIVA punto VERIFICACION 0.000123 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000236 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000279 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.0003 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA DERIVA EN Y DERIVA punto VERIFICACION 0.000156 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000332 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000392 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA 0.000429 CUMPLE AMBAS DISPOSICIONES DE LA NORMA

Aplicando momentos debidos a torsión accidental, los desplazamientos obtenidos cumplen con la Norma Nch 433.

2.3.5

Comentarios:

Al observar los cortes basales obtenidos con el análisis modal espectral (Qx=22.4 y Qy=27.99) y compararlos con los del análisis estático (Qx=21.4 y Qy=33.705) , se llega a la conclusión que para la dirección X, son prácticamente iguales al estar limitados por el corte mínimo de diseño difiriendo solamente en el peso sísmico utilizado, por otro lado en la dirección Y el esfuerzo de corte de diseño no está limitado y claramente para el caso estático es mayor, se diseña conservadoramente debido a que no se consideran fuerzas inerciales y modos de vibrar de la estructura, que pueden influir en los esfuerzos reales, en el análisis estático se considera el caso más desfavorable donde todas las fuerzas actúan en el mismo sentido, no así en el modal espectral que mediante un método de superposición modal (CQC) se obtienen fuerzas equivalentes, que reflejan todos los modos de vibrar.

18

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles

3 3.1

ANÁLISIS SÍSMICO SIN ETABS PERIODOS Y MODOS DE VIBRAR DE LOS PRIMEROS TRES MODOS DEL EDIFICIO

A continuación se presenta un esquema en donde se muestran los grados de libertad considerados en el análisis de la estructura, estos corresponden a dos desplazamientos y un giro por cada piso.

Figura 1: Grados de libertad utilizados en el análisis

Para determinar los modos de vibrar y los periodos del edificio en primer lugar es necesario determinar las matrices de masas y rigidez de la estructura. Luego resolver el problema de (, valores propios , -) o equivalentemente determinar los valores y vectores propios de la matriz definida como . En primer lugar se calculará la matriz de rigidez del sistema, para esto es necesario definir los elementos resistentes que posee el edificio. En este caso dichos elementos son cuatro muros por cada piso, los cuales se supondrá que aportan rigidez en ambas direcciones principales.

19

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles En la Figura 2 se muestra el modelo utilizado, en donde se considera que los elementos son axialmente indeformables y luego se condensan a los grados de libertad activos (en azul).

Figura 2: Elementos Resistentes

A continuación se muestran los resultados del cálculo los cuales se obtuvieron mediante el algoritmo en MATLAB adjunto (“Parte m”) 3.1.1

Cálculo de la matriz de rigidez del sistema.

Propiedades de los materiales: f A

, gf⁄cm -

,N⁄

√f

,m ⁄ ⁄

,m ,m -

20

-

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles

Matriz de rigidez de los muros en la dirección de mayor inercia. La matriz de rigidez total en la dirección de mayor inercia es la siguiente (a partir de acá todas las matrices que se muestran están en unidades en [N], [m] y [s]).

Condensando a los grados de libertad activos queda.

Matriz de rigidez de los muros en la dirección de menor inercia. La matriz de rigidez total en la dirección de menor inercia es la siguiente (Unidades en [N], [m] y [s]).

Condensando a los grados de libertad activos queda.

Ahora es necesario pasar desde los grados de libertad activos de los muros a los grados de libertad de piso. Para esto en primer lugar se calcularán los centros de masas de cada nivel, que debido a la configuración del edificio son coincidentes entre ellos.

̅

(

)

( ̅

,m-

21

)

(

)

,m-

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles En la Figura 3 se puede ver una planta tipo del edificio en estudio, en línea punteada se marcan los ejes resistentes sobre los cuales actúa la rigidez de los muros.

Figura 3: Centro de Masas, Piso Tipo.

Aporte de rigidez del Muro 1 a los grados de libertad de pisos. Dirección de menor inercia.

,A-

,

-

,m-

,A-

22

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles Dirección de mayor inercia.

,A-

[

]

, -

,A-

Aporte de rigidez del Muro 2 a los grados de libertad de pisos. Dirección de menor inercia.

,A-

,

-

, -

,A-

Dirección de mayor inercia.

, -

23

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles ,A-

[

]

,A-

Aporte de rigidez del Muro 3 a los grados de libertad de pisos. Dirección de menor inercia.

,A-

,

-

, -

,A-

Dirección de mayor inercia.

, -

24

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles ,A-

[

]

,A-

Aporte de rigidez del Muro 4 a los grados de libertad de pisos. Dirección de menor inercia.

,A-

,

-

, -

,A-

Dirección de mayor inercia.

, -

25

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles ,A-

[

]

,A-

Matriz de rigidez global del edificio.

3.1.2

Matriz de masas del edificio.

La matriz de masas del edificio es la siguiente en Kilogramos (Se omiten los cálculos para resumir). Se consideró una densidad del hormigón de , ⁄ -, una sobrecarga de , ⁄ - y una sobrelosa de , -.

26

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles 3.1.3

Modos de vibrar y periodos fundamentales.

Finalmente se resuelve el problema de valores propios et(

M)

, para encontrar las

frecuencias de la estructura y por consiguiente los periodos fundamentales y los modos de vibrar. A continuación se presentan los resultados para los tres primeros modos.

,rad⁄s-

,s-

T

̅

{

,rad⁄s-

,rad⁄s-

,s-

T

,s-

T

}

̅

{

}

{

}

̅

Nótese que el primer modo corresponde a un movimiento predominantemente en dirección junto con una torsión debido a la asimetría con respecto a dicho eje

el segundo modo a un

movimiento solamente en y sin torsión debido a la simetría con respecto a este eje. El tercer

27

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles modo nuevamente corresponde a un desplazamiento en

junto con la correspondiente

torsión, en este caso la torsión es en sentido opuesto al primer modo. 3.1.4

Comparación de resultados con la parte 1, comentarios.

Al comparar los resultados con la parte 1 lo primero que se puede observar es que el primer periodo fundamental tiene una diferencia que puede ser importante, con ETABS el primer periodo da 0.68 [s] y manualmente da 0.80 [s]. En cambio el segundo periodo da un valor bastante similar entre ambos ( [s] y 0.492 [s]). Cuando se revisan los modos de vibrar se puede observar una concordancia entre los movimientos que se visualizan en ETABS con los modos de vibrar calculados a mano. 3.2

DETERMINACIÓN DEL CORTE BASAL, MEDIANTE LA LEY DE COMBINACIÓN CQC

Para determinar el corte basal mediante análisis modal espectral de la norma chilena NCh433, se deben determinar las masas equivalentes de cada uno de los n modos según las siguientes expresiones. M

M

M

En que: L

* ̅ + ,M-*r +

* ̅ + ,M-*r +

L

L

* ̅ + ,M-*r +

M

* ̅ + ,M-* ̅ +

En la Tabla 1 se presentan las masas equivalentes de cada modo junto a su respectivo periodo Masas Modos

T ,s-

M

M

M

1

127,000

0

3,127,200

2

0

247,350

0

3

120,300

0

3,301,200

4

32,158

0

806,890

5

0

62,966

0

6

30,763

0

843,410

7

5,205

0

126,680

8

0

10,054

0

9

386

0

21,784

10

5,160

0

126,780

11

0

1,184

0

12

580

0

15,616

Tabla 1: Masas Equivalentes

28

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles Con estos datos el corte máximo en

e

asociado a cada modo se calcula como sigue. M

P A

M

a

M

P A

M

a

El espectro de respuesta tiene la siguiente forma: a

A

Donde. , debido a la categoría del edificio. ,m⁄s -, para un edificio ubicado en la zona 3 (Viña del Mar).

A T T Con T

T

,s- T

,s-

T . / T T .T / Con

,

queda en función del periodo.

Los cortes máximos calculados para cada modo se presentan en la Tabla 2. Corte

T ,s-

,N-

,N-

Modo 1

57,322

-

2

-

213,190

3

132,520

-

4

29,351

-

5

-

44,163

6

19,710

-

7

2,865

-

8

-

5,027

9

131

-

10

2,605

-

11

-

550

12

273

-

Tabla 2: Cortes Máximos Modales

29

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles Luego usando superposición modal CQC según la norma NCh 433 se tiene.

√∑

T ( ) T

∑ (

√∑

T )( T

T ) T

T T

T ) T

(

,Tf-

T ( ) T

∑

T )( T

(

T ) T

T T

(

T ) T

,Tf-

Para finalizar se debe comprobar que el corte calculado esté dentro del rango en que la norma NCh 433 of 1996 limita el corte basal de las estructuras. min A g

*

+

ma

P

,TfA

M

,Tf-

Como el corte en la dirección es menor que el corte mínimo que exige la norma, se debe multiplicar este por un factor tal que se por lo menos igual al mínimo.

Este factor se aplicará más adelante a los desplazamientos calculados para un sismo en dirección . Finalmente los cortes basales en ambas direcciones son: ,Tf,Tf3.2.1

Comparación de resultados con la parte 1, comentarios.

Los cortes basales calculados a mano se acercan bastante a los cortes basales calculados con ,Tf,TfETABS ( ,Tf- con ETABS, ,Tf- sin ETABS). La pequeña diferencia se puede deber a la forma de considerar la masa, ya que en el análisis a mano no se toma la primera mitad de los muros inferiores, además, la diferencia es mayor para el primer periodo debido a que en este se registran las mayores diferencias entre un método y el otro. Finalmente si se analiza con análisis estático los cortes basales dan resultados mucho mayores a los demás métodos esto puede deberse a la cantidad importante de simplificaciones que se hacen las cuales se toman todas por lado de la seguridad, lo que resulta en estructuras más seguras pero menos económicas.

30

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles 3.3

DESPLAZAMIENTOS DEL CENTRO DE GRAVEDAD Y DEL BORDE DE CADA NIVEL.

Los desplazamientos máximos modales, los cuales corresponden a los desplazamientos del centro de gravedad, están dados por las siguientes expresiones. Cuando se analiza un sismo en dirección : |

( )|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

Cuando se analiza un sismo en dirección : |

( )|

|

|

|

|

En la Tabla 3 se muestran los desplazamientos máximos modales para un sismo en x para los 4 modos con mayor masa traslacional en , el resto se omite pero si fueron considerados en los cálculos posteriores. Modos Desplazamientos

1

3

4

Piso 1 dirección x Piso 2 dirección x Piso 3 dirección x Piso 4 dirección x Piso 1 dirección y Piso 2 dirección y Piso 3 dirección y Piso 4 dirección y Piso 1 giro en z Piso 2 giro en z Piso 3 giro en z Piso 4 giro en z Tabla 3: Desplazamientos Máximos Modales, Sismo en x.

31

6

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles En la Tabla 4 se presentan los desplazamientos máximos modales para un sismo en la dirección . Modos Desplazamientos

2

5

8

11

Piso 1 dirección x Piso 2 dirección x Piso 3 dirección x Piso 4 dirección x Piso 1 dirección y Piso 2 dirección y Piso 3 dirección y Piso 4 dirección y Piso 1 giro en z Piso 2 giro en z Piso 3 giro en z Piso 4 giro en z Tabla 4: Desplazamientos Máximos Modales, Sismo en y.

Usando la misma ley de combinación utilizada para obtener los cortes basales se llega a los siguientes desplazamientos máximos para ambas direcciones de análisis. Sismo en

Sismo en

Piso 1 dirección x

0.0015

0

Piso 2 dirección x

0.0035

0

Piso 3 dirección x

0.0058

0

Piso 4 dirección x

0.0084

0

Piso 1 dirección y

0

0.0013

Piso 2 dirección y

0

0.0030

Piso 3 dirección y

0

0.0051

Piso 4 dirección y

0

0.0073

Piso 1 giro en z

0.0003

0

Piso 2 giro en z

0.0007

0

Piso 3 giro en z

0.0011

0

Piso 4 giro en z

0.0016

0

Tabla 5: Desplazamientos del centro de gravedad debido a Sismos en e .

32

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles Cabe recordar que en la Tabla 5 los desplazamientos para un sismo en la dirección multiplicados por el factor de corrección calculado anteriormente.

ya están

Adicionalmente a los desplazamientos calculados anteriormente la norma NCh 433 considera efectos de torsión debido a desplazamientos del centro de masa con respecto al centro resistente en cada piso. La forma de calcular estos desplazamientos son dos, la seleccionada para este caso es la aplicación de momentos estáticos en cada nivel los cuales se calculan como el producto de la variación del esfuerzo de corte combinado en ese nivel por una excentricidad accidental dada por: Para el sismo según . Para el sismo según . A continuación se presentan los vectores de fuerzas para ambas direcciones.

{

{

}

{

}

{

}

}

Con estos vectores de fuerzas se resuelve la ecuación , -*d+ * + para poder determinar los desplazamientos producidos por esta excentricidad. Con estos desplazamientos se determinarán los drifts debido a torsión accidental y se verificará que al sumarlos con los calculados para los desplazamientos del análisis modal no superen los límites impuestos por la norma.

33

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles

Sismo en

Sismo en

Piso 1 dirección x

0.00021

0.00031

Piso 2 dirección x

0.00049

0.00071

Piso 3 dirección x

0.00084

0.00120

Piso 4 dirección x

0.00120

0.0018

Piso 1 dirección y

0

0

Piso 2 dirección y

0

0

Piso 3 dirección y

0

0

Piso 4 dirección y

0

0

Piso 1 giro en z

0.00007

0.000096

Piso 2 giro en z

0.00015

0.000223

Piso 3 giro en z

0.00026

0.000378

Piso 4 giro en z

0.00038

0.000546

Tabla 6: Desplazamientos debido a Torsión Accidental

Con estos desplazamientos los drifts asociados se resumen en las siguientes tablas. Sismo en

Sismo en

Centro de masa

Máximo (Borde)

Centro de Masa

Máximo (Borde)

Piso 1

0.00030

0.00044

0.00027

0.00027

Piso 2

0.00065

0.00154

0.00057

0.00057

Piso 3

0.00079

0.00186

0.00069

0.00069

Piso 4

0.00084

0.00198

0.00074

0.00074

Tabla 7: Drifts Análisis Modal.

Sismo en

Sismo en

Centro de masa

Máximo (Borde)

Centro de Masa

Máximo (Borde)

Piso 1

0.000043

0.000093

0.000062

0.000135

Piso 2

0.000094

0.000204

0.000136

0.000295

Piso 3

0.000115

0.000250

0.000167

0.000363

Piso 4

0.000124

0.000270

0.000181

0.000392

Tabla 8: Drifts Debido a Torsión Accidental

34

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles Como se puede ver todos los drifts calculados cumplen con las disposiciones de la norma NCh 433. 3.3.1

Comparación de resultados con la parte 1, comentarios.

En la Tabla 9 se presentan los drifts obtenidos con los diferentes métodos de análisis utilizados en esta tarea (sin considerar torsión accidental debido a su pequeño aporte), como era de esperar los drifts de los tres métodos debido a un sismo en dirección son similares y esto se debe a que en los tres casos el corte basal está condicionado por el corte basal mínimo impuesto en la norma. Ahora si se analiza los drifts en dirección se hace evidente que el análisis con ETABS y el Análisis Modal Espectral tienen valores muy similares entre ellos en cambio el Análisis Estático presenta drifts notoriamente más grandes, esto se debe a que este método debido a su simplicidad trata de tener márgenes de seguridad mas grandes. Sismo en Centro de masa

Sismo en

Máximo (Borde)

Centro de Masa

Máximo (Borde)

Análisis Modal Espectral Piso 1

0.00030

0.00044

0.00027

0.00027

Piso 2

0.00065

0.00154

0.00057

0.00057

Piso 3

0.00079

0.00186

0.00069

0.00069

Piso 4

0.00084

0.00198

0.00074

0.00074

Análisis con ETABS Piso 1

0.00032

0.000539

0.00032

0.00032

Piso 2

0.000627

0.001056

0.000649

0.000649

Piso 3

0.000732

0.001218

0.000762

0.000762

Piso 4

0.000759

0.001268

0.000795

0.000795

0.00034

Análisis Estático 0.000521 0.00038

0.000371

0.000676

0.001014

0.00074

0.00074

0.00079

0.001177

0.000872

0.000872

0.000827

0.001236

0.000941

0.000941

Piso 1 Piso 2 Piso 3 Piso 4

Tabla 9: Comparación de Drifts entre los Distintos Métodos de Análisis

35

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles

4

ANÁLISIS SÍSMICO - TIEMPO HISTORIA

400

300

200

Corte Basal [Tf]

100

0

-100

-200

-300

-400

-500

0

500

1000

Tiempo [s] Figura 4: Corte Basal. Suponiendo comportamiento lineal.

Corte basal del gráfico 4 se reduce por el siguiente factor R*. T T Con T

,s- T

T ,s-

36

1500

Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Obras Civiles 60

Corte Basal [Tf]

40 20 0 -20 -40

Qy máx = 50.621[Tf] -60 0

500

1000

Tiempo [s] Figura 6: Corte Basal. Reducido por factor R*.

Corte basal obtenido por análisis tiempo-historia se muestra en el gráfico. El máximo valor del corte basal es m ,Tf-

37

1500