George Polya y Su Método Para La Solución de Problemas

Electrónica Digital 6CV6

Rodríguez Rico Miguel Angel

GEORGE POLYA Y SU MÉTODO PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS George Polya (Pólya György en húngaro) fue un matemático que nació en Budapest, Hungría, el 13 de diciembre de 1887 y murió en Palo Alto, EUA el 7 de septiembre de 1985. En un principio no se sintió especialmente atraído por las matemáticas, sino por la literatura y la filosofía. Su profesor de esta última, el Prof. Alexander, le sugirió que siguiera cursos de física y de matemáticas para mejorar su formación filosófica. Este consejo marcó para siempre su carrera. Las magníficas lecciones de Física de Loránd Eötvös, y las no menos excelentes de Matemáticas de Lipót Fejér influyeron decisivamente en la vida y obra de Polya. Entre los discípulos de Fejér estaban Marcel Riesz, Otto Szás, Mihaly Fekete, Gábor Szegö, Tibor Radó, y más tarde Paul Erdös y Paul Turán. Además de las clases "regulares", Fejér se reunía con ellos en un café de Budapest y resolvía problemas mientras les contaba historias y anécdotas sobre los matemáticos que había conocido. Trabajó en una gran variedad de temas matemáticos, incluidas Las series, la teoría de números, Geometría, Álgebra, Análisis Matemático, la combinatoria y la probabilidad. Obtuvo su doctorado en la Universidad de Budapest y en su disertación para obtener el grado abordó temas de probabilidad. Fue maestro en el Instituto Tecnológico Federalen Zurich, Suiza. En 1940, huyendo de Hitler, Polya y su esposa de nacionalidad suiza se trasladan a los Estados Unidos de América. Polya hablaba además del húngaro, alemán, francés e inglés, y podía leer y entender algunos más. Se instalaron en Palo Alto, California, y obtuvo trabajo en la Universidad de Brown pasando a la Universidad de Stanford en 1942. Las aportaciones de Polya incluyen más de 250 documentos matemáticos y tres libros que promueven un acercamiento al conocimiento y desarrollo de estrategias en la solución de problemas. Su famoso libro Cómo Plantear y Resolver Problemas que se ha traducido a 15 idiomas, introduce su método de cuatro pasos junto con la heurística y estrategias específicas útiles en la solución de problemas. Otros trabajos importantes de Polya son Descubrimiento Matemático, Volúmenes I y II, y Matemáticas y Razonamiento Plausible, Volúmenes I yII. Polya, que murió en 1985 a la edad de 97 años, enriqueció a las matemáticas con un importante legado en la enseñanza de estrategias para resolver problemas.

Método de los 4 pasos de Polya para la solución de problemas. Polya en 1945, publica un libro llamado Como plantear y resolver problemas (How to solve it) donde describe métodos para resolver problemas y para elaborar algunas demostraciones. En esta obra generalizó y planteó un método enfocado en la solución de problemas matemáticos desglosado en los 4 siguientes pasos: IIIIIIIV-

Entender el problema. Configurar un plan. Ejecutar el plan. Examinar el resultado obtenido.

Para entender mejor cada paso, se explicará de una forma resumida en que consiste cada uno de ellos.

Electrónica Digital 6CV6

Rodríguez Rico Miguel Angel

I- Entender el Problema. Resume la información dada y que deseas determinar. -¿Entiendes todo lo que dice? -¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras? -¿Distingues cuáles son los datos? -¿Sabes a qué quieres llegar? -¿Hay suficiente información? -¿Hay información extraña? -¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

II- Configurar un Plan. Expresa la relación entre los datos y la incógnita a través de una ecuación o fórmula. Busca patrones. ¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final) 1. Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura). 2. Usar una variable. 3. Buscar un Patrón 4. Hacer una lista. 5. Resolver un problema similar más simple. 6. Hacer una figura. 7. Hacer un diagrama 8. Usar razonamiento directo. 9. Usar razonamiento indirecto. 10. Usar las propiedades de los Números. 11. Resolver un problema equivalente. 12. Trabajar hacia atrás. 13. Usar casos 14. Resolver una ecuación 15. Buscar una fórmula. 16. Usar un modelo. 17. Usar análisis dimensional.

Electrónica Digital 6CV6

Rodríguez Rico Miguel Angel

18. Identificar sub-metas. 19. Usar coordenadas. 20. Usar simetría.

Otra forma de crear un plan, consiste en encontrar las conexiones entre los datos y la incógnita o lo desconocido. Puede estar obligado a considerar problemas auxiliares o resueltos con anterioridad. Considerando las siguientes preguntas: ¿Lo ha visto antes? ¿Ha visto el mismo problema bajo una forma diferente? ¿Conoce un problema relacionado? ¿Conocer un teorema o una regla que podría ser útil? Observe la pregunta, la incógnita ¿Puede pensar en un problema que le sea familiar y que tenga la misma pregunta o la misma incógnita? Si encuentra un problema similar que haya resuelto antes ¿Puede usarlo ahora? ¿Puede usar los resultados? ¿Puede usar el procedimiento? ¿Debe introducir algún elemento auxiliar para usar lo que ya conoce? ¿Puede enunciar el problema de otro modo? ¿Puede enunciarlo aún en otra forma? Regrese a las definiciones, a los conceptos que tiene que utilizar. Si no puede resolver el problema trate primero de resolver otro relacionado con él. ¿Puede imaginarse un problema parecido más accesible, más fácil? ¿Uno más general? ¿Uno más específico? ¿Uno parecido? ¿Puede resolver una parte del problema? Mantenga sólo una parte de las condiciones; abandone el resto ¿Hasta qué punto queda determinada la incógnita? ¿Cómo varía la incógnita? ¿Puede deducir algo útil de los datos? ¿Puede pensar en otros datos para determinar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita, o los datos, ambos, o de modo que la nueva incógnita y los nuevos datos estén más cerca? ¿Usó todos los datos? ¿Usó todas las condiciones? ¿Ha tomado en cuenta todos los conceptos esenciales incluidos en el problema?

III- Ejecutar el Plan. Resuelve la ecuación, evalúa la fórmula, identifica el término constante del patrón, según sea el caso. Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso. Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento para despejar la mente y pensar con más claridad. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

Electrónica Digital 6CV6

Rodríguez Rico Miguel Angel

IV- Examinar la solución obtenida. Preguntar si la respuesta tiene sentido y da una solución al problema. - ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? - ¿Adviertes una solución más sencilla? - ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?

Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta.

Decálogo del profesor. El Decálogo del Profesor está incluido en una de las obras didácticas fundamentales de Polya. Este describe reglas a seguir para que la relación alumno-profesor sea óptima. I) II)

III)

IV)

Demuestre interés por su materia. Si el profesor se aburre, toda la clase se aburrirá. Domine su materia. Si un tema no le interesa personalmente, no lo enseñe, porque no será verdaderamente capaz de enseñarlo adecuadamente. El interés es una condición necesaria, pero no suficiente. Cualesquiera que sean los métodos pedagógicos utilizados, no conseguirá explicar algo claramente a sus estudiantes si antes no lo ha comprendido perfectamente. De ahí este segundo mandamiento. El interés es el primero, porque, con algunos conocimientos junto con una falta de interés, se puede uno convertir en un profesor excepcionalmente malo. Sea instruido en las vías del conocimiento. El mejor medio para aprender algo es descubrirlo por sí mismo. Se puede obtener gran provecho de la lectura de un buen libro o de la audición de una buena conferencia sobre la psicología del acto de aprender. Pero leer y escuchar no son absolutamente necesarios y en todo caso no son suficientes, hay que conocer las vías del conocimiento, estar familiarizados con el proceso que conduce de la experiencia al saber, gracias a la experiencia de vuestros propios estudios y a la observación de vuestros estudiantes. Trate de leer en el rostro de sus estudiantes, intente adivinar sus esperanzas y sus dificultades; póngase en su lugar. Aunque uno se interese por el tema, lo conozca bien, se comprendan los procesos de adquisición de los conocimientos, se puede ser un mal profesor. Es raro, pero muchos hemos conocido profesores que, siendo perfectamente competentes, no eran capaces de establecer contacto con su clase. Ya que la enseñanza del uno debe acompañarse por el aprendizaje del otro, tiene que existir un contacto entre el Profesor y el estudiante. La reacción del estudiante a su enseñanza depende de su pasado, de sus perspectivas y de sus intereses. Por lo tanto, téngase en consideración lo que saben y lo que no saben; lo que les gustaría saber y lo que no les importa; lo que deben conocer y lo que no importa que no sepan.

Electrónica Digital 6CV6 V)

VI)

VII)

VIII)

IX)

X)

Rodríguez Rico Miguel Angel

No les dé únicamente "saber", sino "saber hacer", actitudes intelectuales, el hábito de un trabajo metódico. El conocimiento consiste, parte en "información" y parte en "saber hacer". El saber hacer es el talento, es la habilidad en hacer uso de la información para un fin determinado; se puede describir como un conjunto de actitudes intelectuales; es la capacidad para trabajar metódicamente. En Matemáticas, el "saber hacer" se traduce en una aptitud para resolver problemas, construir demostraciones, examinar con espíritu crítico soluciones y pruebas. Por eso, en Matemáticas, la manera cómo se enseña es tan importante como lo que se enseña. Enseñarles a conjeturar. Primero imaginar, después probar. Así es como procede el descubrimiento, en la mayor parte de los casos. El profesor de Matemáticas tiene excelentes ocasiones para mostrar el papel de la conjetura en el campo del descubrimiento y hacer así que los estudiantes adquieran una actitud intelectual fundamental. La conjetura razonable debe estar fundada en la utilización juiciosa de la evidencia inductiva y de la analogía, y encierra todos los conocimientos plausibles que pueden intervenir en el método científico. Enseñarles a demostrar. "Las matemáticas son una buena escuela de razonamiento demostrativo". De hecho, la verdad va más allá: las matemáticas pueden extenderse al razonamiento demostrativo, que se infiltra en todas las ciencias desde que alcanzan un nivel matemático y lógico suficientemente abstracto y definido. En el problema que está tratando, distinguir lo que puede servir, más tarde, a resolver otros problemas. Intentar revelar el modelo general que subyace en el fondo de la situación concreta que afrontas. Cuando presentes la solución de un problema, subrayar sus rasgos instructivos. Una particularidad de un problema es instructiva si merece ser imitada. Un aspecto bien señalado, en un problema, y su solución puede transformarse en un modelo de resolución, en un esquema tal que, imitándole, el estudiante pueda resolver otros problemas. No revelar de pronto toda la solución; dejar que los estudiantes hagan suposiciones, dejadles descubrir por sí mismos siempre que sea posible. He aquí una pequeña astucia fácil de aprender: cuando se empieza a discutir la solución de un problema, dejar que los estudiantes adivinen su solución. Quien tiene una idea o la ha formulado, se ha comprometido: debe seguir el desarrollo de la solución para ver si lo que ha conjeturado es exacto o no, con lo que no puede despistarse. Voltaire decía: "El secreto para ser aburrido es decirlo todo". No inculcar por la fuerza, sugerir. Se trata de dejar a los estudiantes tanta libertad e iniciativa como sea posible, teniendo en cuenta las condiciones existentes de la enseñanza. Dejar que los estudiantes hagan preguntas; o bien plantearles cuestiones que ellos mismos sean capaces de plantear. Dejar que los estudiantes den respuestas; o bien dar respuestas que ellos mismos sean capaces de dar.

Electrónica Digital 6CV6

Rodríguez Rico Miguel Angel

Recomendaciones de estudiantes exitosos en la solución de problemas. 1. Acepta el reto de resolver el problema. 2. Rescribe el problema en tus propias palabras. 3. Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar. 4. Habla contigo mismo. Hazte cuantas preguntas creas necesarias. 5. Si es apropiado, trata el problema con números simples. 6. Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en tomarte un descanso -el subconsciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo. 7. Analiza el problema desde varios ángulos. 8. Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar 9. Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito. 10. No tengas miedo de hacer cambios en las estrategias. 11. La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaja con montones de ellos, tú confianza crecerá. 12. Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución. 13. Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso clave en tu solución. 14. Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 años después. 15. Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas. 16. ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.

Electrónica Digital 6CV6 Bibliografía. http://www.ecured.cu/index.php/George_Polya http://fractus.uson.mx/Papers/Polya/Polya.pdf http://euclides.us.es/da/apuntes/met/Polya.pdf http://www.oei.es/oim/revistaoim/divertimentos10.htm

Rodríguez Rico Miguel Angel