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Chapitre 14 – Gestion des approvisionnements et des stocks Exercices complémentaires Exercice 14.7 ** Lot économique - Budget des approvisionnements - Prix d’achat variant selon les quantités

L'article B 219 présente un stock initial de 200 unités. Sa consommation prévisionnelle pour l'année N est la suivante : Janvier 180 Mai 380 Septembre Février 300 Juin 450 Octobre Mars 350 Juillet 440 Novembre Avril 360 Août 100 Décembre Le délai de livraison de cet article est de 1,5 mois, le stock de sécurité de 10 consommation. Les commandes sont passées le let ou le 15 du mois.

490 420 360 170 à 15 jours de

Le coût unitaire de l'article B 219 est de 8 €. Le coût de passation d'une commande est de 100 €. Le taux de possession du stock est de 10 %.

Travail à faire 1.

Calculer la quantité constante à commander (lot économique).

2. Établir la fiche de stock en quantité et en déduire les budgets des commandes, des livraisons, des consommations et des stocks. 3. Le fournisseur de cet article, pour inciter ses clients à augmenter l'importance de leurs commandes, propose les conditions suivantes : - quantités commandées inférieures à 2 000 unités : prix unitaire 8 €; - quantités commandées comprises entre 2 000 et 3 500 unités : remise de 2 %; - quantités commandées supérieures à 3 500 unités : remise de 3 %. Quelle solution l'entreprise doit-elle adopter?

Corrigé de l’exercice 14.7

1. Lot économique Q = 4 000 / 12 = 333,33 ; q* =

cl = 100 ;

cs = 8 × 10 % / 12 = 0,067

2 × 333,33 × 100 = 1 000 unités. 0,067

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2. Fiche de stock et budgets Sorties

Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juillet Août Septembre Octobre Novembre Décembre

Commandes Livraisons Consommations Stocks

Stock final

180 300 350 360 380 450 440 100 490 420 360 170

Janvier

Février

Mars 1 000

1 000 180 1 020

300 720

350 370

Avril 1 000 360 1 010

Entrées

20 720 370 10 630 180 740 640 150 730 370 200 Mai 1 000 380 630

Juin

1000

1000 1000

1000

Juillet

1 000 450 1 180

440 740

Stock final rectifié 200 1020 720 370 1010 630 1180 740 640 1150 730 370 200

Août Septembre Octobre Novembre Décembre 1 000 1 000 1 000 100 490 420 360 170 640 1 150 730 370 200

3. Propositions du fournisseur Q < 2 000 Î Q = 1 000

Prix d’achat : 8 × 4 000 = Coût de possession : 0,80 × 1 000 / 2 = Coût de lancement : 100 × 4 000 / 1 000 = Total

32 000 400 400 32 800

2 000 < Q < 3 500 Î Q = 2 000

Prix d’achat : 8 × 4 000 × 98 % = Coût de possession : 0,80 × 2 000 / 2 = Coût de lancement : 100 × 4 000 / 2 000 = Total

31 360 800 200 32 360

Q > 3 500 Î Q = 3 500

Prix d’achat : 8 × 4 000 × 97 % = Coût de possession : 0,80 × 3 500 / 2 = Coût de lancement : 100 × 4 000 / 3 500 = Total La 2e solution est la moins coûteuse.

31 040 1 400 114 32 554

Exercice 14.8 ** Sensibilité au coût de pénurie

Une usine de peinture produit divers coloris en utilisant le même équipement. La mise en état de cet équipement pour la fabrication d'un coloris donné coûte 5 000 €. Le coût variable de production est de 20 € par kg. La demande de peinture verte est de 100 tonnes par an. Le coût de possession est évalué au taux de 20 % l'an.

Travail à faire Quel est l'intervalle entre deux productions et le coût de revient global, 1. si le coût de report d'une livraison à un client est de 25 € par kg et par an ?

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2. si le coût de report d'une livraison est de 5 000 € par kg et par an ?

Corrigé de l’exercice 14.8

1. Coût du report = 25 € •

Volume optimal d’une commande

q* = •

2 × 100 000 × 5 000 × 4

25 + 4 = 17 029 kg 25

Durée séparant deux réapprovisionnements

T* =

17 029 × 360 = 61 jours 100 000

1. Coût du report = 5 000 € •

Volume optimal d’une commande

q* = •

2 × 100 000 × 5 000 × 4

5 000 + 4 = 15 818 kg 5 000

Durée séparant deux réapprovisionnements

T* =

15 818 × 360 = 57 jours 100 000

Exercice 14.9 *** Transposition de la méthode à la gestion de la production

Un atelier a une capacité de fabrication de 2 000 pièces par jour. Les ventes s'élèvent à 500 pièces par jour. On est donc conduit à lancer des séries successives. Le coût de lancement de chaque série est de 750 €. Le coût du stockage du produit fini est de 0,75 € par pièce et par jour.

Travail à faire 1. Représenter graphiquement l’évolution du niveau du stock de produits finis au cours d’un cycle de quatre jours, en supposant qu’on lance la production de 500 pièces tous les quatre jours.. 2. Déterminer le volume optimal de chaque série et la période des lancements. 2.1. Exprimer le coût de la série, total et par jour, en fonction de la période t lancement de la série. 2.2. Calculer la dérivée du coût par unité de temps par rapport à t. 2.3. Annuler la dérivée pour trouver la valeur de t qui minimise le coût. 2.4. Déterminer le volume de la série optimale. NOTA : Cet exercice n'est pas la simple reproduction des modèles décrits dans le chapitre.

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Corrigé de l’exercice 14.9

1. Représentation graphique Stock 500

1

2

3

4

jours

2. Détermination de la série optimale 2.1. Expression du coût en fonction de la période

Désignons par q, le volume de la série, et par t, la période (en jours) de lancement de cette série ⇒ q = 500 t. La durée de la production de cette même série est t/4. Le coût d’une série est égal à Γ = 750 + 1/2 × 500 t × 0,75 t + 1/2 × 500 t × 0,75 × t/4 = 750 + 234,375 t². Le coût par unité de temps est γ = Γ/t = 750/t + 234,375 t. 2.2. Dérivée

La dérivée de ce coût unitaire par rapport à t est dγ/dt = - 750/t² + 234,375. 2.3. Annulation de la dérivée

Cette dérivée s’annule pour t*² =

750 = 3,2 et t* = 1,79 234,375

Le coût est minimal quand la période est de 1,79 jour. 2.4. Volume optimal

Le volume optimal est q* = 500 × t* = 500 × 1,79 = 895 articles. Exercice 14.10 ** Gestion des stocks avec ou sans pénurie - Probabilité de rupture

La Société strasbourgeoise d’ameublement de bureau fabrique divers modèles de chaises de bureau à partir du même piétement mais avec des rembourrages différents. La fabrication est souvent perturbée par des ruptures d’approvisionnement des piétements. Le comptable souhaite améliorer la gestion du stock de piétements. Le programme de production de sièges de bureau est reproduit dans l'annexe 1 ; les règles de gestion du stock de piétements sont indiquées dans l'annexe 2.

Travail à faire 1. Gestion du stock sans pénurie.

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1.1. En notant par N le nombre de commandes, déterminer en fonction de cette variable : - le nombre optimal de commandes, la quantité économique de commande ; - le coût minimal de gestion du stock pour l’exercice. 1.2. Présenter un programme annuel de livraison qui minimise le coût d'approvisionnement et de stockage. 1.3. Calculer, en utilisant l’annexe 3, la probabilité pour qu’il n’y ait pas de rupture de stock, sachant que le délai de livraison est distribué selon une loi normale de probabilité, d’espérance mathématique 20 jours et d’écart type 3 jours. 1.4. Calculer le stock de sécurité qui permet de limiter à 5 % le risque de rupture de stock. 2. Gestion du stock avec pénurie. 2.1. Représenter graphiquement l’évolution du niveau des stocks, en désignant par n le stock de début de période et par Q le volume d’une commande. 2.2. Déterminer le nombre optimal de commandes et la quantité économique de commande. 2.3. Calculer la durée de la pénurie et la durée du service durant un exercice comptable ; en déduire le coût de pénurie et le coût de stockage. 2.4. Calculer le coût total de gestion du stock. 2.5. Conclure quant à la pertinence de l’étude.

Annexe 1 - Programme de production de sièges (exercice N) Janvier ...... Février ...... Mars ......... Avril .........

860 880 900 950

Mai ..................... Juin..................... Juillet.................. Août ...................

1 020 1 060 870 520

Septembre ........ Octobre............. Novembre......... Décembre .........

930 880 900 920

Annexe 2 - Règles de gestion du stock de piétements de chaises Le stock était de 40 unités au 1er janvier N et doit être porté à 600 unités au 31 décembre N. L’approvisionnement est réalisé par quantités constantes. Le coût de lancement (suivi et réception d’une commande) est de 1 000 €, montant relativement important car ce produit est importé. Le taux de possession du stock (coût financier + coût de magasinage) est estimé à 12 % de la valeur moyenne du stock. Le prix d’achat des piétements est de 120 € l’unité. Les commandes sont passées 20 jours avant que l'on atteigne un stock de sécurité représentant 1/8 de la consommation mensuelle. Le coût de pénurie dû à la modification du plan de production est estimé à 1 500 € par lot de 1 250 piétements manquants et par période de 10 jours. Tous les calculs seront menés en retenant la convention d’une année de 12 mois de 30 jours. Annexe 3 - Extrait des tables de loi normale P ( T < 1 ) = 0,8413

P ( T < 1,25 ) = 0,8944

P ( T < 1,65 ) = 0,95

P ( T < 1,96 ) = 0,975

Corrigé de l’exercice 14.10

1. Gestion du stock sans pénurie 1.1. Politique d’approvisionnement

Quantité totale à approvisionner = consommation de l’exercice + reconstitution du stock = 10 690 + (600 − 40) = 11 250 articles Coût total de stockage = f (N) = 1 000 N +

11 250 × 120 × 12 % 81 000 = 1 000 N + N 2N

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L’optimum est atteint si f ’(N) = 1 000 −

81 000 N2

=0

⇒ N* = nombre économique de commandes = 9 commandes. Q* = quantité économique de commande = 11 250 / 9 = 1 250 unités. Coût minimal de gestion du stock = ( 9 × 1 000 ) +

81 000 = 18 000 €. 9

1.2. Programme de livraisons

Le stock de sécurité représente 1/8 de la consommation mensuelle, soit 3,75 jours de consommation. La livraison est prévue 4 jours (arrondi de 3,75) avant la date théorique de rupture. Stock initial Consommation Livraison Date de rupture Date de livraison Stock final réel

Janv. Fév. Mars 40 430 800 860 880 900 1 250 1250 1250 2/01 15/02 27/03 1/01 11/02 23/03 430 800 1 150

Avr. 1 150 950

Mai Juin Juil. 200 430 620 1 020 1 060 870 1 250 1 250 1 250 6/05 12/06 21/07 2/05 8/06 17/07 200 430 620 1 000

Août 1 000 520

Sept. Oct. 480 800 930 880 1 250 1 250 15/08 27/10 11/08 23/10 4 80 800 1 170

Nov. 1 170 900

270

Déc. 270 920 1 250 9/12 5/12 600

Calcul des dates de livraison : Janvier : consommation de 28,7 unités par jour ⇒ le stock initial représente moins de 2 jours de consommation ; la livraison aurait dû intervenir en décembre N-1. Février : consommation de 28,6 unités par jour ⇒ le stock initial représente 430 / 28,6 = 15 jours de consommation ; la livraison intervient le 11 février. Remarque : le stock final de décembre est bien de 600 unités (objectif fixé).

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1.3. Probabilité d’absence de rupture de stock

Le stock de sécurité représentant 3,75 jours de consommation, aucune rupture n’intervient si le délai de livraison est inférieur à 23,75 jours. En désignant le délai par D, nous notons : D → & (20, 3) et, par conséquent : 23,75 − 20 ⎞ ⎛ P ( D < 23,75 ) = P ⎜ T < ⎟ = P (T < 1,25 ) = 0,8944 (cf. table de la loi normale) 3 ⎝ ⎠ 1.4. Stock de sécurité à constituer pour limiter à 5 % le risque de rupture de stock

Désignons par SS le stock de sécurité. SS ⎞ ⎛ P ⎜T < ⎟ = P ( T < tα ) = 0,95 ⇒ tα = 1,65 ⇒ SS = 1,65 × 3 = 4,95 jours de consomma3 ⎠ ⎝ tion, soit 1/6 de la consommation mensuelle.

2. Gestion du stock avec pénurie 2.1. Représentation d’un cycle de stockage

Stock

Q = quantité livrée n = stock en début de période

n Q

Temps

0

T = période de réapprovisionnement T1 = temps de service

T2 = temps de pénurie

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2.2. Détermination de la politique de commande

Soit cs le coût de stockage et cp le coût de pénurie. cs = 120 × 12 % = 14,40 € par an et par article, soit 0,04 € par jour et par article. 1500 = 0,12 € par jour et par article. cp = 1 250 × 10 *

*

- Quantité économique de commande = Q' = Q ×

c p + cs cp

Quantité économique sans pénurie

Q'* = 1 250 ×

0,12 + 0, 04 ≈ 1 443 0,12

- Nombre optimal de commandes = 11 250 / 1 443 ≈ 8 commandes par an. 2.3. Durées de pénurie et de service, coûts de pénurie et de stockage

⎛ cp ⎞ ⎟ × 360 = 90 jours. - Durée de pénurie = ⎜1 − ⎜ ⎟ + c c p s ⎝ ⎠ - Durée de service = 360 − 90 = 270 jours. cp 0,12 - Stock en début de cycle = n = Q × = 1 443 × = 1 082 articles. 0,12 + 0,04 c p + cs 1 082 - Coût de stockage = 0,04 × × 270 = 5 842,80 €. 2 1 443 − 1 082 × 90 = 1 948,40 €. - Coût de pénurie = 0,12 × 2 2.4. Coût total de gestion du stock

Coût total = coût de lancement des commandes + coût de stockage + coût de pénurie = (8 × 1 000) + 5 842,80 + 1 948,40 = 15 792,20 € 2.5. Pertinence de l’étude

La gestion avec pénurie permet théoriquement une économie d’environ 2 200 €. Cependant, elle désorganise la production puisque l’entreprise connaît une rupture de stock un jour sur quatre. La prise en considération des seuls coûts de production explicites occasionnés par les ruptures est insuffisante ; il faudrait intégrer les coûts « cachés », c'est-à-dire : - le mécontentement des clients servis hors des délais normaux ; - le coût de gestion des situations de pénurie (temps consacré par les managers). Exercice 14.11 * Budget des approvisionnements et des stocks

La Société montagnarde de fonderie est une PME familiale, héritière d'une longue tradition métallurgique comme on en trouvait, au début du siècle, dans maintes vallées isolées. Cependant, elle a su évoluer avec dynamisme jusqu'à devenir le leader européen de sa spécialité. Celle-ci consiste à produire des pièces aéronautiques en aluminium par le procédé dit « à la cire perdue ». La direction a dû réagir à une détérioration de la rentabilité en raison d'une baisse des prix, consécutive à l'entrée de nouveaux opérateurs sur ce marché. Elle a décidé de réduire tous les coûts qui peuvent l'être. Notamment, le service Achats a reçu la mission de réduire le coût du

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stockage des matières premières, matières consommables et produits intermédiaires. L'entreprise travaillant à la commande, les produits finis n'ont pas à être stockés. Le responsable du service Achats a entrepris une enquête préparatoire à la mise en place d'une gestion optimale des stocks, au début de l'année N. Il a d'abord dressé une liste alphabétique des articles stockés avec l'indication du coût unitaire et de la quantité annuelle consommée (cf. annexe 1). Il classe ensuite les articles en catégories en fonction de l'intensité de la surveillance qu'ils requièrent. Une fois ce travail réalisé, le responsable du service Achats établit le budget des approvisionnements du premier semestre de l'année N+1. Les annexes 2, 3 et 4 présentent, à titre d'exemple, les données relatives à l'article C.

Travail à faire 1. Classement des articles en catégories. 1.1. Classer les articles par ordre décroissant de la valeur de la consommation annuelle. 1.2. Représenter par un diagramme de Pareto les valeurs cumulées des consommations en fonction du rang de l'article dans le classement ci-dessus. 1.3. Classer les articles en : - deux catégories ; - trois catégories. 1.4. Lequel de ces deux classements vous semble le plus approprié ? 2. Étude de l'approvisionnement de l'article C. 2.1. Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre la consommation mensuelle et le rang du mois concerné. Un ajustement linéaire vous semble-t-il pertinent ? 2.2. Transformer les données mensuelles de l'année N en les corrigeant des variations saisonnières. Contrôler la validité d'un ajustement de la série ainsi désaisonnalisée. 2.3. Déterminer la tendance de la consommation en ajustant une droite à la série désaisonnalisée. 2.4. Prévoir la consommation des six premiers mois de l'année N+1 en extrapolant la tendance et en réintroduisant les variations saisonnières. 2.5. Établir le budget des approvisionnements et des stocks de l'article C pour les six premiers mois de l'année N+1, en utilisant la méthode de la livraison de lots de volume constant avec une périodicité variable. Considérer des mois de trente jours.

Annexe 1 - Consommation des articles (année N) Référence de l'article

Coût unitaire (en € )

A B C D E F G H I J

7,14 2,80 51,40 3,34 9,40 5,50 7,82 12,50 7,10 350,00

Quantité annuelle consommée (en unités) 2 800 3 600 7 200 6 000 3 200 3 600 6 400 3 200 2 800 1 200

Annexe 2 - Consommation mensuelle de l'article C pour l'année N (unités) Mois Consommation Mois Consommation

Janvier 532 Juillet 481

Février 518 Août 245

Mars 583 Septembre 796

Avril 586 Octobre 715

Mai Juin 443 660 Novembre Décembre 754 878

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Total 7 191

Annexe 3 - Coefficients saisonniers multiplicatifs Janvier 0,95 Juillet 0,85

Février 0,9 Août 0,4

Mars 1 Septembre 1,3

Avril 1 Octobre 1,15

Mai Juin 0,75 1,1 Novembre Décembre 1,2 1,4

Total 12

Annexe 4 - Autres renseignements relatifs à l'article C Coût de passation d'une commande ........ 500 € Taux de possession annuel ...................... 24 % Coût unitaire............................................ 31 € Stock de sécurité...................................... 10 jours de consommation moyenne Délai de livraison .................................... 15 jours Stock au 1.01.N+1................................... 880 unités Corrigé de l’exercice 14.11

1. Classement en catégories 1.1. Classement par ordre décroissant de la valeur des consommations annuelles Référence Coût unitaire Quantité annuelle Valeur de la Valeur cumude l'article (en € ) consommée (en consommation lée unités) (en € ) J C G H E D A I F B Total

350 51,40 7,82 12,50 9,40 3,34 7,14 7,10 5,50 2,80

1 200 7 200 6 400 3 200 3 200 6 000 2 800 2 800 3 600 3 600

420 000 370 080 50 048 40 000 30 080 20 040 19 992 19 880 19 800 10 080 1 000 000

420 000 790 080 840 128 880 128 910 208 930 248 950 240 970 120 989 920 1 000 000

Rang

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Rang en % Valeur cumulée en du nombre de % du nombre de références références 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Remarque : les quatre dernières colonnes du tableau préparent le diagramme de la question suivante.

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42% 79% 84% 88% 91% 93% 95% 97% 99% 100%

1.2. Diagramme de Pareto

Cumul des valeurs 100% 90%

G H

80%

E

D

A

I

F

B

C

70%

60% 50 % 40%

J

30% 20% 10%

0

10%

20% 30%

40% 50 % 60% 70% 80% 90% 100%

Références 1.3. Classement

• Deux catégories : méthode des 20/80

Les articles J et C représentent ensemble 20 % des références et 79 % de la valeur : ils constituent le premier groupe dont la gestion doit être suivie avec une attention particulière. Les autres articles (80 % des références et 21 % de la valeur) peuvent être gérés plus simplement. • Trois catégories : méthode ABC

Les limites habituelles entre les trois catégories sont : - catégorie A ........10 % des références et 65 % de la valeur ; - catégorie B .........25 % des références et 25 % de la valeur ; - catégorie C .........65 % des références et 10 % de la valeur. Le classement qui s'en rapproche le plus ici est : - catégorie A .........article J (10 % des références et 42 % de la valeur), suivi avec le plus grand soin ; - catégorie B .........articles C et G (20 % des références et 42 % de la valeur), gérés de façon plus souple ; - catégorie C .........les autres articles (70 % des références et 16 % de la valeur) pour lesquels la seule contrainte est d'éviter les ruptures de stock. 1.4. Pertinence du classement

Le classement en deux catégories (méthode des 20/80) paraît mieux adapté au cas proposé car on observe une nette coupure entre le groupe des articles J et C et le reste des articles. C'est très visible sur le diagramme où la pente de la courbe s'infléchit brusquement après l'article C.

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2. Étude de l'article C 2.1. Corrélation entre les données mensuelles brutes et le rang des mois

Mois

Rang du mois x

Consommation mensuelle y

x.y

x²

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 78

532 518 583 586 443 660 481 245 796 715 754 878 7 191

532 1 036 1 749 2 344 2 215 3 960 3 367 1 960 7 164 7 150 8 294 10 536 50 307

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 650

Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juillet Août Septembre Octobre Novembre Décembre Total

78 = 6,5 12 ∑ xi . y i − 12 x. y x=

r=

(∑ x

2 i

y=

)(

− 12 x 2 ∑ y i2 − 12 y 2

=

y² 283 024 268 324 339 889 343 396 196 249 435 600 231 361 60 025 633 616 511 225 568 516 770 884 4 642 109

7 191 = 599,25 12 50307 − 12 × 6,5 × 597

) (650 − 12 × 6,5 ) (4 642 109 − 12 × 599,25 ) 2

= 0,517

2

Le coefficient est largement inférieur à 1. La consommation n'est que très faiblement corrélée avec le rang du mois. Un ajustement linéaire de la série des consommations ne serait donc pas significatif. Ceci s'explique notamment par l'effet de la saisonnalité qui perturbe les données mensuelles. La croissance de la droite ajustée pourrait tout aussi bien refléter la forte consommation des derniers mois de l'année (coefficients > 1 de septembre à décembre) qu'exprimer la tendance pluriannuelle. Il est donc nécessaire de neutraliser la saisonnalité avant de procéder à l'ajustement. 2.3. Série désaisonnalisée

• Correction des variations saisonnières Données brutes Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juillet Août Septembre Octobre Novembre Décembre

c 532 518 583 586 443 660 481 245 796 715 754 878

Coefficients d 0,95 0,9 1 1 0,75 1,1 0,85 0,4 1,3 1,15 1,2 1,4

Données désaisonnalisées e = c /d 560 576 583 586 591 600 566 613 612 622 628 627

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• Coefficient de corrélation de la série désaisonnalisée Mois

Rang du Consommation mois désaisonnalisée x y

Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juillet Août Septembre Octobre Novembre Décembre Total

x= r=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 78

78 = 6,5 12

560 576 583 586 591 600 566 613 612 622 628 627 7 164

y=

x.y

x²

560 1 152 1 749 2 344 2 955 3 600 3 962 4 904 5 508 6 220 6 908 7 524 47 386

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 650

y² 313 600 331 776 339 889 343 396 349 281 360 000 320 356 375 769 374 544 386 884 394 384 393 129 4 283 008

7 164 = 597 12

47 386 − 12 × 6,5 × 597 ∑ xi . y i − 12 x. y = 0,878. = 2 2 2 (∑ x − 12 x )(∑ yi − 12 y ) (650 − 12 × 6,5 2 )(4 283 008 − 12 × 597 2 ) 2 i

Sans être très proche de 1, le coefficient de corrélation linéaire est assez élevé pour qu'un ajustement linéaire soit pertinent. 2.4. Détermination de la tendance

a=

∑ xi . yi − 12 x . y = 47 386 − 12 × 6, 5 × 597 = 5,73427 650 − 12 × 6, 52 ∑ xi2 − 12 x 2 b = y − a. x = 597 − 5,734 × 6,5 = 559,7

En désignant le rang du mois par x (x = 1 pour janvier N) et la consommation mensuelle par y, l'équation de la droite est : y = 5,734 x + 559,7. Cette droite représente la tendance de la consommation. 2.5. Prévision de la consommation des six premiers mois de N+1

Mois

Rang du mois x

Tendance y = 5,734 x + 559,7

Coefficient k

Prévision y.k

Janvier N+1 Février N+1 Mars N+1 Avril N+1 Mai N+1 Juin N+1

13 14 15 16 17 18

638 644 650 656 661 667

0,95 0,9 1 1 0,75 1,1

606 580 650 656 496 734 3 722

Total

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2.6. Budget des approvisionnements et des stocks

• Détermination du lot économique (modèle de Wilson)

Désignons par Q = 3 722, la consommation semestrielle prévue (voir tableau ci-dessus) ; cl = 500 € , le coût de passation d'une commande ; cs = 31 ×

0, 24 = 3,72 € , le coût de possession d'un article pendant un semes2

tre. 2 Q. cl 2 × 3 722 × 500 = ≅ 1 000 unités. cs 3, 72 • Détermination des dates de réapprovisionnement et de commande Le lot économique est : q* =

La consommation journalière moyenne du semestre est égale à 3 722 / 180 = 20,7 unités. Le stock de sécurité de 10 jours s'élève donc à 20,7 × 10 = 207 unités. Il faut programmer une livraison de 1 000 unités quand le stock avec rupture est inférieur à 207. Cette livraison doit être effectuée, en principe, le jour où le stock descend au niveau de 207 unités. Mois Décembre N Janvier N+1 Février N+1 Mars N+1 Avril N+1 Mai N+1 Juin N+1 Total

Consommation

606 580 650 656 496 734 3 722

Stock avec rupture (a) 880 274 −306 44 388 −108 158

Livraison

1 000 1 000 1 000 1 000 4 000

Stock rectifié (a) Date de livraison 274 694 1 044 388 892 1 158

Date de commande

3 février (b) 22 mars

18 janvier (c) 7 mars

10 mai 28 juin

25 avril 13 juin

(a) En fin de mois. 274 − 207 (b) × 30 = 3 580 (c) 15 jours avant la livraison. Exercice 14.12 *** Modèle à demande aléatoire et période économique fixée

Un commerçant a établi pendant 30 mois une statistique de ventes d'un article de consommation courante et a obtenu les résultats suivants : Volume mensuel des ventes Nombre de mois

250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 1 0 2 2 3 4 5 4 4 3 1 1

Il se réapprovisionne au début de chaque mois. L'article en question est une denrée périssable : toute unité non vendue en fin de mois est perdue pour le commerçant. Cet article comporte une faible marge bénéficiaire, que l'on considérera comme négligeable. Cependant, le commerçant tient tout de même à en poursuivre la vente pour ne pas déplaire à sa clientèle, le peu de bénéfice sur cette marchandise étant compensé par des marges plus rémunératrices sur d'autres articles, dont la vente accompagne souvent celle de l'article considéré. Par ailleurs, en cas de rupture de stock, il doit se réapprovisionner exceptionnellement, soit chez un concurrent, soit chez un fournisseur moins avantageux. Le commerçant estime alors qu'une rupture de stock entraîne un coût supplémentaire égal, en moyenne, à la moitié du coût de revient par unité pour toute unité demandée et manquant en stock.

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Travail à faire 1. On admet que cette statistique de ventes traduit convenablement la loi de probabilité de la demande mensuelle de la clientèle. 1.1. Déterminer le nombre d'articles que le commerçant doit commander à son fournisseur habituel, au début de chaque mois. 1.2. Donner alors une estimation de la probabilité de rupture de stock au cours d'un mois. 1.3. Chaque article coûte au commerçant 4 € chez le fournisseur habituel. Évaluer l’espérance mathématique du coût de revient unitaire dans le cadre de la politique d'achat déterminée en 1.1. 2. Une étude de marché a permis de conclure que la demande aléatoire mensuelle, dans le secteur d’activité du commerçant, est sensiblement distribuée selon une loi normale. 2.1. Ajuster alors une distribution normale à la distribution des ventes observée par le commerçant. 2.2. Reprendre la question 1.1. dans le cadre de cet ajustement.

Annexe - Extrait de la table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite (probabilité π(t) d’une valeur inférieure à t) 0,03 0,6293 0,6664 0,7019

t 0,3 0,4 0,5

0,04 0,6331 0,6700 0,7054

0,05 0,6368 0,6736 0,7088

Corrigé de l’exercice 14.12

1. Loi de probabilité discrète 1.1. Quantité à commander

Désignons la demande par R et la quantité à commander par q*. 1 À l'optimum, le taux de service est : Prob (R < q*) = = 10/30. 2 +1 Volume mensuel des ventes Probabilité Probabilité cumulée

250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 1/30 0 2/30 2/30 3/30 4/30 5/30 4/30 4/30 3/30 1/30 1/30 1/30 1/30 3/30 5/30 8/30 12/30 17/30 21/30 25/30 28/30 29/30 30/30

L’optimum est compris entre q = 350 et q = 375. 1.2. Probabilité de rupture de stock

La probabilité de rupture de stock est égale à Prob (R > q*) = 1 - 10/30 = 2/3. 1.3. Espérance du coût unitaire

Retenons q = 375.

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Demande R

Prob (R)

250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 Total

0,03 0,00 0,07 0,07 0,10 0,13 0,17 0,13 0,13 0,10 0,03 0,03

Coût des unités restant en fin de mois × Prob (R) (a) 16,67 0,00 20,00 13,33 10,00 0,00

60

(a) 4 € × (375 - R) × Prob (R)

Coût des unités manquant en fin de mois × Prob (R) (b)

0,00 8,33 13,33 20,00 20,00 8,33 10,00 80

(b) 2 € × (R - 375) × Prob (R)

L’espérance du coût unitaire est égale à 60 + 80 = 140 €. 2. Loi normale 1.1 Paramètres de la loi de probabilité

r 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 525 Total E(R) = Σ r. P (r) = 400 € σ(R) = 3 958 = 63

P (r) 0,03 0,00 0,07 0,07 0,10 0,13 0,17 0,13 0,13 0,10 0,03 0,03

r. P (r) 8,33 0,00 20,00 21,67 35,00 50,00 66,67 56,67 60,00 47,50 16,67 17,50 400,00

r². P (r) 2 083,33 0,00 6 000,00 7 041,67 12 250,00 18 750,00 26 666,67 24 083,33 27 000,00 22 562,50 8 333,33 9 187,50 163 958,33

V(R) = Σ r². P (r) - E²(R) = 163 958 - 400² = 3 958

La loi normale ajustée est la loi & (400 ; 63). 2.2. Quantité à commander

À l'optimum, le taux de service est : Prob (R < q*) =

1 = 0,33 2 +1

La table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite indique que π(t) = 0,67 pour t = 0,44. Par conséquent π(-0,44) = 1 - 0,67 = 0,33 et la variable centrée réduite optimale est t* = -0,44.

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t* = - 0,44 ⇒ q* = 400 - 0,44 × 63 = 372. Nous retrouvons une valeur de q* proche de celle trouvée à la question 1.1. Exercice 14.13 ** Méthode matricielle de gestion des stocks - Demande aléatoire

Une usine stocke des pièces de rechange d'un coût unitaire de 30 000 € en vue des réparations de ses machines-outils. Le réapprovisionnement a lieu tous les mois. Le coût de stockage est proportionnel à la durée du stockage. Il s'élève à 12 % de la valeur du stock par an. Faute de pièce de rechange, la machine en panne est immobilisée. Le coût de cette immobilisation est estimé à 200 € par jour. Les besoins en pièces de rechange ont été observés pendant 24 mois consécutifs. Ces observations sont résumées par la statistique suivante : Nombre de pièces consommées par mois Nombre de mois

1 1

2 1

3 2

4 4

5 5

6 3

7 4

8 2

9 1

10 1

On admet que cette statistique traduit convenablement la distribution de probabilité des besoins mensuels et que l'occurrence de ces besoins est uniformément répartie dans le mois.

Travail à faire 1. Combien de pièces de rechange l'usine doit-elle avoir en stock au début de chaque mois ? 2. Quel est alors le coût moyen mensuel de gestion du stock ?

Corrigé de l’exercice 14.13

1. Stock optimal en début de mois Les coûts de possession et de pénurie sont proportionnels au temps. Le modèle à coûts indépendants du temps (cf. le cas précédent) n'est pas applicable. À défaut, il est possible d'utiliser la méthode matricielle puisque la demande est une variable discrète. Désignons par : q................ le stock décidé en début de mois ; r ................ la demande aléatoire de pièces de rechange dans le mois ; cs............... le coût de possession mensuel d'une pièce (300 000 × 12 % × 1/12 = 300 €) ; cp .............. le coût de pénurie mensuel d'une pièce (200 × 30 = 6 000 €). Stock

Stock

r q

q

Stock = q − r/2 moyen

Stock = q/2 moyen

0

0

r Pénurie = (r − q)/2 moyenne

Mois x q/r Mois Mois

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Mois x (r − q)/r

Cas où q > r Cas où r > q Il y a des articles en stock pendant Il y a des articles en stock pendant une fracq tout le mois. du mois et il y a pénurie pendant la tion r r Le stock moyen est q − r−q 2 fraction complémentaire . r Pendant la durée du stockage, le stock moyen q est et pendant la durée de la pénurie, la pé2 r−q nurie moyenne est . 2 • Matrice des coûts de possession Demande r Stock initial q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

150 450 750 1 050 1 350 1 650 1 950 2 250 2 550 2 850

75 300 600 900 1 200 1 500 1 800 2 100 2 400 2 700

50 200 450 750 1 050 1 350 1 650 1 950 2 250 2 550

38 150 338 600 900 1 200 1 500 1 800 2 100 2 400

30 120 270 480 750 1 050 1 350 1 650 1 950 2 250

25 100 225 400 625 900 1 200 1 500 1 800 2 100

21 86 193 343 536 771 1 050 1 350 1 650 1 950

19 75 169 300 469 675 919 1 200 1 500 1 800

17 67 150 267 417 600 817 1 067 1 350 1 650

15 60 135 240 375 540 735 960 1 215 1 500

9

10

Exemples • Ligne q = 5, colonne r = 3 3⎞ r⎞ ⎛ ⎛ q > r ÎCoût de possession = ⎜ q − ⎟ × c s = ⎜ 5 − ⎟ × 300 € = 1 050 €. 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ • Ligne q = 5, colonne r = 8 q q 5 5 r > q ÎCoût de possession = × × cs = × × 300 € ≈ 469 €. 2 r 2 8 • Matrice des coûts de pénurie Demande r Stock initial q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2

3

4

1 500 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 000 1 000 0 0 0 0 0 0 0 0

6 750 3 000 750 0 0 0 0 0 0 0

5

6

7

8

9 600 12 500 15 429 18 375 21 333 5 400 8 000 10 714 13 500 16 333 2 400 4 500 6 857 9 375 12 000 600 2 000 3 857 6 000 8 333 0 500 1 714 3 375 5 333 0 0 429 1 500 3 000 0 0 0 375 1 333 0 0 0 0 333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Exemples • Ligne q = 5, colonne r = 3 q > r ÎIl n'y a pas de pénurie : coût de pénurie = 0 €.

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24 300 19 200 14 700 10 800 7 500 4 800 2 700 1 200 300 0

• Ligne q = 5, colonne r = 8

r > q ÎCoût de pénurie =

r−q r−q 8−5 8−5 × cp = × × × 6 000 € = 3 375 €. 2 r 2 8

• Somme des deux matrices : coûts de possession + coûts de pénurie Demande r Stock initial q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

150 450 750 1 050 1 350 1 650 1 950 2 250 2 550 2 850

1 575 300 600 900 1 200 1 500 1 800 2 100 2 400 2 700

4 050 1 200 450 750 1 050 1 350 1 650 1 950 2 250 2 550

6 788 3 150 1 088 600 900 1 200 1 500 1 800 2 100 2 400

5

6

7

8

9

10

9 630 12 525 15 450 18 394 21 350 5 520 8 100 10 800 13 575 16 400 2 670 4 725 7 050 9 544 12 150 1 080 2 400 4 200 6 300 8 600 750 1 125 2 250 3 844 5 750 1 050 900 1 200 2 175 3 600 1 350 1 200 1 050 1 294 2 150 1 650 1 500 1 350 1 200 1 400 1 950 1 800 1 650 1 500 1 350 2 250 2 100 1 950 1 800 1 650

24 315 19 260 14 835 11 040 7 875 5 340 3 435 2 160 1 515 1 500

• Distribution de probabilité de la demande mensuelle Nombre de pièces 1 Nombre de mois 1 Probabilité 4,17%

2 1 4,17%

3 4 5 6 7 8 2 4 5 3 4 2 8,33% 16,67% 20,83% 12,50% 16,67% 8,33%

9 1 4,17%

10 1 4,17%

Total 24 100%

• Espérances mathématiques des coûts

Le produit matriciel de la matrice des coûts par le vecteur des probabilités est égal au vecteur des espérances mathématiques de coûts. 1 2 3 4 5

150 450 750 1 050 1 350

1 575 300 600 900 1 200

4 050 1 200 450 750 1 050

6 788 3 150 1 088 600 900

9 630 12 525 5 520 8 100 2 670 4 725 1 080 2 400 750 1 125

6 Ö7 8 9 10

1 650 1 950 2 250 2 550 2 850

1 500 1 800 2 100 2 400 2 700

1 350 1 650 1 950 2 250 2 550

1 200 1 500 1 800 2 100 2 400

1 050 1 350 1 650 1 950 2 250

900 1 200 1 500 1 800 2 100

15 450 10 800 7 050 4 200 2 250

18 394 13 575 9 544 6 300 3 844

21 350 16 400 12 150 8 600 5 750

24 315 19 260 14 835 11 040 7 875

1 200 1 050 1 350 1 650 1 950

2 175 1 294 1 200 1 500 1 800

3 600 2 150 1 400 1 350 1 650

5 340 3 435 2 160 1 515 1 500

×

4,17% 4,17% 8,33% 16,67% 20,83%

11 123 7 236 4 517 2 812 1 904

=

12,50% 16,67% 8,33% 4,17% 4,17%

Ö

1 529 1 491 1 648 1 894 2 181

Exemple • Ligne q = 5 1 350 × 4,17 % + 1 200 × 4,17 % + 1 050 × 8,33 % +... + 7 875 × 4,17 % = 1 904 L'espérance mathématique du coût est 1 904 € si le stock en début de mois est q = 5 pièces. Nous observons que l'espérance mathématique est minimale (1 491 €) pour q = 7. La politique optimale est donc de stocker 7 pièces de rechange au début de chaque mois. Remarque : il existe un modèle mathématique dans le cas où les coûts de possession et de pénurie sont proportionnels au temps et où la période de réapprovisionnement est fixée. Désignons par : Pr .............. la probabilité pour que la demande soit égale à r ; F(r) ............ la fonction de répartition de la demande pendant la période de réapprovisionnement ; L(q) ........... une fonction du stock q de début de période telle que L(q) = F(r) +

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⎛ ⎜q ⎝

+

1⎞

+ ∞

⎟ ∑ 2⎠ r =q + 1

p r

r

.

On démontre que l'espérance du coût d'approvisionnement est minimale pour la valeur entière q du stock initial telle que L(q - 1) <

Ici,

cp

cp c p + cs

< L(q).

6 000 =

6 000 + 300 c p + cs est donc q = 7. r, q

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

= 95,2 % et L(6) < 95,2 % < L(7) (voir les calculs ci-dessous). La valeur optimale du stock initial

pr

4,17% 4,17% 8,33% 16,67% 20,83% 12,50% 16,67% 8,33% 4,17% 4,17%

F(s)

4,17% 8,33% 16,67% 33,33% 54,17% 66,67% 83,33% 91,67% 95,83% 100,00%

pr

+∞ p r

r

q +1 r

0,04167 0,02083 0,02778 0,04167 0,04167 0,02083 0,02381 0,01042 0,00463 0,00417

∑

0,1958 0,1750 0,1472 0,1055 0,0639 0,0430 0,0192 0,0088 0,0042 0,0000

q +

1 2

⎛ ⎜q ⎝

1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5

+

1 ⎞ +∞ p r

⎟∑ 2 ⎠ q +1 0,2937 0,4374 0,5152 0,4749 0,3512 0,2796 0,1441 0,0748 0,0396 0,0000

L(s)

r

33,54% 52,08% 68,18% 80,82% 89,29% 94,63% 97,74% Õ 99,14% 99,79% 100,00%

2. Coût moyen mensuel de gestion du stock Le coût moyen (ou espérance mathématique du coût) de gestion des stocks est 1 491 € comme il a été montré à la question précédente.

©Éditions Foucher – Expertise comptable – DCG 11