Gheorghe Enescu - Logica SimbolicaGheorghe Enescu - Logica simbolica

Dr.

GHEORGHE ENESCU

Logica simbolică EDITURA ŞTIINŢIFICĂ. BUCUREŞTI 1971

PREFATA astă lucrare urmează cărţilor noastre Introducere în matematică (1965) şi Logică şi adevăr (1967). Prima era ată iniţierii cititorului în logica simbolică (în special cuIul propoziţiilor şi calculul predicatelor), a doua P1:� unere originală a principalelor prohleme metateoretice ;icii moderne. Rapiditatea cu care ele s-au epuizat din i dovedeşte în ce măsură publicul nostru este interesat menea probleme. De atunci a crescut numărul celor aţi (printre ei un mare număt de studenţi) şi se resimte unei noi lucrări în acest domeniu. Cartea de faţă vine lundă acestei cerinţe. în ce raport ee află ea cu alte anterioare puhlicate de noi (inclusiv cele două cărţi)? 'roducerea €n logica ma'ematică noi am reintegrat aproape a informaţie refuitoare la logica propoziţiilor, logica telor şi logica relaţiilqr (se înţelege, cu excepţia anumi­ :aje pe care le-am reprodus aproape fără schimbări, I fost revizuit). Nu au fost reintegrate capitolul intro­ capitolul de istoria logicii matematice şi cel de logică l. Din aceste capitole am extras numai unele informaţii. asaje (puţine la număr) au fost reproduse din lucrarea i adevăr. O serie de studii şi articole cu caracter didactic e de noi în revistele "Analele Universităţii" "Revista ofie" şi "Gazeta matematică" au fost integrate în J.ei reprelucrări adecvate. !mnată cantitate de informaţie nu a mal fost expusa lucrări anterioare. Ca arie tematică, lucrarea cuprinde toate capitolele de importanţă din logica modernă.

,

Prin aceasta cititorul român va avea în limba sa ideile d bază ale logicii moderne, ceea ce îşi propune lucrarea de faţăl Expunerea nu cere din partea cititorului cunoştinţe speciale: Lucrările utilizate în special au {ost: H i l b e r t, W. A e k e r m a n n, Bazele logicii Ioorf1lice (lucra. cla.ică sub aspect pedagogic); 2. S. C. K l e e n e, Inlroducere in ,,",amalemOlieă (lucrare cu caracte: 1. D.

!I.

enciclopedic, dar imposibilă pentru cei ce vor sii se iniţieze); C hu r e h, 1nlroducerea în logic. malemalică (carte .pecioasii, dr

A.

extrem de utilă pentru precizarea anumitor concepte); 4. C. I. L e w i., Lan g fo r d, Logiea simbolică; 5. J

a

n L u k asi e li' i c

z,

SilogiBtica aristolelică din pUndul

4" unde nu e posibil decît un caz (,,2 < 4"). în limba latină pentru " sau" neexclusiv se foloseşte "vel", iar pentru cel exclusiv "aut" (aut Caesar aut nihil). în româ­ neşte există o conjuncţie populară asemănătoare cu "aut" anume "au" ("da au ba?"). în vederea exprimării excluderii se mai poate folosi " sau" repetat ("sau p sau q") . Sensul lui "sau" neexelusiv este prin urmare acesta : cel puţin una din stările de fapt are loc, iar sensul lui "sau" exclusiv este acesta : numai una din stările de fapt (exprimate de propoziţiile com­ ponente) are loc. Exemplele pentru "sau" neexclusiv sint mai greu de dat. Iată Încă un exemplu : "în triunghiul ABC, unghiul B sau unghiul C este ascuţit". Vom conveni să numim pur şi simplu "disjuncţie" propozi­ ţia disjunctiv-neexclusivă (sau "alternativă"), iar pe cea exclusivă "excludere". Excluderea o notăm cu + şi vom scrie "p + q" (citeşte "p exclude q") . Ca şi conjuncţia disjuncţia poate să se afle Între termeni sau intre propoziţii. Ex. "Unii S sînt PI sau P2 sau . . . P,," şi "Unii S sint PI sau unii S sînt P2 sau . . . sau unii S sint P,,". (Nu in toate cazurile formulările sînt echivalente).· în continuare ne vom ocupa de disjuncţia (neexclusivă). Reguli de adevăr i) Dacă disjuncţia este adevărată atunci cel puţin un membru este adevărat. ii) Dacă nici un membru nu este adevărat, disjuncţia este falsă. iii) Dacă cel puţin un membru este aqevărat, disjuncţia este adevărată etc. Pentru cazul În care, disjuncţia este adevă­ rată conform cu regula i) vom avea trei posibilităţi (pentru doi membri) : (v v), (v f), (f v). Iată exemple pentru fiecare : "Pătratul este dreptunghi cu toate laturile egale sau romb cu toate unghiurile egale" (ambele componente sint adevărate, deci avem cazul v v). "Orice număr natural n (n � 1) este divizibil cu 2° sau este divizibil cu 21" (componentele sînt v f). "Orice n\lmăr natural este o putere a lui 2 sau orice număr natural n (n > O) este divizibil cu 2°" (componentele sînt

2

_

• Evident, ca ,i in cazul conjuncţiei ne intereseazi disjunoţia Intre G:I:preeii propozitioDale.

29

f, v). Pentru cazul cînd disjuncţia este falsă putem folosi exemplul : "Qrice număr natural satisface teorema lui Fermat sau orice număr natural infirmă teorema lui Fermat" (componentele sînt f, f ). Simbolizare. Disjuncţia se simbolizează prin semnul "V" şi se scrie "p V q" (citeşte "p sau q"). Se mai utilizează sem­ nele " U ", "A" şi se scrie respectiv "P U q, A P q". O disjuncţie poate avea mai mulţi membri, ex. "p V q V r V V s". Ea poate fi aplicată şi negaţiilor, ex. lIP V q". precum şi conjuncţiilor (în care caz se folosesc paranteze), exemplu� ,,(p • q) V (P r)", or atît negaţiilor cît �i conjuncţiilor, ex. ,,(p . q) V (p q)", or şi disjuncţiilor ,,(P Vq) V (q V r)" şi ,,(pVq) V r" şi p V (q • r) etc. Conjuncţia şi negaţia pot fi aplicate disjuncţiei "p . (q V r)", "p V7' etc. Pentru simplificarea scrierii putem face o convenţie : cînd avem o expresie care conţinea atît conjuncţia cît şi disjuncţia convenim să omitem semnul care ne interesează mai puţin şi să scriem literele (or, expresii mai complicate) una lîrigă alta înţelegînd că ele se leagă mai întîi între ele şi apoi cu semnul scris. Ex. în loc de (p . q) V r putem scrie pq V r (omiterea conjuncţiei) sau (p q)r (omiterea disjuncţiei). Dacă termenii disjuncţiei sînt ordonaţi : Pl' P2 P,. atunci putem scrie : "

•

•

"

•

n

Pi = P l V P2 V E ..... 1

VA

(unde "L" înseamnă suma logică adică disjuncţia numită astfel din cauza unor analogii cu suma aritmetică). Disjuncţia poate fi aplicată ' şi sumelor logice (deci putem utiliza ambele semne) : n

...

E A V El qj .-1 j_ Termenii "produs logic" şi "sumă logică" sînt adesea folosiţi respectiv în loc de conjuncţie şi de disjuncţie.

' C9 Propoziţii im.plicative. Unele propoziţii compuse au tbrma " dacă a atunci b" unde "a" şi "b" pot desemna o cauză şi respectiv un efect (implicaţia cauzaIă), două proprietăţi (implicaţia conceptuală), o mulţime de premise şi respectiv 30

o mulţime de concluzii (implicaţia deductivă). Exemple : fropoziţia "dacă se încălzeşte termometrul atunci mercurul se urcă" exprimă o implicaţie cauzală ; propoziţia "dacă poli­ gonul (euclidian) are trei laturi suma unghiurilor sale are 180 '''' exprimă o relaţie Între două proprietăţi ("concepte" cum mai denumesc unii proprietăţile), iar propoziţia "dacă 21 şi 2 1 + 1 atunci 21 1 + 1" este o implicaţie 2 deductivă. Indiferent de ce "obiecte" vor desemna "a" şi "b" dacă propoziţiile care se referă la aceste obiecte sînt de aşa natură că de la prima se poate ajunge prin deducţie la ultima noi vom putea spune că avem o implicaţie deductivă de la "a" la "b ". Vom exprima această implicaţie astfel "dacă p atunci q" . Prin urmare "dacă p atunci q" va Însemna "q se deduce din p" (unde p este condiţie suficientă pentru q sau q este condiţie necesară pentru p) . Membrul "p" (care poate fi la rîndul lui o propoziţie compusă) se va numi ante­ cedent, iar "q" consecvent. =

=

=

Reguli de adevăr

i) Este imposibil ca o implicaţie adevărată să aibă antece­ dentul adevărat şi consecventul fals. ii) Dacă antecedentul este adevărat şi consecventul este fals, implicaţia este falsă. Pentru implicaţia adevărată membrii se pot afla În una din situaţiile (v v), (fv), (f f). Exemple. Pentru cele trei cazuri de implicaţie adevărată : "dacă 20 1 şi 1 = 30 atunci 20 3°" (vv) "dacă 2 12 şi 1 2 20 + 20 atunci 2 20 + 20" (f, v) "dacă 2 12 şi 1 2 01 atunci 2 OI" (ff). Toate aceste trei implicaţii sînt adevărate în virtutea teore­ mei "pentru orice (a, b, c) dacă a b şi b c atunci a = c". Se observă că antecedentul (P) este o conjuncţie de două propoziţii (ex. ,,2° 1 şi 1 = 30 ") . Pentru regula ii) avem exemplul : "dacă triunghiul dreptunghic are două laturi per­ pendiculare atunci el are două unghiuri ascuţite egale". Este adevărat că "triunghiul (adică orice triunghi) dreptunghic are două laturi perpendiculare", dar nu este adevărat că "orice triunghi dreptunghic are două unghiuri ascuţite egale". Simbolizare. Vom simboliza implicaţia prin _ şi vom scrie "p of' q" (citeşte "p implică q" sau "dacă p atunci q" ) . Pentru implicaţie se folosesc şi alte semne ca =) , ::J. C şi se scrie res­ pectiv p -> q, P ::J q şi Cpq. =

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

31

Implicaţiei p _ q îi corespunde inversa (recipro(!a) q _ p_ Implicaţia poate fi aplicată expresiilor fOrIqate prin - , . , V după cum acestea pot fi aplicate implicaţiei. Ex. (pq V r) _ _ r}. Ea poate fi aplicată şi unor expresii formate tot cu implicaţia : (p _ q) _ r etc.

e. Propoziţii de echiv alenţă (notate p = q) . Propoziţiile de echivalenţă au forma "p dacă şi numai dacă q". Astfel de expresii pot avea de asemenea mai multe sensuri (printre care şi dependenţa exclusivă a lui p de q) dar noi vom avea în vedere numai sensul : "p se deduce din q şi q se deduce din p". Prin urmare echivalenţa se reduce la o conjuncţie de două implicaţii p _ q şi q _ p. Exemplu : "Rombul este pătrat dacă şi numai dacă are toate unghiurile drepte" se descompune în "dacă rombul este pătrat atunci el are toate unghiurile drepte" (implicaţia directă) şi "dacă rombul are toate unghiurile drepte atunci el este pătrat" (implicaţia reciprocă). Consideraţiile referi­ toare la sensurile implicaţiei pot fi extinse şi asupra propo­ ziţiilor de forma "p dacă şi numai dacă q" .

Reguli de adevăr

i) Dacă echivalenţa este adevărată atunci ambii membri sînt adevăraţi (vv) sau ambii membri sînt falşi (ff). ii) Dacă echivalenţa este falsă atunci valoarea membrilor ei diferă (vf) sau (fv). Simbolizare. Vom simboliza echivalenţa prin = llIi vom scrie "p q" (citeşte "p este echivalent cu q" sau "p dacă şi numai dacă q"). Se mai folosesc semnele, ..... , =, ,... llIi E şi se scrie respectiv "p - q", "p = q", "p ,... q", "Epq". Noi vom folosi uneori semnul ,,=" pentru a marca o echivalenţă logic adevă­ rată. Echivalenţa poate fi folosită de asemenea În combinaţie cu propoziţiile introduse mai sus, ex. "p = (q • r) ", (p = q) = = «p . q) V r)"·I� =

,,

f. Alte feluri de propoziţii. O propoziţie interesantă este cea de forma "fie că nu p fie că nu q" . Ea este o disjuncţie de propoziţii negative şi poartă numele de "anticonjuncţie" sau "incompatibilitate". Ex. "Fie că copiii slabi nu Iţorm destul fie că nu se pot îngrăşa". Incompatibilitatea se siIQ.bolizează prin j şi se scrie "pjq" {cite,te : "p este incompatiHil cu q" sau "fie că nu e p. ------

'12

fie că nu e q"). Un alt fel de propoziţie considerată in logică este cea de forma "nici p, nici q", ea este numită şi "antidis­ juncţie". Exemplu : "NicI nu merg la teatru, nici nu rănUn aca să ". Această propoziţie o vom nota cu "P It" (citeşte "nici p, nici q"). Pentru a marca o anumită' ilime ne intre "Plq" şi "P It" q" putem utiliza, atunci cind le luăm in consideraţie pe ambele, in locul notaţiei "Plq" notaţia P /q". Expresia P lq se mai scrie Dpq.

t"

g. Recapitulare a simbolism.ului. Litere p, q, r, sint vari­ abile propoziţionale (desemnează propoziţii adevărate sau false). Semnele - , " V, +, � , =, 1, '" se numesc operatori sau functori logici sau conectori. Operatorii de forma N, K, A, C, E, D, au fost daţi de Lukasiewicz şi ei se supun unor reguli speciale, iar simbolismul lor se numeşte "scrierea poloneză". 2. FUNCŢII DE ADEVĂR a. Definiţii. în paragraful anterior noi am analizat o serie de propoziţii compuse sub raportul informaţiei în general şi a valorii logice. Formulînd diferite reguli de adevăr noi am avut in v�dere faptul că adevărul şi falsul se raportează la judecata (informaţia) pe care o exprimă propoziţia. Dacă acum vo m constitui anumite tabele in care vom pune valorile" propoziţiilor componente in stinga, iar pe cele ale propoziţiilor compuse in dreapta vom obţine anumite "distribuţii" de:valori specifice fiecărui fel de propoziţie compusă în parte. Fie regulile de adevăr ale implicaţiei (materiale). Conform cu aceste reguli vom avea tabelul :

pq I p - q

vv vf fv ff

v f v v

Se obeervă că tabelul acesta este structurat după anumite reguli de corespondenţă, - fiecărei perechi de valori pentru (p, f) îi corespunde o valoare şi numai un(pentru p -+ q. (Ex. perechii vv îi corespunde valoarea v) . 33

Or, prin definiţie o corespondenţă univocă intre două mu ţimi de obiecte (nu importă de ce natură) X şi Y înseamnă functie în care X este domeniul functiei, iar Y codomenil O p�reche de valori ex. (vv) va fi nu�ită o alegere de valor. " Variabilele (p, q) vor desemna "argumentele" funcţiei, ia expresia formată cu ajutorul operatorilor (ex. p _ q) va 1 numită "expresie funcţională". Funcţia de mai sus este funcţie logică (uneori se spune operaJie logică) in speţă o funcli de adevăr deoarece este definită pe mulţimi de valori logic (şi ia valori de asemenea logice). Fiecare funcţie de adevă poate fi definită fie printr-un tabel (ca mai sus) numit � "matrice", fie prin regulile de corespondenţă (uşor de formula pe baza tabelelor), fie pe alte căi. Deoarece in cazul funcţiilo de adevăr intervine presupunerea că pentru a determina valoa rea funcţiei este suficient să cunoaştem valoarea argumentelor presupunere care nu este valabilă pentru propoziţiile compusI corespunzătoare (fără anumite restricţii), noi nu vom ma vorbi de aci înainte de propoziţii ca valori ale variabilelOl ci pur şi simplu de valorile logice (v, f) care vor fi tratate c� două "obiecte abstracte". în conformitate cu această procedură abstractă vom procedo la reinterpretarea simbolurilor. 1: Variabilele p, q, r, . vor desemna entităţi din mulţi. mea (v, f) in aşa fel că nici o variabilă nu va dcsemna în acelaşi timp entitatea v şi entitatea f, ci una sau alta. 2. Expresiile constituite cu ajutorul operatorilor (functori­ lor) , . , y, etc. vor dese�na de asemenea entităţi din mul­ ţimea (v, f) în condiţiile impuse de regulile de corespondenţă. Despre ele vom spune de asemenea că reprezintă funcţii de adevăr. Se mai poate considera că p, q, r, reprezintă funcţii propoziţionale care pot să devină adevărate sau false (de exemplu, ecuaţii). Funcţiile de adevăr vor purta denumirile propoziţiilor cores­ punzătoare : negaţie (funcţia negaţiei), conjuncţie (funcţia ' conjunctivă), disjuncţie, implicaţie numită şi "implicaţie mate. riaIă," echivalenţă etc. Expresiile p, p q, p y q, p _ q, p q etc. se citesc aş cum s-a arătat mai sus . Definiţii. Conceptul de "funcţie de ade.văr" se generalizeaz în aşa fel încît variabilele vor desemna ele Însele funcţii (funcţi .

.

-

.

•

34

=

.

.

....lrIIlative), iar ulterior vor fi incluse şi alte feluri de funcţii 4leât cele de mai sus. Un mod simplu de a defini funcţiile este prin tabele (,,,matri­ a") . Iată aceste definiţii prin matrice :

" I li �

I

I "

pq Ipoq pq \pVq pq I p-q pq I p = q pq I p+q

tItI "1 Iti II

ti I f I

tItI "1 1" II

ti ti ti I

W

"1 Iv II

I ti

v

"ti

tiI Iv II

ti

tIIJ

I I

"1 Iti If

v

I ti

"

I

pq

/P/q

vv

f

fJl IfJ fi

ti

ti \1

in stînga sint date valorile posibile ale argumentelor iar în dreapta valorile corespunzătoare ale funcţiilor. Funcţiile pot fi apoi definite pe baza regulilor de corespon­ denţă care pot fi formulate pe baza matricelor indicate. Exem­ plificăm pentru conjuncţie : i) Dacă p este v şi q este v atunci p q este v ; ii) Dacă p este v şi q este f atunci p q este f; iii) Dacă p este f şi q este v atunci p q este f; iv) Dacă p este f şi q este f atunci p q este f. (Analog pentru celalte funcţii). Se pot da însă definiţii mai scurte şi chiar mai generale decît cele date prin matrice. (1) Numim nega/ie funcţia a cărei valoare este v atunci cind argumentul are valoarea f şi f cînd argumentul are valoa­ rea v (deci funcţia a cărei valoare este inversă argumentului ei). (2) Numim conjuncţie funcţia care este adevărată atunci şi numai atunci cînd toate argumentele ei sînt adevărate. (3) Numim disjunc/ie (alternativă) funcţia care este falsă atunci şi numai atunci cînd toate argumentele ei sint false. (4) Numim implicaJie funcţia care este falsă atunci şi numai atunci cînd antecedentul (P) este adevărat, iar consecventul (q) cste fals. (5) Numim echivalenţă funcţia care este adevărată atunci şi numai atunci cînd toate argumentele au aceeaşi valoare (sau toate adevărate sau toate false). (6) Numim excludere funcţia adevărată atunci şi numai atunci cînd numai un argument are valoarea adevir. o

o o

•

35

(pentru disjuncţia neexclusivă se poate da �i următoare definiţie care poate fi comparată cu definiţia excluderii : dU juncţia este adevărată atunci şi�numai atunci cînd cel puţi un argument es\� a,devărat): "" (7) Numim incompatibilitate funcţia falsă atunci şi Jluma atunci cînd ambele argumente sînt adevărate. (8) Numim antidisjuncEie funcţia adevărată atunci şi numa atunci cînd toate argumentele sînt false. Dacă condiţiile (2) -(8) nu sînt satisfăcute, funcţiile vo avea valoarea inversă celei prescrise în definiţie. b. Unele proprietăţi ale funcţiilor de adevăr. In continu are vom studia proprietăţile denumite comutativitate, asociati vitate, distributivitate, idempotenţă, reflexivitate şi tranzitivi· tate. Fiecare din aceete proprietăţi se exprimă într-o "legt logică". Conjuncţia şi disjuncţia sînt comutative, adică valoa· rea lor nu depinde de ordinea termenilor.

(I) p . q == q .p (2) P V q == q V P

Acelea�i sînt asociative, adică valoarea lor nu depinde de gruparea- termenilor.

(p . q) . r V (q V r) = (p V q) V r

(3) p . {q . r)

(4) P

=

Conjuncţia şi disjuncţia sînt distributive una faţ ă de alta.

(5) p . (q " y r) == (p - q) V (p . r) (6) p V (q . r) = (p V q) . (P V r) Semnul = înseamnă logic echivalent, ceea ce este mai mult decît simpla echivalenţii ( =). Ori de cîte ori are loc echivalenţa logică are loc şi simpla echivalenţă (reciproca nu este adevă­ rată). Tocmai de aceea în loc de == putem scrie = dar invers nu întotdeauna. Să considerăm unele exemple. Conform cu (1) este tot una dacă spunem "pătratul este dreptunghi şi pătratul are toate laturile egale "sau" pătratul are toate latu­ rile egale şi pătratul este dreptunghi". Pentru (2) putem con· sidera două ipoteze, va fi indiferent în ce ordine le formulăm : "x este bolnav de nervi sau x este bolnav de cancer" este logic 36

j

-mvalent cu "x este' bolnav de cancer sau x··este Bolnav de .-vi", Pentru (3) fie o serie de ipoteze medicale. Medicul .firmă : a) X are C8I'Cer şi b) X are hepatită

�

l�ilJI1X are ulcer.

Cu alte cuvinte pe lîngă cancer X mai are cel puţin una din ttle două holi. Nu influenţează rezolvarea problemei dacă ..edicul o va formula astfel : a ) X are cancer şi hepatită sau b) X are cancer şi ulcer. Pentru (4) analog mediul afirmă : a ) X are cancer sau b) X are ulcer şi hepatită. Ipotezele pot fi reformwate astfel : a) X are cancer sau ulcer şi b) X are cancer sau hepatită. Conjuncţia şi disjuncţia sînt idempotente, adică, •

(7)

(8)

p .p = P

P V P = p.

Implicaţia şi echivalenţa sînt reflexive şi tranzitive :

(9) P ( 1 1) (12j

�p

-fo

«P I

P

-fo =

P = P (reflexivitate) q) . (q -fo r)) -fo (p -fo r) - ,1mtJJJknkJe. (10)

q) . (q L

=

r)) � (P )

,

=

r)

)

Formulele (9), (10) sînt legi ale identităţii, iar (11) şi (12) Irgi ale tranzitivităţii, analog (1) -(8) poartă denumirea proprietăţii respective (ex. "legea comutativităţii" etc.). Tran­ sitivitatea implicaţiei poate fi exemplificată astfel : "Unele aDiamale sînt oameni" se deduce din "Toţi oamenii sînt ani­ .ale", "Unele animale nu sînt non-oameni" se deduce din .,Un'ele animale sînt oameIii" prin urmare ea se deduce şi din _Toţi oamenii sînt animale". Tranzitivitatea echivalenţei poate fi exemplificată pe baza transformărilor echivalente : , ., 2x + 3 = 5" .1 se transformă În , , 2x 5 � 3 ". Iar aceasta În . ,2 x = 2" prin urmare ,,2x + 3 5" este '1 fthivalentă cu .,2x = 2". =

=

J

37

Există şi alte proprietăţi care vor fi introduse ulterior o dat cu indicarea principalelor legi logice. c. Relaţii de echivalenţă Între expresiile logice. UneI expresii funcţionale sînt echivalente cu altele prin definiţie Astfel p -+ q poate însemna "nu este adevărat p (sau altfel este adevărat q", adică p y q . La rîndul ei echivalenţa este o conjuncţie între implicaţia directă şi cea inversă (reciprocă) (P -+ q o q -+ P ). Aceasta înseamnă că în exprimare ne putem dispensa uneori de anu­ miţi operatori definindu-i prin alţii. Putem alege diferiţi operatori de bază, restul reducîndu-se la aceştia prin definiţie. Desigur, nu orice grup de operatori poate constitui o bază pentru toţi ceilalţi. Iată cîteva posibilităţi ( ) , ( y, ) ( -+ , ), ( o , V, ) (f), ( � ). Grupul ( o , y, ) formează grupul de operatori al aşa-numitei "algebre booleene". Ne vom opri tocmai asupra acestui grup. Iată definiţiile corespunzătoare ale restului operatorilqr.

-

( 13) ( 14) (15)

-- ,

-+

P q = p y q, P/q' = p y q, P + q = pq y pq

o ,

-

-,

(1 6) P = q = pq o qp ( 1 7) P / q� = p o q,

Nicod a redus toate expresiile funcţionale la exprimarea doar cu ajutorul operatorului / (denumit şi operatorul lui Sheffer).

(18) p = PtP

( 19) (20) (21) (22)

/ 'f)

(23) p Y q = (P/p) q/q) o = p ), p q (P/q)/( /q (24) P -+ q = P/(q/ P + q = ({P/(q/q))/(q/{P/q))) P = q ,= ({P/(q/U))/(q/{P/P) ) /({P/ (q/q))/q/{P/P))) P � q = « (P/P)/(q/q) / ( {P/P) /(q�q»

Functorul � este de asemenea suficient pentru a-i defini pe toţi ceilalţi prin el. d. Tabelul funcţiilor bivalente. La întrebarea cîte funcţii neechivalente putem construi pornind de la n variabile putem răspunde cu ajutorul egalităţii : " N = mm unde m = numărul de valori logice admise iar n numărul de variabile. 38

Dacă m = 2 (adică v, f) şi n = 2 (adică p, q) vom avea fi" = 1 6. Aceste 16 funcţii pot fi reprezentate într-un tabel.

(Faecare funcţie va ..meric). pq l vv

ti fv ti

fi

notată apoi prin fi unde i este indice

--r-1 V �") P � 6� = 2 3 4 7 5

v

v

v

v

V

V

v

v

v

v

v

f

f

v

f f

V

f

v v

V

f

v

f

V

f f

v

:

/9 + - - 10 1� � g f

v

f f f

v

v

v

v

v

f

14

15

16

v

f f f

f f f f

f

v

v

f

f f

v

v v

f

v

'("DeIe din funcţiile din acest tabel au fost deja studiate :

12 = P V q, /, = (P

fa = q

p, /Ij p, /5 P -+ q, /6 q, q) , /e p . q, /9 = P/q, 110 P + q, fn = ij, 113 fi, f15 · P ,/ q

=

=

-+

=

=

=

=

=

�estudi!lte sînt încă funcţiile h, .h2' .h4 şi .ha. Funcţia h poartă numele de "lege logică" sau "tautologie" �u "funcţie identic-adevărată" sau "identitate logică". ! Funcţia h2 este negarea implicaţiei, .h4 este negarea implica. i inverse, iar ha este contradicţia (funcţia identic-falsă). general funcţiile pot, conform cu acest tabel, să fie elasi­ te în trei categorii : legi logice (tautologii), contradicţii şi cţii realizabile. Iată definiţia fiecăreia din cele trei. Nu�im lege logică funcţia logică adevărată independent de valori iau argumentele sale (din mulţimea (v, f) . Numim contradicţie acea funcţie logică falsă independent ce valori iau argumentele ei din mulţimea (v, f). Numim funcţie realizabilă funcţia logică adevărată cel puţin -un caz. De observat este că în tabelul de mai sus funcţiile sînt opuse etric faţă de jumătatea tabelului (h este opusă lui h6' lui hs etc.), adică fl+" = ha." (unde n O, 7). De aci urge că unele funcţii pot fi echivalate cu negaţia altora şi i că putem opera o reducţie a exprimării. Din tabel decurge diat că în loc de 16 funcţii putem utiliza 8, iar restul să introduse prin definiţie cu negaţie a celor 8. Vom vedea =

39

că O asemenea reducţie joacă un rol fundamental în logic. şi că ea stă la baza transformărilor calculatorii din aceasti ştiinţă. L 3. PROBLEMA: D ECIZIEI

Problema fundamentală a logicii simbolice este problema deciziei. Această problemă ee formulează în felul următor : fiind dată o expresie logică 'iii să se decidă dacă ea reprezintă o lege logică (tautologie), o contradicJie sau este o funcţie simplu

realizabilă.

V

,..

Această problemă poate . zolvată rin mai multe mijloace din care ami� �ri eli.minarea tre .tat - necunoscute­ lor ; b) prin � c) pe baza Elimi­ ma nareattrepH,tă a necunoscutelor se face pe baza JlW!t ra�nae. a n vederea deciderii p e baza unor raţionamente preacur­ t e este necesar să reţinem cîteva reguli mai importante care decurg din tkfiuitia funcţiilor de adevăr. - R1) Dacă u.ii membru al conjuncţiei este fals, atunci conjunc­ ţia va fi falsă ; Rz} Dacă un membru al este adevărat atunci -!!,loarea ei va depinde de es '!.-.membrilor ; este adevărat, disjuncţia "" Ba) Dacă un membru a va fi adevărată ; R,) Dacă un membru al disjuncţiei este fals, valoarea ei va �epinde de relitul membrilor ; . , R6) Dacă �nsecventul imp�ei este adevărat, implicatia a fi adevărata;� Re) Dacă antecedentul implicaţiei va fi fals, implicaţia va i adevărată ;� R7) Dacă con����ei va fi fals, implicaţia va epinde de antecedent ; � Re> Daci antecedentul implicaţiei va fi adevărat, valoarea Implicaţiei va depinde ae consecvent ; Ha) Dacă un membru al incompatibilităţii va fi fals, incom­ patibilitatea va fi adevărată ; RlQ) Da că un membru al incompatibilităţii va fi adevărat, valoarea incompatibilităţii va depinde de celălalt membru ;

�

�:�

�

40

Ru) Dacă un membru al antidisjuncţiei este adevărat, _tidisjuncţia va fi falsă ; R12) Dacă un membru al antidisjuncţiei va fi. fals, valoarea n va depinde de ceilalţi membri. Exemplul 1. Să se decidă prin raţionamente bazate pe ftgulile indicate asupra expresiei (p -+ (p + q» V p. Se observă că dacă presupunem că p este fals, p va fi ,ade­ Tirat (conform cu definiţia negaţiei) şi deci toată disjuncţia 'Q. fi adevărată. Dacă însă p este adevărat atunci p va Urfala şi deci conf. cu R, valoarea va depinde de celălalt membru. Vedem deci ce se întîmplă in continuare cu celălalt membru .mnci cînd raţionăm mai departe în virtutea lui p este ade­ Tirat. Dacă p este adevărat p -+ (p + q) va depinde conform cu Re de p + q. Deoarece p este adevărat, exchiaerea Ya depinde de q. Presupunem în continuare că q este adevărat, Uunci excluderea va fi falsă (deoarece p a fost deja presupus n adevăr!!t), implicaţi a va fi falsă (Ra)' iar disjuncţia va fi falsă (ambii membri sînt falşi). Dacă q va fi fals, p + q va fi adevărat, implicaţia adevărată, şi disjuncţia adevărată. Prin vmare, deoarece disjuncţia este numai într-un caz adevărată, n nu reprezintă o lege logică (nici o contradicţie), CU) f���ţje..

!pJjzeb�

Procesu de maI sus poate fi prezentat mai pe scurt dacă Tom proceda întrucîtva analog cu modul în care se rezolvă KUaţiile în algebră punînd constantele în locul variabilelor li aplicînd "regulile de operaţie". � acest scop este chiar mai comod să utilizăm pentru con­ IIlantele tJ, f semnele cifrice 1, O. Mai mult, ele ne vor ajuta a utilizăm şi alte analogii cu algebra. eon"enţie. 1 == v, O :!!:= f. (Adică 1 va desemna adevărul. O va desemna falsul). Toate tabelele vor putea}i refăcute conform cu această convenţie. De exemplu,

·f I

p

Ip

-;fI f •

v

devine

p

Ip

� Io O

1

această convenţie :p.u se transformă logica în aritmetică ă ci se obţin avantaje în mînuirea limbajului şi în intro­ rea unor procedee de lucru ce ţin de exprimarea cifrică. 41

Notînd apoi expresiile logice cu A, B, C, . putem da � o formulare mai concisă regulilor de mai sus, substituindu-l un �ir de echivalenţe. . •

R1) A . 0 = 0, RII) A - l = A, Rs) Ay1 = 1, R.) AyO = } R6) A 1 = 1, Rs) O - A = 1, R7) A - O = A Ra) 1 -A=A ; Re) O/A= 1, RlO) l/A A, Ru) 1 .t' A O Ru) O.t' A=A, R18) 1 + A = A, O + A = A, Ru) (1 = A) A, (O = A) A. -+

=

=

=

=

=

Revenim asupra exemplului 1.

= O. = 1.

Sup. p

P = 1 şi (P - (p + q)) Y P = 1 Concluzie p = O. Disjuncţia va depinde d.

Concluzii

Sup. P celălalt membru. Continuăm deci raţionamentul asupra aces· tuia, punînd valoarea cunoscută în locul variabilei P , ( 1 -:1 _ (1 + q) . Valoarea implicaţiei depinde de 1 + q, iar 1 + � de ipotezele in legătură cu q. Sup. q = 1. Conci. 1 + q = O, 1 -O = O, disjuncţia va fi O. Sup. q = O. Concl. 1 + q = 1 , 1 _ 1 = 1, disjuncţia va fi 1 . O nouă prescurtare s e poatt obţine dacă a�ezăm ipotezele (supoziţiile) şi concluziile um după alta fără comentariu dezvoltat. Sup. p = O. ConcI. p 1 �i P Sup. P = 1. ConcI. p = O ; (1 Sup. q = 1. ConcI. (1 - (1 + Sup. q = O. Concl. (1 - (1 + =

-+

(P +

- (1

q) Y 1

+

1)) Y O

=

1

q)) V O = (1

=

(1 - O)

O)) V O = (1

- 1)

+

YO

q) V O

=

=

1

+ q

O YO = O

VO = 1 VO

=

1.

Prin urmare, deşi adevărată, intr-un caz, expresia noastră nu e adevărată în toate.

Exemplul

2.

Să se decidă asupra expresiei

=

y (q . r) - P

= 1. Conf. cu R6 expresia este adev. p = O. Aplică R7 • U V (q.r) - O = 1 v(q.r) - O =

Sup. p. Sup,

p

1 -0

=

0 _0

=

1.

Este deci suficient să facem ipoteze asupra lui p pentru a elimina toate necunoscutele şi a decide. Expresia este o lege logică. Exemplul 3. Să se decidă asupra expresiei (P - q) _ r V s. Sup. P O. ConcI. (O - q) - r v s = O - r v s = 1. Sup. P 1. Conci. (1 - q) - r V s q - r V s. Mai departe trebuie să facem noi supoziţii în vederea elimi­ nării necunoscutelor. Sup. q 1 O. ConcI. O - r V s Sup. q 1 ConcI. 1 - r V s r V s Avem din nou nevoie de supoziţii. Sup. r 1. ConcI. 1 _ 1 V s = 1 _ 1" = 1 - O O. =

=

=

=

=

=

=

Sup. pentru Sup. Sup.

r

s.

S

s

=

=

=

= =

O. ConcI. 1

_ Ovs

=

1.

-f

1

O.

ConcI. 1 ConcI. 1

1 -s.

_O -O= 1 _ 1 =

= =

Din nou supoziţii ,

O

1.

Deoarece rezultatul eliminării lui p este într-un caz 1 , iar rezultatele restului eliminărilor este o dată O şi o dată 1, avem de a face cu o funcţie realizabilă. b. Metoda m.atricelor. O metodă foarte simplă de rezolvare este metoda matricelor. Ca şi în cazul matricelor unei funcţii se aşază în stînga tabel ului sus argumentele (p, q. r• . . . ), se descompune expresia În expresiile componente din ce În ce mai simple pînă se ajunge la variabile, se aşază în dreapta expresiile în ordinea complexităţii crescînde şi se decide asupra lor pe rind în funcţie de datele anterioare pînă ce se obţine soluţia expresiei date. Exemplu 1. Să se decidă asupra expresiilor.

(q - P) b) Cp V q) - q c) (p - q) - «(P - q) V (p - qj d) (p V q) = P V q )

a

p _

II J

pq

q -p

11 10

1 O O O

01

00

-)

q

11 10 01 00

O 1 O 1

�

fi

I pVq I

11 10 01 00

O O 1 1

1 O 1 1

( PYq)

-> �

1 1 1 O

/ p - q / p - q / (P - q) V (P-q) / (P -q) - ((P - q)V(P -qn 1 O O O

O 1 O O

/

I

pVq pVq

11 10 01 00

b)

1 O 1 1

pq

pq

4)

/" p - (q -P)

1 1 1 O

1 1 1

1 1 O O

pVq

O O O 1

=

�

PVq

O O O O

Prin urmare, a) şi h) sînt funcţii realizahile, c) este o funcţie identic-adevărată (lege logică), iar d) este o contradicţie. Deşi foarte simplu, procedeul matricelor devine practic inutilizabil pentru mai mult de trei variabile.

Exemplul

2.

a) ((p V q) - (q b) P - (p V q)

111 1 10 101 100

011

010

001

000

44

O O o o

1 1 1 I

o O 1 1 o o

1

1

1

V r))

=

(p

-+

r)

P V (p o r)

1 O o

1 O 1 1

1 I

o 1 1

1 1

-+

1

1 O 1 o

1 O o o

�.

I 1

O 1 1

I 1

1 1

1

1

1 1

pQI' 11 1 1 10 10 1 1 00 01 1 010 001 000

1

pVq

I

1 1 1 1 1 1 O O

per 1 O 1 O O O O O

I

PV(P

�

I

PV(p e r)

1 1 1 1 O O O O

p e (PVq)

O O O O 1

=

PV(P e 1')

O

O

O

O O O O O

1

1 1

Prin urmare funcţia a) este o lege logică, iar funcţia b) este contllldicţie. c.

Metoda formelor normale. Pe baza- relaţiei de echiva­

lenţă logică între anumite expresii noi putem efectua operaţii de transformare echivalentă în virtutea unor reguli logice. Tre­ cerea de la o expresie logică la alta echivalentă cu ea în virtu­ tea anumitor reguli logice ne dă posibilitatea să decidem asupra unor expresii pe baza altora. Pe de altă parte, despre valoarea unei funcţii putem decide în anumite cazuri dacă ţinem seama dc o serie de corelaţii Între anumite proprietăţi structurale ("sintactice") şi cele de valoare ("semantice"). în general vorbind, din anumite proprietăţi structurale ale

�

unei expresii noi plltem conchide la alte proprietăţi. Se impune, deiiÎgur, ca proprietatea dată să fie univoc reprezentată de o roprietate structurală a expresiei. -Asemenea �expresii care au anumite proprietăţi structurale in care noi putem conchide existenţa altor proprietăţi pentru

expresia dată şi pentru orice altă expresie echivalentă cu e a se numesc expresii "canonice" s a u , ,,normale". Dacă i n arit1 2 4 8 . metica se cere ca din şlru · I d e fracţll = - = 6 3 12 24 să s e aleagă fracţia care va reprezenta univoc pe oricare din mnlţimea fracţiilor considerate atunci noi va trebui să găsim ..

- < =

-

--

=

J

-

o aiemenea fracţie care are anumite proprietăţi ce nu mai aparţin altei fracţii din mulţimea considerată. O astfel de fracţie este aceea care are proprietatea de a fi ,,ireductibilă",

tn callul nostru

�.

Prin urmare, dacă o fracţie !!.- este ireduc3 b tibili, noi putem spu.ne că ea reprezintă univoc toate fracţiile din mulţimea considerată.

"\ în l�ică există expresii de o structură tip la care pot fi reduse prin trailsTormatî-eC1iivaiente alte ex resii Şi care (lato­ or

Definiţii (1) Numim termeni primi variabilele şi negaţiile lor (P , q, r, . , p, q, r, . . . ) (2) Numim conjuncţie primă orice termen prim şi orice conjuncţie de termeni primi (ex. p , q, p . q, p . q .) (3) Numim disjuncţie primă orice termen prim şi orice dis­ juncţie de termeni primi (ex. p, q, p V q , P V q , . . . ) Din aceste definiţii decurg unele concluzii importante cu privire la conjuncţii şi disjuncţii : a) se admite şi cazul cînd avem conjuncţii (resp. disjuncţii) cu un singur membru, b) în anumite cazuri una şi aceeaşi expresie poate fi tratată ca membru al unei conjuncţii cu un singur membru sau ca membru al nnei disjuncţii cu un singur membru. Se poate de asemcnea vorbi de conjuncţii şi disjuncţii cu o mulţime vidă de argu­ mente. Conjuncţiile (resp. disjuncţiile) cu un singur merpbru pot fi tratate ca avînd restul membrilor vizi. (5) Numim formă normală conjung,�ă CjlDj}lDcţia oricărlJi multimi de disjuDctii prime. (6) Numim formă normală disjunctivji disjuncţia erieăt:eL. multimi de coD)Uiictii prime. Cazuri intercsante. Termenii primi vor fi atît forme normale �onjunctive cît şi forme normale disjunctive, la fel conjuncţiile prime şi disjuncţiile prime. De şi resp. p • q , p V q, P V q , exempl u, p, q , r, p, q, r, p . q, . . . Cînd în calcul se introduc şi constantele 1 (adevărat) şi O (fals) noţiunea de formă normală se generalizează şi in raport cu aceasta-o în funcţie de un alt limbaj formele normale pot primi şi alte definiţii. .

.

.

• Vezi lucrarea noastră "Introducere tn logica matematici" (p. 56- 57, 60-61).

46

l

d. Proprietăţi ale formelor normale O propriet�te gene­ rală a formelor normale constă În aceea că ne atia cade numai pe variab!!s( O altă proprietate constă În aceea că operator da denumirea form L (conjuncţia, respectiv ?ijuncţia) nu !1re ÎnJP;m D;;;' ;eSjej, "'l'rin definiţie, se inţelege că tii LrmeJe normale nu apar alţi operatori decît V, - .

l'e

: ��� p

r

a::!,

· t

Expresiile "p V q, (p . q) V r, P V (q • r), p • (q V p) sînt ' forme normale, dar expresiile p ... q, p . q, p V ij, P • (q • P), p V (q V r) nu sînt forme normale, deoarece nu satisfac proprie­ tăţile de mai sus şi, se Înţelege, nici definiţiile date. Deoarece orice expresie poate fi transformată, pe baza anu­ mitor reguli, În expresie de formă normală echivalentă cu ea, dată ce am decis asupra valorii formei normale am decis şi u privire la orice altă expresie echivalentă ei., (7) Clasa tuturor expresiilor echivalente cu o expresie dată poartă numele de "clasă de echivalenţă". De aci decurge că a decide asupra formei normale Înseamnă a decide asupra cl�i �� echivalente' 1 _ e. CUIIl se decide cu ajutorul formelor normale? Mai întîi stabilim două corelaţii iniţiale Între proprietăţi struc­ turale şi valoarea logică. I a) Expresia de forma )\, V Ă este totdeauna adevărată (lege logică). b) Expresia de forma A • Ă este totdeauna falsă (contra-;.4.111cţle ). " I Aceste două propoziţii pot fi demonstrate pe baza matricelor. J. i A Ă = O. Pe de Prin urmare, putem scrie altă parte, A V Ă poate face parte dintr-un membru disjunctiv (membru al unei conjuncţii) iar A Ă parte dinlr-un membru conjunctiv (membru al unei disjuncţii). Fie (X y A Y Ă o dis­ junc�e unde (X reprezintă restul membrilor. Conform cu A V A = 1 şi cu echivalenţa A V 1 = 1, vom avea (X V A V V Ă = (X y l = l. Fie (X • A Ă o conj uncţie unde CI. reprezintă restul membri­ O şi cu echivalenţa A • O = O, vom lor. Conform cu A • A

r \

•

\�-vA-== ) •

•

=

•

avea IX . A Ă = IX • O = O. De aci se deduce că daeă o conjuncţie este formată numai din membri de forma IX V A V Ă fiecare membru al ei va fi adevărat şi deci toată conjuncţia va fi adevărată şi dacă o disjuncţie este formată numai din membri de forma IX • A Ă fiecare membru al ei va fi fals şi. deci toată disjuncţia va fi falsă (se presupune că în ambele cazuri IX poate fi, şi vid). De aci decurg următoarele criterii (în fond, teoreme) de decizie în formele normale : 1. Dacă în fiecare membru al formei normale conjunctive este conţinută o expresie de forma A V Ă atunci forma nor­ mală reprezintă o funcţie identic-adevărată (lege logică, tautologie ). 2. Dacă în fiecare membru al formei normale disjunetive este conţinută o expresie de forma A Ă atunci forma nor­ mală reprezintă o funcţie identic-falsă (irealizabilă, contra­ dicţie). 3. Oricare expresie din clasa de expresii echivalente cu forma normală respectivă va avea aceeaşi valoare ca şi forma nor­ mală. 4. Pentru a decide asupra valorii unei expresii este suficient 8-0 aducem la forma normală, dacă nu are loc nici cazul 1, nici 2, atunci avem o funcţie realizabilă. •

•

•

f. Cum. se aduce la f'orm.a Dorm.ală o expresie? a) Dacă există operatori care nu trebuie să apară in forma normală îi eliminăm conform cu definiţiile date mai sus. Ex. în loc de A � B vom pune Ă V B, în loc de AlB vom pune ....-.A . B ete. b) Dacă negaţia nu cade pe variabile o coborîm conform cu regulile : (bl) A se înlocuieşte cu A, (b2) A . B se înlocuieşte cu A V îi

(ba) A V B se înlocuieşte cu A . ii (adică conform cu legea dublei negaţii şi aşa-numitele legi ale lui de Morgan). (c) După efectuarea operaţiilor conform cu (a) şi (b) adueem expresia la f�rma normală dorită pe baza regulilor de asocia': tivitate şi ;;;' stribuitivitat � Ordonarea membrilor se poate face pe bazo comunicativitllţi �

lt

48

Eumple.

Să

se

aducă la forma

normală expresiile

ta> ({P - q) . (q _ r» _ (p - r), (b) P - ( q-P), (c) (J .q) = p, (ci) (P fq) • (qfP) · Rezolv� prima expresie. (.� «P - q) • (q � (P - r)

- p)

Trebuie să eliminăm operatorul implicaţiei.

«p V q )

•

(q V ,,) V Cii V r)

Coborîm negaţia pe variabile conform cu regulile .(b1) -(b3).

(p V q) V ("q V f/V P V r

(i> • q) V (q

ti. V p V r (p q) V (q . i1 V p V � •

•

,-

Se observă că aceasta este o f.n. disjunctivă. Conform cu criteriul de decizie ea nu reprezintă o contradicţie şi deci e�presia iniţială (echivalentă cu ea) nu exprimă o contradicţie. \ Pentru a ajunge la f.n. conjunctivă tn�buie să distribuim de cîteva ori disjuncţia faţă de conjuncţie. ! Putem pentru simplificare să scriem e::iC'presia fără semnul disjuncţiei (p q) (q • � pr,. Di tribulia o putem înc'1' e u partea (q ', 1iJ P� , �dică vom _ . ('fi . ) prq . pr� . � . p, faţă de q . ,. ŞI� vom obţIne distrIbuI q( Distribuim apoi (P • q) faţă de prq • prfui obţinem . •

�q2 . ((PC--�� p) Distribuim în continuare p rq faţă de p • q, ((P

r

•

_

_

pe p rjiJaţă de p • q, obţinem : prqp • prqq • prpp • prP-ii, ceea ce este f.n.c. Se vede că în fiecare membru este conţinută o expresie de forma A V Ă, adică în primul p V p, in al doilea q V q, în al treilea p V p, în al patrulea p V p. Prin urmare, avem o lege logică, iar expresia (a) este şi ea o lege logică. în continuare vom pune formulele una sub alta fără a indica operaţiile.

(b) p - (q - P)

P V (Q V P )

p . (q V P)

şi

p . (q . p) p . (q . li) p.q.p

49

Ultima expresie p o q o P poate fi tratată atît ca formă nor mală conjunctivă cu membrii p , q , P cît şi ca formă normali disjunctivă cu un singur membru (P q o P). în această ultimi calitate se vede că ea conţine în unicul membru o expresii de forma A o Ă (adică aci p o p. ) ceea ce înseamnă că repre zintă o contradicţie şi deci că (b) este o contradicţie.

o

(c) (P o q)

p o � « p q) P ) (P -+ (P o q)) (descompunerea echivalenţei îr: =

implicaţii)

o

(P o q V P) o (iv (P q» (P V ii V P) o (P V (P o q» o

PiiP o pp o pq

Aceasta este o f.n.e. Funcţia reprezentată nu este lege logică. Vrem să vedem dacă este contradicţie, deci o aducem la f.n.d. Reintroducem semnul disjuncţiei.

(P V ii 'l P) (P V P) (P V q) (P V ii V P) ( p V q)P V Cfi V q)P)

(P V ii V P) (iP V pq V pp V pq) (P V ii VP)PP V (P V ii V P)pq V (P V ii VP)PP V (P V ii V P) pq PPPVPPiiVPPP VPqPVPqii Vpqp VPPPVPPii VPPP Vpqp V V Pqii V pqp .

'-

.�!

Se observă că nu exprimă o contradicţie. De remarcat este că în această formulă o serie de membri se repetă. Contiorm cu legea A V A A (idempotenţa) noi îi putem reduce fără a influenţa nici valoarea expresiei, nici procesul de decizie. =

(d)

P/q o q/P p o q o q op

� 3) o Q)_'!. «�_V oP» Q (I p�:�!)qp (f.n.e.) I PqV qq VPP V qP (f.n.d.) o ( VP)

�

V

ii)

Ca şi expresia (c), expresia (d) este o funcţie simplu reali­

zabilă. 50

4. LI STA PRINCIPALELOR LEGI LOGICE o dată ce am expus procedeele de decizie cititorul poate face cunoştinţă cu lista celor mai importante legi logice. într-un paragraf anterior a fost dat deja un grup de legi logice (I}-(23) unele referitoare la anumite proprietăţi ale funcţiilor, altele referitoare la echivalenţa funcţiilor (definirea unor operatori prin alţii). (2 4) p . (PVq) = P (2 5) P V ( p · q) -= P (legil� absorbţiei) . De exemplu, valoarea propoziţiei "ba plînge, ba plînge sau se vaită" se reduce la valoarea propoziţiei "plînge" (se consi­ deră că avem o persoană bine determinată la care ne raportăm), la fel pentru "ba dansează, ba dansează ori cîntă" valoarea se reduce la valoarea afirmaţiei "dansează". Analog pentru (25) "Cîntă sau cîntă şi dansează", "Huliganul înjură sau înjură şi se bate". =

(26) P _ P (27) P P (legile dublei negaţii). De exemplu, "Nu este adevărat că «2 nu diferă de 4 »", prin urmare, 2 diferă de 4" (pentru 26) şi ,,3 > 2 dacă şi numai dacă nu este adevărat că 3 > 2". =

(28) P • q = p V 'ii (29) P V q p 'ii (legile lui de Morgan). " Nu-i adevărat că ninge şi plouă" ceea ce Înseamnă că "nu ninge sau nu plouă". "Nu-i adevărat că un huligan vorbeşte frumos sau este paşnic " ceea ce Înseamnă că "un huligan nici nu vorbeşte frumos ' şi nici nu este paşnic". (30) P - (q _ P) (3I) P _ (P _ q). Acestea sînt legi ale implj­ caţiei materiale care spun că adevărul decurge din orice ( 3 0) şi respectiv că falsul implică orice (31), ca În cazurile: "Dacă toţi oamenii sînt fiinţe raţionale, atunci cel puţin unele fiinţe raţionale sînt oameni (adevărul decurge din ade­ văr) . "Dacă toţi oamenii sînt octogenari, atunci cel puţin unii o ctogenari sint oameni", (adevărul decurge din fals, adică 1 implică adevărul). "Dacă nici o pasăre nu este animal, atunci nici un animal nu este pasăre" (falsul implică falsul) (32) (P - p) _ P (33) «P _ q) (P _ q) _ p (legile reducerii la absurd). =

•

•

51

"Nici o propozIţIe nu este adevărată" implică faptul c nici propoziţia "Nici o propoziţie nu este adevărată" nu est adevărată, prin urmare, Nu este adevărat că "nici o prop( ziţie nu este adevărată" (exemplu pentru (32)). "Triunghiul echilateral are un unghi drept". De aci decurg că "nu toate laturile sînt egale" (căci la unghiuri inegale s opun laturi inegale), iar din faptul că este echiIateral decurg (prin definiţie) că "toate laturile sînt egale". Prin urmart nu este adevărat că "triunghiul echilateral are un ungh drept". (34) (p • q) _ p (resp. (p . q) -+ q) (3 5) P -+ (p Y q) (resp

q

-+

(p y q».

Legea (34) spune că conjuncţia implică partea sa, sau c; dacă este adevărată conjuncţia atunci este . adevărat şi UI membru oarecare al ei, iar legea (39) spune că disjuncţia este implicată de partea sa, sau că, dacă este adevărat un membn: oarecare al disjuncţiei atunci este adevărată disjuncţia. (36) «p _ q) • p) -+ q (legea modus ..R0nens) Dacă este adevărat că p -+ q şi dacă este adevărat p atunci este adevărat q.

(37) P • J (legea noncontradicţiei) Nu este adevărat că p şi non-p. ( 3 8) p Y P (legea terţului exclus) Este adevărat p sau este adevărat non-p (or, p este adevărat sau p este fals). (3 9) pq V pq = P (40) pq . Pii. = P (legile excluderii). "Plouă şi stau În casă sau plouă şi nu stau în casă" este echi­ valentă cu "plouă". "Plouă sau e vreme friguroasă şi plouă sau nu e vreme frigu­ roasă" este echivalentă cu "plouă". ExerciJii. Să se substituie în fiecare lege alţi operatori decit cei ce apar în legea respectivă şi să se verifice dacă ceea ce se obţine este sau nu lege lo�ică. Exemplu pentru p • q q • P să punem in locul conjuncţiei pe rind -+ , =, /' i/ , + şi să se decidă dacă aceştia au pro­ prietatea comutativităţii. Astfel : =

p + q = q +p p - q = q -p P/q = q/P etc. 52

5. FORM E L E NORMALE PER FECTE

a. în vederea rezolvării &hor probleme cum ar fi problema daci două expresii date sint sau nu echivalente, problema ipotezelor şi concluziilor, precum! şi problema minimizării este util să introducem un nou tip de formă normală, aşa zisele "forme normale perfecte". Definiţie. Numim formă normală perfectă aceea formă nor­ mali care pe lîngă condiţiile descrise anterior satisface Încă următoarele proprietăţi : ,a) Îiecare membru al formei normale conţine pe fiecare diri.- literele care intră în componenţa expresiei (cu sau fără negaţie) ; b) nicCun termen prim nu poate apărea mai mult de (lo singură dată intr-un singur membru ; c) nici un membru nu poate apărea mai mult de o dată ; d) nici o literă nu poate intra Într-un membru împreună cu negaţia ei. Exemple. Expresia (p V q) • (p V q) este o formă normală conjunctivă perfect (f.n.c.p.), iar expresia (p • q) V @ • p) este o formă normală disjunctivă perfectă. Funcţia (p V q) r nu este în f.n.c.p. �ece nu satisface condiţia a). Expresia ppqr V prq satisface co:lldiţia a) dar nu sa.!isface condiţia b) deoarece p se repetă În primul membru. Expresia pqr pqr • • pqr satisface condiţiile a) şi b) dar nu pe c). Expresia p r:;. • pqr satisface condiţiile a) -c) dar nu satisface condiţia d)_ Convenţie. Pentru a face mai comodă analiza formei normale convenim ca în membrii ei să scriem literele în ordine alfa­ betică. Pentru a aduce o expresie la forma normală perfectă procedăm astfel : a) aducem expresia la una sau alta din cele două forme normale (neperfecte) generale ; b) dacă într-un membru lipseşte o' literă atunci ea se adaugă. conform cu expresiile : •

•

·

-

, -

- ---

. ' -

--

/ri V (t • t) (pentru f.n.c.) şi I IX • (t V 1) (pentru f.n.d.)

"

__ o

�

I

-

."

/

este m !!J,�e'iip�ctiv. iar , litera ce trebuie adău­ gaU i după aceea se opere az ă distrihuţiile, unde

IX

c) dacă un termen apare mai mult de o dată el este redu �onform cu regulile

A.A.

•

AVAV

A se înlocuieşte c

u{)

V A se înlocuieşte cu A

d) dacă un membru apare mai mult de o dată, atunci e ·este redus conform cu aceleaşi reguli de mai sus (aci }. v�_reprezenta nu un termen ci un membru), :, e) dacă o literă �pJ.ţre !�preună cu nega ţia ei în1:r.- u� membru _ ati'n:îci tot me�b:rul esţ�, di1!lin_�t. Cum justificăm introducerea sau eliminarea unei expresii� Este permis să ,se adauge la o expresie dată o altă expresie .dacă noua expresie obţinută în urma operaţiilor amintite ,(introducere, eliminare) nu este diferită ca valoare de cea iniţială. într-adevăr, adăugînd la expresia O( expresia (t . t) prin disjuncţie, deci O( V (t . t) valoarea expresiei nu se schimbă, ceea ce se dovedeşte prin demonstrarea tezei corespunzătoare :

î

A

Se ştie că B . B

V (B . B ) = A

O şi că A V O = A. (t V 1) se ştie că B V B

=

1, şi A · 1 = A. în exemplele pe b. · care le vom considera expresiile vor fi aduse dej a la formele normale (generale). a) (p_ � q) V(q r) V p. Pornind de la definiţia f�n.p. urmă­ rim rind pe rînd dacă condiţiile sînt satisfăcute. în caz că nu, noi le realizăm conform cu regulile a) -e) de mai sus. în expresia a) condiţia primă nu este satisfăcută deoarece în membrul (p � _�_se ��Jiţe.ra._:!l în membrul (q, . r) llpseşte litera,.p-l iar In membrul p lipseşte atît q cit şi r. Adăugăm pe rind literele care lipsesc după regula respectivă :

Analog pentru oc

•

Exerciţii de norDlalizare perfecti .

=

•

«P . q) .o>(r V r»

!V

«q

•

r)

•

(p V p» V (p

•

(q V q)

, Prin distribuţie readucem expresia la forma normală :

p qr V pqr V qrp Y qrp ypq ypq 54

Deoarece În ultimii doi membri lipseşte litera r o vom adăuga :

,!J. VWv qrp V qrji'9ţii V �

PQ1 V p-q;.

(Procesul poate fi înfăptuit în ' minte fără a mai scrie toate­ etapele). Ordonăm literele alfabetic : PQ1 V pq; V pqr V jiqr Vpqr V p q; V pqr V pqr. Se observă că membrii PfJ! şi pq; se repetă, prin urmare îi vom reduce : pqr V p q; V pqr V PQ1 V pqr ceea ce este f.n.d.p. b) Să se normalizeze perfect C) se deduce B � (A � C) şi reciproc. Demonstraţie. Formula A � (B � C) conf. cu def. 1 este echivalentă cu A (EC). De aci prin comutativitate se obI ine (BC) A, iar prin asociativitate B(CA) şi în fine prin comuta­ tivitate 1i(AC). Dar din B(AC) prin def. 1 se obţine a doua parte a reg. IX, adică B � (A � C). în mod analog se dove­ deşte că şi prima parte se deduce din a doua. şi X. Regulă. Din A � (B -> C) se deduce (A . B) � C =

reciproc.

Drmonstraţie. Se demonstrează prin asociativitate şi aplica­ I't'g. VIII combinată cu def. 1 şi def. 2. XI. Regulă. Din A -> (A � B) se deduce A � B şi reciproc. � foloseşte asociativitatea şi reg. VIII (combinată cu III). rea

T�rrma 22

p(q . '1) � (pq . pr)

Dr lJUJnslraţie Seria

1

Seria a II-a

Seria a III-a

(p . q) � P (P / q. qjr)

(p . q)� q(p jq, qjr) p � (q � (p . q»

(q.r) � q (VI)

(q.r) � '1 (VI)

p(q. r) � pq.

p(q.r) � p '1 · ·

78

(PIPq) qjpr) pq � (Pr � (P q · p'1) · "

Seria a IV-a (.,

p(q . r)

-r

•••

) (VII)

(Pr - (pq.pr» (IX)

pr _ (p(q. r) - (pq.pr) .... ( • •,

••••

) (VII)

p(q. r) _ « p(q. r) - (Pq.pr» ( XI) p(q . r) _ (pq. pr)

q.e.d.

Teorema 23. (pq .pr) - p(q. r) Demonstraţie :

p - (q - (p . q» (P lq, qlr) q _ (r - (q. r»*

(j> _ q) - (rp _ rq) (p /r , q /q . r, r lP) (r _ (q . r» - (Pr _ p ( q . r» "

( ., . . ) (VII)

q _ (Pr _ p(q . r) (I X) pr _ (q - p(q.r)

•••

4 , (P /q , q/p(q . r) , r/p) _p(q . r)_(pq_p(p(q. r» · · · · ( • • • , • • • •) (VII) pr-(pq_(p(p(p(q. r))) (IX) pq _ (Pr-p(p(q . r» (VIII) se înlocuieşte p (p (q . r» cu p (p . r» pq _ (Pr - p(q . r» (IX) (P q .pr) _ p(q . r) q.e.d. Din 30 şi 31 se obţine prin prescurtare :

p (q. r) = pq.pr Deoarece orice formulă poate fi verificată prin forma normală conjunctivă, nu este necesar mai departe să demonstrăm, ci, pe baza celor de mai sus formulăm reguli de aducere la

f.n.e.

79

10.

PROPRI ETĂŢI LE SISTEMULUI AXIOMATIC

a. Un sistem axioma tic pentru a fi acceptat trebuie să satis­ facă trei proprietăţi formale : necontradicţia (consistenţa), completitudine a şi independenţa (ultima nu este socotită obli­ gatorie de către toţi). Aceste proprietăţi pot fi definite pur formal ("sintactic") sau pe baza unei interpretări ("semantic " ). Necon'radicţia. Spunem că un sistem axiomatic este necontra­ dictoriu dacă şi numai dacă în el nu poate fi demonstrată o formulă împreună cu negaţia ei, adică dacă o formulă de forma A . A nu este teoremă în acest sistem. Independenţa. Spunem că un sistem axiomatic este inde­ pendent dacă nici una dintre axiomele sale nu poate fi dedusă din restul axiomelor. Compleritudine/J. Spunem că un sistem S este complet dacă, adăugînd la acest S o formulă A nedemonstrabilă în S, obţinem o contradicţie astfel : (S . A) � (B. B). (Completitudinen in sens restrins, valabilă pentru logica propoziţiilor). Cum se demonstrează aceste proprietăţi? Un proceden obiş­ nuit este acela al interpretării. De acest procedeu se folosesc Hilbert şi Ackermann în lucrarea lor Bazele logicii teoretice. Apelul la interpretare cere să dăm definiţii aşa-zis "semantice" pentru cele trei proprietăţi, şi nu pur formale ("sintactic�d. Spunem că un sistem este semantic necontradictoriu dl\că Vi numai dacă prin interpretare toate axiomele şi teoremele (obţinute din axiome cu ajutorul regulilor) au o anumită pro­ prietate (de exemplu de a fi adevărate), pe care nici o altă formulă din sistem nu o are. Spunem că un sistem de axiome este semantic· independell.! �, dacă şi numai dacă pentru fiecare axiomă se poate indica .o astfel de interpretare a variabilelor care dă o anumită valoare (sau anumite valori) pentru tot restul axiomelor în timp ce axioma considerată nu are această valoare (sau aceste valori). Şi mai general vorbind, printr-o anumită interpretare axioma considerată nu are o anumită proprietate pe care o au toate celelalte. Spunem că un sistem axiomatic este sistem complet dacă şi numai dacă toate formulele identic-adevărate construibile în sistem sînt axiome sau teoreme in acest sistem. Această noţiune nu este identică cu prima, ea are o valabilitate mai generală. 10

Dăm demonstraţia acestor trei proprietăţi. b. Necontradicţia. Pentru a demonstra această proprietate, apelăm la mulţimea de semnificaţii (1, O). Operatorii vor fi definiţi matriceal. Se arată mai întîi că toate axiomele au valoarea 1, indiferent de valorile 1 sau O acordate variabilelor. Calculul se face matrice al. în al doilea rînd, se arată că toate fo rmulele deduse prin cele trei reguli au de asemenea valoarea 1. Regula 1 (modus ponens). A, A -+ B f-- B Formulele A şi A-+B reprezintă axiome, Bau teoreme, deci : A = l , A-+B =1. Presupunem că B =O. Substituim in A-+B = l p e A şi B c u valorile lor, respectiv cu 1 ş i O , ş i obţinem 1 -+ -+ O = 1, ceea ce contrazice definiţia implicaţiei şi deci nu poate fi acceptat. Rezultă de aici că B nu poate avea valoarea O, ci trebuie să aibă valoarea 1. Orice formulă dedusă prin r e gula I din axiome va avea valoarea 1. Regula substi,u/iei. Fie o axiomă A* care conţine o variabilă p, ceea ce vom scrie A(p) ; A(P) 1. Aceasta înseamnă că oricaro ar fj valorile lui p, 1 sau O, valoarea axiomei nu se schimbă, de ci A( l) 1 �i A (O) = 1. Punînd în locul lui p o variahilă q, vom obţine formula A(q). Presupunînd că A(q) O, din O şi A(O) = O. Or, aces te q = 1 sau q = O, rezultă că A(l) două formule contrazic formulele A(l) = 1 şi A(O) = O. În concluzie A(q) nu poate avea valoarea O, ci trebuie să fie . A ( q) = 1. =

=

=

=

c. Independenţa. Axioma 1. Fie mulţimea de valori (0, 1,2)**, D efi nim operatorii ncgaţiei şi disjuDcţiei astfel

p

0 1 2 1 0 2

�I o

1

2

0 1 2

O O O O 1 2 O 2 O

Se demonstrează că axiomele 2, 3, 4 precum şi teoremele care decurg din ele au valoarea O în ti mp ce axioma 1 nu are această proprietate. Verificăm acest lucru pentru axioma 2. • Sau teoremă . ••

Poate fi elaM resturilor Caţă de modulul ". 81

pV (p v q)

p q

1 O 1 O

o o o 1 O 2

1 0

1 O

1 1 2 2 2

O O

0

O 1

O O O O O O 2 O 2 O 2 O

1 2

O

1 2

2

O

2

O

Analog se arată că 2 şi 4 au valoarea O. Axioma 1 nu are această proprietate.

(p y P) y P

oyOyO= O l ylyl =Oyl =O 2 Y 2 Y 2 = OY 2 1 Y 2 = 2. =

în cazul în care p ia valoarea 2, rezultatul va fi 2. Axioma 2. Considerăm mulţimea de semnificaţii (O, 1, 2, 3). Definim operatorii y. -,

p

O 1 2 3

P

1 0 3 2

Negaţia

XI O 1

2 3

O 1 2 3 O O O O

O O O

1 1 1 1 2 2 1 2 3

Disjuncţia

Se demonstrează matriceal că axiomele 1, 3 şi 4, precum şi teoremele care decurg din ele au în raport cu aceste semni­ ficatii numai semnificaţiile O sau 2, în timp ce axioma 2 nu are aeeastă proprietate. Fie moma 1. Se suhstituie pe rînd p cu O, 1, 2, 3.

P yp yp O yO yO = l yO = O l ylyl =Oyl =O 2y2y2 = 3 y2 = 2 3V3 y3 = 2 y3 = 2 82

Axioma 2 nu are această proprietate, deoarece pentru cazul 1. 3Y1 3 y (2 Y 1) Axioma 3. Considerăm aceeaşi mulţime de semnificaţii ca şi Y astfel : şi mai sus (O, 1, 2, 3). Definim operatorii =

=

-

p P

O 1 2 3

, q

�

p

1 O O 2

O 1 2 3

I

O 1 2 3 O O O O

O 1 2 3

O 2 2 3

O 3 O 3

Se poate demonstra matriceal că axiomele 1, 2 şi 4 precum şi toate teoremele care se deduc din ele iau valoarea O, În timp ce axioma 3 nu are această proprietate. într-adevăr, pentru cazul în care p = 2 şi q = 3, axioma 3 ia valoarea 3. Axioma 4. Considerăm din nou mulţimea de semnificaţii (O, 1, 2, 3). Definim operatorii, y. -,

p -

P

O 1 2 3 1 O 3 O

XI O 1 2 3

O 1 2 3 O O O O

O 1 2 3

O 2 2 O

O 3 O 3

î n aceste condi�ii axiomele 1, 2 şi 3, precum şi toate teoremele care s e deduc din ele au valoarea O, în timp ce axioma 4 nu are ac eastă proprietate. Într-adevăr, pentru p = 3, q 1 �i r = 2, axioma 4 ia valoarea 2. =

d. CODlpletitudinea. Demonstraţia decurge astfel. La siste­ mul de axiome se adaugă formula p V q.

1 . (p y q) � � Y P) 2 . P y q (la 1 şi ap lică modus ponens) 3 . q Y P (qJP) P y p (P (f) 5. p y p 4.

83

Din 4, prin regula corespunzătoare legii idempotenţei, se deduce 6. p. Din 5, prin regula idempotenţei, se deduce 7. p. în acest fel s-a dovedit o contradicţie 8. p .p. Completitudinea este în acest fel demonstrată. De notat este că semnificaţiile de mai sus pot fi interpretate ca fiind valori logice (de exemplu, în logica bivalentă sau respectiv în logicile n-valente cînd avem mai mult de două valori). La fel de bine valorile respective pot însemna şi altceva (numere cărora li se impun anumite condiţii, vezi nota", p. 8 1). c.

Alte sisteIll e axioIll atice

a) Sistemul lui Frege

AXl AX2 AXa Ax4 Axs

p � (q � p) (p � (q - r)) (p - (q _ r))

-

((P - q) - (P - r)) (q - (p - r))

(P - q) - (q - p) P -P

AXa P

-

P

Regula substituţiei şi regula detaşării. Ceilalţi operatori se reduc prin definiţie la _ , - . b) Sistemul lui Lukasiewicz. Lukasiewicz a arătat că sistemul lui Frege poate fi înlocuit cu unul mai simplu care are la Lază aceiaşi operatori ( - , _ ) . El conţine trei scheme de axiome şi regula modus ponens . Sch. Axl A _ (B

Sch. AX2 (A _ (B

_ _

A)

C)) - «A _ B) - (A - C))

Sch. AXa (A: _ B) _ (B

_

A)

Fiecare schemă de axiome desemnează o mulţime infinită de axiome. (Substituţia este înlocuită prin aplicarea schemelor, totuşi deosebirea este mai mult o subtilitate teoretică, practic neavînd un rol deosebit). c) Sisfemul lui Russell. Conţine în plus faţă de sistemul lui Hilbert şi Ackermann axioma : (p V (q V r)) _ (q V (p V r))

84

Or, această axiomă a�a cum a arătat Paul Bernays este 5uper­ flui. Regulile sînt a 5ubstituţiei �i modus ponen6. d) Sistemul lui Alonzo Clurch. Acest sistem conţine un ope­ rator (_) şi o constantă f (fals). Regulile sînt a substituţiei �i modus ponens.

Ax1 P - (q - P) Axl (s _ (p _ q)) _ ((s - p) - (s - q)) Ax3 ((P - f) - f) - p. e) Sistemul lui Nicod. J. Nic od a construit un sistem cu Q singură axiomă şi cu un singur operator (incompatibilitatea notată f ). Ax . (p f(qIr)) f( (s f(s 1s) ) f ( (tlq) I ((P It) I (P It»)

Pe lîngă regula substituţiei admite regula

11.

OBSERVAŢII

CU

PRIVIRE

LA

A, Af(BfC)

C

SIMBOLISM

a. Constantele 1 şi O. Introducerea cifrelor 1 şi O pentru adevăr şi respectiv fals deschide, aşa după cum am văzut în cazul minimizării, anumite posibilităţi pentru formulare de noi metode de rezolvare. în acelaşi timp noi putem defini mai concis funcţiile logice �i formula anumite legi într-un mod anal og cu cel din algebra numerică. DefiniEii

= min lP, q) P V q = mu (p, q) p= l -P P q = max (f, q) p.q

-+

Legi p"

np

=

=

p (idemp otenţa "produsului", adică a conjunctiei) p (idempotenta sumei, adică a disjuncţiei)

b. Scrierea lui Lukasiewicz. Am văzut că Luks8iewicz a introdu8 sistemul de notare a operatorilor prin N, K, A, C, E, D (incompatibilitate), 1 (exdudere) : Np, Kpq, Apq, Epq, Dpq, Ipq. Această scriere prezintă pentru Început anumite .dificultăţi de citire. De exemplu, formula (P _ q) _ «q _ r) _ __ (P _ T)) care este una din axiomele lui Lukasiewicz se scrie : CCpqCCqrCpr. Pentru a putea citi această expresie procedăm de la dreapta spre stînga : considerăm argumentele pr, apoi Cpr, argumentele q, r, apoi Cqr, la rîndul lor Cpr şi Cqr formează argumente pentru CCqrCpr, urmează apoi Cpq _şi în fine întreaga expresie are ca argumente aceste două impli­ -caţii. Putem folosi provizoriu parantezele. Fie CCCKAPqrApqCprq

C[C[CK(Apq)r(Apq)] (Cpr)]q Transcriem începînd cu implicaţia din dreapta :

((((p V q) . r)

_

(P V q)) - (P

_

r))

_

q

lată şi expresii pentru forme normale :

KApqAPNqANpq AKpqKPNqKNpq Legi : (1) Cpp, Epp

f2)

[3 ] [4] [ 51 [ 61 [7] [8] [9] I lO]

CKpqKqp CApqAqp NKpNp ApNp E NKpqANpNq ENApqKNpNq CpCqp CNpCpq EKpKqrKKpqr

(Il) EApAqrAApqr (12) EKpAqrAKpqKpr (13) AEpKqrKApqApr (1 4) EKpApqp (1 5 ) EApKpqp (16) CKpqp (17) CKpqq (18) CKCpqCqrCpr (19) CCpqCNqNp (20) CKCpqpq.

III

LOGICA PREQICATELOR

1. SIMBOLISM Pînă acum nu am intrat în structura intcrnă a propoziţiilor elementare. Simbolismul şi aparatul logic introdus pînă aci nu este totuşi suficient pentru a studia raţionamente mai complicate cum sînt cele de tip silogistic. într-adevăr, conside­ rînd silogismul

Toate coniferele sînt plante Bradul este un conifer Bradul este o plantă el poate fi simbolizat cu ajutorul simbolismului propoziţional astf�l (p . q) _ r, ceea ce evident, nu este o lege logică. Este nevoie să pătrundem în structura acestor propoziţii. Conform logicii generale propoziţia "Toate coniferele sînt plante" con­ stă din a) subiect ("conifere"), b) predicat ("plante"), c) copula ("sînt"), d) cantitatea ("toate"). Simbolic TS P. î tr-o . udecată care are la bază schema S P.JuŞ�s.te . p") termenii şi P desemnează ceva determinat, de ex. S poate deSemna-tiii IndIVId sau o insuşire, iar P o însu· ire. O însu­ şire poate să le ŞI su lect, Iar un In IVI poate I numai subiect. De exemplu, "Liviu Rebreanu" este ��r.m!:IL_iD..db.i­ d.wY....Jllll!L_P_C?.!!!L.luca numai rol de subiect, dar termenul " 0ll:':�J.0ate-t�_.�i_.s_��i���=§ L.ir-��.���.t ţn j��eca"iii "oamenii sînt muritori ', termenUl " om'� este 8ub.k�t _dar în judecata �;sociaie'Teste--o���'t��'m_eiur ·:;�m".._�te E_��cat. Posibili-

-

•

.

•.

87

"latea ca o noţiune să joace rol de ,mbiect sau de predicat este unul din principiile care guvernează silogistica aristotelică. Se poate proceda şi altfel : putem considera o logică în care $ubiecte sînt numai indivirii, iar predicate numai însuşirile {şi relaţiile). în acest caz vom avea următoarea schemă logică �,individul x are însuşirea F". Convenim să notăm indivizi o_�!ecare cu x, y, z, , . . �i însu­ ;şirile cu F, G, -II; . . . -Atribuir�a unei iiisuiirl individului va fi notată CJlJ(x) sau simplu cu Fx. Semnele x, y, z, . . . �! H, . . . sînt variabile şi anume primele sînt variabile individuale, !ttr celelalte variabile predicative. !!1.diviz.ii ckţ�r­ c!Din!,ţL.pot. fC notaţi cu a, b, c . . . Mulţimea indivizilor la .care �� raportează variabilele individuale va fi numită domeniu de,semnificaţie al acestor variabile. Schema ,,_fx" :va fi nuJllÎtii �$heUlă de funcţie propoziţională. p'ac� !�_)ocJ!! .luLE_.p.u..Il� m . predicate determmate, ex. ;,OM", ,,"Plantă'��bţinem funcţii p}Dp0'l'ÎţlOnale ffin1ij;-PI�.!!tă (�_ ll!Lea ce se . Eiţ��t� _us. este ().!!!�.'., 1� .�I3!,,-_.JdI!!!.!.ă". Schema Fx se citeşte in genere F de x" (sau chiar "x este F"). Funnia proDozitională nu este încă pro oziţie dar ea oate fi Uansformată în ro ozitlc fIe. 'prin $U stltuţla variabilei.. fie prin specificarea extinderii Însu-" ��(P!oprietăţii) asupra indivizilor. ' în general d�n. F� �e·::�;�ţi�·-;c�i�� d� prop()ziţii individuale .c�!:.a!, Fb, Fc, (prin substituţie), s�e _ y" va fi considerată ca un predicat de x şi y şi se va scrie ?,:;;. (�,L_rr�jcite1!« 1) nu există reguli generale de decizie, deşi există anumite teoreme de asemenea cu acţiune limitată. S-ar putea pune problema reducerii predi­ catelor n-adice la cele monadice, ceea ce În anumite cazuri se şi face. Prin aceasta nu Înseamnă că ele sînt inutile' căci există mulţimi şi anume cele infinite care nu pot fi caracte­ ri zate numai prin predicate monadice (proprietăţi ale elemen­ telor) ci sînt necesare predicate n·adice (relaţii Între ele­ mente). Mai mult, unele formule sînt realizabile pe o mulţime infi­ nită dar nu pe o mulţime finită, de exemplu formula :

v ( x, y , z) 3 u [F ( x, x) · ( P ( x, y) -+(F (y, z) -+ F(x, z))) .P{x, un

în vederea economiei de scriere atunci cînd cuantori de acelaşi tip urmează unul după altul în prefix noi putem adopta convenţiile :

)

x..

în legătură cu realizabilitatea formulelor pe mulţimi infinite demonstrează următoarea teoremă. Teorema lui Lowenheim. Dacă o formulă este realizabilă într-o mulţime infinită (oarecare) ea este realizabilă şi intr-. mulţime numărabilă (adică o mulţime biunivoc-corespondenti • cu �irul numerelor n atur ale) · . se

6.

RElAŢII iNTR E SILOGI STICĂ ŞI LOGICA PREDICATE10R

Mai sus am indicat dej a echivalentele în logica predica'telo:r pentru judecăţile A, E, 1, O. Conform cu echivalenţele indicate silogistica (bazată pe aceste judecăţi) este echivalentă cu UD fragment al logicii predicatelor monadiee. Chiar din cele spuse în paragraful consacrat problemei deciziei rezultă că 1) problema deciziei poate fi rezolvată pentru silogistică, 2) silogistica este adecvată numai pentru studierea unor teo­ rii referitoare la mulţimile finite, dar nu infinite. •

Despre decizie vezi mai pe larg în [22] şi {28].

în cele ce urmează, vom reda modurile silogismului cu aju­ torul aparatului pred catelor monadice. Ca semn al deducţiei vom utiliza r-' Fig. 1.

Barbara

:

V x(Mx - Px), Vx(Sx - Mx) r- V x(Sx _ Px)

Celate,"" : V x(Mx - Px), V x(Sx - Mx) r- V x(Sx - Px�

Darii : Vx(Mx _ Px), 3x(Sx . Mx) 1- 3x(Sx , Px) Ferio : Vx(Mx _ Px), 3x(Sx . Mx) r- 3x(Sx , Px)

Fig. II.

Cesare : Vx(Px - Mx), Vx(Sx _ Mx) r- Vx(Sx - Px)

Camestres : V x(Px _ Mx), V x(Sx _ Mx) 1-- V x(Sx -� Px) Festino : Vx(Px �Mx), 3x(Sx . Mx) f- 3x(Sx , Px)

Baroco : Vx(Px - Mx), 3x(Sx . Mx) f- 3 x(Sx , Px) Fig. III.

•

Darapti : Vx(Mx � Px), Vx(Mx _ Sx),. 3xMx � 3X(Sx

•

Px)

Disa"!,is i ,3x(Mx . Px), Vx(�x - Sx) � 3x(Sx , Px) Datisi : Vx(Mx - Px), 3x(Mx. Sx) f- 3x(Sx , Px) ---

.

O'

Felap'ton : Vx(Mx - Px), V x(Mx _ Sx), 3xMx 1-- '3x(8x

•

Px)

Bocardo : 3x(Mx . Px), Vx(Mx - Sx) 1-- 3x(Sx , Px).

Feriso � Vx(Mx _ Px), 3x(Mx . Sx) 1-- 3x(Sx, Px) (sau Ferison) Fig. VI.

Bamalip : Vx(Px _ Mx), Vx(Mx (sau Bramantip)

_

Sx), 3xPx

..

� 3x(Sx . Px)

Camenes : Vx(Px _ Mx), Vx(Mx _ Sx) � Vx(Sx (sau Calemes)

Dimaris : 3x(Px . Mx), Vx(Mx (sau Dimatis)

_

_

Px)

Sx) � 3x(Sx , Px)

Fesapo : Vx(Px _ Mx), Vx(Mx - Sx), 3xMx 1- 3 x(Sx , Px) .

Ferison : Vx(Px _ Mx); 3x(Mx . Sx) 1-- 3x(Sx, Px) tDO

-

Avem apoi transcrierea formelor singulare in fig. I ,i II.

Barbar. Vx(Mx -+ Px), Ma � Pa Celarent : Vx(Mx -+ Px), Ma � Pa Cesar. : Vx(Px -+ Mx), Ma � Pa Came5tres : Vx(Px -+ Mx), Ma � Pa Prin schimbarea ordinii premiselor in fig. a IV-a ie ebţia modurile cu numele respective : Baralipton, Celantes, Dabitis, Fapesmo şi Frisesomorum. (Redarea lor se face de asemenea prin schimbarea ordinii premiselor in deducţiile de mai eue). Analog sint redate modurile formate prin subalternarea conclulliei la modurile Barbara, Celarent, Cesare, Carrustres, Calemes, adică modurile "slabe" Barbari, Celaront, Cuaro, Camestros, Calemos. Este important să observăm că in "tran•

scrierile" modurilor la cele însemnate cu � se introduce o premieă în plus. Aceasta pentru a preciza caracterul nevitl al predicatului. Introducerea existenţei (fie ca o supoziţie generală care limitează utilizarea variabilelor predicative, fie ca mai sus prin redarea expresă, ex. 3xMx) ne dă posibilitatea să redăm raporturile din pătratul logic clasic şi o serie de inferenţe' imediate. De exemplu, "dacă A este adevărat atunci I este­ adevărat" (A � 1) poate fi re dată :

Vx(Sx -+ Px), 3xSx � 3x(SxoPx).

Cazul general :

Vx(Fx -+ Gx) � 3x(Fx o Gx) Fx -+ Gx poate fi adevărată chiar cînd x nu există, or în acest caz afirmatia . că 3x(Fx o Gx) este pur şi simplu falsă. Conversiunea "dacă Toţi S sînt P atunci Unii P sînt S", redată prin : nu este adevărat din următoarele motive

Vx(Sx -+ Px), 3xSx � 3x(Pxo Sx) nu este totuşi valabilă în forma :

Vx(Fx -+ Gx) � 3x(Gxo Fx) din aceleaşi motive ca şi mai Prin urmare, nu toate raporturile ,i inferenţele bazate

�Ul!.

pe pătratul logic sînt în general valabile în c atelor.

calculul prerli­

101

7.

CALCULUL AXIOMATIC AL PREDICATELOR

Vom expune în continuare calculul axiomatic al predicate­ lor în varianta Hilbert-Ackermann. La axiomele calculului propoziţional se adaugă axiomele : Axs VxFx - Fy. AXa Fy - 3xFx. AX6 înseamnă "dacă predicatul F se realizează pentru orice x atunci el se realizează şi pentru un x oarecare" ; Axe înseamnă : "dacă predicatul F se realizează pentru un y oarecare atunci putem afirma că există x pentru care F se realizează". Regulile de deducţie prime vor fi : 1. Regula modus ponens (formulată ca şi în calculul propoziţiilor). II. Regulile substituţiei III. Regulile cuantorilor IV. Regula redenumirii. II. Regulile substituţiei. Deoarece în logica predicatelor avem trei feluri de variabile (propoziţionale, individuale şi predica­ tive), vom avea trei reguli de substituţie. IlO() într-o formulă A putem înlocui o variabilă propoziţio­ nală cu o formulă B dacă fie respectă condiţiile : a) variabila propoziţională este înlocuită pretutindeni unde apare în A ; b) B nu conţine variabile individuale libere care sînt legate în A sau variabile individuale legate care în A sînt lihere, c) daei variabila propoziţională se află în domeniul de acţiune al unui cuantor, atunci variabila legată de acest cuantor nu se află în B. II�) O variabilă individuală liberă poate fi substi­ tuită eu orice altă variabilă individuală cu condiţiile că : a) sublltituţia se face pretutindeni unde apare variabila în for­ mulă, h) variabila cu care o înlocuim nu apare legată în for­ mula dată. I1y) Substituţia pentru variabile predicative. Fie o formulă A care conţine predicatul F, pe scurt A (F ( . . . )). F conţine n variabile individuale (libere sau legate). F poate fi înlocuit cu o formulă B care conţine cel puţin n variabile libere dacă : a) variabilele libere ale lui B nu apar legate în A, b) variabilele legato ale lui B nu apar libere în A, c) în fiecare caz de apariţie a lui F în A variabilele lui F sînt înlocuite numai cu asemenea 102

variabile care nu apar legate în B *. Această parte a regulii substituţiei necesită încă unele explicaţii. Presupunem că F conţine un număr de variabile pe care le notăm astfel deci vom avea F(�, x2, x,,). Presupunem apoi că F apare de n ori în A şi vom nota diferitele sale apariţii cu FI' F2' . . . . , F Variabilele individuale în diferite apa­ riţii (fie să zicem Fi' Fj), pot fi asemenea sau diferite. For­ mula · B conţine cel puţin variabile libere pe care convenim să le ordonăm astfel Yl' Y2 . . . , y", . . . pe scurt B(Yl' ) unde Y; şi Yj pot fi Iili identice. Y2' . . . y" Substituţia se produce astfel : a) stabilim pentru fiecare Fi o corespondenţă astfel că oricărui îi corespunde un singur Yi (acela care are acelaşi indice), b) înlocuim în B pe fiecare Y. cu corespondentul său xi ; c) formula Bj astfel obţinută adică B, ( ) poate fi pusă în locul lui Fi' Exemplu. Să desemnăm prin A formula VX3y(F(x, y) �F(x, z)), iar prin B formula 3n(H(n, t) H(n, s» . Să se substituie B în locul lui F. Vedem că B satisface condiţiile impuse pentru a putea fi substituit (F con­ ţine două variabile, iar B două variabile libere). F apare de două ori : Fl(X, y) , F2(x, z) ; vom avea în genere Fi(xV x2) . Pentru Fl(XV x2), xl = x, iar x2 = y ; pentru F2(xt> x2) , în formula B avem variabilele n, r, X1 = X, iar X2 deci B(n, t, n, ) Ordonăm variabilele libere din B astfel că Yl = t, Y2=S. Stabilim corespondenţa între B (yv Y2' . . . ) n

•

X2,

•

•

•

Xl '

•

x"'

•

•

•

m'

n

'

• . .

x.

Xl '

X , z

•

X II

•

•

•

•

_

z.

n,

S

s .

şi

F.(xv x2) :

,

B(t,

s, . . . )

F2(x, z) - B (t,

s, . . . )

înlocuim în B variabilele cu corespondentele lor din Fi şi obţinem respectiv B I (X, Y, . . . ) şi B2(x, z, . ) adică, reve­ nind la formula pe care o reprezintă B vom avea : 3 n(H(n, X) H (n, y)) şi respectiv 3n(H(n, x) . H(n, z)) formule pe care le vom substitui în A respectiv în locul lui FI şi F2 şi vom obţine : V x3Y(3n(H(n, x) . H(n, y)) � 3n(H(n, x) . H (n, z» ) .

.

.

•

•

•

în e d iţia 1 938

a

cărţii lui Hilbert şi Ackermann condiţia c) lipseşte 1 03

III. RfJ8ulile cuantorilor III IX) Din A� B(x) se deduce A� V xB(x) (x este liber În B ,i nu apare în A) ; III �) Din B(x) � A se deduce 3xB(x) � A (x este liber în B �i nu apare în A). IV. Regula redenumirii. O variabilă legată poate fi înlocuită cu o altă variabilă (care după înlocuire va apărea, de aseme­ nea legată) , in întreg domeniul de acţiune din care ea face 'parte, cu conditia ca după Înlocuire să se obtină din nou formulă şi ca nou� variabilă legată să nu apară liberă în formula iniţia­ lă· V. Regulă (derivată) . Dacă formula A(x) (unde x este liber) este demonstrahilă, atunci V xA {x) este demonstrahilă. Sec­ venţa demonstrativă este următoarea :

A(x) A(x) V P V P p V P V A(x) (p V p) � A ( x) (p V P) � VxA(x) VxA(x) Această regulă corespunde afirmaţiei că dacă A(x) este vala­ bilă pentru un x oarecare (arbitrar ales) ea este valabilă în general (VxA(x)). VI. Regulă (derivată). Fie o formulă A(�, x2, x..' Yl' Yz' , . . Y..) unde xi sînt variabile libere, iar y; sînt variabile legate. Variabilele xi pot fi înlocuite cu alte variabile z.> iar Yi' cu variabile Uj astfel ca locurile în care stau variabile identice să fie puse variabile identice, iar locurile în care stau variabile diferite să fie puse variabile diferite. (Demonstl'aţia regulii se face prin substituţie şi redenumire). Exemplu. în Vx3y(F(x, y) V G (x, z)) vom înlocui pe x şi y respectiv cu t şi s, iar pe z cu u şi vom obţine Vt3s(F(t, s) V VG{t, u)) . • Aceaatii condiţie lipse,te de uemenea in ediţia din 1938. Fără această condiţie din 3%(20 � y) ,·.r obtine 3X(2O � x).

1 04

Teoreme. Teorema 1. V x(F xyF x) .

Această formulă nu este altceva la p y p (formulă

decît terţul exclus generalizat. P ornim de dej a demons trată). Substituim p cu Fx şi

obţinem :

Fx y Fx A p licăm apoi regula care spune că dacă A(x) atunci V xA(x) e demonstrată şi obţinem :

strată

e demon­

Y Fx) 3 xFx (Se demonstrează din

Vx(Fx ŞI

Teorema 2. VxFx -

Ax .),

Teorema 3. Vx(A y Fx) - A V VxFx. FfA y Fz (reg. 111") :

Operăm

Vx(A V Fx)

în

această formulă

-

AXa

în Ax, operăm

(A V Fy)

AIA :

V x(A y Fx)

-

(i\. V Fy)

Aplicăm definiţia implicaţiei şi regula eubstituirii de echiva­ lente : Vx(1\ - Fx)

Conform cu regula De aci prin

X

Fy) (calc. propoziţiilor) : - (A

Vx((A - F x) . A)

III

«} :

"'''«A - Fx) . A)

Retlenumim pe y

cu

x

(reg. IV) :

-

- Fy

-

VyFy

105

Aplicăm regula X (calc. propoziţiilor) :

Yx(A. - Fx) - (A - YxFx) Prin definiţia implicaţiei şi substituirea de echivalente ob­ ţinem :

Yx(X V Fx) -

(A V VxFx) .

Suprimăm dubla negaţie :

Vx(A V Fx) - (A V V xFx) q.e.d. Teorema 4. Yx(A _ Fx) _ (A _ VxFx) (Se obţine din Th. 3). VII. ReguLă. Dacă formula A _ (B _ C(x)) este demon­ strabiIă atunci este demonstrabilă ŞI formula A _ (B _

-. VxC(x)).

Supo�il ie : A - ( B _ C (x) ) (A. B) - C(x) (reg. X calc. prop.)

(A . B) - YxC(x) (reg. lUx) A _ (B _ YxC (x) ) (reg. X calc. prop.)

(Se consideră că A

şi

B nu conţin variabila x).

Teorema 5. A - Yx(A V Fx) .

Se obţine din p - (p V q) prin substituţii şi reg. III.

Teorema 6. Vx(A V Fx) = A V YxFx (Se descompune Într-o conjuncţie de implicaţii după care se poate demonstra utili­ zînd Ax5, reg. IV (calc. pred.), reg. X (calc. propoz.), I I I (c ale. pred.). Teorema Th . 6) . Teorema

7. 8.

Vx(A

�

Vx(A. Fx)

Fx) =

=

A -. VxFx (se dem. rl i n

A . VxFx.

Se descompune în două implicaţii : a

) Vx(A . Fx) _ (A . YxFx) ; b) (A . YxFx) -. Vx(A. Fx)

Dem. lui a) Secvenţă demonstrativă indice singur regulile aplicate). 1 06

(cititorul urmează

să

'v'x(A . Fx) -> (A . \fxFx). 'v'y(A. Fy) � (A. Fx). ( A . Fx) -> Fx Yr(A. Fy) -> Fx 'v' x ( A . Fx) -> \fxFx ( A . Fx) -� A

'v'x( A . Fx) � A

Se ap lică (p -� q) � ((p � r) � (p � (q . r» ) şi regula modus ponens consecutiv şi se obţine formula dorită.

L) (A . \fxF(x) � \fx(A. Fx).

VyFy � Fx A . \fyFy � A. Fx. (A. \fxFx) -> \fx(A . Fx).

) şi b) se obţine Th. 8. Teorema 9. VxVyF(x, y) VyVxF(x, y). \fx\fyF(x, y) � \fy\fxF(x, y) \fz\fuF(z, u) � \fuF(x, u) (din Ax5). \fuF(x, u) � F(x, y) (din Ax. 5) \fz"ţ(uF(z, u) � F(x, y) \fz\fuF(z, u) � \fxF(x, y) 'v'x\fyF(x, y) � \fy'v'xF(x, y) Analog se obţine şi \fy\fxF(x, y) � \fx"ţ(yF(x, y) Teorema 10. \fx(Fx . Gx} = (\fxFx. \fxGx). a) \fx(Fx . Gx) � (\fxFx. \fxGx) \fy(Fy. Gy) -> (Fx. Gx) (Fx . Gx) � Fx (Fx. Gx) � Gx Din

a

=

"ţ(y(Fy. Gy) � Fx \fy(Fy. Gy) � Gx

}

din acestea se obţine respectiv :

}

\fx(Fx. Gx) � \fXFX . dm acestea : Vx(Fx. Gx) � VxGx \fx(Fx. Gx) � (VxFx· VxGx) 1 07

b) (V"Fx. Y"Gx) _ Y"(F,,. G,,) VyFy - Fx VyGy - Gx (VyFy. YyGy) _ (Fx. Gx) (VxFx. VxGx) _ Vx(Fx. Gx) Din a) şi b) ee obţine Th. 10.

Teurema

Il.

Yx(Fx _ Gx) _ (Y"Fx _ YxGx)

Yy(Fy _ Gy) _ (Fx _ Gx) F" _ (Yy(Fy _ Gy) _ Gx) VyFy - Fx YyFy _ (Yy(Fy _ Gy) _ Gx) YyFy. Vy(Fy _ Gy) _ Gx VxFx. Y,,(Fx _ Gx) _ YxGx Y,,(Fx _ Gx) _ \;fxFx

\;fxFx -> 3xFx

-

\;fxFx -,. 3 xFx

Exerciţii. Să se demonstreze teoremele ; Teorema 14. \;fx(Fx -> Gy) -> (3xFx � 3xGx) Teorema 15. \;fx(Fx � A) -> (3xGx -;. A) Teorema 16. 3 x\;fyF(x, y) -> \;fY3xF( x, y) VIII. Regulă (generalizare a regulii schimbului de echiva. le nte) Fie date două formule A(x, .1', u) şi B(x, y, u) care conţin variabilele libere x, y, u şi nu conţin alte

variabile libere. Dacă A(x, y, . . . . ) = B(x, y, u) este o formulă demonstrabilă şi există o formulă C astfel că ea conţine pe A ( . . . ) ca parte (o dată sau de mai multe ori), iar A( . . . ) conţine alte variabile în loc de y, . . . . şi dacă D este o astfel de formulă care se obţine din C prin înlocuirea în ea a lui A( . . . ) în unele sau în toate locurile cu B( . . . ) , atunci C D cstc de asemenea demonstrată·. Pentru deducţia de formule se poate folosi ca regulă princi­ piul dualităţii despre care am discutat deja mai sus. u

x,

, u

=

8.

PROPRI ETĂŢILE SISTEMU LUI AXIOMATIC AL PREDICATELOR

Pentru demonstrarea acestor proprietăţi vom urmăIÎ ca şi în cazul calculului propoziţiilor îndeaproape textul lui Hil­ bert şi Ackermllnn. • Formulare dupA (16]. 109

a. Necontradicţia. Pentru a demonstra că sistemul expus mai sus este ne contradictoriu se dovedeşte că toate formulele axiome sau teoreme posedă o proprietate pe care nici o altă formulă corectă a calculului nu o posedă. în acest scop ne slujim de următorul procedeu : a) nesocotim cuantorii şi varia bilele individuale, b) tratăm variabilele predicative ca varia­ bile propoziţionale, c) formulele astfel obţinute vor deveni toate formule ale logicii propoziţiilor, ale căror variabile vor lua semnificaţii din mulţimea (1,0) (unde ° :;:::: 1), d) orice axio­ mă sau teoremă va lua valoarea 1 şi nu valoarea O. Dacă lucrurile stau astfel atunci sistemul este necontradictoriu. Pentru axiomele AXl - Ax, proprietatea este deja demon­ Itrată. Fie Ax5" VxFx � Fy. Ea devine prin procedeul de mai sus F � F. Ax6 Fy � 3x Fx de asemenea devine F � F. Or, s-a demonstrat în logica propoziţiilor că p � p este o teoremă, prin urmare F .... F va fi teoremă şi deci va avea valoarea 1. Mai departe urmează să arătăm că regulile de deducţie transformate corespunzător duc de la formule cu valoarea 1 numai la formule cu valoarea 1. Deoarece am suprimat variabilele individuale şi cuantorii aplicarea lor se reduce la simpla repetiţie a formulei sau la aplicarea regulilor din logica propoziţiilor. Regula modus ponens rămîne neschimbată, regula substituţiei se reduce la cea din calculul propoziţiilor, regulile cuantorilor se transformă in simple repetiţii, adică :

� B (x) A � VxB(x) A

Iar

B (x) -> A 3 xB(x) .... A

dcvine A � B A .... B devine

B�A B�A

regula: reaenumirii de asemenea se reduce la o s�mplă repetiţie, ca de exemplu în cazul : � 1110.

VxFx � Fy VzFz � Fy

care devinc

nu se confunda bara acestor reguli cu negaţia. Vezi şi m. d.)

în legătură cu această demonstraţie de neco ntradicţie se ridică o problemă. Domeniul din care iau valori formulele noastre este finit (respectiv fier,are formulă ia valoarea 1). Ce se întîmplă dacă introducem premise cu domenii infinite? (De exemplu, axiome matematice.) Nu devine sistemul ne­ contradictoriu? Pentru a rezoha această problemă Hilbert şi Bernays au construit o teorie specială (vezi Grundlagen d6r Mathematik). h. Independenţa. Se cere acum să demonstrăm că nilii.una d in axiomele Ax! - AXe şi regulile indicate nu sînt de prisos. 1. Axiomele 1 -4. în calculul propoziţiilor accste axiome sînt independente (ele nu devin de priws chiar atunci cînd se ia fi axiomă suplimentară cum e ca zul În sistemul lui Russell, Fau o altă axiomă ca p -> p). Pentru a demonstra că nici în cazul de faţă ele nu sînt de prisos, operăm din nou o "reducere" a calculului predicatelor la calculul propoziţiilor În acelaşi mod în care am procedat mai sus. Ambele axiome predicative Axs şi A X6 devin F -;, F, or ele nu se pot deduce din F _ F şi deci nici dintr·o axiomă suplimentară cum e p -;. p. Regu­ lile de dt dueţ ie suferă aceleaşi trallfGrm ări ca şi în eazui --L"u-­ contradicţiei.

2. Independenţa AX6 şi AXa.

Procedeu. Pentru a demonstra independenţa Axs se înlo­ cuieşte pretutindeni în formula considerată expresia de forma VxA(x) cu expresia de forma VxA(x)V p V p. De exemplu, formula 'Ix (A. Fx) _ (A. VxFx) devine prin transformarea indicată (Vx(A. Fx) V p V ii) _ (A . (VxFx V p V p» . Expre­ siile înlocuite sînt Vx(A. Fx) şi respectiv VxFx. în acest caz orice formulă carc se pOlite deduce din AXl - Ax, �i Ax" devine din nou formulă deductihilă din aceleaşi axiome după transformarea amintită. Dimpotrivă, AX6 devine prin trans­ formarea amintită (VxFx V p V p) _ Fy, formulă care DU mai este totdeauna adevărată. într-adevăr, membrul Întîi al implicaţiei, adică (VxFx V P V ii) 1 (deoarece disj uncţia conţine un membru adevărat p V p) în timp ce Fy poate fi ad e vărat sau fals. Dacă Fy = O atunci formula devine 1 _ O = = O. Pentru a demonstra independenţa axiomei AXa vom În­ locui orice parte de forma 3xA(x) cu 3xA(x).p.p. To ate for=

1 111

deduse din AXl - AX5 se vor deduce şi În acest caz, dimpotrivă AXa (adică Fy � 3xFx, nu este deductibilă deoarece ea devine : Fy � (3xFx op op). Avînd în vedere c ă O , ( 3xFxo pop) 1 sau Fy = O. Cînd o. Or Fy p op Fy 1, vom avea 1 � O O. Regula substitulÎei. IX). Se arată că există o formulă care nu poate fi dedusă fără regula Hot), de exemplu VxFx � 3xFx. �). Eliminăm variabila z dintre variabilele individuale astfel că vom obţine de exemplu din F(x, z) pe Fx, iar din Gz pe G. în acest caz toate formulele care au fost demonstrate fără această regulă H�) vor fi demonstrate şi de astădată, în timp ce formula 'Ix Fx � Fz care se obţine din AX5 prin y/z devine o formulă indemonstrabilă, adică VxFx � F. y). înlocuim în formulă orice parte de forma 'Ix A(x) care conţine predicatul G cu formula VxA(x) V p V p. Orice for­ mulă demonstrabilă fără IIy) devine din nou demonstrahilă în timp 'ce VxGx � Gy devine Vx(Gx V p V p) � Gy ceea nu se deduce, căci p V P = 1 şi deci (Gx V p V p) 1 , iar Gy 1 sau Gy O . Cînd Gy O implicaţia devine 1 -> mulele

=

=

=

=

=

=

ce

=

=

=

O 0 Regulile cuantorilor. IX).

�

=

.

înlocuim pe VxA(x) din formule cu VxA(x) opop. Formula Vx(Fx V Fx) demonstrabilă cu aju­ torul acestei reguli devine Vx(Fx V Fx) op op care este in­ demonstrabilă deoarece pop = O, iar Vx(Fx V Fx)oO O. �). înlocuim în formule partea de forma 3xA(x) cu 3xA(x) V V p V p. Formula 3x(FxoF�) demonstrabilă cu ajutorul aces­ tei reguli devine 3x(Fxo Fx) V p V p, ceea ce nu mai poate fi dedus. într-adevăr, 3x(Fxo Fx) V p V P este echivalentă cu 3x(Fxo Fx) � (p V p), formulă ce se obţine din (Fxo Fx) =

(p V p) prin aplicarea regwii HI�). Regula redenumirii. Elimi năm din

�

formulă variabila legat ă Prin acea�tă transformare formula VzFz � Fx demonstra­ bilă prin redenumire devine F � Fx, ceea ce nu mai eete demonstrabil. Redăm cele de mai sus într-un tabel sinoptic :

z.

1 12

Axioma I

sau

regula

Ax•. Ax.

Proprietatea

I

Necontradicţia

Reg. subst. Regulile

Procedeul

Rezultat

Eliminăm cuantorii Ele devin F-+F, dar şi variab. individ. Ax. şi Ax, ca atare nu se pot deduce din aceasta

.

\cuantorilor şi regula

Se reduce la regula subst. din calc. prop. Devin simple repetiţii

redenumirii

Ax.

Independ.

Ax.

Partea

V xA(x) se inlocuieşte cu V x A(x) V Vp VP

forma

Ax, devine (VxFxVp VP) -+ Fy care nu este universal adev.

3xA(x) se înlocuieşte cu 3 xA(x)

Ax. devine Fy_(3xA(x) ·p · P)

.

R egula II,.)

p

.

•

p

Independent

dedusă fără

Eliminăm pe

,VxFx_Fz nu poate

z.

fi dedusă

Regula IIy)

V x A(x)

Regula III.)

V xA(x) se inlocuieşt«:.. cu V xA(x) .p.p

care con- ' VxGx-+Gy deTine indemonstrabilA ţine G e inlocuit cu V x A(x) VPVP

•

Re�ula III.)

3xA(x) se lnloculeşte cu 3xA(x)V

VpVP

Regula IV

care nu este univ. ade vărată

Formula Vx Fx _ _ 3x Fx nu poate fi il,.)

Regula II�)

de

Eliminăm pe este legat

%

cind

V x(FxVi!..x) de!.ine V x(FxV Fx) ·p ·p si deci indemonstrabilă

Formula 3z(F,a- . Fx) demonstrabill cu ajutorul reg . III devine apoi indemonstrabill Formula Vz F_Px demonstrabill prill IV. devine F_Jlz nedemonstrabiH. 1'3

c. Completitudinea. Calculul predicatelor nu este complet în sensul în care acest lucru a fost definit în legătură cu calcu­ lul propoziţiilor. într-adevăr, există o formulă indemonstra­ bilă 3xFx _ VxFx (ea este falsă de îndată ce domeniul lui x este mai mare de un element) formulă care anexată la siote­ mul de axiome amintit nu-l transformă totuşi în si�tem contra­ dictoriu. într-adevăr, dacă după anexarea acebtei formule încercăm să demonstrăm necontradicţia prin procedeul de mai sus nu vom obţine o contradicţie, căci ea devine ca şi cele două axiome F _ F (după eliminarea: cuantorilor ţ;i varia­ bilelor). Hilbert şi Ackermann dau procedură pur formală de demon­ straţie a imposibilităţii de a deduce această formulă. a) Se leagă variabilele lihere din formule prin V care se aşază în faţa întregii formule, b) se înlocuiesc expresiile de forma Vx A(x) şi 3xA(x) respectiv cu A(1). A(2) şi A(l) V A(2) (unde 1 ,2 sînt nume de obiecte individuale). Vom avea acum pe lîngă variabilele p, q, r, . . . formele F(l), F(2), G(l, 2) , .. . . pe care le înlocuim cu diferite variabile propoziţionale, aHfel că în ultimă imtanţă avem pNte tot nu mai variabile proro­ z�ţionale. IIl.. acest caz orice formulă demomtrabilă a lcgicii predicatelor devine o formulă identic-adevărată a logicii pro­ poziţiilor. Demonstraţia se face pe rînd pentru axiome reguli. Ax6• Prin procedura indicată VxFx _ Fy devine Vy(VxFx � � Fy). Eliminînd pe Vx obţinem Vy« F(I) . F(2» _ Fy), apoi prin eliminarea luiyobţinem [(F(l ) . F(2» � F(1 )] . [(F(1 ) . F(2» � _ F(2)]. înlocuim termenii F( . . . ) prin variabilele pro­ poziţionale : «P . q) _ p) . «p . q) _ q), ceea ce este o lege logicii propoziţiilor. Ax Fy _ 3xFx devine Vy (Fy � 3xFx). Eliminînd pe rînd cuantorii după procedeul de mai obţinem : o

a

••

ISUS,

Vy(Fy - (F(l) V F(2)

şi apoi

[F( l ) - (F( l) V F (2) ) ] . [F (2) (F(1) V F ( 2)) ] De unde : (p (p V q)) . (q _ (p V q)) ceea ce este lege logică. Aplicarea regulilor de deducţie conservă proprietatea irrdicată. _

_

114

o

Regula substituţiei. oc) . Dacă în locul variabilei propozlţIO­ nale avem de pus o formulă predicativă, prin procedeul dat mai sus ea devine o formulă a logicii propoziţiilor care se sub­ stituie după regula indicată acolo. (3) Variabilele individuale dispărînd formula obţinută prin substituţie IIf3) devine o simplă repetiţie .y) Regula se reduce la cea din calculul propo­ ziţiilor. Regulile III revin la reguli din calculul propoziţiilor. Re­ gula IV devine o simplă repetiţie. Regula modus ponens apli­ cată la formulele predicative se transformă după cum urmea­ ză : A(x), A(x) _ B ( x) B(x) \fx A(x), \fx(\f(x) _ B(x» 'Ix B(x) A(1).A(2 ) , ( A(l ) _ B ( 1» . ( A (2 ) _ B(2» B ( l). B (2 ) p. q, (p _ r) . (q _ s) r· s

Ultima este o regulă a logicii propoziţiilor. î n acest fel s-a dovedit că orice formulă adevărată a logicii predicatelor devine propoziţie adevărată a logicii propoziţiilor. Formula 3xFx ­ _ \fxFx nu are această proprietate. Prin transformare ea devine (F(l ) V F(2» _ (F( l ) · F(2» , adică (p V q) _ (p . q) , ceea ce nu este lege logică. Prin urmare, în sensul strict de mai sus sistemul axiomatic al predicatelor nu este complet. Dar complctitudinea poate fi definită şi în alt sens. Pentru aceasta vom apela la noţiunea de formulă universal valabilă. Hilb ert si Ackermann definesc în felul următor această notiune ,,0 formulă a calculului predicatelor se numeşte unive�sal-f)fJla­ bilă dacă, independent de aceea care este domeniul indivizilor, prin orice substituţie a variabilelor respective cu propoziţii, nume de indivizi din domeniul dat şi predicate ale acestor indi­ vizi ea deTine propoziţie adevărată". Un sistem este complet dacă în el pot fi de duse toate formulele universal valabile construibile în acest sistem. Demonstraţia acestui fel de com115

pletitudine a fost dată de Kurt Godel. Această demonstraţie se foloseşte de forma normală Skolem şi de o interpretare în domeniul numerelor naturale. Kurt Giidel a dovedit că fie­ cărei formule universal-valabile îi corespunde o formă norma­ lă Skolem care este deductibilă din sistemul de axiome. Con­ form cu echivalenţa deductivă dacă A şi B sînt deductiv echi­ valente şi dacă una din ele este adevărată cefllaltă va fi dJ / asemenea adevărată : M, A f- B ; M, B f- A, A B

M, A f- B ;

M, B f- A, B

I

I

A Din cele de mai sus rezultă că dacă orice formă normală Skolem universal valabilă se deduce din axiomele predicatelor, atunci sistemul este complet. Teorema lui Godel despre completitudine. Orice formulă uni­ versal valabilă a logicii predicatelor este demonstrabilă În acest calcul (Cititorul dispune În limba română de demon­ straţia acestei teoreme în "Elemente de logică matematică". de P.S. Novikov). 9.

EXTINDEREA LOGICII PREDICATELOR

Logica predicatelor expusă mai sus are unele particularităţi : a) ea foloseşte numai predicate de indivizi, b) variabilele pre­ dicative nu sînt cuantificate, c) operatorii pentru variabile se reduc la cuantori. Totuşi există mai multe căi de a dezvolta logica predicatelor : 1) introducerea operatorului descripţiei (LX) �i a operatorului abstracţiei (Ax ), 2) introducerea predi­ catelor de predicate, 3) cuantificarea predicatelor.

@

Operatorul descripţiei. Expresii de felul : "Acel scriitor care este autorul romanului Ion" sau "acel matematician care este autorul geometriei absolute", se numesc expresii descrip,jve. în general ele au forma "acel individ care este . . . ". Pentru a reprezenta in logica predicatelor termeni sau propo­ ziţii cu subiect de formă descriptivă se introduce pe lîngă 1 16

tiei. Acest operator se notează cu litera recească L iota :_ Vom introduce, de asemenea, semne pentru predicate in Ivi­ du ale (descriptive) : fi' f2, (sau altfel). Vom avea termeni de forma : (Lx)f1x ("acel x astfel că fI de x"). Predicatele f sînt definitorii pentru x astfel că numai re redicatul f.. e spune în acest caz că descripţia are pro rietatea unicită li. Dacă vom scrie ( �x) Om (x) este evient că această expresie nu se bucură de unicitate (căci nu există numai un x care să aibă proprietatea Om). Dar expre­ sia ,, ( �) x este autorul romanului «Mizerabilii»" trimite la un singur individ (Victor Hugo). . Ex resiile descriptive pot fi termeni ai unei propoziţii dar ele nu sînt propozitii cu t ate că ele au o arte propoziţionaIă). Pentru a reprezenta propo­ "iiţiile cu su leei IndIVIdual putem introduce pentru indivizi determinaţi semnele Xl' X2, Dacă x, este dat printr-o descripţie, de exemplu, (r.x)f1x atunci putem scrie în loc d,e � : H"lX)f (,,�c�l x care este fI , este H")? s�� �ur � Slm h('H LX f x�Exista o mtrea gao teone a descnpţlei ŞI mal miilte me o e e tratare.

t;

�

•

A

•

•

prin simplă alăturare o a treia expresie AB. De exemplu, din F şi x obţinem Fx. (Cllcullll A·conversiunii face parte dir.. logica combinatorie).

ca e ntt r u care-d:��ai�x;p�r ��� ��� �� x ("există F şi �� �� d��

a:

există x pentru care F de x", ceea ce î eamnă : �t � prcdi:,. eate de indivizi i exi - indivizi entru c r�c _ men� -p!'e Ica e . acă vrem să spunem că orice relatie e echl­ valenţa este simetrică vom scrie : V R(V x Vy ( R (x, y) = V F ( Fx = Fy» ... VxVyR (x, y) ... R(y, x» .

��ediQate

de predicate.... în logica prcdicatclor studiată pmă aci am făcut o separaţie netă Între ideea de subiect şi ��h. � i între subiect şi propoziţie. Ştim însă că în gîn­ ..4irea iirtui�"l> înse i propoziţiile şi predicatele pot deveni e lD propoziţia "Socrite obiecte pentru noi pro OZI,Il. este om", termenul "om" joacă un rol de predicat, iar în pro­ poziţia "toţi oamenii sînt muritori" termenul "om" joacă rol de subiect. �jbj!jtatea de Lt!!lnsforma predic�tul în su­ biect în cadrul aceleiaşi teorii 10 ice este unul...di.n_...JUl!C! lpllle si o istlCll anst e. a rm ul lor propozitiile pot deveni subiect. xemplu, propoziţia "Socrate este om" devine su­ biect pentru propoziţia ,,«Socrate este om» este propoziţie adevărată" (avem aci o propoziţie despre altă propoziţie), Dacă vrem să spunem că o relaţie este tranzitivă (de exemplu, implicaţia) atunci acest lucru nu va putea fi făcut numai cu ajutorul limbajului utilizat pînă aci cu toate că neexplicit putem formula ideea de tranzitivitate astfel :

VxVyV z«xRy. y Rz) ... xRz) Pentru a spune explicit că aceasta este definiţia tranzitivităţii şi nu o formulă oarecare din calculul predicatelor vom intro­ duce predicatul Trans (prescurtare de la tranzitivitate) : Trans ( R) 118

==

VxVyVz« xRy . yRz} ... xRz)

�

p�e�::!:, Jm;;ţiilor

Este necesară deci �oducerea unor pred�cate de predicate. ' m să notăm predlcatek de � iRdjlO� Cii ip, � , propozitio­ . . . 4pare astfero ierarhie a l!.!!.! e In funcţie de t�ul predicatelor. Aceasta ierarl'ne a fost studiată în det-;}iu de către Bertrand Rusael în aşa-numita teorie a tipurilor. Vom avea o ierarhie a indivizilor şi predicatelor (respectiv a simholurilor corespun­ zătoare după tip) �i a expresiilor după ordin. Tipul O : a, b, c , x, y, z, Tipul 1 : F, G, R, , Fl' Gl , RI' Tipul 2 : cp , �, X, . . . , �, �l' Xl . Regulă de ierarhie. Dacă avem ° expres care este formată �intr·o serie ae şeîîiDe (numărul lor est �ligatoriu finit) şi dacă cel mai înalt tip care poate fi determinat clasificînd sem­ nele ;; resiei are nuniărul n, atunci expresIa oc are numărul � se ' emă e uncţIe propozIţIOna a ara v ahile cuantificate) va fi numită "matrice". Schemele care rezultă din aplicarea variahilelor predicative (tipul 1) la variahilele individuale (tipul O) vor fi matrice de ordinul 1 . Ex. F (x )� F (y), . . . G(x, y), H(x, y, z) , . . . Prin cuantificarea variabi­ lelor de tipul O se ohţin expresii de asemenea de ordinul 1 . L a fel pri� Ordinul doi se va obţine prin aplicarea semnelor d� semne sau expresii de tipul 1 şi prin cuantificarea variahilelor de tipul 1. Exemple. cp ( G) , cp(Gx) , �(H(x, y» VG cp(G) , VG cp(Gx) , 3� 'v'x �( H(x, y»

�

(Dacă se cuantifică numai o parte din variahile expresia: poate fi luată ca predicat în raport cu restul variahilelor. Ex. 'v'xF (x,y) poate fi scrisă P(y» . Fic apoi cazul : V F ( Fx = Fy). Aci Fx = Fy poate fi prezentată ca un predicat de ordinul 2 : (Fx, Fy). Sau dacă notăm cu Echi, vom scrie Echi (Fx, Fy) şi mai departe (VEchi) Echi (Fx, Fy). Rezultă că ��dicatelor de ordiDul doLcuprinde . expresii cu predicate de tipuU )!I care xariahilei:Pre'diC"ifive �ht CUanhhca�sau expresii cu variahile predicative de tipul "2l'n care varIahilele de tipul O şi 1 sînt sau nu cuantificate. (La acest nivel variabilele de tipul doi nu sînt cuantificabile. ) Cuantorii se vor extinde d e asemenea ş i asupra variabilelor =

=

119

�

propoziţionale (p, q, r, . . ) Ca urmar logica predicatelor de crdinul 2) exrre"ii tificate : .

om obţine (tot în opoziţional� cuan­

r

.

Vp (p-p)· Pe lîngă toate tautologiile logicii propoziţiilor vom putea intro­ duce cuantorul universal astfel că dacă A(p, q) este o tautologie atunci VpVqA(p, q) va fi de asemenea o tautologie. Iată şi o for­ mulă universal valabilă din calculul predicatelor : VFVx(Fx V Fx).

("Indiferent care ar fi proprietatea F şi individul x este ade­ vărat sau că individul are proprietatea respectivă sau că n-o are".) Prin cele de mai sus operatorii propoziţionali pot fi ei însişi trataţi ca predicate Calculul predicatelor de ordinul doi ne dă posibilitatea să de­ finim în termeni de predicate ideea de număr. în acest caz ,numărul va apare ca predicat de tipul 2. De exemplu, zero .se va defini astfel : .

Zero (F) Ap oi :

Unu (F)

==

==

3xFx

3x(Fxo Vy(Fy � (x

==

y)))

IV

CALC U L U L NATURAL 1.

CON SIDERAŢII G EN ERALE

Pînă acum am făcut cunoştinţă cu două moduri de organi­ zare a calculului logic-algoritmic şi axiomatic. Există Însă un mod de expunere mai apropiat dc gîndirea obi nuită a matematicianului, gîndire prin supoziţii (ipoteze). n aces� calcul nu a ar nici definitii, nici axiome, ci numai re li sau "sc eme e e ucl,1e . cest ca cu poartă numele de "calcul natural" şi el a fost descoperit cam în acelaşi timp de G. Gentzen şi Stanislaw Jaskowski. Observăm că În cal­ culul natural, exact ca în silogistica lui Aristorel se arată ce p'utem 4ed�", din anumite jppteze dgte, fără i& Ile ixlten:�a de faptul dacă ele Hînt sau nu demSlfistJat". Orice schemă de de3ucţie se reduce în ultimă instanţă la aserţÎunea di,,; anumite presupuneri rezultă o anumită consecinţă. A găsi ce posibili­ tăţi de deducţie avem în raport cu cutare sau cutare tip de presupuneri (ipoteze, supoziţii) aceasta este sarcina logicii în co ncepţia calculului natural. Iată exemplele prin care Gentzcn sugercază esenţa calculului natural. Exemplul 1. (p V (q- r» � ((p V q) . (p V r» . Vom raţiona astfel : fie (prin supoziţie) adevărat p sau p. q. Considerăm ur­ mătoarele două cazuri : 1. Este adevărat p.2. Este adevărat q- r. în cazul 1 din presupunere rezultă atît p V q cît şi p V r şi deci este admis şi (p V q)o (p V r) . în cazul 2 are loc q . r, adică atît q cît şi r. Din q decurge p V q, iar din r decurge p V r, prin urmare din ambele decurge (p V q)- (P V r). Ca rezul-

l

121

tat (p v q) . (P V r) a fost dedusă din p V (q . r), iar formula (p V (q . r» � «(p V q) · (p V r» este adevărată fără nici o presupunere. Exemplul 2. 3 xVyF(x, y) � VY3 xF(x, y). Vom raţiona astfel : există un astfel de x încît pentru orice :y e adevărat F(x, y) . Fie a (arbitrar ales) un astfel de x. Prin urmare, pentru orice y are loc F(a, y) . Fie b un y arbitrar ales. Atunci are loc F(a, b). Deci există un oarecarc x, anume a, astfel că are loc F (x, b ) . Deoarece b este un oarecare această aserţiune are loc pentru toate obiectele, adică pentru orice y există un astfel de x, eă are loc F(x, y). Q. E. D. Exemplul 3 . 3 xFx � VyFy (formula valabilă în logica lui Heyting). Presupunem că nu există un astfel de x pentru care ar avea loc Fx. De aei trebuie să deducem că pentru orice y are loc Fy. Fie a un oareeare obiect, pentru care Fa are loc. De aci obţinem : există x pentru care are loc Fx, şi anume un astfel de x este a. Or, aceasta contrazice propoziţia 3xFx. Deci am ajuns la o contradicţie, adică Fa nu poate fi adevărat. Deoarece a a fost luat cu totul arbitrar, are loc pentru orice y , Fy. Q.E.D. La rîndul său Jaskowski prezintă în mod analog demonstraţia exemplului următor (el utilizează scrierea lui Lukasiewicz). Exemplul 4. CpCCpqq (adică p � «p � q) � q» . Presupu­ nem p. Apoi presupunem Cpq. De aci urmează q. Observăm apoi că q este o consecinţă a lui Cpq (prin presupunere) şi obţi­ nem că "dacă p implică q, atunci q", adică CCpqq. în accst fel avînd presupus p noi am dedus această ultimă propoziţie, de unde CpCpqq. Această ultimă propoziţie, arată Jaskowski, nu mai depinde de vreo altă supoziţie. Ea va rămîne adevă­ rată chiar cînd supoziţiile sînt false. Această deducţie este sistematizată de J askowski astfel : 1. Sp (S înseamnă "supoziţie") L I . SCpq 1.1. q

1. CCpqq CpCCpqq 1 22

Exemplul 5. CCNpNqCqp (Jaskowski) 2. SCNpNq 2 . 1 . Sq 2.1.1. SNp

2.1.1. Nq Supoziţia "Np" cu prefixul ,,2.1.1." ne duce la o contradicţie constînd din admiterea simultană a lui q şi Nq. De aci putem deduce : 2.1. P 2.Cqp

CC NpNqCqp

(adică (jJ -+ q) -+ (q -+ p))

Tot Jaskowski reprezintă cele două exemple date în felul următor :

p

CNpNq

lTI CCpqq

CpCCpqq

q CNpNq Np CNpNq Np q p Cqp CCNpNqCqp

Se vede că demonstraţia este descompusă în fragmente demon­ strative dispuse în dreptunghiurile respective ("domenii de supoziţie") Se spune, de exemplu, că domeniul supoziţiei de forma q este clasa ale cărei elemente au formele următoare ;

q, 1. SNp, 1. Nq şi P 1 23

1.

R EG U LI L E CALCULU LUI NATURAL

�

Gentzen dă următorul sistem ntroducere şi de eliminare a operatorilor (respectiv a cuantorilor) logici. Pentru comoditate vom utiliza simbolurile lui Lukasiewicz la care se va asocia indicele i (introducere) sau e (eliminare) in "Vederea denumirii regulilor. De exemplu, Ni' Ne vor în­ semna respectiv "introducerea negaţiei" şi "eliminarea ne­ gaţiei". (Regulile vor fi date în forma iri care se scriu modurile silogistice)

.

A, B A, B A. B B . A ( Ki ) r, A I'--' B (C ) r r- A _ B i A

A. B A ' A, A, _ B B A A

- ,

A AVB'

B ( Ai) AVB

A, A V B (Ae) B

A V B, A � C, B r- C (Ae) C

Cu excepţia implicaţiei pentru fiecare operator propoziţional am formulat CÎte două reguli de introducere şi două de eli· minar e.

"xA(x) A(t) * (Ve) (V,) A(t) V"A(,,) A(t) ( 3i) 3 "A(x)

3 xA(x) * ( ) 3e A (t) �

în ce priveşte regulile ( Ae) ne putem Hmita la una din două. Gentze� dă următoarele explicaJii in�uitive in lesătură cu. unele reiUD . 1 24

dm A(t) presupunere In care ar Intra t). Acea;::;:t:; ă":"";,:,,:;;,:;::,::;;,,;,;::, , :,, i:' r: preună cu cerInta' ca în A x toate a ari:..;.:;iile 1 . fie înlocuite cu x reprezInta irilitarea necesară jWFPJM reg111ii (V� Pe lîngă explicaţii date de Gentzen sînt utile încă expli caţiile de mai jos pentru înţelegerea acestei reguli. � slf regulă mai poate fi exprimată şi astfel "dacă Alt) a fost demonstrată entru un t (absolut oarecare în mulţimea de tiemm icaţii ată atunci ea este demonstrată şi pentru orice .�.:.)n algebră se folosesc adesea astfel de raţionamente cind fără a utiliza cuantorii se presupune că expresiile cu variabile sînt gen eral adevărate. De exemplu : mCI o

( b)

(a = b) = (b = a) V(a, b)« a = b) == (b = a»

Dacă x n-ar fi oarecare, singura presupunere compatibilă cu demonstrarea lui x - x = x2 (demonstrarea înseamnă "univer­ sal valabilitate"), atunci Vx(x . x = x2) ar fi evident falsă. Exemplul (a) ,plai poate să fie lliis conform cu regula astfel :

J

a · a = a2 Vx(x - x = xi)

125

3.

EXEM P L E D E DEDUCŢIE NATUR.ALĂ

Mai intii vom arăta cum formalizează Gentzen cu ajutorul regulilor introduse cele trei exemple date iniţial.

( 1 ). (p V (q . r)) -+ ((p V q) . (P V r» .

1

1 q . r

1

p p -- (Ai) -- ( Ai ) p. V q

PVr

p V (q. r), (p V q). (P V r)

q

-

( K;)

pVq

•

( K e) - ( K e) (Ai)

1 26

( Ai)

____

p V (q r) -+ ((P V q) . (p V r» •

r

-

PVr

(p V q). (p V r) .

V....:. r) ) ..::. --.::(p '--- q'--- ( p_V _..:..

___ __

1 q. r

(Ci)

(2 )

2

3 xVyF(x, y) , Vy3 xF(x, y ) 3 x_F (_ X , y) V _y_ _ _ __ (Ci ) 3xVy F(X, y) � VY3xF (x, y)

_ _ _

_ _

(3)

2 Fa ---

3xFx

1

(3i )

3 x Fx

------

Fa --=--

(din contradicţie decurge orice)

(Vi )

--==V=-Y. ....;Fy:...-----==-- ( Ci) F _ F 3x

x

Vy y

(Gentzen introduce iniţial şi o regulă care spune că din contraA Ă (licţie decurge orice Notăm că simbolizarea regulilor

T.

este la Gentzen intrucîtva deosebită de cea dată aci. Noi am prel uat simholizarea care s-a răspîndit ulterior). Vom demonstra În continuare teze din calculul propoziţiilor şi calculul predicatelor folosind metavariabilele A, B, C, . . . ) . Uneori pentru a reformula rezultatul deducţiei în vederea aplicării unor reguli vom folosi semnul f- •. (4) A . B _ B . A A . B (supoziţia) (K e) A, B

) B . A ( KJ • Dară vrem uneori să omitem parantezele vom ad o pt a regula c ă V leagă mai tare decît m ai tare ca -+, -+ mai tare ca = .

1 27

1C. (5) (A V B) -+ (B V A) AVB

(supoziţia)

(Pres upunem cazurile [A ], [B ] (A ) o ă m prin includerea t n ; , BVA BVA

A V B, A � B V A, B � B V A BVA

(6)

(A V B)

-+

(B V A)

(AB V AC)

-+

A(B V C)

AB V AC

pe rînd, ceea ce în pranteze [ ]).

(Ae)

(Ci)

(supoziţia)

[AB ], [AC ] A, B A, C

( Ke)

A, B 1- B V C, C f-- B V C (K )

A, B V C

(A;)

(aci

se reformulează

rezulta tuI )

i

A . (B V C)

110(7) A(B V C) -+ AB V AC A(B V C) A, B V C

( Ke) (

A, [B ], [C ] AB, AC

K1

)

-----

A(B V C), AB V AC

A(B V C) -+ AB V AC

( Ai)

( Ci )

Regula implicaţi i a fost aplicată după ce s-a d e du AB V AC din A(B V C), adică avem A(B V C) f-- AB V AC. Această reformulare a fost pur şi 8implu presupusă. e

(8) (� -+ B) -+ « B

s

-+

C) -+ (A -+ C» .

Să urmărim în amănunt aplicarea regulilor la această demon­ straţie. Presupunem A -+ B. De aci prin Ce obţinem (B C) -+ (A 9. Pres upunem B -+ C. De aci prin Ce : -+

-+

A -+ C

1 28

-+

Presup unem A. De aCI prin Ce : C

Conform cu regula

r, A � B

vom avea mulţimea (A � B ; r �A � B B -> C ; A) de presupuneri din care decurge C. Aceasta poate fi scris : A -)o B, B � C, A � C, unde A -)o B şi B � C consti­ tui� premisele cuprinse în r (acesta ar putea să fie şi vid). Dcci A � B, B � C şi A � C ------­ r

prin urmare A -)o B, B � C � A -)o C (conform cu regula introducere a implicaţiei). Mai departe avem A _ B,

de

B -> C � A � C, prin urmare (aplicînd din nou Cj) :

-r--

A � B � (B � C) � (A � C) De

aci

din nou prin Ci avem : (A � B) � « B -)o C) � (A � C)}

Pe baza demonstraţiilor efectuate putem introduce noi reguli. De exemplu, În conformitate cu (8) avem regula A � B, B � C A_ C

(9) (A � (B � C) � ((A.B) � C) A � (B _ C)' A . B (Ke) A, B ------- ( C e) B � C, C ------ (K I} A . B, C -----'------'---

A . B � A, B ; A, B f- C (8) (A . B) _ C ( Ci) (A � (B � C» � « A . B) � C)

---'----------'-

1 29

(1 0)

A� A

A

( Ni ) � (N ) A ---=--

e

Se poate considera şi regula derivată A f- A. A � (B � A) A, B ( 1 0) (două supoziţii, unde B poate fi şi vid) A A, B f- A (Dublă aplicare a lui Ci ) A � (B � A) (12) r, A, Ă f- B ( Regula "din contradicţie decurge orice"). Este important de reţinut că r poate să fie şi vid . Supoziţie. A, Ă Supoziţie. [B ] (conform cu condiţiile lui r, [B ] poate să nici nu existe). A, [B-] (conform cu regula A f- A). A Tot de aci conform cu ( Ci) : A f-- B � A C) A � (B � A) ( i A il A A�B A ( Ce) B (unde B este oarecare şi deci poate fi şi B) B B Deei r, A, A f- B, deei A - (A - B) ( 1 1)

--

-)o

---

130

( 1 3)

A. A

Conform cu r, A, A � B formulă oarecare), deci

Supoziţie.

avem

A, Ar- B (unde B este

A.A A, A A� A

o

(K ) e

(1 2 )

A . A r- A � A A.A � A � A -

A � A � A.A A� A

( Ci

( Ni

---_ _

A-=;A �

)

)

(Ni)

� (Ce)

A.A

(14) A V A A, A _ A, A, A _ A A

AVA

A

AVA

A r- A V A, A r- A V A A � A V A, A _ A V A

131

Supoziţie. A V A (presupunem că terţul exclus nu este ade­ vărat)

A V A, A V A

A

-+ A, AVA -+ A A

(Această contradicţie rezultă din presupunerea A V A) A V A -+ A . A

X. A -+ A V A Dar A.A este formulă demonstrabilă din (13) Deci

A.A, A.A -+ A V

A

A VA AVA

în vederea deducerii unor formule predicative vom considera ca strictă ordinea variabilelor astfel : w, x, y, z, s J15) VxFx · VxGx

=

Vx(Fx. Gx)

Demonstrăm pe rînd cele două implicaţii : (a) VxFx . VxGx -+ Vx(Fx. Gx) (b) VxFx . VxGx (supoziţie) (c) VxFx, VxGx (K e) (d) Fx, Gx (V e) (e)

Fx. Gx (KI)

(B)) Vx(Fx . Gx) (VI) cal"ea lui V;).

t32

X

nu se utilizează mai departe în apli­

Considerăm cea de a doua implicaţie : (a) Vx(Fx . Gx) ... VxFx·VxGx (b) Vx(Fx . Gx) (supoziţie) (c) Fx . Gx (V,,) (d) Fx, Gx (Ke) (e) 'Ix Fx, Vx Gx (Vh x e limitat) (f)· VxFx.VxGx

Conform cu rezultatele (f) şi (f)· putem introduce cele două implicaţii (prin Cl) şi de aci echivalenta (15). (16) 3xVyF(x, y) ... VY3xF(x, y) (Ordinea variabilelor x, este fixă). (a) 3xVyF(x, y) (supoziţie)

y

(b) VyF(x, y)(3 e x limitat) (c) F(x, y)(V ,,) (d) 3x F(x, y)(31)

( e) Vy3xF(x, y) (Vi)

(16) este exemplul dat de Gentzen dar demonstrat aci în sim­ bolismul adoptat. Inversa lui (16) nu se demonstrează, adică nu este adevărată V x3y F(x, y) ... 3yVxF(x, y) (a) Vx3yF(x,y) (supoziţie) (b) 3yF(w, y) (Ve) (c) F(w, z) (3 ,,)(z este limitat) Dacă am deduce mai departe : (d) VxF(x, z), z este variabilă liberă ce urmează după w şi deci nu putem deduce (d) prin aplicare de Vi. Dacă în 3y F( w, y) am lua în loc de w variabila mai îndepăr­ tată z, 3yF(z, y), n-am putea deduce F(z, w) deoarece w precede pe z. în locul acesteia ar trebui luat s ,i n-am putea d e duce 'Ix F(x, s) deoarece z precede pe s . în cazurile (15) şi (16), n-am folosit o altii variabilă pentru x, y în t.recerea la 1 33

alte formule conform cu regulile de introducere deoarece ele nu au intervenit decît cîte o singură dată în aplicarea unei reguli. (17) 3x3yF(x, y) -+ 3Y 3xF(x, y) 3 x3y F(x, y) ( supoziţie) 3yF(w1, y) (x a fost limitat prin 3 e) F(w1, w2) (y - limitat, 3 e)

(a) (b) (c) (d) (e)

( 1 8) (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

3 xF(x, w2) (31) 3 Y3xF(x, y) (3 1)

(A(x) -+ B ) -+ (3xA(x)

-+

B)

A(x) -+ B (supoziţie) A(x) (supoziţie)

B 3xA(x) (supoziţie) A(w) (x - limitat)

______

B

A(x) -+ B(Cj) (h) 3xA(x) -+ B (prin tranzitivitate din (a), (e), (f» (i) (A(x) -+ B ) -+ (3 xA(x) -+ B )

Formulei (18) îi corespunde regula derivată A(x) f- B 3 xA(x) t- B ( 1 9) Demonstrăm modul Darii : Vx(Mx

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

-+

Px), 3x(Mx . Sx} f- 3 x(Sx . Px)

'Ix (Mx -+ Px) (supoziţie) 3x(Mx. Sx) (supoziţie) Mx -+ Px (Ve) Mx . Sx (x - limitat) Mx, Sx (K e ) Px (din (c) şi (e) prin Ce) Sx . Px (Kj) (h) 3x(Sx . Px) (31) Q.E.D. 1 34

v

TEORIA M U LŢIMI LOR ŞI LOGICA C LASELOR î n acest capitol vom expune o serie de noţiuni de teoria mulţimilor şi de logica claselor. Cele două teorii sînt în strînsă legătură şi formează din punct de vedere formal o teorie uni­ tară; cu toate acestea noi vom face o diferenţă clară întl'e ele, spre deosebire de alţi autori care le confundă. Conccpţia logi­ cistă dezvoltată de Frege şi Russell conform cu care mate­ matica estc o ramură a logicii rezidă în mare măsură în această confuzie. Fraenkel şi Bar-Hillel pun problema unei ascmenea distincţii în "Bazele teoriei mulţimilor" dar nu se ocupă de !'oluţionarea el. 1.

NOŢI U N EA DE M U LŢIM E ŞI NOŢI U N EA DE CLASĂ

Universul este format din obiecte şi determinări ale acestora. Una şi aceeaşi determinare F poate aparţine unui obiect sau mai multor obiecte. A spune că determinarea F aparţine unui obiect sau mai multor obiecte este identic cu a spune că "F delimitează o mulţime de obiecte". î n logică pentru a vorbi de mulţimi ne exprimăm, de exemplu, astfel "mulţimea F" �i înţelegem prin aceasta mulţimea determinată de F. Astfel avem : mulţimea Om, mulţimea Animal ş.a. Mulţimile sînt desemnate în mod obişnuit cu ajutorul proprietăţii care le determină (ex. Om) Alteori se foloseşte pentru mulţimi for­ ma plurală, ex. Oameni. Termenii pentru desemnarea mulţi­ milor în limbajul obişnuit �înt foarte variaţi, ceea ce se poate vedea din exemplele următoare : o turmă de oi, un roi de al1 35

bine, o cireadă de vaci, un cîrd de păsări, o clasă de elevi, un grup de băieţi, un buchet de flori, o escadrilă de avioane, o pereche de ghete, o legătură de morcovi, un ansamblu de mere, o grămadă de lemne, o trupă de soldaţi, o grupă de stu­ denţi, o colectie de cărţi. Mulţimile se simbolizează fie cu sim­ bolurile determinărilor F, G, H, . . . , fie cu simboluri distincte X, Y, Z, , sau MI' M2, . . . Obiectele conţinute într-o mulţime se vor numi elementele mulţimii. Dacă o mulţime este formată din alte mulţimi atunci acestea din urmă vor fi tratate ca elemente. De exemplu, mulţimea claselor de elevi este o mulţime de mulţimi (fiecare clasă de elevi fiind în acest caz un element al mulţimii considerate). Vom nota mulţimile cu X, Y, Z, M, N, . . . . , iar elementele mulţimii cu a, b, c, . . . , saY "l' "2' . . . . , b1, b2, Vom spune că "un element aparţine mulţimii şi vom nota această relaţie prin E , deci a

E

X ("a aparţine lui X")

Pentru a arăta că o mulţime se conţine în altă mulţime (de exemplu, că din mulţimea claselor de elevi face parte şi mul­ ţimea claselor de elevi din Bucureşti), vom folosi semnul C (este inclus în, este cuprins în) şi vom scrie :

x C Y ("X este inclus în Y")

Semnul E se va numi semnul apartenenţei, iar semnul C , semnul incluziunii. Noţiunea d e mulţime este o noţiune primă (luată ca ne definită explicit). Pe baza ei putem introduce no­ ţiunea de "clasă" ·. Se numeşte clasă o mulţime de elemente care realizează (satisface) o funcţie propoziţională. De exemplu, funcţia "OM (x)" este satisfăcută de clasa indivizilor oameni. Clasa care satisface funcţia propoziţională este numai o parte din mulţimea indivizilor care pot corespunde variabilei x. Clasa este deci mulţimea elementelor pentru care funcţia propoziţională este adevărată. Prin urmare, clasa este : core­ lată de la început cu funcţia propoziţională, în timp ce mulţi­ mea nu. Ca şi funcţiile propoziţ i onale, cu care sînt corelate, clasele sînt ierarhizate (ex. clase de indivizi, clase de clase • Unii aut o ri consideră term en ul "clasă" drept primitiv şi definesc prin el "m ulţim ea" (in sensul In ca e noi am definit clasa).

r

1 36

Pentru a desemna elementele clasei vom folosi x, y, z, . . . sau Xl' Xz' , YI ' Y2' . . . , ( variabile i llrlividuale, care deci ţin seama de principii de ierarhizare). Deosebirea dintre a, b, c, . . . şi X, Y, Z, , c on , tă în zecea că primele pot fi şi o mulţime de indivizi în t i lll\, ce celelalte desemnează doar indivizi. Pentru a desemna ('la�('lc vom prefera simbolurile F, G, R, (care fac ca şi x , .1', z, leg ă t u ra cu funcţiile pro p oziţionale). VODi B cri e

de

indivizi etc.).

v ariahile specializate

•

.

•

!"orcspun zătur

F ( "x aparţine lui F") şi

x

E

F

C G ("F este inclus (cuprins) în G")

Din c ele de mai sus decurge că x Ei F nu este identic cu a Ei X, iar F C G nu este identic cu X C Y, deşi se înţelege că primele sînt cazuri particulare pentru relaţiile corespunzătoare din teoria mul ţimilor . D acă

x

==

a şi F

Dacă

F

==

X şi G

==

X

==

se

înţelege că x Ei F

Y atunci F C G

==

==

a Ei X.

X C Y.

În consecinţă, vom spune că o mulţime este clasă dacă �i nu­ mai dacă există o funcţie propoziţională pe care mulţimea respectivă o realizează (satisface). De exemplu, mulţimea ( +2, -2) realizează funcţia propoziţională "xz 4", ea este deci clasa corespunzătoare acestei funcţii propoziţionale. le putcm Notînd mulţiDiile concrete cu MI' M2, reprezenta dacă sînt finite prin {�, az' . . . . ati} ' Expresia , ati}" va Însemna "mulţimea MI forma l y, x y, x < y, x =r= y, =

a

I I b,

.

a

b

In matematică),

la sud de

0 _ _

(exemplu : " Bucu-

res (c după b). eJa--Stig de loieşti") . . . după b) RelaţJi-triadic R (x, y, z) . Un exemplu de astfel de rela' . re" : "x se află Între y şi z" (unde x, y, z ţie es sînt puncte). 1 58

�Relatie tetradicW R (x, y, z, t). o astfel de relaţie este "relaţia de schimb" din economia politică. Ea se formulează astfel "x schimbă cu y obiectul z pentru obiectul t". 2.

R E LAŢII DIADIC E :

x

R

y

"

În expresia "x R y x şi y reprezintă termenii relaţiei, iar R relaţia. Între termeni, x reprezintă antecedentul relaţiei, iar y succedenţul (consecventul). Mulţimea valorilor pe care al relaţiei, iar se defineşJ: .r);, ' va pu� numele d�_ dOmeniu multimea valorilor l (!,( codomentu. D�că x R y reprezIntă o �va fi domeniul şi Y co­ domeniul relaţiei dacă şi numai dacă funcţia propoziţională " "x R y va deveni sau adevărată sau falsă cînd x va lua� din X şi Y va 1 valori din Y. La rîndul său pereche �) u relaţie Altfel spus cîmpul relaţiei este se va num' cî reuniunea domeniulUI ŞI codomeniului. Cîmpul relaţiei est omogen dacă domeniul şi codomeniul sînt formate din acel şi tip de' obiecte, astfel că unul şi acelaşi obiect poate să apară într-un caz ca antecedent, iar în altul ca succedent. Cîmpul relaţiei este terogen nd nu sînt îndeplinite condi­ ţiile pentru a fi omogen adică domeniul şi codomeniul nu sînt formate din acelaşi tip de obiecte). Fie relaţia x > y. Ea este o relaţie între numere reale, cîmpul ei este omogen. De exemplu, 2 > 1, 3 > 2, 1 > � . De aci se vede cum ace-

2

lea�j numere pot ocupa poziţii diferite în relaţie. În relaţia "x este soţul lui y" cîmpul este eterogen, căci mulţimea hărhaţilor, iar Y = mulţimea femeilor. Con­ X vcnim ca în general să notăm domeniul şi codomeniul cu lite­ relc mari latine corespunzătoare literelor mici care formează cele două variabile individuale ale expresiei. Vom avea deci şirurile corespondente : x, y, z, X, Y, Z, Cîmpul relaţiei va fi notat prin reuniune, exemplu : X U Y, X U Z, . , . sau pe scurt cu litera C. Dacă x R y atunci C == X U Y. Noţiunea de cîmp (şi deci de domeniu şi codomeniu) poate fi luată într-un sens mai restrîns - mulţimea perechilor care satisfac relaţia. _

1 59

3.

PROPRI ETĂŢI FORMA LE ALE R E LAŢII LOR

�

efleXivitatea. O relaţie R este reflexivă dacă ŞI nun'al aacă ..pentru QiFi8Q .r llpe }QC Il" R: �i Următoarele relaţii sînt reflexive : x = y, x i l y (paralelism) . . x = x şi x l i x. h. Shnetria. O relaţie R este simr.trică dacă şi numai dacă ru oric x ' ntru orice y are loc x R ' == R x. Rela�iile de mai sus sînt simetrice de oare este adevăra t (x = y = (y = x) şi (xI IY) = b l l x) . Relaţia de perpendicularitate este de ase­ menea simetrică, căci x .-L y = y .-L x. La fcl relaţiile "x cores­ pon�ează cu y," "x este văr cu y", "x cste compatriot cu y" . etrranzitivitatea. O relaţie R este tranzitivă da că �i numai entru orice x entru orice si entru orice , z are loc ,( x R y . x z -, x R z . Astfel relaţiile =, < , > , C, -� , II, x precede p c y. Astfel pentru xllY propoziţia devine : dacă .1 ; ly şi )' 1 1:; atunci x l l z. Alte proprietăţi se obţin din negarea celor de mai s u � . Con­ venim să folosim prefixul ne- pentru a desemna proprietăţile obţinute llrin negarea parţială (adică ele nu au loc în genere, dar pot avea loc uneori) şi prefixele a-, in-, i- pentru a marca negarea totală (nu există obiecte pentru care să aibă loc pro­ prietatea). ' h' Pri� n�garea pa�ţ� a� ă obţinem proprietăţile nereflexit'itate,1 Ume'ne ŞI netranztUvUate. Astfel, relaţia "x învinovăţeşte pe y" , " x critică pe y", "x denunţă pe y", "x descrie pe y" sînt relaţii nesimf'trice, căci pot avea loc şi cazurile x Învinovăţe�te pe x ( = x se îl,lvi­ novăţeşte pe sine), x critică pe x ( = x îşi face autocritica), x descrie pe x ( = x se autodescrie). Este evident că astfel de relaţii trebuie raportate la mulţimea actelor descrise. Or, nu este universal adevărată nici una din propoziţiile de reflexivi. tate enunţate. Relaţiile următoarc sînt nesimetrice"x scrie lui y", "x infor­ mează pe y", "x critică pe y". într-adevăr, se poate ca y să-i scrie lui x, y să informeze pe x şi y să critice pe x, dar acestea nu sînt universal valabile. Următoarele relaţii sînt netranzitive : "x este prietenul lui y", "x este vecin imediat cu y", "x corespondează cu y".

;m

�;' •

1 60

x

Din faptul că este prieten Cu y şi Y este prieten cu s nu decurge în mod universal că x este prieten cu z (oricît de dorit ar fi), deşi pot să fie cazuri de "transmitere" a relaţiei de prietenie. Un exemplu foarte obişnuit de relaţie netranzitivă este ace!lta : echipa de fotbal x învinge echipa de fotbal y, la rîndul său y învinge echipa z. Toţi pasionaţii ştiu că nu este obligatoriu ca să învingă pe z.

x

t:JPrin n.egar�a t?tală a �r?prietăţilor a) -c)

. x}.;?t'ate, astme'ne, IntranzuwUate.

x>

obţinem irefle­

Relaţiile x < y, y, x este tatăl lui y sînt evident irefle­ xive şi asimetrice. Relaţia x este tatăl lui y este şi intran­ zitivă. Fiecare relaţie diadică poate fi descrisă complet sub raportul proprietăţilor indicate mai sus. Astfel, relaţia x < y este ireflexivă, asimetrică şi tranzitivă, relaţia x =S;; y este nere­ flexivă, nesimetrică şi tranzitivă. Relaţia x critică pe y este nereflexivă, nesimetrică şi netranzitivă. Relaţia x = y este reflexivă, simetrică şi tranzitivă.

(�Tnivocitatea. O relaţie este univocă dacă şi numai dacă

nsecvent �i antecede Ai corea unde un şi numai ent . st el, relaţia de succesor n sIstemul lui Peano (succe . este univoca, adică pentru x succede pe y este adevărat că oricărui y îi corespunde un singur care-l urmează imediat. Tot univocă este ş i relaţia x es te fiul doamnei y, căci fiecărui fiu îi corespunde o singură mamă.

x

��

0niunivocitatea. O relatie este biunivocă atunci cînd este :;ă în ambele sensuri, adIcă fIecăruI antecedent ÎI cores­ u punde un singur consecvent şi fiecărui consecvent un singur antecedent. Astfel relaţia succesor este biunivocă în cîmpul numerelor întregi (pozitive şi negative).

de relatii neunivo..E!" de exem­ � Putem nuvorbi,existăde asemenea, un singu număr care să fie mai mare

�Qx > ca

y,

r

x.

sau un singur număr care să fie mai mic ca Proprietăţile de mai sus pot fi definite şi numai cu ajutorul simbolurilor. Pentru a le indica expres trebuie să introducem pt'edicate de ordinul doi (adică predicate de predicate) : Ref y

1 61

(reflexiv), Sym (simetric) Trans (transitiv), Neref(nereflexiv) Nesym, Netrans, Iref, Asym, Intrans. Definiţiile vor fi :

.

(1) Ref (R) = 'r/x x Rx

(2 ) Sym ( R) = 'r/ x'r/y (x Ry Y R x) (3) Trans (R) = 'r/x'r/y'r/z « x R y . x R z) -fo X R z) =

(4) Neref (R) =: Ref (R)

==

'T/x x R x

(5 ) Nesym (R) = Sym (R) == 'T/%'r/y (x R y = Y R x)

(6) Netrans (R) == Trans ( R) = 'T/x'r/y'T/z «xR y .yRz) -fo xR z) (7) Iref (R) =: 3x x R x (8) Asym (R) ::-: 3x3Y ( x R Y

(9) Intrans ( R )

=

=

Y R x)

3 x3y3z( (x R y . y R z) -fo X R z)

( 1 0) Un ( R) =: 'r/x'r/y (x R y -fo 'r/z (x R z -. Y =: z» ( în cazul (10) " Un" este o prescurtare pentru univoc.) Observăm că în cele de mai sus am adoptat un "limbaj" intensional (al predicatelor). Se poate de asemenea vorbi despre relaţii în "limbajul extensional" (al m ulţimilor şi claselor). Unii autori chiar amestecă cele două moduri de exprimare, ceea ce este cel puţin inestetic. 4.

O PERAŢII CU RELAŢII

Ca şi cu propoziţiile şi clasele cu relaţiile pute m efectua o serie de operaţii. Aceste operaţii sînt denumite fie cu termeni din logica propoziţiilor, fie cu termeni din logica claselor, fie cu termeni speciali. Alegînd un termen noi vom indica în paranteză şi alţii. în vederea simplificării scrierii relaţiile vor fi reprezentate uneori prin P, Q, R, fără a se mai indica termenii (x, y).

� va nota ca şi mai inainte cu ajutorul " " şi se va scrie R sau x R y. Astfel,

� Negaţia relaţiei (complementara).

1 62

negaţia relaţiei x > y este x > y, adică x < y. Negaţia rela­ ţiei "x este prietenul lui y" este "x nu este prietenul lui y", altfel spus "x nu se află în relaţie de prietenie cu y". siderată extensional negaţia se va nu . relaţiei" ŞI se va defini ast e ( I l ) li

=

R

=

;; «

x, y >

E

R) sau

;; ( < x, y > � R)

Aceasta se citeşte "ne gaţia lui R înseamnă acei x şi acei y astfel că perechea nu aparţine clasei R. Prin aceasta relaţia este redusă la o mulţime de perechi. Se poate de asemenea utiliza o definiţie extensională dar eare raportează funcţia propoziţională (predicativă) la clasa de elemente : -

" ,,

--

( 1 2) R = x y (x R y)

R este identic cu acei x şi y pentru care nu are loc x R y, sau ii este mulţimea perechilor pentru care nu are loc x R y). î n raport cu extensiunea relaţiile pot fi clasificate în două : universale (totale) şi vide (ca şi în teoria mulţimilor aceste noţiuni pot fi luate în sens absolut sau relativ, nOI le vom defini aei în sens relativ). (13) R..

=:

\/x\/y (x R y) (Ru : "R este universală")

( 14) R = \/x\/y (x R y) (R : "R este vidă") Relaţia compusă "x = x şi Y = y" (va fi discutată mai j os) este o relaţie universală (în universul numerelor). Relaţia de identitate : "x =: x Iii y == y" este universală în orice univers, la fel x =: x. Relaţia "x * x şi Y =;'= y" precum �i x =1= x, x > x sînt vide. Relaţia x � x este vidă în orice univers. Identităţile (13) şi ( 14) pot fi scrise respectiv şi (15) R ..

=

\/x\/y« x, y>

E

R)

(16) � = \/x\/y( � R)

Se înţelege că \/xVy( � R)

=

3 x3 Y(

E

R) . 1 63

Echivalente cu (17) sînt �i definiţiile : ( 18) RQ

E

(19) RQ

=

A A

xy « x , y>

E

R .

E

Q).

�y (x R y . x R y).

în (18) şi (19) conjuncţia apare de asemenea ca o mulţime de perechi şi poate fi numită "intersecţia relaţiilor" (de unde scrierea R n Q). Din relaţiile : x este prieten cu )' şi x este coleg cu y formăm relaţia : x este prieten şi coleg cu y ; din relaţiile x � y şi x > y formăm relaţia x = y ; din x � y şi x ::l= y formăm x > y, din x este mai În vîrstă ca y şi x este fratele lui y formăm : x este fratele mai mare al lui y. tiv compozitia sa" �ulţirea relaţiilor) . un anumit gen de conjuncţie a relaţiilor. Se notează de ohicei cu I şi se scrie RIQ sau x (RIQ) y. (Cite�te R inmulţit cu Q). (20) R I Q E 3 ,; (x R ,; . ,; Q y). Sau echivalentă cu (20) :

(21 ) RIQ

=

i y (3z

(x R ,; . z Q y» .

Astfel relaţia x este unchiul lui y este compusă din relaţiile x frate cu .z şi z este tatăl lui y. De asemenea, din x este tatăl lui z şi z este soţul lui y putem forma x este socrul lui y. în cazul în care relaţia R este compusă cu sine (o dată sau de mai multe ori) avem puterea relaţiilor. Vom scrie puterea unei relaţii folosind exponenţi c a În aritmetică, adică R". (30) RIR

==

R2, (RIR)IR

=

R8 etc.

Ca exemplu, vom considera relaţia x este tatăl lui y. 1 64

Vom avea lanţul de relaţii : x

Y

este tatăl lui y şi este tatăl lui z şi u şi

z

este tatăl lui

u

este tatăl lui t etc.

Produsul (compoziţia) de x este tatăl lui y şi Y este tatăl lui z va da x este bunicul lui z, produsul dintre x este bunicul lui z şi z este tatăl lui u va da x este străbunicul lui u etc. Notînd cu T relaţia de paternitate (adică " . . este tatăl lui - - - ") vom putea scrie pe scurt : TIT = Bunic (pe scurt B) (TIT)IT

=

B I T = Străbunic (SB)

((TjT)IT)jT = (BjT)IT = SBjT Sau T2 = B, T3 = SB etc.

=

Stră-străbunic etc.

x = y. Prin compoziţie (produs) vom avea x J formează x = z. Dar aceasta este chiar tranzitivitatea egalităţii. Deci putem defini tranzitivitatea prin puterea reIa·

Fie relaţia

şi Y

=

=

z

ţiilor.

(31) Trans (R) = R =) R2 Produse relative interesante dau anumite relaţii cu relaţiile de iden titate ( = , =). Notînd astfel de relaţii cu 1 vom avea o formă specială de produs relativ RjI. De exemplu X c y şi X = Z dă produsul relativ X c Z. La fel din x == z şi :& are proprietatea F obţinem prin produs că x are proprietatea F. Altfel, scris, x = z şi z E F dă x E F.

li. ·�isjuncţia relaţiilor (reuniunea, suma logică a rel ţiilor) nota; � î� propoziţiilor cu V (R V Q)y sau R V Q.

�

x

(32) R V Q

== x

R Y V x Q y.

Din relaţiile : x

este

văr cu y

,"om ohţinc :

x

şi x este

pri eten cu y

este văr sau prieten cu y.

a

şi

.

vom scrie

( în vorbirea obişnuită auzim adesea "x este prieten sau poate şi rudă cu y", ceea ce reprezintă o relaţie compusă prin dis' juncţie). Din relaţiile x y şi x > y obţinem x � y, iar din x îl vizitează pe y şi x corespondează cu y formăm x îl vizitează sau corespondează cu y. Exten8ional vom vorbi de reuniunea relaţiilor şi o vom defini în mod corespunzător. =

� SuIllă relativă. Analog cu produsul relativ putem vorbi M mă relativă. Convenim 8-0 notăm cu W ,( RW,Q, x (RWQ)y).

(33) R W Q = 3 z (x R z V z Q y).

Din x este prieten cu y şi Y este văr cu z obţinem prin sumă relativă x este prieten sau văr cu z (Se înţelege că suma astfel formată poate să fie adevărată sau nu). Nu trebuie să con­ Ilideram formarea sumei relative ca fiind o derivare logică din cele două relaţii (observaţii analoge şi pentru conjuncţia fi produsul relativ). î n unelc cazuri putcm avca o derivarc logică (implicaţie), în altele nu. Un alt exemplu de sumă relativă este acesta : din x =y, fi Y > z obţinem x � z (ceea ce este o însumare adevărată). Prin însumare repetată a aceleeaşi relaţii avem ( R W R) W R) W R etc. Aceasta poate fi scris pe scurt ca nR (unde n este relaţia luată de n ori). Repetarea unci astfel dc relaţii mărcşte gradul dc nedcterminare al propoziţiei J'e!'pective. Exemplu : Ion este mai în vîrstă ca Gheorghe sau Gheorghe este mai în vîrstă decît Constantin. Totuşi o ase menea însumare repetată poate fi utilizată pentru descrierea unei situaţii complexe. Un jurist poate să descrie astfel o situa­ ţie nedeterminată "ceva s-a întîmplat, or x l-a bătut pe y ori y l-a bătut pe z" (acestea părîndu-i-se singurele ipoteze pla uzibile, avînd în vedere, să zicem că z este prea slab pentru a-l te pe x sau pe y). /t;,lIJ,;p.i-lM:..lOl+l1l l"ela� ���are, incluziu � ..:. 34) R => Q = 'r/x'r/y (x R Y -- x Q y) Re'aţia x > y implică relaţia x ;'.:- y.

tfg���J! relaţiilor.

(�â (-) Q

" x Q y) sau 'r/x'r/y (x Ry'"""= x R y Q 'r/x'r/y /36} H (=) = « _ x Q y) . ( x Q y _ x R y» .

166

_

Cu alte cuvinte echivalenţa relaţiilor Înseamnă două relaţii

care au loc pentru aceeaşi mulţime de obiecte (mai precis pentru aceeaşi mulţime de perechi). Relaţiile "x este mai în vîrstă ca y" şi "x primeşte buletinul Înaintea lui y" sînt relaţii echivalente. Se consideră uneori şi următoarea operaţie (evident extensională) denumită restrîn­ gerea (limitarea) cîmpului relaţiei la mulţimpa A. O notăm prin RA şi scriem : (3 7) RA

HA

== x

R y . (x

_

Ry . «

x

El x,

A•Y

6

A) sau

y > E A)

Se înţelege că restrîngerea se face în raport cu cimpul iniţial. De exemplu x > y poate avea loc dacă (x, y) apartin mulţimii numerelor reale. î n mod obişnuit în matematică (x, y) se referă

la mulţimea numerelor, iar în logică au un cimp şi mai larg - mulţimea indivizilor.

� �

relaţiilor (sau inversiunea). Termenul "con­ onversi ,\ ne' nu este aplicat In mo UnIVOC ŞI neori se confundă sensurile. Vom avea cel puţin tI' i Î . uri diferite : a) conversiune a în înţeles 10 icii tradiţionale nde poate fi afectată cuantificarea relaţiei, respectIv a propoziţiei), de exemplu, conversa judecăţii "Toţi S sînt P" va fi "Unii P �înt S" ; b) conversiunea În înţelesul d a relaţiei şi a termenilor (de la x > y se trece a < x , c) conversiunea În sens de simetrica relaţiei (reciproca). de exemplu, trecerea de la x > y la y > x. Î n cazul conversiunii a) propoziţiile "Toţi S sînt P" şi . , Unii P sînt S" nu sînt logic echivalente căci se p oa te ca prima să fie falsă şi a doua adevărată (ex. "Toţi studenţii ;;Înt sportivi" este falsă, în timp ce " Uni i sportivi sînt stu­ denţi" este adevărată). Î n cazul conversiunii b) avem pur şi Într-adevăr, între a :, i m p lu aceeaşi relaţie "citită" invers. "pune că "x este mai mare ca y" şi a spune că "y este mai mic decît x" nu este logic nici o diferenţă. Dimpotrivă, în cazul .'onversiunii c), x > .y şi Y > x nu sînt logic echivalente. Con­ H'rsiunea b) este evident bazată pe anumite noţiuni contrarii. E xe mpl u "mai mare" cu "mai mic", "întreg", "jumătate", _tatăl", "fiul", "bunic", "nepot" ş.a. Cînd Jorgensen exem1 67

plifică conversiunea c) prin "x este tatăl lui y" şi "y este fiul

lui x" el confundă evident conversiunea în sensul c) cu conver­

Biunea în sensul b). Comun este pentru toate cele trei conversiuni inversarea tudinii ' termenilor, în aşa fel că vom defini conversiune a în genere astfel : Spunem că Q (y, x) este conversa lui R (x, y), dacă şi numai dacă Q (y, x) = R(y, x). Dacă în plus se schimbă (sau se poate schimba cuantificarea) vom avea conversiunea clasică (adică a), dacă se schimbă şi orientarea relaţiei vom avea conversiunea b), dacă nu se schimbă decît ordinea ter­ menilor vom avea conversiune a c). Prin urmare, conversiunea e) este cea mai' slabă. Putem conveni să numim conversiune a b) reorientare a relaţiei, iar conversiunea c) simplu conversiune sau inversiune sau transpunere. �38) Dacă Q (y, x) este o reorientare a relaţiei R (x, y) atunci Q (y, x) = R (x, y). Proprietatea (38) n u este valabilă nici pentru conversiunea elasică, nici pentru transpunere (conversiune în genere). î n virtutea lui (38) relaţiile următoare sînt logic identice : x>y=y y va fi conversa acesteia va fi x > y (adică relaţia iniţială). Relaţiile x > y şi y > x sînt reciproc converse, la fel x > J şi y > x. Relaţia x > y se neagă cu x > y, prin urmare y > ;t se va nega cu y > x. în loc de x > y putem scrie x < y. în acest caz vom spune c ă dacă x > .y se neagă rf�ci p roc CII x < y atunci y > x se va nega reciproc cu y :< x (analog putem reformula exemplul pentru (43» . y > x, iar

Fie x > y relaţia R, y > x va fi R, Y < x va fi H . :=:: Negaţia lui x > y va fi x :c. y, eonversa negaţiei y �: x (R� ceea ce este identic cu R. Pentru (4 6) vom avea : dacă

x > y => x '* y

atunci

y >

> x =) y =/= x.

în ce priveşte proprietăţile celorlalte operaţii luate în parte sau una în raport cu alta cititorul le poate stahili pe haza celor spuse deja în logica propoziţiilor. Aci ne vom opri la anumite proprietăţi ale conversiunii ÎIl r ap ort cu celelalte operaţii. (47) Dacă q este unul din operatorii . , V, J, W, =) , (=) atunci sînt valahile teoremele de forma : '--"

v

v

RqQ= R qQ

(A se ohserva asemănarea cu legile lui de Morgan). 1 15'

o definiţie foarte importantă pe care o redăm aci este aceea care spune că "relaţia există dacă şi numai dacă există termenii ei".

(48) E ! R

=

3x3y x R y. Apoi formule relative la puteri.

(49) (R V Q)l (50) (R I Q)l (51) R"'I R"

=

==

�

Rl V Q-l

Rl . Q-l

Rm +"

(52) (Rm)" = Rm" (5 3 ) (R-m)"

=

R-m"

(54) Asym (R) = R � R -1 (55) Intrans ( R) =:: R 2 =) R Exerciţii :

1. Să se studieze noţiunile de domeniu, codomeniu, şi cîmp in raport cu conversiunea ; 2. Să se studieze proprietă�ile celorlalte operaţii (inclusiv una în raport cu alta) ; 3. Să se studieze proprietăţile con versiunii prin reorien­ tarea relaţiei (o astfel de conversă poate fi notată, de exemplu, astfel R) ; 4. Avînd în vedere definiţia (40) să se reformule z e teoremele privitoare la conversă cu ajutorul scrierii R --". Este evident că deoarec.e rela�ia diadică va fi Rl, conversa ei se va scrie cu R --1. De aci : -+

(R -1) 5.

-1

=

R etc.

CLASI FICAREA R ELAŢIILOR

Clasificarea relaţiilor se face în funcţie de proprietăţile amintite. î n acest sens vom distinge relaţiile elementare de relaţiile compuse (cu ajutorul anumitor operatori). Cazul cel mai interesant de relaţii compuse este acela cînd avem .,Ianţuri"' ("reţele" sau "sisteme") de relaţii, cum ar fi, de t70

exemplu, sistemul relaţiilor de rudenie. Se înţelege că studiul lanţului de relaţii va depinde de proprietăţile relaţiilor ele­ mentare şi de tipul de operatori care se aplică pentru com­ punerea relaţiilor. Vom studia aci cele mai importante clase de relaţii (elementare).

â.) elaţiile de echivalenţă. �

relaţie R este de echivalenţă (sau altfel exprimat, de identitate) dacă, pentru ea are loc :

Ref (R) şi Sym ( R) şi Trans (R). Ca exemple ale relaţiei de echivalenţă avem : identitatea in general ( = ), identităţile particulare (egalitatea, echivalenţa logică etc.), paralelismul, congruenţa, hiunivocitatea (echi­ polenţa), sinonimia, asemănarea, a fi (în, pe, cu) acelaşi (aceeaşi) ş.a. De exemplu, pentru ultimul tip avem "a fi la acelaşi curs", "a fi în aceeaşi grupă", "a avea acelaşi rest prin împăr­ ţirea lui N " , "a avea aceeaşi familie". în general, dacă o relaţie este de echivalenţă în raport cu o mulţime M ea este de echi­ valenţă şi în raport cu orice limitare (restrîngere) a mulţimii M. (Limitarea mulţimii 1\1 nu trebuie confundată cu diviziunea ei în M mulţimi. De exemplu, mulţimea studenţilor este divizată în grupe. Limitarea corespunde cu operaţia de deter­ minare în genere, în timp ce diviziunea este o multiplă deter­ minare). Totalitatea mulţimilor între care se poate stabili o relaţie de echivalenţă formează clasa de echivalenţă. Astfel spus : clasa de echivalenţă a unei mulţimi M este clasa tuturor mulţimilor echivalente (în acelaşi 5cn5) cu M. Am văzut că numărul cardinal al unei mulţimi M este clasa tuturor mulţi­ milor echipolente cu M. Prin urmare, numărul cardinal este o elasă de mulţimi echipolente. (Este indispensabil ca in­ treaga clasă de echivalenţc să fie luată în raport cu una şi aceeaşi relaţie de echivalenţă). Analog definim "direcţia" : s e numeşte direcţie a unei drepte clasa tuturor dreptdor paralele cu dreapta dată (adică o clasă de echivalenţe în raport cu relaţia de paralelism). 2. Dacă ME; este o clasă de echivalenţe corespunzătoare lui M atunci : a) orice mulţime din M]< este echivalentă cu M b) orice mulţime echival�ntă cu M face parte din ME; (deci ti M) . 171

Definiţiile date numărului cardinal şi direcţiei pe baza rela­ ţiei de echivalenţă poartă numele de definiţii"prin abstracţie". Ideea de "clasă de echivalenţe" poate fi raportată, de aseme­ nea, la o relaţie sau o expresie. De exemplu, clasa tuturor expresiilor echivalente (în sensul valorii logice) cu o propo­ ziţie adevărată formează o clasă a propoziţiilor adevărate.

� elaţiile de ordine. Am văzut deja că unele relaţii sînt �w.te (adică Între termenii lor există o ordine). Din punctul

de vedere al ordinii relaţiile se împart în a) relaţii de prcordine ,i b) relaţii de ordine. 3. O relaţie R este de preordine dacă pentru ea are loc Ref(R) �i Trans (R). î n acest sens relaţiile de echivalenţă sînt de prc­ ordine. 4. O relaţie R este de ordine (parţială) dacă pentru ea are loc Ref (R) şi Nesym ( R) şi Trans (R).

5. O relaţie de ordine (parţială) strictă este acea relaţie pentru care are loc : Iref (R) şi Asym (R) şi Trans (R). Relaţia de implicaţie ( _ , =») este o relaţie de ordine în sensul (4), la fel relaţia -< . Relaţia < este de ordine în sensul (5�. R

6.

REPR EZENTAREA R E LAŢII LOR

o relaţie x R y poate fi reprezentată fie scriind lista pere­ ehilor care o satisfac, fie prin vectori, fie prin matrice. Fic, de exemplu, relaţia "x este părintele lui y" aplicată la mul­ ţimea membrilor (a, b, c , d, e, f) unei familii. a) Lista perechilor care satisfac relaţia poatc fi, de exemplu, următoarea :

a Rb 8

R

c

b Rd €

m

Re

( a este părintele lui b,

a este părintele lui

c

etc.)

b) Reprezentarea vectorială va

fi

următoarea :

(săgeata arată orientarea relaţiei şi Între ce membri are loc această relafie ) .

c) Reprezentarea matriceală va fi următoarea : b

c

v

v

d

e

f

v

v

1-' .-----�--�--a

a

b

v

d -- --

f

--1-1 - -�

(semnul , .... arată orientarea tabelului, iar semnul v arată că relaţia are loc Între membrii care se află în dreptul că!uţei respective). Ca şi teoria mulţimilor, teoria relaţiilor poate găsi aplicaţii foarte diferite.

VII

LOGICA POLIVALENTĂ 1.

IDEEA D E POLIVA LENŢĂ

Pină acum propoziţiile noastre erau considerate ca avînd una din cele două valori (adevăr, fals). încă Aristotel a arătat că există situaţii în care nu putem decide pe care din cele două valori va trebui s-o atribuim propoziţiei. Analizînd pro­ poziţia "miine va fi o bătălie navaIă" , Aristotel scrie (în Despre interpretare) că "în unele cazuri există contingenţă şi atunci afirmaţia nu este nici mai adevărată, nici mai falsă decît negaţia" . El mai scrie că "Una din cele două propoziţii în astfel de cazuri trebuie să fie adevărată şi cealaltă falsă, dar noi nu putem spune precis care anume este adevărată sau falsă, ci trebuie să lăsăm alternativa nedecisă " . Gcorge Boole socotise logica cu două valori (1, O) ca un caz limită al rapor�ului de probabilitate � (unde k este numărul cazurilor I

favorabile, iar 1 numărul cazurilor posibile). Se produce astfel un fel de "gradare " sau înmlădiere a valorilor lo gice funda­ mentale (adevărul, falsul). Iată cum exprimă Gh. Peirce o asemenea idee : "Conform cu logica obişnuită, orice enunţ este sau adevărat sau fals, nici o altă distincţie nu se mai poate face. Aceasta este, cum ar spune geometria, concepţia descriptivă ; concepţia metrică ar spune că orice enunţ e�te mai mult sau mai puţin fals şi că aceasta este o chestiune de grad " . Matematica operează de multă vreme cu propoziţii care sînt "aproximativ adevărate ". De exemplu, ea dă pentru 1 74

raportul 'It o valoare aproximativă, 3,14 şi deci propoziţia care �pune că ,,7. are valoarea 3,14" este o propoziţie aproximativ adevărată. Chiar şi În logică au apărut cazuri de apreciere a expresiilor care nu se reduc la adevăr, fals. De exemplu, func­ ţiile propoziţionale sînt realizabile, irealizabile (universal false) sau universal adevărate. În demonstrarea proprietăţilor siste­ mului axioma tic ne-am folosit de mai mult de două semni­ fic a ţi i şi, deşi nu le·am definit, am spus dej a că ele pot fi luate ca lIi�te cazuri particularc dc adevăr şi fals. Prin această multi­ plicare a valorilor logice apare justificat să se vorbească de o logică eu un număr oarecare de valori. Aceasta va fi logica polivalentă (sau, altfel spus, n-valentă). Ct'rcctînd îndeaproape conceptul de polivalenţă (v. lucrarea noastră Logică şi adevăr) noi considerăm că la baza ei stau următoarele principii : 1 . Orice mulţime de n valori logice (n > 2) apare ca o parti­ cularizare a ideilor fundamentale de adelJăr şi fals. 2. în oricc l o g i c ă trivalentă este s up ri m a tă cel puţin legea tel'ţului exclus (în formularea că "orice propoziţie este sau ade­ vărată sau falsă a treia posibilitate nu există"). 3. Orice logică n-valentă presupune în fundamentul ei metateoretic logica bivalentă (căci pentru orice valoare nou introdusă este adevărat că ea are sau nu are loc pentru,· .pro­ poziţia dată, a treia posibilitate neexistînd). Fondatorii logicii polivalente sînt polonezul Jan Lukasiewicz (1920) �i americanul E. L. Post (1921). în cele ce urmează vom expune rezumativ cele mai cunoscute sisteme de logică polivalentă· . 2.

LOGICA TRIVAL ENTĂ A L U I L U KA S I EWICZ

Lukasiewicz a pornit de la analiza propoziţiilor modale de posibilitate ("Este posibil ca - - - " ). În conformitate cu această analiză el introduce trei valori pe care le notează cu 1 (adevăr), O (fals) şi 1 /2 (neutral sau posibil). • Pentru expunere am fala_it in principal lucrările :

S. C.

Kleene

[22 ]. J.

Luka.iewicz

A. A. Zinoviev [37 1.

[24 ].

175

Definiţiile funcţiilor fundamentale sînt următoarele :

1 P (2) T..pq = miu (p, q) (3) Apq = max (p , q)

(1) Np

=

(4) Cpq

=

-

min ( 1 , (1 - p + q»

Definiţii pot fi de asemenea date cu ajutorul matricelor. Se pot folosi matrice de tipul celor utilizate în logica bivalentă iau de tipul celor utilizate deja in demonstrarea proprietăţilor sistemelor axiomatice, ultimele sînt mai comode. Np

P I NP

I

�I l

6 1/2�

1 /2

Kpq

1 O

1/2

1

O

1/2

1

O 1/2 O O 1/2 O 1/2 O

NI 1 O

1/2

I

c.p,

Ap q O 1/2

1 1 O 1/2 1 1/2 1/2

Ni l 1

O

1/2

Il

O 1/2 O 1/2

1 1 1 1 (2

1 1

Lukasiewicz ia ca bază operatorii C, N introducînd prin defi­ niţie operatorii A şi K.

(5) Apq = CCpqq (6) ICpq = NANpNq Legile necontradicţiei şi terţului exclus nu mai apar în logica lui Lukasiewicz. într-adevăr,

La fel

2Wetateoreme

ApNp = 1 ApNp = 1 ApNp = 1/2 NKpNp = 1

1 O pentru p = 1/2 pentru p = 1 NKpNp = 1/2 pentru p = 1/2 pentru p

pentru p

=

=

(7) Dacă A este o tautologie în logica hivalentă Ă nu poate fi tautologie în logica lui Lukasiewicz. (8) Dacă A este tautologie în logica lui Lukasiewicz atunci A elite tautologie �i în logica hivalentă. 1 76

(9) Orice matrice bivalentă este o submatrice a matricei tri-· valen te corespunzătoare. Slupecki a introdus o funcţie specială Tp = 1/2 care nu. poate fi redată prin (C, N) ceea ce Înseamnă că sistemul CN nu este funcţional complet. Tp în analogie cu tautologia şi contradicţia poate Însemna o funcţic care ia pretutindeni valoarea 1/2 (ceea ce s-ar putea numi o funcţie "identic-neu­ traIă"). Corespunzător operatorilor CN a fost construit un sistem deductiv incomplet (Tarski, Wajsherg), după cum corespunzător sistemului CNT a fost construit un sistem deductiv compleet (Slupecki). Ulterior Lukasiewicz introduce o logică tetravalentă. Funcţiilc clasice (bivalente) sînt notate cu C2, N 2 (funcţii de bază), iar cele tetravalente cu C', N'.. Ca urinare se obţin următoarelc matrice : 1

2 3 4

4 3 2

1

1

2 3 -4

2

3

4

2

3 3 1 1

4 3 2 1

I 2

1

Lukasiewicz şi Tarski au descris apoi cu ajutorul funcţiilor­ CN o logică infinitistă (cu un număr infinit de valori) în care , valorile sînt reprezentate prin numere reale de la O la 1 (inclu-­ siv). Definiţiile pentru N şi C sînt respectiv ( 1) şi (4) datc mai sus. 3 . LOGICA L U I POST

Post descrie o logică cu n valori. Ca funcţii de bază el con-­ sideră negaţia (cic1ică) şi alternativa pe care le defineşte, astfel. (1) Nlp = p + 1 dacă 1 � P �: Il 1 -

Nlp = 1 dacă p = n (2) Apq = min (p, q) (Pentru n = 2 sistemul este cel hivalcnt) Alte funcţii : N 2 (negaţia simctrică) şi K . (3) N2p = n p + 1 (4) Kpq = max (p, q) -

1 Ti'

'Tabelul pentru negaţia NI. p

� 1 />

I 2

:2 3

n n

n

1

Se numeşte tautologie în sensul lui Post o expresie care are totdeauna o asemenea valoare i încît 1 � i � s, unde 1 < ::-' s � n (se poate ca s > 2). (Prin urmare, o oarecare diferenţă faţă de definiţia dată de logica clasică şi chiar de către Luka­ siewicz care preluase definiţia clasică). 4. LOGICA L U I BOCIVAR·

Bocivar construieşte o logică trivalentă cu scopul de a ana­ liza paradoxele din teoria mulţimilor. Bocivar admite trei valori R (adevăr), F (fals), S (absurd). Propoziţiile sînt împăr­ ţite în clasice (interioare), neclasice (exterioare).

Propoziţii clasice

Propozitii neclasice

A non A A şi B A sau B dacă A atunci B

A este adevărat A este fals A este adevărat şi B este adevărat A este adevărat sau B estc adevărat dacă A este adevărat atunci B este adevărat A este absurd.

Metateoreme , (1) Oricărei propoziţii clasice îi corespunde una ne clasică. (2) Există o propoziţie neclasică căreia nu-i corespunde nici o propoziţie clasică (aceasta este de forma : "A este absurd"). Termenul "absurd" este explicat de Bocivar prin "fără conţi­ nut". •

1 78

Se

expune după Bocivar

[5 ].

Simboluri

Mulţimea valorilor R, F, S. Variabile propoziţionale p, q, r, Functori clasici : - (negaţia), n (conjuncţia), U (disjuncţia), :J (implicaţia), :JC (echivalenţa). Functori neclasici : f- (asertarea), I (negaţia), /\ (conjuncţia), V (disjuncţia), -+ (implicaţia), ..... (echivalenţa), = (identitatea, echipolenţa), � (absurditatea), - (negaţia asertării). (3) Se definesc iniţial - p , p n q, f-- p , -l p. (Asertarea f-- p Înseamnă "p peste adevărat").

P

-P

R

F R S

F S

I

R F S

P I f- P

R F S

TlT

R F S F F S S S S

F

F

S

F

P

,p

R F S

F R F

Restul funcţiilor se definesc, după procedeul cunoscut, din negaţie şi conjuncţie. Pentru functiile neclasice definiţiile sînt următoarele : ( 4) p " q

=

f-- p

n f- q

(5) p V q = f-- p U f-- q ( 6) P -+ q

=

( 7) p ..... q

=

f-- p :J f-- q

(p

-+

( 8) P =c q = (p -+ q) n ( -p +-+ - q) ( 9) � p =

(10) ii

=

-

-

( f-- p U --, p)

f-- p.

q) n (q -+ p)

Din matrice decurg unele teoreme importante. (11) Dacă p este absurd atunci a) p este absurd, b) f- p este fals, c) --, p este fals. -

(12) A n S este echivalent

cu

S.

(13) Dacă un argument cste absurd atunci întreaga formulă,

clasică este absurdă.

1 79'

{14) Nici o formulă clasică nu e demonstrabilă în calculul lui Bocivar.

(15) Nici o formulă contradictorie nu e demonstrabilă în cal­ culul lui Bocivar. Teoreme (tautologii)

{16) p � p n p

(27) P V P

( 17) P n q � q n p

(2 8) R � R

{ l 8) (p � q) � (p n r � q n r)

(29) F � F

=

R

(19) « p� q) n (q -H» � (p� r) (30) S � S

=

R

=

R

(20) q � (p � q)

( 31) p

,(21) (p n (p � q» � q

(32)

(22) P � (p V q)

(33) P n q

(23) P V q � q V P

(34) P U q � p V q

' (24) « p � r) n (q�r» � � « p V q) � r)

(35) (p � q) � (p � q) ( 36) � p == � P

, (25) p � (p � q)

(37 ) � p � I I P

(26) (p -� q n p � q) � p

2 atunci y < 2. Or x =/= 2. Prin ur­ mare, y < 2". Un text este demonstrativ dacă formalizÎndu-1 structura lui este o lege logică. Procedăm astfel. Simbolizăm propoziţi­ ile elementare şi pe cele compuse. PI = X < 2 ; P2 = (x = 2) ; P . = x + y = 2, P. = Y < 2 ; Ps = x > 2. Textul demon­ strativ va fi reprezentat pe scurt astfel (PI V P2' PI - Pa' Pa - p" Pi - P., P2) 1- P.· Dacă Al ' A2, , A" f-- B atunci (Al' A2 A,,) _ B. Deci : «Pl V P2) · (PI - P3)· (P2 - p,). (p, - P,)o(P2) - P.· Aducem la f.n.c. această formulă. Dacă ea va reprezenta o lege logică atunci textul va fi demonstra tiv (adică P. se va de­ duce din premisele date). Răspunsul este că avem o lege logică şi deci 'F, se deduce din premise. •

•

•

•

b) Să se simbolizeze propoziţiile : "Prin două puncte diferite trece cel mult o dreaptă" "Două drepte diferite au cel mult un punct comun". Se poate proceda în două feluri : sau considerăm variabile cu domeniu limitat sau considerăm "punctul" şi "dreapta" ca predicate de 'indivizi în genere. Pentru primul caz vom nota cu x, y, Zi, punctele, iar dreptele cu a, b, c, Predicatul "x se află pe (dreapta) a" se va reprezeJ;lta prin " se va reprezenta P(x, a), iar predicatul ,,- - - diferit prin �. Propoziţiile vor fi reprezentate respectiv : \

• • •

(a) VxVy(x � y _ 3 a3b ( a ;Z; b . P(x,a) . P(y, a) . (P(x, b) ­

- P(y, b» (b) Va " b(a � b _ 3 x3y(x � y) . P(x, a) . P(y, a) . P(x, b ) •

P(y, 6» .

21 4

•

Aci ideea de "cel mult un" a fost transcrisă prin "nu există două diferite". Ea mai poate fi redată şi prin "presupunînd două ele se reduc la una", ceea ce corespunde cu formulările : (c) V xVy(x ;Z:. y - V aV b ( (P(x, a) . P(y, a) . P(x, b) . P(y, b) ) _ a = b)) ' (d) _

VaVb(a :;;5 b _ VxVy«(P(x, a). P(y, a). P(x, b) . P(y, b) _ x = y».

Prin transformări logice se poate ajunge de la (a) la (c) �i de la (b) la (d) şi invers. A se observa caracterul dual al pere­ chilor (a, h) şi respectiv (c, d). c) Concepte economice analizate logic. Simboluri : m, n . . . mărfuri ; mo' mI' . . . . , mII (mărfuri concrete) ; Echi (m, n) echivalenţa mărfurilor ; V(m) - valoarea mărfii, B(m) - mar­ fa-han ; S(x, y, m, n) - relaţia de schimb ; E(m) - echi­ valent-general ; t - o mărime asociată mărfii astfel '"., t" •

( a) Echi ( m, n)

=

(t",

=

.

.

.

tIt)

(b) fi Echi ( mo' mi) ("clasa de echivalente") "

i-O

"

(c) V(lD.g) = 3 m.( U Echi (mo' m.) (valoarea) i=O

( d ) V(m) = 3 x3y3 n (Echi ( m, n) . S(x, y, m, n» (valoarea de

schimb)

(e) E( m) = 3 x3y(3n Echi ( m, n) .VmS(x, y, m, n»

(f) B(m) = 3 x3yV n S(x, y, m, n) Vom nota prin p o nouă mărime asociată mărfii astfel : iar prin OJ. echivalent sau aproximativ echivalent.

P... , p",

(9) (V m V n 3 x 3y 3 p (B(P) S(x, y, m, p) - (Pili = p,,) •

( 10)

p". =

p" _ m

OJ.

•

S(x, y, n, p» -

n

215

6. Aplicaţii ale algebrei logice 1. p, q,

contacte ; 1 - inchis ; o - deschis

r,

p - poziţia opusă lui p p . q - contacte în serie p V q - contacte in paralel

* -------

------- *

q

p p ----- *

--- -1 . --1----

q

2. Neuroni

l

IIJ\\ q

r

S

u

N euronul p va lucra numaI dacă sînt "excitaţi" neuronii q, r, s.

w

Formula : p(t) = q(t - 1 ). r(t - l ) s (t - 1 ) u(t - 1)o w(t - l ) (Starea neuronului p î n momentul t depinde de conjun< ţia stărilor neuronilor q, r, s, u, w în momentul (t - 1). o

J

IJ\ Il

r

Neuronul p va lucra atunci cînd cel puţin unul dintre neuronii q, v, s este excitat.

s

Formula cores p unzătoare :

p(t)

216

=

o

q(t - 1 ) V r(t - 1) V s(t - 1).

BIBLIOGRAFIE 1. A

8

s e r G. Einfiihrung in die Motlasrnoti.che Logi.k, Leipzig._ 1959.

2. B e r k e l e y E. C., Symbolic logic and In.elligent Machine. (am folo­ sit traducerea rusă, Moscova 1961).

8 k i, 1. M., Formale Logik, Verlag Alber Freiburg/Miinchen, 1956. 4. B o c h e n s k i, I. M., Grundriss der Logis.ik (Aus dem Franzosischen

3. B o c h e n

iibersetzt, neubearbaitet and erweitert von A. Menne), 1 954.

5. B o c i v a r, D. A., 011 odnom triihznacinom iacislenii i -ego primenenii k analizu paradoksoll klasiceskogo ros,irllnogo fune,ionalnogo iscislenia,

Matem. sb. 4/46. 6. C a r n a p R., Einfiihrung 7. C h u r c h 8.

Cur

r y,

H.

in die Symboli.che Logik, Wien, 1960.

Introduction to

A.,

B.,

mathematical logic,

Princeton,

1953.

Foundotions of Mathematieal Logic, New York ·

San Francisco·, Toronto· , London 1963. 9. D u m i t r i u

10. E n e s c u Il. E n e s c u 1 2. F

r

ae

n

A n t o n,

Logica polivalentă, B ucure�ti, 1943.

G h.,

Introducere in logica matematică,

G h.,

Logică ,i adevăr, Bucureşti, 1967.

Bucureşti, 1965 .

A., B a r - H i I I e I Y., Foundation. of Set Theory,

k e i A.

Amsterdam, 1 958. 13. F r e i G., Calcule imperalille, în culegerea II (indicatii mai jos). G., Untenuchungen iiber dos logisc"e Schlie••en, 1, II Mathem. Zeitschrift, B . 39.

1 4. G e n t z e n

15. G I u Ş k o v V.

16. H i I b e r t D., Logik, 1949. 17. H e y t i n g

A.,

M., Sinte: fifrovih avtomatoll, Moskva, 1962. W.

A ck e

r

m a n n,

Le. [ondemen..

GrundzUge

der

de. mathematiqu••.

theoretischen

Intuitionisme.

Tbeorie de la demonstration. Paris. Louvain, 1955.

\\\.f8I'�

�.

�.....

�

217

y

18. H e

t

dacerea

19. J

i n r;

"kow

"

A., In'ui'ion;.m, Amsterdam 1 956 (Se citeazl după

rus', Moscova, 1965). •

t.,

ki S

On

IM rule. of .uppo.;'ioRl in formal logic,

Lopca" 1, Varşovia, 1934.

20. J o r g e n s e n I., Â Irea,i.e of formol logic (voI.

1 - 111),

tro­

"S t u di a

Copenhagen,

London, 1931.

2 1. K 0 1

m o

goro

A.,

v

citeazA dupA culegerea

22. K 1 e e n e

1952.

23. L e w i

.

S.

Zur DBUlUng der inlui,ioni.,i5CMn Logic

(1) d�

mai jos).

(se

C., Inlroductit>n /0 MBlamotemotic., �ew York, Toronto,

1.,

C.

Lan gford

C.

H.,

Symbolic Logic, New York,

London, 1951. 24. L

u

kasiewic

J a n,

z

Âril/o'ele'.

Sillogi.tic from the 61andpoin'

of modern formal logic, Oxford, 1957.

25. M i h , i l e s c u

E. , Si.'eme logice ,i forme normale in colculul propo-' i

ziponal bivalenl, Bucureşt , 1966.

26. M o i s il G r. C., Incercări vechi ,i noi de logică necla3ică, Bucure�ti, 1965. 27. M o i " i I G r . C., Elemenle de logică mGlema,ică ,i teoria mulrimilor,

Bucureşti, 1968.

28. N o v i k o v P. S., Elemen'e de logicii mGlematică, (trad. rom.), Bucureşti. 1966.

29. P 30.

r

i or

Quine

A.

N.,

W.

Formol Logic, Oxford, 1962.

V.

O.,

MGlhematical Logic, Harvard, 1951.

31. R u a a e I l B., Inlroduee i/Jn d 10 philo.ophie mathimatique, Paris, 1928.

32. R o a a e r 1. B., T u r q u e t t e A. R., Many- vahud logic, Amsterdam, 1952.

33. S c h o l t

z

H a s enj

H.,

a

eger

G.,

Gruoo:uge

der

Ma/hemati­

IChen Logik, Berlin · Glittingen • Heidelberg, 1 96 1 .

34. T a r

8

k i A.,

Inlroduc/ion /o logic aoo /o methodology of deductive

lCieneu, New York, 1941 (Am folosit traducerea rusă, Moscova, 1948).

35. T i r n o v e a n u 36. V o i Ş v i I o 37.

E.

[Z i n o v i e v

M., Elemen'e de logicii ma/ematică, Bucureşti, 1965.

K., A.

PoniiJIie, Moskva, 1967.

A. ],

Sinowiew

A.

A.,

tJeber meherwertige

Logih. Ein AbrifJ, Berlin, Basel, 1968 (traducere din limba

38. • • • (1) Logicii fi filozofie 1966.

39. • • •

(culegere),

Bucure�ti,

rusă).

Editura politică,

(II) Logica ,'iin,ei (culegere), Bucureşti, Editura p oliti că , 1970.

40. • • • (III) Con'emporary Reading. in Logical Theory, New York, Lond,_ ro, 1967. Pentru unele probleme netratate

41. P e

218

tre

B ot e

z

a t u,

In aceaatA carte a se vedea :

Schi/ii a unei logici naturale, Bucureşti, 1 9 69.

CUPRINSUL 5

PREFATA

1 INTRODUCERE

1. Definiţie. Obiect. Conţinut 2. S curt istoric

3.

Termeni şi expresii propoziţionale

4. Elemente de logică deductivll generală

II

LOGICA PROPOZIrUI.�J;!.

� Operatori propoziţionali. • Funcţii de adevăr

Sim'Joluri

2' 33 ,O 51 53 59 60

�roblema deciziei

�Ita principalelor legi logice

�

5.

Formele normale perfecte

� Principiul dualităţii

7. Aflarea ipotezelor şi concluzillor

61

8. Minimizarea expresiilor

9. AIioma tizarea

70 80 85

logicii propozi�ilor

10. Proprietăţile sistemului axiomatic

I l . Observaţii cu privire la simbolism

III LOGICA PREDICATELOR

87

1 . Siinbolilm

2. Probleme relative la

cuantori

3. Cum redAm expresii de forma A, E, 1, O telor?

jul

In limb a

90 predica-

9' 219

�

Forme normale

95

Problema deciziei

97

. Relaţii intre silogistică �i logica predicatelor

--�.

Calculul axiomatic al predicatelor

99 102

8. Proprietăţile sistemului axioma tic al predicatelor

109

9. Extinderea logicii predicatelor

116

IV CALCULUL NATURAL

1 . Consideraţii gene;ale

121

2. Regulile calculului natural

124-

3. Exemple de deducţie naturală

1 26

V TEORIA MULTIMILOR

ŞI LOGICA CLASELOR

1. Noţiunea de mulţime şi noţiunea de clasă

135

2. Feluri de mulţimi

1 38

3. Operaţii şi relaţii referitoare la mulţimi

141

4. Propoziţii ale teoriei mulţimilor

151

�

5. Fundamentarea teoriei mulţimilor gica claselor

153 154

�CA RELATIILOR

1. Observaţii generale 2. Relaţii diadice

1 5Br�

159

3. Proprietăţi formale ale rel N"llor

160

4. Operaţii cu relaţii

162

5. Clasificarea relaţiilor

170

6. Reprezentarea relaţiilor

172

VII LOGICA POLIVALENTĂ

1 . Ideea de polivalenţă 2. Logica trivalentă a lui Luk siewicz

1 74175

3. Logica lui Post

177

4. Logica lui Bocivar

178

5. Logica lui Kleene

182

6. Logica lui Reichenbach

183

7. Logica intuiţionistă

1 8 4.

8. Interpretarea logicii intuiţirliste

189

VIII LOGICA MODALĂ

1. Ideea de modalitate

191

2. Definirea modalitiţilor 3. Sistemul implicaţiei stricte (Lewis) 4. Interpretarea modalităţilor

192 193 194194-

6. Logica deontică

200

5. Logica modală a lui Gr. C. Moisil

IX

SILOGISTICA

205

ANExA.

211

BIBLIOGRAFIE

217