[GéométriX] Exercices de Brevet

GéométriX

Exercices de démonstrations Extraits de l’examen du Brevet des Collèges

Adaptation des exercices au format GéométriX : Régis Deleuze

Irem de Reims

Adresse Web : http ://reims.univ-irem.fr/docgeometrix/index.htm

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À propos

GéométriX est un logiciel gratuitement téléchargeable 1 à l’adresse :

http ://geometrix.free.fr/site/logiciels.php

GéométriX est actuellement le seul logiciel capable d’accompagner un élève dans la résolution complète

d’un exercice de géométrie, de la construction de la figure à la rédaction de la démonstration. À chaque étape de la construction ou de la mise en place des différents pas de raisonnement, le logiciel se montre capable d’intercepter les erreurs des élèves et de proposer, le cas échéant, une aide appropriée. Différents usages de ce formidable outil peuvent s’envisager : travail en autonomie à la maison ou au sein de l’établissement scolaire, travail en salle informatique sous la direction de l’enseignant, travail en classe en vidéoprojection pour conjecturer ou illustrer des propriétés de cours ou encore pour corriger une démonstration préparée à l’avance. Les fichiers proposés dans le cadre de ce document ont pour vocation première d’être utilisés en autonomie par les élèves. Ces fichiers ont été conçus dans l’optique de permettre aux élèves de pratiquer, à l’aide du logiciel, les quelques propriétés géométriques les plus souvent mises en œuvre lors de l’examen final du Diplôme National de Brevet. C’est pourquoi, parfois, les consignes des exercices ont été légèrement modifiées de telle sorte que l’élève n’ait pas à construire la figure avec le logiciel (ce sont les pas de raisonnement qui nous intéressent ici). Cette approche présente également l’avantage d’autoriser l’enseignant à proposer ces exercices à des élèves n’ayant jamais utilisé un logiciel de construction géométrique. En effet, seule la prise en main du module de démonstration se révèle nécessaire. L’expérience prouve que les élèves s’approprient en général très rapidement l’interface de ce module, à condition de consacrer quelques minutes, en préalable à toute activité, pour en expliquer le fonctionnement. L’animation 2 de la page suivante présente les principales fonctionnalités du module de démonstration. Chaque exercice est fourni avec sa correction brute au format GéométriX. L’enseignant peut ainsi visualiser rapidement le nombre d’étapes nécessaires à la résolution du problème et jauger la difficulté de l’exercice avant de choisir de le proposer à ses élèves. Cette correction peut ensuite être imprimée afin de garder une trace de l’activité effectuée sur le logiciel. On peut également envisager un travail de réécriture de la démonstration afin d’aboutir à une forme plus usuelle de la rédaction. La correction fournie, permet également à un élève travaillant en autonomie sur les exercices de ce document, de ne pas rester bloqué sur une démonstration ; il faut bien évidemment faire preuve d’honnêteté et ne pas se précipiter sur la correction avant même d’avoir passé du temps à réfléchir au problème posé ! Même si GéométriX dispose d’un module permettant d’automatiser la génération d’exercices de démons1. GéométriX étant un logiciel en constante évolution, il est vivement recommandé de le mettre régulièrement à jour sur votre système. 2. Cette animation est également disponible en ligne : http ://geometrix.free.fr/gmx_videos/exo_dem_eleve_01.htm

Cliquez dans ce cadre pour lancer l’animation. Vous devez disposer d’un lecteur P DF récent pour bénéficier du contenu multimédia inséré ici : Adobe Reader 9 Foxit Reader 3

Si toutefois vous n’avez pas la possibilité d’installer un tel lecteur, vous pouvez cliquer sur l’image ci-dessous qui lancera l’animation dans votre navigateur Internet :

Animation n° 1 : prise en main du module de démonstration

tration, le concepteur n’en reste pas moins libre dans la personnalisation de l’exercice. Les exercices proposés à travers ce document obéissent à certains choix pédagogiques (critiquables !), en particulier :

• Lorsque plusieurs cheminements sont possibles, seul le chemin le plus direct (et souvent le plus évident) a été conservé. À de rares exceptions cependant, les élèves ont la possibilité d’utiliser la méthode de leur choix (par exemple, choix de la formule trigonométrique à employer pour déterminer la mesure d’un angle, lorsque les longueurs des trois côtés du triangle rectangle sont connues). • Les différentes transformations algébriques à appliquer à une expression dans le but d’aboutir à un résultat numérique doivent être explicitées par l’élève (par exemple, à partir de l’expression AB = AM + M B l’élève devra mener un pas de raisonnement pour déduire AM = AB − M B ). • Il n’est pas nécessaire de préciser les droites concourantes prises en compte lors de l’utilisation du théorème de T HALÈS ou de sa réciproque. • Les réciproques des théorèmes de T HALÈS et P YTHAGORE nécessitent quatre pas de raisonnement : calcul de la première expression, calcul de la seconde expression, identification des expressions égales et enfin application de la propriété. • La commande Expliquer du module élève est désactivée dans tous les exercices (cette commande permet normalement à l’élève de se voir montrer par le logiciel toutes les possibilités d’utilisation, en contexte, de la règle sélectionnée).

Ce document recourt aux fonctionnalités offertes par le format P DF (Portable Document Format) afin de permettre au lecteur de retrouver rapidement un exercice et de le lancer avec GéométriX. La plupart des liens sont actifs et, si vous cliquez en particulier sur le nom d’un fichier GéométriX, celui-ci s’ouvrira automatiquement dans le logiciel 3 . Pour cela, il est cependant nécessaire d’autoriser votre lecteur P DF à accéder à des liens externes au document. En général, une fenêtre comparable à la capture d’écran ci-contre apparaît quand vous essayez d’ouvrir un lien externe. Il vous suffit alors de cocher la case « Ne plus afficher ce message » puis de cliquer sur le bouton « Ouvrir ». Pour que votre lecteur P DF trouve les fichiers liés à ce document, il est nécessaire de respecter l’arborescence des dossiers fournie dans l’archive au format zip que vous avez téléchargée. Si vous avez utilisé la commande Extraire de votre logiciel d’archivage 4 , les fichiers ont dû être correctement copiés, dans une structure semblable à celle-ci :

En particulier, les fichiers d’exercices au format GéométriX doivent être situés dans le même dossier que ce document au format P DF, et les corrections doivent appartenir à un sous-dossier intitulé « Corrections ».

Avertissement : Malgré tout le soin apporté à la conception des exercices, des erreurs peuvent subsister. Ces exercices n’ont, pour le moment, pas été testés de façon intensive, et il ne faut pas hésiter à contacter l’auteur ([email protected]) pour lui signaler toute incohérence ou dysfonctionnement ou encore lui faire part de vos remarques.

3. À condition, bien sûr, que GéométriX soit correctement installé sur votre système. 4. 7-zip est un logiciel libre et gratuit convenant parfaitement : http ://www.7-zip.org/.

Modifier un exercice Lorsqu’on désapprouve les choix pédagogiques effectués par le concepteur d’un exercice, il vaut souvent mieux repartir de zéro, et créer un nouvel exercice que l’on façonnera alors à sa manière. Toutefois, il est possible, à peu de frais, de modifier certains éléments d’un exercice déjà existant. Nous n’aborderons, ici, que quelques modifications simples et portant uniquement sur la partie démonstration. Avant toute chose, il convient de charger l’exercice en mode professeur. Il faut donc lancer GéométriX dans ce mode afin d’avoir accès aux commandes spécifiques à la création et à la modification d’un fichier d’exercice. Si l’installation du logiciel s’est correctement déroulée, une commande de lancement « GéométriX35 (professeur) » doit être présente dans le menu Tous les programmes 5 .

Une fois GéométriX lancé en mode professeur, on charge l’exercice à l’aide de la commande Fichier · Professeur · Charger un exercice (ou, touche ˆ). Puis, pour accéder au module de démonstration, on utilise la

commande Fichier · Professeur · Module de raisonnement automatique (ou, touche ). Dans le module de démonstration, on distingue quatre onglets :

• Dans l’onglet Hypothèses , il est possible, par exemple, de supprimer une hypothèse ou de la cacher ; à moins de savoir exactement ce que l’on fait, il est déconseillé de modifier quoi que ce soit ici. • L’onglet Buts affiche les différents chemins trouvés par GéométriX pour accéder aux buts démontrables. La seule modification simple permise ici, consiste à autoriser ou non le logiciel à montrer les emplois possibles des différentes règles en mode élève.

Si la case « Ne pas expliquer avant la fin de la démonstration » est cochée, l’élève ne pourra utiliser la commande Expliquer lorsqu’il sélectionne une règle. 5. On peut créer un raccourci en ajoutant le paramètre prof au chemin menant vers l’exécutable. La cible du raccourci aura ainsi la forme : "C:\Program Files\Geometrix35\geometrix.exe" prof

Résolution Géométrix que réside le « cœur » de la démonstration et c’est dans cette • C’est dans l’onglet partie qu’il est possible de modifier a posteriori de nombreux éléments 6 . On y découvre l’ensemble des règles utilisées par GéométriX dans la résolution du problème, chaque règle étant instanciée.

Chacune des règles se présente sous la forme : ( # Numéro [ Nom de la règle ] Énoncé de la règle . ) SI hypothèse n° 1 ET hypothèse n° 2 ALORS but !

Le numéro de la règle instanciée doit être unique. Il est normalement généré automatiquement par GéométriX, mais si on ajoute manuellement une règle, il faut prendre garde à utiliser un numéro qui n’a pas encore servi. Le nom et l’énoncé de la règle sont librement modifiables ; mais, si l’on modifie l’un de ces éléments, il est alors nécessaire de modifier toutes les règles utilisant le même nom et le même énoncé, sans quoi le logiciel considérera qu’il a à faire à des règles différentes. Il est impératif que la partie précédemment décrite soit encadrée par « ( # » et « . ) ». Derrière les mots-clés SI et ET doivent figurer des hypothèses, tandis que le but à démontrer se situe entre les mots-clés ALORS et !. • L’onglet Base de théorèmes liste toutes les règles utilisables par GéométriX. Un clic-droit sur un théorème permet de le copier dans le presse-papier afin de le coller simplement dans une règle de l’onglet précédent.

Les modifications qui suivent sont à effectuer dans l’onglet

Résolution Géométrix

.

. Modifier la syntaxe d’un théorème : on a déjà vu qu’il est simple de modifier l’énoncé d’un théorème : la syntaxe est libre, il est seulement nécessaire de modifier toutes les occurrences du théorème de la même façon (en utilisant la technique du copier-coller on modifie rapidement toutes les occurrences ; le bouton aussi de remplacer du texte). ƒ Pour noter un angle, on utilise : ^ AMB qui produit AM B. On utilise le caractère « tilde » ~ pour noter une puissance : AB~2 produit AB 2 .

permet

. Ajouter une règle inerte : il arrive parfois que l’on désire ajouter des règles inutiles à la résolution du problème afin de compliquer la tâche de l’élève. On utilise pour cela le bouton

qui déclenche l’apparition d’une

fenêtre dans laquelle il reste à choisir la règle supplémentaire. On peut également utiliser le bouton rédiger soi-même l’énoncé de la règle : ( # 1000 tapez ici la règle ou le théorème

et

. )

SI ALORS INERTE !

On remplacera tapez ici la règle ou le théorème par quelque chose de la forme [ Nom de la règle ] Énoncé de la règle.

. Déclencher automatiquement une règle : on peut éviter à l’élève de devoir démontrer certaines « évidences ». Par exemple, lorsque le but « (RS) est perpendiculaire à (RT ) » est démontré, il peut paraître inutile d’avoir à mener un pas de raisonnement supplémentaire pour justifier que « RST est un triangle rectangle en R ». Pour cela, on cherchera donc la règle : 6. Il est potentiellement possible de réécrire entièrement la démonstration dans cette partie. Le contenu des onglets Buts

n’est pas nécessairement actualisé suite aux modifications effectuées ici.

Hypothèses

et

( # 1000 [ triangle rectangle ] Si les droites ( AB ) et ( AC ) sont perpendiculaires , alors le triangle ABC est rectangle en A. ) SI (RS) est perpendiculaire à (RT) ALORS RST est un triangle rectangle en R !

Et on ajoutera simplement le mot-clé CACHE juste après le mot-clé ALORS. La règle devient : ( # 1000 [ triangle rectangle ] Si les droites ( AB ) et ( AC ) sont perpendiculaires , alors le triangle ABC est rectangle en A. ) SI (RS) est perpendiculaire à (RT) ALORS CACHE RST est un triangle rectangle en R !

De cette façon, lorsque l’élève aura démontré que les droites (RS) et (RT ) sont perpendiculaires, le but « RST est un triangle rectangle en R » viendra automatiquement s’ajouter à la liste des hypothèses.

. Modifier l’affichage d’une proposition : pour une raison ou pour une autre, on peut vouloir modifier la façon dont une proposition est affichée. Bien sûr, il est possible d’utiliser le bouton pour remplacer du texte dans l’onglet Résolution Géométrix , mais cela n’affectera pas la rédaction des hypothèses. Il vaut mieux alors profiter du bouton

qui permet d’agir de façon globale.

Son utilisation déclenche l’ouverture d’une boîte de dialogue qui permet de sélectionner la proposition dont on souhaite modifier l’écriture. On modifie directement la syntaxe à partir de la proposition rédigée, puis on clique sur le bouton pour que les changements soient pris en compte. La nouvelle forme de la proposition apparaît alors dans la liste, précédée d’une flèche. Cette fonctionnalité se révèle utile lorsque, par exemple, on a construit une figure en utilisant le centimètre pour unité, alors que l’énoncé de l’exercice spécifie des longueurs en mètres. On peut également vouloir modifier la RA AR façon dont les quotients sont affichés par GéométriX ( au lieu de dans le cadre du théorème de T HALÈS), RB BR etc.

. Ajouter une hypothèse supplémentaire : bien qu’il ne n’agisse pas d’une manipulation très courante, il est possible d’ajouter des hypothèses inutiles à la résolution d’un problème. Par défaut, GéométriX ne conserve que les hypothèses indispensables au bon fonctionnement de l’exercice. Si on désire ajouter, par exemple, l’hypothèse « ABC D est un trapèze », on rédigera une règle inerte de la forme 7 : SI ABCD est un trapèze ALORS INERTE !

Avec le curseur, on sélectionnera ensuite le texte ABCD est un trapèze et à l’aide du bouton droit de la souris, on fera apparaître le menu contextuel. Dans ce menu, le choix de la commande Désigner comme hypothèse ajoutera la proposition sélectionnée à la liste des hypothèses. 7. Notez l’absence du nom et de l’énoncé de la règle. C’est normal, on ne veut pas ajouter ici une règle, mais seulement une hypothèse.

. Ajouter un but à démontrer : il peut arriver que le concepteur d’un exercice oublie un but dans la liste des buts à démontrer. Rien de grave, cela empêche simplement l’élève d’obtenir la correction pour ce but particulier, mais, cela ne l’empêche pas, en fin d’exercice, d’obtenir la rédaction complète de la démonstration. Si la proposition oubliée appartient à la liste des buts démontrables dans l’onglet Buts , il suffit de cocher cette proposition, puis, avec le clic-droit de sélectionner la commande À démontrer dans le menu contextuel.

En revanche, si le but à démontrer ne figure pas dans le contenu de l’onglet Buts (ce qui arrive parfois si le concepteur a manuellement ajouté ou modifié des pas des raisonnement), il faut retourner dans l’onglet Résolution Géométrix , trouver une règle contenant ce but (on pourra utiliser le bouton pour rechercher du texte), sélectionner uniquement l’énoncé du but dans la règle et choisir la commande Désigner comme but dans le menu contextuel (clic-droit avec la souris).

. Ajouter des pas de raisonnement : imaginons un exercice, déjà au format GéométriX, dont l’énoncé serait le suivant : B

ABC est un triangle rectangle en A tel que AC = 4 cm et AB = 3 cm. M

1) Calculer la longueur BC . 2) On appelle M et N les milieux respectifs de [BC ] et de [AC ]. Démontrer que la droite (M N ) est parallèle à la droite (AB ). A

N

C

Si l’envie nous prend d’ajouter une troisième question à cet exercice, de la forme « En déduire que les droites (M N ) et (AC ) sont perpendiculaires », il serait bien évidemment possible de repartir de la figure déjà construite et de concevoir un nouvel exercice dans GéométriX (ce qui ne serait ni très difficile, ni très long dans l’exemple choisi). Mais ici, il serait certainement plus rapide d’ajouter manuellement les pas de raisonnement manquants.

Dans cet exemple, l’onglet

Résolution Géométrix

contient les trois règles suivantes :

( # 500 [ Calcul de a ] a ~ 2 = b ~ 2 + c ~ 2 ( avec b et c connus ) . ) SI BC~2 = ET AB = 3 ET AC = 4 ALORS BC

AB~2+AC~2 cm cm = 5 cm !

( # 438 [ Parallèle ] Si une droite passe par les milieux de deux côtés d’un triangle alors elle est parallèle au troisième côté . ) SI ABC est un triangle ET N est le milieu du segment [AC] ET M est le milieu du segment [BC] ALORS (AB) est parallèle à (MN) ! ( # 441 [ Propriété de Pythagore ] Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit . ) SI ABC est un triangle rectangle en A ALORS BC~2 = AB~2+AC~2 !

Cliquons sur le bouton % ----------

qui permet d’insérer le corps d’une règle. On voit alors apparaître :

REGLES SUPPLEMENTAIRES

----------%

( # 1000 tapez ici la règle ou le théorème . ) SI "tapez ici une proposition" ET "tapez éventuellement ici une deuxième proposition etc..." ALORS "tapez ici une conclusion" ! % ---------- FIN REGLES SUPPLEMENTAIRES ----------%

Nous n’avons alors plus qu’à éditer la règle et à remplacer le texte par défaut 8 : ( # 1000 [ Perpendiculaire ] Si deux droites sont parallèles et une troisième droite est perpendiculaire à l’une alors elle est aussi perpendiculaire à l’autre . ) SI (AB) est parallèle à (MN) ET (AB) est perpendiculaire à (AC) ALORS (AC) est perpendiculaire à (MN) !

Mais, en l’état, l’exercice ne peut être compilé. En effet, la proposition « (AB ) est perpendiculaire à (AC ) » est inconnue de GéométriX. On peut alors décider d’ajouter cette proposition à la liste des hypothèses en la sélectionnant et en choisissant la commande Désigner comme hypothèse dans le menu contextuel. Ou bien, au contraire, on peut vouloir des élèves la démonstration de ce pas de raisonnement. Dans ce cas, on ajoutera une nouvelle règle en suivant la méthode précédemment décrite : ( # 1001 [ Perpendiculaire ] Si ABC est un triangle rectangle en A, alors les droites (AB) et (AC ) sont perpendiculaires . ) SI ABC est un triangle rectangle en A ALORS (AB) est perpendiculaire à (AC) !

Il ne faut pas oublier de désigner la proposition « (AC ) est perpendiculaire à (M N ) » comme but à démontrer. Il ne faudra pas non plus oublier de modifier l’énoncé de l’exercice au moment de la compilation. 8. Comme il a été vu précédemment, il est possible de copier-coller le nom et l’énoncé de la règle à partir de l’onglet

Base de théorèmes

.

Une fois les modifications sur un exercice effectuées, il ne reste qu’à compiler l’exercice. On utilise pour cela le menu Moteur d’inférences · Créer et sauvegarder un exercice (ou, touche „). Dans la fenêtre de sauvegarde de l’exercice, on peut modifier l’énoncé de l’exercice ainsi que le nom du fichier 9 .

9. Attention : si, à partir de l’Explorateur Windows, vous tentez de renommer un exercice, celui-ci ne sera plus fonctionnel. GéométriX utilise un format très particulier pour ses fichiers. Le seul moyen de renommer un exercice est de le charger en mode professeur et de le compiler pour accéder à la boîte de dialogue présentée ici.

Liste des exercices

2002 Afrique . . . . . . . . Afrique . . . . . . . . Aix Marseille . . . . Antilles-Guyanes . Asie . . . . . . . . . Asie . . . . . . . . . Centres étrangers . Groupe Nord . . . . Groupe Nord . . . . Groupe Sud Ouest . Groupe Sud Ouest . Polynésie française Polynésie française Pondichéry . . . . .

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1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5

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Antilles-Guyane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Groupe Est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 9

2003 Afrique . . . . . . . . Amérique du Nord . Amérique du Nord . Antilles-Guyane . . Asie . . . . . . . . . Groupe Est . . . . . Groupe Sud . . . . . La Réunion . . . . . Polynésie française

2004

Groupe Nord . . . . Groupe Ouest . . . Groupe Sud . . . . . Polynésie française Polynésie française Pondichéry . . . . .

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9 10 10 10 11 11

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17 18 18 19 19 19 20 20 20 21 21 21 22 22

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22 23 23 23 24 24 24

2005 Amérique du Sud . Antilles-Guyane . . Centres étrangers . Groupe Est . . . . . Groupe Est . . . . . Groupe Nord . . . . Groupe Ouest . . . Groupe Sud . . . . . Groupe Sud . . . . . Moyen Orient . . . . Moyen Orient . . . . Polynésie française Pondichéry . . . . . Pondichéry . . . . .

2006 Afrique . . . . . . . . Afrique . . . . . . . . Amérique du Nord . Antilles-Guyane . . Antilles-Guyane . . Asie . . . . . . . . . Centres étrangers . Groupe Est . . . . . Groupe Nord . . . . Groupe Ouest . . . Groupe Sud . . . . . Groupe Sud . . . . . Polynésie française Pondichéry . . . . .

2007 Amérique du Nord . Amérique du Sud . Amérique du Sud . France . . . . . . . . France . . . . . . . . Polynésie française Polynésie française

Polynésie française . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Pondichéry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Pondichéry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2008 Amérique du Nord . . . . . . Amérique du Nord . . . . . . Antilles-Guyane . . . . . . . Asie . . . . . . . . . . . . . . France . . . . . . . . . . . . . Groupement Nord étranger Groupement Nord étranger Île Maurice . . . . . . . . . . Nouvelle Calédonie . . . . . Polynésie française . . . . . Polynésie française . . . . . Pondichéry . . . . . . . . . .

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26 26 27 27 27 28 28 29 29 30 30 31

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2009 Amérique du Nord . Amérique du Nord . Amérique du Sud . Amérique du Sud . Antilles-Guyane . . Antilles-Guyane . . Centres étrangers . Centres étrangers . France . . . . . . . . Île Maurice . . . . . La Réunion . . . . . Liban . . . . . . . . . Nouvelle Calédonie Nouvelle Calédonie Nouvelle Calédonie Polynésie française Polynésie française Polynésie française Pondichéry . . . . . Pondichéry . . . . . Portugal . . . . . . .

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2010 Amérique du Nord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Polynésie française . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Pondichéry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Exercice n° 1 Exercice n° 2 Exercice n° 3 Exercice n° 4 Exercice n° 5 Exercice n° 6 Exercice n° 7 Exercice n° 8 Exercice n° 9 Exercice n° 10 Exercice n° 11 Exercice n° 12 Exercice n° 13 Exercice n° 14 Exercice n° 15 Exercice n° 16 Exercice n° 17 Exercice n° 18 Exercice n° 19 Exercice n° 20 Exercice n° 21 Le tableau se poursuit page suivante

Autres propriétés

Propriétés des quadrilatères

Propriétés des triangles rectangles

Réduction - Agrandissement

Calculs d’aire

Transformations

Angles inscrits

Trigonométrie

Réciproque de Thalès

Théorème de Thalès

Réciproque de Pythagore

Théorème de Pythagore

Index Thématique

Exercice n° 23 Exercice n° 24 Exercice n° 25 Exercice n° 26 Exercice n° 27 Exercice n° 28 Exercice n° 29 Exercice n° 30 Exercice n° 31 Exercice n° 32 Exercice n° 33 Exercice n° 34 Exercice n° 35 Exercice n° 36 Exercice n° 37 Exercice n° 38 Exercice n° 39 Exercice n° 40 Exercice n° 41 Exercice n° 42 Exercice n° 43 Exercice n° 44 Exercice n° 45 Exercice n° 46 Exercice n° 47 Exercice n° 48 Exercice n° 49 Exercice n° 50 Exercice n° 51 Exercice n° 52 Le tableau se poursuit page suivante

Autres propriétés

Propriétés des quadrilatères

Propriétés des triangles rectangles

Réduction - Agrandissement

Calculs d’aire

Transformations

Angles inscrits

Trigonométrie

Réciproque de Thalès

Théorème de Thalès

Réciproque de Pythagore

Théorème de Pythagore Exercice n° 22

Exercice n° 54 Exercice n° 55 Exercice n° 56 Exercice n° 57 Exercice n° 58 Exercice n° 59 Exercice n° 60 Exercice n° 61 Exercice n° 62 Exercice n° 63 Exercice n° 64 Exercice n° 65 Exercice n° 66 Exercice n° 67 Exercice n° 68 Exercice n° 69 Exercice n° 70 Exercice n° 71 Exercice n° 72 Exercice n° 73 Exercice n° 74 Exercice n° 75 Exercice n° 76 Exercice n° 77 Exercice n° 78 Exercice n° 79 Exercice n° 80 Exercice n° 81 Exercice n° 82 Exercice n° 83 Le tableau se poursuit page suivante

Autres propriétés

Propriétés des quadrilatères

Propriétés des triangles rectangles

Réduction - Agrandissement

Calculs d’aire

Transformations

Angles inscrits

Trigonométrie

Réciproque de Thalès

Théorème de Thalès

Réciproque de Pythagore

Théorème de Pythagore Exercice n° 53

Exercice n° 85 Exercice n° 86 Exercice n° 87 Exercice n° 88 Exercice n° 89 Exercice n° 90 Exercice n° 91 Exercice n° 92 Exercice n° 93 Exercice n° 94 Exercice n° 95 Exercice n° 96 Exercice n° 97 Exercice n° 98 Exercice n° 99 Exercice n° 100 Exercice n° 101 Exercice n° 102 Exercice n° 103 Exercice n° 104 Exercice n° 105

Autres propriétés

Propriétés des quadrilatères

Propriétés des triangles rectangles

Réduction - Agrandissement

Calculs d’aire

Transformations

Angles inscrits

Trigonométrie

Réciproque de Thalès

Théorème de Thalès

Réciproque de Pythagore

Théorème de Pythagore Exercice n° 84

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 1

2002_Afrique_01.prwexo

2002

Afrique

On considère la figure ci-contre. I

1) Les droites (IG) et (J H ) se coupent en un point A. Le point E est sur (J H ) et le point F est sur (IG). Les droites (E F ) et (G H ) sont parallèles. On a : AE = 3 cm ; AF = 4 cm ; AH = 7 cm ; E F = 6 cm. Calculer les longueurs AG et G H en justifiant la démarche utilisée. Donner les résultats sous la forme d’un nombre entier ou d’une fraction irréductible. 2) On a : AI = 6 cm et A J = 4, 5 cm. Les droites (I J ) et (E F ) sont-elles parallèles ? Justifier la démarche utilisée.

J A E F

H

G

[Correction]

2

2002_Afrique_02.prwexo

2002

Afrique

AD = 40°. Un triangle AB D rectangle en B est tel que AB = 9 cm et B On appelle (C 1) le cercle circonscrit au triangle AB D et I son centre. La bissectrice de l’angle B AD coupe le cercle (C 1) en S.

D

(C1)

1) Calculer la longueur B D en justifiant la démarche utilisée ; on en donnera une valeur arrondie au millimètre.

I S

2) Préciser la position du centre I du cercle (C 1).

40°

I S en justifiant la 3) Déterminer la mesure exacte de l’angle Bd démarche utilisée.

B

A

[Correction]

3

2002_Aix_Marseille_01.prwexo

Aix Marseille

On considère la figure ci-contre. Cette figure n’est pas en vraie grandeur et n’est pas à reproduire. Elle est fournie pour préciser la position des points. L’unité est le centimètre. 1) Le triangle ABC est rectangle en A et AB = 5, BC = 13. Démontrer que AC = 12. 2) Les points A, C , M sont alignés. Les points B , C , N sont alignés. C M = 2, 4 et C N = 2, 6. Démontrer que les droites (AB ) et (M N ) sont parallèles. Calculer la longueur M N .

2002

M N

C B

A

3) Préciser la nature du triangle C M N ; justifier la réponse sans effectuer de calcul. [Correction]

1

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 4

2002_Antilles_Guyane_01.prwexo

Antilles-Guyanes

2002

U

Le quadrilatère EORU est un losange de centre I. L’angle I EU vaut 25° et la diagonale [E R] mesure 10 cm. 1) Prouver que le triangle E IU est rectangle en I .

I

25°

R

E

2) Calculer la valeur arrondie au centième de cm de la longueur IU . O [Correction]

5

2002_Asie_01.prwexo

Asie

2002

S

Pour consolider un bâtiment, on a construit un contrefort en bois (dessin ci-contre). On donne : B S = 6 m ; B N = 1, 8 m ; AM = 1, 95 m ; AB = 2, 5 m. 1) En considérant que le montant [B S] est perpendiculaire au sol, calculer la longueur AS.

M

N

2) Calculer les longueurs SM et SN . 3) Démontrer que la traverse [M N ] est bien parallèle au sol. A

B [Correction]

6

2002_Asie_02.prwexo

Asie

2002

On considère le cercle (C 1) de centre O. La demi-droite [AT ) est tangente à (C 1) en T .  On donne AT = 9 cm et O AT = 29°. O

1) Calculer une valeur approchée au millimètre près du rayon du cercle (C 1). 2) À quelle distance de A faut-il placer un point B sur [AT ] pour  mesure 30° (donner une valeur approchée que l’angle OBT arrondie au millimètre) ?

(C1) A

29° B

T [Correction]

2

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 7

2002_Centres_étrangers_01.prwexo

2002

Centres étrangers

On considère un triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 3 cm et AC = 9 cm. I est un point du segment [AC ] tel que C I = 5 cm.

C

1) Calculer la valeur exacte de la longueur BC , puis sa valeur arrondie au millimètre près.

E

2) La droite qui passe par I et qui est parallèle à la droite (AB ) coupe la droite (BC ) en E . En précisant la méthode utilisée, calculer la valeur exacte de la longueur E I .

B I

A

 B , puis 3) Calculer la valeur exacte de la tangente de l’angle AC en déduire la valeur arrondie au degré près de la mesure de  l’angle AC B. [Correction]

8

2002_Groupe_Nord_01.prwexo

2002

Groupe Nord

On donne : C E = 5 cm, C D = 12 cm, AC = 18 cm, BC = 7, 5 cm et AB = 19, 5 cm.

E

D

1) Montrer que les droites (E D) et (AB ) sont parallèles. C

2) Montrer que DE = 13 cm. 3) Montrer que le triangle C DE est rectangle. 4) Calculer tan C E D puis en déduire la valeur arrondie au degré près de la mesure de l’angle C E D.

A

B

[Correction]

9

2002_Groupe_Nord_02.prwexo

2002

Groupe Nord

C

(C1)

O est le centre du cercle (C 1) passant par les points A, B , C . Déterminer la mesure des angles du triangle ABC sachant que  = 50° et BOC  = 150°, en justifiant chacune de vos réponses. AOB

150° O 50°

B

A [Correction]

3

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 10

2002_Groupe_Sud_Ouest_01.prwexo

Le dessin ci-contre représente la coupe d’une maison. Le triangle AI M est isocèle de sommet principal M . La droite perpendiculaire à la droite (AI ), passant par M , coupe (AI ) en S. On sait que : M S = 2, 5 m et AI = 11 m. 1)

2002

Groupe Sud Ouest

M N

a) Calculer AS (justifier) b) Calculer la valeur arrondie à 0,1 degrés près de la me- A sure de l’angle ƒ AM S.

I O

S

2) Dans le toit, il y a une fuite en N qui fait un tache en O, sur le plafond. La droite (NO) est perpendiculaire à la droite (AI ). On donne AO = 4, 5 m et pour effectuer les calculs, on prenƒ dra : N AO = 24°. Calculer AN . On donnera la valeur arrondie à 0,1 près. [Correction]

11

2002_Groupe_Sud_Ouest_02.prwexo

2002

Groupe Sud Ouest

T

Les droites (SF ) et (T E ) sont parallèles. Les points R, S et T sont alignés dans cet ordre. Les points R, F , E et G sont alignés dans cet ordre. On a : RS = 2 cm, ST = 4 cm, RF = 1, 5 cm et EG = 9 cm.

S

1) Démontrer que E R = 4, 5 cm. 2) Les droites (E S) et (T G) sont-elles parallèles ? Justifier.

E

G

R

F

[Correction]

12

2002_Polynésie_01.prwexo

Polynésie française

2002

E

Soit un cercle (C 1) de centre O et de diamètre [AB ]. On donne AB = 5 cm. E est un point de ce cercle tel que AE = 3 cm. 1) Quelle est la nature du triangle AB E ? Justifier. 2) Calculer la longueur B E . 3)

A

B

O

a) Calculer le cosinus de l’angle B AE . b) En déduire la mesure de l’angle B AE arrondie au degré. (C1)

[Correction]

4

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 13

2002_Polynésie_02.prwexo

2002

Polynésie française

B D

Les droites (AB ) et (C D) sont parallèles. On donne : O A = 8 cm, OB = 10 cm, OC = 6, 4 cm, OE = 2 cm et OF = 2, 5 cm. 1) Calculer la longueur OD.

A

O C

E

2) Démontrer que les droites (AB ) et (E F ) sont parallèles. F

[Correction]

14

2002_Pondichéry_01.prwexo

On considère le cercle (C 1) de centre O, de diamètre [AB ] tel que AB = 6 cm. Le point M appartient à (C 1) et B M = 3, 6 cm.

M R

1) Justifier la nature du triangle AM B puis calculer AM .

K

ƒ ƒ B A puis en déduire la mesure de M B A arron2) Calculer sin M die au degré. 3) P est le point de [AB ] tel que P A = 4, 5 cm. La parallèle (M B ) passant par P coupe [AM ] en R. Calculer AR et RP .

2002

Pondichéry

B A

P

O

4) K est le point de [B M ] tel que B K = 0, 9 cm. Montrer que les droites (P K ) et (AM ) sont parallèles.

(C1) [Correction]

15

2003_Afrique_01.prwexo

On considère ABC un triangle rectangle en A tel que : AB = 6 cm et BC = 10 cm. Le point I est le milieu du segment [BC ] et (AI ) est la médiane issue de A dans le triangle ABC . Le point M est un point du segment [AI ] tel que I M = 2 cm. La parallèle à (AB ) passant par M coupe [BC ] en P . Le point N est un point du segment [C I ] tel que I N = 2 cm. 1) Calculer AC .

A

M B P

2) Montrer que I A = 5 cm.

2003

Afrique

I

N

C

3) Calculer I P . 4) Démontrer que (M N ) et (AC ) sont parallèles. [Correction]

5

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 16

2003_Amérique_du_Nord_01.prwexo

2003

Amérique du Nord

A

On considère la figure ci-contre. On donne : AI = 8 cm, BC = 12 cm,  AI B = 90° et I milieu de [BC ]. 1)

F

a) Calculer AB . b) Calculer sin  AB I .

2) O est le point de [BC ] tel que BO = 5 cm. (C 1) est le cercle de centre O passant par B . Il recoupe [BC ] en E et [AI ] en F . Quelle est la nature du triangle B E F ? Justifier.

B

O

C

E

I

(C1)

[Correction]

17

2003_Amérique_du_Nord_02.prwexo

ABC est un triangle tel que AC = 7, 5 cm, BC = 10 cm et AB = 6 cm. Le point E appartient au segment [AC ] et AE = 4, 5 cm. Le point F appartient au segment [BC ] et B F = 6 cm. 1) Les droites (AB ) et (E F ) sont-elles parallèles ? Justifier.

2003

Amérique du Nord

A L E B

2) La parallèle à (AB ) passant par C coupe (B E ) en L. Déterminer C L.

F

C [Correction]

18

2003_Antilles_Guyane_01.prwexo

2003

Antilles-Guyane

Soit un triangle ABC tel que : AB = 7, 5 cm, AC = 4, 5 cm, BC = 6 cm.

C

1) Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

F

2) E est un point du segment [AB ] tel que B E = 5 cm. Le cercle (C 1) de diamètre [B E ] coupe le côté [BC ] en F . Montrer que le triangle B F E est rectangle. 3)

b) Calculer B F et E F . 4)

B

a) Montrer que les droites (F E ) et (AC ) sont parallèles. . a) Calculer sin ABC

A

E (C1)

. b) Donner une valeur approchée au degré près de ABC [Correction]

6

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 19

2003_Asie_01.prwexo

2003

Asie

C

On considère un triangle ABC rectangle en B et tel que AB = 5 cm et B AC = 60°. La médiatrice de [AC ] coupe [AC ] en I et [BC ] en J .

I

1) Calculer AC .

J

2) Calculer l’angle Bd JI. 60° A B [Correction]

20

2003_Groupe_Est_01.prwexo

Les droites (AB ) et (C D) sont parallèles. Les droites (AD) et (BC ) se coupent en E. On donne : DE = 6 cm, AE = 10 cm, AB = 20 cm et B E = 16 cm.

2003

Groupe Est

C

D

E

1) Calculer la distance C D.

F

2) Les points F et G appartiennent respectivement aux segments [BC ] et [AB ]. Ils vérifient : B F = 12, 8 cm et BG = 16 cm. Montrer que les droites (AE ) et (FG) sont parallèles.

A

G B [Correction]

21

2003_Groupe_Sud_01.prwexo

2003

Groupe Sud

Les droites (BC ) et (M N ) sont parallèles. On donne : AB = 2, 4 cm, AC = 5, 2 cm, AN = 7, 8 cm et M N = 4, 5 cm.

P M

B

A R

1) Calculer les longueurs AM et BC . 2) Sachant que AP = 2, 6 cm et AR = 1, 2 cm, montrer que les droites (P R) et (BC ) sont parallèles.

C N [Correction]

7

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 22

2003_La_Réunion_01.prwexo

2003

La Réunion

A

On considère un triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 7, 5 cm et BC = 7 cm. On place les points E et F respectivement sur les segments [AB ] et [AC ] de telle sorte que AE = 2 cm et AF = 3 cm.

F

E

1) Démontrer que les droites (BC ) et (E F ) sont parallèles. 2) Calculer E F . C

B

[Correction]

23

2003_Polynésie_01.prwexo

2003

Polynésie française

A

ABC est un triangle tel que AB = 7, 5 cm, BC = 10 cm et AC = 12, 5 cm. 1) Montrer que le triangle ABC est rectangle. 2) M est un point du segment [BC ] tel que B M = 4 cm. La parallèle à la droite (AC ) passant par le point M coupe la droite (AB ) en N . Calculer B N et M N .

N

B

M

C

[Correction]

24

2004_Antilles_Guyane_01.prwexo

ABC est un triangle tel que AB = 12 cm, AC = 5 cm et BC = 13 cm. M est le point de [AC ] tel que AM = 3 cm et N le point de [AB ] tel que AN = 7, 2 cm.

A

1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

N

 2) Calculer la tangente de l’angle AC B et déterminer la valeur de cet angle au degré près. B

3)

a) Démontrer que les droites (M N ) et (BC ) sont parallèles.

2004

Antilles-Guyane

M

C

b) Calculer la distance M N . [Correction]

8

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 25

2004_Groupe_Est_01.prwexo

2004

Groupe Est

U O

Les segment [O A] et [IU ] se coupent en M . On a : MO = 2, 1 cm, M A = 2, 7 cm, MU = 2, 8 cm, M I = 3, 6 cm et AI = 4, 5 cm. 1) Prouver que les droites (OU ) et (AI ) sont parallèles.

M

2) Calculer la longueur OU . 3) Prouver que le triangle I AM est un triangle rectangle.  4) Déterminer, à un degré près, la mesure de l’angle AI M. ƒ ont la même mesure. 5) Montrer que les angles I AM et MOU

A

I [Correction]

26

2004_Groupe_Nord_01.prwexo

2004

Groupe Nord

E

[E F ] est un segment de longueur 7 cm et de milieu le point O. Le cercle (C 1) a pour diamètre [E F ] et G est un point de ce cercle tel que F EG = 26°.

26°

G

1) Démontrer que le triangle E FG est un triangle rectangle en G.

O

2) Calculer une valeur approchée de la longueur FG, arrondie au millimètre. 3) Déterminer la mesure de l’angle F OG (justifier la réponse). (C1)

F

[Correction]

9

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 27

2004_Groupe_Ouest_01.prwexo

2004

Groupe Ouest

E FG est un triangle tel que E F = 12 cm, EG = 5 cm et FG = 13 cm. Le point B appartient au segment [E F ] et E B = 7 cm. La parallèle au côté [F G] passant par B coupe le côté [EG] en M .

E B

1) Prouver que le triangle E FG est rectangle en E .

M

F G. Le résultat sera arrondi 2) Calculer la mesure de l’angle E au degré près.

F G

3) Calculer la valeur exacte de B M , puis en donner l’arrondi au mm près.

[Correction]

28

2004_Groupe_Sud_01.prwexo

Dans le triangle C DE :

Groupe Sud

2004

D

• A est un point du segment [C E ] ; • B est un point du segment [C D]. On a : AC = 8 cm, C E = 20 cm, BC = 6 cm, C D = 15 cm et DE = 25 cm. B

1) Montrer que les droites (AB ) et (DE ) sont parallèles. 2) Le triangle C DE est-il rectangle ? Justifier. 3) Calculer AB . 4) Calculer la valeur arrondie au degré de l’angle C DE .

C

A

E [Correction]

29

2004_Polynésie_01.prwexo

Polynésie française

2004

A

Dans le triangle ABC , [AH ] est la hauteur issue du sommet A. ƒ On a : AH = 5 cm, AB = 8 cm et C AH = 40°.

40°

ƒ 1) Calculer la mesure de l’angle B AH . On donnera une valeur arrondie au degré près. 2) Calculer la longueur C H . On donnera une valeur arrondie au millimètre. B

H

C [Correction]

10

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 30

2004_Polynésie_02.prwexo

2004

Polynésie française

B

Deux droites (P B ) et (RC ) sont sécantes en un point A. On a : AR = 6 cm, AC = 28 cm, AB = 35 cm, AP = 7, 5 cm et BC = 21 cm. 1) Démontrer que les droites (BC ) et (P R) sont parallèles.

R

A

2) Calculer la longueur RP . P C [Correction]

31

2004_Pondichéry_01.prwexo

2004

Pondichéry

B

O AB est un triangle rectangle en A. D appartient à la droite (OB ) et C appartient à la droite (O A). On donne : OC = 28 cm, C D = 21 cm, OD = 35 cm et O A = 42 cm. 1) Démontrer que le triangle OC D est rectangle en C . 2) Démontrer que les droites (C D) et (AB ) sont parallèles.

A C

O

3) Calculer les longueurs OB et AB .

D [Correction]

32

2005_Amérique_du_Sud_01.prwexo

Amérique du Sud

Sur la figure ci-contre, les segments [K L] et [J M ] se coupent au point I . On a : I K = 4 cm, J K = 2, 4 cm et LM = 4, 2 cm. Le triangle I J K est rectangle en K . Le triangle LI M est rectangle en M .

K

M I

1) Calculer la valeur exacte de la tangente de l’angle Jd IK.  2) Pourquoi les angles Jd I K et LI M sont-ils égaux ?  3) Donner l’expression de la tangente de l’angle LI M en fonction de I M .

2005

J L

4) En s’aidant des réponses aux questions précédentes, prouver que la longueur I M en centimètres est un nombre entier. 5) Déterminer l’arrondi au degré de l’angle Jd IK. [Correction]

11

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 33

2005_Antilles_Guyane_01.prwexo

2005

Antilles-Guyane

C

Le cercle (C 1) est un cercle de centre O et de diamètre AB = 11 cm. Le point C appartient au cercle (C 1) et BC = 6, 6 cm. 1) Montrer que ABC est un triangle rectangle en C .

B

A

O

2) Calculer la distance AC . AC . 3) Déterminer la mesure arrondie au degré près de l’angle B

(C1)

[Correction]

34

2005_Centres_étrangers_01.prwexo

2005

Centres étrangers

Sur la figure ci-contre : A

• (C 1) est un cercle de centre O et de diamètre B F = 40 mm. • A est un point du cercle (C 1) tel que AB = 14 mm. • La perpendiculaire à la droite (AF ) passant par O coupe le segment [AF ] en E . 1) Quelle est la nature du triangle AB F ? Justifier votre réponse.

B E O F

2) Calculer la valeur arrondie au dixième de degré près de l’angle  AF B. 3) Calculer la valeur arrondie au millimètre près de la longueur EF.

(C1)

[Correction]

12

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 35

2005_Groupe_Est_01.prwexo

2005

Groupe Est

On donne : AM = 5 cm, AB = 15 cm, AN = 4 cm, AC = 12 cm et AH = 7, 5 cm. Les droites (AH ) et (M N ) sont perpendiculaires en D. A

1) Démontrer que les droites (M N ) et (BC ) sont parallèles. M

2) Calculer AD. Justifier.

N D

 et AM ƒ N sont 3) Pourquoi peut-on dire que les angles ABC égaux ? B

C

H

4) Montrer que le triangle AB H est rectangle en H . 5) Montrer que l’aire du triangle ABC est égale à 9 fois l’aire du triangle AM N .

[Correction]

36

2005_Groupe_Est_02.prwexo

2005

Groupe Est

G

(C 1) est un cercle de diamètre [E F ] et E F = 10 cm. Le point G appartient à (C 1) et EG = 9 cm.

M

1) Démontrer que E FG est rectangle. 2) Calculer la longueur FG arrondie au mm.

E

F

P

3) Le point M appartient au segment [EG] et E M = 5, 4 cm. 4) Le point P appartient au segment [E F ] et E P = 6 cm. Démontrer que les droites (FG) et (M P ) sont parallèles. (C1)

[Correction]

37

2005_Groupe_Nord_01.prwexo

Groupe Nord

2005

A

  = 53°. ABC est un triangle tel que BC = 7 cm, AC B = 37° et ABC 1) Prouver que ce triangle est un triangle rectangle. 2) Calculer la longueur AC arrondie au mm.

53° B

37° 7 cm

C [Correction]

13

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 38

2005_Groupe_Ouest_01.prwexo

2005

Groupe Ouest

On considère la figure ci-contre. Les droites (AB ) et (C D) sont parallèles. Les points O, B et D sont alignés, ainsi que les points O, A et C . On donne : O A = 8 cm, OB = 6 cm et OC = 10 cm.

D

1) Calculer la longueur B D.

B

 est droit. 2) On suppose que l’angle ABO  ), puis en déduire une valeur approa) Calculer cos( AOB chée arrondie au degré près de la mesure de l’angle . AOB b) Justifier que le triangle C DO est rectangle.

C

A O

c) En utilisant le théorème de P YTHAGORE, donner une valeur approchée, en cm, arrondie au dixième de la longueur C D. [Correction]

39

2005_Groupe_Sud_01.prwexo

2005

Groupe Sud

Les droites (AB ) et (C D) sont parallèles. Les points A, C , O et E sont alignés ainsi que les points B , D, O et F. On a : CO = 3 cm, AO = 3, 5 cm, BO = 4, 9 cm, C D = 1, 8 cm, F O = 2, 8 cm et EO = 2 cm.

E

B D

O F A C

1) Calculer en justifiant DO et AB . 2) Prouver que les droites (AB ) et (E F ) sont parallèles.

[Correction]

40

2005_Groupe_Sud_02.prwexo

Groupe Sud

2005

B

ABC est un triangle tel que : AB = 4, 2 cm, BC = 5, 6 cm et AC = 7 cm. 1) Prouver que ABC est rectangle en B . 2) Calculer le périmètre et l’aire de ABC . A

C [Correction]

14

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 41

2005_Moyen_Orient_01.prwexo

Moyen Orient

AC H est un triangle rectangle en H . La droite passant par A et perpendiculaire à la droite (AC ) coupe la droite (HC ) en B . On sait que : AH = 4, 8 cm et HC = 6, 4 cm. 1)

2005

A

a) Justifier l’égalité : ƒ AC H = 90° − ƒ H AC . ƒ b) Justifier l’égalité : B AH = 90° − ƒ H AC .

2)

ƒ AC H et B AH ? c) Que peut-on en déduire pour les angles ƒ 3 a) Montrer que tan ƒ AC H = . 4 ƒ b) En utilisant le triangle B AH , exprimer tan B AH en fonction de B H .

B H C

3) Déduire des questions 1) et 2) que B H = 3, 6 cm. 4) Calculer la mesure en degré arrondie au degré de l’angle ƒ AC H .

[Correction]

42

2005_Moyen_Orient_02.prwexo

Moyen Orient

ABC est un triangle tel que : AB = 8 cm, AC = 6, 4 cm et BC = 4, 9 cm. Le point E appartient à la demi-droite [AB ) et AE = 12 cm. Le point F appartient à la demi-droite [AC ) et AF = 9, 6 cm. 1) Le triangle ABC est-il un triangle rectangle ? Justifier la réponse. 2) Les droites (BC ) et (E F ) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.

2005

F C

A B

E

[Correction]

15

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 43

2005_Polynésie_01.prwexo

2005

Polynésie française

J

I

Le triangle O AI est tel que O A = 5 cm, OI = 7, 5 cm et AI = 6 cm. Sur la demi-droite [O A), B est tel que OB = 7 cm. Sur la demi-droite [OI ], J est tel que O J = 10, 5 cm. 1) Montrer que les droites (AI ) et (B J ) sont parallèles. 2) Calculer la longueur B J .

B A

O

[Correction]

44

2005_Pondichéry_01.prwexo

Pondichéry

M N P est un triangle rectangle en P tel que : M P = 5 cm et M N = 7 cm.

2005

P

ƒ 1) Calculer la mesure, arrondie au degré, de l’angle M NP.

I

J

2) Calculer la valeur, arrondie au mm, de N P . 3) Soit I le point du segment [M P ] tel que P I = 2 cm. La parallèle à (M N ) passant par I coupe [P N ] en J . Calculer I J .

M N [Correction]

16

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 45

2005_Pondichéry_02.prwexo

2005

Pondichéry

L K

[E F ] est un segment qui mesure 8 cm et on appelle (C 1) le cercle de diamètre [E F ]. G est un point de ce cercle tel que EG = 6 cm. Les points K et L sont les symétriques respectifs des points E et F par rapport au point G.

G

1) Quelle est la nature du triangle E FG ? Justifier la réponse.

E

2) Quelle est la nature du quadrilatère E F K L ? Justifier la réponse.

F

(C1) [Correction]

46

2006_Afrique_01.prwexo

2006

Afrique

C

Le triangle ABC est rectangle en C et AC = 6, 3 cm et AB = 6, 5 cm. Le point D est tel que AD = 5, 6 cm et B D = 3, 3 cm. 1) Calculer BC .

B

A O

2) Démontrer que AB D est rectangle en D. 3) O est le milieu de [AB ]. Montrer que CO = DO. D [Correction]

17

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 47

2006_Afrique_02.prwexo

2006

Afrique

A' A

Les points O, A et A 0 sont alignés. Les points O, B et B 0 sont alignés. Les points O, C et C 0 sont alignés.

O B B'

Les droites (AB ) et (A 0 B 0 ) sont parallèles. Les droites (BC ) et (B 0C 0 ) sont parallèles. OB = 4 cm, OB 0 = 5 cm, O A = 3 cm, OC 0 = 6 cm. 1) Calculer OC . 2) Calculer O A 0 .

C

3) Démontrer que les droites (AC ) et (A 0C 0 ) sont parallèles. C'

[Correction]

48

2006_Amérique_du_Nord_01.prwexo

Amérique du Nord

2006

A

N

On sait que : • EO = 5 cm, OC = 3 cm et O A = 6 cm ; • Les points E , O et C sont alignés ; • Les triangles E NO et ACO sont respectivement rectangles en E et C ;

30° E O

C

• La droite (AO) coupe la droite (N E ) en S. p 1) Montrer que, en cm, la mesure de [AC ] est 3 3. 2)

a) Montrer que les droites (E S) et (AC ) sont parallèles. b) Calculer les valeurs exactes de OS et de E S.

ƒ = 30°. Arrondir au millimètre. 3) Calculer NO sachant que EON 4)

. a) Calculer l’angle AOC b) Démontrer que le triangle NOS est rectangle.

S [Correction]

18

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 49

2006_Antilles_Guyane_01.prwexo

2006

Antilles-Guyane

O

On considère la figure ci-contre où : • OM = 3, 9 cm, AM = 2, 1 cm ; • OP = 5, 2 cm, B P = 2, 8 cm et M P = 6, 5 cm. M

1) Montrer que les droites (M P ) et (AB ) sont parallèles.

P

2) Calculer la longueur AB . 3) Montrer que le triangle O AB est rectangle en O.

A

B [Correction]

50

2006_Antilles_Guyane_02.prwexo

2006

Antilles-Guyane

M

On considère un cercle (C 1) de diamètre AH = 9 cm. Soit M un point du cercle (C 1) tel que AM = 5, 3 cm et T un autre point du cercle (C 1). 1) Justifier que AH M est un triangle rectangle.

H

A

ƒ 2) Calculer la mesure de l’angle AH M arrondie à l’unité. ƒ 3) Déterminer la mesure de l’angle H T M arrondie à l’unité. (C1) T [Correction]

51

2006_Asie_01.prwexo

Asie

2006

A

Soit un triangle ADE tel que : AD = 6, 6 cm, DE = 8, 8 cm et AE = 11 cm. B est le point du segment [AD] tel que AB = 3 cm, et C est le point du segment [AE ] tel que (BC ) soit parallèle à (DE ).

B

C

1) Calculer la longueur BC . 2) Montrer que le triangle ADE est rectangle.  3) Calculer la valeur, arrondie au degré, de l’angle AE D. D

E [Correction]

19

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 52

2006_Centres_étrangers_01.prwexo

2006

Centres étrangers

Antoine et David ont tendu une corde entre deux points A et D. Charlène et Betty en ont fait de même entre les points B et C . Les deux cordes se coupent en E . On sait que : AE = 7 cm, B E = 13 cm, C E = 10 cm et DE = 9, 1 cm.

B A E C

D

Les droites (AC ) et (B D) sont-elles parallèles ? [Correction]

53

2006_Groupe_Est_01.prwexo

2006

Groupe Est

Les points S, P , E et B sont alignés, ainsi que les points N , P , C et M. Les droites (M B ) et (N S) sont parallèles. On donne : P M = 12 cm, M B = 6, 4 cm, P B = 13, 6 cm et P N = 9 cm.

B

1) Démontrer que le triangle P B M est rectangle.

E

N

P

ƒ B P arrondie au degré près. 2) En déduire la mesure de l’angle M

C

M

3) Calculer la longueur N S. 4) On considère le point E du segment [P B ] tel que PE = 3, 4 cm et le point C du segment [P M ] tel que PC = 3 cm. Les droites (C E ) et (B M ) sont-elles parallèles ?

S

[Correction]

54

2006_Groupe_Nord_01.prwexo

2006

Groupe Nord

U

Soit un cercle (C 1) de centre O et de diamètre [ST ] tel que ST = 7 cm. Soit U un point de ce cercle tel que SU = 3 cm. 1) Démontrer que ST U est un triangle rectangle en U .

S

T

O

 2) Donner la valeur arrondie au dixième de l’angle ST U. . 3) En déduire une valeur approchée au dixième de SOU (C1)

[Correction]

20

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 55

2006_Groupe_Ouest_01.prwexo

Les points A, C , et E sont alignés ainsi que les points B , C et D. Le triangle ABC est rectangle en B . On a : BC = 12 cm, C D = 9, 6 cm, DE = 4 cm et C E = 10, 4 cm.

Groupe Ouest

2006

D A

C

1) Montrer que le triangle C DE est rectangle en D.

E

2) En déduire que les droites (AB ) et (DE ) sont parallèles. B

3) Calculer la longueur AB .

[Correction]

56

2006_Groupe_Sud_01.prwexo

Groupe Sud

A

B

Les points A, C et F sont alignés ainsi que les points B , C et G. Les droites (AB ) et (FG) sont parallèles. AB = 3 cm, FC = 8, 4 cm et FG = 11, 2 cm.

C D

1) Calculer la longueur AC . 2) Soit D le point du segment [C F ] et E le point du segment [F G] tels que : DF = 6, 3 cm et E F = 8, 4 cm. Montrer que les droites (CG) et (DE ) sont parallèles.

2006

G

F E [Correction]

57

2006_Groupe_Sud_02.prwexo

Groupe Sud

2006

B

ABC est un triangle rectangle en C tel que AC = 5 cm et B AC = 40°. (C 1) est le cercle circonscrit au triangle ABC et O est le centre de (C 1).

O

1) Calculer la longueur BC (on donnera une valeur arrondie au millimètre). 2) Où se trouve le point O ? . 3) En déduire la mesure de l’angle BOC

C

A (C1)

[Correction]

21

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 58

2006_Polynésie_01.prwexo

2006

Polynésie française

B D N est un triangle tel que D N = 5 cm, B N = 12 cm et B D = 13 cm.

N

1) Démontrer que le triangle D N B est un triangle rectangle en N. 2)

ƒ a) Calculer le sinus de l’angle DB N . Arrondir le résultat au millième. ƒ N arrondie au degré b) En déduire la mesure de l’angle DB près.

B

D

[Correction]

59

2006_Pondichéry_01.prwexo

2006

Pondichéry

ABC est un triangle rectangle en A tel que : AC = 3 cm et BC = 6 cm.

B

1) Calculer la valeur exacte de AB .  B ) ; en déduire la mesure en degrés de l’angle 2) Calculer cos( AC  AC B . 3) La médiatrice du segment [BC ] coupe la droite (AC ) en E et la droite (AB ) en O.

O

a) Démontrer que le triangle B EC est isocèle, puis, qu’il est équilatéral.

E

C

b) Démontrer que la droite (AB ) est la médiatrice du segment [C E ].

A

[Correction]

60

2007_Amérique_du_Nord_01.prwexo

2007

Amérique du Nord

M

(C 1) est un cercle de centre O et de diamètre [AB ] tel que AB = 6 cm. M est un point du cercle (C 1) tel que B M = 4, 8 cm. 1) Démontrer que le triangle AB M est rectangle en M . ƒ 2) Calculer la mesure de l’angle AB M arrondie au degré.

A

B O

ƒ arrondie au degré. 3) En déduire la mesure de l’angle AOM

(C1)

[Correction]

22

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 61

2007_Amérique_du_Sud_01.prwexo

2007

Amérique du Sud

On sait que les points Y , S, B et E sont alignés dans cet ordre et que les points X , S, A et D sont alignés dans cet ordre. On sait également que :

Y

D

• (X Y ) est parallèle à (AB ) ;

A S

• S A = 3 cm, SB = 5 cm, S X = 5 cm et AB = 4 cm. 1) Calculer X Y en justifiant. Donner la valeur exacte puis l’arrondir au millimètre.

E

B X

2) On sait de plus que : SD = 4, 5 cm et SE = 7, 5 cm. Démontrer que les droites (AB ) et (DE ) sont parallèles. [Correction]

62

2007_Amérique_du_Sud_02.prwexo

2007

Amérique du Sud

S

On considère le triangle AB S tel que AB = 13 cm, AS = 5 cm et B S = 12 cm.

B

1) Démontrer que le triangle AB S est rectangle en S.  2) Déterminer la mesure de l’angle B AS (arrondie au degré).

A

3) Le point R est tel que ARB S soit un parallélogramme. Démontrer que le quadrilatère ARB S est un rectangle. R [Correction]

63

2007_France_01.prwexo

France

ABC est un triangle tel que AB = 9 cm, AC = 15 cm et BC = 12 cm.

2007

B

1) Démontrer que ABC est rectangle en B . 2) E est le point de [AB ] tel que AE = 3 cm. F est le point de [AC ] tel que AF = 5 cm. a) Démontrer que la droite (E F ) est parallèle à la droite (BC ). b) Calculer l’aire du triangle AE F .

E

A

F

C

[Correction]

23

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 64

2007_France_02.prwexo

2007

France

ABC est un triangle équilatéral. Le point O est le centre du cercle (C 1) circonscrit au triangle ABC . Le point D est le point diamétralement opposé au point B sur le cercle (C 1).

A

D

1) Quelle est la nature du triangle AB D ? Justifier.

(C1)

E

 ? Justifier. 2) Quelle est la mesure de l’angle ADB

O

3) On désigne par E le point tel que C E DO soit un parallélogramme. Démontrer que les droites (C D) et (EO) sont perpendiculaires.

C

B

[Correction]

65

2007_Polynésie_01.prwexo

2007

Polynésie française

On considère le triangle ABC tel que AB = 7, 8 cm, AC = 7, 2 cm et BC = 3 cm. 1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C . 2)

C

AC . On donnera le réa) Calculer la tangente de l’angle B sultat au millième près. b) En déduire une valeur approchée de l’angle C AB au degré près.

N M

3) On place sur le segment [BC ] un point N tel que C N = 2, 25 cm et sur le segment [AC ] un point M tel que C M = 5, 4 cm. Les droites (AB ) et (M N ) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

B A

4) Calculer M N . [Correction]

66

2007_Polynésie_02.prwexo

OBC est un triangle rectangle en O tel que OB = 3 cm et OC = 6 cm.

Polynésie française

B

1) Calculer la valeur exacte de la longueur BC . En donner la valeur arrondie au millimètre. 2) Le point D est le symétrique du point B par rapport au point O. A Le point A est tel que ABC D est un parallélogramme.

2007

C O

a) Démontrer que O est le milieu de [AC ]. b) Démontrer que ABC D est un losange.

D

[Correction]

24

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 67

2007_Polynésie_03.prwexo

2007

Polynésie française

E FG est un triangle isocèle en F tel que E F = 6 cm et E FG = 34°. Le point H est le symétrique du point G par rapport au point F . Le point K est tel que E FGK est un parallélogramme. 1) Quelle est la nature du quadrilatère E FGK ? 2) Montrer que les points E , G et H sont situés sur un même cercle de centre F .

G F K H E

3) Démontrer que le triangle EG H est rectangle en E . 4)

 est égale à 73°. a) Montrer que la mesure de l’angle EGF b) Dans le triangle rectangle EG H , calculer EG ; donner l’arrondi au dixième. [Correction]

68

2007_Pondichéry_01.prwexo

2007

Pondichéry

C

On considère un cercle (C 1) de diamètre [AB ] et C un point appartenant à ce cercle. 1) Déterminer la nature du triangle ABC . 2) On donne AC = 3, 9 cm et BC = 5, 2 cm. Montrer que AB = 6, 5 cm.

A

B

3) Le point D est tel que AD = 2, 5 cm et B D = 6 cm. Le triangle AB D est-il rectangle ? (C1) D

[Correction]

69

2007_Pondichéry_02.prwexo

2007

Pondichéry

G

AC = 3 cm, AE = 4, 5 cm, AB = 4 cm. Les droites (BC ) et (DE ) sont parallèles. 1) Calculer les longueurs AD et B D. 2) On donne : AF = 4, 05 cm et AG = 5, 4 cm. Montrer que les droites (BC ) et (FG) sont parallèles.

F

A

C

E

B D [Correction]

25

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 70

2008_Amérique_du_Nord_01.prwexo

2008

Amérique du Nord

(C1)

On considère un cercle (C 1) de centre O et de diamètre 8 cm. I et J sont deux points de (C 1) diamétralement opposés. K est un point de (C 1) tel que J K = 4 cm.

K

I

1) Préciser la nature du triangle I J K . Justifier.

O J

2) Préciser la nature du triangle O J K . Justifier. 3) On appelle R le symétrique de K par rapport à la droite (I J ). Démontrer que le quadrilatère J K OR est un losange.

R [Correction]

71

2008_Amérique_du_Nord_02.prwexo

2008

Amérique du Nord

A

B

Les droites (AM ) et (B N ) sont sécantes en O. On donne : O A = 3 cm, OB = 2, 5 cm, OM = 5, 4 cm et ON = 4, 5 cm.

O

1) Montrer que les droites (AB ) et (M N ) sont parallèles. 2) On suppose que AB = 1, 2 cm. Calculer la distance M N . Aire de M NO 3) Démontrer que = 3, 24. Aire de AOB N

M

[Correction]

26

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 72

2008_Antilles_Guyane_01.prwexo

2008

Antilles-Guyane

M

B

Les droites (BC ) et (M N ) sont parallèles. On donne : AB = 4, 5 cm, AC = 3 cm, AN = 4, 8 cm et M N = 6, 4 cm.

E

A

1) Calculer AM et BC . C

2) On sait de plus que AE = 5 cm et AF = 7, 5 cm. Montrer que les droites (E F ) et (BC ) sont parallèles.

N

F

[Correction]

73

2008_Asie_01.prwexo

Sur la figure : OD = 4 cm, OC = 5 cm, AC = 3 cm, OE = 6 cm et OF = 7, 5 cm.

2008

Asie

A C

1) Démontrer que (AB ) et (C D) sont parallèles.

E

2) Calculer BO.

O

3) Démontrer que (E F ) et (C D) sont parallèles. 4) Quelle est la nature du triangle OE F ? Justifier.

D

B

ƒ 5) Calculer au degré près la mesure de l’angle DCO.

F

6) Quelle est la mesure au degré près de l’angle E FO ? [Correction]

74

2008_France_01.prwexo

2008

France

Sur la figure : • Les points K , A, F et C sont alignés ; K

• Les points G, A, E et B sont alignés ;

G

• (E F ) et (BC ) sont parallèles ;

A

• AB = 5 cm et AC = 6.5 cm ; • AE = 3 cm et E F = 4, 8 cm ;

E

• AK = 2, 6 cm et AG = 2 cm. 1) Démontrer que BC = 8 cm. 2) Les droites (BC ) et (K G) sont-elles parallèles ? Justifier.

F B C

3) Les droites (AB ) et (AC ) sont-elles perpendiculaires ? Justifier. [Correction]

27

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 75

2008_Groupement_Nord_étranger_01.prwexo

2008

Groupement Nord étranger

E

On donne : AB = 8 cm, BC = 9 cm, AC = 6 cm et AE = 4 cm. 1) Les droites (DE ) et (BC ) sont parallèles. Calculer AD. On donnera sa valeur exacte puis sa valeur arrondie au dixième de centimètre.

D

A

2) Soit F le point tel que C , B et F sont alignés dans cet ordre, avec B F = 6 cm. Démonter que les droites (E F ) et (AB ) sont parallèles. F

C

B

[Correction]

76

2008_Groupement_Nord_étranger_02.prwexo

2008

Groupement Nord étranger

On considère un triangle SK I rectangle en S tel que SK = 9, 6 cm et K I = 10, 4 cm. 1) Calculer SI .

K S

2) Calculer la mesure de l’angle  I K S. On donnera l’arrondi au degré.

O

 3) En déduire au degré près la mesure de l’angle K I S. 4) Où se situe le centre O du cercle circonscrit au triangle SK I ?

I

5) Calculer au degré près la mesure de l’angle Id OS. (C1)

[Correction]

28

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 77

2008_Île_Maurice_01.prwexo

2008

Île Maurice

ABC est un triangle rectangle en C tel que : • Le segment [AC ] mesure 8 cm ; • Le segment [BC ] mesure 6 cm ;

B

• Le milieu du segment [AC ] est noté I . 1) Montrer que AB = 10 cm. 2) Préciser la position du point O, centre du cercle (C 1) circonscrit au triangle ABC . Justifier.

O

3) Démontrer que la droite (I O) est la médiatrice du segment [AC ]. 4) Que vaut la longueur du segment [I O] ?

A

C

I

5) Quel est l’arrondi à l’unité de la mesure de l’angle B AC ? 6) Que vaut l’aire du quadrilatère BC I O ? 7) Démontrer que le triangle BCO est isocèle en O. [Correction]

78

2008_Nouvelle_Calédonie_01.prwexo

2008

Nouvelle Calédonie

C

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 8 cm. Le point E appartient au segment [AB ] et B E = 1, 5 cm. Le point F appartient au segment [BC ] et B F = 2, 5 cm. Le point B 0 est le symétrique du point B par rapport au point A. 1) Montrer que BC = 10 cm.

F

2) Montrer que les droites (AC ) et (E F ) sont parallèles. 3) Montrer que E F = 2 cm. 4) Montrer que le triangle B B 0C est isocèle en C .

B'

A

E

B

[Correction]

29

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 79

2008_Polynésie_01.prwexo

2008

Polynésie française

E

On considère le cercle (C 1) et de diamètre [BC ] et le cercle (C 2) de diamètre [B D]. A est un point de (C 1) et la droite (AB ) coupe le cercle (C 2) au point E. On donne : AB = 4 cm, BC = 5 cm et B D = 9 cm. 1) Démontrer que les triangles ABC et B DE sont rectangles.

A

B

D

C

2) Calculer AC . 3) Montrer que les droites (AC ) et (DE ) sont parallèles.

(C1)

4) Montrer que B E = 7, 2 cm. (C2)

[Correction]

80

2008_Polynésie_02.prwexo

2008

Polynésie française

A

54°

Voici le pentagone régulier ABC DE . Le point I est le milieu de [AB ]. E O A = OB = OC = OD = OE = 5, 7 cm.  On admettra que I AO = 54° et que les points I , O et D sont alignés. 1)

I

a) Quelle est la nature du triangle AOB ?

O

B

 est de 72°. b) Montrer que la mesure de l’angle AOB 2) Quelle est l’image du triangle BCO par la symétrie axiale d’axe (D I ) ? 3) Calculer la longueur AB (arrondie au millimètre). D C [Correction]

30

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 81

2008_Pondichéry_01.prwexo

(C 1) est un cercle de diamètre [OS] tel que OS = 7 cm. R est un point du cercle tel que OR = 5, 6 cm. A est le point de la demi-droite [SO) tel que O A = 10 cm. B est le point de la demi-droite [RO) tel que OB = 8 cm.

2008

Pondichéry

R

O

A

S

1) Démontrer que les droites (AB ) et (RS) sont parallèles. 2) Déterminer la nature du triangle ORS, puis celle du triangle AOB .

(C1) B

 , arrondie au degré. 3) En déduire la mesure de l’angle AOB [Correction]

82

2009_Amérique_du_Nord_01.prwexo

2009

Amérique du Nord

C

On sait que les droites (B D) et (C E ) sont parallèles. On donne : OB = 7, 2 cm, OC = 10, 8 cm, OD = 6 cm et C E = 5, 1 cm.

B

1) Calculer EO puis B D.

F

2) On donne OG = 2, 4 cm et OF = 2 cm. Démontrer que (B D) et (FG) sont parallèles.

G

O D

E

[Correction]

83

2009_Amérique_du_Nord_02.prwexo

Amérique du Nord

2009

C

On donne : B D = 4 cm, AB = 6 cm et C B D = 60°. 1) Montrer que BC = 8 cm. 2) Calculer C D. Donner la valeur arrondie au dixième. A

3) Calculer AC . 4) Quelle est la valeur de tan B AC ?

6 cm

60°

5) En déduire la valeur arrondie au degré de B AC . D

4 cm

B [Correction]

31

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 84

2009_Amérique_du_Sud_01.prwexo

2009

Amérique du Sud

Simon joue avec son cerf-volant au bord de la plage. La ficelle est déroulée au maximum et elle est tendue. Elle mesure 50 m. (la figure ci-contre n’est pas à l’échelle)

C

1) La ficelle fait avec l’horizontale un angle C SH qui mesure 80°. Calculer la hauteur à laquelle vole le cerf-volant, c’est-à-dire C H (on donnera la réponse arrondie au mètre). 2) Lorsque la ficelle fait avec l’horizontale un angle de 40°, la distance C H est-elle la moitié de celle calculée au 1) ? Justifier la réponse.

H

S

[Correction]

85

2009_Amérique_du_Sud_02.prwexo

Les points M , O et Q sont alignés ainsi que les points N , O et P . Les segments [OM ] et [OQ] sont des diamètres des deux cercles tracés. On donne : OM = 7, 5 cm et OQ = 4, 5 cm. 1) Prouver que le triangle M NO est rectangle en N .

2009

Amérique du Sud

N

(C2)

M

On admet pour la suite que le triangle OPQ est rectangle en P.

O Q

2) Justifier que les droites (M N ) et (PQ) sont parallèles.

(C1)

P

3) Dans le cas où ON = 5 cm, calculer la distance OP . Justifier. [Correction]

86

2009_Antilles_Guyane_01.prwexo

Antilles-Guyane

2009

Soit la figure suivante où : • ABC est un triangle rectangle en B ;

A

• AC = 13 cm et BC = 12 cm. O

1) Calculer la mesure de l’angle B AO (on arrondira au degré). 2) O désigne le milieu de [AC ]. a) Déterminer la longueur OB .

B

C

A. b) Déterminer la mesure de l’angle BO [Correction]

32

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 87

2009_Antilles_Guyane_02.prwexo

2009

Antilles-Guyane

C

On donne : AI = 8 cm

I B = 10 cm

IC = 14 cm

I D = 11, 2 cm

AB = 6 cm

1) Montrer que le triangle I AB est rectangle en A.

I

A

D

2) Montrer que les droites (AB ) et (C D) sont parallèles. 3) Quelle est la nature du triangle I DC ? Justifier votre réponse.

B [Correction]

88

2009_Centres_étrangers_01.prwexo

B

13 cm

R

7,2 cm

Sur la figure, le quadrilatère B REV est un rectangle, avec B R = 13 cm et BV = 7, 2 cm. Le point T est sur le segment [EV ] tel que V T = 9, 6 cm. N est le point d’intersection des droites (BT ) et (E R).

2009

Centres étrangers

1) Démontrer que la longueur E T est égale à 3,4 cm. 2) Calculer la longueur BT .

9,6 cm

V

T

E N

3) Calculer la longueur E N .

[Correction]

89

2009_Centres_étrangers_02.prwexo

2009

Centres étrangers

D

Dans la figure ci-dessous, on a : • B appartient à [DR] ; • C appartient à [RU ] ;

E

• E R = 3 cm, E D = 1, 5 cm, C R = 2 cm et RU = 3 cm. 1) Démontrer que les droites (C E ) et (DU ) sont parallèles. 2) Calculer le rapport d’agrandissement permettant de passer du triangle C E R au triangle DRU . 3) Montrer que l’aire du triangle DRU est égale à 2,25 fois l’aire du triangle C E R. R

C

U [Correction]

33

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 90

2009_France_01.prwexo

2009

France

E

ABC est un triangle isocèle tel que AB = AC = 4 cm. E est le symétrique de B par rapport à A.  = 43°. ABC

A

1) Quelle est la nature du triangle BC E ? Justifier. 2) Prouver que l’angle E AC mesure 86°.

C

B

[Correction]

91

2009_Île_Maurice_01.prwexo

2009

Île Maurice

M

Soient un cercle (C 1) de centre O et de rayon 5 cm, [AB ] un diamètre de ce cercle et M un point de (C 1) tel que B M = 4, 2 cm. 1) Montrer que AB M est un triangle rectangle.

A O B

ƒ 2) Quelles sont les mesures, arrondies au degré, des angles AB M ƒ? et AOM

(C1)

[Correction]

34

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 92

2009_La_Réunion_01.prwexo

La Réunion

2009

• C DE est un triangle rectangle en C ; • A appartient au segment [C D], B appartient au segment [C E ] et la droite (AB ) est parallèle à la droite (DE ) ; • Le point F est le milieu du segment [AC ] et le point O est le milieu de [AB ] ;

F

C

A O

D

B

• Le point G est le symétrique de F par rapport à O.

G

• DE = 12 cm ; AB = 4, 5 cm et AC = 1, 8 cm. 1) Quelle est la nature du quadrilatère AF BG ? 2) Montrer que la droite (F O) est parallèle à la droite (C B ). 3) Calculer la longueur C D. E

4) Calculer une valeur approchée au degré près de l’angle B AC .

[Correction]

93

2009_Liban_01.prwexo

ABC D est un carré tel que : AB = 4 cm. Le point M est situé dans le carré ABC D et vérifie : AM = 2, 4 cm et D M = 3, 2 cm. La droite (AM ) coupe la demi-droite [DC ) au point I .

Liban

A

2009

B M

1) Montrer que le triangle AM D est rectangle en M . ƒ 2) Calculer au degré près la mesure de l’angle D AM .  3) Dans le triangle AD I rectangle en D, exprimer tan D AI . En déduire une valeur approchée au mm près de la longueur DI.

I D

C

[Correction]

35

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 94

2009_Nouvelle_Calédonie_01.prwexo

Nouvelle Calédonie

2009

Pour trouver la hauteur d’une éolienne, on a les renseignements suivants : • Les points O, A et C sont alignés.

Hauteur de l'éolienne

D

• Les points O, B et D sont alignés.   • Les angles O AB et AC D sont droits. B

• O A = 11 m ; AC = 594 m ; AB = 1, 5 m. La figure n’est pas tracée en vraie grandeur. Le segment [C D] représente l’éolienne.

O

A

C

1) Expliquer pourquoi les droites (AB ) et (C D) sont parallèles. 2) Calculer la hauteur C D de l’éolienne. Justifier. [Correction]

95

2009_Nouvelle_Calédonie_02.prwexo

Un parc de jeu à une forme triangulaire. Il est représenté sur la figure ci-contre où les dimensions ne sont pas respectées. Les dimensions réelles de ce terrain sont : DE = 12 m, E F = 9 m, DF = 15 m. 1 1) On veut construire ce triangle à l’échelle . 200 Par exemple, la longueur DE sur la reproduction mesurera 6 cm.

Nouvelle Calédonie

2009

E

D

Déterminer les longueurs DF et E F sur la reproduction.

F

2) Montrer que ce terrain possède un angle droit. 3) Calculer l’aire réelle de ce parc. [Correction]

96

2009_Nouvelle_Calédonie_03.prwexo

Nouvelle Calédonie

On donne : E D = 9 cm ; E B = 5, 4 cm ; EC = 12 cm ; E A = 7, 2 cm ; C D = 15 cm.

2009

E

1) Montrer que les droites (AB ) et (C D) sont parallèles. 2) Calculer la longueur du segment [AB ]. 3) Montrer que les droites (C E ) et (DE ) sont perpendiculaires. 4)

a) Calculer la valeur arrondie au degré près de l’angle  EC D.

B

D

A

C

b) En déduire, sans faire de calcul, celle de l’angle E AB . Justifier. [Correction]

36

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 97

2009_Polynésie_française_01.prwexo

2009

Polynésie française

A

B

ABC D est un trapèze rectangle, le point H appartient au segment [C D]. On donne : AB = 5 cm, AD = 4, 8 cm et BC = 6 cm. 1) Montrer que la longueur C H est égale à 3,6 cm. 2) Calculer le périmètre du trapèze ABC D. 3) Calculer l’aire du trapèze ABC D. D

C

H

[Correction]

98

2009_Polynésie_française_02.prwexo

Dans un verre à pied ayant la forme d’un cône de révolution dans sa partie supérieure, on verse du sirop de menthe dans sa partie supérieure jusqu’à la hauteur IR, puis de l’eau jusqu’à la hauteur IF. Ce verre est représenté ci-contre en coupe.

2009

Polynésie française

F Niveau de l'eau

G

R Niveau du sirop de menthe

S

• Les points I , R et F sont alignés ainsi que les points I , S et G ; • On donne : RS = 3 cm, FG = 7, 5 cm et I F = 8 cm. I

1) Démontrer que les droites (RS) et (FG) sont parallèles. 2) Calculer I R. [Correction]

99

2009_Polynésie_française_03.prwexo

Polynésie française

2009

L’unité de longueur est le centimètre. On donne : • Les points C , D et A sont alignés ;

B

• Les points B , E et A sont alignés ;

N

• (DE ) est perpendiculaire à (AD) ;

E

• AB = 6, 25 ; AC = 5 ; BC = 3, 75 ; AD = 3, 2 ; • M ∈ [AC ] et N ∈ [AB ] tels que AM = 4 et AN = 5. 1)

a) Montrer que le triangle ABC est rectangle. Vous préciserez en quel point. b) En déduire que les droites (BC ) et (DE ) sont parallèles.

C

M

D

A

2) Calculer DE . 3) Les droites (M N ) et (BC ) sont-elles parallèles ? Justifier. [Correction]

37

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 100

2009_Pondichéry_01.prwexo

2009

Pondichéry

S

S

On considère une bougie conique représentée ci-contre. Le rayon O A de sa base est 2, 5 cm. La longueur du segment [AS] est 6, 5 cm. Le triangle O AS est représenté ci-dessous en vraie grandeur. On admet qu’il est rectangle en O.

1) Montrer que la hauteur OS de la bougie est 6 cm. 2) Calculer le volume de cire nécessaire à la fabrication de cette bougie ; on donnera la valeur arrondie au dixième de cm3 .

O A

 ; on donnera la valeur arrondie au degré. 3) Calculer l’angle ASO O

A [Correction]

101

2009_Pondichéry_02.prwexo

Pondichéry

2009

G

On considère un triangle E FG tel que E F = 6 cm, FG = 7, 5 cm et GE = 4, 5 cm. 1) Montrer que le triangle E FG est rectangle et préciser en quel point.

N

2) Le point M est le milieu de [E F ] et la droite parallèle à [EG] passant par M coupe [F G] en N . Montrer que N est le milieu de [FG]. E

M

F [Correction]

38

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 102

2009_Portugal_01.prwexo

2009

Portugal

(C 1) est un cercle de centre E dont le diamètre [AD] mesure 9 cm.  B est un point du cercle (C 1) tel que AE B = 46°. 1) Montrer que le triangle AB D est rectangle.  = 23°. 2) Justifier que ADB

A

E

3) Calculer la longueur AB et préciser sa valeur arrondie au centième de cm.

D

4) On trace la droite parallèle à la droite (AB ) passant par E . Elle coupe le segment [B D] au point F . Calculer la longueur E F et préciser sa valeur arrondie au dixième de cm.

F B (C1)

[Correction]

103

2010_Amérique_du_Nord_01.prwexo

2010

Amérique du Nord

À l’intérieur d’une maison, un menuisier étudie une plaque de bois dessinée ci-contre (la figure n’est pas aux bonnes dimensions). Le menuisier a tracé la perpendiculaire à [EC ] passant par A, il a nommé D le point d’intersection de cette perpendiculaire avec [EC ]. Il a également tracé [AC ]. Il a mesuré AB = 115 cm, BC = 80 cm, DC = 100 cm, E D = 20 cm, AC = 140 cm et AF = 28 cm.

B F A

C

1) Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.  2) Déterminer la mesure de l’angle AC D.

D

E

3) Les droites (AD) et (F E ) sont-elles parallèles ? Justifier. [Correction]

104

2010_Polynésie_française_01.prwexo

Polynésie française

Dans le triangle ABC , on inscrit un rectangle E FG H où H est sur [AB ], G sur [AC ], E et F sur [BC ]. Dans le triangle ABC , L est sur [BC ] et (AL) est la hauteur issue de A. (AL) coupe [G H ] en K . On donne BC = 14 cm, AL = 6 cm, B L = 4, 8 cm et AK = 1 cm.

2010

A H

G K

1) Calculer l’aire en cm2 du triangle B L A. 2) Justifier que les droites (HG) et (BC ) sont parallèles.

B

E L

F

C

3) Calculer la longueur H K . [Correction]

39

Exercices extraits du Brevet des Collèges GéométriX 105

2010_Pondichéry_01.prwexo

Pondichéry

On considère un triangle ABC tel que : AB = 7, 5 cm, BC = 10 cm et AC = 12, 5 cm. A Les points F et G sont tels que :

2010

F C

• F appartient à [AC ] et C F = 5 cm ; • G appartient à [BC ] et CG = 4 cm.

G

1) Prouver que le triangle ABC est rectangle en B . 2) Montrer que les droites (AB ) et (FG) sont parallèles. 3) Montrer que la longueur FG est égale à 3 cm.

B

4) Les droites (FG) et (BC ) sont-elles perpendiculaires ? Justifier. [Correction]

40