Geometrie

Géométrie  P lane  2015

EXERCICE 1

Soient les points Z(0; −8), A(20; −26), B(46;23) et C(−26; −57). Déterminer les coordonnées du milieu H du segment  [ZA ]. Démontrer que le quadrilatère ZBAC est un losange.

Soient les points Z(0; −8), A(20; −26), B(46;23) et C(−26; −57).

xH  =  yH  =

xZ + xA 0 + (20) 20 = = = 10 2 2 2

yZ + yA −8 + (−26) −34 = = = −17 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [ZA ] est H(10; −17)

ZB =

BA =

AC =

√ 

2

2

(xB − xZ ) + ( yB − yZ ) =

√ 

2

2

(xA − xB ) + ( yA − yB ) =

√ 

2

2

(xC − xA ) + ( yC − yA ) =

CZ =

√ 

2

2

√ 

2

√ 

2

√ 

(46 − (0)) + (23 − (−8)) =

√ 

2

(20 − (46)) + (−26 − (23)) =

√ 

(xZ − xC ) + ( yZ − yC ) =

2

(46)2 + (31)2 =

(−26 − (20)) + (−57 − (−26)) =

√ 

√ 

2

√ 

2

(0 − (−26)) + (−8 − (−57)) =

3077

(−26)2 + (−49)2 =

2

2

√ 

√ 

3077

(−46)2 + (−31)2 =

(26)2 + (49)2 =

√ 

3077

√ 

3077

Comme ZB = BA = AC = CZ, on en conclut que  ZBAC  est un losange.

EXERCICE 2

Soient les points F(2; 8), G(3; −11),  H (−16; −12) et I(−17;7). Déterminer les coordonnées du milieu N  du segment [FH ]  et du milieu O  du segment [GI ]. Démontrer que le quadrilatère  FGHI  est un carré.

Soient les points F(2; 8), G(3; −11),  H (−16; −12) et I(−17;7).

xN =

xF + xH 2 + (−16)  − 14 = = = −7 2 2 2

 yN  =

yF + yH 8 + (−12) −4 = = = −2 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [FH ] est N(−7; −2)

1

xO =

xG + xI 3 + (−17) −14 = = = −7 2 2 2

 yO  =

yG + yI −11 + (7) −4 = = = −2 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [GI ] est  O (−7; −2)

FG =

GH =

√ 

√ 

√ 

GI =

(xG − xF ) + ( yG − yF ) =

2

2

(xI − xH ) + ( yI − yH ) =

√ 

2

(xH − xF ) + ( yH − yF ) =

√ 

2

2

(xI − xG ) + ( yI − yG ) =

(1)2 + (−19)2 =

(3 − (2)) + (−11 − (8)) =

√ 

2

2

(−17 − (−16)) + (7 − (−12)) =

2

2

√ 

2

√ 

√ 

2

2

(−16 − (2)) + (−12 − (8)) =

√ 

2

2

(−19)2 + (−1)2 =

√ 

(−1)2 + (19)2 =

√ 

√ 

(−18)2 + (−20)2 =

√ 

√ 

(−17 − (3)) + (7 − (−11)) =

362

(19)2 + (1)2 =

2

(2 − (−17)) + (8 − (7)) =

2

√ 

√ 

(−16 − (3))2 + (−12 − (−11))2 =

(xF − xI ) + ( yF − yI ) =

2

2

√ 

(xH − xG )2 + ( yH − yG )2 =

IF =

√ 

2

√ 

HI =

FH =

2

√ 

(−20)2 + (18)2 =

√ 

362

√ 

362

362

√ 

724 =  2 181

√ 

√ 

724 =  2 181

Comme FG = GH = HI = IF, on en conclut que  FGHI  est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque FH = GI, on en conclut que  FGHI  est un carré.

EXERCICE 3

Soient les points D(−2; −4), E(−15; −2), F(−14;2)  et  G (−1; 0). Déterminer les coordonnées du milieu L  du segment [DF ]  et du milieu M  du segment  [ EG ]. Démontrer que le quadrilatère  DEFG  est un parallélogramme.

Soient les points D(−2; −4), E(−15; −2), F(−14;2)  et  G (−1; 0).

xL  =

xD + xF −2 + (−14) −16 = = = −8 2 2 2

 yL  =

yD + yF −4 + (2) −2 = = = −1 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [DF ]  est L(−8; −1)

xM  =

xE + xG −15 + (−1) −16 = = = −8 2 2 2

 yM  =

yE + yG −2 + (0) −2 = = = −1 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [EG ] est  M (−8; −1)

2

xO =

xG + xI 3 + (−17) −14 = = = −7 2 2 2

 yO  =

yG + yI −11 + (7) −4 = = = −2 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [GI ] est  O (−7; −2)

FG =

GH =

√ 

√ 

√ 

GI =

(xG − xF ) + ( yG − yF ) =

2

2

(xI − xH ) + ( yI − yH ) =

√ 

2

(xH − xF ) + ( yH − yF ) =

√ 

2

2

(xI − xG ) + ( yI − yG ) =

(1)2 + (−19)2 =

(3 − (2)) + (−11 − (8)) =

√ 

2

2

(−17 − (−16)) + (7 − (−12)) =

2

2

√ 

2

√ 

√ 

2

2

(−16 − (2)) + (−12 − (8)) =

√ 

2

2

(−19)2 + (−1)2 =

√ 

(−1)2 + (19)2 =

√ 

√ 

(−18)2 + (−20)2 =

√ 

√ 

(−17 − (3)) + (7 − (−11)) =

362

(19)2 + (1)2 =

2

(2 − (−17)) + (8 − (7)) =

2

√ 

√ 

(−16 − (3))2 + (−12 − (−11))2 =

(xF − xI ) + ( yF − yI ) =

2

2

√ 

(xH − xG )2 + ( yH − yG )2 =

IF =

√ 

2

√ 

HI =

FH =

2

√ 

(−20)2 + (18)2 =

√ 

362

√ 

362

362

√ 

724 =  2 181

√ 

√ 

724 =  2 181

Comme FG = GH = HI = IF, on en conclut que  FGHI  est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque FH = GI, on en conclut que  FGHI  est un carré.

EXERCICE 3

Soient les points D(−2; −4), E(−15; −2), F(−14;2)  et  G (−1; 0). Déterminer les coordonnées du milieu L  du segment [DF ]  et du milieu M  du segment  [ EG ]. Démontrer que le quadrilatère  DEFG  est un parallélogramme.

Soient les points D(−2; −4), E(−15; −2), F(−14;2)  et  G (−1; 0).

xL  =

xD + xF −2 + (−14) −16 = = = −8 2 2 2

 yL  =

yD + yF −4 + (2) −2 = = = −1 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [DF ]  est L(−8; −1)

xM  =

xE + xG −15 + (−1) −16 = = = −8 2 2 2

 yM  =

yE + yG −2 + (0) −2 = = = −1 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [EG ] est  M (−8; −1)

2

Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque  L = M  on en conclut que  DEFG  est un parallélogramme.

EXERCICE 4

Soient les points R(−8; −8),  S (−17; −1), T (−10;8)  et  U (−1; 1). Déterminer les coordonnées du milieu A   du segment [RT  ]  ]  et du milieu B   du segment [SU ]. Démontrer que le quadrilatère  RSTU  est un carré.

Soient les points R(−8; −8),  S (−17; −1), T (−10;8)  et U(−1; 1).

xA  =

xR + xT  −8 + (−10) −18 = = = −9 2 2 2

 yA  =

yR + yT  0 −8 + (8) = = = 0 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [RT  ]  ] est A(−9; 0)

xB  =

xS + xU −17 + (−1) −18 = = = −9 2 2 2

 yB  =

yS + yU 0 −1 + (1) = = = 0 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [SU ] est  B (−9; 0)

RS =

√ 

ST  =

TU =

√ 

√ 

SU =

2

(xS − xR ) + ( yS − yR ) =

√ 

UR =

RT  =  =

2

2

(xT  − xS ) + ( yT  − yS ) =

2

2

√ 

2

2

(xR − xU ) + ( yR − yU ) =

2

2

2

√ 

2

2

2

(−1 − (−10)) + (1 − (8)) =

√ 

2

2

(−8 − (−1)) + (−8 − (1)) =

√ 

(xU − xS )2 + ( yU − yS )2 =

2

√ 

(−10 − (−17)) + (8 − (−1)) =

(xU − xT ) + ( yU − yT ) =

√ 

2

(−17 − (−8)) + (−1 − (−8)) =

2

(xT  − xR ) + ( yT  − yR ) =

√ 

√ 

2

2

(−10 − (−8)) + (8 − (−8)) =

√ 

(−9)2 + (7)2 =

√ 

√ 

(9)2 + (−7)2 =

√ 

√ 

√ 

130

(−7)2 + (−9)2 =

(16)2 + (2)2 =

130

√ 

130

√ 

√ 

√ 

√ 

(−2)2 + (16)2 =

√ 

130

(7)2 + (9)2 =

√ 

(−1 − (−17))2 + (1 − (−1))2 =

√ 

260 =  2 65

260 =  2 65

Comme RS = ST  = T U = UR, on en conclut que   RSTU   est un losang losange. e. et comme comme les diagonale diagonaless ont ont même même longueur puisque RT  = SU, on en conclut que  RSTU  est un carré.

3

EXERCICE 5

Soient les points I(8; −1)  ,  J (4;15)  et K(4; −1). Déterminer les coordonnées du milieu P  du segment [IJ ]. Démontrer que le triangle IJK  est rectangle en K.

Soient les points I(8; −1)  ,  J (4;15)  et K(4; −1).

xI + xJ 8 + (4) 12 = = = 6 2 2 2

xP  =  yP  =

yI + yJ 14 −1 + (15) = = = 7 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [IJ ]  est P(6; 7)

IK =

KJ =

IJ =

√ 

2

2

(xK − xI ) + ( yK − yI ) =

√ 

(xJ − xK )2 + ( yJ − yK )2 =

√ 

(xJ − xI )2 + ( yJ − yI )2 =

√ 

2

2

(4 − (8)) + (−1 − (−1)) =

√ 

(4 − (4))2 + (15 − (−1))2 =

√ 

(4 − (8))2 + (15 − (−1))2 =

√ 

(−4)2 + (0)2 =

√ 

(0)2 + (16)2 =

√ 

(−4)2 + (16)2 =

√ 

16 =  4

√ 

256 =  16

√ 

√ 

272 = 4 17

IK2 + KJ2 = 16 + 256 =  272 or

IJ2 = 272 ainsi

IK2 + KJ2 = IJ2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle  IJK  est rectangle en K.

EXERCICE 6

Soient les points N(−6; −3), O(−16; −13), P(−22; −7)  et Q(−12;3). Déterminer les coordonnées du milieu  V  du segment  [ NP ]  et du milieu  W  du segment  [ OQ ]. Démontrer que le quadrilatère  NOPQ  est un rectangle.

Soient les points N(−6; −3), O(−16; −13), P(−22; −7)  et Q(−12;3).

xV  =

xN + xP −6 + (−22) −28 = = = −14 2 2 2

 yV  =

yN + yP −3 + (−7) −10 = = = −5 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [NP ]  est V (−14; −5)

4

xO + xQ −16 + (−12) −28 = = = −14 2 2 2 yO + yQ −13 + (3)  − 10  yW  = = = = −5 2 2 2

xW  =

Ainsi le milieu du segment [OQ ]  est W (−14; −5)

NP =

√ 

(xP − xN )2 + ( yP − yN )2 =

OQ =

√ 

2

√ 

(−22 − (−6))2 + (−7 − (−3))2 =

√ 

2

(xQ − xO ) + ( yQ − yO ) =

2

√ 

(−16)2 + (−4)2 =

2

(−12 − (−16)) + (3 − (−13)) =

√ 

(4)2 + (16)2 =

√ 

√ 

272 =  4 17

√ 

√ 

272 = 4 17

Comme les diagonales ont même longueur puisque NP  =  OQ , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque V  = W  on en conclut que  NOPQ   est un rectangle.

EXERCICE 7

Soient les points K(3; 6) , L(21; −4) et M(7;10). Déterminer les coordonnées du milieu  R  du segment  [ KL ]. Démontrer que le triangle  KLM  est rectangle en  M .

Soient les points K(3; 6) , L(21; −4) et M(7;10).

xR  =

xK + xL 3 + (21) 24 = = = 12 2 2 2

 yR  =

yK + yL 6 + (−4) 2 = = = 1 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [KL ] est R(12;1)

KM =

ML =

√ 

KL =

√ 

√ 

2

2

(xM − xK ) + ( yM − yK ) =

2

2

(xL − xM ) + ( yL − yM ) =

2

2

(xL − xK ) + ( yL − yK ) =

√ 

2

2

(7 − (3)) + (10 − (6)) =

√ 

2

2

(21 − (7)) + (−4 − (10)) =

√ 

2

2

(21 − (3)) + (−4 − (6)) =

√ 

(4)2 + (4)2 =

√ 

√ 

(18)2 + (−10)2 =

or

KL2 = 424 ainsi

KM2 + ML2 = KL2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle  KLM   est rectangle en M.

√ 

32 = 4 2

(14)2 + (−14)2 =

KM2 + ML2 = 32 + 392 = 424

5

√ 

√ 

√ 

392 =  14 2

√ 

√ 

424 =  2 106

EXERCICE 8

Soient les points C(1; 1)  ,  D (−13; −3) et E(−4; −8). Déterminer les coordonnées du milieu J  du segment  [ CD ]. Démontrer que le triangle CDE  est rectangle en E.

Soient les points C(1; 1)  , D(−13; −3) et E(−4; −8).

xJ  =

xC + xD 1 + (−13) −12 = = = −6 2 2 2

 yJ  =

1 + (−3) −2 yC + yD = = = −1 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [CD ] est  J (−6; −1)

CE =

ED =

CD =

√ 

2

2

(xE − xC ) + ( yE − yC ) =

√ 

2

2

(xD − xE ) + ( yD − yE ) =

√ 

(xD − xC )2 + ( yD − yC )2 =

√ 

2

√ 

2

(−5)2 + (−9)2 =

(−4 − (1)) + (−8 − (1)) =

√ 

2

2

(−13 − (−4)) + (−3 − (−8)) =

√ 

(−13 − (1))2 + (−3 − (1))2 =

√ 

√ 

106

√ 

(−9)2 + (5)2 =

(−14)2 + (−4)2 =

√ 

√ 

106

√ 

212 =  2 53

CE2 + ED2 = 106 + 106 =  212 or

CD2 = 212 ainsi

CE2 + ED2 = CD2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CDE  est rectangle en E. Comme CE  =  DE , on peut en conclure que le triangle est rectangle isocèle en  E .

EXERCICE 9

Soient les points S(−10; −5),  T (−14; −5),  U (−14;11)  et V (−10;11). Déterminer les coordonnées du milieu A  du segment [SU ]  et du milieu B  du segment [T V  ]. Démontrer que le quadrilatère  STUV   est un rectangle.

Soient les points S(−10; −5),  T (−14; −5),  U (−14;11)  et V (−10;11).

xA  =

xS + xU −10 + (−14) −24 = = = −12 2 2 2

 yA =

yS + yU 6 −5 + (11) = = = 3 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [SU ] est  A (−12;3)

6

xT  + xV  −14 + (−10) −24 = = = −12 2 2 2

xB  =

yT  + yV  −5 + (11) 6 = = = 3 2 2 2

 yB  = Ainsi le milieu du segment [T V  ] est B(−12;3)

SU =

√ 

T V  =

2

2

(xU − xS ) + ( yU − yS ) =

√ 

2

√ 

2

(xV  − xT ) + ( yV  −  yT ) =

2

2

(−14 − (−10)) + (11 − (−5)) =

√ 

2

√ 

2

(−10 − (−14)) + (11 − (−5)) =

(−4)2 + (16)2 =

√ 

(4)2 + (16)2 =

√ 

√ 

272 =  4 17

√ 

√ 

272 =  4 17

Comme les diagonales ont même longueur puisque SU  =  T V , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque A = B  on en conclut que  STUV   est un rectangle.

EXERCICE 10

Soient les points T (8; 9), U(−2; −1), V (8; −11) et W (18; −1). Déterminer les coordonnées du milieu  A  du segment  [ T V  ]  et du milieu  B  du segment  [ UW  ]. Démontrer que le quadrilatère  TUVW   est un rectangle.

Soient les points T (8; 9), U(−2; −1), V (8; −11) et W (18; −1).

xT  + xV  8 + (8) 16 = = = 8 2 2 2

xA =  yA  =

yT  +  yV  9 + (−11) −2 = = = −1 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [T V  ] est A(8; −1)

xB  =  yB  =

xU + xW  −2 + (18) 16 = = = 8 2 2 2

yU + yW  −1 + (−1) −2 = = = −1 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [UW  ]  est B(8; −1)

T V  =

UW  =

√ 

2

2

(xV  − xT ) + ( yV  −  yT ) =

√ 

2

2

√ 

(xW  − xU ) + ( yW  − yU ) =

2

2

(8 − (8)) + (−11 − (9)) =

√ 

2

√ 

(0)2 + (−20)2 =

2

(18 − (−2)) + (−1 − (−1)) =

√ 

√ 

(20)2 + (0)2 =

400 =  20

√ 

400 =  20

Comme les diagonales ont même longueur puisque T V  =  UW , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque A = B  on en conclut que  TUVW   est un rectangle.

7

EXERCICE 11

Soient les points P(−9; −2), Q(−15; −22), R(28; −24)  et S(−52;0). Déterminer les coordonnées du milieu  X  du segment  [ PQ ]. Démontrer que le quadrilatère  PRQS  est un losange.

Soient les points P(−9; −2), Q(−15; −22), R(28; −24)  et S(−52;0).

xP + xQ −9 + (−15) −24 = = = −12 2 2 2 yP + yQ −2 + (−22)  − 24  yX  = = = = −12 2 2 2 xX  =

Ainsi le milieu du segment [PQ ]  est X(−12; −12)

2

2

√ 

RQ =

√ 

2

2

√ 

QS =

√ 

2

2

√ 

PR =

√ 

(xR − xP ) + ( yR − yP ) =

(xQ − xR ) + ( yQ − yR ) =

SP =

(xS − xQ ) + ( yS − yQ ) =

√ 

2

2

2

(28 − (−9)) + (−24 − (−2)) =

2

√ 

(37)2 + (−22)2 =

2

(−15 − (28)) + (−22 − (−24)) =

2

(xP − xS ) + ( yP − yS ) =

2

2

(−52 − (−15)) + (0 − (−22)) =

√ 

2

2

(−9 − (−52)) + (−2 − (0)) =

√ 

1853

√ 

(−43)2 + (2)2 =

√ 

(−37)2 + (22)2 =

√ 

√ 

√ 

(43)2 + (−2)2 =

1853

1853

√ 

1853

Comme PR = RQ = QS = SP, on en conclut que  PRQS  est un losange.

EXERCICE 12

Soient les points E(9; 3), F(10; −2), G(9; −3) et H(8; 2). Détermine Déterminerr les coordonnées coordonnées du milieu  M  du segment  [ EG ]  et du milieu N  du segment  [ FH ]. Démontrer que le quadrilatère  EFGH  est un parallélogramme.

Soient les points E(9; 3), F(10; −2), G(9; −3) et H(8; 2).

xM  =

xE + xG 9 + (9) 18 = = = 9 2 2 2

 yM  =

yE + yG 3 + (−3) 0 = = = 0 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [EG ] est  M (9; 0)

xN  =

xF + xH 10 + (8) 18 = = = 9 2 2 2

 yN  =

yF + yH 0 −2 + (2) = = = 0 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [FH ] est N(9; 0)

8

Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque M = N on en conclut que EFGH est un parallélogramme.

EXERCICE 13

Soient les points A(2; −1) , B(−6; −1)  et C(−2; 7). Déterminer les coordonnées du milieu H  du segment  [ AB ]. Démontrer que le triangle ABC  est isocèle en  C .

Soient les points A(2; −1) , B(−6; −1)  et C(−2; 7).

xH  =  yH  =

xA + xB  2 + (−6) −4 = = = −2 2 2 2

yA + yB −1 + (−1) −2 = = = −1 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [AB ] est H(−2; −1)

AC =

√ 

2

2

BC =

√ 

2

2

(xC − xA ) + ( yC − yA ) =

(xC − xB ) + ( yC − yB ) =

√ 

2

2

(−2 − (2)) + (7 − (−1)) =

√ 

2

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

(−4)2 + (8)2 =

2

(−2 − (−6)) + (7 − (−1)) =

√ 

(4)2 + (8)2 =

80 =  4 5

80 =  4 5

Ainsi  AC = BC. Le triangle  ABC  est donc isocèle en  C .

EXERCICE 14

Soient les points W (− (−7;10), X(−23; −2), Y (3; −20)  et  Z (−33;28). Détermine Déterminerr les coordonnées coordonnées du milieu milieu A   du segment segment [WX ]. Démontrer Démontrer que le quadrilatè quadrilatère re   WYXZ   est un losange.

Soient les points W (− (−7;10), X(−23; −2), Y (3; −20)  et  Z (−33;28).

xA  =

xW  + xX −7 + (−23) −30 = = = −15 2 2 2

 yA  =

10 + (−2) 8 yW  + yX = = = 4 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [WX ]  est A(−15;4)

WY  =

√ 

YX =

√ 

2

2

(xY  − xW ) + ( yY  − yW ) =

(xX − xY )2 + ( yX − yY )2 =

√ 

(3 − (−7)) + (−20 − (10)) =

√ 

√ 

√ 

(−23 − (3))2 + (−2 − (−20))2 =

√ 

√ 

√ 

2

2

√ 

9

(10)2 + (−30)2 =

(−26)2 + (18)2 =

1000 = 10 10

1000 = 10 10

XZ =

√ 

ZW  =  =

√ 

(xZ − xX )2 + ( yZ − yX )2 =

2

2

√ 

(xW  − xZ ) + ( yW  − yZ ) =

2

(−33 − (−23)) + (28 − (−2)) =

√ 

√ 

√ 

√ 

2

√ 

√ 

√ 

2

2

(−7 − (−33)) + (10 − (28)) =

(−10)2 + (30)2 =

(26)2 + (−18)2 =

1000 = 10 10

1000 = 10 10

Comme WY  =  = YX = XZ = ZW , on en conclut que  WYXZ  est un losange.

EXERCICE 15

Soient les points A(−9; −2), B(−5;13), C(11;6) et D(7; −9). Déterminer les coordonnées du milieu I   du segment [AC ]  et du milieu J   du segment [BD ]. Démontrer que le quadrilatère  ABCD  est un parallélogramme.

Soient les points A(−9; −2), B(−5;13), C(11;6)  et D(7; −9).

xI  =

xA + xC 2 −9 + (11) = =  =  1 2 2 2

 yI  =

yA + yC 4 −2 + (6) = = = 2 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [AC ]  est I(1; 2)

xJ  =  yJ  =

xB + xD 2 −5 + (7) = = = 1 2 2 2 yB + yD 13 + (−9) 4 = = = 2 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [BD ]  est J(1; 2) Comme les diagonales diagonales se coupent en leur milieu puisque  I = J  on en conclut que  ABCD  est un parallélogramme.

EXERCICE 16

Soient les points J(5; 0) , K(−9; 4)  et L(0; −5). Déterminer les coordonnées du milieu Q  du segment [JK ]. Démontrer que le triangle JKL  est rectangle en  L .

Soient les points J(5; 0) , K(−9; 4)  et L(0; −5).

xQ  =

−4 xJ + xK  5 + (−9) = = = −2 2 2 2

 yQ  =

yJ + yK 0 + (4) 4 = =  =  2 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [JK ] est Q(−2; 2)

10

JL =

√ 

√ 

(xL − xJ )2 + ( yL − yJ )2 =

LK =

√ 

JK =

√ 

2

2

(xK − xL ) + ( yK − yL ) =

2

2

(xK − xJ ) + ( yK − yJ ) =

√ 

(0 − (5))2 + (−5 − (0))2 =

√ 

2

2

2

2

(−9 − (5)) + (4 − (0)) =

√ 

√ 

√ 

(−9)2 + (9)2 =

(−9 − (0)) + (4 − (−5)) =

√ 

(−5)2 + (−5)2 =

√ 

(−14)2 + (4)2 =

√ 

50 =  5 2

√ 

162 =  9 2

√ 

√ 

212 =  2 53

JL2 + LK2 = 50 + 162 =  212 or

JK2 = 212 ainsi

JL2 + LK2 = JK2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle  JKL  est rectangle en L.

EXERCICE 17

Soient les points U(7; 6) , V (−7; −12) et W (−7; 6). Déterminer les coordonnées du milieu A   du segment [UV  ]. Démontrer que le triangle UVW  est rectangle en W .

Soient les points U(7; 6) , V (−7; −12) et W (−7; 6).

xA  =  yA  =

xU + xV  7 + (−7) 0 = = = 0 2 2 2

−6 yU + yV  6 + (−12) = = = −3 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [UV  ] est  A (0; −3)

UW  =

WV  =

UV  =

√ 

2

2

(xW  − xU ) + ( yW  − yU ) =

√ 

2

2

(xV  − xW ) + ( yV  −  yW ) =

√ 

2

2

(xV  − xU ) + ( yV  −  yU ) =

√ 

√ 

2

2

(−7 − (7)) + (6 − (6)) =

√ 

2

√ 

2

(−7 − (−7)) + (−12 − (6)) =

2

2

(−7 − (7)) + (−12 − (6)) =

(−14)2 + (0)2 =

√ 

196 = 14

(0)2 + (−18)2 =

√ 

(−14)2 + (−18)2 =

UW 2 + WV 2 = 196 + 324 =  520 or

UV 2 = 520 ainsi

UW 2 + WV 2 = UV 2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle  UV W   est rectangle en W .

11

√ 

√ 

324 =  18

√ 

√ 

520 =  2 130

EXERCICE 18

Soient les points N(9; −1)  ,  O (−9;11)  et  P (9;11). Déterminer les coordonnées du milieu  U  du segment  [ NO ]. Démontrer que le triangle  NOP  est rectangle en  P .

Soient les points N(9; −1)  ,  O (−9;11)  et  P (9;11).

xU  =

xN + xO 9 + (−9) 0 = = = 0 2 2 2

yN + yO 10 −1 + (11) = = = 5 2 2 2

 yU  = Ainsi le milieu du segment [NO ]  est  U (0; 5)

NP =

PO =

NO =

√ 

2

2

(xP − xN ) + ( yP − yN ) =

√ 

(xO − xP )2 + ( yO − yP )2 =

√ 

2

2

(xO − xN ) + ( yO − yN ) =

√ 

(9 − (9)) + (11 − (−1)) =

√ 

(−9 − (9))2 + (11 − (11))2 =

√ 

2

2

√ 

√ 

2

2

(−9 − (9)) + (11 − (−1)) =

(0)2 + (12)2 =

√ 

144 =  12

(−18)2 + (0)2 =

√ 

(−18)2 + (12)2 =

√ 

√ 

324 =  18

√ 

468 =  6 13

NP2 + PO 2 = 144 + 324 =  468 or

NO2 = 468 ainsi

NP2 + PO2 = NO2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle  NOP  est rectangle en P.

EXERCICE 19

Soient les points O(9; −9), P(46;4), Q(29;3) et R(−8; −10). Déterminer les coordonnées du milieu W   du segment  [ OQ ]  et du milieu  X  du segment  [ PR ]. Démontrer que le quadrilatère  OPQR  est un parallélogramme.

Soient les points O(9; −9), P(46;4), Q(29;3) et R(−8; −10).

xO + xQ 9 + (29)  38 = = = 19 2 2 2 yO + yQ −9 + (3)  − 6  yW  = = = = −3 2 2 2 xW  =

Ainsi le milieu du segment [OQ ]  est W (19; −3)

12

xP + xR 46 + (−8) 38 = = = 19 2 2 2

xX  =  yX  =

yP + yR 4 + (−10) −6 = = = −3 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [PR ] est  X (19; −3) Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque W  = X on en conclut que OPQR est un parallélogramme.

EXERCICE 20

Soient les points X(1; 5) , Y (−1;11)  et Z(12;12). Déterminer les coordonnées du milieu A  du segment  [ XY  ]. Démontrer que le triangle XYZ  est isocèle en  Z .

Soient les points X(1; 5) , Y (−1;11)  et  Z (12;12).

xA =

xX + xY  1 + (−1)  0 = = = 0 2 2 2

 yA  =

yX + yY  5 + (11) 16 = = = 8 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [XY  ] est  A (0; 8)

XZ =

YZ =

√ 

2

2

(xZ − xX ) + ( yZ − yX ) =

√ 

2

2

(xZ − xY ) + ( yZ − yY ) =

√ 

2

2

(12 − (1)) + (12 − (5)) =

√ 

2

2

√ 

(12 − (−1)) + (12 − (11)) =

(11)2 + (7)2 =

√ 

√ 

(13)2 + (1)2 =

170

√ 

170

Ainsi  XZ = YZ . Le triangle XYZ  est donc isocèle en Z.

EXERCICE 21

Soient les points F(8; 4), G(17;32), H(8;24) et I(−1; −4). Déterminer les coordonnées du milieu N  du segment [FH ]  et du milieu O  du segment [GI ]. Démontrer que le quadrilatère  FGHI  est un parallélogramme.

Soient les points F(8; 4), G(17;32), H(8;24)  et I(−1; −4).

xN  =  yN  =

xF + xH 8 + (8) 16 = = = 8 2 2 2

yF + yH 4 + (24) 28 = = = 14 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [FH ] est N(8;14)

xO  =  yO  =

xG + xI 17 + (−1) 16 = = = 8 2 2 2 yG + yI 32 + (−4) 28 = = = 14 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [GI ] est  O (8;14)

13

Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque  N = O  on en conclut que  FGHI  est un parallélogramme.

EXERCICE 22

Soient les points D(−6; 4), E(−28; −19), F(−14; −16) et G(8; 7). Déterminer les coordonnées du milieu L  du segment [DF ]  et du milieu M  du segment  [ EG ]. Démontrer que le quadrilatère  DEFG  est un parallélogramme.

Soient les points D(−6; 4), E(−28; −19), F(−14; −16) et G(8; 7).

xL  =

xD + xF −6 + (−14) −20 = = = −10 2 2 2

 yL  =

yD + yF 4 + (−16) −12 = = = −6 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [DF ]  est L(−10; −6)

xM  =

xE + xG −28 + (8)  − 20 = = = −10 2 2 2

 yM  =

yE + yG −19 + (7) −12 = = = −6 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [EG ] est  M (−10; −6) Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque  L = M  on en conclut que  DEFG  est un parallélogramme.

EXERCICE 23

Soient les points E(5; −7), F(−2; −14),  G (−9; −7) et H(−2; 0). Déterminer les coordonnées du milieu  M  du segment  [ EG ]  et du milieu N  du segment  [ FH ]. Démontrer que le quadrilatère  EFGH  est un rectangle.

Soient les points E(5; −7), F(−2; −14),  G (−9; −7) et H(−2; 0).

xM =  yM =

xE + xG 5 + (−9) −4 = = = −2 2 2 2

yE + yG −7 + (−7) −14 = = = −7 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [EG ] est  M (−2; −7)

xN  =

xF + xH −2 + (−2) −4 = = = −2 2 2 2

 yN  =

yF + yH −14 + (0) −14 = = = −7 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [FH ] est N(−2; −7)

14

EG =

√ 

√ 

√ 

FH =

√ 

√ 

√ 

(xG − xE )2 + ( yG − yE )2 =

(xH − xF )2 + ( yH − yF )2 =

(−9 − (5))2 + (−7 − (−7))2 =

(−14)2 + (0)2 =

(−2 − (−2))2 + (0 − (−14))2 =

(0)2 + (14)2 =

√ 

196 =  14

√ 

196 =  14

Comme les diagonales ont même longueur puisque EG  =  FH , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque M = N  on en conclut que  EFGH  est un rectangle.

EXERCICE 24

Soient les points X(−7; 4), Y (3;14),  Z (7;10)  et A(−3; 0). Déterminer les coordonnées du milieu F  du segment [XZ ]  et du milieu G  du segment [YA ]. Démontrer que le quadrilatère  XYZA   est un rectangle.

Soient les points X(−7; 4), Y (3;14),  Z (7;10)  et A(−3; 0).

xF  =

xX + xZ −7 + (7)  0 = = = 0 2 2 2

 yF  =

yX + yZ 4 + (10) 14 = = = 7 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [XZ ] est F(0; 7)

xG  =

0 xY  + xA  3 + (−3) = = = 0 2 2 2

 yG  =

yY  + yA 14 + (0) 14 = = = 7 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [YA ] est  G (0; 7)

XZ =

YA =

√ 

2

2

(xZ − xX ) + ( yZ − yX ) =

√ 

2

2

(xA − xY ) + ( yA − yY ) =

√ 

2

2

(7 − (−7)) + (10 − (4)) =

√ 

2

2

(−3 − (3)) + (0 − (14)) =

√ 

(14)2 + (6)2 =

√ 

√ 

(−6)2 + (−14)2 =

√ 

232 =  2 58

√ 

√ 

232 =  2 58

Comme les diagonales ont même longueur puisque XZ  =  Y A, et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque F = G  on en conclut que  XYZA  est un rectangle.

EXERCICE 25

Soient les points R(4; 6),  S (−8; −8), T (33; −31)  et U(−37;29). Déterminer les coordonnées du milieu  A  du segment  [ RS ]. Démontrer que le quadrilatère  RTSU  est un losange.

Soient les points R(4; 6),  S (−8; −8), T (33; −31) et U(−37;29).

15

xA  =

xR + xS 4 + (−8) −4 = = = −2 2 2 2

 yA =

yR + yS 6 + (−8) −2 = = = −1 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [RS ]  est A(−2; −1)

RT  =

√ 

2

2

(xT  − xR ) + ( yT  −  yR ) =

TS =

√ 

2

SU =

√ 

2

2

(xS − xT ) + ( yS − yT ) =

UR =

2

(33 − (4)) + (−31 − (6)) =

2

√ 

(29)2 + (−37)2 =

2

(−8 − (33)) + (−8 − (−31)) =

2

2

2

√ 

(xU − xS ) + ( yU − yS ) =

√ 

√ 

√ 

2

2

(xR − xU ) + ( yR − yU ) =

√ 

2

2

(4 − (−37)) + (6 − (29)) =

2210

√ 

√ 

√ 

√ 

(−37 − (−8)) + (29 − (−8)) =

2

√ 

(−41)2 + (23)2 =

2210

(−29)2 + (37)2 =

√ 

(41)2 + (−23)2 =

2210

√ 

2210

Comme RT  = T S = SU = UR, on en conclut que  RTSU  est un losange.

EXERCICE 26

Soient les points A(4; 4) , B(−8;14) et C(−2; 9). Déterminer les coordonnées du milieu H  du segment  [ AB ]. Démontrer que le triangle ABC  est isocèle en  C .

Soient les points A(4; 4) , B(−8;14) et C(−2; 9).

xH  =

xA + xB  4 + (−8) −4 = = = −2 2 2 2

 yH =

yA + yB 4 + (14) 18 = = = 9 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [AB ] est H(−2; 9)

AC =

BC =

√ 

2

2

(xC − xA ) + ( yC − yA ) =

√ 

2

2

(xC − xB ) + ( yC − yB ) =

√ 

2

2

(−2 − (4)) + (9 − (4)) =

√ 

2

2

√ 

(−2 − (−8)) + (9 − (14)) =

(−6)2 + (5)2 =

√ 

√ 

(6)2 + (−5)2 =

61

√ 

61

Ainsi  AC = BC. Le triangle  ABC  est donc isocèle en  C .

EXERCICE 27

Soient les points J(5; 6) , K(−15;22) et L(11;34). Déterminer les coordonnées du milieu Q  du segment [JK ]. Démontrer que le triangle JKL  est isocèle en L.

16

Soient les points J(5; 6) , K(−15;22) et L(11;34).

xJ + xK 5 + (−15) −10 = = = −5 2 2 2

xQ =

6 + (22) 28 yJ + yK = = = 14 2 2 2

 yQ = Ainsi le milieu du segment [JK ] est Q(−5;14)

JL =

KL =

√ 

2

2

(xL − xJ ) + ( yL − yJ ) =

√ 

2

2

(xL − xK ) + ( yL − yK ) =

√ 

2

2

(11 − (5)) + (34 − (6)) =

√ 

2

√ 

(6)2 + (28)2 =

√ 

2

√ 

(26)2 + (12)2 =

(11 − (−15)) + (34 − (22)) =

√ 

820 =  2 205

√ 

√ 

820 =  2 205

Ainsi  JL = KL. Le triangle JKL  est donc isocèle en  L .

EXERCICE 28

Soient les points C(−2; 1),  D (−2; 1), E(10; −11) et F(10; −11). Déterminer les coordonnées du milieu K   du segment [CE ]  et du milieu L  du segment [DF ]. Démontrer que le quadrilatère  CDEF  est un rectangle.

Soient les points C(−2; 1),  D (−2; 1), E(10; −11) et F(10; −11).

−2 + (10)  8 xC + xE = = = 4 2 2 2

xK  =  yK  =

yC + yE 1 + (−11) −10 = = = −5 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [CE ] est K(4; −5)

xL  =  yL  =

xD + xF 8 −2 + (10) = = = 4 2 2 2

yD + yF 1 + (−11) −10 = = = −5 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [DF ]  est L(4; −5)

CE =

√ 

2

2

√ 

2

2

√ 

√ 

√ 

DF =

√ 

2

2

√ 

2

2

√ 

√ 

√ 

(xE − xC ) + ( yE − yC ) =

(xF − xD ) + ( yF − yD ) =

(10 − (−2)) + (−11 − (1)) =

(10 − (−2)) + (−11 − (1)) =

17

(12)2 + (−12)2 =

(12)2 + (−12)2 =

288 = 12 2

288 =  12 2

Comme les diagonales ont même longueur puisque CE  =  DF , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque K = L  on en conclut que  CDEF  est un rectangle.

EXERCICE 29

Soient les points Q(4; 6), R(20;6),  S (20;24) et T (4;24). Déterminer les coordonnées du milieu Y  du segment [QS ]  et du milieu Z   du segment [RT  ]. Démontrer que le quadrilatère  QRST   est un rectangle.

Soient les points Q(4; 6), R(20;6),  S (20;24) et T (4;24).

xQ + xS 4 + (20)  24 = = = 12 2 2 2 yQ + yS 6 + (24) 30  yY  = = = = 15 2 2 2 xY  =

Ainsi le milieu du segment [QS ] est Y (12;15)

xZ  =

xR + xT  20 + (4) 24 = = = 12 2 2 2

 yZ =

yR + yT   6 + (24) 30 = = = 15 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [RT  ] est Z(12;15)

QS =

RT  =

√ 

2

2

(xS − xQ ) + ( yS − yQ ) =

√ 

2

2

(xT  − xR ) + ( yT  −  yR ) =

√ 

2

2

(20 − (4)) + (24 − (6)) =

√ 

2

2

(4 − (20)) + (24 − (6)) =

√ 

(16)2 + (18)2 =

√ 

√ 

(−16)2 + (18)2 =

√ 

√ 

√ 

580 =  2 145

580 = 2 145

Comme les diagonales ont même longueur puisque QS  =  RT , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque Y  = Z  on en conclut que  QRST  est un rectangle.

EXERCICE 30

Soient les points T (−2; 3), U(−2; −13), V (22; −5) et W (−26; −5). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [T U ]. Démontrer que le quadrilatère TVUW   est un losange.

Soient les points T (−2; 3), U(−2; −13), V (22; −5) et W (−26; −5).

xA  =

xT  + xU −2 + (−2) −4 = = = −2 2 2 2

 yA  =

yT  +  yU  3 + (−13) −10 = = = −5 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [T U ]  est A(−2; −5)

18

T V  =

√ 

(xV  − xT )2 + ( yV  −  yT )2 =

VU =

√ 

UW  =

√ 

2

2

(xU − xV ) + ( yU − yV ) =

2

2

(22 − (−2))2 + (−5 − (3))2 =

√ 

(xW  − xU ) + ( yW  − yU ) =

WT  =

√ 

2

√ 

(24)2 + (−8)2 =

2

(−24)2 + (−8)2 =

2

(−26 − (−2)) + (−5 − (−13)) =

√ 

(xT  − xW )2 + ( yT  −  yW )2 =

√ 

(−2 − (−26))2 + (3 − (−5))2 =

√ 

640 =  8 10

√ 

2

(−2 − (22)) + (−13 − (−5)) =

√ 

√ 

√ 

√ 

(−24)2 + (8)2 =

√ 

(24)2 + (8)2 =

√ 

640 =  8 10

√ 

√ 

640 = 8 10

√ 

√ 

640 =  8 10

Comme T V  = VU = UW  = WT , on en conclut que  TV UW   est un losange.

EXERCICE 31

Soient les points V (4; 2)  , W (6;12) et X(4;12). Déterminer les coordonnées du milieu A  du segment [VW  ]. Démontrer que le triangle VWX  est rectangle en X.

Soient les points V (4; 2)  , W (6;12) et X(4;12).

xA  =  yA  =

10 xV  + xW  4 + (6) = = = 5 2 2 2

yV  + yW  2 + (12) 14 = = = 7 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [VW  ] est A(5; 7)

VX =

√ 

2

(xX − xV ) + ( yX − yV ) =

XW  =

VW  =

2

√ 

√ 

√ 

2

(xW  − xV ) + ( yW  − yV ) =

2

(4 − (4)) + (12 − (2)) =

(xW  − xX )2 + ( yW  − yX )2 =

2

2

√ 

(0)2 + (10)2 =

√ 

(6 − (4))2 + (12 − (12))2 =

√ 

2

2

(6 − (4)) + (12 − (2)) =

100 =  10

√ 

(2)2 + (0)2 =

√ 

(2)2 + (10)2 =

VX2 + XW 2 = 100 + 4 =  104 or

VW 2 = 104 ainsi

VX2 + XW 2 = VW 2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle  V WX  est rectangle en X.

19

√ 

√ 

√ 

4 =  2

√ 

104 =  2 26

EXERCICE 32

Soient les points K(−6; 3), L(−16; −1), M(−1; −24)  et N(−21;26). Déterminer les coordonnées du milieu  S  du segment  [ KL ]. Démontrer que le quadrilatère  KMLN  est un losange.

Soient les points K(−6; 3), L(−16; −1), M(−1; −24)  et N(−21;26).

xK + xL −6 + (−16) −22 = = = −11 2 2 2

xS  =

 yS  =

yK + yL  3 + (−1) 2 = = = 1 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [KL ] est S(−11;1)

KM =

ML =

√ 

2

(xM − xK ) + ( yM − yK ) =

√ 

LN =

2

2

NK =

2

√ 

2

√ 

(xN − xL ) + ( yN − yL ) =

√ 

2

2

2

2

(−1 − (−6)) + (−24 − (3)) =

2

(xL − xM ) + ( yL − yM ) =

√ 

√ 

2

2

√ 

(−16 − (−1)) + (−1 − (−24)) =

(xK − xN ) + ( yK − yN ) =

2

2

(−21 − (−16)) + (26 − (−1)) =

√ 

2

2

(−6 − (−21)) + (3 − (26)) =

√ 

(5)2 + (−27)2 =

754

√ 

(−15)2 + (23)2 =

√ 

(−5)2 + (27)2 =

√ 

(15)2 + (−23)2 =

√ 

754

√ 

754

√ 

754

Comme KM = ML = LN = NK, on en conclut que  KMLN  est un losange.

EXERCICE 33

Soient les points R(−3; −1),  S (−12; −23), T (−19; −21) et U(−10;1). Déterminer les coordonnées du milieu A   du segment [RT  ]  et du milieu B   du segment [SU ]. Démontrer que le quadrilatère  RSTU  est un parallélogramme.

Soient les points R(−3; −1),  S (−12; −23), T (−19; −21) et U(−10;1).

xA =

xR + xT  −3 + (−19) −22 = = = −11 2 2 2

 yA  =

yR + yT  −1 + (−21) −22 = = = −11 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [RT  ] est A(−11; −11)

xB  =

xS + xU −12 + (−10) −22 = = = −11 2 2 2

 yB  =

yS + yU −23 + (1) −22 = = = −11 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [SU ] est  B (−11; −11)

20

Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque  A = B  on en conclut que  RSTU  est un parallélogramme.

EXERCICE 34

Soient les points B(3;10), C(−5; 8),  D (4; −11)  et  E (−6;29). Déterminer les coordonnées du milieu  J  du segment  [ BC ]. Démontrer que le quadrilatère  BDCE  est un losange.

Soient les points B(3;10), C(−5; 8),  D (4; −11)  et  E (−6;29).

xJ =

xB + xC 3 + (−5) −2 = = = −1 2 2 2 10 + (8) 18 yB + yC = = = 9 2 2 2

 yJ  = Ainsi le milieu du segment [BC ] est  J (−1; 9)

BD =

√ 

2

2

√ 

DC =

√ 

2

2

√ 

CE =

√ 

2

2

√ 

EB =

√ 

2

2

√ 

(xD − xB ) + ( yD − yB ) =

(xC − xD ) + ( yC − yD ) =

(xE − xC ) + ( yE − yC ) =

(xB − xE ) + ( yB − yE ) =

2

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

2

(1)2 + (−21)2 =

(4 − (3)) + (−11 − (10)) =

2

2

(−5 − (4)) + (8 − (−11)) =

2

2

(−6 − (−5)) + (29 − (8)) =

2

2

(3 − (−6)) + (10 − (29)) =

442

(−9)2 + (19)2 =

(−1)2 + (21)2 =

(9)2 + (−19)2 =

442

442

442

Comme BD = DC = CE = EB, on en conclut que  BDCE  est un losange.

EXERCICE 35

Soient les points R(8; 8),  S (6;28), T (−23;15) et U(37;21). Déterminer les coordonnées du milieu  A  du segment  [ RS ]. Démontrer que le quadrilatère  RTSU  est un losange.

Soient les points R(8; 8),  S (6;28), T (−23;15) et U(37;21).

xA  =  yA =

8 + (6) 14 xR + xS = = = 7 2 2 2

yR + yS 8 + (28) 36 = = = 18 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [RS ]  est A(7;18)

RT  =

√ 

2

2

(xT  − xR ) + ( yT  −  yR ) =

√ 

2

2

(−23 − (8)) + (15 − (8)) =

21

√ 

(−31)2 + (7)2 =

√ 

1010

TS =

√ 

SU =

√ 

UR =

√ 

(xS − xT )2 + ( yS − yT )2 =

2

2

(xU − xS ) + ( yU − yS ) =

√ 

2

2

√ 

√ 

√ 

√ 

(6 − (−23))2 + (28 − (15))2 =

(xR − xU ) + ( yR − yU ) =

√ 

2

2

(37 − (6)) + (21 − (28)) =

√ 

2

(29)2 + (13)2 =

(31)2 + (−7)2 =

√ 

2

1010

(−29)2 + (−13)2 =

(8 − (37)) + (8 − (21)) =

1010

√ 

1010

Comme RT  = T S = SU = UR, on en conclut que  RTSU  est un losange.

EXERCICE 36

Soient les points X(−1; −9), Y (10;2),  Z (1;11)  et A(−10;0). Déterminer les coordonnées du milieu F  du segment [XZ ]  et du milieu G  du segment [YA ]. Démontrer que le quadrilatère  XYZA   est un rectangle.

Soient les points X(−1; −9), Y (10;2),  Z (1;11)  et A(−10;0).

xX + xZ −1 + (1)  0 = = = 0 2 2 2

xF  =  yF  =

yX + yZ 2 −9 + (11) = = = 1 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [XZ ] est F(0; 1)

xG  =

xY  + xA 10 + (−10)  0 = = = 0 2 2 2

 yG  =

2 + (0) 2 yY  + yA = = = 1 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [YA ] est  G (0; 1)

XZ =

YA =

√ 

2

2

(xZ − xX ) + ( yZ − yX ) =

√ 

2

2

(xA − xY ) + ( yA − yY ) =

√ 

2

2

(1 − (−1)) + (11 − (−9)) =

√ 

2

2

(−10 − (10)) + (0 − (2)) =

√ 

(2)2 + (20)2 =

√ 

√ 

(−20)2 + (−2)2 =

√ 

404 =  2 101

√ 

√ 

404 =  2 101

Comme les diagonales ont même longueur puisque XZ  =  Y A, et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque F = G  on en conclut que  XYZA  est un rectangle.

EXERCICE 37

Soient les points P(−3; 9), Q(−12;16), R(−5;25)  et  S (4;18). Déterminer les coordonnées du milieu X  du segment [PR ]  et du milieu Y   du segment [QS ]. Démontrer que le quadrilatère  PQRS  est un carré.

22

Soient les points P(−3; 9), Q(−12;16), R(−5;25)  et  S (4;18).

xX  =

xP + xR −3 + (−5)  − 8 = = = −4 2 2 2 yP + yR  9 + (25) 34 = = = 17 2 2 2

 yX = Ainsi le milieu du segment [PR ] est  X (−4;17)

xQ + xS −12 + (4) −8 = = = −4 2 2 2 yQ + yS 16 + (18) 34  yY  = = = = 17 2 2 2

xY  =

Ainsi le milieu du segment [QS ] est Y (−4;17)

PQ =

√ 

2

2

√ 

2

QR =

√ 

2

2

√ 

2

RS =

√ 

2

2

√ 

2

SP =

√ 

2

2

√ 

2

PR =

√ 

QS =

√ 

(xQ − xP ) + ( yQ − yP ) =

(−12 − (−3)) + (16 − (9)) =

(xR − xQ ) + ( yR − yQ ) =

(xS − xR ) + ( yS − yR ) =

(xP − xS ) + ( yP − yS ) =

2

2

(xR − xP ) + ( yR − yP ) =

2

2

√ 

(xS − xQ ) + ( yS − yQ ) =

2

(−9)2 + (7)2 =

2

(−5 − (−12)) + (25 − (16)) =

2

(4 − (−5)) + (18 − (25)) =

2

(−3 − (4)) + (9 − (18)) =

2

2

(−5 − (−3)) + (25 − (9)) =

√ 

√ 

2

√ 

(7)2 + (9)2 =

√ 

(4 − (−12)) + (18 − (16)) =

130

√ 

130

(9)2 + (−7)2 =

√ 

(−7)2 + (−9)2 =

√ 

√ 

√ 

2

√ 

130

130

(−2)2 + (16)2 =

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

(16)2 + (2)2 =

260 =  2 65

260 =  2 65

Comme PQ = QR = RS = SP, on en conclut que   PQRS   est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque PR = QS, on en conclut que  PQRS  est un carré.

EXERCICE 38

Soient les points V (−4;10), W (−8; 4), X(0; 3) et Y (−12;11). Déterminer les coordonnées du milieu A   du segment [VW  ]. Démontrer que le quadrilatère   VXWY   est un losange.

Soient les points V (−4;10), W (−8; 4), X(0; 3) et Y (−12;11).

xA  =

xV  + xW  −4 + (−8) −12 = = = −6 2 2 2

 yA  =

yV  + yW  10 + (4) 14 = = = 7 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [VW  ] est A(−6; 7)

23

VX =

√ 

XW  =

√ 

(xX − xV )2 + ( yX − yV )2 =

2

√ 

(0 − (−4))2 + (3 − (10))2 =

2

(xW  − xX ) + ( yW  − yX ) =

WY  =

√ 

YV  =

√ 

2

2

(xY  − xW ) + ( yY  − yW ) =

(xV  − xY )2 + ( yV  − yY )2 =

√ 

2

√ 

√ 

√ 

(4)2 + (−7)2 =

2

(−8 − (0)) + (4 − (3)) =

√ 

√ 

(−8)2 + (1)2 =

65

65

(−12 − (−8)) + (11 − (4)) =

√ 

√ 

(−4 − (−12))2 + (10 − (11))2 =

√ 

√ 

2

2

√ 

(−4)2 + (7)2 =

(8)2 + (−1)2 =

65

65

Comme VX = XW  = WY  = YV , on en conclut que  VXWY   est un losange.

EXERCICE 39

Soient les points V (−2; −10)  ,  W (−16; −30)  et  X (−2; −30). Déterminer les coordonnées du milieu A  du segment [VW  ]. Démontrer que le triangle VWX  est rectangle en X.

Soient les points V (−2; −10)  ,  W (−16; −30)  et  X (−2; −30).

xA  =

xV  + xW  −2 + (−16) −18 = = = −9 2 2 2

yV  + yW  −10 + (−30) −40 = = = −20 2 2 2

 yA  =

Ainsi le milieu du segment [VW  ] est A(−9; −20)

VX =

XW  =

VW  =

√ 

√ 

2

2

(xX − xV ) + ( yX − yV ) =

√ 

2

√ 

2

(xW  − xX ) + ( yW  − yX ) =

2

2

(xW  − xV ) + ( yW  − yV ) =

√ 

2

2

(−2 − (−2)) + (−30 − (−10)) =

√ 

2

√ 

(0)2 + (−20)2 =

2

(−16 − (−2)) + (−30 − (−10)) =

√ 

√ 

(−14)2 + (−20)2 =

√ 

√ 

VX2 + XW 2 = 400 + 196 =  596 or

VW 2 = 596 ainsi

VX2 + XW 2 = VW 2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle  V WX  est rectangle en X.

24

400 =  20

(−14)2 + (0)2 =

2

(−16 − (−2)) + (−30 − (−30)) =

2

√ 

196 =  14

√ 

596 =  2 149

EXERCICE 40

Soient les points M(9; 3), N(−9; 3), O(−9; −11) et P(9; −11). Déterminer les coordonnées du milieu  U  du segment  [ MO ]  et du milieu  V  du segment  [ NP ]. Démontrer que le quadrilatère  MNOP  est un rectangle.

Soient les points M(9; 3), N(−9; 3), O(−9; −11) et P(9; −11). 9 + (−9) 0 xM + xO = = = 0 2 2 2

xU  =

yM + yO 3 + (−11) −8 = = = −4 2 2 2

 yU  =

Ainsi le milieu du segment [MO ] est  U (0; −4) 0 −9 + (9) xN + xP = = = 0 2 2 2

xV  =

yN + yP 3 + (−11) −8 = = = −4 2 2 2

 yV  =

Ainsi le milieu du segment [NP ]  est V (0; −4)

MO =

√ 

NP =

2

2

(xO − xM ) + ( yO − yM ) =

√ 

2

2

(xP − xN ) + ( yP − yN ) =

√ 

2

2

(−9 − (9)) + (−11 − (3)) =

√ 

2

2

(9 − (−9)) + (−11 − (3)) =

√ 

(−18)2 + (−14)2 =

√ 

(18)2 + (−14)2 =

√ 

√ 

520 =  2 130

√ 

√ 

520 =  2 130

Comme les diagonales ont même longueur puisque MO =  NP , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque U = V  on en conclut que  MNOP   est un rectangle.

EXERCICE 41

Soient les points Z(0; 9), A(−2; −9), B(44; −5) et C(−46;5). Déterminer les coordonnées du milieu H du segment  [ZA ]. Démontrer que le quadrilatère ZBAC est un losange.

Soient les points Z(0; 9), A(−2; −9), B(44; −5) et C(−46;5).

xH  =

xZ + xA 0 + (−2) −2 = = = −1 2 2 2

 yH =

9 + (−9) 0 yZ + yA = = = 0 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [ZA ] est H(−1; 0)

ZB =

√ 

2

2

(xB − xZ ) + ( yB − yZ ) =

√ 

2

2

(44 − (0)) + (−5 − (9)) =

25

√ 

(44)2 + (−14)2 =

√ 

√ 

2132 =  2 533

BA =

√ 

AC =

√ 

√ 

(xA − xB )2 + ( yA − yB )2 =

2

2

CZ =

2

2

√ 

2

2

(−46 − (−2)) + (5 − (−9)) =

2

(xZ − xC ) + ( yZ − yC ) =

√ 

2

2

(0 − (−46)) + (9 − (5)) =

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

(−46)2 + (−4)2 =

(−2 − (44)) + (−9 − (−5)) =

(xC − xA ) + ( yC − yA ) =

√ 

2

(−44)2 + (14)2 =

√ 

(46)2 + (4)2 =

2132 =  2 533

2132 =  2 533

√ 

√ 

2132 =  2 533

Comme ZB = BA = AC = CZ, on en conclut que  ZBAC  est un losange.

EXERCICE 42

Soient les points D(−9; 2) , E(−27;18) et F(−18;10). Déterminer les coordonnées du milieu K  du segment  [ DE ]. Démontrer que le triangle DEF  est isocèle en F.

Soient les points D(−9; 2) , E(−27;18) et F(−18;10).

xK  =

xD + xE −9 + (−27) −36 = = = −18 2 2 2

 yK  =

yD + yE 2 + (18) 20 = = = 10 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [DE ]  est K(−18;10)

DF =

EF =

√ 

(xF − xD )2 + ( yF − yD )2 =

√ 

2

2

(xF − xE ) + ( yF − yE ) =

√ 

(−18 − (−9))2 + (10 − (2))2 =

√ 

2

2

(−18 − (−27)) + (10 − (18)) =

√ 

√ 

√ 

√ 

(−9)2 + (8)2 =

(9)2 + (−8)2 =

145

145

Ainsi  DF = EF. Le triangle  DEF  est donc isocèle en  F .

EXERCICE 43

Soient les points P(9; −7), Q(21;13), R(−35;33) et S(65; −27). Déterminer les coordonnées du milieu  X  du segment  [ PQ ]. Démontrer que le quadrilatère  PRQS  est un losange.

Soient les points P(9; −7), Q(21;13), R(−35;33) et S(65; −27).

xP + xQ 9 + (21) 30 = = = 15 2 2 2 yP + yQ 6 −7 + (13)  yX  = = = = 3 2 2 2 xX  =

Ainsi le milieu du segment [PQ ]  est X(15;3)

26

PR =

√ 

√ 

RQ =

√ 

2

2

√ 

QS =

√ 

2

2

√ 

SP =

√ 

(xR − xP )2 + ( yR − yP )2 =

(xS − xQ ) + ( yS − yQ ) =

2

(xP − xS ) + ( yP − yS ) =

√ 

2

(−44)2 + (40)2 =

(−35 − (9)) + (33 − (−7)) =

(xQ − xR ) + ( yQ − yR ) =

2

2

√ 

√ 

√ 

2

√ 

√ 

√ 

(21 − (−35)) + (13 − (33)) =

(65 − (21)) + (−27 − (13)) =

√ 

2

√ 

3536 =  4 221

2

2

2

√ 

2

(9 − (65)) + (−7 − (−27)) =

(56)2 + (−20)2 =

(44)2 + (−40)2 =

√ 

(−56)2 + (20)2 =

3536 =  4 221

3536 = 4 221

√ 

√ 

3536 =  4 221

Comme PR = RQ = QS = SP , on en conclut que  PRQS  est un losange.

EXERCICE 44

Soient les points G(5; −10), H(13; −18),  I (25;2)  et  J (−7; −30). Déterminer les coordonnées du milieu  O  du segment  [ GH ]. Démontrer que le quadrilatère  GIHJ  est un losange.

Soient les points G(5; −10), H(13; −18),  I (25;2)  et J(−7; −30).

xO =  yO  =

xG + xH 5 + (13) 18 = = = 9 2 2 2

−10 + (−18) −28 yG + yH = = = −14 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [GH ] est O(9; −14)

GI =

IH =

HJ =

√ 

2

(xI − xG ) + ( yI − yG ) =

√ 

2

2

(xH − xI ) + ( yH − yI ) =

√ 

JG =

2

2

2

(xJ − xH ) + ( yJ − yH ) =

√ 

2

2

√ 

2

(25 − (5)) + (2 − (−10)) =

√ 

2

2

(13 − (25)) + (−18 − (2)) =

√ 

(xG − xJ ) + ( yG − yJ ) =

2

2

√ 

2

2

2

√ 

√ 

(−20)2 + (−12)2 =

√ 

(12)2 + (20)2 =

√ 

544 =  4 34

(−12)2 + (−20)2 =

(5 − (−7)) + (−10 − (−30)) =

27

√ 

√ 

(−7 − (13)) + (−30 − (−18)) =

√ 

(20)2 + (12)2 =

√ 

544 =  4 34

√ 

√ 

544 = 4 34

√ 

√ 

544 =  4 34

Comme GI = IH = HJ = JG, on en conclut que  GIHJ  est un losange.

EXERCICE 45

Soient les points Q(8; −3)  , R(16; −1) et S(11; −6). Déterminer les coordonnées du milieu X  du segment  [ QR ]. Démontrer que le triangle QRS  est rectangle en  S .

Soient les points Q(8; −3)  , R(16; −1) et S(11; −6).

xQ + xR 8 + (16) 24 = = = 12 2 2 2 yQ + yR −3 + (−1)  − 4  yX  = = = = −2 2 2 2 xX  =

Ainsi le milieu du segment [QR ] est X(12; −2)

QS =

√ 

SR =

√ 

QR =

√ 

2

√ 

2

(xS − xQ ) + ( yS − yQ ) =

2

2

(xR − xS ) + ( yR − yS ) =

2

2

(11 − (8)) + (−6 − (−3)) =

√ 

2

2

√ 

(16 − (11)) + (−1 − (−6)) =

(xR − xQ )2 + ( yR − yQ )2 =

√ 

(16 − (8))2 + (−1 − (−3))2 =

(3)2 + (−3)2 =

√ 

√ 

18 =  3 2

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

(5)2 + (5)2 =

(8)2 + (2)2 =

50 =  5 2

68 = 2 17

QS2 + SR2 = 18 + 50 =  68 or

QR2 = 68 ainsi

QS2 + SR2 = QR2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle  QRS  est rectangle en S.

EXERCICE 46

Soient les points A(5; 0), B(27;13), C(15;16)  et  D (−7; 3). Déterminer les coordonnées du milieu I   du segment [AC ]  et du milieu J   du segment [BD ]. Démontrer que le quadrilatère  ABCD  est un parallélogramme.

Soient les points A(5; 0), B(27;13), C(15;16)  et  D (−7; 3).

xI  =

xA + xC 5 + (15) 20 = = = 10 2 2 2

 yI  =

yA + yC 0 + (16) 16 = = = 8 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [AC ]  est I(10;8)

28

xJ  =

xB + xD  27 + (−7) 20 = = = 10 2 2 2

 yJ  =

yB + yD 13 + (3)  16 = = = 8 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [BD ]  est J(10;8) Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque  I = J  on en conclut que  ABCD  est un parallélogramme.

EXERCICE 47

Soient les points B(2; 7) , C(4;15)  et  D (−5;13). Déterminer les coordonnées du milieu I  du segment [BC ]. Démontrer que le triangle BCD  est isocèle en D.

Soient les points B(2; 7) , C(4;15)  et  D (−5;13).

xI  =  yI  =

2 + (4) 6 xB + xC = = = 3 2 2 2

yB + yC 7 + (15) 22 = = = 11 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [BC ] est  I (3;11)

BD =

CD =

√ 

2

2

(xD − xB ) + ( yD − yB ) =

√ 

2

2

(xD − xC ) + ( yD − yC ) =

√ 

2

2

√ 

2

√ 

(−5 − (2)) + (13 − (7)) =

√ 

2

(−5 − (4)) + (13 − (15)) =

(−7)2 + (6)2 =

√ 

(−9)2 + (−2)2 =

85

√ 

85

Ainsi  BD = CD. Le triangle BCD  est donc isocèle en  D .

EXERCICE 48

Soient les points A(6; 6), B(14;6),  C (14; −2) et D(6; −2). Déterminer les coordonnées du milieu I   du segment [AC ]  et du milieu J   du segment [BD ]. Démontrer que le quadrilatère  ABCD  est un carré.

Soient les points A(6; 6), B(14;6),  C (14; −2) et D(6; −2).

xI  =

xA + xC 6 + (14) 20 = = = 10 2 2 2

 yI  =

yA + yC 6 + (−2) 4 = = = 2 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [AC ]  est I(10;2)

xJ  =

xB + xD 14 + (6) 20 = = = 10 2 2 2

 yJ  =

yB + yD 6 + (−2) 4 = =  =  2 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [BD ]  est J(10;2)

29

AB =

√ 

(xB − xA )2 + ( yB − yA )2 =

√ 

(14 − (6))2 + (6 − (6))2 =

√ 

(14 − (14))2 + (−2 − (6))2 =

(8)2 + (0)2 =

BC =

√ 

√ 

√ 

CD =

√ 

√ 

(6 − (14))2 + (−2 − (−2))2 =

√ 

√ 

√ 

(xC − xB )2 + ( yC − yB )2 =

(xD − xC )2 + ( yD − yC )2 =

DA =

AC =

√ 

2

(xA − xD ) + ( yA − yD ) =

√ 

2

2

2

2

(xD − xB ) + ( yD − yB ) =

2

(14 − (6)) + (−2 − (6)) =

√ 

2

2

(6 − (6)) + (6 − (−2)) =

√ 

2

(xC − xA ) + ( yC − yA ) =

√ 

BD =

2

2

2

(6 − (14)) + (−2 − (6)) =

√ 

64 =  8

(0)2 + (−8)2 =

√ 

64 =  8

(−8)2 + (0)2 =

(8)2 + (−8)2 =

64 =  8

√ 

(0)2 + (8)2 =

√ 

√ 

64 =  8

√ 

√ 

(−8)2 + (−8)2 =

√ 

128 =  8 2

√ 

√ 

128 = 8 2

Comme AB  =  BC  =  CD  =  DA , on en conclut que  ABCD   est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque AC = BD, on en conclut que  ABCD  est un carré.

EXERCICE 49

Soient les points B(−2; −8) , C(−6;12) et D(−14;4). Déterminer les coordonnées du milieu I  du segment  [ BC ]. Démontrer que le triangle BCD  est rectangle en  D .

Soient les points B(−2; −8) , C(−6;12) et D(−14;4).

xB + xC  − 2 + (−6) −8 = = = −4 2 2 2

xI  =

 yI  =

yB + yC 4 −8 + (12) = =  =  2 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [BC ] est  I (−4; 2)

BD =

√ 

2

(xD − xB ) + ( yD − yB ) =

DC =

BC =

2

√ 

2

√ 

2

2

2

(xC − xB ) + ( yC − yB ) =

2

(−14 − (−2)) + (4 − (−8)) =

(xC − xD ) + ( yC − yD ) =

√ 

2

√ 

√ 

2

2

√ 

(−6 − (−14)) + (12 − (4)) =

2

2

(−6 − (−2)) + (12 − (−8)) =

30

(−12)2 + (12)2 =

√ 

√ 

128 =  8 2

(8)2 + (8)2 =

√ 

√ 

(−4)2 + (20)2 =

√ 

288 =  12 2

√ 

√ 

√ 

416 =  4 26

BD2 + DC2 = 288 + 128 =  416 or

BC2 = 416 ainsi

BD2 + DC2 = BC2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle  BCD  est rectangle en D.

EXERCICE 50

Soient les points G(6; −9)  ,  H (10; −3) et I(14; −10). Déterminer les coordonnées du milieu N  du segment [GH ]. Démontrer que le triangle GHI  est isocèle en I.

Soient les points G(6; −9)  ,  H (10; −3) et I(14; −10).

xG + xH 6 + (10) 16 = = = 8 2 2 2

xN =  yN =

yG + yH −9 + (−3)  − 12 = = = −6 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [GH ] est N(8; −6)

GI =

HI =

√ 

2

2

(xI − xG ) + ( yI − yG ) =

√ 

(xI − xH )2 + ( yI − yH )2 =

√ 

2

2

(14 − (6)) + (−10 − (−9)) =

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

(14 − (10))2 + (−10 − (−3))2 =

(8)2 + (−1)2 =

(4)2 + (−7)2 =

65

65

Ainsi  GI = HI. Le triangle GHI  est donc isocèle en I.

EXERCICE 51

Soient les points G(−7; 7), H(−7;15), I(−23;11) et J(9;11). Déterminer les coordonnées du milieu  O  du segment  [ GH ]. Démontrer que le quadrilatère  GIHJ  est un losange.

Soient les points G(−7; 7), H(−7;15), I(−23;11) et J(9;11).

xO  =

xG + xH −7 + (−7) −14 = = = −7 2 2 2

 yO  =

7 + (15) 22 yG + yH = = = 11 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [GH ] est O(−7;11)

GI =

√ 

2

2

(xI − xG ) + ( yI − yG ) =

√ 

2

2

(−23 − (−7)) + (11 − (7)) =

31

√ 

(−16)2 + (4)2 =

√ 

√ 

272 =  4 17

IH =

√ 

(xH − xI )2 + ( yH − yI )2 =

HJ =

√ 

2

JG =

√ 

2

√ 

√ 

2

(xJ − xH ) + ( yJ − yH ) =

2

(xG − xJ ) + ( yG − yJ ) =

2

2

(9 − (−7)) + (11 − (15)) =

√ 

2

2

(−7 − (9)) + (7 − (11)) =

√ 

√ 

√ 

(16)2 + (−4)2 =

√ 

√ 

(−16)2 + (−4)2 =

√ 

√ 

(−7 − (−23))2 + (15 − (11))2 =

(16)2 + (4)2 =

√ 

√ 

272 =  4 17

272 =  4 17

272 =  4 17

Comme GI = IH = HJ = JG, on en conclut que  GIHJ  est un losange.

EXERCICE 52

Soient les points B(1; 3), C(−2; 0), D(−7; 5) et E(−4; 8). Déterminer les coordonnées du milieu J   du segment [BD ]  et du milieu K   du segment [CE ]. Démontrer que le quadrilatère  BCDE  est un rectangle.

Soient les points B(1; 3), C(−2; 0), D(−7; 5) et E(−4; 8).

xB + xD 1 + (−7) −6 = = = −3 2 2 2

xJ  =

 yJ  =

yB + yD 3 + (5)  8 = = = 4 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [BD ]  est J(−3; 4)

xK  =

xC + xE −2 + (−4) −6 = = = −3 2 2 2

 yK  =

0 + (8) 8 yC + yE = = = 4 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [CE ] est K(−3; 4)

BD =

CE =

√ 

2

2

(xD − xB ) + ( yD − yB ) =

√ 

2

2

(xE − xC ) + ( yE − yC ) =

√ 

2

2

(−7 − (1)) + (5 − (3)) =

√ 

2

2

(−4 − (−2)) + (8 − (0)) =

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

(−8)2 + (2)2 =

(−2)2 + (8)2 =

68 =  2 17

68 =  2 17

Comme les diagonales ont même longueur puisque BD  =  CE , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque J = K  on en conclut que  BCDE  est un rectangle.

EXERCICE 53

Soient les points C(1; −7),  D (3; −19),  E (9; −7) et F(7; 5). Déterminer les coordonnées du milieu K   du segment [CE ]  et du milieu L  du segment [DF ]. Démontrer que le quadrilatère  CDEF  est un parallélogramme.

32

Soient les points C(1; −7),  D (3; −19),  E (9; −7) et F(7; 5).

xC + xE 1 + (9) 10 = = = 5 2 2 2

xK  =

yC + yE −7 + (−7) −14 = = = −7 2 2 2

 yK  =

Ainsi le milieu du segment [CE ] est K(5; −7)

xL  =  yL  =

xD + xF 3 + (7) 10 = = = 5 2 2 2

yD + yF −19 + (5) −14 = = = −7 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [DF ]  est L(5; −7) Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque  K = L  on en conclut que  CDEF  est un parallélogramme.

EXERCICE 54

Soient les points P(0; −7) , Q(−6; −21)  et  R (4; −17). Déterminer les coordonnées du milieu  W  du segment  [ PQ ]. Démontrer que le triangle  PQR  est rectangle en  R .

Soient les points P(0; −7) , Q(−6; −21)  et  R (4; −17).

xP + xQ 0 + (−6) −6 = = = −3 2 2 2 yP + yQ −7 + (−21) −28  yW  = = = = −14 2 2 2 xW  =

Ainsi le milieu du segment [PQ ]  est W (−3; −14)

PR =

RQ =

√ 

2

(xR − xP ) + ( yR − yP ) =

√ 

PQ =

2

2

2

(xQ − xR ) + ( yQ − yR ) =

√ 

2

2

√ 

2

(4 − (0)) + (−17 − (−7)) =

√ 

(xQ − xP ) + ( yQ − yP ) =

2

2

√ 

2

(4)2 + (−10)2 =

2

2

(−6 − (0)) + (−21 − (−7)) =

√ 

116 =  2 29

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

(−6 − (4)) + (−21 − (−17)) =

√ 

√ 

(−10)2 + (−4)2 =

(−6)2 + (−14)2 =

116 =  2 29

232 =  2 58

PR2 + RQ2 = 116 + 116 =  232 or

PQ2 = 232 ainsi

PR2 + RQ2 = PQ2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle PQR  est rectangle en R. Comme PR  =  QR , on peut en conclure que le triangle est rectangle isocèle en  R .

33

EXERCICE 55

Soient les points A(−1; −5), B(−11;15),  C (−46; −15) et D(34;25). Déterminer les coordonnées du milieu  I  du segment  [ AB ]. Démontrer que le quadrilatère  ACBD  est un losange.

Soient les points A(−1; −5), B(−11;15),  C (−46; −15) et D(34;25).

xI  =

xA + xB −1 + (−11) −12 = = = −6 2 2 2 yA + yB 10 −5 + (15) = = = 5 2 2 2

 yI  = Ainsi le milieu du segment [AB ] est I(−6; 5)

AC =

√ 

CB =

(xC − xA )2 + ( yC − yA )2 =

√ 

2

(xB − xC ) + ( yB − yC ) =

BD =

DA =

2

√ 

(−46 − (−1))2 + (−15 − (−5))2 =

√ 

(xD − xB )2 + ( yD − yB )2 =

2

2

(xA − xD ) + ( yA − yD ) =

(−45)2 + (−10)2 =

2

(−11 − (−46)) + (15 − (−15)) =

√ 

√ 

2

√ 

√ 

(34 − (−11))2 + (25 − (15))2 =

√ 

2

2

(−1 − (34)) + (−5 − (25)) =

√ 

(35)2 + (30)2 =

√ 

(45)2 + (10)2 =

√ 

√ 

√ 

√ 

2125 =  5 85

√ 

(−35)2 + (−30)2 =

√ 

2125 =  5 85

√ 

2125 =  5 85

√ 

√ 

2125 = 5 85

Comme AC = CB = BD = DA, on en conclut que  ACBD  est un losange.

EXERCICE 56

Soient les points K(0; 8), L(−16;14),  M (−23; −29)  et  N (7;51). Déterminer les coordonnées du milieu  S  du segment  [ KL ]. Démontrer que le quadrilatère  KMLN  est un losange.

Soient les points K(0; 8), L(−16;14),  M (−23; −29)  et  N (7;51).

xS  =

xK + xL 0 + (−16) −16 = = = −8 2 2 2

 yS =

yK + yL  8 + (14) 22 = = = 11 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [KL ] est S(−8;11)

34

KM =

√ 

√ 

ML =

√ 

√ 

(xM − xK )2 + ( yM − yK )2 =

(xL − xM )2 + ( yL − yM)2 =

LN =

√ 

(xN − xL )2 + ( yN − yL )2 =

√ 

NK =

2

√ 

(−23 − (0))2 + (−29 − (8))2 =

(−23)2 + (−37)2 =

(−16 − (−23))2 + (14 − (−29))2 =

√ 

(7 − (−16))2 + (51 − (14))2 =

2

(xK − xN ) + ( yK − yN ) =

√ 

2

2

(0 − (7)) + (8 − (51)) =

√ 

(7)2 + (43)2 =

√ 

(23)2 + (37)2 =

√ 

(−7)2 + (−43)2 =

√ 

1898

√ 

1898

√ 

1898

√ 

1898

Comme KM = ML = LN = NK, on en conclut que  KMLN  est un losange.

EXERCICE 57

Soient les points H(4; 9),  I (16;9), J(16;21)  et  K (4;21). Déterminer les coordonnées du milieu P  du segment [HJ ]   et du milieu Q   du segment [IK ]. Démontrer que le quadrilatère  HIJK  est un rectangle.

Soient les points H(4; 9),  I (16;9), J(16;21)  et  K (4;21).

xP  =

xH + xJ 4 + (16) 20 = = = 10 2 2 2

 yP  =

yH + yJ  9 + (21)  30 = = = 15 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [HJ ] est  P (10;15)

xQ =

xI + xK 16 + (4) 20 = = = 10 2 2 2

 yQ  =

9 + (21) 30 yI + yK = = = 15 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [IK ]  est  Q (10;15)

HJ =

IK =

√ 

2

2

(xJ − xH ) + ( yJ − yH ) =

√ 

2

2

(xK − xI ) + ( yK − yI ) =

√ 

2

2

(16 − (4)) + (21 − (9)) =

√ 

2

2

(4 − (16)) + (21 − (9)) =

√ 

(12)2 + (12)2 =

√ 

(−12)2 + (12)2 =

√ 

√ 

√ 

288 =  12 2

√ 

288 =  12 2

Comme les diagonales ont même longueur puisque HJ  = IK, et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque P = Q  on en conclut que  HIJK  est un rectangle.

35

EXERCICE 58

Soient les points X(−10; −1) , Y (−16;3)  et  Z (−9; 7). Déterminer les coordonnées du milieu A  du segment  [ XY  ]. Démontrer que le triangle XYZ  est isocèle en  Z .

Soient les points X(−10; −1) , Y (−16;3)  et  Z (−9; 7).

xX + xY  −10 + (−16) −26 = = = −13 2 2 2

xA =

 yA  =

yX + yY  −1 + (3) 2 = = = 1 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [XY  ] est  A (−13;1)

XZ =

√ 

YZ =

2

2

(xZ − xX ) + ( yZ − yX ) =

√ 

√ 

(xZ − xY )2 + ( yZ − yY )2 =

2

2

(−9 − (−10)) + (7 − (−1)) =

√ 

(−9 − (−16))2 + (7 − (3))2 =

√ 

(1)2 + (8)2 =

√ 

(7)2 + (4)2 =

√ 

65

√ 

65

Ainsi  XZ = YZ . Le triangle XYZ  est donc isocèle en Z.

EXERCICE 59

Soient les points X(0; −7), Y (−20; −27), Z(−20; −27) et A(0; −7). Déterminer les coordonnées du milieu F  du segment [XZ ]  et du milieu G  du segment [YA ]. Démontrer que le quadrilatère  XYZA   est un rectangle.

Soient les points X(0; −7), Y (−20; −27), Z(−20; −27) et A(0; −7).

xX + xZ 0 + (−20) −20 = = = −10 2 2 2

xF  =

yX + yZ −7 + (−27) −34 = = = −17 2 2 2

 yF  =

Ainsi le milieu du segment [XZ ] est F(−10; −17)

xG  =  yG  =

xY  + xA −20 + (0) −20 = = = −10 2 2 2

yY  + yA −27 + (−7) −34 = = = −17 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [YA ] est  G (−10; −17)

XZ =

√ 

2

2

(xZ − xX ) + ( yZ − yX ) =

√ 

2

2

(−20 − (0)) + (−27 − (−7)) =

36

√ 

(−20)2 + (−20)2 =

√ 

√ 

800 =  20 2

YA =

√ 

(xA − xY )2 + ( yA − yY )2 =

√ 

2

2

(0 − (−20)) + (−7 − (−27)) =

√ 

√ 

(20)2 + (20)2 =

√ 

800 =  20 2

Comme les diagonales ont même longueur puisque XZ  =  Y A, et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque F = G  on en conclut que  XYZA  est un rectangle.

EXERCICE 60

Soient les points J(5; −2), K(3;14), L(−12;4)  et  M (20;8). Déterminer les coordonnées du milieu  R  du segment  [ JK ]. Démontrer que le quadrilatère  JLKM  est un losange.

Soient les points J(5; −2), K(3;14), L(−12;4)  et M(20;8).

xR  =  yR  =

xJ + xK 5 + (3) 8 = = = 4 2 2 2

yJ + yK 12 −2 + (14) = = = 6 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [JK ] est R(4; 6)

JL =

√ 

LK =

√ 

KM =

√ 

MJ =

2

2

(xL − xJ ) + ( yL − yJ ) =

2

√ 

2

(xK − xL ) + ( yK − yL ) =

2

2

(xJ − xM ) + ( yJ − yM ) =

2

(−12 − (5)) + (4 − (−2)) =

√ 

(xM − xK )2 + ( yM − yK )2 =

√ 

2

√ 

(−17)2 + (6)2 =

(3 − (−12)) + (14 − (4)) =

√ 

√ 

√ 

2

2

(20 − (3))2 + (8 − (14))2 =

√ 

2

2

(5 − (20)) + (−2 − (8)) =

(15)2 + (10)2 =

√ 

√ 

√ 

√ 

325 =  5 13

(17)2 + (−6)2 =

√ 

325 =  5 13

√ 

(−15)2 + (−10)2 =

√ 

325 =  5 13

√ 

√ 

325 = 5 13

Comme JL = LK = KM = MJ, on en conclut que  JLKM  est un losange.

EXERCICE 61

Soient les points T (−3;10), U(1; 0), V (−9; −4) et W (−13;6). Déterminer les coordonnées du milieu  A  du segment  [ T V  ]  et du milieu  B  du segment  [ UW  ]. Démontrer que le quadrilatère  TUVW   est un carré.

Soient les points T (−3;10), U(1; 0), V (−9; −4) et W (−13;6).

37

xA  =

xT  + xV  −3 + (−9) −12 = = = −6 2 2 2 yT  +  yV  10 + (−4) 6 = = = 3 2 2 2

 yA  = Ainsi le milieu du segment [T V  ] est A(−6; 3)

xB  =

xU + xW  1 + (−13) −12 = = = −6 2 2 2

 yB  =

yU + yW  0 + (6)  6 = = = 3 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [UW  ]  est B(−6; 3)

TU =

UV  =

VW  =

2

2

2

(xV  − xU ) + ( yV  − yU ) =

√ 

(xW  − xV )2 + ( yW  − yV )2 =

√ 

2

2

√ 

2

2

√ 

(4)2 + (−10)2 =

√ 

2

2

2

(−3 − (−13)) + (10 − (6)) =

2

2

(−9 − (−3)) + (−4 − (10)) =

(xW  − xU ) + ( yW  − yU ) =

√ 

2

2

√ 

(−10)2 + (−4)2 =

(−13 − (−9))2 + (6 − (−4))2 =

√ 

2

√ 

√ 

(xV  − xT ) + ( yV  −  yT ) =

2

2

(−9 − (1)) + (−4 − (0)) =

√ 

2

2

(1 − (−3)) + (0 − (10)) =

(xT  − xW ) + ( yT  −  yW ) =

√ 

UW  =

√ 

2

(xU − xT ) + ( yU − yT ) =

√ 

WT  =

T V  =

√ 

(10)2 + (4)2 =

(−14)2 + (6)2 =

√ 

√ 

116 = 2 29

√ 

√ 

116 = 2 29

(−6)2 + (−14)2 =

√ 

√ 

116 =  2 29

(−4)2 + (10)2 =

√ 

(−13 − (1)) + (6 − (0)) =

√ 

√ 

√ 

√ 

116 =  2 29

√ 

√ 

232 =  2 58

√ 

√ 

232 =  2 58

Comme T U  =  UV  =  V W  = WT , on en conclut que  TUVW   est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque T V  = UW , on en conclut que  TUVW   est un carré.

EXERCICE 62

Soient les points X(−10;8)  , Y (−30;14) et Z(−23;1). Déterminer les coordonnées du milieu A  du segment  [ XY  ]. Démontrer que le triangle XYZ  est rectangle en Z.

Soient les points X(−10;8)  , Y (−30;14) et Z(−23;1).

xX + xY  −10 + (−30) −40 = = = −20 2 2 2 yX + yY  8 + (14) 22  yA  = = = = 11 2 2 2 Ainsi le milieu du segment [XY  ] est  A (−20;11) xA =

38

XZ =

√ 

√ 

ZY  =

√ 

√ 

XY  =

(xZ − xX )2 + ( yZ − yX )2 =

(xY  − xZ )2 + ( yY  − yZ )2 =

√ 

2

2

(xY  − xX ) + ( yY  − yX ) =

√ 

(−23 − (−10))2 + (1 − (8))2 =

(−30 − (−23))2 + (14 − (1))2 =

√ 

2

2

(−30 − (−10)) + (14 − (8)) =

√ 

(−13)2 + (−7)2 =

√ 

(−7)2 + (13)2 =

√ 

(−20)2 + (6)2 =

218

√ 

218

√ 

√ 

436 =  2 109

XZ2 + ZY 2 = 218 + 218 = 436 or

XY 2 = 436 ainsi

XZ2 + ZY 2 = XY 2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle XYZ   est rectangle en Z. Comme XZ  =  Y Z, on peut en conclure que le triangle est rectangle isocèle en  Z .

EXERCICE 63

Soient les points G(−9; 5), H(−3; −7), I(18;11) et J(−30; −13). Déterminer les coordonnées du milieu  O  du segment  [ GH ]. Démontrer que le quadrilatère  GIHJ  est un losange.

Soient les points G(−9; 5), H(−3; −7), I(18;11) et J(−30; −13).

xO  =

xG + xH −9 + (−3) −12 = = = −6 2 2 2 5 + (−7) −2 yG + yH = = = −1 2 2 2

 yO  =

Ainsi le milieu du segment [GH ] est O(−6; −1)

GI =

IH =

HJ =

√ 

(xI − xG )2 + ( yI − yG )2 =

√ 

2

(xH − xI ) + ( yH − yI ) =

√ 

JG =

2

2

2

(xJ − xH ) + ( yJ − yH ) =

√ 

2

2

√ 

(18 − (−9))2 + (11 − (5))2 =

√ 

2

(−3 − (18)) + (−7 − (11)) =

√ 

(xG − xJ ) + ( yG − yJ ) =

2

√ 

(27)2 + (6)2 =

√ 

(−30 − (−3)) + (−13 − (−7)) =

√ 

√ 

2

(−9 − (−30))2 + (5 − (−13))2 =

39

√ 

765 =  3 85

(−21)2 + (−18)2 =

√ 

2

√ 

√ 

(−27)2 + (−6)2 =

(21)2 + (18)2 =

√ 

765 =  3 85

√ 

√ 

765 =  3 85

√ 

√ 

765 =  3 85

Comme GI = IH = HJ = JG, on en conclut que  GIHJ  est un losange.

EXERCICE 64

Soient les points L(7; −8) , M(−13; −24) et N(−11; −26). Déterminer les coordonnées du milieu  S  du segment  [ LM ]. Démontrer que le triangle  LMN  est rectangle en  N .

Soient les points L(7; −8) , M(−13; −24) et N(−11; −26).

xS  =

xL + xM 7 + (−13) −6 = = = −3 2 2 2

yL + yM  − 8 + (−24)  − 32 = = = −16 2 2 2

 yS  =

Ainsi le milieu du segment [LM ]  est S(−3; −16)

LN =

√ 

2

(xN − xL ) + ( yN − yL ) =

NM =

LM =

2

√ 

2

√ 

2

2

2

(xM − xL ) + ( yM − yL ) =

2

(−11 − (7)) + (−26 − (−8)) =

(xM − xN ) + ( yM − yN ) =

√ 

2

√ 

√ 

(−18)2 + (−18)2 =

2

2

(−13 − (−11)) + (−24 − (−26)) =

√ 

2

2

(−13 − (7)) + (−24 − (−8)) =

√ 

√ 

648 =  18 2

√ 

(−2)2 + (2)2 =

√ 

(−20)2 + (−16)2 =

√ 

√ 

√ 

8 = 2 2

√ 

656 = 4 41

LN2 + NM2 = 648 + 8 =  656 or

LM2 = 656 ainsi

LN2 + NM2 = LM2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle  LMN  est rectangle en N.

EXERCICE 65

Soient les points C(6; 3),  D (−9; 0), E(−12;15) et F(3;18). Déterminer les coordonnées du milieu K   du segment [CE ]  et du milieu L  du segment [DF ]. Démontrer que le quadrilatère  CDEF  est un carré.

Soient les points C(6; 3),  D (−9; 0), E(−12;15)  et F(3;18).

xK  =

xC + xE  6 + (−12) −6 = = = −3 2 2 2

 yK  =

yC + yE 3 + (15) 18 = = = 9 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [CE ] est K(−3; 9)

40

xD + xF −9 + (3) −6 = = = −3 2 2 2

xL  =

yD + yF 0 + (18)  18 = = = 9 2 2 2

 yL  = Ainsi le milieu du segment [DF ]  est L(−3; 9)

CD =

DE =

√ 

(xD − xC )2 + ( yD − yC )2 =

√ 

(xE − xD )2 + ( yE − yD )2 =

√ 

(xF − xE )2 + ( yF − yE )2 =

EF =

FC =

CE =

√ 

2

(−9 − (6))2 + (0 − (3))2 =

2

(xE − xC ) + ( yE − yC ) =

√ 

2

(−15)2 + (−3)2 =

√ 

√ 

√ 

(−12 − (−9))2 + (15 − (0))2 =

(3 − (−12))2 + (18 − (15))2 =

√ 

2

2

√ 

√ 

(xC − xF ) + ( yC − yF ) =

√ 

DF =

√ 

2

(6 − (3)) + (3 − (18)) =

√ 

2

2

(xF − xD ) + ( yF − yD ) =

√ 

(15)2 + (3)2 =

(3)2 + (−15)2 =

2

2

√ 

2

2

√ 

(3 − (−9)) + (18 − (0)) =

√ 

234 =  3 26

(−3)2 + (15)2 =

√ 

(−12 − (6)) + (15 − (3)) =

√ 

√ 

√ 

234 =  3 26

√ 

√ 

234 =  3 26

√ 

(−18)2 + (12)2 =

(12)2 + (18)2 =

√ 

234 =  3 26

√ 

√ 

468 =  6 13

√ 

√ 

468 =  6 13

Comme CD =  DE = EF = FC, on en conclut que   CDEF   est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque CE = DF, on en conclut que  CDEF  est un carré.

EXERCICE 66

Soient les points R(6; −1)  , S(−12;7)  et T (9;30). Déterminer les coordonnées du milieu Y  du segment  [ RS ]. Démontrer que le triangle RST  est isocèle en T .

Soient les points R(6; −1)  , S(−12;7)  et T (9;30).

xY  =

xR + xS 6 + (−12) −6 = = = −3 2 2 2

 yY  =

yR + yS −1 + (7)  6 = = = 3 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [RS ]  est Y (−3; 3)

RT  =

ST  =

√ 

2

2

(xT  − xR ) + ( yT  −  yR ) =

√ 

2

2

(xT  − xS ) + ( yT  −  yS ) =

√ 

2

2

√ 

2

√ 

(9 − (6)) + (30 − (−1)) =

√ 

2

(9 − (−12)) + (30 − (7)) =

41

(3)2 + (31)2 =

√ 

(21)2 + (23)2 =

970

√ 

970

Ainsi  RT  = ST . Le triangle RST  est donc isocèle en T .

EXERCICE 67

Soient les points Y (8; −3) , Z(28; −1) et A(17; −12). Déterminer les coordonnées du milieu F  du segment [YZ ]. Démontrer que le triangle YZA   est rectangle en A.

Soient les points Y (8; −3) , Z(28; −1) et A(17; −12). 36 xY  + xZ  8 + (28) = = = 18 2 2 2

xF  =

yY  + yZ −3 + (−1) −4 = = = −2 2 2 2

 yF  =

Ainsi le milieu du segment [YZ ] est  F (18; −2)

YA =

AZ =

√ 

2

(xA − xY ) + ( yA − yY ) =

√ 

YZ =

2

2

2

(xZ − xA ) + ( yZ − yA ) =

√ 

2

√ 

2

2

√ 

√ 

2

2

√ 

√ 

(17 − (8)) + (−12 − (−3)) =

√ 

(28 − (17)) + (−1 − (−12)) =

2

(xZ − xY ) + ( yZ − yY ) =

√ 

2

2

(28 − (8)) + (−1 − (−3)) =

(9)2 + (−9)2 =

(11)2 + (11)2 =

√ 

(20)2 + (2)2 =

√ 

162 =  9 2

√ 

√ 

242 =  11 2

√ 

404 =  2 101

YA 2 + AZ2 = 162 + 242 =  404 or

YZ 2 = 404 ainsi

YA 2 + AZ2 = YZ 2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle  Y ZA  est rectangle en A.

EXERCICE 68

Soient les points L(6; 5), M(9;23), N(−4;23) et O(−7; 5). Déterminer les coordonnées du milieu  T   du segment  [ LN ]  et du milieu U  du segment  [ MO ]. Démontrer que le quadrilatère  LMNO  est un parallélogramme.

Soient les points L(6; 5), M(9;23), N(−4;23) et O(−7; 5).

xT  =  yT  =

xL + xN  6 + (−4) 2 = = = 1 2 2 2

yL + yN 5 + (23) 28 = = = 14 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [LN ] est T (1;14)

42

xM + xO 9 + (−7) 2 = = = 1 2 2 2

xU  =

yM + yO 23 + (5) 28 = = = 14 2 2 2

 yU  =

Ainsi le milieu du segment [MO ] est  U (1;14) Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque T  = U on en conclut que LMNO est un parallélogramme.

EXERCICE 69

Soient les points J(0; −9), K(4; −17), L(10; −9)  et M(−6; −17). Déterminer les coordonnées du milieu  R  du segment  [ JK ]. Démontrer que le quadrilatère  JLKM  est un losange.

Soient les points J(0; −9), K(4; −17), L(10; −9)  et M(−6; −17).

xR  =  yR  =

0 + (4) 4 xJ + xK = = = 2 2 2 2

yJ + yK −9 + (−17) −26 = = = −13 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [JK ] est R(2; −13)

JL =

LK =

KM =

√ 

2

2

(xL − xJ ) + ( yL − yJ ) =

√ 

2

2

(xK − xL ) + ( yK − yL ) =

√ 

MJ =

2

2

2

2

√ 

2

√ 

(10 − (0)) + (−9 − (−9)) =

√ 

(xM − xK )2 + ( yM − yK )2 =

√ 

√ 

2

(4 − (10)) + (−17 − (−9)) =

(10)2 + (0)2 =

√ 

(xJ − xM ) + ( yJ − yM ) =

(−6 − (4))2 + (−17 − (−17))2 =

√ 

2

2

(0 − (−6)) + (−9 − (−17)) =

√ 

100 =  10

(−6)2 + (−8)2 =

√ 

100 =  10

√ 

(−10)2 + (0)2 =

√ 

(6)2 + (8)2 =

√ 

100 =  10

√ 

100 =  10

Comme JL = LK = KM = MJ, on en conclut que  JLKM  est un losange.

EXERCICE 70

Soient les points P(2; −7), Q(18; −7), R(18;3)  et S(2; 3). Déterminer les coordonnées du milieu X  du segment [PR ]  et du milieu Y   du segment [QS ]. Démontrer que le quadrilatère  PQRS   est un rectangle.

Soient les points P(2; −7), Q(18; −7), R(18;3)  et  S (2; 3).

43

xP + xR 2 + (18) 20 = = = 10 2 2 2

xX  =

yP + yR −7 + (3) −4 = = = −2 2 2 2

 yX =

Ainsi le milieu du segment [PR ] est  X (10; −2)

xQ + xS 18 + (2)  20 = = = 10 2 2 2 yQ + yS −7 + (3) −4  yY  = = = = −2 2 2 2 xY  =

Ainsi le milieu du segment [QS ] est Y (10; −2)

PR =

QS =

√ 

2

2

√ 

2

2

√ 

2

√ 

2

2

√ 

(xR − xP ) + ( yR − yP ) =

√ 

2

(xS − xQ ) + ( yS − yQ ) =

(18 − (2)) + (3 − (−7)) =

(2 − (18)) + (3 − (−7)) =

(16)2 + (10)2 =

√ 

(−16)2 + (10)2 =

√ 

356 =  2 89

√ 

√ 

356 =  2 89

Comme les diagonales ont même longueur puisque PR  =  QS , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque X = Y   on en conclut que  PQRS  est un rectangle.

EXERCICE 71

Soient les points U(−6; 2), V (−20;14), W (−37; −20)  et X(11;36). Déterminer les coordonnées du milieu A   du segment [UV  ]. Démontrer que le quadrilatère   UWVX   est un losange.

Soient les points U(−6; 2), V (−20;14), W (−37; −20)  et X(11;36).

xA  =

xU + xV  −6 + (−20) −26 = = = −13 2 2 2 16 yU + yV  2 + (14) = = = 8 2 2 2

 yA =

Ainsi le milieu du segment [UV  ] est  A (−13;8)

UW  =

√ 

WV  =

√ 

2

2

(xW  − xU ) + ( yW  − yU ) =

VX =

√ 

2

(xV  − xW ) + ( yV  −  yW ) =

√ 

√ 

2

2

2

(−31)2 + (−22)2 =

(−37 − (−6)) + (−20 − (2)) =

√ 

2

√ 

2

(xX − xV ) + ( yX − yV ) =

2

2

(−20 − (−37)) + (14 − (−20)) =

2

2

(11 − (−20)) + (36 − (14)) =

44

√ 

√ 

(17)2 + (34)2 =

(31)2 + (22)2 =

√ 

√ 

√ 

1445 =  17 5

√ 

√ 

1445 =  17 5

√ 

1445 =  17 5

XU =

√ 

√ 

(xU − xX )2 + ( yU − yX )2 =

2

2

(−6 − (11)) + (2 − (36)) =

√ 

√ 

(−17)2 + (−34)2 =

√ 

1445 =  17 5

Comme UW  = WV  = VX = XU, on en conclut que  UWVX  est un losange.

EXERCICE 72

Soient les points F(−4; −5), G(4; −25),  H (40;1) et I(−40; −31). Déterminer les coordonnées du milieu  N  du segment  [ FG ]. Démontrer que le quadrilatère  FHGI  est un losange.

Soient les points F(−4; −5), G(4; −25),  H (40;1) et I(−40; −31).

xN  =

xF + xG 0 −4 + (4) = = = 0 2 2 2

yF + yG −5 + (−25) −30 = = = −15 2 2 2

 yN  =

Ainsi le milieu du segment [FG ] est  N (0; −15)

FH =

HG =

GI =

√ 

(xH − xF )2 + ( yH − yF )2 =

√ 

2

(xG − xH ) + ( yG − yH ) =

√ 

IF =

2

2

√ 

2

√ 

2

√ 

(xF − xI ) + ( yF − yI ) =

(40 − (−4))2 + (1 − (−5))2 =

√ 

2

(xI − xG ) + ( yI − yG ) =

√ 

2

2

(4 − (40)) + (−25 − (1)) =

2

2

2

(44)2 + (6)2 =

√ 

√ 

(−40 − (4)) + (−31 − (−25)) =

2

√ 

√ 

1972 =  2 493

(−36)2 + (−26)2 =

√ 

√ 

√ 

(−4 − (−40)) + (−5 − (−31)) =

(−44)2 + (−6)2 =

√ 

(36)2 + (26)2 =

√ 

1972 =  2 493

√ 

1972 =  2 493

√ 

√ 

1972 =  2 493

Comme FH = HG = GI = IF, on en conclut que  FHGI  est un losange.

EXERCICE 73

Soient les points I(7; 9)  ,  J (−7;27)  et K(−9;25). Déterminer les coordonnées du milieu P  du segment [IJ ]. Démontrer que le triangle IJK  est rectangle en K.

Soient les points I(7; 9)  ,  J (−7;27)  et K(−9;25).

45

xI + xJ 7 + (−7) 0 = = = 0 2 2 2

xP  =

yI + yJ 9 + (27) 36 = = = 18 2 2 2

 yP  = Ainsi le milieu du segment [IJ ]  est P(0;18)

IK =

√ 

2

(xK − xI ) + ( yK − yI ) =

KJ =

IJ =

2

√ 

2

√ 

2

2

2

(xJ − xI ) + ( yJ − yI ) =

2

(−9 − (7)) + (25 − (9)) =

(xJ − xK ) + ( yJ − yK ) =

√ 

2

√ 

2

√ 

(−16)2 + (16)2 =

2

(−7 − (−9)) + (27 − (25)) =

√ 

2

2

(−7 − (7)) + (27 − (9)) =

√ 

√ 

(2)2 + (2)2 =

√ 

(−14)2 + (18)2 =

√ 

512 =  16 2

√ 

√ 

√ 

8 =  2 2

√ 

520 = 2 130

IK2 + KJ2 = 512 + 8 =  520 or

IJ2 = 520 ainsi

IK2 + KJ2 = IJ2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle  IJK  est rectangle en K.

EXERCICE 74

Soient les points K(−6; −5), L(−38;9), M(−24;9) et N(8; −5). Déterminer les coordonnées du milieu S  du segment [KM ]  et du milieu T   du segment  [ LN ]. Démontrer que le quadrilatère  KLMN  est un parallélogramme.

Soient les points K(−6; −5), L(−38;9), M(−24;9) et N(8; −5).

xS  =

xK + xM −6 + (−24) −30 = = = −15 2 2 2

 yS  =

yK + yM −5 + (9)  4 = = = 2 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [KM ]  est  S (−15;2)

xT  =

xL + xN −38 + (8) −30 = = = −15 2 2 2

 yT  =

9 + (−5)  4 yL + yN = = = 2 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [LN ] est T (−15;2) Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque  S = T  on en conclut que  KLMN  est un parallélogramme.

46

EXERCICE 75

Soient les points J(−9; 9), K(−11;7), L(5; −9) et M(7; −7). Déterminer les coordonnées du milieu R   du segment [JL ]  et du milieu S  du segment [KM ]. Démontrer que le quadrilatère  JKLM  est un rectangle.

Soient les points J(−9; 9), K(−11;7), L(5; −9) et M(7; −7).

xJ + xL −9 + (5) −4 = = = −2 2 2 2

xR  =

 yR  =

0 yJ + yL  9 + (−9) = = = 0 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [JL ] est  R (−2; 0)

xS =

xK + xM −11 + (7) −4 = = = −2 2 2 2

 yS  =

yK + yM 7 + (−7)  0 = = = 0 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [KM ]  est  S (−2; 0)

JL =

KM =

√ 

2

2

(xL − xJ ) + ( yL − yJ ) =

√ 

2

√ 

2

2

(5 − (−9)) + (−9 − (9)) =

2

(xM − xK ) + ( yM − yK ) =

√ 

2

√ 

2

(14)2 + (−18)2 =

(7 − (−11)) + (−7 − (7)) =

√ 

√ 

√ 

520 =  2 130

(18)2 + (−14)2 =

√ 

√ 

520 =  2 130

Comme les diagonales ont même longueur puisque JL  =  KM , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque R = S  on en conclut que  JKLM  est un rectangle.

EXERCICE 76

Soient les points G(1; −9), H(4; −16), I(−3; −19)  et J(−6; −12). Déterminer les coordonnées du milieu O  du segment [GI ]   et du milieu P   du segment [HJ ]. Démontrer que le quadrilatère  GHIJ  est un carré.

Soient les points G(1; −9), H(4; −16), I(−3; −19)  et J(−6; −12).

xO  =  yO =

xG + xI  1 + (−3) −2 = = = −1 2 2 2

yG + yI −9 + (−19) −28 = = = −14 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [GI ] est  O (−1; −14)

xH + xJ 4 + (−6) −2 = = = −1 2 2 2 yH + yJ −16 + (−12) −28  yP  = = = = −14 2 2 2 Ainsi le milieu du segment [HJ ] est  P (−1; −14) xP  =

47

GH =

√ 

(xH − xG )2 + ( yH − yG )2 =

√ 

(4 − (1))2 + (−16 − (−9))2 =

√ 

(3)2 + (−7)2 =

HI =

√ 

√ 

√ 

IJ =

√ 

√ 

√ 

(xI − xH )2 + ( yI − yH )2 =

JG =

(xJ − xI )2 + ( yJ − yI )2 =

(−3 − (4))2 + (−19 − (−16))2 =

(−6 − (−3))2 + (−12 − (−19))2 =

√ 

(xG − xJ )2 + ( yG − yJ )2 =

GI =

√ 

2

HJ =

√ 

2

√ 

2

(xI − xG ) + ( yI − yG ) =

2

√ 

2

(−3 − (1)) + (−19 − (−9)) =

(xJ − xH ) + ( yJ − yH ) =

√ 

2

(−3)2 + (7)2 =

√ 

(−4)2 + (−10)2 =

√ 

(−10)2 + (4)2 =

(−6 − (4)) + (−12 − (−16)) =

√ 

58

√ 

58

√ 

(7)2 + (3)2 =

√ 

2

58

(−7)2 + (−3)2 =

(1 − (−6))2 + (−9 − (−12))2 =

2

√ 

58

√ 

√ 

√ 

√ 

116 =  2 29

116 =  2 29

Comme  GH = HI = IJ = JG, on en conclut que  GHIJ  est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque GI = HJ, on en conclut que  GHIJ  est un carré.

EXERCICE 77

Soient les points O(5;10), P(3; 8), Q(−7;18) et R(−5;20). Déterminer les coordonnées du milieu W   du segment  [ OQ ]  et du milieu  X  du segment  [ PR ]. Démontrer que le quadrilatère  OPQR  est un rectangle.

Soient les points O(5;10), P(3; 8), Q(−7;18) et R(−5;20).

xO + xQ 5 + (−7) −2 = = = −1 2 2 2 yO + yQ 10 + (18) 28  yW  = = = = 14 2 2 2 xW  =

Ainsi le milieu du segment [OQ ]  est W (−1;14)

xX  =

xP + xR 3 + (−5) −2 = = = −1 2 2 2

 yX =

yP + yR  8 + (20) 28 = = = 14 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [PR ] est  X (−1;14)

OQ =

√ 

2

2

(xQ − xO ) + ( yQ − yO ) =

√ 

2

2

(−7 − (5)) + (18 − (10)) =

48

√ 

(−12)2 + (8)2 =

√ 

√ 

208 =  4 13

PR =

√ 

(xR − xP )2 + ( yR − yP )2 =

√ 

(−5 − (3))2 + (20 − (8))2 =

√ 

(−8)2 + (12)2 =

√ 

√ 

208 =  4 13

Comme les diagonales ont même longueur puisque OQ  =  PR, et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque W  = X  on en conclut que  OPQR  est un rectangle.

EXERCICE 78

Soient les points P(−5; 6), Q(−16;8), R(−9; −2) et S(2; −4). Déterminer les coordonnées du milieu X  du segment [PR ]  et du milieu Y   du segment [QS ]. Démontrer que le quadrilatère  PQRS  est un parallélogramme.

Soient les points P(−5; 6), Q(−16;8), R(−9; −2) et S(2; −4).

xX  =

xP + xR −5 + (−9) −14 = = = −7 2 2 2

 yX  =

yP + yR  6 + (−2) 4 = = = 2 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [PR ] est  X (−7; 2)

xQ + xS −16 + (2) −14 = = = −7 2 2 2 yQ + yS 8 + (−4) 4  yY  = = = = 2 2 2 2

xY  =

Ainsi le milieu du segment [QS ] est Y (−7; 2) Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque  X = Y   on en conclut que  PQRS  est un parallélogramme.

EXERCICE 79

Soient les points E(−4; 3)  ,  F (14; −13)  et  G (21;13). Déterminer les coordonnées du milieu L  du segment  [ EF ]. Démontrer que le triangle EFG  est isocèle en G.

Soient les points E(−4; 3)  ,  F (14; −13)  et  G (21;13).

xL  =  yL  =

10 xE + xF −4 + (14) = = = 5 2 2 2

yE + yF 3 + (−13) −10 = = = −5 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [EF ] est  L (5; −5)

EG =

√ 

2

2

(xG − xE ) + ( yG − yE ) =

√ 

2

2

(21 − (−4)) + (13 − (3)) =

49

√ 

(25)2 + (10)2 =

√ 

√ 

725 = 5 29

FG =

√ 

(xG − xF )2 + ( yG − yF )2 =

√ 

(21 − (14))2 + (13 − (−13))2 =

√ 

(7)2 + (26)2 =

√ 

√ 

725 = 5 29

Ainsi  EG = FG. Le triangle EFG  est donc isocèle en G.

EXERCICE 80

Soient les points Y (−8; 5), Z(−8; 7), A(−6; 7) et B(−6; 5). Déterminer les coordonnées du milieu G  du segment [YA ]  et du milieu H  du segment  [ ZB ]. Démontrer que le quadrilatère  YZAB  est un carré.

Soient les points Y (−8; 5), Z(−8; 7), A(−6; 7) et B(−6; 5).

xG  =

xY  + xA −8 + (−6) −14 = = = −7 2 2 2

 yG  =

yY  + yA 5 + (7) 12 = = = 6 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [YA ] est  G (−7; 6)

xH  =

xZ + xB −8 + (−6) −14 = = = −7 2 2 2

 yH =

yZ + yB 7 + (5) 12 = = = 6 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [ZB ] est H(−7; 6)

YZ =

√ 

2

ZA =

√ 

2

(xZ − xY ) + ( yZ − yY ) =

AB =

2

BY  =

√ 

2

ZB =

2

2

(xB − xA ) + ( yB − yA ) =

2

2

2

√ 

2

2

2

2

(−6 − (−6)) + (5 − (7)) =

√ 

√ 

√ 

(0)2 + (2)2 =

(−6 − (−8)) + (7 − (7)) =

√ 

√ 

(2)2 + (0)2 =

√ 

√ 

2

√ 

2

√ 

2

2

√ 

(xB − xZ ) + ( yB − yZ ) =

(−6 − (−8)) + (7 − (5)) =

√ 

2

2

(−6 − (−8)) + (5 − (7)) =

4 =  2

(0)2 + (−2)2 =

2

(−8 − (−6)) + (5 − (5)) =

4 = 2

√ 

√ 

(xA − xY ) + ( yA − yY ) =

√ 

2

2

(xY  − xB ) + ( yY  − yB ) =

√ 

2

(−8 − (−8)) + (7 − (5)) =

(xA − xZ ) + ( yA − yZ ) =

√ 

YA =

√ 

2

(−2)2 + (0)2 =

(2)2 + (2)2 =

√ 

4 =  2

4 =  2

√ 

(2)2 + (−2)2 =

√ 

8 =  2 2

√ 

√ 

8 =  2 2

Comme YZ = ZA = AB = BY , on en conclut que   YZAB   est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque YA = ZB, on en conclut que  YZAB  est un carré.

50

EXERCICE 81

Soient les points Z(7; −6) , A(27; −24)  et  B (53;25). Déterminer les coordonnées du milieu G  du segment [ZA ]. Démontrer que le triangle  ZAB  est isocèle en  B .

Soient les points Z(7; −6) , A(27; −24)  et  B (53;25).

xG  =

xZ + xA 7 + (27) 34 = = = 17 2 2 2

yZ + yA −6 + (−24) −30 = = = −15 2 2 2

 yG  =

Ainsi le milieu du segment [ZA ] est G(17; −15)

ZB =

AB =

√ 

2

2

(xB − xZ ) + ( yB − yZ ) =

√ 

√ 

2

2

(53 − (7)) + (25 − (−6)) =

√ 

(46)2 + (31)2 =

√ 

(xB − xA )2 + ( yB − yA )2 =

(53 − (27))2 + (25 − (−24))2 =

√ 

√ 

(26)2 + (49)2 =

3077

√ 

3077

Ainsi  ZB = AB. Le triangle ZAB  est donc isocèle en B.

EXERCICE 82

Soient les points B(−9; −6), C(−11; −6),  D (−10; −10)  et  E (−10; −2). Déterminer les coordonnées du milieu  J  du segment  [ BC ]. Démontrer que le quadrilatère  BDCE  est un losange.

Soient les points B(−9; −6), C(−11; −6),  D (−10; −10)  et  E (−10; −2).

xJ  =

xB + xC −9 + (−11) −20 = = = −10 2 2 2

 yJ =

yB + yC −6 + (−6) −12 = = = −6 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [BC ] est  J (−10; −6)

BD =

√ 

DC =

√ 

2

2

(xD − xB ) + ( yD − yB ) =

CE =

2

2

(xC − xD ) + ( yC − yD ) =

√ 

2

2

√ 

2

2

(−10 − (−9)) + (−10 − (−6)) =

√ 

(xE − xC ) + ( yE − yC ) =

2

√ 

2

(−11 − (−10)) + (−6 − (−10)) =

√ 

2

2

(−10 − (−11)) + (−2 − (−6)) =

51

(−1)2 + (−4)2 =

√ 

(−1)2 + (4)2 =

√ 

(1)2 + (4)2 =

√ 

17

√ 

17

√ 

17

EB =

√ 

(xB − xE )2 + ( yB − yE )2 =

√ 

(−9 − (−10))2 + (−6 − (−2))2 =

√ 

(1)2 + (−4)2 =

√ 

17

Comme BD = DC = CE = EB, on en conclut que  BDCE  est un losange.

EXERCICE 83

Soient les points E(−8; 5), F(−3;10),  G (12; −5) et H(7; −10). Déterminer les coordonnées du milieu  M  du segment  [ EG ]  et du milieu N  du segment  [ FH ]. Démontrer que le quadrilatère  EFGH  est un rectangle.

Soient les points E(−8; 5), F(−3;10), G(12; −5) et H(7; −10).

xM =

xE + xG 4 −8 + (12) = = = 2 2 2 2

 yM  =

yE + yG 5 + (−5) 0 = = = 0 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [EG ] est  M (2; 0)

xF + xH 4 −3 + (7) = = = 2 2 2 2

xN =

yF + yH 10 + (−10) 0 = = = 0 2 2 2

 yN  = Ainsi le milieu du segment [FH ] est N(2; 0)

EG =

FH =

√ 

2

2

(xG − xE ) + ( yG − yE ) =

√ 

(xH − xF )2 + ( yH − yF )2 =

√ 

(12 − (−8)) + (−5 − (5)) =

√ 

√ 

√ 

(7 − (−3))2 + (−10 − (10))2 =

√ 

√ 

√ 

2

√ 

2

(20)2 + (−10)2 =

(10)2 + (−20)2 =

500 =  10 5

500 = 10 5

Comme les diagonales ont même longueur puisque EG  =  FH , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque M = N  on en conclut que  EFGH  est un rectangle.

EXERCICE 84

Soient les points C(2; 8)  ,  D (−6; −8) et E(6; 4). Déterminer les coordonnées du milieu J  du segment  [ CD ]. Démontrer que le triangle CDE  est rectangle en E.

Soient les points C(2; 8)  , D(−6; −8) et E(6; 4).

xJ  =

xC + xD 2 + (−6) −4 = = = −2 2 2 2

 yJ  =

yC + yD 8 + (−8) 0 = = = 0 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [CD ] est  J (−2; 0)

52

CE =

ED =

√ 

(xE − xC )2 + ( yE − yC )2 =

√ 

2

2

(xD − xE ) + ( yD − yE ) =

CD =

√ 

2

√ 

(6 − (2))2 + (4 − (8))2 =

√ 

2

2

(−6 − (6)) + (−8 − (4)) =

2

(xD − xC ) + ( yD − yC ) =

√ 

2

√ 

(4)2 + (−4)2 =

√ 

√ 

32 =  4 2

√ 

2

(−6 − (2)) + (−8 − (8)) =

√ 

(−12)2 + (−12)2 =

√ 

√ 

288 =  12 2

(−8)2 + (−16)2 =

√ 

√ 

320 =  8 5

CE2 + ED2 = 32 + 288 =  320 or

CD2 = 320 ainsi

CE2 + ED2 = CD2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle  CDE  est rectangle en  E .

EXERCICE 85

Soient les points U(9; 7) , V (21; −13)  et  W (25;3). Déterminer les coordonnées du milieu A   du segment [UV  ]. Démontrer que le triangle UVW  est rectangle en W .

Soient les points U(9; 7) , V (21; −13)  et  W (25;3).

xA  =

xU + xV  9 + (21)  30 = = = 15 2 2 2

yU + yV  7 + (−13) −6 = = = −3 2 2 2

 yA  =

Ainsi le milieu du segment [UV  ] est  A (15; −3)

UW  =

WV  =

√ 

2

(xW  − xU ) + ( yW  − yU ) =

√ 

UV  =

2

2

2

√ 

2

√ 

(xV  − xW ) + ( yV  − yW ) =

√ 

2

√ 

(xV  − xU ) + ( yV  −  yU ) =

2

2

(25 − (9)) + (3 − (7)) =

2

2

√ 

(16)2 + (−4)2 =

(21 − (25)) + (−13 − (3)) =

2

2

(21 − (9)) + (−13 − (7)) =

UW 2 + WV 2 = 272 + 272 =  544 or

UV 2 = 544

53

√ 

√ 

(−4)2 + (−16)2 =

√ 

(12)2 + (−20)2 =

√ 

272 = 4 17

√ 

√ 

272 =  4 17

√ 

√ 

544 =  4 34

ainsi

UW 2 + WV 2 = UV 2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle UVW  est rectangle en W . Comme UW  =  V W , on peut en conclure que le triangle est rectangle isocèle en W .

EXERCICE 86

Soient les points E(−10; −7) , F(−16; −5)  et  G (−10;3). Déterminer les coordonnées du milieu L  du segment  [ EF ]. Démontrer que le triangle EFG  est isocèle en G.

Soient les points E(−10; −7) , F(−16; −5)  et  G (−10;3).

xL  =

xE + xF −10 + (−16) −26 = = = −13 2 2 2

 yL  =

yE + yF −7 + (−5) −12 = = = −6 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [EF ] est  L (−13; −6)

EG =

√ 

2

2

√ 

2

2

√ 

2

√ 

2

2

√ 

(xG − xE ) + ( yG − yE ) =

FG =

√ 

2

(xG − xF ) + ( yG − yF ) =

(−10 − (−10)) + (3 − (−7)) =

(−10 − (−16)) + (3 − (−5)) =

(0)2 + (10)2 =

(6)2 + (8)2 =

√ 

100 =  10

√ 

100 =  10

Ainsi  EG = FG. Le triangle EFG  est donc isocèle en G.

EXERCICE 87

Soient les points Y (−5; −4) , Z(−7; −16) et A(−12; −11). Déterminer les coordonnées du milieu F  du segment [YZ ]. Démontrer que le triangle YZA   est rectangle en A.

Soient les points Y (−5; −4) , Z(−7; −16) et A(−12; −11).

xF  =  yF  =

xY  + xZ −5 + (−7) −12 = = = −6 2 2 2

yY  + yZ −4 + (−16) −20 = = = −10 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [YZ ] est  F (−6; −10)

YA =

√ 

2

2

(xA − xY ) + ( yA − yY ) =

√ 

2

2

(−12 − (−5)) + (−11 − (−4)) =

54

√ 

(−7)2 + (−7)2 =

√ 

√ 

98 =  7 2

AZ =

YZ =

√ 

(xZ − xA )2 + ( yZ − yA )2 =

√ 

2

2

(xZ − xY ) + ( yZ − yY ) =

√ 

2

2

(−7 − (−12)) + (−16 − (−11)) =

√ 

2

2

(−7 − (−5)) + (−16 − (−4)) =

√ 

(5)2 + (−5)2 =

√ 

(−2)2 + (−12)2 =

√ 

√ 

50 =  5 2

√ 

√ 

148 =  2 37

YA 2 + AZ2 = 98 + 50 =  148 or

YZ 2 = 148 ainsi

YA 2 + AZ2 = YZ 2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle  Y ZA  est rectangle en A.

EXERCICE 88

Soient les points H(1; −5), I(14; −8), J(5; 1) et K(−8; 4). Déterminer les coordonnées du milieu P  du segment [HJ ]   et du milieu Q   du segment [IK ]. Démontrer que le quadrilatère  HIJK  est un parallélogramme.

Soient les points H(1; −5), I(14; −8), J(5; 1) et K(−8; 4).

xP  =  yP  =

6 xH + xJ  1 + (5) = = = 3 2 2 2

yH + yJ  − 5 + (1) −4 = = = −2 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [HJ ] est  P (3; −2)

xQ =  yQ  =

6 xI + xK  14 + (−8) = = = 3 2 2 2

yI + yK −8 + (4) −4 = = = −2 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [IK ]  est  Q (3; −2) Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque  P = Q  on en conclut que  HIJK  est un parallélogramme.

EXERCICE 89

Soient les points N(3; −8)  ,  O (13;0)  et  P (−4;11). Déterminer les coordonnées du milieu U  du segment  [ NO ]. Démontrer que le triangle NOP  est isocèle en P.

Soient les points N(3; −8)  ,  O (13;0)  et  P (−4;11).

55

xN + xO 3 + (13) 16 = = = 8 2 2 2

xU  =

yN + yO −8 + (0) −8 = = = −4 2 2 2

 yU  =

Ainsi le milieu du segment [NO ]  est  U (8; −4)

NP =

√ 

2

OP =

√ 

2

√ 

2

(xP − xN ) + ( yP − yN ) =

2

(xP − xO ) + ( yP − yO ) =

2

2

(−4 − (3)) + (11 − (−8)) =

√ 

2

2

(−4 − (13)) + (11 − (0)) =

√ 

(−7)2 + (19)2 =

√ 

(−17)2 + (11)2 =

√ 

410

√ 

410

Ainsi  NP = OP. Le triangle NOP  est donc isocèle en P.

EXERCICE 90

Soient les points B(5; 0), C(15; −8),  D (7; −18)  et  E (−3; −10). Déterminer les coordonnées du milieu J   du segment [BD ]  et du milieu K   du segment [CE ]. Démontrer que le quadrilatère  BCDE  est un carré.

Soient les points B(5; 0), C(15; −8),  D (7; −18)  et  E (−3; −10).

xJ =  yJ =

xB + xD 5 + (7) 12 = = = 6 2 2 2

yB + yD 0 + (−18) −18 = = = −9 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [BD ]  est J(6; −9) 15 + (−3) 12 xC + xE = = = 6 2 2 2

xK  =  yK  =

yC + yE −8 + (−10) −18 = = = −9 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [CE ] est K(6; −9)

BC =

√ 

2

2

(xC − xB ) + ( yC − yB ) =

√ 

2

(15 − (5)) + (−8 − (0)) =

CD =

√ 

2

2

√ 

2

DE =

√ 

2

2

√ 

2

(xD − xC ) + ( yD − yC ) =

EB =

(xE − xD ) + ( yE − yD ) =

√ 

2

2

2

√ 

2

(7 − (15)) + (−18 − (−8)) =

(xB − xE ) + ( yB − yE ) =

2

(10)2 + (−8)2 =

2

2

(−8)2 + (−10)2 =

(5 − (−3)) + (0 − (−10)) =

56

√ 

(−10)2 + (8)2 =

√ 

(8)2 + (10)2 =

√ 

164 =  2 41

√ 

(−3 − (7)) + (−10 − (−18)) =

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

164 =  2 41

164 =  2 41

√ 

164 =  2 41

BD =

CE =

√ 

(xD − xB )2 + ( yD − yB )2 =

√ 

2

2

(xE − xC ) + ( yE − yC ) =

√ 

(7 − (5))2 + (−18 − (0))2 =

√ 

2

√ 

2

(−3 − (15)) + (−10 − (−8)) =

(2)2 + (−18)2 =

√ 

√ 

√ 

328 =  2 82

(−18)2 + (−2)2 =

√ 

√ 

328 =  2 82

Comme BC  =  CD  =  DE  =  EB , on en conclut que   BCDE  est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque BD = CE, on en conclut que  BCDE  est un carré.

EXERCICE 91

Soient les points C(−10;1)  ,  D (−24; −11)  et E(−11;2). Déterminer les coordonnées du milieu J  du segment  [ CD ]. Démontrer que le triangle CDE  est rectangle en E.

Soient les points C(−10;1)  ,  D (−24; −11)  et E(−11;2).

xJ  =

xC + xD −10 + (−24) −34 = = = −17 2 2 2

 yJ =

yC + yD 1 + (−11) −10 = = = −5 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [CD ] est  J (−17; −5)

CE =

ED =

√ 

CD =

√ 

√ 

2

2

(xE − xC ) + ( yE − yC ) =

(xD − xE )2 + ( yD − yE )2 =

2

2

(xD − xC ) + ( yD − yC ) =

√ 

2

2

(−11 − (−10)) + (2 − (1)) =

√ 

(−24 − (−11))2 + (−11 − (2))2 =

√ 

2

2

(−24 − (−10)) + (−11 − (1)) =

√ 

(−1)2 + (1)2 =

√ 

√ 

√ 

(−13)2 + (−13)2 =

(−14)2 + (−12)2 =

or

CD2 = 340 ainsi

CE2 + ED2 = CD2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle  CDE  est rectangle en  E .

57

2

√ 

CE2 + ED2 = 2 + 338 = 340

EXERCICE 92

√ 

√ 

338 =  13 2

√ 

340 =  2 85

Soient les points Y (3; 7), Z(−3; −7), A(−17; −1)  et B(−11;13). Déterminer les coordonnées du milieu G  du segment [YA ]  et du milieu H  du segment  [ ZB ]. Démontrer que le quadrilatère  YZAB  est un carré.

Soient les points Y (3; 7),  Z (−3; −7), A(−17; −1)  et  B (−11;13). 3 + (−17) xY  + xA −14 = = = −7 2 2 2

xG  =

yY  + yA 7 + (−1)  6 = = = 3 2 2 2

 yG  = Ainsi le milieu du segment [YA ] est  G (−7; 3)

xZ + xB −3 + (−11) −14 = = = −7 2 2 2

xH  =

6 yZ + yB −7 + (13) = =  =  3 2 2 2

 yH  = Ainsi le milieu du segment [ZB ] est H(−7; 3)

YZ =

ZA =

√ 

2

(xZ − xY ) + ( yZ − yY ) =

√ 

2

2

(xA − xZ ) + ( yA − yZ ) =

√ 

AB =

2

YA =

√ 

2

2

2

(xA − xY ) + ( yA − yY ) =

√ 

2

2

(xB − xZ ) + ( yB − yZ ) =

2

(−3 − (3)) + (−7 − (7)) =

2

√ 

√ 

(−6)2 + (−14)2 =

2

2

√ 

2

2

√ 

√ 

2

2

√ 

(−17 − (3)) + (−1 − (7)) =

√ 

2

2

√ 

(6)2 + (14)2 =

(14)2 + (−6)2 =

(−11 − (−3)) + (13 − (−7)) =

√ 

232 =  2 58

√ 

√ 

√ 

√ 

(−14)2 + (6)2 =

2

(3 − (−11)) + (7 − (13)) =

√ 

√ 

(−11 − (−17)) + (13 − (−1)) =

(xY  − xB ) + ( yY  − yB ) =

√ 

2

(−17 − (−3)) + (−1 − (−7)) =

2

2

√ 

√ 

(xB − xA ) + ( yB − yA ) =

BY  =

ZB =

2

232 =  2 58

232 =  2 58

√ 

√ 

232 = 2 58

(−20)2 + (−8)2 =

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

(−8)2 + (20)2 =

464 = 4 29

464 =  4 29

Comme YZ = ZA = AB = BY , on en conclut que   YZAB   est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque YA = ZB, on en conclut que  YZAB  est un carré.

EXERCICE 93

Soient les points C(−2; 4)  , D(2; −14) et E(9; −3). Déterminer les coordonnées du milieu J  du segment  [ CD ]. Démontrer que le triangle CDE  est isocèle en E.

58

Soient les points C(−2; 4)  , D(2; −14) et E(9; −3).

xC + xD 0 −2 + (2) = = = 0 2 2 2

xJ  =  yJ =

yC + yD 4 + (−14) −10 = = = −5 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [CD ] est  J (0; −5)

CE =

√ 

DE =

√ 

2

2

(xE − xC ) + ( yE − yC ) =

2

2

√ 

(xE − xD) + ( yE − yD ) =

2

√ 

2

(9 − (−2)) + (−3 − (4)) =

√ 

2

2

(9 − (2)) + (−3 − (−14)) =

(11)2 + (−7)2 =

√ 

√ 

√ 

(7)2 + (11)2 =

170

170

Ainsi  CE = DE. Le triangle CDE  est donc isocèle en E.

EXERCICE 94

Soient les points S(−5; 3),  T (−11; −9), U(−23; −3) et V (−17;9). Déterminer les coordonnées du milieu A  du segment [SU ]  et du milieu B  du segment [T V  ]. Démontrer que le quadrilatère  STUV   est un carré.

Soient les points S(−5; 3),  T (−11; −9), U(−23; −3) et V (−17;9).

xS + xU −5 + (−23) −28 = = = −14 2 2 2

xA =

 yA  =

yS + yU 3 + (−3) 0 = = = 0 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [SU ] est  A (−14;0)

xB  =

xT  + xV  −11 + (−17) −28 = = = −14 2 2 2

 yB  =

yT  +  yV  −9 + (9) 0 = = = 0 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [T V  ] est B(−14;0)

√ 

√ 

√ 

√ 

ST  =

TU =

UV  =

(xT  − xS )2 + ( yT  −  yS )2 =

(xU − xT )2 + ( yU − yT )2 =

√ 

2

2

(−11 − (−5))2 + (−9 − (3))2 =

(xV  − xU ) + ( yV  − yU ) =

√ 

(−6)2 + (−12)2 =

(−23 − (−11))2 + (−3 − (−9))2 =

√ 

√ 

√ 

2

2

(−17 − (−23)) + (9 − (−3)) =

59

√ 

(−12)2 + (6)2 =

(6)2 + (12)2 =

√ 

180 =  6 5

√ 

√ 

180 = 6 5

√ 

√ 

180 =  6 5

VS =

√ 

(xS − xV )2 + ( yS − yV )2 =

√ 

SU =

√ 

2

2

√ 

T V  =

√ 

2

2

√ 

(xU − xS ) + ( yU − yS ) =

2

2

(−23 − (−5)) + (−3 − (3)) =

(xV  − xT ) + ( yV  − yT ) =

√ 

(−5 − (−17))2 + (3 − (9))2 =

2

(12)2 + (−6)2 =

√ 

√ 

2

(−17 − (−11)) + (9 − (−9)) =

(−18)2 + (−6)2 =

√ 

(−6)2 + (18)2 =

√ 

180 =  6 5

√ 

√ 

√ 

√ 

360 =  6 10

360 =  6 10

Comme ST  = T U  =  UV  = VS, on en conclut que   STUV   est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque SU = T V , on en conclut que  STUV   est un carré.

EXERCICE 95

Soient les points H(6; −7), I(19; −14), J(12; −27)  et K(−1; −20). Déterminer les coordonnées du milieu P  du segment [HJ ]   et du milieu Q   du segment [IK ]. Démontrer que le quadrilatère  HIJK  est un carré.

Soient les points H(6; −7), I(19; −14),  J (12; −27)  et K(−1; −20).

xP  =  yP  =

xH + xJ 6 + (12) 18 = = = 9 2 2 2

yH + yJ −7 + (−27) −34 = = = −17 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [HJ ] est  P (9; −17)

xI + xK 19 + (−1)  18 = = = 9 2 2 2

xQ =  yQ  =

yI + yK −14 + (−20) −34 = = = −17 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [IK ]  est  Q (9; −17)

HI =

√ 

(xI − xH )2 + ( yI − yH )2 =

IJ =

√ 

JK =

√ 

2

2

(xJ − xI ) + ( yJ − yI ) =

KH =

2

2

2

(19 − (6))2 + (−14 − (−7))2 =

√ 

2

2

(12 − (19)) + (−27 − (−14)) =

(xK − xJ ) + ( yK − yJ ) =

√ 

√ 

√ 

2

2

√ 

2

(xH − xK ) + ( yH − yK ) =

2

218

2

(−7)2 + (−13)2 =

√ 

√ 

√ 

(6 − (−1)) + (−7 − (−20)) =

60

√ 

√ 

(−1 − (12)) + (−20 − (−27)) =

√ 

(13)2 + (−7)2 =

(−13)2 + (7)2 =

√ 

(7)2 + (13)2 =

218

218

√ 

218

HJ =

IK =

√ 

(xJ − xH )2 + ( yJ − yH )2 =

√ 

2

2

(xK − xI ) + ( yK − yI ) =

√ 

2

2

√ 

2

√ 

(12 − (6)) + (−27 − (−7)) =

√ 

2

(−1 − (19)) + (−20 − (−14)) =

(6)2 + (−20)2 =

√ 

√ 

436 =  2 109

(−20)2 + (−6)2 =

√ 

√ 

436 =  2 109

Comme  HI = IJ = JK = KH, on en conclut que  HIJK  est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque HJ = IK, on en conclut que  HIJK  est un carré.

EXERCICE 96

Soient les points M(−3; 0)  ,  N (7; 8) et O(7; 0). Déterminer les coordonnées du milieu T   du segment [MN ]. Démontrer que le triangle MNO  est rectangle en O.

Soient les points M(−3; 0)  ,  N (7; 8) et O(7; 0).

xT  =

xM + xN −3 + (7)  4 = = = 2 2 2 2

 yT  =

yM + yN  0 + (8) 8 = = = 4 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [MN ] est  T (2; 4)

MO =

√ 

2

(xO − xM) + ( yO − yM ) =

ON =

MN =

2

√ 

√ 

√ 

(xN − xO )2 + ( yN − yO )2 =

2

2

(xN − xM ) + ( yN − yM ) =

(7 − (−3)) + (0 − (0)) =

√ 

√ 

√ 

2

2

(7 − (7))2 + (8 − (0))2 =

√ 

2

2

(7 − (−3)) + (8 − (0)) =

(10)2 + (0)2 =

√ 

100 =  10

(0)2 + (8)2 =

√ 

(10)2 + (8)2 =

√ 

√ 

64 =  8

√ 

164 =  2 41

MO2 + ON2 = 100 + 64 =  164 or

MN2 = 164 ainsi

MO2 + ON2 = MN2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle  MNO  est rectangle en O.

EXERCICE 97

Soient les points M(8; 9), N(34;48), O(26;29) et P(0; −10). Déterminer les coordonnées du milieu  U  du segment  [ MO ]  et du milieu  V  du segment  [ NP ]. Démontrer que le quadrilatère  MNOP   est un parallélogramme.

61

Soient les points M(8; 9), N(34;48), O(26;29) et P(0; −10).

xU  =

xM + xO 8 + (26) 34 = = = 17 2 2 2

 yU  =

yM + yO 9 + (29) 38 = = = 19 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [MO ] est  U (17;19)

xN + xP 34 + (0) 34 = = = 17 2 2 2

xV  =  yV  =

yN + yP 48 + (−10) 38 = = = 19 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [NP ]  est V (17;19) Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque U = V   on en conclut que MNOP  est un parallélogramme.

EXERCICE 98

Soient les points T (3; 0) , U(−11; −6)  et V (−1; −10). Déterminer les coordonnées du milieu A  du segment  [ T U ]. Démontrer que le triangle  T UV   est rectangle en  V .

Soient les points T (3; 0) , U(−11; −6)  et V (−1; −10).

xA =

3 + (−11) −8 xT  + xU = = = −4 2 2 2

 yA  =

yT  +  yU 0 + (−6) −6 = = = −3 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [T U ]  est A(−4; −3)

T V  =

VU =

√ 

2

2

(xV  − xT ) + ( yV  − yT ) =

√ 

TU =

(xU − xV )2 + ( yU − yV )2 =

√ 

2

2

√ 

2

2

(−1 − (3)) + (−10 − (0)) =

√ 

(−4)2 + (−10)2 =

√ 

(xU − xT ) + ( yU − yT ) =

(−11 − (−1))2 + (−6 − (−10))2 =

√ 

2

2

(−11 − (3)) + (−6 − (0)) =

√ 

√ 

√ 

(−10)2 + (4)2 =

(−14)2 + (−6)2 =

√ 

116 = 2 29

√ 

√ 

116 =  2 29

√ 

√ 

232 =  2 58

T V 2 + VU2 = 116 + 116 =  232 or

T U2 = 232 ainsi

T V 2 + VU2 = T U2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle T UV  est rectangle en V . Comme T V  =  UV , on peut en conclure que le triangle est rectangle isocèle en  V .

62

EXERCICE 99

Soient les points U(9; −2), V (−4; −15),  W (−5; −14) et X(8; −1). Déterminer les coordonnées du milieu  A  du segment  [ UW  ]  et du milieu  B  du segment  [ VX ]. Démontrer que le quadrilatère  UVWX  est un rectangle.

Soient les points U(9; −2), V (−4; −15),  W (−5; −14) et X(8; −1).

xU + xW  9 + (−5) 4 = = = 2 2 2 2

xA  =

yU + yW  −2 + (−14) −16 = = = −8 2 2 2

 yA  =

Ainsi le milieu du segment [UW  ]  est A(2; −8)

xV  + xX 4 −4 + (8) = = = 2 2 2 2

xB  =  yB  =

yV  +  yX −15 + (−1) −16 = = = −8 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [VX ]  est  B (2; −8)

UW  =

√ 

VX =

(xW  − xU ) + ( yW  − yU ) =

√ 

√ 

√ 

2

2

2

2

(xX − xV ) + ( yX − yV ) =

2

2

(−5 − (9)) + (−14 − (−2)) =

2

2

(8 − (−4)) + (−1 − (−15)) =

√ 

(−14)2 + (−12)2 =

√ 

(12)2 + (14)2 =

√ 

√ 

√ 

340 = 2 85

√ 

340 =  2 85

Comme les diagonales ont même longueur puisque UW  =  V X, et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque A = B  on en conclut que  UVWX   est un rectangle.

EXERCICE 100

Soient les points C(1; −5)  , D(7; −17) et E(16; −5). Déterminer les coordonnées du milieu J  du segment  [ CD ]. Démontrer que le triangle CDE  est isocèle en E.

Soient les points C(1; −5)  , D(7; −17) et E(16; −5).

xJ =  yJ  =

xC + xD 1 + (7) 8 = = = 4 2 2 2

yC + yD  − 5 + (−17)  − 22 = = = −11 2 2 2

Ainsi le milieu du segment [CD ] est  J (4; −11)

CE =

√ 

2

2

(xE − xC ) + ( yE − yC ) =

√ 

2

2

(16 − (1)) + (−5 − (−5)) =

63

√ 

(15)2 + (0)2 =

√ 

225 = 15