Gina Limites

“Año del Buen Servicio al Ciudadano”

 

Nombre: Arteaga Urtiaga Gina Tema:

!ectorial "

Funciones Reales e !ariable #$mites % Continuidad

ocente: &ac'eco Re%es  

Ciclo: (!

)*+,- ./

1

Pacheco Castllo Alexander

 

INTRODUCCIÓN

En este trabajo se estudia el concepto de límite de una función de varias variables y algunas de las técnicas ulizadas en su cálculo. Después basándose en este concepto se establece la de!nición de función connua y cómo estudiar la connuidad de una función de varias variables. En principio se comienza con campos escalares y después se e"ende la de!nición a los campos vectoriales.

#

 

DEDICATORIA

Este trabajo va dedicado a mis padres que me apoyan día a día para seguir adelante.

$

INDICE INTRODCCI!N"""""""""""""""""""""""""# DEDIC$TORI$"""""""""""""""""""""""""...% INDICE""""""""""""""""""""""""""""".&

C$'(T)O I *unci+n de ,arias ,ariables Reales -. Concepto""""""""""""""""""""""""..."../ -.-.*unci+n escalar"""""""""""""""""""".".."/ -.#.*unci+n vectorial""""""""""""""""""""...".0 #. )1mites de 2unciones en R n"""""""""""""""""..""0 #.-. )ímite de una 2unci+n en un punto""""""""""""..""..3 #.-.- De2inici+n."""""""""""""""""""".....3 #.#. límites direccionales4 reiterados4 in2initos"""""""""".."..5 #.#.-. límites direccionales""""""""""""""""...""6 #.#.#. límites reiterados"""""""""""""""""..."".-7 #.#.%. límites in2initos y en el in2inito""""""""""""".."-#.% ejercicios resueltos """""""""""""""""""..".-# %. Continuidad"""""""""""""""""""""""..""..-% %.-. De2inici+n""""""""""""""""""""""".."-% %.# 'ropiedades de las 2unciones continuas"""""""""".."...".-& %.%. Otras propiedades de las 2unciones continuas"""""""""."...-& %.%.-. Teorema de 8eierstrass. Consecuencias"""""""""."-/ %.%.#. Conjuntos arco9cone:os""""""""""""""""..-/ %.%.%. Continuidad uni2orme"""""""""""""""".....-0 %.& Ejercicios Resueltos""""""""""""""""""""...-0 ;I;)IOemosintroducido en el primer tema de la asignatura  ∶ ?4 @ ∈ ℝ# A ℝ# ⟶ ?4 @ B    B ?- F -@#G ?# F #@#  ∶ ? 4 @ ∈ ℝ%A ℝ% ⟶ ?4 @ B    B ?- F -@# G ?# F #@# G

?%9%@# ,eamos entonces como podemos de2inir el concepto de 2unci+n real de varias variables reales4 para ello4 distinguiremos Dos casos4 las 2unciones escalares y las 2unciones vectoriales. 1.1Función escalar

Dado un conjunto   ⊂ ℝn 4 una 2unci+n escalar es una aplicaci+n   ∶  ⊂ ℝn⟶ ℝ.

O lo que es lo mismo4 una 2unci+n escalar4 es una aplicaci+n de varias variables cuya imagen estH contenida en la recta real. 1.! Función "ectorial

 Dado un conjunto   ⊂ ℝn4 una 2unci+n vectorial es una aplicaci+n  ∶  ⊂ ℝn ⟶ ℝm

O lo que es lo mismo4 una 2unci+n vectorial4 es una aplicaci+n de varias variables reales cuya imagen estH contenida en el espacio euclídeo ℝ m 4 con   - ?para  B -4 recuperamos la de2inici+n de 2unci+n escalar@.

&

! . #$%ites &e 'unciones en R n !.1. Intro&ucción

En el curso de Calculo In2initesimal se analiJaron Knicamente las 2unciones 2  R L R  reales de variable real. Min embargo4 en la naturaleJa >ay 2en+menos para cuya descripci+n matemHtica se requieren 2unciones que dependen de mHs de una variable y que4 en *ísica4 suelen denominarse campos. 'or ejemplo4 

)a temperatura de una regi+n del espacio ?a lo largo del tiempo@ T $ ⊆ R & L R ?:4 y4 J4 t@ L T?:4 y4 J4 t@



)a velocidad de las partículas de un 2luido en movimiento v $ ⊆ R % L R %?:4 y4 J@ L v?:4 y4 J@



 El campo el=ctrico creado por una carga puntual. E $ ⊆ R % L R %?:4 y4 J@ L E?:4 y4 J@

En este capítulo comenJaremos el estudio de este tipo de 2unciones. En concreto estudiaremos los conceptos de limite y continuidad. En los siguientes capítulos4 se abordarHn las cuestiones relativas a la di2erenciabilidad e integralidad de estas 2unciones.

'

!.!. #í%ite &e una 'unción en un punto.

Continuaremos el anHlisis de las 2unciones de varias variables estudiando el comportamiento de una 2unci+n en el entorno de un punto. )a primera noci+n sobre este  particular es la de límite !.!.1 De'inición

Mea 2 $ ⊆ R n L R m una 2unci+n4 a ∈ Rn un punto de acumulaci+n de $ y b ∈ R m. Me dice que b es el límite de 2 cuando : tiende a a si4 ∀  74 ∃P  7 tal que4 si : ∈ $ Qa y SS:aSS  P4 entonces SS2?:@ F bSS . Me escribirH l1m :La2?:@ B b4 o bien 2?:@ L:La b )a siguiente proposici+n nos da una de2inici+n alternativa de límite. 

 Mea 2 $ ⊆ R n L R m una 2unci+n4 a ∈ R n un punto de acumulaci+n de $ y  b ∈ R m.

Entonces l1m:La 2?:@ B b ⇐⇒ para toda sucesi+n Q:U ⊂ $  Qa tal que l1m ULV :U B a4 se tiene para la sucesi+n de las imHgenes4 l1m ULV 2?:U@ B b. 

Mean 24 g $ ⊆ R n L R m 2unciones4 a ∈ Rn un punto de acumulaci+n de $ y b4 c ∈ R m.

-. Mi una 2unci+n tiene límite4 =ste es Knico. #. l1m:La2?:@ B b ⇐⇒ l1m:La2  j ?:@ B b j ?j B -4...4m@ $sí4 el cHlculo de límites de 2unciones vectoriales se reduce al cHlculo de límites de 2unciones escalares. %. Mi l1m:La2?:@ B b y l1m :Lag?:@ B c4 entonces l1m :La?2?:@ W g?:@@ B b W c. &. Mi l1m:La2?:@ B b y X ∈ R4 entonces l1m:LaX2?:@ B Xb. /. Mi m B -4 2 tiene lY1mite en a y Yeste es positivo4 e:iste alguna bola per2orada con centro en a sobre la que 2 toma valores positivos. 0. Mi l1m:La 2?:@ B b y l1m :La g?:@ B c4 entonces l1m :La2?:@g?:@B?b-c-4...4bmcm@ 3. Mi l1m:La2?:@ B b y l1m:Lag?:@ B c4 entonces l1m :LaSS2?:@4 g?:@SS B SSb4 cSS lo que implica l1m:La SS2?:@SS B SSbSS. 6. Mi 2 tiene límite en a4 entonces estH acotada sobre alguna bola de centro a. -7. Mi m B - y 2 Z > Z g en un entorno per2orado ?sin el punto a@ de a4 y l1m l1m:Lag?:@ B b4entonces l1m:La>?:@ B b.

(

2?:@ B

:La

!.(. #í%ites Direccionales) Reitera&os) In'initos

En el cHlculo de límites de 2unciones de varias variables no se dispone de t=cnicas anHlogas a las del caso de una variable4 no e:iste nada semejante a la regla de )[\opital. Ello obliga a desarrollar otros m=todos de cHlculo basados en los conceptos que se van a e:poner en este apartado. Dado que el límite de una 2unci+n vectorial se obtiene calculando el de sus 2unciones componentes4 s+lo vamos a considerar4 en adelante4 el caso de 2unciones escalares. !.(.1. #í%ites Direccionales

Mea 2 $ ⊆ Rn L R y a ∈ $ un punto de acumulaci+n de $. 



Mea c I ⊂ R L $  Qa una aplicaci+n continua tal que l1mtLt 7c?t@ B a con t 7 ∈ I4 diremos que c?I@ es una curva en $. Me denomina límite de 2 para : tendiendo a a segKn la curva c?t@ al valor l1mtLt 72?c?t@@. Obs=rvese que se trata de un límite de una 2unci+n de una variable. Con las mismas >ip+tesis que en el apartado anterior4 se denomina límite direccional de 2 para : L a al límite segKn la recta c?t@ B a G tv4 esto es4 l1m tL72?a G tv@.

Como caso particular4 en el caso de 2unciones de dos variables4 y con curvas ?rectas@ dadas en 2orma e:plícita se tiene que4 si 2 $ ⊆ R# L R y a B ?a-4 a#@ es un punto de acumulaci+n de $4 -. El límite de 2 para : L a segKn la curva y B g?:@4 que pasa por a4 es l1m:La -2?:4 g?:@@ #. El límite direccional de 2 para : L a segKn la recta y B m: G b4 que pasa por a4 es l1m:La-2?:4 m: G b@.  

*roposición

l1m:La2?:@ B b si4 y s+lo si4 los límites segKn todas las posibles curvas que pasen por a4 contenidas en su dominio4 e:isten y son iguales a b.  

Corolario

Mi l1m:La2?:@ B b entonces los límites direccionales segKn cualquier recta que pase por a e:isten y valen b.

)

!.(.!. #í%ites Reitera&os

Mea 2  $ ⊂ R# L R4 se de2ine como límites reiterados a l1m:La l1myLb2?:4 y@4

lY1myLbl1m:La 2?:4 y@

Comentarios 

 

Mi l1m ?:4y@L?a4b@2?:4 y@ B p y e:isten l1m :La2?:4 y@ y l1myLb2?:4 y@ entonces e:isten los límites reiterados de 2 y valen p. 'uede ocurrir que e:ista l1m ? :4y@L?a4b@2?:4 y@ y no e:ista alguno de los reiterados. Mi e:isten el límite de la 2unci+n y los reiterados en un mismo punto4 >an de coincidir.

!.(.(. #í%ites In'initos + en el In'inito.

Mea 2  $ ⊂ R n L R m -. Diremos que l1m :La2?:@ B V si ∀)  7 ∃P  7 tal que ∀: ∈ $  Qa que cumpla SS: F aSS  P se tiene SS2?:@SS  ). )Y1mite in2inito. #. Mi $ es no acotado4 diremos que l1m :LV 2?:@ B b si ∀SS  7 ∃]  7 tal que ∀: ∈ $ que cumpla SS:SS  ] se tiene SS2?:@ F bSS  SS. )ímite en el in2inito. %. Mi $ es no acotado4 diremos que l1m :LV 2?:@ B V si ∀)  7 ∃]  7 tal que ∀: ∈ $ que cumpla SS:SS  ] se tiene 2?:@  ). )ímite in2inito en el in2inito.

*

!., E-ercicios Resueltos

1+

11

(. CONTINUIDAD (.1. De'inición

Mea 2 $ ⊆ R n L R m y a ∈ $. Me dice que 2 es continua en a si4 ∀  74 ∃P  7 tal que ∀: ∈ $ que cumpla SS: F aSS  P entonces SS2?:@  2?a@SS  . Comentarios

1#

 

Mi a es un punto aislado de $ entonces 2 es continua en a. Mi a es un punto de acumulaci+n de $ entonces 2 es continua en a si l1m:La2?:@ B 2?a@.





2 es continua en a si para toda sucesi+n Q: U  de elementos de $ tal que : U L a4 se tiene 2?:U @ L 2?a@. 2 es continua si lo es en todo punto de su dominio. (.! *ropie&a&es &e las Funciones Continuas

)as propiedades de las 2unciones continuas se basan en las propiedades del límite *roposición 

Mean 24 g $ ⊆ R n L R m 2unciones y a ∈ $. -. 2 es continua en a si y s+lo si4 cada una de sus 2unciones componentes 2i es continua en a. #. Mi 2 y g son continuas en a4 tambi=n lo son 2 W g4 2g y SS24 gSS. %. Mea X ∈ R. Mi 2 es continua en a4 tambi=n lo es X2. &. Mi m B - y 2?:@ B 74 ∀: ∈ $4 entonces -^2?:@ esta bien de2inida en $ y si 2 es continua en a4 tambi=n lo es -^2?:@ /. Mi m B -4 2?:@B 7 y 2 es continua en a4 2 no cambia de signo en algKn entorno de a. 0. Mi 2 es continua en a4 2 estH acotada en algKn entorno de a. 3. Mi g ; ⊆ R m L R l4 b B 2?a@ ∈ ; y 2 y g son continuas en a y b respectivamente4 entonces g _ 2 es continua en a.

Teore%a

Mea 2 $ ⊆ R n L R m. )as tres a2irmaciones siguientes son equivalentes -. 2 es continua #. 'ara todo abierto , ⊂ R m4 2 -?, @ B $ `  donde  es un abierto de R n %. 'ara todo cerrado T ⊂ R m4 2 -?T@ B $ ` M donde M es un cerrado de R n

1$

(.(. Otras *ropie&a&es &e las Funciones Continuas. (.(.1. Teore%a &e eierstrass.  Consecuencias

$ continuaci+n4 vamos a dar algunas propiedades de las 2unciones continuas4 que son generaliJaciones de otras bien conocidas en el cHlculo de una variable. Teorema ?de 8eierstrass@ Mea 2  ⊂ R n L R m una 2unci+n continua y   un compacto. Entonces 2?@ es compacto.  

'roposici+n

Mea  ⊂ Rn un compacto y 2  L R una 2unci+n continua. Entonces 2 toma en   valores e:tremos (.(.!. Con-untos arco/cone0os

n camino en $ es un aplicaci+n continua   I L $ ⊂ R n4 donde I ⊂ R es un intervalo. Mi I Bt-4t#y ?t-@ B a-4 ?t#@ B a# se dice que  une a - con a#. n conjunto $ ⊂ Rn se dice arco9cone:o si para todo par de puntos a -4 a# ∈ $ e:iste un camino en $ que los une. En R los conjuntos arco9cone:os son los intervalos  

Teorema

Mean 2  $ ⊂ R n L R m continua y $ un conjunto arco9cone:o.  Entonces 2?$@ es arco9cone:o.

? Dem. @ Mean y- y y# puntos de 2?$@4 e:isten : -4 :# ∈ $ tales que 2?:-@ B y- y 2?:#@ B y#. 'or ser $ arco9cone:o4 e:iste un camino  t -4 t# L $4 tal que ?t -@ B :- y ?t#@ B :#. Entonces 2 _   t -4 t# L 2?$@ es un camino tal que 2 _ ?t -@ B y- y 2 _ ?t#@ B y#. )uego 2?$@ es arco9cone:o.

1%

(.(.(. Continui&a& uni'or%e

Mea 2 $ ⊆ R n L R m. 2 es uni2ormemente continua en $ si ∀  7 ∃P  7 tal que4 si :4 y ∈ $ con SS: F ySS  P4 entonces SS2?:@  2?y@SS   #. )as propiedades de las 2unciones uni2ormemente continuas son las mismas que en el caso de una variable.  

*roposición

Mea 2 $ ⊆ R n L R m una 2unci+n uni2ormemente continua en $. Entonces -. 2 es continua en $. #. Mi Q:m es una sucesi+n de Cauc>y4 tambi=n lo es Q2?: m@. Teore%a &e Cauc2+3

Mi  ⊂ Rn es un compacto y 2  L R m es una 2unci+n continua en 4entonces 2 es uni2ormemente continua en .

(., E-ercicios Resueltos

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4I4#IO5RAFIA

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