GMM, VI , MQ2S e Equações Simultâneas
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Método dos Momentos Generalizados (GMM), Variáveis Instrume Instrumentais ntais (VI), Mínimos quadrados 2 Estágios (MQ2S) e Equações Simultâneas Disciplina: Econometria I Professor: Marcelo Savino Portugal Elaborado por : Enrique, Fernanda Victor, Julio Cesar Junior
1
O método generalizado dos momentos (GMM) •
O GMM foi “melhorado” por Lars Hansen (1982), e
trata-se trata-se de igualar um momento a um determinado valor. Em sua origem o método se associava diretamente diretamente aos momentos mo mentos de uma distribuição. distribuição. Porém, o método foi estendido para os parâmetros de momentos decorrentes de condições econômicas. •
Dito isso, “igualar um momento a um determinado
valor não é mais do que satisfazer satisfazer uma média amostral”(Bueno, amostral”(Bueno, 2008). Hansen, Lars, P. P. Large sample proprieties of generalized method of moments estimators. Econométrica, v.50, n.4, p.10291054, 1982
2
O método generalizado dos momentos (GMM) •
O GMM foi “melhorado” por Lars Hansen (1982), e
trata-se trata-se de igualar um momento a um determinado valor. Em sua origem o método se associava diretamente diretamente aos momentos mo mentos de uma distribuição. distribuição. Porém, o método foi estendido para os parâmetros de momentos decorrentes de condições econômicas. •
Dito isso, “igualar um momento a um determinado
valor não é mais do que satisfazer satisfazer uma média amostral”(Bueno, amostral”(Bueno, 2008). Hansen, Lars, P. P. Large sample proprieties of generalized method of moments estimators. Econométrica, v.50, n.4, p.10291054, 1982
2
O método generalizado dos momentos (GMM) •
•
• •
•
•
Exemplo simples:
1 xt t
yt
(1)
Onde: β = é um escalar a ser estimado por algum método; = pode representar, representar, por exemplo, exemplo, alguma defasagem de y t ou t algum termo exógeno exógeno que represente y t .
x
x t tem dimensão n x K, onde n é o número de
A matriz de regressores regressores observações.
Dado t como um ruído branco, IID (idêntica e independentemente distribuído).
3
O método generalizado dos momentos (GMM) •
Dadas as suposições anteriores é natural supormos que x t e t são independentes entre si.
Formalizando: E( x t t )=0.
(2)
A equação (2) é exatamente uma condição de momento. A forma de obtê-la usando uma amostra finita de observações é calculando a seguinte média:
(3)
T
x t t t 1 T
0 4
O método generalizado dos momentos (GMM) •
•
A equação (3) é a condição de momento para estimar 1 . Além de propor o método para estimar esse parâmetro, Hansen (1982) derivou a distribuição de 1 de tal modo que se pudessem fazer inferências estatísticas. Utilizando (3) e (2) temos: T
x ( y x ) 0 t
t 1
t
1 t
=>
^
1
T t 1 T
xt yt
t 1
2 t
x
Hansen, Lars, P. Large sample proprieties of generalized method of moments estimators. Econométrica, v.50, n.4, p.1029-
(4)
5
O método generalizado dos momentos (GMM) •
•
O resultado de (4) é o estimador de MQO também, com isso mostramos que MQO é um caso especial de GMM. Contudo, empiricamente alguns dos regressores são endógenos, de forma que E(xtεt) ≠0, isso implicaria na impossibilidade de estimação via MQO, pois geraria viés. Porém, o método dos momentos permitem tal estimação, desde que exista outra variável correlacionada com x t e não correlacionada com εt Segundo Bueno (2009), “O método dos momentos apresenta a
vantagem de permitir trabalhar com total inexistência de hipóteses sobre a distribuição dos erros”. Em contrapartida, tem a
desvantagem de possuir mal desempenho para pequenas amostras.
6
O método generalizado dos momentos (GMM) •
Se existe z t , tal que E( z t x t )≠0 e E( z t )=0, pode-se estimar β usando a seguinte média amostral: t
T
T
z t t t 1
•
T •
0 => ^
1
z ( y x ) 0 => t
t
1 t
t 1
T
t T t
1
z t yt
1
z t xt
(5)
7
O método generalizado dos momentos (GMM) •
•
Com o resultado anterior obtemos o estimador de variáveis instrumentais, IV, também conhecido como mínimos quadrados a dois ou três estágios, que também é uma forma especial do GMM. Nada impede de se usar mais de um instrumento para estimar β. Para fins de exposição, vamos supor o que chamaremos de “Caso 1”, com duas variáveis m e z t , suas condições de momento são: t
mt t 0 E z 0 t t
(6) 8
O método generalizado dos momentos (GMM) •
Utilizando a idéia de obter médias amostrais usando variáveis instrumentais, T
•
z t ( yt 1 xt )
t 1
•
•
•
T
0
m ( y x ) 0 t
t
1 t
(7)
t 1
O problema nesse caso é ter duas equações (condições de momento) e apenas uma incógnita (parâmetro).Em casos com mais de um instrumento, quantos devemos utilizar? 1, 2,3, ..., T? Não é razoável deixar de utilizar uma boa variável instrumental pois com isso perdemos informações. Então como utilizar mais de uma? Para solução desse tipo de problema Hansen (1982) propôs ponderar cada um dos momentos de modo a obter os parâmetros que minimizam uma função quadrática. 9
O método generalizado dos momentos (GMM) •
•
•
Chamamos o Caso 1 de sistema sobreidentificado, pois existem mais parâmetros que momentos. A idéia para solucionar o Caso 1 é mais ou menos a idéia de estimação de MQO, porém no caso dos momentos é a matriz de covariância dos momentos que serve como ponderador, ao invés da matriz de variância dos parâmetros. Essa ponderação tem uma intuição simples: os momentos de maior variância recebem o menor peso (ocorre naturalmente quando tomamos o inverso da matriz de covariância dos momentos). 10
O método generalizado dos momentos (GMM) •
A idéia então é achar uma matriz W, simétrica e positiva semi definida de forma a minimizar:
•
•
Em termos de médias amostrais significa:
E [m t t
m t t z t t W z ] t t
(8)
T mt ( yt 1 xt ) T T min ( mt ( yt 1 xt ) z t ( yt 1 xt ))W t T 1 (9) t 1 t 1 z t ( yt 1 xt ) t 1 1•
11
O método generalizado dos momentos (GMM) •
Supondo W seja uma matriz identidade (significando que os momentos teriam os mesmos pesos) o problema seria:
1 min ( mt ( yt 1 xt ) z t ( yt 1 xt )) 0 t 1 t 1 => T
T
1
T ( ) mt yt 1 xt 0 t T 1 1 ( ) z y x 1 t t t t 1
2
T T min mt ( yt 1 xt ) z t ( yt 1 xt ) t 1 t 1
2
(10)
1
Resolvendo a minimização (10), resulta em: ^
1
T
T
t 1 T
t 1 T
t 1
yt x j (mt m j z t z j )
x x j ( mt m j z t z j ) t 1 t
(11) 12
(GMM) - Especificação Para formalização da especificação de GMM em termos de seus momentos populacionais e contrapartida amostral, consideremos a seguinte definição: Definição (Condição de momento populacional) Sejam: wt um vetor de variáveis aleatórias t um vetor de parâmetros k x 1 g (.) um vetor m x 1 de funções reais, a condição de momentos populacionais é definida como:
E[ g ( wt , 0 )] 0
(12)
A contrapartida amostral dessa condição de momento é: T
g (w , ) t
gT (w, 0 )
t 1
T
0
(13)
(GMM) - Especificação •
•
O estimador GMM será definido como o valor de resolve o seguinte problema :
min JT () gT ( w, 0 )'WT gT ( w, 0 )
GMM
que
(14)
arg min J T ()
Em que W é uma matriz m X m positiva semidefinida. Naturalmente o número de momentos deve ser superior ao número de parâmetros (sobreidentificados). Os sistemas podem ser classificados como: indentificados -> m = k, (m = momentos, k = parâmetros), Subidentificados -> k > m Sobreidentificados -> m > k
(GMM) - Estimação
•
Diferenciar a função objetivo (14) em relação ao parâmetro t com isso temos a condição de primeira ordem (15)
•
•
•
2GT ( w, 0 ) 'WT gT ( w, 0 ) 0
(15)
A matriz Gt ( w, ) , de dimensão m X k, é o jacobiano das condições de momento tomadas em relação a ϴ T
g(w , ) t
1 t 1
•
GT ( w, 0 ) T
'
(16)
(GMM) - Estimação •
As condições de primeira ordem podem ser não-lineares. Logo, o problema pode não ter solução analítica, precisando de métodos numéricos para solução. Obter um mínimo global pode ser computacionalmente intensivo.
•
Uma pergunta persiste: qual a matriz de pesos ideal?
•
Defina a matriz de covariância de longo prazo dos momentos: 1
•
S
lim var(T 2 gT (w, 0 )) T
(17)
(GMM) - Estimação •
Assim, a matriz ideal de pesos é:
WT S 1 •
•
•
•
A intuição é: Momentos com variância maior devem ter peso menor. Por isso a inversa. Dado que a obtenção das covariâncias depende do parâmetro t que é, na maioria das vezes, desconhecido. Com isso, será preciso usar um sistema de estimação com múltiplos estágios. Primeiro estágio: impõe-se uma matriz W; Seleciona-se o parâmetro t resultante do estágio 1. Depois calcula-se a ^ matriz de covariância S 1 . É comum selecionar uma matriz identidade para iniciar o processo.
(GMM) - Estimação •
•
•
•
Admitindo a existência de um método consistente para S, há três métodos de para estimação GMM. A. método a dois estágios: impõe-se uma matriz identidade no primeiro passo e, no passo seguinte, encontram-se os parâmetros do modelo. B. método seqüencial: é a repetição do método de dois estágios, em que cada novo vetor de parâmetros é usado para estimar a nova matriz de covariância. C. método de atualização contínua dos parâmetros: a matriz de covariância é simultaneamente estimada com o vetor de parâmetros. 18
(GMM) - Estimação •
No caso do método A (dois estágios) teremos
GT ( w, 0 ) ' gT ( w, 0 ) 0 T
g(w , )g (w , ) ' t
S (w, 0 )
•
•
0
t
0
t 1
T
o qual será utilizado no segundo estágio. O caso B (procedimento seqüencial ), tende a ser mais robusto em pequenas amostras. (caso o teste a dois estágios seja robusto o procedimento seqüencial também será). O caso C (atualização contínua), o modelo encontra um ϴ que satisfaz min JT () gT (w, 0 ) ' S 1gT ( w, 0 )
(GMM) - Estimação •
O caso C é de complexa solução. Se o estimador converge, trata-se de um método cujas propriedades de pequenas amostras são melhores. Com isso, Shepard (2006) sugere utilizar o estimador seqüencial para encontrar os valores iniciais da função a ser minimizada e depois utilizar o estimador de atualização contínua.
20
(GMM) – Propriedades do estimador •
Consistente e assintoticamente Normal se g ( w, 0 )
•
•
São ergódicos e possuem poucos momentos. Outro ponto: para que o problema de otimização possua solução única é necessário que a matriz W seja positiva definida. Caso W seja eficiente: 1
1
N (0, (G ' S G) ) T ( 0 ) d
21
Testes: GMM •
O GMM minimiza uma função representando as condições de momentos devidamente ponderadas. Se as condições estiverem corretas, vão ter média zero. Assim, o teste de superidentificação será:
J
•
TgT ( w, 0 ) ' S
1
gT ( w, 0 ) ~
2 m k
Observe que o grau de liberdade é igual ao numero de excesso de momentos em relação aos parâmetros estimados.
Testes: GMM •
•
O que significa a rejeição de superidentificação? Que existem momentos que não são estatisticamente iguais a zero. Ou seja, rejeita-se o modelo, pois a condição de momento não é válida. Ou ainda, podemos interpretar da seguinte forma: se a inclusão de mais um momento não implica em rejeição da hipótese nula, esse momento é valido e contribui para estimar os parâmetros. 23
Variáveis Instrumentais e o Estimador IV Tal como o MQO, o estimador IV (variáveis instrumentais) pertence à classe de estimadores GMM. O IV é um GMM linear e a sua utilização justifica-se principalmente em modelos com endogeneidade: Cov ( xij , ui ) E ( xij ui ) 0
(1)
Para algum j = 1,....., k e i = 1, .... , n
onde se mantém a hipótese de E(u) = 0. Na estimação ao IV é necessário recorrer ao uso de variáveis instrumentais a(s) qual(is) estão associadas a um particular regressor endógeno.
Variáveis Instrumentais e o Estimador IV Definição 1: z é uma variável instrumental para x se: (i) z é exógeno em relação ao erro: Cov( z , u ) E (uz ) 0
(2)
(ii) z está (fortemente) correlacionado com o regressor x: Cov( z , x) 0
(3)
Em relação à primeira, e como não observamos u, partimos apenas de pressupostos da teoria econômica ou senso comum. A análise da correlação amostral entre z e os resíduos é um tanto quanto simplista e não rigorosa.
Variáveis Instrumentais e o Estimador IV Para verificar a segunda condição e qual a intensidade da relação entre z e x, uma das possibilidades é usar um teste t na regressão auxiliar:
x 1 2 z u ; 2
Cov ( x, z ) V ( z )
(4)
Após a definição da variável instrumental é muito simples a expressão do estimador IV. No modelo de Regressão Linear Simples:
y 1 2 x u; Cov (u , x ) E (ux ) 0 (5) 26
Variáveis Instrumentais e o Estimador IV Para uma amostra de dimensão n e um único instrumento para x, n
2, IV
( z i z )( yi y )
i 1 n
(6)
( z i z )( xi x)
i 1
Naturalmente:
1, IV y 2, IV x Ao contrário do MQO, o IV não resulta na minimização dos quadrados dos erros. A sua expressão pode no entanto ser justificada pelo método dos momentos.
(7)
Variáveis Instrumentais e o Estimador IV Da expressão (5): Cov( y, z ) Cov( 1 2 x u, z ) 2Cov( x, z ) Cov(u, z )
2Cov( x, z ) 2
(8)
Cov( y, z ) Cov( x, z )
Alternativamente, resulta dos momentos: E (u ) 0
e
E (uz ) 0 28
Variáveis Instrumentais e o Estimador IV Quando a variável instrumental é válida, o estimador IV é consistente
p lim IV n
1
Ou seja, num modelo com endogeneidade, Cov(u, x) 0
p lim s , MQO 2 Corr (u , x) n
p lim s , IV 2 n
u x
Corr (u , z ) u Corr ( x, z ) x
2 (9)
2
Em um instrumento válido, essa correlação é zero Em um instrumento válido, essa correlação é diferente de zero
29
Variáveis Instrumentais e o Estimador IV O IV tem um menor viés assimptótico do que o MQO se: Corr ( z , u ) Corr ( z , x )
Corr ( x, u )
(10)
Esta condição não é fácil de testar a não ser de uma forma intuitiva em que se calculam as correlações amostrais onde u é representado pelos resíduos de u . Quando essa condição não é satisfeita, dizemos que Z é uma IV pobre.
30
Variáveis Instrumentais e o Estimador IV Sob a hipótese de que : E (u 2 / z ) 2 V (u ) 2
V ( 2,VI / x, z )
2
n x Corr ( x, z )
2
(11)
Que pode ser consistentemente estimada por:
V ( 2,VI / x, z )
2
2
(12)
n x R x2, z
2
Onde:
1
n2
2
in1 u
e
u
são os resíduos de IV. 31
Variáveis Instrumentais e o Estimador IV Isso significa que se X e Z são linearmente dependentes: 2
2 x , z
SQT x .R
(13)
Igual a 1
E o estimador de VI será igual ao estimador inconsistente por MQO. Em geral, isso não acontece, e porque:
0 R
2 x, z
1
O IV é menos eficiente (maior que que MQO). Mas, o importante é que ao contrário do IV, o MQO é inconsistente sob a hipótese de endogeneidade. Quanto maior é a correlação entre X e Z (melhor a qualidade do instrumento), maior é a precisão na estimação do IV do modelo. 32
EXEMPLO: ESTIMAÇÃO DO RETORNO DO SALÁRIO PARA MULHERES CASADAS log( salário)
0 1educ 2 aptid e
log( salário)
0 1educ e
Primeiro obtemos as estimativas por MQO:
log( salário)
0,185 0,109educ (0,185)
(0,014)
(20)
n 428 , R 2 0,118
Em seguida, usamos e educação do pai (e d u c p ) como variável instrumental de e d u c . Temos que sustentar que e d u c p é não correlacionada com o erro, e testamos se ela é correlacionada com e d u c usando uma regressão simples:
educ 10,24 0,269educp (0,28)
(0,029)
(21)
n 428 , R 2 0,173 Sendo a estatística t de e d u c p 9,28, indica que e d u c p tem ma correlação positiva . estatisticamente significativa com e d u c
EXEMPLO: ESTIMAÇÃO DO RETORNO DO SALÁRIO PARA MULHERES CASADAS Utilizar e d u c p como uma VI de e d u c produz:
log( salário)
0,441 0,059educ (0,446)
(0,035)
(22)
n 428 , R 2 0,093
A estimativa de VI do retorno da educação é 5,9%, que é cerca de metade da estimativa MQO. Isso sugere que a estimativa de MQO é alta demais e é consistente com o viés de aptidão omitida. Entretanto, devemos lembrar que essas estimativas são de apenas uma amostra: nunca podemos saber se 0,109 está acima do verdadeiro retorno da educação, ou se 0,059 está mas próximo do verdadeiro retorno da educação. Além disso, o erro-padrão da estimativa VI é duas vezes e meia maior que o erro-padrão de MQO.
O intervalo de confiança de 95% de 1 , utilizando MQO, é muito mais justo do que utilizando VI; de fato, o intervalo de confiança de VI, na realidade, contém a estimativa de MQO. Mais adiante será demonstrado como saber se a diferença entre os resultados é estatisticamente significante.
Mínimos Quadrados de dois Estágios MQ2E Considere o seguinte modelo estrutural: y 1 2 x 3 z u; Cov(u , x ) 0; Cov(u , z ) 0 (14)
Em que x é endógeno, z é exógeno, e z1, z2 são instrumentos válidos para x. Num primeiro passo, estima-se consistentemente por MQO: x 1 2 z 3 z 1 4 z 2 v; 3 0; 4 0
(15)
Em que x tem como regressores todas as variáveis exógenas (instrumentos e do modelo estrutural). Como a combinação linear de todas as variáveis exógenas:
E ( x / z , z 1 , z 2 ) x 1 2 z 3 z 1 4 z 2
(16)
Mínimos Quadrados de dois Estágios MQ2E No segundo passo, estima-se consistentemente por MQO o modelo estrutural (14)
y 1 2 x 3 z u
(17)
onde x é determinado no primeiro passo e o estimador resultante para β coincidente com o IV.
Podemos interpretar essa regressão da seguinte forma: o valor estimado x é a versão estimada de X , que por sua vez é não correlacionado com u. Portanto, primeiro o MQ2E expurga X de sua correlação com u antes de fazer a regressão por MQO. 36
Teste de endogeneidade Torna-se necessário nesta discussão apresentar testes quanto à exogeneidade dos regressores. No caso de existir mais de um instrumento por regressor endógeno, também podemos testar a validade de algum dos instrumentos no sentido de não estarem correlacionados com os erros. O teste de Hausman é o procedimento de referência para inferir sobre a exogeneidade dos regressores. Em resumo, o teste de Hausman procura comparar estatisticamente dois estimadores , para o mesmo modelo e
vetor de parâmetros β. O estimador VI é consistente sob ambas as
hipóteses H 0 ; H 1 , enquanto que o estimador M Q O
apenas é
consistente sob a hipótese nula. Por outro lado, sob a hipótese nula, H 0
M Q Oé (assimptoticamente) mais eficiente do que o VI .
Teste de endogeneidade Vejamos o teste de Hausman com o recurso a regressão auxiliar. Dado o fato de que: Cov(u, x) 0, os erros u e v dos modelos (14) e (15) estão auto-correlacionados, ou seja: Cov(u, v) 0
O teste à exogeneidade é simplesmente o teste t ao coeficiente δ na regressão auxiliar (aumentada em relação ao modelo estrutural em v ):
y 1 2 x 3 z v u
(18)
Se cada z é não-correlacionado com o erro, x será não-correlacionado com o erro se, e somente se, v não o for. Logo, u e v são nãocorrelacionados se, e somente se, 0 (19)
Teste de endogeneidade Se existirem mais do que uma variável endógena (por exemplo, 5) então usa-se o teste F da significância conjunta dos 5 coeficientes associados aos 5 resíduos do primeiro passo. Para testar se um particular regressor x, que tem associado o parâmetro β2 no modelo, não é endógeno: (20)
1 n 0 H 0 : Cov(u , x ) E (ux) 0 p lim i 1 xiui n n pode-se utilizar a estatística:
( 2, IV 2, MQO )
2
V ( 2 IV ) V ( 2 MQO )
d
12
(21)
Teste de restrições sobreidentificadas Para finalizar, apresentamos um teste quanto à auto-correlação de erros e instrumentos onde o número de instrumentos é pelo menos dois. Num contexto IV ou GMM linear, procura-se testar a hipótese nula de:
H 0 : E (uZ ) 0, Z mx1
(22)
em que os m > 1 instrumentos para x não estão autocorrelacionados com u. Se a hipótese nula não é aceita, concluímos que pelo menos um dos instrumentos não é válido e está correlacionado com os erros u. O modelo diz-se sobre-identificado pois m>1. No caso de exata identificação, m = 1, não é possível desenvolver este teste.
Teste de restrições sobreidentificadas O teste é similar ao anterior de Hausman em que se recorre a resíduos. Neste caso, no entanto, a estatística de teste é:
nR
2
em que o R 2 resulta do modelo auxiliar.
u 1 2 z 1 z 1 2 z 2 ...... m z m e
(23)
onde
u
são os resíduos IV do modelo estrutural, e z1, z2,
..., zm são os (possíveis) instrumentos para x. A estatística é assimptoticamente distribuída como: m2 1
Modelos de Equações Simultâneas - MES Características:
-Modelo onde existem duas ou mais variáveis dependentes em vez de apenas uma. -Diferem da maioria dos modelos econométricos porque eles consistem de um conjunto de equações. -Procedimento de estimação por MQO não é mais apropriado nesses modelos para obter estimativas confiáveis dos parâmetros econômicos.
MES – Exemplo da Oferta e Demanda A oferta e a demanda conjuntamente determinam o preço de mercado de um bem e a quantidade que é vendida desse produto. Um modelo econométrico que explique o preço de mercado e a quantidade vendida deve ter duas equações, uma para a S e outra para D.
Demanda: q 1 p 2 y ed
Oferta:
q 1 p e s
p e q são chamadas de variáveis endógenas
A variável renda y é uma variável exógena.
MES – Exemplo da Oferta e Demanda Acrescentamos Erros aleatórios
E (ed ) 0,
var(ed )
E (e s ) 0,
var(es ) 2s
2 d
cov(ed , es ) 0 O fato de que p é aleatório significa que do lado direito das equações de oferta e demanda nós temos uma variável explanatória que é aleatória. p, , ed e es, são correlacionados, fazendo com que o estimador de
MQO seja viesado e inconsistente.
MES – Equações de forma reduzida Resolvendo as equações estruturais
q 1 p 2 y ed q 1 p e s Igualando as equações de demanda e oferta, encontramos a forma reduzida, simultaneamente para p e q.
1 p e s 1 p 2 y ed
2 ed es p y 1 1 1 1 1 y v1
MES – Equações de forma reduzida Substituindo p na equação de oferta
2 ed es q 1 p e s 1 y es 1 1 1 1 1 2 1ed 1es y 1 1 1 1 2 y v2 1 e 2 são os parâmetros de forma reduzida.
v1 e v2 são os erros de forma reduzida
MES – Equações de forma reduzida As equações de forma reduzida ( 1 e 2. ) podem ser estimadas consistentemente por MQO. As equações de forma reduzida são importantes para análise econômica.Essas equações relacionam os valores de equilíbrio das variáveis endógenas com as variáveis exógenas. Assim, se existir um aumento na renda y , 1 é o aumento esperado no preço, depois dos ajustamentos de mercado levarem ao novo equilíbrio para p e q.
Em segundo lugar, as equações de forma reduzida podem ser utilizadas para prever valores de equilíbrio do preço e quantidade para diferentes níveis de renda.
MES – Falha de estimação de MQO Porque não se deve usar os estimadores de MQO para estimar a equação de Oferta no MES?
Porque o termo p e correlacionado com o erro e
MES – Falha de estimação de MQO EXPLICAÇÃO: Suponha que exista uma pequena variação no termo de erro es, digamos es. A variação es no termo de erro é diretamente diretamente transmitida para o valor de equilíbrio de p. p
2 ( 1
1 )
y
ed es ( 1
1 )
Observando a equação reduzida vemos que dada um es ocorre um efeito direto linear sobre p. Como 1 0 e
1 0 , se es > 0 , então
p 0 .
Assim, toda vez que existe uma variação em es, existe uma mudança associada em p na direção oposta. Conseqüentemente, p e es são negativamente negativamente correlacionados.
MES – Falha de estimação de MQO EXPLICAÇÃO: A estimação por mínimos quadrados da relação entre q e p atribui ao preço o crédito pelo efeito efeito de variações nas perturbações. Em amostras grandes, o estimador de mínimos quadrados tendem a ser negativamente negativamente viesados. O viés persiste mesmo quando o tamanho da amostra é grande e, assim, o estimador de mínimos quadrados é inconsistente. O estimador de mínimos quadrados dos parâmetros na equação simultânea estrutural é viesado e inconsist inconsistente ente em virtude da correlação entre o erro aleatório e a variáv variável el endógena no lado direito da equação.
MES - Identificação Uma Condição Necessária para Identificação: Em um sistema de M equações simultâneas, que conjuntamente determinam os valores de M variáveis endógenas, pelo menos M1 variáveis devem estar ausentes de uma equação para que a estimação de seus parâmetros seja possível. Quando a estimação dos parâmetros de uma equação é possível de ser feita, então se diz que a equação é identificável e seus parâmetros podem ser consistentemente estimados. Se menos do que M1 variáveis estiverem fora da equação, então se diz que ela não é identificável e seus parâmetros não podem ser estimados consistentemente.
MES - Identificação M=2 equações e 3 (três) variáveis: p, q e y .
Demanda: q 1 p 2 y ed Nenhuma variável é omitida Não é identificável e seus parâmetros não podem ser estimados consistentemente.
Oferta: q 1 p e s M1=1 variável, renda é omitida; a curva de oferta é identificável
e seus parâmetros podem ser estimados. A condição de identificação deve ser verificada antes de se tentar estimar uma equação.
Procedimento de Estimação por MQ2E Método mais utilizado para estimar os parâmetros de uma equação estrutural identificada.
q 1 p es
q 1 p e* ˆ
ˆ
A variável p é composta de uma parte sistemática, que é o seu valor esperado E ( p), e de uma parte aleatória, que é o erro aleatório da forma reduzida v 1.
p E( p) v1 1 y v1
se conhecermos o valor de 1 então podemos substituir p por seu valor
q 1[ E ( p) v1 ] e s
1 E ( p) (1v1 e s ) 1 E ( p) e*
Regras de Identificação 1 Demanda
Qt 0 1 P t u1t
Oferta
Qt 0 1 P t u2t
Modelo com 2 variáveis endógenas Nenhuma variável predeterminada M-1 = 1 Nenhuma equação identificada
Regras de Identificação 2 Demanda Oferta
0 1 P t 2 I t u1t Qt 0 1 P t u2t Qt
Modelo com 2 variáveis endógenas (P,Q) I é exógena Função oferta esta identificada
Regras de Identificação 3 Demanda Qt 0 1 P t 2 I t u1t Oferta
Qt 0 1 P t 2 P t 1 u2t
Modelo com 2 variáveis endógenas (P,Q) I e Pt-1 são exógenos Função oferta e demanda estão identificadas portanto o modelo está identificado
Regras de Identificação 4 Demanda Qt 0 1 P t 2 I t 3 Rt u1t Oferta
Qt 0 1 P t 2 P t 1 u2t
Modelo com 2 variáveis endógenas (P,Q) I, R e Pt-1 são exógenos Função oferta e demanda estão identificadas portanto o modelo está sobre-identificado em excesso
Procedimento de Estimação por MQ2E •Como E(p) não esta correlacionada com e podemos estimar por mínimos quadrados 1. •Nós podemos estimar 1 utilizando 1 da equação de forma reduzida para p. •Um estimador consistente para E ( p) é p y ˆ
ˆ
• Utilizando
p como um substituto para E ( p) ˆ
q 1 p e* ˆ
ˆ
ˆ
1
Mínimos Quadrados de Dois Estágios Resumindo os dois estágios do processo de estimação 1. Estimação por MQO da equação reduzida de p, e o calculo de seu valor predito p ˆ
1.
a estimação por MQO da equação estrutural em que a variável endógena do lado direito p é substituída por seu valor predito p ˆ
Equações Simultâneas, MQ2E e Variáveis Instrumentais - EXEMPLO •Um modelo de oferta e demanda para trufas: d t
Demanda qt 1 2 pt 3 pst 4 dit e Oferta
qt 1 2 pt 3 pf t e st
- q é a quantidade de trufas comercializada - p é o preço de mercado das trufas, - ps é o preço de mercado de um substituto - di é renda per capita disponível. - Assumimos que p e q são variáveis endógenas. - As variáveis exógenas são ps, di, pf e a variável de intercepto.
MES, MQ2E e VI – Exemplo - Identificação A regra para identificar uma equação é que, em um sistema de M equações, pelo menos M 1 variáveis devem estar omitidas de cada equação para ela ser identificável. Na equação de demanda, a variável pf não está incluída Na equação de oferta, ps e di estão ausentes Nós concluímos que cada equação nesse sistema é identificável e pode, assim, ser estimada por mínimos quadrados em dois estágios.
MES, MQ2E e VI – Exemplo – Equações da Forma Reduzida As equações de forma reduzida expressam cada variável endógena, p e q, em termos das variáveis exógenas ps, di , pf e a variável de intercepto, mais um termo de erro.
qt 11 21 pst 31dit 41 pf t vt1 pt 12 22 pst 32 dit 42 pf t vt 2
MES, MQ2E e VI – Exemplo – Equação na forma reduzida para a quantidade (q)
q 7,895 0,656 ps 0,217di 0,507 pf
MES, MQ2E e VI – Exemplo – Equação na forma reduzida para o preço (p)
p -10.8374 0.5693 ps 0.2534 di 0.4513 pf
MES, MQ2E e VI – Exemplo – Equações de forma Reduzida As equações de forma reduzida são utilizadas para obter q e p predito, que serão usados no lugar de q e p no lado direito das equações de oferta e demanda no segundo estágio dos mínimos quadrados em dois estágios.
MES, MQ2E e VI – Exemplo – Estimando a Oferta por MQ2E
MES, MQ2E e VI – Exemplo – Estimando a Demanda por MQ2E
MES, MQ2E e VI – Exemplo – Interpretação da Oferta Oferta
q 20,0328 1,0139 p 1,0009 pf
INTERPRETAÇÃO DA EQUAÇÃO:
Aumentos no preço elevam a quantidade ofertada, Aumentos na taxa de aluguel dos porcos farejadores, que é um aumento no custo de produção, reduzem a oferta. Ambas as variáveis têm estimativas de coeficiente estatisticamente significantes.
MES, MQ2E e VI – Exemplo – Interpretação da oferta e demanda Demanda
q 4,279 1,1234 p 1,2965 ps 0,5016di
INTERPRETAÇÃO DA EQUAÇÃO: - O coeficiente do preço é negativo, indicando que à medida que o preço aumenta, a quantidade demandada de trufas cai, como predito pela lei de demanda. - O valor- p indica que a inclinação estimada da curva de demanda é significativamente diferente de zero. -Aumentos nos preços dos substitutos para as trufas elevam a demanda por trufas, que é uma característica dos bens substitutos. - Finalmente, o efeito da renda é positivo, indicando que as trufas são um bem normal.
Referências BUENO, R. L (2008). Econometria de Séries Temporais. São Paulo: Cengage Learning. Cap 5.
CARTER HILL, R.; GRIFITHS, Willian E.; JUDGE, George G. (2003). Econometria. 2. ed. São Paulo: Saraiva. DAVIDSON, R. e MACKINNON, J. G. (2004). Econometric Theory qand Methods . Oxford University Press, Oxford. Capítulo 9.
FLORES JR., Renato G. Notas de aula da Fundação Getulio Vargas – 2003. FIGUEIREDO, Erik A. Notas de aula da Universidade Federal da Paraíba – 2010. GREENE, William. H. Econometric Analysis. (ANO) (5th ed). Cap 18.
HAYASHI, F. (2000). Econometrics. New Jersey: Princeton University Press. Cap 3 e 4. NEDER, Henrique D. Notas de aula da Universidade Federal de Uberlândia – 2009. WOOLDRIDGE, J. M. (2003). Introductory Econometrics : A Modern Approach. 2nd ed. New York: Thomson Learning. 70
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