Giuliano Comoglio - Topografia e Cartografia (2008)

POLITECNICO DI TORINO

TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA a curadi: Prof.GiulianoComoglio Dipartimento di Ingegneria del Territorio, (DITAG) dell'Ambiente e delleGeotecnologie

EDIZIONE 2OO8

CelFd librerie

SISIEI,IA BIBLIOTECARIO

|ilililil ililt ililt ililtilfi ilil iltl *225 452r,

I o ristampafebbario2008 O Celid, febbraio2007 via Cialdini,26 - 10138Torino tel.011.44.74.714 r s B N 9 7 8 - 8 8- 776 r - 13 4 - 8 I d i r i n i d i r i p r o d u z i o n ed. i m e m o r i z z a z i o n e e di adattamentototale o parziale con qualsiasimezzo (compresimicrofi lm e c o p i e f o t o s l a l i c h es) o n or i s e r v a t i .

StampaDigitalPrint Service,Segrate(Mi)

INFORMAZIONI GENERALI T. Bellone, A. Cina,A. redattein collaborazione coni docenti: Questedispense, hannolo scopodi facilitare l'allievo nellavorodi Lingua,A. Manzino, F. Rinaudo, apprendimento dellenozionifondamentali dellatopografia e dellacartografia.

PRESENTAZIONE DELCORSO La topografia studiagli strumenti e gli schemioperativi di misura,i metodidi calcoloe di un oggetto. di disegnocheservonoperdefinirela formae le dimensioni principale L'oggetto del rilievotopografico e dellasuarappresentazione delletecniche pianaè la superficie terrestre. perla definizione La topografia dallageometria delle traele suebasiscientifiche per l'ulilizzocriticodei risultati, operazioni di misura,dallastatistica dallafisicae peri principi di misurae dalcalcolo dall'elettronica di funzionamento deglistrumenti per la soluzione problemi numerico di calcoloe di compensazione dei piùcomplessi dellemisure. Restaintesochequantoverràillustrato, relativamente al rilevamento dellasuperficie può fisicaterrestre, essereutilizzato, facendoopportuni adeguamenti, ancheperil qualidighe,ponti rilevamento di un qualsiasi altrooggetto(adesempiograndistrutture repertiarcheologici, ecc.). e gallerieoppurepiccolioggettiqualiedifici,monumenti, necessita L'ingegnere cheoperasulterritorio di questostrumento di conoscenza geometrica la figuraprofessionale dellecosein quantorappresenta chepiù interagisce direttamente con il territoriostesso.La sua operasi esplica,correttamente, perla buonariuscita due fasidistintema entrambedi capitaleimportanza attraverso dell'intervento: È faseconoscitiva: la conoscenza che delterritorio, sia dal puntodi vistamorfologico puòaweniresoloattraverso il suorilievoed è la premessa essenziale antropico, per unacorrettaprogettazione tecnica; quandosi devetracciaresul F faseinterattiva: ia ritornaessenziale la topograf territorioI'operaprogettata. fallimento E chiaroche un errorein unasoladi questefasipuòdeterminare il completo I'intervento. ditutto per gli allievidei È per questomotivoche lo studiodi questadisciplina è obbligatorio Edile,Civilee perI'Ambiente e il Territorio. corsidi Laureain Ingegneria permetterein ll corsocheiniziamo vuoleforniregli elementi di baseessenziali il futuroingegnere condizione di organizzare e verificarele operazioni di rilievoe di tracciamentotopografico. questoscopoci occuperemo Perraggiungere di: F la formadellaterra(Geodesia) pianadel terreno(Cartografia) F la rappresentazione punti per F metodie strumenti determinare la formadelterrenoe per localizzarne (Teoriastrumentalee metodologiedi rilievoe tracciamento) caratteristici F metodistatisticiper stabilireil gradodi affidabilità e gli erroriattesidalleoperazioni iche(Statistica). topograf Eventualiapprofondimenti su alcuniaspetticheverrannosoloaccennatiduranteil corso vengonofornitineicorsidi specializzazione dellaLaureae dellaLaureaSpecialistica.

CORSODI TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA CAPITOLO1: GEODESIA PROBLEMA DELLARAPPRESENTAZIONE DELTERRENO LA GEODESIA LA FORMADELLATERRA D E F I N I Z I O NDEE L L AS U P E R F I C D I EI R I F E R I M E N T O COORDINATE GEOGRAFICHE EQUAZIONI PARAMETRICHE DELL'ELLISSOI DE E S E R C | Z1 |- 2 - 3 RAGGIDI CURVATURA DELL'ELLISSOIDE. SEZIONINORMALI SEZIONINORMALIE GEODETICHE EQUAZIONI DELLEGEODETICHE E S E R C I Z I4O S V I L U P PDI I P U I S E U X - W E I N G A R T E N ESERCIZIO 5 MISURETOPOGRAFICHE: INCONGRUENZE TRATEORIAE PRATICA TEOREMIDELLAGEODESIA OPERATIVA E S E C U Z I O NDEE IC A L C O LSI U L L AS U P E R F I C IDEI R I F E R I M E N T O CAMPOGEODETICO CAMPOTOPOGRAFICO E S E R C I Z I6O I LT E O R E M A DILEGENDRE POLARIE RETTANGOLARI COORDINATE GEODETICHE E S E R C I Z7I- 8

1 3 4 5 15 16 18 22 26 28 30 31 32 32 34 35 35 37 39 40 41 44

CAPITOLO2: ELEMENTIDl CARTOGRAFIA

45

D E L L ' E L L I S O IS DU ELP I A N O SVILUPPO PROIEZIONIPROSPETTICHE PROIEZION P IE RS V I L U P P O RELAZIONI ANALITICHE DEIMODULIDI DEFORMAZIONE DETERMINAZIONE ANALITICA PRINCIPALI SISTEMI CARTOGRAFICI. CARTADI MERCATORE PROIEZIONE POLARE STEREOGRAFICA ANALOGTCA) OARTADt GAUSS(RAPPRESENTAZTONE DELLERAPPRESENTAZIONI EQUAZIONI DIFFERENZIALI CONFORMI LA CARTADI GAUSS FORMULE D IH I R V O N E N LINEARE NELLACARTADI GAUSS CALCOLODELMODULODI DEFORMAZIONE DELMERIDIANO NELLACARTADI GAUSS CALCOLODELLACONVERGENZA DELLEGEODETICHE TRASFORMATE SULPIANODI GAUSS LA CARTOGRAFIA ITALIANA UFFICIALE IL SISTEMAUNIVERSALE UTM (EDsO) IL SISTEMADI RIFERIMENTO EUROPEO UNIFICATO ESERCIZISVOLTIDI CARTOGRAFIA ESERCIZ 9 I- 1 0- 1 1- 1 2- 1 3 ESEMPIDI CARTOGRAFIA NAZIONALE AL TRATTO TAVOLEALLEGATE

45 47 47 48

CAPITOLO3: CENNIDl STATISTICA PROBABILITA E DEFINIZIONI PROBABILITA CLASSICA PROBABILITA EMPIRICA PROBABI LITAASSIOMATICA PROBABI LITASOGGETTIVA TOTALE TEOREMADELLAPROBABILITA

Àn

54 54 56 57 59 ol OJ

65 67 69 t,5

81 82 B5 B9 93 102

103 103 104 105 106 106 107

TEOREMADELLAPROBABI LITACOMPOSTA VARIABII E CASUALI STATISTICHE SEMPLICI LA DISUGUAGLIANZA DI TCHEBYCHEFF LA VARIABILE CONTINUA CASUALE VARIABILE E CASUALE A DUEDIMENSIONI STATISTICA LA CORRELAZIONE LINEARE COMBINAZIONE DI VARIABILI CASUALIINDIPENDENTI A L C U NE I S E M PDI I D I S T R I B U Z I O N I DISTRIBUZIOD N IEB E R N O U L O L IB I N O M I A L E DISTRIBUZIONE NORMALE O DI GAUSS TEOREMIINERENTI LA DISTRIBUZIONE DI GAUSS DISTRIBUZIONO E R M A LA E D U ED I M E N S I O N I

CAPITOLO4: lL TRATTAMENTO DELLEMISURE STATISTICO DI MISURA CONCETTO LEMISURE DIRETTE INDIRETTE LEMISURE IL PROBLEMA DELLASTIMA ETADEGLISTIMATORI PROPRI I L P R I N C I P ID OI M A S S I M V AE R O S I M I G L I A N Z A M I S U R ED I R E T T E DIUGUALE PRECISIONE M I S U R ED I R E T T E DIDIVERSP ARECISIONE MISURAINDIRETTA DI UNAGRANDEZZA MISURAINDIRETTA DI PIUGRANDEZZE CONEQUAZIONI ESUBERANTI LINEARI IL CASOCONEOUAZIONI IL CASODI EQUAZIONI NONLINEARI

CAPITOLO 5: LA MISURADEGLIANGOLI DEFINIZIONE DI ANGOLOAZIMUTALE, ZENITALE DISTANZA E DISLIVELLO IL TEODOLITE A LUNGHEZZA CANNOCCHIALE COSTANTE DELCANNOCCHIALE CARATTERISTICHE LAMINAPIANOPARALLELA LE LIVELLE LA LIVELLASFERICA LA LIVELLA TORICA LA LIVELLA DI IMMAGINE TORICAA COINCIDENZA LA BASETTATOPOGRAFICA CONDIZIONI DI RETTIFICA DELTEODOLITE CONDIZIONE OPERATIVA DELTEODOLITE MESSAIN STAZIONE DELTEODOLITE MEZZIDI LETTURA AI CERCHINEGLISTRUMENTI OTTICO.MECCANICI LETTURAA STIMA STRUMENTI MICROMETRICI MEZZIDI LETTURA AI CERCHINEGLISTRUMENTI ELETTRONICI LA LETTURAASSOLUTA LETTURAINCREMENTALE ESEMPIDI SISTEMIDI LETTURA MISURADEGLIANGOLIAZIMUTALI I N F L U E N ZDAE G L E I R R O RRI E S I D U I ERROREDI ECCENTRICITA D I G R A D U A Z I O NDEE IC E R C H I ERRORE REGOLADI BESSEL MISURADEGLIANGOLIZENITALI ERRORICHEINFLUENZANO LE LETTURE ZENITALI ACCESSORI TOPOGRAFICI PERGLISTRUMENTI

108 109 116 118 't't9 122 124 126 126 130 135 137

139 139 140 143 143 144 144 146 151 156 162 163 167

169 toY

170 173 176 178 179 t/Y

180 183 183 184 185 185 186 186 1BB 190 190 191 192 197 198 199 200 202 203 205 208

CAPITOLO6: LA MISURADELLEDISTANZE DEFINIZIONE DI DISTANZA PERLA MISURADELLEDISTANZE STRUMENTI I DISTANZIOMETRI A MISURADI FASE LA MISURADELLAFASE MISURADELL'AMBIGUITA n MISURADELL'AMBIGUITA CONIL METODODELLEDECADI MISURADELL'AMBIGUITA CONTRELUNGHEZZE D'ONDA P R E C I S I O NDEE G LE I ODM L'ONDAPORTANTE E L'ONDAMODULANTE I DISTANZIOMETRI AD IMPULSI RIFLETTORE PASSIVO

7: LA MISURADEIDISLIVELLI CAPITOLO PERLA MISURADEIDISLIVELLI STRUMENTI LA STADIA IL LIVELLO LIVELLIOTTICO-MECCANICI AUTOLIVELLI LIVELLIELETTRONICI QUOTAE DISLIVELLO METODIPERLA MISURADEIDISLIVELLI INFLUENZA DELLACURVATURA TERRESTRE E DELLARIFRAZIONE ATMOSFERICA LA LIVELLAZIONE GEOMETRICA PRECISIONE DELLALIVELLAZIONE GEOMETRICA LA LIVELLAZIONE RECIPROCA GEOMETRICA LA LIVELLAZIONE TRIGONOMETRICA TRIGONOMETRICA PRECISIONE DELLALIVELLAZIONE LA LIVELLAZIONE CELERIMETRICA

CAPITOLO8: METODIDl RILEVAMENTO METODIDI RILEVAMENTO LE RETIPLANIMETRICHE DICOMPENSAZIONE CALCOLI DII U N AR E T E P R E C I S I O NDEE I V E R T I C PERLACONDOTTA DEICALCOLI CONSIDERAZIONI OPERATIVE L ER E T I A L T I M E T R I C H E L I V E L L A Z I OGNEI O M E T R I C H DEIP R E C I S I O NEET E C N I C H E DI UNARETEDI LIVELLAZIONE COMPENSAZIONE LA SIMULAZIONE DELLERETITOPOGRAFICHE ESEMPIDICOMPENSAZIONE DI RETITOPOGRAFICHE RETILOCALIE RETIGEODETICHE NAZIONALI RETIGEODETICHE FONDAMENTALI DELLERETINAZIONALI PRECISIONE

CAPITOLO9: RILIEVODl DETTAGLIO RILIEVOE CALCOLODELLERETIDI DETTAGLIO ANALITICA DELPIANO RICHIAMI DI GEOMETRIA ANGOLOPIANO TRASPORTO DEGLIANGOLIDI DIREZIONE TRASPORTO DELLECOORDINATE LUNGOUNASPEZZATA LE POLIGONALI POLIGONALE CHIUSA POLIGONALE APERTAVINCOLATA AGLIESTREMI LE INTERSEZIONI IN AVANTI INTERSEZIONE SEMPLICE IL RILIEVODI DETTAGLIO ESECUZIONE DI UNASTAZIONE CELERIMETRICA

213 213 216 217 217 219 221 221 222 223 224 228

229 229 230 231 231 235 239 245 246 246 247 251 253 254 259 260

261 261 262 263 269 270 271 271 271 275 276 280 281 285

287 287 2BB 291 292 293 294 294 297 299 300 303 304

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo1 GEODESIA

Capitolo 1 GEODESIA

DELTERRENO D E L L AR A P PRESENTAZIONE 1 . 1 . P R OB L E MA fisicaterrestrecon i manufatti costruitidall'uomoha una formamolto La superficie in modoesatto. analiticamente irregolare e discontinua e quindinondefinibile impossibile stabilirela posizionerelativao In questo modo diventapraticamente sulla assolutadi punti, calcolarearee o misuraredistanzee angoli direttamente terrestre. superficie di riferimento la superficie fisicadellaterracon una superficie E' necessario sostituire di nel miglioredei modi, presentidelle caratteristiche che pur approssimandola regolarità,continuitàe levigatezzatali da consentirneI'impiegonella trattazione matematica. in ll legametra questedue superficideve essere noto e facilmenterealizzabile qualunque puntodellaterra.La sceltadi proiettare tuttii di riferimento sullasuperficie realizzare punticaratteristici con un che si puòfacilmente del terrenolungola verticale, filoa piomboo medianteuna livellao un pendolo,rispondea questeesigenze. idealeè chiamatageoideed è definitacome quella di riferimento Questasuperficie punto e coinciderebbe con dellaverticale che in ogni è normalealladirezione superficie prolungata sottole terreemerse,qualoraI'acqua la superficie dei mari,opportunamente avessela stessatemperatura,la stessadensitàe non esistesserole perturbazioni ai ventie allemaree. dovuteallecorrenti.

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo1 GEODESIA

' Fig.1.1- Superficie fisicaterrestre e geoide Ognipuntoproiettato sullasuperficie di riferimento saràunivocamente determinato da una coppia di coordinatecurvilineee dalla distanzatra il punto reale e la sua proiezione. La distanzatra superficiefisicaterrestree il geoideè chiamataquotaed è misurata lungola verticale. Con queste premessesi può delinearela seguente proceduradi rilievo e di rapprese ntazionedella superficiefisicaterrestre : F poichéil terrenoha una forma moltocomplessa, bisogneràdescriverlo con un numerolimitatoma sufficiente di punti (ad esempioun edificiorettangolare è individuato mediante i suoiquattrovertici); F ognipuntofisicodovràessereproiettato sulgeoidelungola verticale; ) la posizione relativadei puntisul geoidesaràdeterminata attraverso la misuradi angolie distanzeche dovrannoa lorovoltaesseredefinitiin quantoil geoideè unasuperficie curva; D la posizione dei puntiproiettati sul geoidesarà definitamedianteuna coppiadi coordinate (u, v); a questoscopoè necessario curvilinee conoscereI'equazione delgeoide;

Fig.1.2- Coordinate curvilinee e coordinate cartografiche congiungendo opportunamente con lineei puntiproiettati sul geoidee indicando accantola quota,si otterràla descrizione completadel terreno;

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo1 GEODESIA

F la rappresentazione così ottenutasarà disegnatasu un supportocurvo,mentre per gli usi praticiè più conveniente un supportopiano;a questoscoposi potrà stabilireuna corrispondenza biunivocatra le coordinate curvilinee(u, v) e una piane: coppiadi coordinate X = X(u,v) t1l Y=Y(u,v) Le operazionidi misuradi angoli e distanzeprima descritte,non sono realizzabili praticamente in quantoil geoideè una superficieideale.Le misuredevonoinvece "reale"fisicaterrestre. essereeseguite sullasuperficie Comevedremomeglioin seguito,i metodidi misuradegliangolie delledistanzeche adotteremosarannotali da forniregli stessivaloriqualisi sarebberoottenutioperando direttamente sulgeoide. Permotivianaloghi, anchela misuratopografica direttadi unaquotaè impossibile. Gli strumenti misurano i dislivelli topografici a nostradisposizione ossiale differenze di quotatra puntichestannosullasuperficie terrestre. Le quote si otterrannoquindi"indirettamente" come sommadei dislivellimisuratia partireda un puntodi quotanota. per ottenereil rilievoe la rappresentazione Fattequesteconsiderazioni dellasuperficie fisicaterrestreoccorre: F definireI'equazione delgeoide(lasuperficie di riferimento); F definireil sistemadi coordinate curvilinee u, v; ) definirela naturadegliangolie delledistanze da misurare sul geoide; F definireil modopertrasformare talimisurein coordinate curvilinee; piane. D definireil modopertrasformare le coordinate in coordinate curvilinee 1 , 2 . L A GE OD E S IA La Geodesia(dalgrecoterra+ ripartisco) è la scienzache studiacertiaspettifisicie -matematici fisico della terra e dello spazioimmediatamente circostantereso oggi accessibileall'indagine direttagrazie ai dati rilevatidai satellitiartificiali.Compiti essenziali dellaGeodesia sono: F la definizione delgeoidenellasuaformae nellesuedimensioni; F partendo in un puntocome dalladefinizione di "intensità" del campogravitazionale per unità di massa,oppure,riferendocialla massa mo b forza gravitazionale (massa"esploratrice") I'intensità del usatacomesondadel campogravitazionale, camporisultas =L, potremoassociare a ciascunpuntoin prossimità dellaterra mo

I'accelerazione un vettoregche rappresenta subitada un corpo,lasciatoliberodi quel punto; cadere,in generalirelativeallacostituzione F la deduzione di ipotesie conclusioni stessadel globo terrestre,alla distribuzione internadelle masse, ai loro movimentie variazionineltempoe nellospazio,allecaratteristiche elastichedellacrosta,ecc. Gli ultimidue puntisonointimamente connessial primoin quantola formadel geoideè localmentein strettarelazionecon il vettore g , e questo,a sua volta,dipendedalla distribuzione dellemasseoltrecheda altrifattori.

G. COMOGLIO E CARTOGRAFIA TOPOGRAFIA

Capitolo1 GEODESIA

Quindi il problemacentraledella Geodesiaresta la definizionedel geoide e, successivamente, si dovrannodefinireanchele posizionirelativedi punti e la loro rappresentazione sulpiano. geometrico precisa L'aspetto il geoideunasuperficie dellageodesia considera algebrica (sfera,ellissoide la studiadal puntodi e di semplicedefinizione analitica di rotazione), vistadellageometria insegnaa sviluppare dellesuperfici, su di essale triangolazioni ea le relazioni fra i suoipunti. calcolare di posizione L'aspetto dinamicostudiainveceessenzialmente il campogravitazionale terrestre, sia in basea ipotesisullanaturae distribuzione dellemasseterrestri sia in baseallemisure di gravitàeffettuatesullasuperficieeffettivao nellesue adiacenze;definisceil geoide comeuna particolare superficie equipotenziale di dettocampo,ne studiagli scostamenti geometriche rispettoa dellesuperfici ed insegnaa tenerecontodelleloroconseguenze operative. L'evolversi delleinformazioni dai satelliti,richiededi distinguere acquisibili ancorala geodesia in geodesia classicae tridimensionale. La geodesiaclassicaè vincolata,per lo meno nella sua parte operativa,a una superficie di riferimento di naturageometrica o dinamicae quindia un'impostazione bidimensionale essenzialmente dei suoi problemi,nella quale la lerza dimensione interviene soltantoin formasubordinata e vieneper lo piùestromessa appenapossibile e spessoartificiose riduzioni concomplicate e correzioni. La geodesiatridimensionale trattainvecei probleminellospaziofisicotridimensionale evitandoil ricorsoa qualsiasisuperficiedi riferimento.Questo può essere attuato impiegando intrinseci medianteelementifisici dei sistemidi riferimento e cioèdefinibili gravitazionale il campo misura connaturati con e accessibili alla diretta.Questodiverso approccioha senzadubbiouna notevolecoerenzalogicae appareparticolarmente idoneoa trattarei problemioperatividellageodesianei qualila terzadimensione ha quantomenocomparabili entitàe importanza conle altredue. 1 . 2 . 1 .L A F OR MAD E L L AT E R R A In basea quantogià dettola superficieeffettivadellaterrapuò essereapprossimata condiversicriterie finalitàda tre diversesuperfici: 1. superticieellissoidica: è una- figura astratta,di comodo,introdottaunicamente come supportomatematico sul quale sviluppareanaliticamente il rilievodella superficie effettiva.Essanonha alcunarealtàfisicae nonè pertantoaccessibile in alcunmodoall'osservazione; 2. superticiedinamicateorica:è una particolaresuperficiedi livello del campo gravitazionale chela terrasia un corpocontinuo, chesi ha nell'ipotesi omogeneo e di densitàuniforme,animatoesclusivamente da un motodi rotazioneattornoal suo asse polare,con velocitàangolarecostante.Per quantoancoradi natura questasuperficie ipotetica è menoastrattadellasuperficie in quantoè ellissoidica legataa entitàche hanno una effettivarealtàfisica (il vettore ) e una assai prossimarispondenzaal vero. Questa superficieè chiusa, liscia e priva di singolarità; 3. superticiedinamicareale'.è una particolaresuperficiedi livello del campo gravitazionale. Essacoincidecon il peloliberodei marisuppostiin equilibrio e in locali(onde,maree,salinità,temperatura, assenzadi azioniperturbatrici ecc.), può immaginarsi mentresottoi continenti in canaliidealiprividi attrito, continuata nei quali I'acquamarinafluiscefino all'equilibrio. In questomodo le curvature 4

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo1 GEODESIA

in corrispondenza subiscononotevolidiscontinuità delle linee di costa. La superficieè lisciae la sua formaè complessivamente sferoidalema presenta localidi densitàe di continueondulazioni e gibbosità conseguenti allevariazioni dei continenti e si dislocazione dellemassemateriali. Si elevain corrispondenza dei mari pur restandola sua curvaturaglobale abbassa in corrispondenza ovunquepositiva. cui Listing(1873)ha datoil nomedi geoide, Questasuperficie, pure ha dunqueuna sia realtàfisicaper buonaparte della sua approssimata in corrispondenza estensionee può essere materializzata di un mareografo (strumentoatto a fornire,attraversoun lungo periododi osservazioni, il livello puntodellacosta). mediodel marein un determinato questesuperfici Perappropriati valoridei parametri che definiscono e la loroposizione gli scostamenti relativa, radialisonoassaipiccoli(dell'ordine delladecinadi metri);per finied entrocertilimiti,la sostituzione talefattoè lecita,a determinati di una superficie all'altra e in particolare dell'ellissoide al geoide.

ellissoide

Fig.1.3- Approssimazione fisicaterrestre dellasuperficie può essere ll fattoche la terraabbiaformasferoidale e assaiprossimaa un ellissoide, giustificato nell'ipotesi teoricamente di una primitivafluiditàdella massaterrestrein rotazione con il raffreddamento senzache che è andataprogressivamente diminuendo ne risultassero di livellooriginarie. eccessivamente alteratele superfici 1 . 3 . D E F IN IZ IONDEE L L AS U PERFICIE DI RIFERIM ENTO La meccanicastudiail motodei corpimaterialisottoI'azionedelleforzeapplicateche sonoessenzialmente di duetipi: gravitazionali ) le forze che ubbidisconoalla legge di gravitazionedi Newton, con una forza secondola quale due particellesi attraggonoreciprocamente proporzionaleal prodottodelle loro masse e inversamenteproporzionaleal quadrato della loro distanza; queste forze sono dirette secondo la retta le particelle e sonoindipendenti dallapresenza di corpivicini; congiungente F le forzeelasticheche seguonola leggedi Hooke. per la trattazione Altroconcettofondamentale di questoargomento,è quellodi campo. lllustriamolo con un esempio:consideriamo un ambientee supponiamoche la in temperatura sia misuratain ogni suo punto.L'insiemedei valoridellatemperatura funzionedellaposizionesi chiamacampoe, più propriamenle, camposcalare,essendo la temperaturauna grandezzascalarecioè completamente determinatamedianteil numeroche ne forniscela misura. una regionenellaqualeun liquidosia in moto Comesecondoesempio,consideriamo in In ognipuntodellospazioè possibile definireun vettoreche rappresenti, stazionario. direzione,verso e ampiezzala velocitàdella particellafluida che si trova nel punto In generaleavremovettoridiversinei diversipuntidellaregione;I'insieme considerato.

Capitolo1 GEODESIA

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

il motodel fluidoe si chiamacampodi velocità. di questivettoridescriveunivocamente Questoè un esempiodi campovettoriale. mediantelineedi flusso,che Nel casodei campivettoriali, è utilela rappresentazione punto dellospaziola direzione del vettorecampo.La tangentein ogni dannoin ogni la direzione loropuntoindividua delvettorecamponelpuntoconsiderato. Le lineedi flussodi un campouniformesonounafamigliadi retteparallele e il vettore ha la stessaampiezzaovunque. varieràda punto ln generale,le lineedi camposarannoinvecedellecurvee l'ampiezza a puntodellospazio. inoltrein conseruative e ln meccanica,le forzeagentisu corpimaterialisi distinguono il concettodi energiapotenziale. non conseruative e per le primesi può introdurre Ricordiamola condizionegeneraleche deve esseresoddisfatta affinchéuna forzasia se il conservativaed esistaquindiun'energiapotenziale:una forzarisultaconseruativa lavoro da essacompiutosu di un corpo è nullo quandoil corpo percorreuna traiettoria chiusaqualunque. Lo stesso concettopuò essere espressonel seguentemodo: consideriamouna particella finaleQ; se il lavoro inizialeP ad una posizione che passida una posizione compiuto dalla forza agente sulla particella è /o sfesso qualunque sia la linea congiungenteP con Q, la forza saràconseruativa. la lorza F che il campo Esaminiamo ora le proprietàdi un campodi forzaconservativo: su di un corpoè funzione dellaposizione; esercita F

+B Fig.1.4- Energiapotenziale (vediFig. Se il corposi spostada un puntoA ad un puntoB lungouna lineaarbitraria potenziale 1 . 4 ) , l av a r i a zi o ndee l l asu ae n e rg ia è datada: ue-ua=

dt

IoFrd,

dove Fr =Fcos9

l2l

I'energiapotenziale rispettivamente nei puntiA e B. Doveune us r?ppr€sentano ln tal modo,ad ogni puntodel campodi forzacorrisponde un valoreu dell'energia potenziale. nelpassaggio da A a B, si diceche il puntoB è Se il corpoacquistaenergiapotenziale potenziale delpuntoA, e viceversa. a maggiore di energiapotenziale. Si notiche si trattasempredi variazione potenziale in un puntodellospaziosi scegliedi normaun puntoin PerdefinireI'energia c u i s i p o neI'e n e rg ipao te n zi a lue=0e si avr àin tal m odounafunziotlèu= g( X,Y,Z) delpunto. cioèfunzione dellecoordinate perdescrivere la funzione un ll vantaggio energiapotenziale chesi ottieneintroducendo sta nel fattoche si sostituisce ad un campovettorialeun campodiforza conservativo, camposcalaredi energiapotenziale. puòessereespressadallarelazione: L'equazione di una superficie equipotenziale =costante u = rp(X,Y,Z) t3l

Capitolo1 GEODESIA

G. COMOGLIO E CARTOGRAFIA TOPOGRAFIA

Poichéper definizione, nonsi compielavoroper spostareun corpoda un puntoad un in ognipuntodellospaziole lineedi forza altrosullastessasuperficie equipotenziale, allesuperfici equipotenziali. devonoessereperpendicolari Ne deriva quindi che, date le superficiequipotenziali, si possono costruire le lineedi forzatracciando le curvechele intersecano ortogonalmente. immediatamente le superfici da unafamiglia equipotenziali sianocostituite Supponendo che,ad esempio, le lineedi forzacoincidono con i raggi evidentemente di superfici sfericheconcentriche, di talisfere. questiconcettialladefinizione fisicadelcorpo"terra". Applichiamo nel baricentro Stabiliamo un sistemadi riferimento cartesiano [O,XYZ]aventeI'origine congli conI'assedi rotazione e gli assiX e Y coincidenti dellaterra,I'asseZ coincidente (sistema geocentrico). principali assi di inerzia g in un genericopuntoP è una funzionedellaposizionedel ll campogravitazionale puntostessoe si puòconsiderare comerisultante di dueforze(vediFig.1.5): F la forza r; di attrazionenewtoniana sullamassaD?o che è la risultantedi tutte le forze elementariche ogni elementodi massadella terra esercitasull'unitàdi massapostain P (vediFig.1.5); F la forzacentrifugaF. sullamassapostain P (vediFig.1.5)dovutaallarotazione dellaterra intornoall'assepolareZ, rolazioneche awiene con velocitàangolare risultaparia c =@2ri a=7.29.10-5rad/s,percui l'accelerazione il vettorer ha modulo,,lxr'+Yr' ed è direttosecondola normaleall'asseZ passanteper P e orientatoversoI'esterno dellaterra.

-|r

Fig.1.5-Forza centrifuga, newtoniana e di gravità Le tre forze in oggetto sono conservativee quindi potremodefinireil potenziale associatoa ciascunadi esse: F la forzacentrifuga4 e il relativopotenziale v F la forzanewtonianar, e il relativopotenzialeV s e il relativopotenziale W F la forzagravitazionale v (i potenziali, V e del potenziale ll potenziale W è quindipariallasommadel potenziale in quantofunzioniscalari,possonoesseresommati). Ricaviamo analitiche dellegrandezzecheabbiamoappenadefinito. ora le espressioni

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo1 GEODESIA

Consideriamo un corpodi provasituatoin un puntoP del campodi forzae supponiamo di spostarlodi un trattods lungola direzionedella forzadi gravità I diremochela variazione delpotenziale delcorpovale:

; in base alla [2]

dw=E.à,

l4l

possiamodireche la componente di un camposecondouna direzione Generalizzando, qualsiasi lungoquelladirezione riferitaall'unità di è ugualeallavariazione delpotenziale lunghezza.ll vettorecamporisultail gradientedel potenzialeed è direttonormalmente g = gradW che,in basealla equipotenziale e si indicacon la notazione: afla superficie [4],possiamoscriverecome: òw= l * òw=î, òw=îr tsl Ay a, òX passanteper P, Se lo spostamentods è tangentealla superficieequipotenziale risulterà: d W= E - d , = 0 l6l da cui si deduce ancora una volta I'ortogonalitàdi I rispetto alla superficie equipotenzialegenerica. percui le e privedi singolarità, SiaW che le suederivateprime,sonofunzionicontinue In ogniloropunto equipotenziali sonoliscee privedi spigolio puntisingolari. superfici univocamente definitae variabilecon esistedunqueuna sola normalesuperficiale continuità. La distanzadi due superficiequipotenziali assaiprossimeW = C e W'=C+AW(vediFig. la quotah crescente versol'esterno vale: 1.7)sempreper la [4]e considerando

- m =^Y

l7l

g

nei due puntiP e P' sullasuperficie Se F e F'sonoi valoridel campogravitazionale e FAh = F' Ah' = cost.e quindipoiché e q u i p o t en zi a l e=WC p o tre mo a n c hescr iverche È e d'non sonomai ugualitra loro,risultache le superficiequipotenziali non sono geometricamenteparallelema sono ravvicinate dove la gravitàè più forte;la gravità (vediFig.1.7). variada puntoa puntoe diminuisce andandoversoI'equatore

W'=C+A

Fig.1.7- Superfici equipotenziali v e V. Ricaviamoci ora le espressioni deipotenziali quantogià dettoè cioè Per ricavareil potenziale dellaforzacentrifuga4 ricordiamo rispettola direzione r forniràla componente dellaÍorzain che la derivatadel potenziale i i g .1 .8 ): q u e l l ad i r e zi o n(ve e dF dv;

, =Lc

clr I

t9]

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo1 GEODESIA

Fig.1.8 - Forzacentrifuga e potenziale centrif ugo ll potenziale delleforzacentrifuga r. saràquindi: d v = F r d r e q u i n d yi =

faÌrdr=!a]r'=*r,(x,

+v')

[10]

Piùcomplessaè la determinazione del potenziale relativoallaforzanewtoniana. Consideriamo un elementoinfinitesimo di massadm postoin un puntoQ(Xo,Yo,Zo) ( v e dF i i g.1 .9 ). Se con ò indichiamola densitàdella terra nel punto Q, si avrà che I'elemento infinitesimo di massasaràdatodal prodottodelladensitàper I'elemento infinitesimo di v o l u m e: d. = 6. duo,_u*

[ 11 ]

Questo elementoinfinitesimodi massa d, provoca su una massa rnp posta in P(Xp,Yp,Zp) una forzadi attrazione che seguela leggedi gravitazione di Newtongià enunciata, il cui modulovale: d F \=, G . j - - -

ur N -"

dm'mo

- uG 4 _ \. = l,

pari a 6,67 x 10 dove G è la costantegravitazionale

t12] -11 m3 /kg s2; dF61èdirettada P

versoQ

Fig.1.9- Definizione delcampogravitazionale

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo 1 GEODESIA

Ricordando che la derivatanelladirezione/ del potenziale relativoallatorzadFrvfornirà la componente della forzainquelladirezione, avremo: +=dF, dVdovutoallamassadmvale:

dacui il potenziale

ar= 4v=!ar* ffit=ry

t13I

e quindiil potenziale dovutoa tuttala massadellaterra: ,""r1

v(x.Y.z)=G -lllz -- I

[14]

I'integrale dove,ovviamente, è estesoa tuttoil volumedellaterra. DopoaverdefinitoIe forzee i relativipotenziali, che agisconosu tuttii puntidellaterra: Fc= mo(ùz r

la forzacentrifuga e il relativopotenziale

latorza gravitazíonale e il relativopotenziale F. laÍorza di gravitàe il relativopotenziale

=OII#

| ,. v=-Cù-r-

z

v =c lll!W

o

cerchiamoI'equazíone di unasuperficie equipotenziale che la rappresenti fisicamente. Pv

FN

F,

o

ò

Fig.1.10- Forzee potenziali ll potenzialeW risultadalla sommadel potenzialeV relativoalla forza di attrazione gravitazionale e del potenzialev relativoalla forza centrifuga(i potenzialipossono esseresommatiperchésonofunzioniscalari). V(X,Y,Z) SeponiamoW=cost. + v(X,Y)= cost. I'equazione definiamo di unafamiglia di superfici equipotenziali.

[15]

Le superfici equipotenziali delcampogravitazionale sonoinfinitein funzione degliinfiniti valoricheil potenziale W puòassumere. possiamocostruire Definite le superfici equipotenzialidel campo gravitazionale, immediatamente le linee di forza della gravitàtracciandole curve che intersecano le suddettesuperfici.Queste linee sono curve gobbe cioè non ortogonalmente appartenenti a un pianoperchéle superficiequipotenziali nonsonotra loroparallele. possiamo punto della terra con un verticale, qualunque La materializzare in che E e sarà semplicefilo a piombo,indicheràla direzionedellacampogravitazionale tangenteallalineadi forzapassanteper il punto. La superficieequipotenziale del campo gravitazionale che passa per il punto di quota zero,definitodal livellomediodel mare,si chiamaGEOIDE: W = V(X,Y,Z) + v(X,Y)= Wo [16] 10

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo'l GEODESIA

Per determinare il primoterminedell'equazione conoscerecome [16] occorrerebbe questononè possibile; variala densitàE in ognipuntodellaterra.Purtroppo le indagini fatteforniscono datiabbastanza attendibili sullavariazione delladensitàdallasuperficie per la dettagliata al nucleo,ma sonocomunque insufficienti conoscenza del fenomeno, richiesta dall'operazione di integrazione. Risultaquindi impossibiledeterminarerigorosamente I'equazione del geoide. Dobbiamo V(X,Y,Z). trovareun'espressione approssimata del potenziale per il calcolodel potenzialedella forza di attrazioneuniversale, L'integrale viene medianteuno sviluppoin seriedi funzionisferichedopoaversostituito le determinato geocentriche polario, ry,1.. coordinate con le coordinate Dopolo sviluppoin serie,limitatoai terminidi secondogrado,avremo:V = V'+ T dove T indicail potenziale residuodi grado) 3 ll potenziale relativoallaforzagravitazionale diventaquindi: W=V+v W=V'+v+T W=U+T [J = potenziale normale = f potenziale anomalo ll gradientedel potenzialeU si indicacon y= grad u

dU dx-r,

_-al

dU dY-r,

_-1t

e vienedefinitagravitànormale: dW dz-rt

_-a/

La differenzalrail modulodei due vettori] (gravita) ei @ravitànormale)si chiama più diffusamente misurataper il calcolodel anomaliadi gravitàe oggiè la grandezza geoide. geocentriche polario, y, 1.. Dopoaversostituitole coordinate con le coordinate ,ì,

_________>y

geocentrico Fig.1.11- Sistemidi riferimento e polare X = O cost/t cosA. Y = o cost// sin ).

117l

Z = osinV

11

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo1 GEODESIA

a menodi terminidell'ordine di 1lo4( o = 6370km e 1lo4= 6.07.10-28) il potenziale V' risultaespresso dallaseguente relazione approssimata: r trf ( e 1 Arp\ R _- A B A 2 .lc-"rBl(r-g.rir'v)+-3 v ' ( o ,.v , À ) = o ' 1 1 * ^ t181 o | 2.6..M \ 2 ). ,'cos'ry'cos2)vl G doveM è la massàtotaledellaterrae A,B,Ci momentidi inerziarispettoagliassi*,,Y,2 deducibili conottimaapprossimazione dallameccanica celeste. Poiché,come abbiamovisto,una grandequantitàdi osservazioni dimostrano che la terraha unaformamoltoprossima a quelladi un solidodi rotazione, si può porreA = B e ricordandoche 12= x' +Y2 = 02 cos2 V si potrà assumerequale espressione analitica approssimata delgeoideI'equazione: U =V'+v

, =o !1,*-_! " '-o(t-3.s in2lrl.+ ú),r,=cost. "l o | 2.o' M 2

t19l

La superfiàiecosì definitaè una superficiedi rotazionee rappresentalo sferoide. Poichéil nostrointentoè quellodi definireuna superficie per i rilievidi di riferimento formae di dimensione dellaterra,occorreeliminare le costantimeccaniche G, M, A, C geometrici. sostituendole condei parametri Lo sferoideè una superficiedi rotazionee quindi gli unici parametrigeometrici polarec. utilizzabili sonoil semiasse equatoriale a e il semiasse polari L'equazione dellosferoidein coordinate risultadunque: o = o ( t - a si n 'y) t2o] dovecrè un coefficiente denominato schiacciamento e definitodallarelazíone: A_C (f=-=l--

C

.

l21l

aa

Nelsistemageocentrico (vedi[20]e Fig.1.12): lo sferoideha equazione

------'i f-------a-F i g "1. 1 2 Sferoidenel sistemageocentrico (X' +Y' +22)''' = n(t-o

Z2

l22l

X: +Y2 +22

Consideriamo ora un ellissoidedi rotazioneaventegli stessisemiassia e c dello sferoide; essosaràdefinitonelsistemageocentrico dallaseguente equazione: x2 +Y2

+ +a 12

22

,=l

c-

[23]

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo1 GEODESIA

Dalla[21]risultachec = a(1-o)percui abbiamo: c ' = a ' (l - a ) = a ' (l + a ' - 2 a 1 124l quindi pari Lo schiacciamento o valecirca1/300e il terminein u2, trascurando a circa 1/90.000=1.10-5 minorec di un errorenelladeterminazione del semiasse ,sicommetterà circa35 m (erroredeltuttoaccettabile): m da cui c = 6.357.126,7 ct = a' (t- o)' = o' (t + a' - za) d a c u i c = 6 . 3 5 7 . 0 9 1m ,1 c'=at(t-o)'=a'(1-2a) E quindidopoquestaapprossimazione: c'=a'(l-2a) [25] I'equazione Contaleapprossimazione dell'ellissoide diviene: x2 +Y2 +22(t_ 2a)-'=ot

126l

2

Svifuppando in seriebinomialeil coefficiente dellaZ- (lo sviluppoin seriebinomiale d e l l af u n zi o n "(t*

+ .......) è p a ria r+ m.( :) U. e quinditr ascur ando al so l i to [:l' \ . 3'' \2) i t e r m i nii n cr'e p o te n ze su p e ri orsii ottiene:( t- Za) t =( t+ Za) I'equazione nel riferimento Con questeassunzioni scriviamo dell'ellissoide di rotazione polare: (

" )"

'22 \

o'=a'lt-2"!,-l I\ / a' )

l27l

I terminia e o sono dellostessoordinedi grandezza,per cui si può accettarela seguente sostituzion et + =1= a-

o-

ry e quindil'ellissoide sin2 vieneespresso di rotazione

dall'equazione: / . \r/2 o = all -2asin' w)"' [28] per Utilizzandoancora lo sviluppobinomiale il secondo membro della l27l e i in continuando a trascuraretermini cr-e superiori, si ottieneI'equazione dell'ellissoide polari: di rotazione in coordinate o = o ( t -a s i n ' y ) t29l polari). checoincideconla [20](equazione in coordinate dellosferoide Quindil'ellissoidedi rotazionecoincidecon lo sferoidea menodi terminiin a2. La geometria ellissoidica, seppurcomplessa, è piùsemplice dellageometria sferoidica. Inoltrecome abbiamovisto,moltistudi sperimentali hannoindicatonell'ellissoide di rotazioneuna superficie idoneaa rappresentare la formadellaterra.Si è convenuto, pertanto,di adottareI'ellissoide per i rilievi di rotazionecome superficiedi riferimento fisicaterrestre. dellasuperficie ll compitodei geodetiè quellodi determinare il semiasse maggiore minore e il semiasse owero il semiassemaggioree lo schiacciamento cr. (misuredi archidi meridiano I metodisi basanosu misuregeometriche e di parallelo), su misuredi gravitàe di tracciamento di orbitedi satellitiartificiali. Nel corso degli anni i molti geodetiche hanno lavoratosu tale problema,hanno determinato valoridiversidi a e o. Ricordiamo i principali: (1841) BESSEL m a = 6.377.397 a = 11299,2 (1909) = HAYFORD a 6.378.388m u= 11297,O wGS84(1e84) a = 6 . 3 7 8 . 1 3m7 a = 11298.257223563

13

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo1 GEODESIA

L'UnioneGeodeticae GeofisicaInternazionale nel 1924 ha adottatol'ellissoide di Hayford come ellissoideinternazionale e, attualmente,è utilizzato pressoché universalmente in tuttele carlografíe ufficiali. I

z

L1-

sl -

/h

normaleall'ellissoide passanteper P

\-

I parametriprincipaliche caratterizzano un ellissoidesono il semiassemaggiore(a), il minore(c),o, in alternativa, semiasse lo schiacciamento crdefinito dalla[21]. Per quanto detto, possiamodefinire due superficidi riferimentoche meglio approssimano la superficie il GEOIDEe l'ELLISSOIDE. terrestre: punto In un quindidefiniredue normalialledue P dellasuperficie terrestre si potranno superfici di riferimento: la normaleal geoide(o verticale) e la normaleall'ellissoide. Le due normaliformeranno un angoloe chiamatodeviazionedella verticale.E' un angolopiccolo(pochedecinedi secondisessagesimali) e variada puntoa punto. normaleallellissoicle Ie ----), lu,i

normaleal geoideo verticale

jj

P!i suoerficie terrestre geoide

ellissoide

Fig.1.14- Superficie terrestre e superfici di riferimento La normalein P al geoideo verticale, incontrerà il geoidestessoin Po.La distanzaPPo quota (o quota si definisce ortometrica) e si indicacon H. La normalein P all'ellissoide, incontrerà I'ellissoide stessoin P'. La distanzaPP' si definisce altezzaellissoidicae si indicaconh (vediFig.1.14). Lo scostamento tra allezzaellissoidica(h) e quota (H) si chiamaondulazionedel geoidee si indicacon la letteraN. Potremosemprescriverela relazione: h=H+N [30] In ltalia,I'ondulazione del geoidevariada circa+37 m in Calabriaa circa+52 m in Val D'Aosta.

14

Capitolo1 GEODESIA

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

1 . 3 . 1 .COOR D IN A TGE E OGR AFICHE Considerando un ellissoidedi rotazionedi semiassia e c noti, restanodefinitele quantitànumeriche: seguenti primaeccentricità: schiacciamento: secondaeccentricità: a-c

,

g"

Q=-

a'-c'

,, e-=

----:-

aat

A'-C' c2

le seguentirelazioni: Frataliquantitàsussistono ,2 ^t2 ( r - r ' X r+ e ' 2 ) = 1 s2 = -:,'' - -!1-e' = 2 d-a' et

7+e"

o =^1un'

L

C

a

o=1-.'.tt-

=J1-e'=1-c[

La generatrice, e di conseguenza ognimeridiano, è un'ellisse di semiassia e c detta ellissemeridiana. (vedifig. 1.15)e la normaleN passanteper lo Consideriamo un puntoP sull'ellissoide stessopuntoP. I N = normaleall'ellissoide Z+

ti

parallelo meridiano

II

i,t

c.

geografiche Fig.1.15- Coordinate sull'ellissoide (Z) nel puntoC che rappresenterà I'assedi rotazione anche Questanormaleincontrerà meridiana in P. il centrodi curvatura dell'ellisse L'angoloacuto che la normaleN forma con il piano equatoriale [XY] con segno concorde all'asse delleZ,prendeil nomedi latitudinerpdelpuntoP. L'angolodiedroche il semipianomeridianopassanteper P formacon un semipiano meridianoorigine(ad esempioquello definitodal piano ZX) contatoin un senso positivo, prendeil nomedi longitudine?udi P. Le linee,tracciatesull'ellissoide, di ugualelatitudine si chiamanoparalleli,quelledi meridiani. ugualelongitudine l.l.M. lstitutoldrografico dellaMarina > C.!.G.A.- Centrodi Informazioni Geotopografiche dell'Aeronautica F Catasto - DirezioneCentraledel Catastoe dei serviziGeotopocartografici e della immobiliari conservazione dei registri F ServizioGeologico La cartografiaufficialeè quindicostituitadallecartetopografiche, nautiche,aeronautiche, catastalie geologiche. Nel 1970nasconole Regionia statutoordinario e con essenasconoanchei programmi di cartografia tecnicaa grandescala(C.T.R.)1:10.000e 1:5.000. Anche le 102 Provincieltaliane hanno competenzacartografica.I loro programmi prevedono,normalmente, la costruzione di cartografia tecnica(tradizionale o/e numerica) a l l as c a l a1:5 .0 0 0 . di produzione allescale Gli 8.102Comuniitalianihannoprogrammi di cartografiatecnica 1: 5 0 0- 1: 1.0 0 0- 1:2 .0 0 0 . La realizzazione di cartografia tradizionale disomogenea: si o/e numericaè estremamente va dal nullaallacopertura totale. ici utilizzatiin ltaliasono rrincipali sistemic enti proiezione e 1:1.000.000 conicaconforme di Lambert: IGMcar ta1:500.000 llM carta a scale varie da 1:100.000 a proiezione conformedi Mercatore: 1:1.000.000 proiezione perle calottepolari ica conformestereograf IGMcarta1:1.000.000 oolare: proiezione di Cassini- Soldner cartea scalevariabili da 1:500a CATASTO (afilattica): 1:4.000 - 1:50.000 IGMcar tain scala1:25.000 1: 1 0 0 . 0 0 01 : 2 0 0 . 0 0 01 : 2 5 0 . 0 0 0 rappresentazione di Gauss: CATASTOnuovecartea scalevariabilida conforme 1 : 5 0 0a 1 : 4 . 0 0 0 cartoqrafia tecnicaa variescale

Tutta la cartografiaufficialeitalianaè nella rappresentazione conformedi Gauss così pratica la cartografia mondo. come totalitàdella del (28afogli)è stataultimata La cartaufficiale dell'lGMin scala1:100.000 allaf inedel secolo scorsomentrequellain scala1:25.000lo fu solo neglianni cinquantacon le seguenti caratteristiche: F originedellelongitudini: meridiano di RomaMonteMario F originedellelatitudini: equatore F ellissoide BESSEL di riferimento: F proiezione: naturalepolicentrica si noti(vedifig. 2.26\che le di Sanson- Flamsteed; longitudinisono positivenel verso Est e negativenel verso Ovest a partiredal (MonteMario)e che non si limitanoai valoridi + 3'o -3o meridiano di riferimento i comenelcasodellaproiezione di Gaussperché,in questocaso,nonsi considerano fusima zonemoltopiùlimitate con molteoriginidiverse.

73

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

À*oo o'

À*oo

Fig.2.26- La primacartografia italiana ufficiale Nel 1940la Commissione ltalianadecisedi adottareI'ellissoide internazionale Geodetica (Hayford)comesuperficiedi riferimento. L'ellissoideè stato "orientatoa Roma - Monte Mario" cioè è stato reso tangente al geoide in questo punto, annullando la deviazionedella verticale. fu ricalcolata Nel 1941la rete geodeticanazionale sul pianodi Gaussdal Prof.Boaga (comericonoscimento di ciò,la proiezione di Gauss- Boaga). è statachiamataproiezione Nel 1948 fu stabilitodi adottarela proiezione La di Gaussanche per la cartografia. (disegno), trasformazione è avvenutaconseryando tutto il vecchiomaterialecartografico gaussiano(cioèle nuovecoordinate). sovrastampandovi soltantoil nuovoreticolato questacartografiaè il meridianodi Greenwicha L'originedei fusi che caratterizzano paria 6'. partiredalqualesonostatitracciati tuttii fusidi ampiezza

74

G. COMOGLIO TOPOGRAFIAE CARTOGRAFIA

Capitolo2 E L E M E N T ID I C A R T O G R A F I A

Tra I'estremo oveste l'estremo est del territorio nazionale contiamocirca12",quinditutta l'ltaliaè contenibile per questi in due fusi e, fortuna, due fusi,a lorovolta,sono multipli interidellasuddivisione chepartedal meridiano di Greenwich. ll primofusova da 6oa 12"di longitudine riferitaa Greenwich con meridiano centralepari a 9 ' ; i l s e co n d ofu sova d a 1 2 'a 18' di longitudine r ifer itaa Gr eenwich con m er idi ano paria 15'. centrale Per ragioniche vedremomeglioin seguito,il primofuso si estendead orientesino al meridianodi Roma MonteMario,per cui si crea una zona di sovrapposizione con il secondofuso, utile per eliminarele difficoltàdi collegamento tra punti vicini ma appartenenti ai duefusicontigui. Ancheil secondofusosi estendea orientepercirca30' percoprireunapiccolapartedella penisolasalentina che altrimenti andrebberappresentata utilizzando un terzofuso (vedi Fig.2.27). Àn+ocw12'27'08',40EG 18'30' ^ -

rfl

, 4 1 e5 5 ' ? 5 " 5

\y

,4(

q"] \ I '/

w /

f-

t\

ruso^ou.tt_{-I E: 1.500 km

I

FUsoEsr E:'z's2okm

Fi1.2.27- La nuovacartografia italiana ufficiale Tuttoil territorionazionaleracchiusoin un fuso non può essererappresentato su di un unicofogliodi carta,bisognerà, per ragionidi comoditàdi consultazione, suddividerlo in tanteporzioni. prendeil nomedi tagliodeifogli. operazione Questa Tuttii foglidellacartografia italianasono "tagliati", secondointervalliregolari,lungole trasformatedei meridianie dei paralleli che definisconola porzione di territorio rappresentata.

75

I

I

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

I marginisinistroe destrodi una cartasonole trasformate dei meridiani, e i marginibasso e altosonole trasformate questilimiti,sono I valorinumerici dei paralleli. che definiscono sempreriportatia marginedellacarta. Questo modo di tagliare la cartografiaviene comunementeindicato come "taglio geografico". La figuraseguenteillustrail taglioufficiale dellacartografia italiana, con I'indicazione della denominazione dei foglialle variescalee la porzionedi territoriorappresentato, inteso comedifferenza tra la longitudine del marginedestrocon il sinistroe la differenzalrala latitudine del marginein altoconquelloin basso.

nome

NoiNE SUDDIVISIONE DELLE

FOGLIO QUADRANTE TAVOLETTA

scala

Al,

ACI

1: 100.000 30' 20' l: 50.000 1 5 ' l0' l:25.000 ,7,30,, 5'

"'---'-tit'-"-" ravolelrs AL ll0@

soise

Fig.2.28- Tagliodeifoglidellanuovacartografia italiana ufficiale Come abbiamogià detto,gli assi ortogonali cartesiani dellarappresentazione di Gauss sono definitirispettivamente dallatrasformatadel meridianocentraledel fuso (asseY o (asseX o Est): Nord)e dallatrasformata dell'equatore

o

-

o c

.(ú '= o E

perchétutti i fusi sono identicitra loro e Non facciamoriferimento ad un fuso particolare quindiquantoillustrato per uno,valepertutti. Restanoda risolveredue problemi,il primo,che interessain particolare il territorio quello nazionale, è di darecontinuità cartografica ancheai territori di confinetra i duefusi, chiamatifusoOveste fusoEst. La soluzionea questo primo problemaè stata trovata producendouna zona di sovrapposizione di circa30' che fungeda "sutura"(vediFig.2.27),nellaqualesi ha una doppia rappresentazione del territorio,prima come appartenente ad un fuso e poi al successivo e viceversa.

7

Capitolo2 DI CARTOGRAFIA ELEMENTI

G. COMOGLIO E CARTOGRAFIA TOPOGRAFIA

Est di tuttii puntiche si ll secondoproblema(validoper tuttii fusi)è che le coordinate non ci centralesononegative.Dal puntodi vistaaritmetico trovanoa sinistradel meridiano fontedi ma dal puntodi vistapratico,si intuisceuna possibile sarebbenullada eccepire, delsegno. erroriperla dimenticanza dando una traslazionefittizia Questosecondoproblemaè stato risoltosemplicemente all'asseNord. immediatamente al lettoredellacartain qualefuso (Est o Ovest)si Per far comprendere del una caratteristica trovail puntoin esame,sonostatedefinitedue diversetraslazioni, fusoEst(1.500km)e I'altradelfusoOvest(2.520km). In questomodo,la prima cifra della coordinataEst di un qualunquepunto riporta per il fuso Oveste 2 per il delfusodi appartenenza'.1 implicitamente anchel'indicazione fuso Est. Tuttoil territorionazionalesi trova,per fortuna,in un soloemisfero(quelloNord)e quindi Nordnegative. nonsi poneil problema di eventuali coordinate

lnrocw,= 6"

larocw = 6"

9" + 1500km

ln+ocw= I 2o

15. + 2.520knr

Fig.2.29- FusinelsistemaGauss- Boaga di un punto (Est,Nord)che, Per rendereagevoleall'utentela letturadellecoordinate ricordiamo,rappresentano, a parte la falsa origine,la distanzadel punto rispettoalla su ogni carta è sempresovrapposta trasformatadel meridianocentralee dell'equatore, (Est,Nord)e con maglia agliassidel sistemadi riferimento una grigliacon i latiparalleli regolare. reficolatochilometrico anchese non semprela Questagrigliasi chiama,impropriamente, pari ad un chilometro. dimensione dellamagliaè

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

Nellacartografia a grandescalasi adottauna magliadi 10 cm di lato,indipendente dalla ricordareè che le coordinate scala.Quelloche è importante dei lati della magliadel reticolato chilometrico sonosempredeivaloriinterie sonoriportatia marginedellacarta. Nord

reticolato chilometrico taglio geografico della carta

Fig.2.30- Cartacon reticolato chilometrico tracciato lineare(vedi ln un fusodi 6"di ampiezza, comenelnostrocaso,il modulodi deformazione [35] e [36])è semprecrescentee varia da un valoreminimopari a 1 (sul meridiano estremidel fuso centraledovel.r. = 0o)a un valoremassimoparia 1,0008(suimeridiani = = dovel,r. + 3oo l,r. 31. prossimoal meridianocentraledel fuso, è quindi"privilegiato" ll territoriocartografato, perchésubiràunadeformazione lineareminorerispetto a quellopostoagliestremi. perché fatto impossibile la costruzione non ci stupisce sappiamo essere di una Questo (vedipar.2.1.3.) cartografia equidistante e la cartadi Gaussnonfa eccezione. questoeffettodi "distorsione" Possiamo imponendo dei limitialladeformazione contenere in un lineare.Naturalmente nonpossiamo fareriferimento rappresentato a tuttoil territorio porzione fusoma ad una bendefinita. dell'lGMin scala1:25.000postonel puntopiù è quellodi una tavoletta Questoterritorio delfuso(À.. = + 3oo - 3') : sfavorevole cioèall'estremità

lunghezza massimamisurabile= 14 km

Fig.2.31- Tavoletta IGMin scala1:25.000 pariad a circa14 km. La distanzamassimamisurabile su unatavoletta è la suadiagonale in scala su una carta ideale (senzadeformazioni) Questa lunghezzacorrisponde, mm. 1 : 2 5 . 0 0 0a,d u n se g me n to di 560 delfuso,saràparia: Sullacartadi Gauss,postaall'estremità ad un segmentodi 14.000m * 1,0008= 14.011m corrispondente, alla scala1:25.000, 5 6 0 , 4 5m m. linearesubitaè quindiparia 0,45mm. La deformazione cartografica

78

--

Capitolo2 DI CARTOGRAFIA ELEMENTI

G. COMOGLIO E CARTOGRAFIA TOPOGRAFIA

fosse contenutaentro lo spessoredella linea che tracciail Se questadeformazione e risolverecosì disegnodella carta,potremmoaccettarlacon maggiorerassegnazione cioèquellodi poterdisegnareuna carta l'assilloche perseguita da sempreil cartografo praticamente In questomodola cartadiventerebbe equidistante. equidistante. per ragionistoriche,pari a Lo spessoreminimo di una linea disegnataè assunto, 0,2 mm e prende il nome di errore di grafÍcismo. la deformazione lineareprimacalcolatae Ritornando al nostroesempio,per dimezzare graficismo, quindi nei limitidell'erroredi rientrare dovremodimezzareancheil modulodi lineare. deformazione un a tutto il pianodellarappresentazione Questoobiettivosarà raggiuntose applichiamo paria 0.9996. di contrazione coefficiente linearesul meridiano centralenonsarà il modulodi deformazione Dopoquesta"forzatura", piùpariall'unità ma varrà0,9996e alleestremità delfusosaràparia: ( vedifig.2.31) ,possi am o 1 , 0 0 0 8* 0,9 9 9 6= 1 ,0 0 0 4e , ri to rnando alla nostr atavoletta ricalcolare la lunghezza delladiagonale di 14 km: D all'estremità sullacartaa un del fuso 14.000m * 1,0004= 14.006m corrispondente di 560,22mm segmento D sul meridiano sullacartaa un centrale14.000m * 0,9996= 13.994m corrispondente di 559,78mm segmento Entrambi i valori calcolati soddisfano, praticamente,la condizione che la massimasia inferioreall'erroredi graficismo. deformazione I nostripadricartografihannoadottatoquestoartificiodi imporreuna contrazione di 4 parti prodottasecondola proiezione di Gaussper su 10.000paria 0,9996a tuttala cartografia lo sviluppoin limitarele deformazioni lineari.Con buonapacedi Gaussche prevedeva veragrandezzadelmeridiano centrale(vedi2.3.5.). viste prima, Alla luce di questo"piccoloaggiustamento" tutte le espressioni analitiche, principali: dovranno tenerneconto.Vediamole ll modulodi deformazione lineare(vedi[35]e [36])saràcalcolato con le nuoverelazioni:

nt,=o,eee{t.!** ,t)

ffi1€Spr€ssoin funzionedella longitudine 1," € dellalatitudineq

r\ (t (fst - falsa ori gine ) I m t = 0 , 9 9 9 611+ -

pN0,99962

)

[46]

ntl espr€SSoin funzione della punto distanza del dal meridianocentraledel fuso

l47l

ll modulo di deformazionelineare di un segmentodi retta che congiunge,sul l a Er Nr ed un puntoP2 di coordinateEz Nz rappresentazione, un puntoP1 di coordinate (vedi[37])saràdatodallanuovarelazione: (/ n? +' F E. + r.'JI n t 1 _=,0 . 9 9 9 6r1+ 1 t . 7 t 7 t = = - i . I' , t+al 6 p ^ N^ 0 ,9 9 9 6') | le distanzedei puntiPr e Pz dal meridiano dovecon Er e Ez si indicanorispettivamente pm N, di curvaturacalcolatinel centraledel fuso e con ed si indicanoi raggiprincipali puntomediodelsegmento i duepunti. di rettacongiungente 79

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo2 ELEMENTI DICARTOGRAFIA

Anche la relazionerelativaalla riduzionealla cordadovrà esseremodificataper tenere (vedi[43]): contodel coefficiente di contrazione -No)(2Ep+Eo) ^ = (N" t,, rA 6prN ro.99g6'z

[49j

L'applicazione del coefficiente di contrazione 0,9996equivalea sostituire idealmente il cilindrotangenteal meridiano centrale conun cilindrosecante.

cilindro u r r r r r u rssecante ue u a r r t e

CilindrO tangente

Fig.2.32-Schemageometrico dellaproiezione di Gauss- Boaga Per megliocomprendere lo schemageometrico dellarappresentazione di Gauss- Boaga immaginiamo I'ellissoide di sezionare secondoil pianoY-2. Allanostralatitudine risultache il cilindrosecante(pianodi Gauss)intersecherà I'ellissoide a circa180km dal meridiano centrale delfusosecondoil seguente schema: f u s od i 6 ' d i a m p i e z z a

mr= 0,9996

superficieterrestre

mr= 1,0004 piano di Gauss

ellissoidedi Havford

meridiano cehtrale

Fig.2.33- Sezionedi un fusodi 6' di ampiezza il modulodi deformazione Se rappresentiamo linearemr in funzionedellaEst avremou n graficoad andamento parabolico: meridiano centraledel fuso

1,0004

Fig.2.34- Variazione lineare del modulodi deformazione

80

Y

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

2.4.1,IL SISTEMAUNIVERSALE UTM Durantee dopo la secondaguerramondialemolte nazioni,per ragionidi uniformità, adottaronola rappresentazione di Gauss come propriacartografianazionale.L'idea originaleera quelladi dar vita ad un sistemauniversaleche fosse la base per la cartografia di tuttoil mondo.Talesistemaè statochiamatoUniversal TransverseMercator (UTM). Projection L a t e r r a f u s u d d i v i s a i n 6 0 fdui 6 s i' d i a m p i e z z a , n u m edr a tl i a 6 0 p r o c e d e n d o d a O v e s t partire Est dall'antimeridiano di Greenwich (ilfuso1 si trovaquindiin pienooceano Yerso a Pacifico). L'ltalia,in questosistema,è contenuta nei fusi 32 e 33 e grazieallefelicisceltefattein fasedi costruzione dellapropriacartografia (Gauss- BoagaJ,si trovavagià perfettamente allineata conla definizione e il posizionamento dei nuovifusiurM. l m e r i d i a nce i n tra d l i e id u e fu sih a nnosem pr elongitudine, r ispettivam ente, di 9"e 15"Es t di Greenwich (vediFig.2.30). Naturalmente, trattandosi di un sistemauniversale, non hannopiù sensole specificità dellacartografiaitalianacome il nome dei fusi (Est e Ovest)e le traslazioniparticolari dell'origine. Anchein questocasosi è decisodi applicare un coefficiente di contrazione di 0,9996e si è adottatoun tagliodei fogliugualeper tuttele nazioni(diversoda quelloitalianoGaussBoaga). Perevitarepossibilierrori(dimenticanza del segno)utílizzando le coordinate dei puntia sinistra del meridiano centrale,anchein questocaso I'origine del sistemadi riferimento caftografico è statatraslatadi una costante.Questatraslazione è ugualeper tuttii fusi ed è paria 500km. Àuoro

9"1 + 500 km

= 12o Àsoso

Fig.2.36- FusinelsistemaUTM

15" + 500 km

81

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Caoitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

2.4.2.tL STSTEMA Dr RTFERTMENTO (ED50) EUROPEO UNtF|CATO paragrafo, Comegià dettonel precedente nel 1940la Commissione Geodetica ltaliana decisedi adottarel'ellissoide internazionale di Hayfordcomesuperficie di riferimento e di nell'osservatorio orientarlo astronomico di RomaMonteMariocioèdi renderlo tangenteal geoidein questopunto,annullandone la deviazione dellaverticale. Analogamente all'ltalia,tutte le altre nazionieuropeeadottaronoun propriosistemadi perforzadi cose,noncongruente riferimento, conquelloitaliano. Dopo la secondaguerramondialefu decisodi unificarei diversisistemidi riferimento nell'ambito dell'AlG(Associazione Internazionale di Geodesia)medianteun calcolodi generaledi tutte le reti geodeticheeuropee(eseguitodal Coast and compensazione GeodeticSurveye ArmyMapServicestatunitensi) con i seguenticriteri: F superficie (Hayford) internazionale di riferimento: ellissoide ts originedellalongitudine: meridiano di Greenwich Naturalmente non sarebbestatocorrettomantenere I'orientamento dell'ellisoide a Roma MonteMario,cioèil puntodi tangenzadell'ellissoide con il geoide,e quindisi è sceltoun nuovoosservatorio ubicatoin una localitàpiù baricentrica rispettoallatotalità astronomico del territorioda cartografare. Questopuntodi tangenzao "centrodi emanazione" della in una localitànei pressidi BonnchiamataPostdam. cartaè statoindividuato Nel centrodi emanazionenon è stata annullatacompletamente la deviazionedella verticale ma è statolasciatoun piccoloresiduoin mododa minimizzarele nelle deviazioni periferiche. più altreretinazionali Si è definitoin questo modo I'orientamentomedio europeo o European Datum 1950 (ED50). Anche questo nuovo "datum"(ED50),come il precedenteRoma 40, si definiscead "orientamento locale",cioè non è adottabileper la rappresentazione dell'interasuperficie terrestre,ma vale solo in un intornodel centrodi emanazione o puntodi tangenzatra ellissoide e geoide(nelnostrocasotuttoil territorio europeo). ll nuovoorientamento dell'ellissoide di riferimento comportalavariazione dellecoordinate geografiche Ad esempiole coordinate di tutti i puntirappresentati. di un puntoparticolare cheè il verticetrigonometrico di RomaM. Marioneiduesistemidi riferimento saranno:

orientamento ellissOide RomaMonteMario ED50(Potsdam)

longitudine À R + o= 0 o

),orn^w= 12" 27' 08".40 Iew = 12" 27' 10",93

latitudineo 41'55',25",51 4 1' 5 5 ' 3 1 " , 4 9

generaledelle reti, le coordinatedei punti Dopo le operazionidi compensazione italianihanno ovviamenteassuntovalori diversida quelli del sistema trigonometrici nazionale. Tra le coordinate di uno stessopunto,nei due sistemi,non vi è alcunapossibilità di analitiche di trasformazione. definiredellerelazioni (espresse La figuraseguentemostrale differenze in latitudine e in longitudine in secondi) riscontratetra i due sistemi(ellissoidedi Hayfordorientatoa Roma Monte Mario ed ellissoide di Hayfordorientatoa Postdam)

82

Y

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

*.._,J.

ì i I I ! I

Fig.2.37- Curveisotransitive di conversione da Gauss-Boaga a UTM ll sistemaeuropeoè statoadottatoin parteancheda alcunenazioniafricaneed asiatiche:

I N

ED50 Pulkovo42 del Capo

r:-::-l t|-. ' l

indipendenti

Fig.2.38 -Nazioni che hannoadottato il sistemaED50 Ancheil sistemaUTM prevedeun tagliogeograficodei fogli (secondole trasformatedi meridiani e di paralleli) cosìcomeera previsto dallacartografia nazionale italiana. Naturalmente il taglioè diversoda quelloadottatodallanuovacartografia ufficialeitaliana. La cartografia IGM che vieneprodottaoggi,seguequestonuovotaglio(UTM)che ha comeriferimento il foglioin scala1:50.000 e tuttii relativisottomultipli comeindicatoin Fig. 2.57. 83

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Caoitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

geografica La dimensione dellacartografia ufficiale è la seguente:

tiPo

A}Às FOGLIO 1 :5 0 . 0 0 0 20' 12', S E Z ION E 1 :2 5 . 0 0 0 10' 6', S E Z ION E 1: 1 0 . 0 0 0 5' 3', E L E ME N T O 1 : 5 . 0 0 0 2 ' , 3 0 " 1' 30" , .1' MAPPA 1 :2 . 0 0 0 36" MAPPA 1 :1 . 0 0 0 18" 30"

scala

Attualmente accantoal sistemanazionaleGauss-Boaga e internazionale UTM, si è affiancatoe viene semprepiù utilizzatoil sistemaUTM-WGS84, che ulilizzal'ellissoide WGS84conle convenzioni internazionali UTM. La caratteristica fondamentale di questo nuovo sistema cartografico è che I'ellissoide (WGS84)perde la caratteristicadi superficie di riferimento orientata localmenteper assumerequelladi superficiedi riferimentovalidaper tutto il mondo e quindi geocentrica. Questo sistema risulta particolarmente comodo per utilizzaredirettamenteil sistema satellitare GPSnelleapplicazioni cartografiche. Riportiamo sinteticamente le convenzioni nei sistemigeodeticie cartografici nazionale (Gauss-Boaga) (UTM): e internazionale

ellissoide datum orioinedellalonqitudine amoiezzadelfuso coordinate iche caftooraf denominazione dei fusi relativiall'ltalia longitudine del meridiano centrale falsa orioine

coefficiente di contrazione m.

84

Sistemageodetico cartografico

Sistemageodetico cartografico

nazionale

internazionale

Havford l*emfs orientamento Roma1940

RomaMonteMario

Hayford {**ele orientamento ED5O

0,9996

Greenwich

60

60

UTM_ WGSB4

UTM

Ovest EST óz -3" 27' 08",4 2'32' 51",6 9o Estdi RMM Estdi RMM E s td i G W 1 . 5 0 0k m 2.520km 500km 0,9996

gwmcw*tri*a orientamento WGS84

Greenwich

o-

Gauss- Boaqa

geodetico Sistema ico cartograf UTM.WGS84 WGS84

0,9996

32

JJ

150

9o

150

Estdi GW 500km

Estdi GW 500km

Estdi GW 500km

0,9996

0,9996

0,9996

Y

G.COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo2 E L E M E N T ID I C A R T O G R A F I A

Eserciziosvolto di calcolo del modulo di deformazionelineare(m1)in un punto individuatosu una cartadisegnatanellaproiezionedi GAUSS. Consideriamo rappresentato nellatavoletta un puntoparticolare 67 ll S.E.e precisamente il verticetrigonometrico M. BRACCO(2'ordine). Le coordinate di questopuntosonomisurabili direttamente sullacartografia o, trattandosi di un verticetrigonometrico, sononotedallamonografia del punto:

5'ru 7':g tt

coordinatecartografiche coordinategeograf iche di M. Bracco di M. Bracco Nord= 4.948.869,84m

Q = 44" 40' 49",072

E s t= 1 . 3 68 .3 6 5 ,5 m5

= - 5" 06' 47",543 ÀR+o

longitudineriferitaal meridianodi RomaM. Mario

H = 1 . 3 0 6 . 5m 6 depurola coordinata Estdellafalsaorigine: per il fusoovest = - 131.634.45 X = E st- 1.500.000 m = per il fusoest X Est 2.520.000 m la X rappresenta la distanzadal meridiano centraledel fuso. p, N, e R: calcolodei parametri a = 6.378.388m c = a(l-a) Q t ? - 2- = -

= 6 . 3 5 6 . 9 1, 9 5 m

2 2- C

a

o,ooazzza7o022 = 0.99833676

- o\t :') o rw3

= 6 . 3 6 7 . 2 2 7 , im 2

N = 3 = 6 ' 3 8 9 . 0 1 4 , 8m 1 W p=,[pW =6.378.111,66m

85

G, COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

calcolodel modulodi deformazione linearem,

m,=o,sss{r. u#r*)

=o,eeea12

fl modulodi deformazione linearepuò esserecalcolatoancheutilizzando le coordinate geografiche (latitudine g e longitudine i.): la longitudine l" deveessereriferitaal meridiano centrale delfusoe deveessereespressa in radianti: per il fusoovest Àrc = ÀR+o + 12" 27' 08",4- 9" per il fusoest Àrc = ÀB+o + 12"27' 08",4- 15" nell'esempio sarà: I m c= - 5 ' 0 6 ' 4 7 " , 5 4 3 + 1 2 "2 7 ' 0 8 " , 4- - - ' 1 o 3 9 ' 3 9 " , 1 4 3 90

e quindi: Àmc=-1o39'

39",143

e quindi:

lr"tud=- 1',66087g0561 I

0,028987703

(t\

-,tr;, cos'g = 0,999gt m,- 0.999011+ e l \4/

Viste le approssimazioni introdotteper ricavarela formulaindicatasopra,si considera validoil modulodi deformazione linearericavato in un intornononsuperiore a 10 km. Eserciziosvoltodi calcolodel modulodi deformazione linearemldi un segmentodi retta. Consideriamg un particolare segmentodi rettadefinitoda due verticitrigonometrici: M. Braccoe M. Pagliano. Le coordinate di questipuntisonomisurabili direttamente sullacartografia o, trattandosi di 'ici,sononotedallemonografie punti verttci dei t: M. BRACCO coordinate M. PAGLIANO coordinate ( 2 ' o r d in e ) ( 1' or dine) Nord= 4.948.869.84m Nord= 4.933.038,81 m = Est 1 .3 6 8 .3 6 5,55 m Est -1.376.791.92 m H= 1 .3 0 6 ,56 m H= 988,77m (P= 44" 40' 49".072 (!= 44" 32',21".594 50 06' 41",543 l,nao = ì,non = 5" 00' 11",276 calcolodei parametrip e N nel puntomediodel segmentoM. Bracco- M. Pagliano: -9snncco*9peclrexo

,^ ,

It(ut(l

w = ^ll - e2sinzg_"0'o

pN^ R_

òb

a \ t - e t) w3 u

w N "tp

= 44" 36' 35",333 = 0,99834084 = 6.367.147,88m = 6 . 3 8 8 . 9 8 8 , 3m 1 = 6.378.058,75 m

--

Capitolo2 DI CARTOGRAFIA ELEMENTI

G.COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Estdellafalsaorigine: depurole coordinate X = E s t - 1 . 5 0 0 . 0 0m0 = - 1 3 1 . 6 3 4 , 4m5 MonteBracco X = E s t - 1 . 5 0 0 . 0 0m0 = - 1 2 3 . 2 0 8 . 0m8 MontePagliano laX rappresenta la distanza centrale delfuso. dal meridiano M. Bracco- M. Pagliano: linearemrdelsegmento del modulodi deformazione calcolo (

v2+Y

Y +v2

I

nr' =0.99961 t+# I t 6p^ N^ 09996')

= 0,9997997

Eserciziosvolto di calcolodi un azimuto in un verticedi coordinatenote. 2.3.9.,ricaviamo il valoredell'azimut o Conriferimento a quantoespostonelparagrafo (puntoA). misurabile tra M. Bracco(puntoP) e M. Pagliano e Lecoordinate dei verticisononote(inquestocaso)o misurabili sullacartografia l'angolodi direzione 0 p4 riferitoal Norddel reticolato chilometrico consentono di calcolare o asseY: parallela all'asseY

tangenteallatrasformata del meridiano

trasformata del meridiano

P (monteBracco corda dellageodeticaPA trasformata tangenteallatrasformata dellageodetica PA

J

y''... '\..

A (montePagliano)

Le coordinate di M. Bracco(chiamatoP) e M. Pagliano(chiamatoA) sono le stesse precedente. dell'esercizio E s t o- E s t t - + 8 ' 4 2 6 ' 3 7 m= 1 5 1 o , 9 7 5 0 0 1 4 = 1 5 1 o 5 8 ' 3 0 " 0 ' , o= a r c t"p , Nordo Nordo -15.831,03m

y nelverticeP saràdeterminata La convergenza la [39]: del meridiano utilizzando (

a

t

I

y = ) . , , , . s e n f r * ') n , . o . t' /+ 3 a r c c o" sl ì -IgI 3 c' \

\

))

À m c= - 5 ' 0 6 ' 4 7 " , 5 4 3+ 1 2 " 2 7 ' 0 8 " , 4- 9 o = - 1 " 3 9 ' 3 9 " , 1 4 3 = - 0,028987703 À'.'"0 = - 1 o,660873056 # 9 = 44" 40' 49",072 a = 6 . 3 7 8 . 3 8 8m c = 6 . 3 5 6 . 9 1 1 , 9m5 (r/1'\l

y=)",,,sen{plt*lrll^,.ortpf 1a3o--lcos'gl l= -o,ozo384184rad--1"10'04",54 \.

3

[

c'

))

87

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitoto 2 ELEMENTI DICARTOGRAFIA

ll calcolodellariduzione allacordaepnSafàeseguito utilizzando la [49]: (yo-y)(zx^+x) j ._ o ove: € , , ,.0.9996' p^N 6 ^ Xp =Es t e ' .u-.co 1 .5 0 0 .0 0m 0= Xn =Es t p " g l i a1n.5 o -0 0 .0 0m 0=

- 1.500.000 = - 131.634,45 1 .368.365,55 m =- 123.208,08 1 .376.791,92- 1.500.000 m

= Yp = Nordaracco 4.948.869,84m = Yn = Nordpastiano 4.933.038,81m = p, già calcolato 6.367.147,88m N6 = già calcolato 6.388.988,31 m - 0 , 0 0 0 0 2 5 0 8 7 '=^ d- 0 o 0 ' 0 5 " , 1 7 tpn= e quindiI'azimutcr,secondola relazione[42] sarà pari a: c L= O ' p A+ T ' € p n = 1 5 1o 5 8 ' 3 0 "- 1 o1 0 ' 0 4 " , 5 4+ 0 o 0 ' 0 5 " , 1 7= 1 5 0 o 4 8 ' 3 0 " , 6 3

88

-7

Capitolo2 DI CARTOGRAFIA ELEMENTI

G.COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Esercizipropostiall'allievoda risolveremediantel'uso di un foglio elettronico:

linearelungo un parallelo €SER*EZI*st'S calcolodel modulodi deformazione

en 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

1'30' 2"00' 2o30' 3"00' 0o00' 0'30' ' 1o00' i'fl 0,0349066 0,0436332 0,0523599 0,0174533 0,0261799 0,0000000 0,0087266 ?,[rad] 9 [rad] 0,6457718 0,99960 0,99962 0,99970 0,99982 0,99999 1,00021 1,00047 0,6632251 0,6806784 0,6981317 0,7155850 0,7330383 0,7504916 0,7679449 0,99990 1,00008 1,00029 0,7853982 0,99960 0,99962 0,99968 0,99977 0,8028515 0,8203047 0,8377580

1,0004 1,0003 1,0002 't,0001 1,0000 o qqqq

0,9998 n oooT n ooo^ AàAAAA ooooooo

ooc!Ne)

longitudine dal neridiano centrale

89

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Caoitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

*$ffiffiffifitrtCI n" l0 - calcolodel modulodi deformazione linearein un punto

mr = o , e e e u [t

I (Est - falsa origine )' )

t@)

Est

Nord

da NETOGE latitudine o tradl lml 1.500.000.00 4.760.900,54 0.75049157841

Im]

riqa di calcolo

a=[m] C(= g'=

R*ma 40 6.378.388 0,003367003 0,0067226700

calcoli falsaorigine 1.500.000 W = 0,998435346 p= 6.365.340,14 N = 6.388.383,61

risultati {},99960

lfÙ =

HSffi$E*lZlO n' 11 - calcolodel modulodi deformazione linearedi un segmento E |+ E^E ' ,,+ El,\ t , t ,. = 0 .9 9 9 6,(* 6p,,N^0,9996' ) \

riqa di calcolo

a=[ml cI,-

e'= calcoli falsaorigine Xa=

Xo= 9medio = W m e d i o= = P medio N r"oio --

trt*s:s r{* 6.378.388,000 0,003367003 0,006722670 1.500.000 41.410,76 84.105,96 0,72431163969 0,99852306366 6.363.662,75 6.387.822,41

risultati !Îl

90

=

PUNTOA Nord

PUNTOB da NETOGE Est Nord da NETOGE latitudineo fradl latitudineo fradl Iml lml Im] Im] 1.541.410.76 4 .649.979,51 0,73303828587't.584.105.96 4.539.317.71 0,71558499353 Est

0,99965

Capitolo2 ELEMENTI DI CARTOGRAFIA

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

HSEHCIZI0 n"'l? - calcolodellariduzioneallacorda

'pa -

(+ -lr^X2Er+Eo) 6pcNcq9996'

Norddei PuntiP e A Npe Nnsonole coordinate Epe Ensonole coordinate Est(depurate dellafalsaorigine) dei puntiP e A pce Nc sonoi raggiprincipali di curvatura del puntoC PUNTOP

PUNTOA Nord fml lml lmI 1.541.410.764.649_979.511.584_r05,96 4 .539.317.71

Est lmI

riqa di calcolo

a=[m] c[: e'=

Nord

Est

ffi*r:'rs4S 6.378.388,00 0,003367003 0,006722670

calcoli falsaorigine= [m] 1.500.000 1.555.642,49 E S T 6= [ m ] NORD6= [m] 4.613.092,24 = 0,72722484862 96 [rad] ESTp[m] 41.410,76 E S T a[ m ] 84.105,96 W= 0,998513327 pc = [m] 6.363.848,92 N6= [m] 6.387.884,70 epa= [rad] 0,0000757958

risultati

segno epo= [gradiJ epa : [primi] epa = [secondiJ

+ 0 0 15,634

91

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo 2 E L E M E N T ID I C A R T O G R A F I A

ESERCIUICI n'13 - calcolodellaconvergenza del meridiano lr\ T = ).sengl I + = l"' costp' ) I 3 \ longitudine ), riferitaal meridiano centrale latitudine piùindividui dell'attributo; F I'attributo deveesserepresente, con diversivaloriargomentali, in tuttigli individui popolazione; della D devonoesisterealmenodue individuinella popolazione in possessodi valori argomentali diversi. possonoessereclassificati, L'insiemedegli individuidi una popolazione secondo questo l'attributo X, in modo:

l'x.x"x^......x-

x{t.orl

LF,F, F. .....F.

,l

Ii =t't

t5l

Dove Fi è la frequenzaassolutadell'eventoX;, cioè il numerodi individuidella popolazionecarallerizzalidal valore Xi ed n è il numero delle forme diverse In pratica,unavariabile dell'attributo. statistica è il risultato di una classificazione o, più in generale, di un esperimento conclusoin se stesso,cioèoperatosu una popolazione nota. totalmente L'argomento X può assumere o un numerofinitodi forme,in tal casoè dettodiscreto, può presentarsi oppure con un numeroinfinitodi forme,tutte però contenutecon in un intervallo continuità limitato(a-b)edalloraè dettoditipocontinuo. 109

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo3 CENNIDISTATISTICA

Nellapraticaperò,avremosemprea che fare con argomentidi tipo discreto,giacché tuttii risultatidellemisure,per sensibile che sia lo strumento utilizzato, è sempreuna seriediscreta, anchese numerosa, di valorinumerici chedifferiscono fra lorodi quantità finite.Per ora prendiamo in considerazione solola successione dei valoriargomentali discretidi X. Nellaprimarigadella[5] sonoindicatii valoriargomentali, mentrenellasecondasono riportatii valoridellenumerosità F; degliindividui popolazione della che possiedono il rispettivo valoreargomentale. Le quantitàF1si chiamano frequenze assolute dellapopolazione. ConN si indicail numerototaledegliindividui dellapopolazione. Un altrotipo di rappresentazione analiticasi ottienedalla[5] sostituendo allefrequenze assolutei valorifi = FilN deltefrequenzerelative.

xfx,

x, Xr......Xn

lf, f2 f........fn

If, =t

t6l

Le sommatorie riportate nella[5] e nella[6] non sonoinutiliaggiunte, ma esprimono la garanziache la popolazione per sia stata analizzata interoe che tutti i suoi individui sianosinteticamente rappresentati in X. La X rappresentata dalla [5] o dalla [6] prendeil nome di variabilestatistica a una dimensione. In alcunicasi,per comodità,I'analisi può esserefattausandonon di una popolazione più i singolivaloriargomentali ma delleclassi di opportunaampiezza. dell'attributo, Ad esempiosi può determinare il numerodi individuiil cui valoreargomentale sia compresofra Xi e Xj estremiinclusi,e associare allaclasseX;l---lX; tale numero,che verràquindichiamatofrequenzaassolutadellaclasse. Ogniclassesaràinoltrecontraddistinta da un valoremedioo puntomediodellaclassee da due limitidi classechegeneralmente noncoincidono con i datiosservati. La variabilestatisticaX si può rappresentare in svariateforme grafichechiamate istogrammi,utilizzandosemplicemente le funzionidi un foglio elettronico. Queste rappresentazioni sonoanchemoltopiù efficacirispettoalladoppiaseriedi numerivista prima. L'esempiodella Fig. 3.1 riportala variabilestatisticadi una popolazione esaminatasecondoI'attributo allezzae suddivisain classidi ampiezzadi 4 cm.

llr ,al

Clasd in %

1 6 4 - 16 8 6%

20 o o

È 15 o I li

164-'f68

168-172 Ateze

172-176

176-180

180-184

suddivise in classi di 4 cm

Fig.3.1- Possibili rappresentazioni di unavariabile statistica Se invecedellefrequenzeassolute, costruiamo I'istogramma utilizzando le frequenze relative,I'arearacchiusadall'istogramma stessosarà pari all'unitàe in questocaso parleremo di istogramma normalizzalo. Si definisce funzione cumulativa di frequenza o funzione di distribuzionedella variabile statistica C la seguente doppiasuccessione in corrispondenza biunivoca: 110

Capitolo3 CENNIDISTATISTICA

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

I x, I

Ct\^

\ IN'N"N

x2

x,

n+F2

17l

\+F2+...+Fn

cioè una variabilestatisticaavente i medesimivalori argomentalidella variabile statisticain esamee frequenzerelativepariallasommadellefrequenzerelativedi tuttii valoriargomentali minorio ugualia quelloin esame. Si dice diagrammacumulativo delle frequenzeo diagrammadi distribuzione I'istogramma dellafunzione cumulativa di frequenza. 1,00 0,90 0,80 o,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 17G180

18G184

Fig.3.2- Diagramma cumulativo di frequenza per la importanza Nellaseriedi valoriargomentali ve ne sono alcunidi particolare descrizione dellavariabile statistica a cui essisi riferiscono. nella forma [5] si possonodefinirele Quandola variabilestatisticaè rappresentata seguenti caratteristiche: uguali.

Eserciziosvolto sulla variabilestatistica: "allezza"(espressain l'attributo la variabilestatistica X che rappresenta consideriamo cm)degliindividui di unapopolazione: v J l 5 5 -t 5 i 1 5 7- r 5 9 1 5 9 - 1 6 1r 6 l - 1 6 3 1 6 3 - t 6 5 1 6 5 - 1 6 71 6 7 - t 6 9 1 6 9 - t ' n t ' 7 1 - t ' 7 31 7 3 - 1 7 5 1272213443632132110

(in cm) che descrivono la popolazione X nellaprimarigatroviamoi valoriargomentali mentrenellasecondatroviamole frequenze Fi. assolute F La sommatoria dellefrequenze il numerototaledi individui che assoluterappresenta e: c o m p o n g o nl aop o p o l a zi o nr=ìo F le frequenzerelativeda associarea ciascunaclassesi otterrannocomerapportotra frequenza la popolazione: assolutae il numerototaledi individui che compongono t: =r

F l'ampiezzaLxidegliintervalli comedifferenza tra il valorelimitesuperioree quello (in questocasoI'ampiezza inferiore di ciascunaclasse è ugualepertuttigli intervalli e p a r ia 2 c m ) ; F le densitàdi frequenza, owero le ordinate degliistogrammi n,= ' jt; À{,

D i valoridellafunzione cumulativa di frequenzaci=Zf r . fr=l

lll

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo3 CENNIDI STATISTICA

classe limite limite Xi f requenzefrequenzeallezzabarra f requenze inferioresuperioremedio assolute relative istogramma cumulate Fi

1 2 3 4 5 6 7 I 9 10

155 157 159 161 163 165 167 169 1 71 173

157 159 161 163 165 167 169 171 173 175

156 158 160 162 164 166 168 170 172 174

2 7 22 13 44 36 32 13 21 10 N=200

fi

0,01 0,03 0,11 0,06 0,22 0,18 0,16 0,07 0,11 0,05 1,00

hi

0,005 0,018 0,055 0,033 0,110 0,090 0,090 0,033 0,053 0,025

Gi

0,01 0,05 0,16 O,22 0,44 0,62 0,78 0,85 0,95 1

ISTOGRAf'llìlA

0,120 0,100 0,t180 hi0,06[

0,040 0,020

0,tuu t 5 E 1 5 8 1 6 0 1 6 2 1 6 4 1 6 6 1 E E1 7 [ 1 7 2 1 - t 4 valoriargomentali

diagramma cumulativo di frequenza

o

t,oo È o :t

il o,so L

1 5 6 1 5 8 1 6 0 1 6 21 6 4 1 6 61 6 8 1 7 01 7 2 1 7 4 valoriargornentali

112

E--

G. COMOGLIO E CARTOGRAFIA TOPOGRAFIA

Capitolo3 C E N N ID I S T A T I S T I C A

Per introdurreil concettodi variabile casuale ad una dimensioneoccorredefinire a l c u ntiermi n i : F evento aleatorio:si definiscealeatorioun eventodi cui non si può prevederela (es. l'uscitadi un numeronel giocodella modalitàcon la qualesi presenterà roulette) estrazionea caso: I'estrazione è un a casodi un individuo da una popolazione eventoaleatoriofacilmenterealizzabile. Perchési abbiauna effettivaestrazionea caso occorreche all'attodell'estrazione tutti gli individuisiano perfettamente identicie che la modalità I'estrazione sia imprevedibile. dell'atto chedetermina leggeempiricadel caso: quandosi effettuaun numeroN (grandea piacere)di estrazionida una popolazione e ogni volta si rimetteI'individuo estrattonella popolazione, dellapopolazione si constatache tuttii valoriargomentali sono stati le frequenze relative variabile a estrattie della statistica tendono stabilizzarsi. Nel caso di fenomenialeatorinon è mai prevedibile la modalitàdi uscitadi un singolo evento,mentresi può quasi sempreottenereuna buona previsionedi come si i risultatidi un grandenumerodi estrazioni. distribuiranno Si può affermareche un quando fenomeno aleatorio saràconosciuto sarànotala suadistribuzione. Ad esempio:nelgiocodellaroulette si può affermare che nonsi ha alcunapossibilità di previsione di uscitadel singolonumeroe che, dopo un grandenumerodi estrazioni, (numeroda 0 a 36) avràunafrequenza relativapari a1137 ciascunvaloreargomentale (se il tavolonon è truccato).ll gestoredi un Casinòpotràcontarequindisul guadagno statisticamente certopari a 1/37dellegiocatecorrispondente alla frequenzarelativadi uscitadel numerozero.ll giocatorepotràcontareinvecesolo ed esclusivamente sulla a rtu n a!. . . . . .p r o p ri fo i fenomenialeatorisono definitiquandoè nota la Scientificamente e tecnicamente che permettedi prevederei risultatidi numeroseprove.La distribuzione distribuzione che definisceun fenomenoaleatorioviene chiamatavariabilecasuale.La variabile identicaad unavariabilestatistica: casualeè formalmente

fx, x. x,......x I

Z

J

'

X]

fP' Pz Pt"""

P,

fo,=,

t8l

Ognidefinizione datae ogniproprietàvistaper le variabilistatistíche devevalereanche perle variabili casuali.La sostanziale differenza è di contenuto: sullavariabile casualei numeripi associatiai valori r; misuranoun grado di possibilità(probabilità) che il pi. risultato valore dell'esperimento abbia Nelcasodellavariabile il numerof registrava invece,a posteriori, statistica solamente il fattoche su N ripetizioni legata si eranoottenutiF; risultatidi valorex;. La probabilità, alla variabilecasuale,è un ente aprioristico mentrela frequenza,legata assiomatico, i risultatidi una indagine allavariabilestatistica, è un indiceche misuraa posteriori statistica. Direche un eventoha probabilità 0.3 ed il suocontrario 0.7 significa che effettuando un grandenumerodi estrazioni si constaterà che la frequenza del primotenderàa 0.3 e quelladel secondoa 0.7.All'attodi ogni estrazionei due eventi sono ugualmente possibili.L'intuizione portaa concludere probabilità legatoallamaggiore cheI'individuo possaessereestrattopiùfacilmente. vero è solo su numerose Questo estrazionimentre non ha alcunfondamento sullasingolaestrazione. Si può pertantoaffermareche la probabilità è il limitedellefrequenze relativedi una variabilecasualecon il numerodi estrazioni a casochetendeall'infinito: p, = lifll f , .

I t3

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo3 CENNIDI STATISTICA

La definizione di una variabilecasualeè semplicese I'eventoaleatorioè effettivamente un'estrazione a caso da una popolazione di distribuzione nota; in questocaso la variabile statistica, ottenuta facendo il censimento della popolazione, può semplicemente convertirsi in variabile casualedi previsione. E' questoil casodei giochi d'azzardo(roulette, dadi,testao croceed altri). In moltialtricasi la determinazione possibilenon è cosìfacilmente dellapopolazione fattibilecomead esempioil casodellemisureripetutedi una grandezzatopografica. In questicasio si sfruttano i risultati empiricidell'esperienza oppure,facendodelleipotesi, si costruisceun modellomatematicoche dovràesseresuccessivamente verificatodai risultatidellemisureeseguite.ln questocasosi può direche la variabilecasualeè il modellomatematico di previsione di un fenomeno aleatorio. Le variabilicasualiche si incontrano nei problemistatistici possonoesserediscreteo continue.Nel casodi variabilicasualidiscrete, qualiquellefinorautilizzate, essesono completamente descrittedicendoche per ogni i la probabilità di ottenerex = xi è pi, il chevieneindicatonel seguentemodo:p(x = x) = pi.Perognivariabile casualediscreta si definisce unafunzione di distribuzione i cuivalorisono: F ( x ,) = p (x 3 x ,) = Z p i

i =1,2,...,n

t9]

dovela sommatoria è estesaa tuttii valoridiltali chex1s xi. La funzionedi distribuzione è unafunzionea gradini,costantein ogniintervallo che non contienevaloriargomentali-r e che in ogni,r,ha unoscattodi allezzapi. Per consentireuna descrizione più "matematica" e più "sintetica" di una variabile statistica, si possonodefiniree calcolarei momenti. Si definiscemomentok-esimorispettoal polo d di una variabilestatisticaa una dimensione la seguente espressione: -11- ,

ffik.e:/,1x,-A)" f,

t10]

í='l

I momentidi una variabilestatistica, calcolatirispettoad un particolare valoredel polo (adesempiolo 0) sonosufficienti perdescrivere principali. tuttele suecaratteristiche I m o m e n tpi i ùsi g n i fi ca tiso vi n oi se g uenti: sr ftt,n= > x,f, momentodi '1" gradoo media [11] 2 n

n

momentodi 2"gradoo valorequadraticomedio

mnn=

\ l ) ^

4

>

x,

f,

Í121

Dalla variabilestatisticaX sarà possibileanchederivareuna nuova variabitestatistica scarto V avente la stessa distribuzionedella X e valori argomentalidefinitidalla s e g u e n treel a zi o n evi: = xi -tn j .o QuestavariabilescartoV avràlo stessoistogramma dellavariabileX ma I'originedelle ascissecoinciderà (medianulla). con il valoredellamediam1,e Un parametrocaratteristicoe fondamentaledi questa nuova distribuzioney è il momentodi secondogradoo varianzao2: ^ -r-, ffi2,n="î=I(", --,')" f,

t13]

r=1

La radice quadratadella varianzaprende il nome di scarto quadratico medio o deviazionestandard: tr4

LÈ.-

-v

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo3 C E N ND I ISTATISTICA

[14]

o=GT

proprietà: Dalledefinizioni le seguenti datederivano 1. La media m è il valoredel polo per cui è minimoil valorequadraticomedio; proponiamocidi voler trovareil valore di 0 per il quale è minima la funzione -!_

.

ffi2.0:)(x, - Q)'f ,deriviamola funzionerispettoalla variabile0 e cerchiamoil valore i.=1

per cui tale derivata si annulla:-zi!,-I)f,=0da

cui ,=f*,f,

i=1

valoreche

i=1

coincide conla mediadellapopolazione. 2. La mediam dellapopolazione dagliscartiè nulla;infattiper la definizione data di : r,,=fG, -*)f, =f*,f, - m=o m e d iari su l taffi 3. Trai tre indiciprimadefiniti valela relazione: ol = mr.o(x)-*?.r(t)

[15]

infattisviluppando il quadrato contenuto nelladefinizione di varianzasi ottiene: ^

-f-

,

\^

tl

o? = I(", -*,,r)' f , =lxl 1,+*'lf

t1

n

-zml.o: m^o- mî,0 + ml.o , -2mlx,f , = ffi2,0

Mediae varianzadescrivonosinteticamente la popolazione. La media può essereconsiderata il valore a cui tendonotutti gli individuidella popolazione ma ha un significato moltolimitatoin quantodicequasinullasullastruttura interna dellavariabile statistica in esame. particolare più da vicino,alla media In molticasi,e in in quelliche ci riguarderanno vieneperòattribuitoun significato chetrascendeil suo sensodescrittivo. possedutounivocamente La mediavieneutilizzalacomese fosseil valoreargomentale datuttigli individui dellapopolazione. relativodi mediaè di uso moltofrequentenel parlarecomune.Per Questosignificato esempio,ognivoltache si parladi consumomedioper abitantedi un certoprodotto, talevaloremedionon vienecalcolatoin vistadel consumatore che non si senteper nullarappresentato numero, né in da tale tanto meno vista di una indaginesulla distribuzione dei consumi,ma solamente statistica dal puntodi vistadellenecessítà di approwigionamento del prodotto. In questocontestonon interessa vienesuddiviso comeil prodotto fra i diversiindividui, ma soloil consumomedioperogniindividuo. volta che Ogni si senteparlaredi mediaè importante averepresentiquestisignificati e saperliapplicarecorrettamente. La varianzaindicainvecela maggioreo minoredispersione degli individuiattornoal valoredellamedia. Confrontando due distribuzioni che hannola stessamediae varianzadiverse,si può notare che gli individuisono più dispersi,rispettoal valore della media, nella distribuzion e a varianzamaggiore.

115

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capítolo3 CENNIDI STATISTICA

Per comprendere meglioil significato di mediae di varianzapensiamoad un'analogia meccanica. Se le frequenzedi una variabilestatisticavengonoviste come masse dispostelungo un asse X e il valoreargomentale come dístanzadelle massestesse la media,così come è statadefinita,coincidecon il baricentro dall'origine, di questo sistemadi masse(vediFig.3.3).

i Fig.3.3- Analogiameccanica dellamedia Analogamente la varianzarappresenterà il momento d'inerzia di un sistemanelqualesi interpretinole frequenzerelativecome masse e i valori argomentalidella variabile scarto associatacome distanzedal baricentrodi tale sistema.Come noto dalla meccanica razionale il momento d'inerzia aumentaall'aumentare delladispersione delle (la media)e quindilavarianzaè propriamente masseattornoal lorobaricentro un indice di dispersionedei valori argomentali attornoal valore della media della variabile statistica.Inoltrericordandoche la sommadellefrequenzerelativeè pari all'unità,la varianzarappresentail rotore,cioè quella distanzadall'assedi rotazionein cui si potrebbeconcentrare tuttala massaper mantenere invariatoil momentod'inerzia. Per le variabilicasualisi definiscono, in analogiadi formulazione e di significato con quantoappenadettoa propositodellevariabilistatistiche, i momenti. Nellatabellaseguentesonoriportate le formulazioni analitiche di tali quantitànel caso di variabili casualidiscrete e variabili casualicontinue: variabilicasualidiscrete variabili casualicontinue sr

m

m:

flì2

m L. = 2 ) x tl' D , r

62

O-=>(x,

tn=

) x,D,

4 I I I

\-a

)

)

ffi.=

il

s--

L/'I

-m) r2

Pi

) o'=

lx.î(x)dx

tl

lx-.Í\x)dx

| ) ^, l(x-m)-f(x)dx I

3.8. LA DISUGUAGLIANZA DI TCHEBYCHEFF Vogliamodimostrare che la maggiorpartedegli individuidi una distribuzione, sono contenutinell'intervallo m + 3o e m - 3o qualunquesia la distribuzionein esame. Partiamo dalladefinizione di varianza: o i2 = sL- \l x , - * , . 0\ )2 '. f,

corrispondente a o1 =

rÎ f ,

avremo:

o1:uÎf,+vîf,+vtfr+""' rlf, ll6

b-_

v

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo3 C E N N ID I S T A T I S T I C A

fissiamoun valoredelloscartoyn compresotra vr e vne poniamoazero tutti ivalori degliscartiinferiori o ugualiavn e uguali? v_tuttigli scàrtisuperiori: otr= + v ' ^ f . + v t ^ * r . f ^+* , v , ^ * r f . * , + . . . . . . v : f , , ^r?fr*r3f, îl l l r t l o

î

î o

o

î vl,

î v,.

î'" ,,,t,

Alla luce di questaipotesi,sarà quindi: î

1I

... f,,) o; >ví\J ^u *.f,,,*z+.... î

^

\

La sommadei terminitra parentesi, definiscela frequenzarelativadeqli - -- scartiche hannoun valoreassoluto superiore a v,,,;indichíamola conilterminef . Poichéla sommadi tuttele frequenzerelativeè ugualea 1, la frequenzarelativadegli scartiinferiorio ugualia v, (cheindichiamo con f.) saràpari a f. =1- f . e quindila varianzasarà pari a:

- f, ) o1>r?"(t aa

O- > v;,-v;J. - o1 'Î,f. > "^6 ' f.>l-+

v;

aucuipossiamo ricavare [afrequenza relativa degliscarti < a v,:.

e se poniamo vm= l.o*avremo

f. >r-+ n-

[16]

Ladisuguaglianza è sígnifícativa pervaloridi ," > I per)"= 2

v*=2 O,

f..t*;> o,7s

per)"= 3

Vrr=3O,

f.>1_1-o,sq

Abbiamodimostratoquindi che in una distribuzione qualsiasi,gli individuidella popolazionesi distribuiranno attornoal valore della media secondole seguenti percentuali: D il75/" degli individuisarannocontenutinell'intervailo m + 2o ) l'89"/odegli individuisarannocontenutinell'intervallom + 3o

117

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo3 CENNIDI STATISTICA

3.9. LA VARIABILECASUALECONTINUA Unavariabilecasualesi dirà continuase la sua tunzionedi distribuzioneF(x) sarèt ovunquecontinuae se la sua derivalaF'(x)= f (x) esisterà, saràpureessacontinua nell'intervallo dí definizione dellax e ovunquemaggiore o ugualea zero. La funzioney= f( X ) è notacomedensitàdi probabilitàdi X. La Fig.3.4 riportaun esempiodi densitàdi probabilità e di funzione di distribuzione. v=f(x) +1

X

F i g .3 .4- D e n si tà d i probabilità e funzione di distribuzione La funzione"densitàdi probabilità" non è definitada singolivaloriargomentali e quindi la probabilità valorex è nullapertuttele -r. di estrarreun particolare La probabilitàinfinitesimadp= f ( x )dx rappresenta, invece,laprobabilità di estrarreun individuonell'intervalloinfinitesimofx,x+dx). La probabilità finito[A,.rp]dell'esempio di estrarlonell'intervallo di Fig.3.4,saràinvece:

117l

P(A ). ll risultatoche stiamocercandodovràdipendereda tutto il campionedisponibilee si può direche essosaràil fruttodi unacompensazione Le dellemisurediretteeseguite. grandezze.Xr'sono legatealle grandezzeLida legamifunzionaligenerici,dipendenti geometriche solitamente da condizioni e/ofisiche. Percapirci,consideriamo un semplice esempio: planimetriche vogliamo le coordinate X,Ydi un puntoP visibileda duepunti determinare (problema Ae B di coordinate note di intersezione semplicein avanti);la soluzione del problemaawienetramitela misuradegliangoliazimutali in A e in B. In questomodo però,qualsiasi provocherà errorenellamisuradei due angoliazimutali, un errorenella determinazione dellecoordinate di accorgersene. del puntoP senzaalcunapossibilità lnfattiqualunque sia il valoredi q e B,le due retteAP e BP si incontreranno semprein un punto.

Fig.a.8- Determinazione dellecoordinate del puntoP di Se invece,ad esempio,si esegueanchela misuradel latoAP, avremola possibilità individuare eventualierrorinellamisuredegliangolie viceversa. Ogni misuradiretta effettuatasarà caratterizzala da una certaprecisionee, come già visto nel caso delle misuredirettedi diversaprecisione,ognunadi esse dovrà partecipare con il proprio pesoallasoluzione Chiaramente le misurechevengonofattein esubero del problema. geometrico rispettoa quelleminimenecessarie allasoluzione del problema nondevono misure: non dipenderedallealtre nell'esempio sopracitato avrebbesensointrodurre unanuovamisuradeglistessiangolio dellamedesima distanza. Al solitoaffronteremo il problemaper gradiiniziandodal caso più semplicein cui il legame funzionaletra le grandezzeindirettee le grandezzedirette sia una linearedi questeultime. combinazione

162

L-.

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo4 IL TRATTAMENTO STATISTICO DELLEMISURE

4.9.1.IL CASOCONEQUAZIONI LINEARI Consideriamo un sistemadi n equazionilinearíche lega r grandezzeincogniteXy, X2,...,X, misurabili allen grandezze L1,L2,...,Lr, con n > r nell'ipotesi direttamenle che ogni equazione contenga come termine noto una sola grandezza misurabile direttamente. [arX,

+ b,X, + ...+ tt.,X,= \

+ b"X,* ...* urX,= I.

lor*,

[31]

conn>r

1",.:;,;;.;"++,.x,=L. noti. doveai,bi,.......1tisonocoefficienti Nel sistematutte le grandezze,direttee indirette,sono indicatecon i rispettivivalori teoricidi media(L). In questocaso,del tuttoteorico,una qualsiasi seriedi r equazioni, grado le n fornire tra disponibili, in di scelte è una soluzioneche soddisfaanchele restantin-r equazioni(che risultanoessereuna combinazione linearedelleprecedenti secondoil teoremadi Rouchè-Capelli). In formamatriciale il sistemadi equazionilinearipuò esserescrittocome: A.X=T dove:

a -l

4ut lo' l a ^ b2 '

"-l I

la,

b,,

Lt2

Lln

X_

[32]

"'l lI" *'1, =l' ;,1l:i"

A viene chiamatamatricedisegno,X vettoredelle incognite,T Convenzionalmente vettoredei termininoti. Nellarealtàsappiamoche non disporremomai dei valori teorici Li delle grandezze misurate ma al massimodellelorostimel,. La relazione direttamente tra i valoriteorici e quellistimati,saràespressa da: L,=1, + v, dovev;rappresenta lo scartotra la misura stimatae la misurateorica. Più correttamente(o realisticamente) il sistema[31] andrà riscrittonella seguente forma: b .,X r+...* u rX, =l ', +r., larxt+ * brX + ...*urX,= Lz* vz [33] " 7or*,

*tr* . nu,x,=îu+r,, 1",,1,.u gli scartiteoricidi ogni equazionee sarannoanch'essi Le quantitàvr rappresentano incogniti. Ci troviamodunquedi frontea un sistemadi n equazioniin r+n incognite,cioè un quindisaràimpossibile, sistemaindeterminato; da un puntodi vistamatematico, trovare

r63

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo 4 IL TRATTAMENTO STATISTICO DELLEMISURE

i valori X1 che soddisfinocontemporaneamente tutte le n equazioni.Possiamoperò affrontareil problemada un puntodi vistastatistico. Proponiamoci cioè di stimarele mediedellemisureindiretteX-, a partiredallestime formadefinitiva: dellemisuredirette2,. ll sistema[33]assumedunquela seguente f o , V , + b , V, + . . . +u t V, = 1 , r v , in for mamatr iciale: . ' , *u2rV 1 1r, -=lDzz i' vz vz l o r V , + b rV , +' ....+ A.X = T+V

lI* 2 - - ,

[34]

t""""""""" = l a , , Xr + b , X z t . . . * u , , X , L n + v , ,

Lo stimatore dellemedielo ricaveremo applicando, anchein questocaso,il principio di massimaverosimiglianza e quindiil principio dei minimiquadrati, cioèla stimamigliore fa sì che la sommatoriadel quadratodegli delle grandezzemisurateindirettamente s c a r tsi a r àmi n i m"(i ri

= mi n).

Vediamoattraverso i calcoli. ll semplice comesi sviluppano "r"rpio grandezze Xr, Xz legatea tre misure Supponiamodi dover stimarela mediadi due linearisecondoil sistema: diretteLr, Lz,L3da combinazioni lI a . , X . , + b , X\r = lorXr+brXr=\ l a r X r + b e X r =I j

[35]

Per quanto abbiamoappenavisto il sistemadeve essere riscrittonellaforma -f l a r X , + b , Xr .= L t v , in formamatriciale: I A.X= T+V lorF,+brFr=Lzrv, ttl "a r x , + b r Í r = L t * v ,

[36]

ll sistemaespressoin funzionedegliscartiincogniti vsarà: l a , X|, + b" r, 'X- r. - L r = v ,' r i n f o r m am a t r i c i a l e : l*r'__ - Lz =vz + b r x , AX-T=V lor*, l t =vt + brî, forX, la sommatoriadel quadratodegli scarti v;sarà:

ìri

[37]

= a i x i + u i x i + l i + Z a , b , X , x , - 2 a , x-,21b, , x , l t+ + aix i +ojx j + ri + 2arbrX,F,-2a rX,l,-2brTrlz + + a i x i + u ' r x ]+ l i + 2 a . b r X , X r - 2 a r X ,-l2, b r X r l t

La ricercadel minimodi questaf unzionetiri

= min) a duevariabili avvienerisolvendo

il sistemadelledue equazioni l'annullamento che esprimono delledue derivateparziali incognite1 la seguen te calcolaterispettoalledue grandezze a n. ll sistem assume " forma: 164

L-_

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo4 IL TRATTAMENTOSTATISTICODELLE MISURE

Questoè un sistemalinearedi due equazioninelledue incogniteÍr.Ìr, nelseguentemodo: essereriscrittousandola notazionematriciale N.X= Tn dove: a l + a l + a ' , a , b , + a r b r + a r b-=l r_1l " - , 1 -= l l r"Y -= r' ,', ,l l o , L , + o r i r +_ o r | Lrl " l o , b , + a , b , + a r bu, i + $ + a^! |l ' " l & l| lu,l,+u,1,+brLrl

che può [38]

La soluzione del problema si otterràcome: X = N-1.Tn

Come si può subito notarela matricedei coefficientidel sistemanormaleN (detta proposto,è matricenormale)è una matricequadratadi ordine 2, nell'esempio simmetrica e i suoiterminidipendono Anche solodai coefficienti del sistemaoriginario. il vettoredei termini noti normalizzali, Tn, dipendesolo dai coefficientidel sistema originario e dallastimadellemisuredirette. Per le proprietàdelle matrici,la matricenormaleinversaN'1, risulteràanch'essa simmetrica. Si può subito osservare che con questo approccio, direttamentederivato dall'applicazione del principiodei minimiquadrati,ogni volta che si presentaun problema di stimaoccorredapprima scriverel'equazione dellasommatoria del quadrato quindi questo punto possibile risulta degli scarti, derivarlae solo a applicareun procedimento di calcolo automaticoper l'inversionedella matrice normalee il conseguente calcolodellasoluzione. Se si pensache nellamaggiorpartedelleapplicazioni topografiche e fotogrammetriche possonoanche essere in numero le grandezzeda stimarecontemporaneamente (> 100) si intuiscesubitola praticaimpossibílità considerevole di applicazione di tale metodo. giungereallascritturadel sistemanormalein modomolto Fortunatamente è possibile più agevole,tenendocontodellaosservazione che abbiamoappenafatto,e che cioèla matricenormalee il terminenotonormalizzalo dipendonosolo dallamatricedisegnoe dal vettoredei termininoti del sistemaoriginale.lnfattitra le matriciA, T, N e Tn le seguentirelazioni: sussistono N = Ar.A [3e] Tn = Ar'T questeaffermazioni Dimostriamo nelcasodell'esempio che stiamoanalizzando:

, ,lo. b.l , ^ a z o t llo'^ ai+ai+ai e=lo' A, . o=lu, b"l=l

arbr+arbr+a"b,

t bz;,ll:',7,1=V0.,*o"i,*o,u, ul+bl+b!|=

,

, lZtl a2 +o,L,* o,!'l=, "'ll;,1=1o,7, A' .r =lo, " W, b2 nl

lt.l

lb,Lt+b,Lz+b"Ltl

Grazieallerelazioniche abbiamoappenadimostrato nel casosemplicepresoin esame (ma valideper sistemicon qualsiasinumerodi equazioni)è possibileaffrontareil 165

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo4 ILTRATTAMENTO STATISTICO DELLEMISURE

problemadella stima di r misureindirettein funzionedi n misuredirettein modo completamente automatico. iciente Sarà suff infatti conoscerei valori degli elementi della matrice disegno (coefficienti dellecombinazioni lineariche leganole r misureindirette a unasolamisura diretta)e del vettoredei termininoti (valoridellemisuredirette),per determinare in modoautomaticola matricenormaleN e il vettoredei termininoti normalizzati Tn che, come abbiamodimostrato, esprimonoil sistemache risolveil problemadella stima secondoil principio di massima verosimiglianza. Anche in questocaso occorretenereconto che le n misuredirettesono in genere caralterizzate da precisioni diverse,per cui il lorocontributo allastimadellemediedelle misureindirette,deve esserepesato.Questo,come noto,significache ogni misura per il suo peso e quindinel sistema[31] occorrerà direttadeve esseremoltiplicata peril pesodellamisuradirettainteressata. moltiplicare ciascuna equazione questaoperazione In notazione matriciale di pesatura modo: awienenelseguente P.A X= P'T [40] dove la matriceP è una matricediagonale(elementi tutti nulliad eccezione di quelli principale) delladiagonale di ordinen cosìstrutturata:

P-

h 0 0 Pz

0l ol

[41]

;;

Le relazioniper il calcolodella matricenormalee del termine noto normalizzato assumono dunquela formadefinitiva: N = A''P.A 1421 Tn = Ar'P'T precedenti, qui;accanto Comeabbiamovistonei paragrafi il problema nonsi esaurisce allastimadellamediadelleincognite occorregiungereancheallastimadellavarianza. In questocaso,dovele r misureindirette sonole variabili di unadistribuzione normalea rdimensioni,occorredunquedeterminare la matricedi varianza- covarianza. Essasarà una matricequadratadi ordiner nellaqualegli elementidella diagonaleprincipale sarannole varianzedelle r misureindirettee gli altri elementiesprimeranno le covarianze. Si descrivonosolamentesolo le formuleper il calcolodella matricedi varianzacovarianzee di altre matriciche sarannoutili nelle praticheapplicazioni di questo metododi stima,rimandando lo studentea dei testispecialistici di trattamento delle per osservazioni la lorodimostrazione. Avendointrodottoi pesi, per primacosa occorredeterminare il valoredella varianza dell'unità di pesoin funzione dellemediestimatedellemisureindirette. Risulta: -2

o;=

VI .P.V

[43]

doveil vettoredegliscartiV si calcolanel seguentemodo: v=A.X-T Í441 La matricedi varianza-covarianza saràottenutadal prodottodellavarianzadell'unitàdi pesoper la matriceinversadelsistemanormale: 166

>__

Caoitolo4 IL TRATTAMENTO STATISTICO DELLEMISURE

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

| "?'

-l

-ol Cr* = ' lr-' - lot,t,

o.. 2

6|,

1o","," : .

^r^2

6.. 6 *r",

[45]

:' 6'r.

di ordiner, in quantoabbiamovistoche anche Questamatriceè una matricesimmetrica la matricenormale(e di conseguenza la sua inversa)è una matricesimmetrica di ordiner. Un'altraquantitàimportanteda calcolareè la matricedi varianza- covarianzadegli scarti(siccomela matricesoluzioneX contienedellestimedellemediedelle misure indirette,ancheil vettoredegli scartirappresenterà la stimadi una variabilescartordimesionale caratterizzata anch'essada una matricedi varianza- covarianza). Questa relazione: si puòdeterminare conla seguente c , "= d i . ( p - t - a . x r . t r ) t46l 4.9.2.IL CASODI EQUAZIONI NONLINEARI Nelcasoin cui le equazioni che leganole r incognite allen misuredirettenon siano lineari,si può arrivarealla soluzionedel sistemamediantela loro linearizzazione nell'intorno in seriedi Taylorarrestato ai terminidi 1" grado). di un puntonoto(sviluppo Lastimadelleincognite, iterazioni. comevedremo, awerràpersuccessive ll sistemadi equazioni nonlineariè genericamente: f , ( x , X r , . . . . . . .x. ,. / L , )= g

l47l

Nell'ipotesi che x,o,x:,'.....xf sianodei valorisufficientemente approssimatidelle incognite in modotale che i quadratidegliscartie le potenzesuperioripossanoessere trascurati, avremo: Xr=XÎ+xt

X, =X2+xz

t4gl

X,=Xl+xr+

' " [f"ar'l f,(x,,x,,......x,.1,)=r,k:.x:.......x?.1,)-[,+l -,*l*' ) q " \dx,/o

\dx;,JrxzÍ"

J.*'*

x;conpotenzamaggiore + terminitrascurabili o ugualea due= 0 Se indichiamo ciascuna equazione, con:

-f,(x?.x', . ..xo.L,)=v, =r, l9l =r, l+l '| ': (dX, in \dx, /n

=r, f+l òx, \ ),

Otterremo un sistemadi equazionilinearizzate del tuttoanalogoal sistemadi equazioni [31]:

167

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo4 IL TRATTAMENTO STATISTICO DELLEMISURE

a.,x.,+ b.,x"I ...1 u,x, = Ia a2\ + brx, + ...I ttrx, = I-

[4e]

an\ + bnx, + ...* Lt,x, = Lu

L'unicadifferenza xi da sommare è che,in questocaso,le incognite sonole correzioni ai valoriapprossimati X: per ottenerele grandezze incognite. ll sistema[a9]si chiama "sistemadi equazionialle correzionÌ'. In questocaso itermini noti L, non sono misuredirettecome nel sistema[31], ma misureindirette. La matricedi varianza- covarianza x1,X2,.......Xr delladistribuzione dellecorrezioni coincidecon la matrice di varianza- covarianzadella distribuzionedelle stime V r ^ , V r *......V ,^p e rch éi va l o ria ppr ossim ati Xr o,Xl,- .- ...Xfsonodellecostanti. Se ivalori approssimati fatta,non siano delleincogniteX,9,contrariamente all'ipotesi per limitarelo sviluppoin seriedelleequazioniai soli sufficientemente approssimati terminilineari,bisognerà innescare iterativo un procedimento di soluzione del sistema = Xf c h ec o n si d e iriva l o rid e l l ei n co g n ite X, +x, ottenuti in unasoluzione comeinuov i per la soluzione valoriapprossimati successiva. La convergenzadel procedimentoiterativoviene accertatamediantel'analisidelle correzionixi apportateda ogni singola iterazionee il procedimentopotrà essere interrottoquandole ultimecorrezionideterminate sono di un ordinedi grandezza inferiore raggiungibile. allaprecisione Un altro criterioper testarela convergenzadel metodoiterativoe quindi decidere l'interruzione del procedimento di calcolosi basasullostudiodel comportamento del parametroof . Si può dimostrare questo parametro infattiche raggiunge il suo valore minimoin corrispondenza dellamigliorsoluzione raggiungibile. Vedremonel capitoloriguardantele reti topografiche, come questiconcettipotranno perunacorrettagestione essereutilizzati e interpretazione dei risultati.

t68

E-_

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

CaP.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

Capitolo 5 LA MISURADEGLI ANGOLI

DISTANZA E DISLIVELLO ZENITALE, DI ANGOLOAzIMUTALE, 5.1. DEFINIZIONE Si definisceangolo azimutalea l'angolodiedroformatodai due piani nr e nn la verticalepassanteper il punto appartenenti al fasciodi pianiche ha per generatrice passanti per punto (puntoindietro) il | e per il puntoA rispettivamente di stazioneS e (puntoavanti),(vediFig.5.1).

169

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Cao. 5 L A M I S U R AD E G L I A N G O L I

Za appartenente al pianonn definito Si definisce angolozenitaledel puntoA, I'angolo il puntoS con il puntoA (vedi tra la verticalepassanteper S e la rettacongiungente Fis.5.1). Definiamo inoltreil dislivelloAsncornela differenza di quotatra il puntoA (Qn)ed il quota quota punto S (as) intendendocome o ortometrica,I'allezza del punto sul geoide. Definiamoinfinela distanza misurata ,SAcome la lunghezzadel segmentodi retta i due puntiS ed A. congiungente

verticale

zenitalee dislivello. Figura5.1 - angoloazimutale, distanza 5,2. IL TEODOLITE in gradodi misurare sia gli angoliazimutali che ll teodolite topografico è lo strumento le distanzezenitali.E' costituitoda tre parti principali:basamento,alidada e cannocchiale. ll basamentoè una strutturadi supportoche racchiudeal propriointernoil cerchio azimutale cheserveperla misuradegliangoliazimutali. di bloccarelo Nellaparteinferioredel basamento troviamotre perniche consentono forzato. o al dispositivo di centramento strumentoallabasettatopografica, L'alidadaè una strutturameccanica(a forma di U) che ruota attornoa un asse perpendicolare si trovanogli indicidi letturadel cerchio al basamento.Sull'alidada e anchegli indicidi letturadi un secondocerchio azimutale(solidalicon I'alidada) cerchiozenitale. chiamato collegatorigidamenteal ll cerchio zenitaleè incorporatoall'internodell'alidada, all'asseattornoal qualeruotail e dispostoin un pianoperpendicolare cannocchiale Sull'alidada si trovaancheuna livellatoricache servea cannocchiale dellostrumento. rotazione rendereverticale I'assedi dell'alidada stessa. da due viti: una attornoal proprioasse, sono controllate Le rotazionidell'alidada prepostaa impedireo menola rotazione e la manualedellastessa(vitedi bloccaggio) (vite piccoli piccole grado dei rotazioni ad alidada bloccata in di effettuare seconda spostamenti). il cerchioazimutalenon è solitamente Neglistrumentiottico-meccanici di precisione fisso, ma può ruotare medianteuna vite ad accesso protetto(vite reitereatrice), indipendentemente dalla posizionedel basamentoo dall'alidada. Questiteodolitisi chiamanoreiteratori. 170

L

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Cao.5 LA MISURADEGLIANGOLI

puòesserefissatoo al Esistono ripetitorineiquali,il cerchioazimutale anchei teodoliti I'azione mediante di un bottonedi bloccaggio esterno. basamento o all'alidada

Figura5.2 -teodoliteottico-meccanico ed elettronico ll cannocchialeè montatosull'alidada in mododa poterruotareliberamente attornoa Tali rotazionisono un asse ortogonaleallo stessoasse di rotazionedell'alidada. per I'alidada (vitedi bloccaggio e controllate da due vitidel tuttosimilia quelleutilizzate vitedei piccolispostamenti). La rotazionecontemporanea dell'alidadae del cannocchialepermettequindi la qualsiasi punto di un dellospaziocircostante. collimazione I moderni teodoliti elettronici(vedi Fig. 5.2) hanno conservatola struttura del riguardano la i miglioramenti essenzialmente tradizionale teodoliteottico-meccanico; i lettura. dei materiali e sistemidi tecnologia 171

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

ìlru*i$r r\\ù\ìi

Cap.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

r : .\r i :ì \*: ì

r

Figura5.3- stazione totale L'awentodell'elettronica non ha di per sé aumentato la precisione nellamisuradelle grandezzetopografiche ma ha reso possibilel'automazione dellefasi operativepiù pesanti. permettela letturaautomatica ll teodoliteelettronico delledirezioniangolari,la loro visualizzazione su un piccoloschermoe la registrazione su un supportomagnetico. I primitentatividi costruzione dei teodolitielettronici risalgono aglianni '50, anchese '80 pervederele primerealizzazioni occorrearrivarefinoaglianni commerciali. Per stazione totale si intende invece un teodoliteelettronicointegratocon un in gradoquindidi misurare distanziometro, direttamente sia le direzioni angolariche la (vedi Fig.5.3). distanza

172

L

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Cap.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

5.3. CANNOCCHIALE A LUNGHEZZA COSTANTE I cannocchiali sonodeglistrumenti otticiche permettono di osservare oggettilontani (cannocchiale e di essipossonofornireimmagini capovolte astronomico) oppurediritte (cannocchiale quelli terrestre o di Galileo) come neglistrumenti utilizzati topografici. Un cannocchiale è costituito essenzialmente da un obiettivo, un ocularee un reticolo. per semplicità, Consideriamo, sia l'obiettivo che l'ocularecostituiti da due lentisottili (vedi Fig. 5.a). Se l'oggettoè posto davantiall'obiettivoa una distanzad, molto maggioredel doppiodelladistanzafocale{ l'immagine reale,capovolta e rimpicciolita si formeràad unadistanzaq chevale,secondoI'equazione dellelenti: 1+1_1 dq f Se l'immaginefornitadall'obiettivo si formeràtra il primo fuoco e il centro ottico quest'ultimo dell'oculare, darà luogoa una secondaimmagineche risulteràvirtuale, diritta(e quindiancoracapovoltarispettoall'oggetto) e ingrandita. Variandola distanzatra obiettivoe ocularevarianosia la posizionedell'immagine dell'oculare sia il suoingrandimento. Nei moderni cannocchiali,l'obiettivoè un sistema ottico complessoottenuto dall'accoppiamento di più lentiche dannocome risultante una lenteconvergente, in modo da eliminare, gli effettidelle aberrazioni. o ridurreil più possibile, In genere, piuttostolimitato,è sufficiente essendoil campovisivodel cannocchiale correggere il cromatismo accoppiando una lentebiconvessa di vetrocrowncon una lentemeniscodivergente di vetroflint.

_l_d

_______1

0 __1*_[

Figura5.4 - Schemaottico-geometrico di un cannocchiale AncheI'oculareè compostoda più lentiche formanoun sistemaotticocomplesso convergente, le aberrazioni al finedi correggere di cromatismo e di sfericità dovutealla notevoleinclinazione giungono raggi luminosi dei che dall'obiettivo e al fattoche per ottenereforti ingrandimenti è necessario averedistanzefocalicortee quindicurvature dellesuperfici rifrangenti rilevanti. Le due o più lentiche formanoil sistemasonoposte a piccoladistanzafra loroe la lenterivoltaversoI'obiettivo è dettacollettiva. ll reticolorisultaindispensabile nei cannocchiali topografici in quantonei metodidi rilievoterrestre è necessario definiredelledirezioni nellospazio. ll reticolo, nellasua formapiù semplice, è costituito da un vetrinosul qualesonoincisi duesottilissimi trattia formadi croce(vediFig.5.5). 173

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

ll puntodi intersezione deiduefilimedianiindividua il centroC del reticolo. Una direzionegenericanello spazioè definitadalla rettache unisceil centrodel reticolo con il centro ottico dell'obiettivo:tale retta prende il nome di asse di collimazionedel cannocchiale. Collimare un puntosignifica far passareper il puntostessoI'assedi collimazione.

,'-I\

/-l\

F@ffi \L/ \T-l

r{l \ ll-l

---r-- \ ,/,--T-\ -f

/r

flì t'.-]-7

t\

fl-frrTl -r t/ \r \_E--'

Figura5.5- Esempidi reticoli di cannocchiali topografici Neicannocchiali a lunghezza costanteutilizzati neglistrumentitopografici, I'obiettivo e il (vedi reticolo fig.5.6)sonomontatia unadistanza fissasu un unicotubo. Tra I'obiettivo e il reticoloè montatauna lentedivergentemobile,dettalentecollettiva, montatain un tubo coassialeal precedente ed entroil qualepuò esserefattoscorrere mediante dall'esterno un dispositivo a cremagliera.

*À

Figura5.6- Schemadi montaggio di un cannocchiale a lunghezza costante Un terzo tubo coassialeporta I'oculare;questotubo può scorrerea vite o per attrito all'interno del tubo principaleper consentire lievispostamenti dell'oculare rispettoal reticolo. ll reticolonon è fissatoin modorigidosul tuboprincipale, ma I'armatura che lo portaè collegataad esso mediantequattro viti a contrastodiametralmente opposte che permettonospostamentimicromelriciorizzontalie verticali,più una quinta vite che consentedi porrei fili del reticoloperfettamente orizzontale e verticale(vedifig.5.7). ll reticolodeveesseremontatovicinoal fuocodel sistemaoculare.ll pianodel reticolo deve coinciderecon il piano sul quale si forma I'immaginereale generatadal sistemaobiettivo.

Figura5.7- Schemadi montaggio del reticolo t74

L--

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

CaP.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

piccoli può essereverificata collimando un oggettoed effettuando Questacondizione spostamentidell'occhiodavantiall'oculareosservandocon attenzioneun filo del D se il filorimanefermorispetto la condizione all'immagine, è soddisfatta; F se il filosembraspostarsi rispettoall'immagine nonsi ha perfettacoincidenzafrai pianidel reticoloe quellodell'immagine e la collimazione a un erroredi è soggetta parallasseai fili. ln questocaso occorremigliorareI'adattamento alla distanza dellalentecollettiva. agendosuglispostamenti dell'oggetto, ll sistemaobiettivo, in un cannocchiale costante,può essereconsiderato a lunghezza (12). (11) proprio veroe e dallalentecollettiva Se indichiamo comecostituito dall'obiettivo focaledel sistemaottico11,corì/zla distanza focaledellalente12,coh con /r la distanza f la distanzafocaledel sistemaotticocomplessivo formatoda lr e 12€ con A la distanza possono variabile farealcuneconsiderazioni circale relazioni che tra i sistemilr e lz,si intercorrono tra questielementi: F la distanza focalef puòesserecalcolata conla relazione f.f

D

) F F

t2l "f =-.!Y f't+ fr-L variabile; essendoA variabile, anchef risulterà il sistemadelledue lentilr e lz deveessereconvergente in quantosul reticolosi f > 0. reale,percuideverisultare devesempreformareun'immagine fz< 0 (12è divergente), il numeratore Essendofr > 0 (11è convergente)e della[2] positivo verificare la si dovrà sempre seguente sarà negativo;dovendoesseref d i su g u a g l i a n za : f.,+.f"-A f,-Vrl-A 20 + 25 m). Essorisultapari al rapportotra le distanze iperfocaledel cannocchiale i cannocchiali focali rispettivamente dei sistemiobiettivoe oculare.Abitualmente normaliche varianoda 20x utilizzalinegli strumentitopograficihanno ingrandimenti (strumenti finoa 40x. di bassaprecisione) La chiarezzadi un cannocchiale è definitacomeil rapportofra la chiarezzadell'oggetto visto attraversoil cannocchiale visto a occhionudo.Tale e la chiarezzadell'oggetto rapporto minoredell'unità. dell'obiettivo, b il diametro è generalmente Se D è il diametro visibiledel reticoloe / I'ingrandimento normaledel cannocchiale, la chiarezzarisulta essereespressa dallarelazione: D2 C = K' ----:-------;-

b' .I' La chiarezzadunque è direttamenteproporzionaleal quadratodel diametroutile proporzionale dell'ingrandimento. dell'obiettivo al quadrato e inversamente ll campo di un cannocchiale è rappresentato dall'ampiezza angolaredel cono che ha per verticeil centrootticodel sistemaobiettivoe per base il foro dell'anello che portail dando la distanza reticolo.Le case costruttrici definisconoil campodel cannocchiale il cannocchiale. Tantopiù è piccoloil campo trasversale che è visibilea 1 km attraverso tantomaggiore è l'ingrandimento. dalladistanzamassimaalla quale un La portata di un cannocchiale è rappresentata Per un singolocannocchiale non può il cannocchiale. oggettorisultavisibileattraverso dallachiarezzae dalle esseredefinitain quantola portatadipendedall'ingrandimento, Negli strumentitopografici(livelli),con il cannocchiale si dimensionidell'oggetto. devonocollimarestrumentimetricicome le stadie(astelungheda 1.5 m a 4 m con in metri,decimetrie centimetri o con codicia barre)sui qualisi devono suddivisioni letturedirettefinoal centimetro o ripresedi immagini effettuare con stimadel millimetro 176

tsl

-

I l I

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Cap.5 L A M I S U R AD E G L I A N G O L I

per operazionidi autocorrelazione dei codici a barre: nei normalicannocchiali la portataè di circa100m + 120m. topografici ln alcunistrumentitopografici (teodoliti) occorrecollimaresegnaliche materializzano un puntomedianteuna seriedi lineedel tipodi quelleutilizzate per la malerializzazione del centrodel reticolo(vedifig. 5.5).In questicasi la portatadi un cannocchiale assume scarsa importanzarispetto a un'altra caratteristica,detta potere risolutivo o separatore,per la quale due punti oggettodistintifornisconodue punti immagine anch'essidistintie perfettamente distinguibili solo quandola distanzalra i due punti immagine risultamaggiore di un certovalored. ll potererisolutivo è fornitodall'inverso di tale distanzad ed è un valorefinitoche costituisce una dellecaratteristiche di ognistrumentoottico.ll potererisolutivo è limitato (fenomenoper il quale a un da diversecause,ma principalmente dalladiffrazione puntiforme, oggettopuntiforme noncorrisponde un'immagine bensìuna seriedi corone circolariconcentriche chiaree scurealternate, dettafiguradi diffrazione). La sensibilitàdi un cannocchiale è rappresentata dall'angolo minimoformatoda due visualipassantiper due punti distinti,al di sotto del quale all'occhio,attraversoil piùseparati. cannocchiale, sembrache i duepuntinon risultino Considerando che il potereseparatore dell'occhio nudoè di circa60",la sensibilità di un cannocchiale risulta: = -60" = - _0.000291rad J^,,_ II

iój

dove / rappresenta l'ingrandimento complessivo del cannocchiale. In base al valoredellasensibilità, è possibiledeterminare la dimensioneminimadel segnalevisibileattraverso il cannocchiale in funzione Nel delladistanzadi collimazione. casodell'occhio umanonelquales" = 0.000291 rad,si ha pertanto: d " = 0 .0 0 0 2 9 1 .D , l 7l Quindiè possibile osservare a occhionudooggettidi dimensioni maggiorio ugualia circa3 cm a distanzenonsuperiori a 100m.

n7

Cap.5 DEGLIANGOLI L AM I S U R A

G. COMOGLIO E CARTOGRAFIA TOPOGRAFIA

5.4. LAMINAPIANOPARALLELA nei teodolitiè la lamina pianotticoche trova applicazione Un altro dispositivo parallela. circostante, Questaè costituitada un mezzodi densitàdiversarispettoall'ambiente (vediFig.5.9). pianee parallele da due superfici separato alla direzionedi la laminaed emergeparallelamente Un raggioluminosoattraversa i: di incidenza all'angolo di unaquantitàd proporzionale incideÀza spostato

I I I I I

Fig.5.9 laminapian-Parallela ABC: ilteoremadei senialtriangolo dallafig.5.9 risultaapplicando ,s COS T I.

\

sen\t-r)

*

,rn!

2

d,t -=sen(t- r)

cos r

semplificazioni: le seguenti Se i e r sonoangolipiccoli,si possonoeffettuare seni=i senr=r cos r =1 cos i=l s e n ( i - r ) = s e n i ' c o s r - c o s i ' s e n r = s e ni - s e n r

e quindi: d = s (seni- senr)= s sen{,-yo+) \

s e n i)

sen I

dove

sen r

= n = indice di rifrazione

a = , r ( l - 1 1 =s i n - | = k i \

n)

n

t8l

di incidenzai' all'angolo d risultadunqueproporzionale La traslazione pian-parallele sono ulilizzate(comesi vedrà in le lamine topografici Negli strumenti graduazione dei cerchi. di seguito)perla misuradellefrazioni

178

^E

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Cap.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

5.5. LE LIVELLE Le livellesono strumentisempliciche in topografiasono utilizzateper rendere orizzontale un asse o un piano,oppureper rendereverticaleun asse. Esse sono presentiin tuttigli strumenti topografici e dal lorocorrettoutilizzodipendein massima partela precisione del rilievo. Le livellepossonoesserecontrollate (livellesferichee livelle a vista dall'operatore (livellea coincidenza toriche)oppuremedianteopportuni dispositivi ottico-meccanici di i m m a g i n i ). 5.5.1.

LA LIVELLASFERICA

E' costituitada una fiala cilindricadi vetro, delimitatasuperiormente da una (v. fig.5.10)il cui superficie a calottasferica,che riportauno o più cerchiconcentrici il centrodellacalotta(centrodellalivella). centrorappresenta La fialaè riempitaparzialmente (alcool, da un liquidocon bassopuntodi congelamento benzina,eteresolforico, ecc.).Lo spaziodellafialache non vieneriempitodal liquido vienesaturatodai suoi vaporiche formanouna bollache, per effettodella gravitàsi disponesempre nella parte più alta della fiala. La fiala di vetro è contenutain metallica un'armatura che può presentare una basepianaquandola livellaè impiegata per rendere orizzonlaleun piano (come nel caso di tutti gli strumentitopografici), oppurepresentalateralmente un pianoo un angolareche consentono di fissarela livellaad aste che devonoesseredispostelungola verticale(palineda segnalazione, geometriche, stadieper livellazioni ecc.). Facendoriferimento allafig.5.10,l'assea-atangente allacalottasfericanel suocentro C rappresenta l'assedellalivella;il pianotangenteallacalottasfericanel suo verticeC è detto piano tangentecentrale;il raggior della calottasfericasi chiama raggiodi curvatura dellalivella. -r-'I --l

.....

-:-

ir"{i'*1 frr

-" -ì,

...

. i

iìil,},.1_" ":r r';'ll.j. +"'' .

i

1-.4

i

'ìi 1r ..iL.

Figura5.10- Schemageometrico dellalivellasferica dellalivellal'ampiezza Si definiscesensibilità dell'angolo di cui ruotaI'assedellalivella perlo spostamento dellabolladi 1 mm lungoI'arcodellacalottasferica. Le livellesfericheutilizzate in topografia hannovaloridi sensibilità superiori a 1'. quando piano perpendicolare livella rettificata Una sfericasi dice il tangentecentraleè all'asseb-b,cioèparallelo al pianodi appoggio dellafialadi vetronell'armatura. quandola bollarisultacentrataossiaquandosi inscrive In una livellasfericarettificata, perfettamente al centrodellafiala,il pianotangentecentralerisultaorizzontale. Se la r19

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Cap.5 L A M I S U R AD E G L I A N G O L I

quandola bollaè centrata,il pianotangentecentralesarà livellanon è rettificata, ancoraorizzontale, ma talecondizione nonvarràper il pianodi appoggio dell'armatura. Nei teodolitie nei livelli,la livellasfericavienemontatain aggiuntaa una o più livelle toricheaffidandoalla prima I'operazione di disporrein modo approssimato il piano (o orizzonlale I'asseverticale)agendosuccessivamente con la livellatoricaper affinare I'operazione. 5.5.2.

LA LIVELLATORICA

Una livellatoricaè costituita da unafialadi vetroquasicompletamente riempitacon alcool,etereo benzina, la cui superficie internaha la formadi unasuperficie torica. La parteinternanonoccupatadal liquidoè riempitadai vaporidel liquidoche formano una bollala quale,per effettodellagravità,si disponesemprenellapartepiù altadella fiala. ll puntodi intersezione C (vedifig. 5.11)dell'assedi rotazionea-a cen il piano 4 perpendicolare all'assestessoe passanteper il centrog del cerchiogeneratoredel toroidecui appartiene la fiala,rappresenta il centrodi curvatura dellalivella.ll pianoa passanteper il puntoC intersecala livellasecondol'arcoA8, dettoarcodirettore,con raggioc = CMcherappresenta il raggiodi curvatura dellalivella. -i1-{.t-t1."-,=-*.-*':

''

.ù : 41:

not.

{:r.,i..ìi t.,,--*-

pil

"':,*

ol

!1 ,f-

'

,1 , d

-i:l

*-

-i:

Ì.(

r ,i_t,O

F i g u ra5 .1 1- Schemadi unalivella tor ica La zonasuperiore dellafialaporlaincisaunagraduazione contrattia distanza costante (generalmenle 2 mm):ogni spaziocompresotra due trattisuccessivi vienedettoparfe. Le pafti sono dispostesimmetricamente rispettoal puntoM che rappresenta il punto centraledell'arcodirettore. La tangentef all'arcodirettorenel puntoM è dettatangentecentraledellalivellatorica. La fiala di vetro è racchiusain un'armaturametallicache presentauna base di appoggiopiana.L'armatura è fissataalla basedi appoggiomedianteuna cernieraa una estremità, ed è munitadi un dispositivo a doppiavite (Vr, Ve- vedifig. 5.11)di rettificache permettepiccolispostamentiorizzontalie verticalidella livellaall'interno dell'armatura. Le caratteristiche di unalivellatoricasonoquellegiàdefiniteper la livellasfericae cioè lapronlezzae la sensibilità. Se s rappresenta la dimensione dellaparte(2 mm)il valoredell'angolo corrispondente al trattodi arcodirettorecompresotra due trattisuccessivi graduazion della e varras/r e si chiamavaloreangolaredella parte. La sensibilitàdi una livellatorica è convenzionalmente espressacome il valore angolarecorrispondente a un trattodell'arcodirettoredi 1 mm. Essavieneespressa con la notazionea/b dovea indicail valoreangolaredellapartee b il valoredellaparte r80

L-

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

in millimetri. Ad esempiouna livellatorica,indicatacomeda 30"/2,avràuna sensibilità paria 15".Le livelletoricheapplicateneglistrumenti hannouna sensibilità topografici variabili da /'fino a pochisecondisessagesimali. Una livella torica è rettificataquando la tangentecentraleè parallelaalla retta d'appoggio. quandola mezzeria La bolladi una livellatoricasi dicecentrata dellabollacoincidecon il centroM dellagraduazione. Quandola bolla è centratala tangentecentralerisulta orizzontale. Poichérisultapiù facileindividuare i menischilateralidellabolla,ossia le sue parti estreme,la centratura dellabollaawienefacendoin modoche i due menischisiano equidistanti dal trattocentraledellagraduazione. La valutazione di questaequidistanza presenza graduazione è semplificata dalla della comesi può notareosservando la fig. 5.11. Descriviamoadesso le operazioninecessarieper rettificareuna livella torica e rendereorizzontaleun asse. Consideriamo una livellatoricanon rettificata(cioècon i piedinid'appoggio di allezzadiversa); la livellasull'asse m-m(vedifig.5.13) disponiamo lo stessoasseattornoal puntoO, centriamo e, ruotando la bolla. c)

F i g .5 . 1 3

-zè-te--

La tangentecentraledellalivella(f) saraorizzontale e formeràun angoloq conl'asse m-m che, a sua volta sarà inclinatodello stesso angolo a rispettoall'orizzontale. lnvertiamo ruotandola adessola livellasugliappoggi, di un angoloparia x. La bolla si sposta di una quantitàpari a n.s (vedi fig. 5.14) cui corrisponde un'inclinazione dellatangentecentrale di unaquantitàparia 2adovulaper metàal fatto per livella la non rettificata che è e la restantemetà al fatto che I'assem-m non è orizzontale. Dovremoquindiagiresullavite di rettifica dellalivellafacendoin modoche la bollasi punto quantitàpari verso il M,diuna sposti, a /zn.se ancora,per la restantemetà,sul segmento di appoggiom-mcentrando definitivamente la bolla.

F i g .5 . 1 4

_\\l-

-

$t \i! I

T

ln questomodootterremosial'orizzontalità del segmentodi appoggiom-m chela livella rettificata. r8l

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Cap.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

Le operazionida compierecon una livellatorica per rendereorizzontaleun piano sono invecele seguenti: un pianopuò essereindividuato da tre puntioppureda due rettegiacentisu di esso.Di presentano normagli strumentitopografici un supportodi base fornitodi tre razze dispostea 120",alle estremitàdellequalisi trovanotre viti calantiCt, Cz,Q (vedifig. 5.15). Le due rettea e b indicatein fig.5.15definiscono il pianodi appoggio dellostrumento. Affinchéquestopianosia orizzontale verificareche le due rettea e b, sarà sufficiente chegli appartengono, lo siano. I

Figura5.15- Livellatoricaper rendereorizzonlale un piano quantodettosoprasi procedenelseguentemodo: Ricordando F si disponela livellasecondodue viti del basamento(ad esempioCr e Cz)e si centrala bollacon motosimultaneo e contrario delledueviti; F si ruota la livelladi un angolopari a n nellaposizionee, come visto nel caso precedente, se la bollarimanecentratavuoldireche essaè rettificata, cioèche la suatangentecentraleè parallela al pianoda rendereorizzontale; per metàcon la vitedi rettificaVr F se la bollasi sposta,si correggelo spostamento e per metàagendonuovamente con motosimultaneo e contrario sulledue vitiCr e Cz.In questomodola rettaa risultacertamente orizzontale; F infinesi ruotala livelladi un angoloparia tr/2disponendola versolalerza vite del (Cs)e I'eventuale basamento spostamento dellabollasi correggeoperandosulla vite V3.A questopuntoanchela rettab è orizzontale e di conseguenza il piano checontienele rettea e b risulterà anch'esso orizzontale. Le operazioni appena descritte, servono anche per rendere verticale un asse (asse principaledi uno strumento)che è sempre perpendicolareal piano del basamento.

182

G .C O M O G L I O TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

5.5.3.

LA LIVELLATORICAA COINCIDENZA DI IMMAGINI Purnonessendopiùpresenteneimodernistrumentitopografici, descriviamo il principio di funzionamento di questa particolarelivella,in quantotrova applicazione negli strumenti otticomeccanici di altaprecisione che in alcunicasipossonoancoraessere utilizzati. Questo particolaredispositivopermetteuna maggiorecomoditàe una maggiore precisione in quantoil centramento mediantela coincidenza dellabollavienegiudicato di particolari trattiosservatimedianteun microscopio semplice.

Figura5.16- Livellatoricaa coincidenza di immagini Sullafiala,che nonriportaalcunagraduazione, è montatoun sistemadi prismi(vedifig. quale il risultavisibileall'operatore, la bolladivisaa metà in senso 5.16)attraverso longitudinale. La livellarisultacentrataquandole due metàdellabollacoincidono formandouna sola i m m a gi n e . L'erroredi centramento vale per una normalelivellatoricaagraduazionee=0.Ir/v"€ per la livellaa coincidenzadiimmaginee=0.06# in cui V = s€rìsibilità espressain secondisessagesimali. 5.6. LA BASETTATOPOGRAFICA Abbiamogiàaccennato a come,la basettatopografica, sia un dispositivo cheserveper collegarelo strumentotopografico al treppiede. Essaè compostada un basamentoe da una piastrabasculante il cui assettorispettoal basamentoè controllatoda tre viti calantidisposteai verticidi un triangoloequilatero inscrittonel basamento. ll basamentoviene rigidamentecollegatoalla piastra di appoggiodel treppiede mediante la vitedi fissaggio. La piastrabasculante serveda supportofisicoper lo strumento.Essaè dotataditre fori posti in corrispondenza delle viti calanti(oppuredi un unicoforo centrale)i quali perni (o I'unicopernocentrale) ospitanoi tre di cui sonodotatii basamenti di tuttigli ll centrodellabasettaè il centrodel cerchiopassanteper i centri strumentitopografici. dei tre fori (o del forocentrale). per rendereorizzontale La piastrabasculante è dotatadi una livellasferica,utilizzata la piastrabasculante piombino per stessa,e di un ottico consentire di disporreil centro dellabasettalungoIa verticalepassanteper un puntoa terra.Per gli strumentidotatidi piombinolaserla basettaè sprowistadi dispositivi per il centramento. L'operazionedi messa in stazione della basetta consiste nel raggiungere, sia la condizione di centramento contemporaneamente, dellalivellasia la collimazione 183

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Cap.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

attraversoil cannocchialedel piombinoottico del punto a terra su cui si vuole posizionare lo strumento.

Figura5.17- basettadi un teodolite 5.7. CONDIZIONI DI RETTIFICA DELTEODOLITE Nelteodolite (vediFig.5.18): i seguentitre si possonoindividuare assifondamentali (at) F asseprincipale o di rotazione dell'alidada F assesecondario (az) o di rotazione delcannocchiale D asseterziario (a3) o di collimazione delcannocchiale

Figura5.18- assifondamentali di un teodolite (basamento, Le tre partiche compongono un teodolite alidadae cannocchiale) devono in modotale che si realizzino geometriche, essereassemblate le seguenticondizioni dettecondizionidi rettificadel teodolite: 1. i tre assi fondamentalidevono avere come unico punto d'intersezioneil centrostrumentale; 2. I'asseazdeve essereperpendicolareall'assea1; 3. I'asseasdeve essereperpendicolareall'asseaz.

184

br--

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Cap.5 L AM I S U R A DEGLIANGOLI

5.7.1.

CONDIZIONE DELTEODOLITE OPERATIVA possamisurare gli angoliazimutali Perfar si che il teodolite correttamente e zenitali, In questasituazione, è necessario che I'assedr sia verticale. infatti,se lo strumento è rettificato, le seguenticondizioni: si realizzano giacein un pianoorizzontale D il cerchioazimutale giacein un pianoverticale D il cerchiozenitale F l'asse a2è orizzonlale F I'asseasdescrivepianiverticalipassantiper il centrostrumentale. 5.8. MESSAIN STAZIONEDELTEODOLITE Da quantovistofinora,sappiamoche il teodoliteè in grado,una voltaverificate le condizionidi rettificae realizzatala condizioneoperativa,di misurareun angolo azimutale cosìcomeè statodefinitoin 5.1. principale (ar)oltreal rispettodellacondizione L'asse o assedi rotazione dell'alidada di verticalità,dovrà anche passare per il punto di stazioneindividuatosul terreno. L'insiemedi queste operazionisi dice di messa in stazione del teodolite. La procedurache descriveremo in seguitoè consigliabile agli utenti "poco esperti" nell'uso delteodolite: malerializzato il puntodi stazionea terra,si procededapprimacon la messain stazione di un treppiedee di una basettatopografica dotatadi livellasfericae di piombinoottico; questaoperazioneconsistenel far si che il centrodella basettasia posto all'incirca sulla verticaledel punto a terra e che il piano d'appoggiodella basettastessasia Agendosulletre viti calantidellabasettasi collimapoi con il all'incirca orizzontale. piombino otticoil puntoalerra. A questopunto la livellasfericadella basettasarà certamentescentratae quindi,si procederà variandoopportunamente al suo centramento la lunghezza delletre gambe per scrupolo,che il piombinootticocontinuia collimare del treppiede. Si controlla, il puntodi stazionea terra.Se la collimazione è tropposcadente,si ripetedaccapola proceduraprimadescritta. quindiil teodolitenellabasetta:in questacondizione Si inserisce I'asseprincipale del teodolitesi troveràsullaverticaledel puntodi stazionea terracon la precisionetipica dellalivellasfericadellabasetta. Successivamente, si perfezionala verticalità dell'asseprincipalemediantela livella procedure già viste nel paragrafo5.5.2. torica montatasull'alidadaseguendole le tre viticalantidellabasettacheoraforma,conil teodolite, utilizzando un corporigido. Al terminedi questeoperazioni, il centrostrumentale del teodolitesi troveràsulla verticaledel punto di stazionea terra con la precisionepropriadella livellatorica ulilizzala.

r85

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

5.9. MEZZIDI LETTURAAI CERCHINEGLISTRUMENTI OTTICO.MECCANICI Abbiamogià dettoche il cerchioorizzontale mentrei relativi è solidaleallabasamento, indicidi letturasonosolidaliall'alidada; il cerchioverticale è solidaleal cannocchiale, ei relativiindicidi letturasono interniall'alidada. I cerchigraduatisono di vetroottico;la graduazione, finissima(lo spessoredei trattiè dell'ordine di 1/10o 1/100pm),è incisa ll direttamentesul vetro, o riprodottafotograficamente. raggiodi talicerchivariada 4 ad 8 cm. L'osservazioneai cerchi si esegue con microscopi composti,il cui percorsoè notevolmentecomplesso; all'interno del teodolitesi trovanodei prismiche portano le immaginidei cerchinel cannocchialetto di lettura,e la specchiche illuminanoi cerchistessi,convogliando luceesterna(vedifig.5.19). i gradi e le frazionidi grado Si leggonodirettamente incisesul cerchioe si valutanole frazionidi intervallo secondodue modalità: F mediante conteggio o stima(strumenti a stima) > mediantemisuradella frazionestessa (strumenti micrometrici). F i g .5.1 9i l l u mi n a zi o en el e ttur a delcer chio LETTURAA STIMA

5.9.1.

il portoghese Nunesed il francese ll nonio (o verniero,dai nomidei suoiinventori, più per graduazione. Vernier)è il anticosistema stimareun intervallo di (vediFig.5.20)applicato ll noniocircolare è costituito da un settoredi coronacircolare a questo,sul quale è riportatauna al lembo del cerchiograduatoe concentrico graduazione con originein 0 e crescentenel sensoconcordecon quelladel cerchio. Indicandocon n il numerodegli intervalli dellagraduazione del nonio,ognunocon (nvalore1 la sua ampiezzatotaleè n /e abbracciaun arcodel cerchiocomprendente 1) parti,ognunacon valoreL > l, di ampiezzaquindipari a (n - 1) L; poichéle due ampiezzesono ugualisi avrà: n.t=(n-t) r

tel

F igur a5.20- nonio la (9)si avrà: Sviluppando L-l=a

T

n

L -lrappresenta I'approssimazione La differenza del nonio. 186

[10]

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Cap. 5 L A M I S U R AD E G L I A N G O L I

L'indicedi letturaè la taccastessache individua lo zerodellagraduazione del nonio;si leggonodirettamente le partiinteresul cerchiograduatoe la porzioneresiduasaràpari per il numerodi parti che portanoalla all'approssimazione del nonio,moltiplicata principale. coincidenza di un trattodellascaladel nonioconunodellagraduazione

fettura = 289on,72

Figura5.21- letturacon il nonio ll noniocosìdescrittonon è più utilizzatonei teodolitiottico- meccanici, ma se ne è parlato in quanto negli strumenti elettroniciattuali viene spesso ulilizzatoun meccanismo principale di stimadellapartefrazionaria dellagraduazione che è simile. Un sistemache permettedi aumentare la precisione di letturaè quelloche utilizzaun per ingrandire microscopio l'intervallo tra due tratticonsecutivi dellagraduazione del parti cerchio.La letturavienefatta leggendole interedi angoloche precedonoI'indice di letturae stimando, solitamente, comepercentuale cheviene tradotta mentalmentein termini di frazioni di angolo, la porzione residua(vediFig.a fianco). Dato,per esempio,un cerchiograduatodi 10 cm di diametro, suddivisoal decimodi grado centesimale, esso avrà 4000 tra ttiu n ifor memente distr ibuiti sui 100"3.14=314 mm dellas ua circonferenza, con un intervallo tra trattoe trattodi 314/4000= 0 .0 7 8 mm . lettura= 21,son64 Con I'osservazione ad occhio nudo non sarebbepossibile alcun apprezzamento dellafrazionedi grado. inveceun microscopio Utilizzando compostoa 30 ingrandimenti, I'intervallo apparente =2.4 risultadell'ordine di 0.078.30 mm, il cui decimopuò esserefacilmentestimato; l'approssim azionedellaletturadel valoredi 0.01son risultacosìgarantita.

letturazenitale: 94,065 letturaazimutale:214,965

ll microscopioa scala (vedi Fig. a fianco)è una variante del metodo precedente.ll microscopioè dotato di un reticoloformato non solo da un tratto bensì da una scala graduataa tratti equidistanti. La lunghezza dellascaladel reticoloè pariall'intervallo tra due tratticonsecutivi del cerchiograduato. Solitamente l'intervallo dellagraduazione è di leone la scalaè divisain 100 parti,per cui un solotrattopuò caderenell'intervallo dellascala. L'indicedi letturaè rappresentato dallo stessotratto della graduazione.La lettura è pertantopari alla sommadel valoredellascalaprincipale e quelloletto sullascaladel reticolo. Conquestosistemaè possibile la letturasinoal centesimo di gon. 187

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

5.9.2.

Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

MICROMETRICI STRUMENTI

Nei sistemidi letturain cui si ricorreai micrometri viene sfruttatala sensibilità dell'occhio umanonel realizzare un puntamento o la coincidenza di due tratti.L'occhio umano ha la proprietàdi aumentareil potere separatore di circaquattrovoltequandodebbastimare la coincidenza di due trattio la bisezionedi un tratto all'interno di altridue. Le letturepossonoawenireper bisezioneo per coincidenzadi immagini. Questi sistemi sfruttanole proprietàottiche di una lamina piano parallela(vedi par. 5.4.), posizionata lungo il camminoottico di letturadei cerchi che, mediantela sua rotazione,sposta I'immaginedel cerchio fino ad ottenere una coincidenzao una bisezione. NellaFig.a fiancosi illustraun esempiodi lettura(con l e î l u r a o r i z z o n l a l e :1 3 4 , 3 1 8g o n micrometroottico) per bisezione dei tratti della graduazione del cerchio.ll reticoloè costituito da due fissiche normalmente trattiparalleli intermedia internaad un cadonoin una posizione principale trattodi graduazione del cerchio. Manovrando opportunamente la laminapiano- parallela,si spostaI'immagine del cerchiofino ad ottenerela bisezionedei due trattifissidel reticolocon un trattodella graduazione principale. La rotazione, corrispondente a questospostamento, si leggerà gon. micrometro in frazioni direttamente sul di ll sistemadi letturaa coincidenza d'immagine è statoideatoda Wild e oggiè impiegato sullatotalitàdei teodolitiottico- meccanici di altaprecisione. Nel campo di lettura del microscopiovengono riportate,attraversoun opportuno percorsoottico,le immaginidellegraduazioni del cerchiodi misuracorrispondenti a posizioni visibilie diametralmente opposte,in modoche risultino contemporaneamente (vediFig.5.25). In generele due immagini confrontabili. sonosovrapposte e capovolte I

l'u *l rr€

't40

0rt i

141

lettura140.son4235

prima della coincidenza

dopola coincidenza

Figura5.25- microscopio a coincidenza d'immagine è inseritauna laminapiano- parallela, che Sul percorsodi ognunadelledue immagini regolain modoche la rotazionedi una sia un semplicemeccanismo ad ingranaggi ugualee di versooppostoa quelladell'altra. noncombaciano. Normalmente le due scalechesonoaccostate specularmene,

r88

.ì--.--

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

CaP.5 L A M I S U R AD E G L I A N G O L I

Se ad esempiosu quellache si leggedirittavediamola taccadi un angolointerosu più quellasuperiorecapovoltaI'angoloche si dovrebbeleggere(cioèil precedente I'angolopiatto)non è perfettamente in coincidenza; ciò in quantoè rarofare una lettura infattiil doppio esattaall'angolointero.La distanzafra questedue taccherappresenta parte frazionariadella lettura da stimare che, sommata alla parte intera, della la letturaangolarecorretta. costituisce Permisurare(e non stimaread occhio)questapartepossiamodeviareil percorsoottico la rotazionedi di entrambele semi- immaginisinoa portarlea coincidenza, atlraverso - parallele. piano unavitechecomandala rotazione contemporanea delledue lastre ll risultatoè che ad un apparente in un sensodell'immagine spostamento orizzontale in senso oppostodi quellasuperiore inferiorecorrisponde un egualespostamento capovolta.Lo spostamentoche realizzala coincidenza,corrispondente a metà del più piccola va lettura intera trattoancorada stimare, sommatoalla della suddivisione principale che si leggedirettamente sul cerchioanchesenzaI'aiutodi un indicedi lettura.Questo indice di lettura potrebbeinfatti anche essere omesso, perché è evidentequaleincisione dellagraduazione dirittacoincidacon quellasuperiore su un più angolo grandedin. Anchequi, come nel caso precedente, la rotazionedellelaminepiano- paralleleè in un valoreangolarelettosu una secondascalamicrometrica visualizzata trasformata accantoallascalaprincipale.

rrttlttttlttt

lettura 105,son8224

lettura 147,son2536

Fig.5.26- esempidi letturaa coincidenza di immagini Altrecase costruttrici anzichéulilizzarequestometodoinseriscono sul percorsoottico, che provienedai lembioppostidel cerchio,dellecoppiedi cuneiotticiemisimmetrici traslabiliin altezza. Lo spostamentolineare tra le facce prospicientiquesti cunei si traduce in uno spostamento angolareugualee contrariotra le porzionidi cerchiovisualizzate dirittae capovolta. La sensibilità dellamisuraè intesacome la più piccolafrazionedi gon leggibileallo può essereparia una frazionedi 0.0001gon neiteodoliti strumento; di altaprecisione (s < 0,1 mgon). La precisione, intesacomesensibilità rapportata al fondoscalastrumentale, nel caso, qg = 2.5.10I . ad esempio,in cui s siaparia 0,1 mgonsarà di 'p = 400 nonè ancorastataraggiunta con i moderniteodoliti digitalia cerchio Questasensibilità codificato. E da metteretuttaviain evidenzacomela precisione di misuraangolarenon coincida con quelladi letturaper la presenzacongiunta di numerose altrecausedi errore,che vedremoin seguito. 189

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

DI LETTURAAI CERCHINEGLISTRUMENTI ELETTRONICI s.1O.MEZZI I metodidi misuraelettronica degliangoli,vengonospessoclassificati secondola dallemodalitàcon cui vengono tecnicacon cui vengonolettii cerchie di conseguenza incisi. Vi sonoteodolitielettronici cerchicodificatiche permettono di conoscere che utilizzano posizione goniometro, lettura la di all'interno del e automaticamente assoluta dell'indice quindidellaletturazerodellostesso,ed altriche eseguonola letturaa cerchigraduati, di misurareuna posizione angolarerelativarispettoad una che in genereconsentono precedente. Nel primocasoawiene una misuraassolutadelladirezione angolaree nel secondo una misuraincrementale. è basatasullemodalitàdi misuraangolare:questapuò Una secondaclassificazione Nelprimocasoil cerchiorimane,comein un awenirestaticamenteo dinamicamente. caso il cerchiosubisceuna teodolitetradizionale, solidalealla base,mentrenell'altro ma è prodotta rotazione da dei micromotori continuamente che nonè quelladell'alidada attividurantela misura. codificatao graduata(si può Parliamoprimadi alcuniconcettisullaletturaelettronica, tipi di teodoliti chiamarein sintesiletturadigitale)per poi entrarein meritoa particolari elettronici o stazionitotalied ai relativisistemidi lettura. siamoin ogni caso in presenzadi strumentidel tuttosimilia quelli Come anticipato, codificatao numerataè cerchi di cristallosui quali la graduazione, tradizionali, con processidi fotoincisione. ottenutaancoraattraverso 5.10.1. LA LETTURAASSOLUTA I'intera circonferenza sullaquale ora di distendere su un trattorettilineo Supponiamo (Fig. particolare graduazione il Definiamo 5.27). su un'origine dell'incisione incisa una è = dellacirconferenza) c Znr. valorezeroe sullafine la lettura(sviluppo la letturadigitaledel cerchio. Cerchiamo di capireconqualimezzi,comesaràpossibile

c :2nr

Figura5.27 Principio dellaletturaassoluta di dividerequestotrattolungoc in due parti.Una partesia anneritain Supponiamo Cosìsi è operatauna mododa renderlaopacaalla luce e I'altrametàsia trasparente. queste per due del cerchio.Lo spessoredi primasuddivisione righeopachesia di qualchedecimodi mm,cosìche in pochimm se ne possanodisegnare ad esempio16 o 32. Nellariga successivasi dividalo stessointervalloc in quattropartie si anneriscano di fare la stessaoperazione due di questequattroparti.Supponiamo alternativamente in 8 partied ancorain unaquartarigaove le suddivisioni in unaterzariga,dividendola s a r a n n o1 6. parallele, qualsiasi vi supponiamo In una posizione del cerchio,su questesuddivisioni questi, sull'altrafacciadel cerchiodi cristallo,una sianoquattrofotodiodie di frontea di doverfare una letturaquandoquestifotodiodisi sorgenteluminosa.lmmaginiamo trovanoad esempionellasezioneA-A. 190

L.

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Cap.5 DEGLIANGOLI L AM I S U R A

Leggendoi segnalidi luce e di buio provenienti dai fotodiodipossiamo,in modo assoluto,anchese con una precisioneabbaslanzascarsain questoesempio,sapere dove si trovanoi fotodiodirispettoal cerchio,cioè all'internodi questa banda che abbiamodisteso. Nelcasoesaminato in figurai fotodiodi il passaggio che permettono dellaluce,ognuno a secondadellapresenzadi una zona trasparente od opaca,segnalanoil primola presenza di unazonascura(0),il secondola presenza di unazonachiara(1),il terzola presenza quarto quella (1). zona di una il scura(O) di unazonatrasparente è, in linguaggio Questorisultato binario,il numeroequivalente allaletturaangolare. Possiamoinfattirendercicontoche attraversoil primofotodiodosiamoin gradodi dire cheeseguiamo unaletturaminoredi clZ. Con il secondofotodiodopossiamodire che la letturaè maggioredi cl4 ma sempre minoredi cl2.Conil terzosi puòdirecheè maggiore di 2cl8ma è ancheminoredi 3cl8 e con il quartofotodiodo si puòdireche è maggiore di 5cl16maancheminoredi 6cl16, quindinell'esempio la letturaangolarefinale,essendoc = 400 gon, sarà un numero g o n m a g g io re di 125 e mi n o red i 150gon. In manieraapprossimata siamo ora grado di fare questelettureangolari;I'errore massimoin questoesempiopoco realistico, è la metàdellapiù piccolasuddivisione, cioè+12,5gon:è chiarocheunaletturaangolare conerrorecosìaltoè insufficiente. Occorreora scendere dalprincipio di funzionamento allapraticaapplicazione. Non è possibileaumentaredi molto,per problemifisici di spazio,il numerodei fotodiodi,come pure non si può suddividereall'infinitola larghezzadella corona circolare del cristallo. Questosistemadi misuraassoluta,come pure quello incrementale avrà bisogno necessariamente di un secondosistemadi letturafine, che permettacioè la letturadi frazionidelle più piccoleparti interenellequaliè suddivisoil cerchio,in analogiaa quantoawenivaneiteodolititradizionali colsistemamicrometrico. Dei sistemimicrometrici più avanti,un cennose ne fece di letturadigitaleparleremo parlando del nonio,peroraci bastisaperechesononecessari. Abbiamoparlatodi letturadigitaleassoluta del cerchio,in questocasoinfattiè possibile sapere esattamentedove si trova I'ipoteticalettura di zero rispetto all'asse di c o l l i m a zi o n e . 5.10.2. LETTURAINCREMENTALE. Supponiamo di suddividere il cerchioin un certonumerodi partiche possonoessere spintesinoad una suddivisione minima(comuneanchenei cerchigraduatitradizionali analogici), ad esempioad 1/10di gon e supponiamo che non esistauna numerazione ma che esista una piccolasorgentedi luce sopra una zona dei cerchi (la zona dell'indice di letturadigitale). Sottoquestae sottoil cerchioun fotodiodo,sensibileal passaggiodellaluce,trasmette ad un circuitoelettronico i segnalidi chiaro-scuro di conteggio che,durantela rotazione passati dell'alidada, sono a causadei trattitrasparenti allalucee dei trattiopachi. Questoindicedi letturaper conteggio è solidaleall'alidada e misuracosìla rotazione tra il sensoreed una posizioneconvenzionale del cerchioche è solidalecon il basamento. (perchéassumead Si è in gradocioè,a partireda questozerodel tuttoconvenzionale, esempiola letturazeroall'accensione il numero strumentale) di sommareo di sottrarre di volteche il sensore"vede"unodi questipassaggitra il chiaroe lo scuro. qual'èla direzione Unodei problemi è capireautomaticamente di sommae qualequella questi di sottrazionedi conteggi,ad esempio I'orariadi somma e I'antiorariadi l9l

G. COMOGLIO E CARTOGRAFIA TOPOGRAFIA

Cap.5 LA MISURADEGLIANGOLI

sottrazione,in altri terminioccorrecioè capire qual'è la direzionedi rotazionedel cerchio. più sensoria fotodiodo,sfasatiangolarmente di quantitànote, Ciò si risolveutilizzando cioè postiin partidiversedel cerchio.Avendocollocatoattornoal cerchiopiù fotodiodi dell'alidada, con un certosfasamentonoto,a secondadellarotazioneorariao antioraria primao dopoI'arrivo dell'analogo segnale un segnalearrivasul trattoopacoo luminoso provenienteda altri fotodiodia secondache si ruoti I'alidadain senso orario od La sequenzadi trattitrasparenti ed opachiha cioèun certoordinese si ruota antiorario. in sensoorarioe I'ordine inversose si ruotain sensoantiorario. In generetutti i metodidi letturadigitaleusanopiù seriedi fotodiodidispostiin parti diversedel cerchio. quellodi deicerchigraduati: Vi è poi il problemaidenticoa quellodellaletturaanalogica dellamisuraangolarepiù spintadellaminima saperarrivaread una approssimazione servecioèun interpolatore. suddivisione; incisasu un da una secondagraduazione ll sistemainterpolatore è in generecostituito per le misure piccolovetrinodi cristallosolidalecon I'alidada(o con il cannocchiale principale in prossimità del sensoreottico,in modo zenitali)interposto allagraduazione tale che la luce,passanteper il cerchioe questasecondascalaproducadellefrangedi interferenza. Questevengonolette a loro volta con altri sensoridigitali(CCD) che i livellidi grigiodellefrangecosìprodotte. ricevono e misurano A secondadella serie di livellidi grigiodella figura di interferenzache è un tratto "rn",(ad esempiodi 16m,32m),o abbastanza ampiorispettoalle minimesuddivisioni per megliodire,a secondadellaposizione dei livellidi dei livellidi grigioe dell'intensità grigio,si ha la possibilità sullaquale all'interno dellaminimasuddivisione di interpolare cadeI'indice di lettura. in formadigitalee viene Questoawiene in quantoil segnaleotticovieneconvertito cosìosservatacon una sensibilità misuratolo sfasamentoA0sarà0p=K se Xp > 0 e Yp< 0 sarà0p= n - K se Xp < 0 e Yp< 0 sarà0p= 7r+ K s e X p< 0 e Y p> 0 s a r à0 p= 2 n - K S€Xp= 0 e Yp> 0 sarà0p= 0 S€Xp=0eYp 0 e Yp= 0 saràQe=nl2 SeXp < 0 e Yp = 0 sarà0e= 3nl2

rtvr at

OwiamenteSe Xp e Yp soho entrambenulle,non sarà possibiledefinirealcuna in quantoil puntoP coincide soluzione conI'origine delsistemapolare. L'angofodi direzionedi una semirettaorientataè una grandezza di grandeutilitànello sviluppo deicalcoliin topografia e in cartografia. Si definisceangolo di direzionedella semirettaorientataPA, la rotazioneoraria che la parallelaall'asse Y del sistema cartesianopassanteper il punto P deve compiereper sovrapporsialla semirettaPA. Esso viene indicatocon la notazione(PA). Osservandola fig. 9.3 è facilenotareche l'angolodi direzione(PA) coincidecon polarecheabbiaoriginein P e asse l'anomalia del puntoA, in un sistemadi riferimento polareparallelo all'asseY delsistemacartesiano. quantodefinitodallerelazioni[3], I'angolodi direzionesarà dunqueuna Ricordando quantitàsemprepositivae convalorecompresotra0 e 2n. L'angolodi direzionedellasemirettaPA può esseredeterminato se si conosconole coordinate cartesiane dei due puntiP e A.

289

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo9 RILIEVODI DETTAGLIO

Fig.9.3 - Angolodi direzionedi una semirettaorientata Risultaa questopunto immediatoricavarela formulaper il calcolodell'angolodi direzione(PA)e delladistanzaPA noteche sianole coordinate cartesianetotaladip e di A. ( PA ) = orrron* o * '

Yo-Y,

l4l

AB=m

l5l

OwiamentepoichéI'angolodi direzioneè una anomaliaoccorreconsiderare in quale degli otto casi elencatinella [3] si sta operandoper poter determinareil valore dell'angolo di direzione secondola definizione dataprima. Se si ulilizzaExcelper il calcolodell'angolo di direzione, è sconsigliabile I'usodella funzioneARCTANperchèfornisceil valoredell'arcotangente -n/2,+n/2e nell'intervallo bisogneràpoi "sistemarlo" secondole regole[3]. E invececonsigliabile la funzione ARCTAN.2 conquestasequenza di operazioni: D calcolodi Ax = Xn- Xp D calcolodi Ay = Ye- Yp F calcolodi (PA)= ARCTAN.2(A';Ax) (ATTENZIONE:I| primoterminedellafunzioneè ay e ir secondoè ax) la funzione ARCTAN.2 restituisceun valore angolareespresso in radianti compresolra -n e +7rcon esclusionedi -r e supponiamoche questovaloresia caricatonellacasellaB2Sdelfoglioelettronico. ll valoredell'angolo (PA),che rispettaautomaticamente di direzione la definizione data,si otterrà{tivqndo la seguentefunzione(neflacasellaB2Gad esempio): =SE(825>0;825;2.Pl.GRECO0+825). Naturalmentequesto valore è sempre espresso in radianti. Esercizio: calcolare I'angolo (PA)neiseguenti di direzione casi: = X p= 1 2 3 .4 9m X n 1 0 3 ,4 1m ( PA)= 369s,1695 Y , = 1 4 4 .3 5 m Y i = I 8 2 ',5 2m

=32s'0578 (PA) x:--33?'12n Xn = 62,62m Ya=37,24m

(PA)= 232s'8992

=1.5s,es86 íl =iliS',.'1 (PA) 290

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

RrLrEVo DrD?T+î31îo ( PA)=AICÍANXN-X' Yo -Y,

pe = ^l( X o - x, )' + (Yo-Y, )'

(PA

X l Ya

lml calcoli.,',' , -20,08 aX = [m] 38,17 aY = [m] (PA)= [rad] -0,484284 5,7989018

ì..1 iìiì i:ììiìiì \ì:ììi.ì i.ìi:li"r Àlìi.l ìr:,,1Jlii:ìii.ì .-i,l ' iì il I r:ììiì:ì:'t.lì:ìlìì.;ì i-rl

*s.ùLiti (PA)= 369,1696 PA= 43,13

9.3. ANGOLOPIANO la rotazioneoraria che una Si definisceangolopianotra due semiretteorientate, con la secondasemirettaper semirettadeve compiereattornoal puntodi intersezione sovrapporsi a quest'ultima. questeultime La fig. 9.4 rappresenta due semiretteorientateAB e AC non parallele; individuano nelpianodueangoliesplementari. in topografia Per indicarein modounivocoa qualedei due angolisi fa riferimento, si la regola individua I'angolo rotazione definita dal usa che come oraria dellasemiretta "punto di stazione"(A) e dal "punto indietrd' (B o C) fino alla sovrapposizionealla semirettadefinitadal"puntodi stazione"(A) e dal"puntoavanti"(C o B).

Fig.9.4- Angolopiano 291

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo9 RILIEVO DI DETTAGLIO

Nel caso della fig. 9.4, se il punto B è consíderato"pLtntoindietro'éil punto C è "puntoavanti",l'angolo considerato definitosecondola regolaprimaespostasarà dato indietro""punto dallasequenza"punto di stazione""puntoavanti"e quindisarà I'angolo acutoBAC. Se il punto B è consideralo"punto avanti'éil punto C è consideralo"punto indietro", I'angolodefinitosecondola regolaprima espostasarà dato sempredalla sequenza "puntoindietro""puntodi stazione""puntoavanti"equindisarà I'angoloGAB. Per meglio comprendereil significatodi "stazione","indietro"e "avantl' attribuitoai vertici,si adottala regolache vede un operatore(topografo)posizionatosul "verticedi stazione"(punto A) che guarda secondola bisettricedell'angolopiano che vuole misurare;il verticeche sta alla sua sinistraè definitocome"puntoindietrd'eil vertice che sta sullasuadestraè definitocome"puntoavantl'.Regolainfallibile. L'angotoazimutale(ad esempioBAC) si può pensareanchecome differenzadi due angolididirezione:

Fig.9.5- Angolopianoe angolidi direzione

=( AC)-(AB)= orrronlt-Io -or6onffi BAC

9.4. TRASPORTODEGLIANGOLIDI DIREZIONE per il calcolodellepoligonali, Premessafondamentale è la comprensione di comesi propagano gli angolidí direzionelungouna spezzata. la spezzatadi fig.9.5 costituita Consideriamo da n verticiP1,P2,...Pn

Figura9.5- Trasporto lungounaspezzata degliangolidi direzione Si deve pensarela spezzatadotatadi un versodi percorrenza, ad esempioda Pr a Pn,in modoche, gli angoliazimutalimisuratiin tuttii vertici,sianosemprequelliche 292

t6l

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo9 RILIEVO DI DETTAGLIO

permettono di sovrapporre un latoal successivo medianteuna rotazioneoraria(in figura C[2, C[3... Cln).

noto il primoangolodi direzione(PrPz),potremoverificare, Se consideriamo anche graficamente, che I'angolo di direzionein un vertice qualunque(P;) si ottiene sommandoall'angolodi direzionedel verticeprecedente(Pi-r)I'angoloazimutale misuratonel vertice(qi);se la sommadei due terminiè maggioredi rubisognerà sottrarre& se la somma dei due terminiè minoredi n bisogneràsommareft. Nelcasodellafigura9.5 avremo: ( P z 4) = ( 4 P z) + u r - n ( 4 P 4 ) = ( P z P)s+ u t - n

9.5. TRASPORTO DELLECOORDINATE LUNGOUNASPEZZATA la spezzata Consideriamo difig.9.6costituita sianonoti: da n verliciPr, Pz,...Pn, } gli angolidi direzionedi tuttii latidellaspezzala; F l e lu n g h e zze d i tu ttii l a ti1 112, , ...,In; F le coordinate cartesiane Xr, Yr delprimovertice. Vogliamo determinare le coordinate cartesiane di tuttii rimanentivertici. Come prima cosa si determinanole coordinateparzialidi ciascunverticerispettoal precedente usandole [1]. Xr = rìoto Yr = noto = Xz lr Sen(P1P2) 12= 11cos(PrPz) 17l Xs = lz sen(PzPs) Ys= lzcos(PzPe) Quindisi procedeal calcolodellecoordinate totalidi ogni verticeche, come risulta facilmente verificabile la fig. 9.6, risultanoesserepari alla sommadella osservando parziali coordinate totalidelverticeprecedente e dellecoordinate delverticein esame: Yr = noto Xr = Doto Xz=Xt+Xe Y z = Y t+ Y z t8l Xs=Xz+Xs Ys=Yz+Ye

Figura9.6 - Trasportodellecoordinate lungounaspezzata cartesiane

293

G. COMOGLIO E CARTOGRAFIA TOPOGRAFIA

Capitolo9 R I L I E V OD I D E T T A G L I O

9.6. LE POLIGONALI La poligonale le è una operazione topografica classicache permettedi determinare tra loromedianteuna coordinateplanimetriche(X,Y)di una seriedi vertici,collegati quellachiusae quellaaperta. Descriveremo spezzala. duetipidi poligonale, possonoancheessereutilizzale Comeavremomododi chiarirein seguito,le poligonali perle operazioni di inquadramento di un rilievotopografico. 9.6.1.POLIGONALE CHIUSA La poligonalesi dice chiusase la spezzalache collegatutti i verticisi richiudesul puntodi partenza. il casopiù generale di unapoligonale chiusadi 6 vertici(vediFigura9.7) Consideriamo tutti di coordinateincognite.La primacosa che occorrefare è fissareun sistemadi riferimentolocale.Come abbiamogià visto a propositodelle reti di inquadramento questaoperazionerichiededi fissarele coordinatedi un punto della planimetrico, poligonale e I'angolo di un suolato.Solitamente si fissal'origine delsistema di direzione in un verticee si disponeun suo latolungoI'assedelleX del sistemadi di riferimento riferimento. Nel casorappresentato in Figura9.7, abbiamopostoI'originenel vertícePr, e abbiamo impostoche il latoPrP2siacoincidente conl'assedelleascisse. il puntoPr àssufit€ràle coordinateXpr = 0, Ypr = 0 e il vertice ln terminidi coordinate, PzavràcoordinataYpz= 0. Yî

P3

locale Fig.9.7 - Poligonale chiusae sistemadi riferimento ll rilievodi una poligonale richiedela misuradi tuttigli angoliazimutali e di tuttii lati quindi a1,o'2,...q6 ilati lr, lz,...lo Nel nostro misurare e dellaspezzata. esempiodovremo p e ru n t o t a l ed i 1 2 mi su re . planimetriche Le incognite del nostroproblemasonole coordinate di tuttii verticidella e sonoquindi9 in totale spezzalamenoquellegià fissatecon il sistemadi riferimento (Xz,Xs,X+,Xs,Xo,Yg,Y+,Ys,Yo). che,indipendentemente dal numerodeiverticidellaspezzata e daltipo Si puòverificare (chiusao aperta),il numerodi misureeseguiteè sempremaggiore di tre di poligonale paria tre. rispettoalleincognite. Si dice"esuberanza" quindidi compensare le misuree di ricavarei valoripiù plausibili Questofattopermette delleincognite. 294

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo9 DI DETTAGLIO RILIEVO

Le poligonalipossonodunqueesseretrattatenellostessomododescrittonel capitolo4 di questedispense. (sempree solo La modestaesuberanza dellemisurerispettoal numerodelleincognite pari a tre) e la particolaregeometriadel rilievo, rendono lecito un calcolo di ne "semplificato"detto"compensazioneempirica". compensazio Le coordinatedei verticidella poligonale,ottenutein questo modo, sono del tutto equivalenti a quelleottenibili conunacompensazione rigorosa ai minimiquadrati. non permetteperòla stimadellaprecisionedei risultati,né Questocalcolosemplificato la possibilità di individuare misureaffetteda errorigrossolani. Vediamolo nel eventuali dettaglio. Cominciamo conle misuredegliangoliazimutali. È notodallageometria che la sommadegliangoliinternidi un poligono di n latiè paria (n-2).re questovalorenoncoinciderà(a causadeglierroriaccidentali di misura)con la sommatoriadegli angolimisurati,indicataconIa. La differenzalra questidue valori viene detta erroredi chiusuraangolare. ò o= E c r- ( n - z ) - n tgl per la misura Se o, è lo scartoquadratico mediostrumentale del teodoliteutilizzato generica degliangoli,è notoche si ha il 99%di probabilità L che la direzione azimutale sia compresain un intervalloL t 3o". Ciascunangoloazimutaleè ottenutocome differenza di due direzioni misurate(a= L6 - lsvedi Fig.9.a)e quindi,come azimutali noto,ol =oÎ + o? =2o? e lo s.q.m.dell'angolo misurato saràparia oo = J2o, Se n sonogli angolimisurati, tutticon le stessemodalità, avremoche la varianzadella s o m m ad i tu ttig l ia n g o lsa i rà :o ! = o3+o3+ ...=noî.e lo s.q.mo, = ooJn La probabilità che la sommatoria degliangolimisuratisia compresain un intervallo La!3J2n.o. saràdel 99%cioèla praticacerlezza. La quantità3J2n o" è chiamatatolleranzaangolare. Se il valoreassolutodell'erroredi chiusuraangolare(8"), è minoreo ugualealla tolleranza angolare, si avrannobuoneragioniper pensareche tuttele misureeseguite sianoaffetteda solierroriaccidentali. Sappiamo inoltreche I'erroreaccidentale di misuradi un angoloazimutale nondipende dall'ampiezza dell'angolo I'erroredi chiusuraangolare stessoe quindipotremoripartire in parti uguali tra tuttigli angolimisurati. Nel casoinveceche,I'erroredi chiusuraangolaresuperila tolleranza, non resteràche ripeteretuttele misure. gli angolidi direzione Dopola correzione in tuttii di tuttigli angoliazimutali, calcoleremo verticidellapoligonale le regolegià illustrate utilizzando sul trasportodegliangolidi parzialidi tuttii vertici. direzionee potremocosìcalcolarecon le [8] le coordinate La poligonale è chiusa,e quindile coordinate del primoe dell'ultimo verticedovrebbero quindi parziali y la x coincideree sommatoriadelle coordinate e dovrebberoessere nulle. nonawienein quantoanchele misuredei latidellapoligonale Questosolitamente sono affetteda inevitabili erroriaccidentali. lndicandocon Ex e Ly le sommatoriedelle coordinateparzialidi tutti i verticidella poligonale;la quantità4 = J(r")' + (xy)' rappresent erà,1'erroredi chiusuralineare. 295

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo9 R I L I E V OD I D E T T A G L I O

Le distanze, oggi,si misuranomediante un distanziometro ad ondee tuttii latisono,di norma,inferiori 1 km. È notocheI'errore di misuradi unadistanza, ad eseguita contale (vedi6.4),è costituitoda una partefissa (0,5+ 1 cm) e da una parte strumentazione proporzionale direttamente alla distanza(nel nostrocaso < 1 mm). Si può supporre quindiche gli erroriaccidentali di misuranondipendano delladistanza daffalunghezza stessa ma siano una costantepari a oo : t0,5+1cm in f unzionedel tipo di distanziometro utilizzato. Analogamente a quantodettoprimaper gli angoli,se la poligonale è costituita da n lati .o potremoquindiipotizzare unatolleranzalateraleparia 3Ji o. Se il valoreassolutodell'errore di chiusuralineare(ò1)è minoreo ugualeallatolleranza laterale,si potràprocedereallacompensazione, altrimentinon restache rifare,anchein questocaso,tuttele misure. ll criteriodi compensazione da adottaresaràdel tuttoanalogoa quelloangolaree cioè sarà ripartitoin parti uguali su tutti i lati misurati.L'unicaawertenzaè che I'erroredi chiusuraXy sarà da distribuiresu tutti i lati menoil primoche DEVErestaresull'asse delleascissee quindinonè compensabile secondola direzioneY. parzialisarannoquindi: Le correzioni da apportareallecoordinate I.x ax-_ n

Lr a'v - _ n-1

Al terminedi queste due semplicioperazioni,si sono così ripristinatele condizioni geometriche le coordinate determinando dellapoligonale di tuttii suoivertici. Di seguitoriportiamo I'esempio empiricadi una poligonale dellacompensazione chiusa con Excel: ,.. ,: .

verricef[3::t '.'-..

Xlffo: i

[gonl

angoli di direzione

[gon]

P1

[gon] 100,0000

coordinate parziali

lati

lsen0

lcos0

tmt

t;i

tml

coordinate parzialicomp.

xy [ml

Coordinate totali comp. XY

lml

[m] nnnl

494,85 199,5644 199,5641 99,5641

[m] nnn

. ..:] 494,85

0,0!

494,86

0,00

494,86

0,00

695,03

4,76

695,04

4,76 1.189,90

4,76

6S5,05 62,0037

62,0034 361,5676 : :'r'

=.

131,7645 13'1,7642 293,3318 ....: .'

-261,06 378,58 -261,05 378,59

234,7485 234,7482 328,0800

-522,06 568,44

60,1070

60,1067

t-

n o vertici = tc= toller.= Acr =

800,0016 800,0000

-0,058

Ex= EY=

-0,058

€t = toller.=

0'064

^x = Ay= 296

-0,027

r =

o

o,oo16 0,0021 ' 0,0002667

328.48

,..

107,22 -571 ,16

1 1 1 . 8 1 3 5 1 1 . t . 8 1 3 21 0 0 . 0 0 0 0

406.80

::,'-:: -514,O4 242,68-514,03 2 4 2 , 6 8 - 1 0 7 , 2 3 5 7 1, 1 6

581,14 P1

-54,88 -522,05

928,85 383,35

-0,027

:

01073

-0,01 -0,01

107,23 - 5 7 1 , 1 6 0,00

0,00

0,00

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo9 RILIEVODI DETTAGLIO

9.6.2.POLIGONALE APERTAVINCOLATA AGLIESTREMI ll secondoschemadi rilievoper poligonale, moltoutilizzato netlapraticaoperativa, è rappresentato dallapoligonale apertavincolataagliestremi.E necessario che si possa farestazioneconlo strumento su duepuntidi coordinate note,daiqualisianovisibili (ma non necessariamente stazionabili) altridue puntianch'essidi coordinate note(vedi F i g u r a9 .8 ). Nellapoligonale apertavincolataagliestremi,il sistemadi riferimento è già definitodalla presenzadi dueverticidi coordinate noteall'interno dellapoligonale steJsa. Così come nel casodellapoligonalechiusa,lo schemadi rilievoprevedela misuradi tuttii latie di tuttigli angolidellapoligonale. Anchein questocasosi può verificare che il gradodi esuberanza dellemisurerispetto al numerodelleincognite è sempretre (indipendentemente dal numerodei vertici)e quindidiventalecitaunacompensazione empirica. Con riferimento allaFigurag.8,l'angolodi direzione (A pr) è noto,in quantosononote le coordinatedi entrambii punti. Mediantei valori degli angoli misuratisi trasportaI'angolodi direzionelungo la spezzata, finoa calcolare l'angolodi direzione (PoB).Di queèt'ultimo angolodi dire2ione si conosceperòancheil valorederivantedallecoordinate notedei due óunti. La differenzatraquestedue angolidi direzione(P6B)esprimeràI'erroredi chiusura angolare.Se talevaloreè inferioreallatolleranza angolare(calcolata comeabbiamogià visto nel paragrafoprecedente)si potrà effettuareuna compensazioneangolàre ripartendo taleerrorein partiugualisu tuttigli angolimisuratí. YA

iP3X

--------------)

Fig.9.8 - Poligonale apertavincolataagliestremi Dopola compensazione angolare,si procederàal trasportodellecoordinatecartesiane dalverticeP1(comedettoin 9.5)finoal verticep6. puntosonoperògià notele coordinate Di quest'ultimo e quindila differenza tre quelle calcolatee quellenote (Axe Ay) permetteràdi determinarel'erroredi chiusuralineare:

ò,={^# * (^yf .

297

Capitolo9 R I L I E V OD I D E T T A G L I O

G. COMOGLIO E CARTOGRAFIA TOPOGRAFIA

(calcolata comeabbiamo ammissibile allatolleranza Se talequantitàrisultainferiore linearecon gli già vistonel paragrafoprecedente) una compensazione si può effettuare chiusa. stessicriterigiàdettiperla poligonale empiricadella poligonale Di seguitoviene riportatol'esempiodella compensazione agliestremidi Fig.9.8,svoltocon Excel: apertavincolata Xn= Xpr : Ypr = xPl-xA= Y P 1- Y A = (A P1) =

vertice

Xpo= Ypo= Xe= Ye= xB-xP6= YB-YP6= (P6B) =

518,14 2.8t61?7 845,61 2.110,37 327,47 -750,90 173,8198

3.590,32 2.010,96 4.795,94 4.480,85 1205,62 2.469,89 28,9092

angolodi angolodi direzione angolo angolo direzione compensato compensato misurato calcolato

latl

e

lgonl

tgonl

lgonl

lgonl-

173,8198

173,8198 P2

245,5256 :: :::::'-:::: 134,1526

P3

130,2161

P1

245,5255 : 134,1525

219,3454 153,4980

P5

237,6515

:'

.,,

153,4979

848,93

160,3724

,,:.ji

44,0866

: .

j

44,0864

843,21

81,7378

795,29

237,6514 81,7381

.l

.

::::::.,.

1

147,1713

147,1714

P6

651,34

83,7139 1108,15

83,7141

t'

160,3725

219,3453

130,2160

.-

P4

.-a

28,9092

28,9095 B .::,: n overtici= tc=

tolleranza Acr -

298

6 0,0003 0,0021 0,0001

[m]

n o d i s t a n z e= tu=

0,0000

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

coordinateparziali lsen0 lml ,.,, -194,89 -:i 566'41 1.072,09

lcos0 [m]

Capitolo 9 R I L I E V OD I D E T T A G L I O

coordinatetotali XY

tml

tml

845,61 2.110,37 :r:, - 6 2 1, 5 0 :::,,=.,:.-..,.., 650t72 1.488,87 -632'34 :,::::::',,:= 1 . 2 1 7 , 1 g 856,53 280t41 :::.:= c Dao D1

538,36

648,97

762,79

225,02

coordinateparziali compensate lsen0 lcos0

lml

-194,90

-621,49 ,::,

566,40 .

1. 1 3 6 , 9 3

a qon e7

€x =

0,049

€v= t t= toller.= AX= ^Y=

0'058 0,073 -0,010

1.785,91 -'',....=,. 2.010,93

:.::i::

::l:l:

-632,34

2.861,27

845,6f,

2.11A37

..,,,,-,,a,,,::a.aa=: ]

650,71

280,41

'j,:,:..,::::.:r::::l::-

762,78

225,03

1.488,88 856,54 :::i'

2.289,18

648,98

::-.1

tml

518,14

1.217,11

-::::=::j:rl

1.072,08 538,35

c aD7 RA

lml

lml

,,

coordinatetotali compensate X,Y

1.136,95 ..-, 1.785,93

2.827,54 .::: : 3.590,32

2:010,96

4.795,94

4.480,85

-0,030

0,006

9.7. LE INTERSEZIONI Gli schemidi rilievoper intersezione ebberoun grande ulilizzoquando non era agevolela misuradelledistanze.Nellamaggiorpartedei casi,si trattadi schemidi rilievoche non consentono un controllodellemisureeseguite,in quantoprevedono I'esecuzione di un numerodi misurestrettamente sufficiente alladeterminazione delle punti incogniti. L'awentodei distanziometri coordinate dei a ondee dellestazionitotali ha resoper lo più obsoletitali metodi,ma una loroconoscenza consenteall'operatore di quando,per motividi accessibilità, risolverelocalmenteproblemiparticolari, non è possibilemisuraredistanzeo più semplicemente quandooccorreindividuare in modo possibilità rapidoI'effettiva del rilievoin basea unodeglischemidi intersezione. puòsempreessereintegrato schemadi intersezione da misuredi distanze Qualsiasi riconducendo liberache, in così il calcoloallacompensazione di una retetopografica quandoil gradodi esuberanza analogiaalle poligonali, delle misureè limitato,può esseresoggettaa compensazioni empiriche. vengonodenominate Le intersezioni intersezioni in avantiquandosi prevededi fare note,mentrevengonodenominate intersezioni inverse, stazionesui puntidi coordinate quandosi prevededifarestazione incognite. suipuntidi coordinate

299

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo9 R I L I E V OD I D E T T A G L I O

9.7.1.INTERSEZIONE SEMPLICE IN AVANTI planimetriche Perdeterminare le coordinate in due punti di un puntoP, si fa stazione di coordinatenoteA (Xa,Ya)e B (Xs,Ys)e si misuranoi due angoliazimutalicr,B (vedi

Fig.e.e).

Figura9.9- intersezione semplicein avanti (AB). A partiredallecoordinate notedei puntiA e B, si calcolal'angolodi direzione ( AB)- orrrorX-u:J o Yu-Yo

L'angolodi direzione(AP) si può ricavaredalla seguenterelazione,facilmente verificabile la Figura9.9: osservando ( A P) = ( A B) - u " Deltriangolo PABsononotiun lato(il latoAB) e i dueangoliadiacenti. Applicando latoAP: ilteoremadei senisi puòdeterminare la lunghezzadel AR

AP = -!!"- t;,rB smy E quindile coordinatedel punto P sarannodate da: Xr=Xo+APsin(AP) Yr=Yo+AProt(AP) Le coordinatedel punto P possonoessere calcolateanche partendodal punto B: c a l c o l od e l f ' a n g o ldoi d i r e z i oen ( B A )

( B A ) = o r r r o r l - t : J - z = ( A B) + n Yo-Y,,

calcolodelladistanzaBA calcolodell'angolo di direzione(BP)

sA = Jf X u - X o )' +(yo -yo )2

( BP) = ( BA) +B

calcolodelladistanzaw

B P=

D

A'

M ,ira siny

E quindile coordinate del puntoP sarannodateda: Xr=Xu+BPsin(BP) Yr=Yu+BPcos(BP) In questocaso (intersezione semplicein avanti)non esistonomisureesuberantie quindiil doppiocalcolo(partendodal verticeA e dal verticeB) può serviresolamente per controllare I'esattezza deicalcoli. 300

-a

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo9 R I L I E V OD I D E T T A G L I O

ll metodo dell'intersezione semplicein avanti può essere utilizzatoper la planimetriche determinazione dellecoordinate di un puntoda utilizzare comecentrodi emanazionedel rilievo di dettaglio,ma viene anche spesso impiegatoper la determinazione di puntinonaccessibili. Questoschemadi misuraconsentedi ottenere precisioni purché prossima elevate I'angolo in P abbiaun'ampiezza a nl2.Comesi può facilmente notarel'intersezione semplicein avantinon consentenessuncontrollo sulla bontàdellemisureeseguite(si eseguonodue misuree si determinano due incognite) perciò,in molticasi,si determina il puntomediante unaseriedi collimazioni eseguite da tre o più punti di coordinatenote,passandoquindiad uno schemadi intersezione multipla in avanti(vediFig.9.10). ln questi casi le coordinatedel punto P possonoessere ricavatemedianteuna compensazione empirica,semplicemente mediandoi risultatidellevarie intersezioni sempliciriconoscibili. Owiamenteè semprepossibilesottoporre le misureeseguitea una compensazione gli s.q.m.dellecoordinate rigorosain mododa poterstimareanchecorrettamente del puntoincognito. y P zî'-

Figura9.10- intersezione multipla in avanti Partendodal puntoC avremo: calcolodell'angolo di direzione(BC)

(BC)-orrrorX'-Xo Y, -Yu

calcolodi e calcolodell'angolo di direzione(CB) calcolodell'angolo di direzione1Cf;

e = 4 0 0 e "-"( B P) + ( B C ) (Ca1=(BC)+n ( C P) = ( C B ) + 6

calcolodelladistanzaCP

RP (P - -::sing sirzò

E quindile coordinate del puntoP sarannodateda: Xr=Xc+CPsin(CP) Yr=Yr+CPcos(CP)

301

Capitolo 9 R I L I E V OD I D E T T A G L I O

G. COMOGLIO E CARTOGRAFIA TOPOGRAFIA

Esempionumerico svoltoconfoglioExcel: dal punto A (AB)=orrror*u-"o Y n- Y n

( BA)=( AB)+n

( AP)=( AB)-a.

(BP)=(BA)+p

4p =

d^rpt^t"C ; X r - X- u- o 1 , ^ ^ , l(BC)=arctan""

dal puntoB

Y'-Y" I = +oon" -( BP)+( BC) le ) = ( B C) + r . 't 1( C { cBr 1 = ( C B) + 6

Ap

'A, R" sinp smy

BP- "" sina siny

l 6 p= ! , i , e

i

Xr=Xo+AP sin(AP)

Xr=Xu+BP sin(BP

Y , = Y o + A P c o s( A P)

Yr=Yu+BPcos(BP)

iì

xb

't8.15'1,21

|'R 82,1264

(l

72,4118

.ì ..i.î

302

45,4618 0,714112284 1,137441895 1,290038475 '1.313284689 12.938,78 -10.188,02 2,237808157 2,237808157 142,4633 16.468,39 70,0515 1,100366263 2 4 .16 0 , 10 26.748,10 27.402,20 342,4633 424.5897 6,669439285 22.820,31 26.748,10 27.402,20 18.078,91 5.161,13 1.292715189 1,292715189 82,2968 57,7071 211 0,906461 18.801,18 282,2968 365,9031 5.747592532 18.579,67 26.747,97 27.402,16 26.748,05 27.402,19

sin(cP) lx,=xr+cP IYP=Yc+CPcos(cP).

:

Xa Ya 5.212143 16.451 '16

calcoli , ,' Y = [gon] 1= [rad] s = [rad] B = [rad] ò = [rad] Xb-Xa=[m] Yb-Ya=[m] (AB)= [rad] (AB)= [rad] (AB)= [son] AB = [m] (AP)= [gon] (AP)= [rad] AP = [m] XP = [m] YP = [m] (BA)= [son] (BP)= [son] (BP)= [rad] BP = [m] XP = [m] YP = [m] Xc-Xb=[m] yc-yb=[m] (BC)= [rad] (Bc) = [rad] (BC)= [gon] 6 = [gon] s = [rad] Bc = [m] (CB)= [son] (CP)= [son] (cP) = [rad] cP = [m] XP = [m] YP = [m] risultati XP = [m] YP = [m]

slnÒ

Xc Yc Yb 6.263,14 36.230,12 11.424,27 ò 83,6063

i::]rrli:: l:.r.r\i.ì ' 'r'i .

i '' ,:' 'r. : : j, :Ì:i: , I

iì :

,.i1.ìi:.: i, ''.'l)

t.::l ìi.ì " -" ) $ li'.:ì"ìi: ,::,.r.1.i,ìì,ìi-ìl:ìiii:iì{ì.: }ì:.i\iììi.ì fi\l\."i i::ì,i:, ì:: lì' r' rr ì.i'ì l:ìi: i'.'ri :'l iì i:: I i ì ì I : .:,, ::ì,-i i i:i :':: : ;.i:iriiL' lìili.l'f' l. {ì i:rì:::: ìii iiì:ii:ì: ll.\ iì r ì:\ì ì ,"- ": lì ii ir .:..:.,::,.r:,,,1i.:il.:t.

ì ì:ii:::iìl : : : :ri' : ì \ . : ,)1' li . i : i ì r j : ì : , i i:-\.,l::i i: :. S,::rlì r:rji:r!lì..::.,:. ì:: :ìì' i lll-ì ,:'l' :.:: I i ilìil.:>ij.i:ì!]i,..i: i:" i.,i iiì \ lìiriir ì i::i..ìì,\ilìì:ìiì.iìì,ìi: r:: ì i:::i -:l,ri *.1 i.lI ii.r í:,.:

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Esempidi intersezione multipla in avanti: XR= 5 . 1 4 1 , 1m 5 Yn3.521,47m Xa= 1 2 . 5 6,12 4m Yg= 2 .5 3 4 ,5m 6 Xc= 18.354,27 m Yc= 8 .5 3 1 ,2 9m 97s,1579 fl,= p= 6 7 s,2 1 4 7 87s3242 EXp= 7.300,26m Yp= 1 5 .6 0,2 1 5m

Capitolo 9 RILIEVO DIDETTAGLIO

XR= Ye= Xe= Yg= Xc= Yc= ([, =

B= ò= Xp= Yp=

3 . 2 1 5 , 1m 4 1 0 . 2 3 4 , 5m1 8 . 5 6 1 , 2m 5 m 16.538,57 m 16.328,52 15.537,62 m 92s,5432 72s,4327 102s,6087 m 15.170,37 2.295,38m

9.8. IL RILIEVODI DETTAGLIO ll metodoseguitoper il rilievodi dettagliocon metoditerrestriè tradizionalmente chiamatocelerimensurae vieneeseguitocon stazionitotalidi precisione adeguataa garantireil raggiungimento precisioni richieste delle dallascala nominaledel rilievo. mediantele sue coordinate Ognipuntodi dettagliovienedeterminato sfericherispettoa un puntodi coordinate noteS e a una direzionenota,in generela congiungente di S note.In altreparoleper il puntodi dettaglio P si misura con un altropuntodi coordinate la distanzainclinata(d), la direzioneazimutale0 che la rettaSP formacon I'origine g. zenitale dellagraduazione delcerchioazimutale e I'angolo di tempodallostrumento Questemisurevengonoeseguitein un periodobrevissimo e memorizzateinsiemead altre informazioniutili quali, ad esempio,l'allezza del (hs)e il nomedel puntocollimato(vedi segnale(ho) sul puntoP,l'allezzastrumentale schema diFigura 9.11.

Fig.9.11- schemadi unamisuracelerimetrica ll rilievodi dettagliopresuppone, comesi è detto,una retedi inquadramento costituita dai verticidi una rete rilevatacon i metodiespostinei paragrafiprecedenti, e costituita in generenell'ultimo Naturalmente, ordineda retidi poligonali. se lazonada rilevareha piccoledimensioni,la rete di inquadramento può essere molto ridottaed essere in qualchecasoè sufficiente costituita soloda poligonali; una solapoligonale chiusa,e neicasipiùsemplici duesoliverticila cuidistanza sia nota. Le posizioni dei verticidellepoligonali devonoesseresceltein mododa poterrilevare dell'oggetto del tutti i puntinecessarialla descrizione dellaformae delledimensioni

303

-1

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo9 RILIEVO DI DETTAGLIO

rilievo;la sceltava fattain sededi progettodell'intera operazione di misura,in maniera in mododa ridurreal minimoil numerodellestazioni. oculata, Se durantele operazionidi rilievosi rendessenecessarioqualchealtro punto di stazioneè semprepossibile,ad esempiomediantele intersezioni o mediantebattute le coordinate rispetto celerimetriche, determinarne aiverticidellepoligonali. va mantenuta La distanzatra i verticidi inquadramento non superiore al doppiodella distanzamassimachesi intendemisurare. DI UNASTAZIONE 9.8.1.ESECUZIONE CELERIMETRICA Perprimacosasi esegueuno schizzo, chiamato eidotipo,dellaporzione di territorio dallastazione S. da rilevare i punticaratteristici; Sull'eidotipo si riportanotuttii particolari da rilevare,definendone ad punto progressivo). (solitamente vieneattribuitoun codice ogni un numero note (vediFig.9.11)e si Si pone in stazionelo strumentonel puntoS di coordinate misuraI'allezzastrumentalehs. Poichétutti gli angoli sarannomisuratisolo in una posizione(senzaI'applicazione della regoladi Bessel),è necessariodeterminarelo zenitstrumentale automatica. e imporreallostrumentola suacorrezione Negli strumentiprowisti di doppio compensatoreoccorre attivarela funzione di correzione deglierroridi inclinazione, collimazione e verticalità. inoltrei Si impostano valoridellatemperatura e dellapressioneatmosferica in mododa correggereI'erroredi nellamisuradelledistanze.Ormaituttigli strumentisonodotatidi rifrazione atmosferica particolari programmi per il rilievocelerimetrico nei qualisi prevedela creazionedi un recordper ogni stazione;all'interno di questovengonodefinitiil nomedellastazione, l'allezzastrumentalee le sue coordinate. Primadi iniziareil rilievooccorredefinirela direzionedi orientamento dellastazione. può esserefattain due modi. Questaoperazione di un secondoverticeT di coordinatenote Quellopiù utilizzatoprevedela collimazione (solitamenteun vertice di inquadramento) e I'imposizione del valore dell'angolodi (ST) quale (vedi valoredi letturadel cerchioazimutale Fig.9.12). direzione Dopo I'orientamento della stazioneS sul punto noto T (vedi Fig. 9.12),lo strumento I'angolodi direzione(SP). misureràdirettamente

Fig.9.12- orientamento dellastazione

304

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo9 RILIEVO DI DETTAGLIO

Un secondomododi procedere consistenel registrare il valoredella semplicemente punto quindi poi in ufficio note direzioneazimutale T di correggere del di coordinate e tutti i valoridelle direzioniazimutaliin modo da ricondurliagli angolidi direzione (ricordiamo formatotra I'origine cheI'angolo dellagraduazione azimutale e la direzione dell'assedelleY del sistemadi riferimento, detta correzioneazimutaledi stazione, questacorrezione rappresenta e si mantienecostantepertuttala duratadel rilievodalla stazioneS). Se il puntosu cui si vuolefarestazionenonè notoe se da essosonovisibilialmeno due punti di coordinatenote, è possibiledeterminarnele coordinatemediante inversa(Cassinio Hansen)oppure,sfruttandola possibilità un'intersezione di misurare mediante senzafaticale distanze, inversamista. un'intersezione Supponiamo di far stazionesul punto S di coordinateincognite;da esso si sono gli angoli le direzioniazimutali, collimatii puntiT e Q di coordinate note misurando (vedi zenitalie le distanze Figura9.13).

Fig.9.13- schemadi unaintersezione inversa planimetriche Perdeterminare le coordinate del puntoS si procedenelseguentemodo. Del triangoloTQS sono noti i tre lati (il lato TQ è noto in quantosi conosconole coordinatedei puntiT e Q, mentregli altri due lati si sono misurati)e I'angoloo, misurato. anch'esso il valoredel latoTQ derivante Con il teoremadi Carnotsi determina dalleoperazioni di -2-TS .QS .cosa misura:TQ=,lTS2+ QS' alla Questovaloredovràrisultareuguale(a menodeglierroridi misuraammissibili) distanzaderivantedallecoordinate notedi T e Q. / \ 't'' o I'anooloB: 'B= arcsirlOs . Conil teoremadei senicalcoliamo ì rQ) l.(TS)= (Ta) + I e quindiil valoredell'angolo di direzione Infinecalcoliamo le coordinate del puntoS: cartesiane X, = X, +T S 'si n (T)S Y, =Y, + 7S'cos(?'S)

305

-1

G. COMOGLIO TOPOGRAFIA E CARTOGRAFIA

Capitolo9 RILIEVODI DETTAGLIO

Owiamentesi può operaremisurando una soladelledue distanze(ST o SQ), ma la presenzadi una misurain più rispettoal minimonecessario consentedi controllare l'operazione dicollegamento allaretedi inquadramento. La quotadel puntoS si determinapartendodallaformularísolutrice della livellazione Zr.- Z, + hs- hp+TS.cotgcp e quindila quotaincognitadi S: celerimetrica: Z, = Zr'- hs + hP -TS 'cot gq

dove hs è l'altezzastrumentale,hp l'altezzadel segnaleposto in T, TS la distanza ridotta all'orizzonlale tra la stazionee il punto T e q I'angolozenitaleletto da S il segnalepostoin T. collimando La quota può esseredeterminatain doppiomodo consentendo un ulteriorecontrollo dellabontàdelcollegamento eseguito. Alcune stazionitotali sono munite di programmiche guidano l'operatoredurante I'esecuzione di questotipo di collegamento; il processoreinternodello strumento le coordinatedel punto di stazionenel eseguei calcoli,impostaautomaticamente record di registrazione della stazionee prowede alla correzioneautomaticadelle direzioniazimutaliin modo da consentirela registrazione direttadegli angoli di direzione. Collegata,in uno di questimodi,la stazioneS alla retedi inquadramento, si procede al rilievo celerimetricovero e proprio battendotutti i punti segnati sull'eidotipoe registrandole misure eseguitecon i programmipredispostisulla stazionetotale. Particolareattenzicnedeve essereposta nella registrazione dell'altezza del segnale utilizzatoper la visualizzazione dei punti (solitamentela palina munita di prisma retroriflettente). Nel casoin cui si utilizzino stazionitotalimunitedi distanziometri a impulsi,le distanze (solitamente non superioria 100+ 150 m) vengonomisuratesenzabisognodi alcuna per cui l'allezzahpcorrispondente risultanulla. segnalizzazione, A partiredallemisureregistrate, la condottadei calcoliè moltosemplice. Per ogní puntodi dettagliosi hannoa disposizione la distanzainclinatadr, l'angolodi direzione(SP),I'angolozenitaleg,l'allezzadel segnalehp e I'allezzastrumentale hs e quidisi potrannodeterminare le coordinate: X, = X, + di. senrg.sen(SP ) Y, =Y, + di'senq'cos(SP ) Zr=Zr+hs-hp+di'cosq

In alcuni strumenti,il processoreinternoeseguein tempo reale queste semplici perciònel file di registrazione, trasformazioni, oltrealle misureprimacitate,si trovano giàdisponibili punti. le coordinate finalidei ln questicasi è possibileprodurredirettamente, dal file scaricatodallo strumentoal terminedelleoperazioni di misura,un file idoneoad essereimportato nelprogramma di per la produzione disegnoautomatico da ulilizzare del disegnofinaledel rilievo.

30ó