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Paraninfo ciclos formativos

Gestión Financiera Gabriel Escribano Ruiz

ADM INISTRACION [Adm inistración y Finanzas]

Paraninfo Gestión financiera © Gabriel Escribano Ruiz

Gerente Editorial

Reservado s los d ere ch o s para

M aría Jo s é Ló p ez Raso

to d o s los p aíses d e le n g u a e s p a ­ ñola. D e co n fo rm id ad con lo dis­ p u e s to en el articulo 270 del C ó ­

Equipo Técnico Editorial

d ig o Penal vig en te, p o d rán ser

A licia C e rvin o G onzález N uria D uarte González

castig ad o s con p e n a s d e multa y privación d e libertad q uienes repro du jeren

o

p lag iaren ,

en

Editora de Adquisiciones

to d o o en p arte, una o b ra lite­

C arm en Lara C arm on a

raria, artística o científica fijada en cu alq u ier tip o d e so p o rte sin la p re cep tiva autorización. N in ­

Producción M arta M uñoz

guna p a rte de esta p ublicación, incluido el d iseñ o d e la cubierta,

N acho Cabal

p u e d e ser rep ro d u cid a, a lm a c e ­

Preimpresión

n ada o transm itida d e ninguna form a, ni por ningún m edio, sea

C o p ib o o k

este electrón ico, quím ico, m e ­ cánico,

electro-óptico,

g ra b a ­

ción, fo to co p ia o cu alq u ier otro,

Diseño de cubierta N obel

sin la previa autorización escrita p o r p a rte d e la Editorial.

C O P Y R IG H T €> 2011 E d ic io n e s Paraninfo, S A r e d i c i ó n , 2011 Av. Filipinas 50, B a jo A / 28003 M adrid, E S P A Ñ A

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P o líg o n o d e M e re s (Asturias)

Presentación

1. El capital financiero 1.1. El capital financiero ........................................................................ 1.2. Operación financiera ........................................................................ 1.3. Operaciones financieras de capitalización y de descuento .................... 1.4. Régimen de capitalización y descuento .............................................. Resumen ............................................................................................... Actividades ...........................................................................................

2. El interés simple 2.1. Capitalización simple ....................................................................... 2.1.1. Cálculo de las variables que intervienen en la capitalización simple 2.1.2. La capitalización simple en una hoja Excel .............................. 2.2. Tantos equivalentes .......................................................................... 2.2.1. Tantos equivalentes ................................................................ 2.3. Año civil y año comercial ................................................................. 2.3.1. Relación por diferencia entre interés comercial e interés civil ...... 2.3.2. Relación por cociente entre interés comercial e interés civil ....... 2.4. Interés anticipado. Relación con el interés vencido .............................. 2.4.1. Relación entre el interés anticipado y el vencido ....................... 2.5. Cálculos abreviados .......................................................................... 2.5.1. Números comerciales ............................................................. 2.5.2. Multiplicador fijo .................................................................. 2.5.3. Divisor fijo ...........................................................................

índice 2.6. Las cuernas corrientes ....................................................................................................................................

26

2.6.1. Terminología básica de la cuenta corriente ............................................................................................... 2.6.2. Tipos de cuentas corrientes ..................................................................................................................... 2.6.3. Métodos de liquidación de las cuentas corrientes .......................................................................................

26 26 27

Apéndice ...............................................................................................................................................................

29

Resumen ...............................................................................................................................................................

32

Actividades ..........................................................................................................................................................

33

3.

.......................................................................................

37

3.1. La capitalización compuesta ............................................................................................................................ 3.1.1. Cálculo del capitalinicial ........................................................................................................................ 3.1.2. Cálculo del tiempo ........................................................................................................................ 3.1.3. Cálculo del tipo deinterés ....................................................................................................................... 3.1.4. Cálculo del interésde la operación ........................................................................................................... 3.1.5. I*a capitalización compuesta en una hoja Excel ..........................................................................................

38 40 40 40 41 41

3.2. Comparación entre capitalización simple y compuesta ....................................................................................... 3.2.1. Comparación entre capitalización simple y compuesta en Excel ..................................................................

43 44

3.3. Relación entre el tiempo y el tipo de interés ..................................................................................................... 3.3.1. Tantos equivalentes en interés compuesto ................................................................................................. 3.3.2. Interés nominal .....................................................................................................................................

45 45 47

3.4. Capitalización continua ..................................................................................................................................

49

3.5. La TAE ........................................................................................................................................................

50

3.6. Convenio lineal y convenio exponencial ...........................................................................................................

53

Apéndice ...............................................................................................................................................................

54

Resumen ...............................................................................................................................................................

55

Actividades ..........................................................................................................................................................

55

4.

s i m p l e y c o m p u e s t o ..........................................................................

59

4.1. El descuento ..................................................................................................................................................

60

4.2. El decuento simple comercial o bancario ..........................................................................................................

60

4.2.1. Relación del tanto de descuento con el tiempo ......................................................................................... 4.2.2. Cálculos del resto de las variables ...........................................................................................................

61 62

4.3. Negociación de efectos ..................................................................................................................................

63

4.4. La gestión de efectos .....................................................................................................................................

65

4.5. Forfait (todo incluido) ....................................................................................................................................

66

4.6. Forfait ideal ..................................................................................................................................................

67

4.7. Descuento simple racional o matemático ........................................................................................................... 4.7.1. Cálculo del efectivo en función del nominal ..............................................................................................

68 69

4.8. Relación entre el descuento comercial y el racional ............................................................................................ 4.8.1. Relación por diferencia ........................................................................................................................... 4.8.2. Relación por producto ............................................................................................................................ 4.8.3. Relación por cociente ............................................................................................................................ 4.8.4. Equivalencia entre el tanto de descuento comercial y racional ....................................................................

70 71 71 72 73

4.9. Descuento compuesto ...................................................................................................................................... 4.9.1. Descuento compuesto comercial .............................................................................................................. 4.9.2. Descuento compuesto racional ................................................................................................................

74 74 76

La

c a p it a liz a c ió n

El d e s c u e n to

c o m p u e s ta

••

© Ediciones Paraninfo

VII

índice 4.9.3. Relación entre el descuento compuesto comercial yracional ........................................................................

77

Resumen ...............................................................................................................................................................

78

Actividades ..........................................................................................................................................................

79

5.

C o n ju n t o s d e c a p it a le s : la e q u iv a le n c ia T a n to s

d e c a p it a le s .

m e d i o s ............................................................................................................................

83

5.1. Capitales equivalentes .....................................................................................................................................

84

5.2. Equivalencia de capitales en capitalización simple .............................................................................................. 5.2.1. Sustitución de un conjunto de capitales por un únicocapital ........................................................................ 5.2.2. Vencimiento común ............................................................................................................................... 5.2.3. Vencimiento medio ............................................................................................................................... 5.2.4. Equivalencia de capitales con descuento racional .......................................................................................

84 85 87 88 89

5.3. Equivalencia de capitales en capitalización compuesta ........................................................................................ 5.3.1. Sustitución de un conjunto de capitales por un únicocapital ........................................................................ 5.3.2. Vencimiento común ............................................................................................................................... 5.3.3. Vencimiento medio ...............................................................................................................................

90 92 92 93

5.4. Tantos medios ................................................................................................................................................ 5.4.1. Tanto medio en capitalización simple .................................................................................................. 5.4.2. Tanto medio en capitalización compuesta .............................................................................................

94 94 96

Resumen ...............................................................................................................................................................

96

Actividades ..........................................................................................................................................................

97

6.

R e n ta s

f in a n c ie r a s

..................................................................................................................

io i

6.1. Renta financiera ............................................................................................................................................. 6.1.1. Definición. Elementos ............................................................................................................................ 6.1.2. Clasificación de las rentas financieras ......................................................................................................

102 102 102

6.2. Rentas unitarias con interés y amplitud pcriodal constante .................................................................................. 6.2.1. Renta pospagable, inmediata y temporal ................................................................................................. 6.2.2. Renta prepagable, inmediata y temporal ............................................................................................... 6.2.3. Rentas perpetuas ................................................................................................................................... 6.2.4. Rentas diferidas d periodos ..................................................................................................................... 6.2.5. Rentas anticipadas h periodos ........................................................................................................

103 103 106 109 III 114

6.3. Rentas constantes con interés y amplitud pcriodal constante ................................................................................. 6.3.1. Renta pospagable. inmediata y temporal .................................................................................................. 6.3.2. Renta prepagable, inmediata y temporal .................................................................................................... 6.3.3. Rentas perpetuas ................................................................................................................................... 6.3.4. Rentas diferidas d periodos ..................................................................................................................... 6.3.5. Rentas anticipadas en h periodos ..............................................................................................................

117 118 120 122 124 127

Resumen ...............................................................................................................................................................

129

Actividades ..........................................................................................................................................................

130

7.

R e n t a s v a r ia b le s e n p r o g r e s ió n

133

g e o m é t r ic a y a r it m é t ic a

7.1. Rentas de términos variables en progresión geométrica, con interés y amplitud periodal constante ........................... 7.1.1. Renta pospagable. inmediata y temporal .................................................................................................. 7.1.2. Renta prepagable, inmediata y temporal .................................................................................................. 7.1.3. Renta pospagable. inmediata y perpetua .................................................................................................. 7.1.4. Rentas prepagables, inmediatasy perpetuas ............................................................................................... 7.1.5. Rentas diferidas en d periodos ........................................................................................................ •

V III

134 135 138 141 141 142

#• © Ediciones Paraninfo

índice 7.1.6. Rentas anticipadas en h periodos .............................................................................................................

142

7.2. Rentas de términos variables en progresión aritmética, con interés y amplitud periodal constante .............................

144

7.2.1. 7.2.2. 7.2.3. 7.2.4. 7.2.5.

Rentas Rentas Rentas Rentas Rentas

pospagablcs. inmediatas ytemporales .................................................................................... prepagables, inmediatas ytemporales ..................................................................................... pospagables y prepagables inmediatas y perpetuas ................................................................. diferidas en d periodos ........................................................................................................ anticipadas en h periodos ......................................................................................................

144 146 147 148 148

7.3. Rentas de términos variables sin ley de progresión, con interés y amplitud periodal constante .................................

149

Resumen ...............................................................................................................................................................

149

Actividades ..........................................................................................................................................................

150

8.

..............................................................................................................

153

8.1. Introducción ...................................................................................................................................................

154

8.2. Fraccionamiento del periodo ............................................................................................................................

155

8.3. Factor de transformación de renta sin fraccionar en fraccionada ........................................................................... 8.3.1. Rentas fraccionadas pospagables ...................................................................................................... 8.3.2. Rentas fraccionadas prepagables ......................................................................................................

157 157 160

Resumen ...............................................................................................................................................................

163

Actividades ..........................................................................................................................................................

163

9.

.........................................................................................................................

i67

9.1. Operaciones de amortización ...........................................................................................................................

168

9.2. Elementos de un préstamo ..............................................................................................................................

168

9.2.1. Capital vivo o cuantía de la deuda en el momento K .............................................................................. 9.2.2. Termino amortizativo o pago, cuota de amortización del periodo, amortización acumulada c interés del periodo ..

168 169

R e n t a s f r a c c io n a d a s

L o s p ré s ta m o s

I

9.3. Cuadro de amortización ..................................................................................................................................

171

9.4. Clasificación de los préstamos ........................................................................................................................

171

9.5. Amortización mediante reembolso único de capital ...........................................................................................

172

9.6. Pago periódico de intereses y devolución del principal en un único pago (sistema americano) ................................

172

9.7. Términos amortizativos constantes (sistema francés) .......................................................................................... 9.7.1. Ley de variación de las cuotas de amortización ...................................................................................... 9.7.2. Relación entre /\| y lJ .......................................................................................................................... 9.7.3. Cálculo de la deuda pendiente en el momento K ....................................................................................

173 174 175 175

9.8. Términos amortizativos variables en progresión aritmética ................................................................................. 9.8.1. Ley de variación de las cuotas de amortización ...................................................................................... 9.8.2. Cálculo de la deuda pendiente en un momento K ....................................................................................

177 178 179

9.9. Términos amortizativos variables en progresión geométrica ...............................................................................

181

9.9.1. Cálculo de la deuda pendiente ...............................................................................................................

182

9.10. Amortización con cuotas de amortización constantes ......................................................................................... 9.10.1. Lev de variabilidad de los términos amortizativos o anualidades ..............................................................

183 184

9.11. Amortización por el sistema americano con fondo de constitución (sinking fu n d )................................................. 9.11.1. Comparación de la anualidad de un préstamo americano y uno francés ....................................................

185 187

9.12. Amortización fraccionada de préstamos ...........................................................................................................

188

Resumen ...............................................................................................................................................................

190

Actividades ..........................................................................................................................................................

191

© Ediciones Paraninfo

IX

índice

10.

L o s p ré s ta m o s (le a s in g

II. E l a r r e n d a m ie n t o

f in a n c ie r o )

f in a n c ie r o

............................................................................................................

w

10.1. Préstamos con periodos de carencia ................................................................................................................

196

10.2. Préstamos con tipos de interés revisables ........................................................................................................

197

10.3. La tasa anual equivalente (TAL) ..................................................................................................................... 10.3.1. Cálculo de la TA E utilizando la hoja decálculo Excel de Microsoft ........................................................

199 202

10.4. Cancelación anticipada de un préstamo ............................................................................................................

205

10.5. Préstamos amortizables por el sistema alemán .................................................................................................

208

10.6. Valor de un préstamo, el usufructo y la nuda propiedad ....................................................................................

210

10.7. El leasing financiero ...................................................................................................................................... 10.7.1. Aspectos financieros más habituales ....................................................................................................

212 213

10.8. La hipoteca inversa ........................................................................................................................................

215

Resumen ...............................................................................................................................................................

218

Actividades ..........................................................................................................................................................

219

11.

L o s e m p r é s t i t o s ......................................................................................................................

225

11.1. Introducción ...............................................................................................................................................

226

11.2. Notaciones a emplear en un empréstito ...........................................................................................................

226

11.3. Empréstito básico o normal ........................................................................................................................... 11.3.1. Confección del cuadro de amortización ...............................................................................................

226 227

11.4. Empréstito con prima de amortización y pagos constantes ...............................................................................

233

11.5. Empréstito con cupón fraccionado .................................................................................................................

236

11.6. Empréstito con número de títulos amortizados constante en cada periodo ...........................................................

239

11.7. Empréstitos con términos amortizativos variables en progresión aritmética ........................................................ 11.7.1. Redondeo de las amortizaciones teóricas ............................................................................................

240 241

11.8. Empréstitos con términos amortizativos variables en progresión geométrica .......................................................

243

11.9. Empréstitos con lotes 11.9.1. Empréstitos 11.9.2. Empréstitos 11.9.3. Empréstitos

................................................................................................................................... conlotes constantes ....................................................................................................... conlotes variablesindependientes ..................................................................................... conlotes variables dependientes .......................................................................................

244 244 246 248

11.10. Empréstitos cupón cero ......................................................................................................................... 11.10.1. Cupón cero con rentabilidad similar para todos los títulos .................................................................... 11.10.2. Cupón cero con rentabilidad distinta y prefijada cada año ....................................................................

248 248 250

11.11. Empréstitos con prima de amortización variables ............................................................................................

252

Resumen ...............................................................................................................................................................

254

Actividades ..........................................................................................................................................................

254

12.

d e i n v e r s i o n e s ..............................................................................................

257

12.1. Concepto de inversión. Clasificación ..............................................................................................................

258

12.2. Dimensión financiera de la inversión ..............................................................................................................

258

12.3. Métodos de valoración y selección de inversiones ...........................................................................................

259

12.4. El criterio del flujo neto de caja por unidad monetaria invertida ........................................................................

260

12.5. Criterio del finjo neto de caja medio anual por unidad monetaria invertida ........................................................

260

X

S e le c c ió n

© Ediciones Paraninfo

índice 12.6. Criterio del plazo de recuperación o «payback» ..............................................................................................

261

12.7. Criterio de la tasa de rendimiento contable ...................................................................................................

261

12.8. El valor capital o valor actual neto (VAN) .................................................................................................... 12.8.1. La tasa de descuento o actualización (/Q ............................................................................................ 12.8.2. El valor actual neto en Excel ..............................................................................................................

263 264 266

12.9. El «payback» descontado ..............................................................................................................................

269

12.10. Tipo de rendimiento interno (TIR) ................................................................................................................. 12.10.1. Cálculo de la Tasa Interna de Rentabilidad a través deExcel ..............................................................

271 272

12.11. Valor actual neto frente a la TIR ....................................................................................................................

274

12.11.1. Equivalencia de los dos criterios endecisiones deaceptación orechazo de una inversión simple ................ 12.11.2. Equivalencia de ambos criterios enjerarquización deinversiones ..........................................................

275 276

Resumen ...............................................................................................................................................................

279

Actividades ..........................................................................................................................................................

280

13.

C la s if ic a c ió n F u e n te s

la s f u e n t e s d e f in a n c ia c ió n . p l a z o ....................................

285

13.1. Clasificación de las fuentes de financiación ...................................................................................................... 13.1.1. Según la propiedad ............................................................................................................................ 13.1.2. Según su procedencia .........................................................................................................................

286 286 287

13.2. Financiación interna o autofinanciación ...........................................................................................................

287

13.2.1. Ventajas e inconvenientes de la autofinanciación ....................................................................................

289

13.3. Puentes de financiación a corlo plazo .............................................................................................................. 13.3.1. E l crédito comercial (financiación espontánea) ....................................................................................... 13.3.2. El descuento comercial ...................................................................................................................... 13.3.3. Préstamos bancarios a corto plazo ........................................................................................................ 13.3.4. Cuentas corrientes de crédito ............................................................................................................... 13.3.5. Cálculo de la TAE en las cuentas corrientesde crédito ............................................................................ 13.3.6. El factoring ........................................................................................................................................

289 289 291 291 291 295 297

13.4. Fuentes de financiación a medio y largo plazo ..................................................................................................

297

13.4.1. 13.4.2. 13.4.3. 13.4.4.

d e

d e

f in a n c ia c ió n

a

la r g o

y a c o rto

Préstamos a medio y largo plazo ......................................................................................................... Empréstitos ........................................................................................................................................ Ampliaciones de capital ...................................................................................................................... El leasing .........................................................................................................................................

297 297 299 303

Resumen ...............................................................................................................................................................

305

Actividades ..........................................................................................................................................................

306

14.

P e r io d o

m e d io

d e

m a d u r a c ió n . C a p it a l c ir c u la n t e

o fo n d o

..........................................................................

311

14.1. El ciclo de explotación o ciclo dinero-mercancía-dinero ......................................................................................

312

14.2.

312

d e

r o t a c ió n . R a t io s

f in a n c ie r o s

El periodo medio de maduración o de rotación ............................................................................................ 14.2.1. 14.2.2. 14.2.3. 14.2.4.

Rotación Rotación Rotación Rotación

del almacén de aprovisionamiento ........................................................................................ de fabricación o del almacén de productos en curso ................................................................. de ventas o del almacén de productosterminados ..................................................................... de clientes ..........................................................................................................................

313 314 314 314

14.3.

Clasificación del balance en masas patrimoniales ..........................................................................................

317

14.4.

El capital circulante, fondo de rotación o fondo demaniobra ...........................................................................

320

(g>Ediciones Paraninfo

XI

índice 14.4.1. ¿Qué significa este capital circulante,fondo de rotación o fondo de maniobra? ........................................... 14.4.2. Capital circulante, fondo de rotación ofondo de maniobra existente ........................................................ 14.4.3. Capital circulante, fondo de rotación ofondo de maniobra necesario .......................................................

321 321 322

14.5. Análisis financiero mediante ratios ..................................................................................................................

324

14.6. El coeficiente básico de financiación ...............................................................................................................

325

14.7. Otros ratios financieros ..................................................................................................................................

326

14.8. Ratios de endeudamiento ...............................................................................................................................

327

14.9. Gestión económica ........................................................................................................................................

329

14.9.1. El punto muerto o umbral de rentabilidad .............................................................................................. 14.9.2. Ratios de gestión económica ...............................................................................................................

329 331

Resumen ...............................................................................................................................................................

332

Actividades ..........................................................................................................................................................

333

15.

m i

M e d io s y

d o c u m e n to s d e

c o b ro

y

d e

p ago

................................................

15.1. El proceso de pago ........................................................................................................................................

342

15.2. La letra de cambio.........................................................................................................................................

342

15.2.1. 15.2.2. 15.2.3. 15.2.4. 15.2.5. 15.2.6. 15.2.7. 15.2.8. 15.2.9. 15.2.10. 15.2.11.

Definición ....................................................................................................................................... La transmisión de la letra ................................................................................................................. Elementos personales de laletrade cambio ........................................................................................... Requisitos esenciales de laletrade cambio ........................................................................................... Vencimiento de la letra decambio ..................................................................................................... El pago de la letra ........................................................................................................................... Aceptación ..................................................................................................................................... El endoso ....................................................................................................................................... Cláusulas cambiarías ....................................................................................................................... Acciones cambiarías ........................................................................................................................ El protesto de la letra .......................................................................................................................

342 342 343 344 346 346 346 347 347 347 348

15.3. El pagaré ......................................................................................................................................................

350

15.3.1. Requisitos .........................................................................................................................................

350

15.4. El cheque .....................................................................................................................................................

351

15.4.1. 15.4.2. 15.4.3. 15.4.4.

Requisitos esenciales del cheque ......................................................................................................... Emisión del cheque ............................................................................................................................ Cheques especiales ............................................................................................................................ El pago del cheque ............................................................................................................................

351 352 352 354

15.5. Otros medios de pago ..................................................................................................................................... 15.5.1. I-a transferencia bancaria .................................................................................................................... 15.5.2. Las domiciliaciones bancarias .............................................................................................................. 15.5.3. El giro postal ..................................................................................................................................... 15.5.4. Las tarjetas bancarias ......................................................................................................................... 15.5.5. Tarjetas comerciales ........................................................................................................................... 15.5.6. Contra reembolso ...............................................................................................................................

356 356 356 356 356 357 357

Resumen ...............................................................................................................................................................

357

Actividades ..........................................................................................................................................................

358

16.

p a g o s ......................................

36i

16.1. Los libros en la empresa ................................................................................................................................

362

16.2. Libro registro de caja .....................................................................................................................................

362

16.3. Libro registro de bancos ................................................................................................................................

363

E l s e r v ic io

d e

c a ja . G e s t ió n

d e

c o b ro s y

••

XII

+ C0 = Cd + /|

i=

+/i +

como /, + /* = h entonces

C3 = C0 + 3/,

En el periodo n:

Figura 2.1. Representación gráfica de los intereses totales en capitalización simple.

C„ “ Co + "/i “ Qi + "Co i ■ = Q (l + n'i) Luego hemos llegado a C„ = C0(l + ir i)

Llamaremos montante o capital final al capital obtenido al final de la operación. C„ - Co + ¡r

(2.3) |

Resultado que ya conocíamos.

(2.2)

o bien C „ = C0 + C0-i-n = C0( l + i •n) C„ ~ C0( I + /•!!)

10

(2.3)



C„ = C0 + 1T = 6.000 + 4.320 =

2)

C„ = CQ(1 + /•«) = 6.000(I + 0,12 •6) = 10.320 €

10.320 €

2.1.1. Cálculo de las variables que intervienen en la capitalización simple a)

Cálculo del capital in icial Despejando C0 de la Ecuación (2.2): C„ — C0 + ¡ T ~* C0 — C„

(c) Ediciones Paraninfo

lT

(2.4)

Si lo hacemos en la (2.3):

C „ = C0( l + h a ) -

n

C0 = — I + /•

( 2. 5)

E JE M P L O S a)

Un inversor sabe que le ingresaron en su cuenta corriente 2.900 € por una operación pactada con un banco hace cuatro años, en capitalización simple al 4% anual. ¿Cuál fue el capital inicial? Desconocemos la cuantía de los intereses totales, por lo que aplicamos (2.5): C„ 2.900 C(1 = --- — = --------- = 2.500 € 1 +/•/! |+ (),()4 - 4

I»)

S i sabemos que una operación nos generó intereses totales por 500 € , y que el montante ha ascendido a 6.700 € , ¿cuál fue el capital inicial? Podemos aplicar (2.4): C0 = C „

b)

Cálculo del

¡ T = 6.700

500 = 6.200 €

tiempo

Para calcular el tiempo de la operación podemos despejar (2.1):

I T - C 0 ‘ i ' f i -► « = —— : ( o' '

(2.6)

Si no conocemos los intereses totales partiremos de (2.3):

c

c

c —c

I /••\ ) - —w = I1 + I r-n - > —rj - II = /- /#—»► v—” ----= v ° 1 -n -> cs*„ = r* C oé\ (l + '-■o ^ (1 '--o

(2.7)

E JE M P L O S a)

Sabemos que nuestra inversión de 5.(XX) € ha generado 700 € en capitaliza­ ción simple al 7% anual. ¿Cuánto tiempo duró la operación? IT 700 n = -— = = 2 años C« / 5.000 0.07

bi

Queremos saber cuánto tiempo se mantuvo una inversión de 12.000 € produjo un montante de 12.720 € al 2 % anual de capitalización simple.

que

12.720 12.000 n = -------------- = 3 años 12.000 0,02

— ----= t •n L-o C-o t0

Cn'll

( 2 .9 )

Aunque hemos comentado que la capitalización simple se suele usar cn operaciones a corto plazo, en la realidad, más que la dura­ ción de la operación, lo que defi­ ne el tipo de régimen de capitali­ zación a usar es el tipo de operación; así. las cuentas co mentes, libretas de ahorro, etc., usan este régimen de capitaliza­ ción. mientras que los depósitos a plazo lijo suelen usar la capitali­ zación compuesta aunque la du­ ración de la operación sea sólo de unos pocos meses.

E JE M P L O Una operación nos ha producido un montante de 544 € durante 3 años con una inversión inicial de 400 € . ¿A qué tipo de interés se pactó la operación?

544 - 400 Í = _^

3~

144 = í^ ó

= 0 ' 12

Í = 0J2

2.1.2. La capitalización simple en una hoja Excel Vamos a desarrollar en una hoja de Excel una posible representación gráfica de la función de capitalización simple, que nos permita comparar resultados con diferentes capitales iniciales, y con distintos tipos de interés. Lógicamente, las posibilidades que se abren con una hoja de cálculo son ilimitadas, aquí desarrollamos una posible solu­ ción que nos ayude a comprender los conceptos básicos de este tipo de capitalización. Dentro de Excel, escribimos los títulos de nuestras columnas en la fila 1. Des­ pués, cn la celda A2, escribimos la fórmula matemática que permite calcular el capital final en capitalización simple, teniendo en cuenta en qué celdas se encontrarán los datos necesarios, tales como el tiempo, el capital inicial, etc.

(c) Ediciones Paraninfo

13

Cap^a» U nti i l tip« da infrfàf 1 Capirai Favai al ai rtpa da iitfarta 2 Tìam pa

=¿0-1msiydj ZZ]

I

C aptol W d a l

i I

Tipo da to lita a 1 Tipo do «nfoióo 2

I I

I

Repetimos el paso anterior en la celda B2, ya que vamos a comparar dos montan­ tes a distintos tipo de interés. En este caso, el interés que se tomará es el de la celda H2:

Finalmente, arrastramos con el ratón la fórmula de la celda A2 hacia ahajo en la columna y, posteriormente, la de B2 en la suya, de forma que se copien en sus respec­ tivas columnas.

e io g 82 C a p lu l ftaal A lrtf« 4« litttfé a 1 Capital f inai * \ a l tip « dé im a « * 2 C 0 0 0 0 0 0

n+mp«

C apital U d i i

T ip « 4 « In tatto 1 Tipo 4a (m aria 2

Ahora introduciremos los datos precisos para los cálculos, así, introducimos pri­ mero el valor que tendrá el capital inicial en E2. después el tipo de interés de lo que será la primera representación en G2. y lo mismo para la segunda representación, introduciéndolo en H2. En este punto es importante que se ponga junto a la cifra, el símbolo de % , ya que permite hacer saber a Excel que se trata de un tanto por ciento, y a la hora de aplicar los cálculos, lo tomará como tal. sin necesidad de dividirlo entre I (X) para trabajar con tantos por uno. Por último introduciremos los datos del tiempo, es decir, la duración de la opera­ ción de la que vamos a calcular los capitales finales. Muy importante, para que la representación gráfica sea correcta, los valores dados deben ser equidistantes (2.4. 6. 8..... o 5. 10. 15, 20,...).

C„

:

C „A

£ • «)• (■ + ~ " ) = c -

v________ _______ V

>

Q

(c) Ediciones Paraninfo

21

2 El interés simple Despejando:

I- •n I • 1 + —•n \ = 1 -+ I + —•n - — n m

)

\

i ia — • it---- n m in

ni

J

m

i- ia 2

inni

nr

—r n - 1

in

m

in n m i- ia — -• ir = 0 - » -- ï---- s---- T 'n nr nr

nr

i n in L " n 'in i ' L ’ n2 -------- -— j----- 2— = 0 nt i •in - i„ ■in — i ' ia •n = 0 /•(m

ia -n)

(2.18)

itl •in = 0

i ■(III - ia ■n) = ia •in

i = ---- :-in i„ 'ii

(2.19)

Si deseamos expresar i„ en función de i. partiendo de (2.18): i- ir ni — ia '( i- ir + n-m) = 0 i-ni

ia - (i n + ni) = 0

ia (i n + ni) = i ■ni i •m ( 2. 20)

hí

Recuerda que... Dos préstamos al mismo tipo de interés, uno vencido y otro antici­ pado, tendrán distinto coste para el prestatario (beneficio para el prestamista), siendo mayor el que se practica con tipo de interés anticipado.

Donde podemos observar que la relación entre el interés anticipado y el interés vencido no es única, sino que para cada interés vencido hay un equiva­ lente anticipado en cada momento del tiempo.

Podemos buscar en qué momento del tiempo un interés anticipado es equivalente a otro vencido. De (2.19): i- ta -n = tn•m

i •ni

n =

i„ ■ni

i ■ni

- fio

(i

i ■ni — i. •ni

( i - í„) •ni

fio

l'l«

ij m

it = --------

Para que en algún momento del tiempo sean equivalentes un interés anticipado y uno vencido, el primero (/„) debe ser menor que el segundo (/').

E JE M P L O S a)

22

Un inversor acostumbra a prestar su dinero al 10% a 6 meses. En adelante desea prestar a interés anticipado, pero obteniendo la misma rentabilidad. ¿A qué tipo debe prestar?

+ C3'/I3 + •••+ C* /I*) — = *

v,

■

m

(¿ Con i(m): C„ = d c

.

1 - ( 1 + 1-1

El descuento simple racional es aquel descuento simple en el que los intereses a descontar se calculan sobre el efectivo: N d - ti I), = ----- ---360 + dr n A igual tanto de descuento, el descuento comercial siempre es mayor que el racional, l ’n tanto de descuento comercial es equivalente a otro racional si aplicados sobre el mismo N y durante el mismo periodo de tiempo suponen la entrega del mismo efectivo. Los tantos equivalentes se pueden obtener con la siguiente relación, que depende de la duración de la operación: _ dc —

360dr 360 + d ,n 360dr 360

dc *«

E l descuento compuesto comercial es aquel en el que los intereses que se descuentan se calculan sobre el nominal de la siguiente forma: DC = N [\ - ( I ~ d cT] El descuento compuesto racional es aquel en el que los intereses que se descuentan se calculan sobre el efectivo, y su cálculo adquiere la siguiente forma: D r = N [\

78

( I + d r) ” |



Días

N ."s comere.

227.25 260.22 89.64

25 35 90

5.681,25 9.107,7 8.067,6

TO TA LES

577,11

Dj

86

ni

360

d

0,06

22.856.55 = 6.000

(c) Ediciones Paraninfo

Conjuntos de capitales: La equivalencia de capitales. Tantos medios

5

Aplicando (5.4):

¡>r c\.=

1

c„- I nc /r=I______ ;»~ 1

„

6.000-577,11 - 22.856.55 6.000

Df ~ n'K

Q

i

30

= 576.18 €

*•—

OA

227.25

260.22

89.64

25 dias

35 dtxs

9 0 dias

+

•i

-o* 576.18

-- 1 -3 0 dias

Figura 5.S.

Solución: C * = 576,18 € .

Recuerda que...

5.2.2. Vencimiento común Es el momento en que un capital es equivalente a otro conjunto de capitales.

En esta unidad estamos utilizan­ do el descuento comercial para actualizar cada capital.

Partiendo de (5.2): d

C'K ~ C'K -m n'K =

_L d ’ I C ,- T S ni

d Q

'

d +

- I

ni

NCh

’ I ni h_ ,

NCh

Despejando n’K:

Q -

¿ C„ + ~ i NC„

, _ ______h=_\______ 9U fr-l "K d

j ( r K

__ “

C'K—m

X c„) + ¿ wc»

\______/ l°l / /.« 1 ( d \ ni (C ^ — ) ~ \ ni / d

Por lo que:

nK

>

i A c* ^K

| + í "C , ;»-i

(5.5)

EJEM PLO ¿En qué momento del tiempo un capital de 576.18 € sustituye por equivalencia a tres de 227.5. 260.22 y 89.co mere. 5.681,25 9.107,7 8.067,6

577,11

T O T A LES

22.856,55

360 I) , ----- = 6.000 0,06 A través de (5.5): 6.000 •(576.18 nK =

577,11) + 22.856.55 576,18

= 29.98

ä

30 días

Solución: 30 días. Vemos que coincide con el ejemplo anterior; es decir, el capital CK = 577.1 I, con vencimiento dentro de 30 días, es equivalente al conjunto de capitales.

5.2.3. Vencimiento medio R ecu erd a q u e ... 01 vencimiento común es el mo­ mento en que un capital es equi­ valente a otro conjunto de capita­ les. Si ese capital coincide con la sunui de los capitales a sustituir, el momento de la sustitución reci­ be entonces el nombre de venci­ miento medio.

Es aquel caso particular en el que el capital que deseamos que sustituya a un con­ junto de capitales es igual a la suma de las cuantías de estos\ al momento en que es equivalente se lo llama vencimiento medio. Por tanto:

Q = c, + c, +

//=I Sustituyendo en (5.5):

, _

0/-(q

i

\_____ / r l

C„V ¿ ¡ve, /

h- 1

Q

Dr (

t O, - S O.Ì+ ¿AC„

_ ______________ \h—1____h- I "

nK = %

Características del vencimiento medio:

+ c, = X c„

Q

/ rl

t

NC„

_ h- 1

C'K

I AfCh >.=i

(5.6)

C'K

Si todos los capitales son de igual cuantía, la Ecuación (5.6) quedará:

a) Como vemos en (5.6). es in­ dependíenle del tipo de interés. b) Si se desea descontar comer­ cialmente un conjunto de capita­ les. se obtiene el mismo resultado descontando uno a uno que des­ contando el vencimiento medio (que en muchos casos se calcula­ rá rápidamente).

/

c% =

¿ nh 11-1

£

nh

A— I

t-C

c K

X

1

nh (5.7)

donde / es el número de capitales que van a ser sustituidos, siendo el vencimiento medio una media aritm ética (le los vencimientos.

88

2 = í- ' S 7|(>.fi2 = ( I + O '

C ' S 7|o,02 = ( I ’02) •300

(1 02)7 — I =

= 2.274,89 € Solución: 2.274,89 € .

6.3.3. Rentas perpetuas Son aquellas rentas con infinitos periodos. Como sabemos, solo tienen valor ini­ cial. que en nuestro caso dependerá de si es prepagable o pospagable.

JR ecu tr erd a

C

Si la renta de cuantía fija es pospagable, su valor actual responderá al siguien­ te gráfico y tendrá la siguiente resolución:

q u e ...

El valor actual de una renta unita­ ria. pospagable, inmediata y per­ petua es:

c

tí». 15)

c

c

00

I---- 1 ---- i---- H 0 1 2 3 Figura 6.37.

00

Valor actual de una renta pospagable, inmediata y perpetua de cuantía constante C

I - (!+ / )"" i = C- lim ----- :---- —C- lim «-♦•y n-*cf

V o T lr = l>m v o¡Hf =

1

1 (1 + 0 "

(6.32)

Si la renta fuese prepagable. su valor actual respondería al siguiente gráfico y resolución: C

C

C

i---- 1 ---- ho I

Figura 6.38.

c

C ..

co

H—

- t -

»

Valor actual de una renta prepagable, inmediata y perpetua de cuantía constante C.

R ecu erd a q u e ...

1 - (1 + 0

El valor actual de una renta unita­ ria. prepagable. inmediata y per­ petua es:

1 +i a-7>= —

V n ~r\, = lim V 0 ^, = lim C -a^ , = C* lim (1 + i) it-*?: n-+06 ?t-*& = C (1

I

I C-(l +o I

=

I

— -

(6.16) •*

V o 7“1, =

122

—n

C (1 f /) =

(6.33)

© Ediciones Paraninfo

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Rentas variables en progresión geométrica y aritmética

1

7.1.1. Renta pospagable, inmediata y temporal Es la renta que responde a los términos y periodos siguientes: (C. i — 1 ), (C ■q, t = 2), ( C q 2, 1 = 3 )..... ( C q " ~ ', / = /i). Gráficamente:

C Cq C q2 Figura 7.2.

I—

I—

I—

I—

0

I

2

3 ......................................................... n - 1 n

Renta pospagable, inmediata, temporal, variable en progresión geométrica de razón q.

Recuerda que... El valor actual o inicial se obtendrá valorando en el momento cero cada término de la renta, y por tanto: ,- C - O

+ 0 " '

+ C < r(l

+i)~2+ C q2 (\ + i)~3+ ~' +

+ r - r / " '2)-( 1 + ,)-