Geometrie
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Description : Exercices Corrigés sur la Géométrie Plane avec les coordonnées cartésiennes...
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Géométrie P lane 2015
EXERCICE 1
Soient les points Z(0; −8), A(20; −26), B(46;23) et C(−26; −57). Déterminer les coordonnées du milieu H du segment [ZA ]. Démontrer que le quadrilatère ZBAC est un losange.
Soient les points Z(0; −8), A(20; −26), B(46;23) et C(−26; −57).
xH = yH =
xZ + xA 0 + (20) 20 = = = 10 2 2 2
yZ + yA −8 + (−26) −34 = = = −17 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [ZA ] est H(10; −17)
ZB =
BA =
AC =
√
2
2
(xB − xZ ) + ( yB − yZ ) =
√
2
2
(xA − xB ) + ( yA − yB ) =
√
2
2
(xC − xA ) + ( yC − yA ) =
CZ =
√
2
2
√
2
√
2
√
(46 − (0)) + (23 − (−8)) =
√
2
(20 − (46)) + (−26 − (23)) =
√
(xZ − xC ) + ( yZ − yC ) =
2
(46)2 + (31)2 =
(−26 − (20)) + (−57 − (−26)) =
√
√
2
√
2
(0 − (−26)) + (−8 − (−57)) =
3077
(−26)2 + (−49)2 =
2
2
√
√
3077
(−46)2 + (−31)2 =
(26)2 + (49)2 =
√
3077
√
3077
Comme ZB = BA = AC = CZ, on en conclut que ZBAC est un losange.
EXERCICE 2
Soient les points F(2; 8), G(3; −11), H (−16; −12) et I(−17;7). Déterminer les coordonnées du milieu N du segment [FH ] et du milieu O du segment [GI ]. Démontrer que le quadrilatère FGHI est un carré.
Soient les points F(2; 8), G(3; −11), H (−16; −12) et I(−17;7).
xN =
xF + xH 2 + (−16) − 14 = = = −7 2 2 2
yN =
yF + yH 8 + (−12) −4 = = = −2 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [FH ] est N(−7; −2)
1
xO =
xG + xI 3 + (−17) −14 = = = −7 2 2 2
yO =
yG + yI −11 + (7) −4 = = = −2 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [GI ] est O (−7; −2)
FG =
GH =
√
√
√
GI =
(xG − xF ) + ( yG − yF ) =
2
2
(xI − xH ) + ( yI − yH ) =
√
2
(xH − xF ) + ( yH − yF ) =
√
2
2
(xI − xG ) + ( yI − yG ) =
(1)2 + (−19)2 =
(3 − (2)) + (−11 − (8)) =
√
2
2
(−17 − (−16)) + (7 − (−12)) =
2
2
√
2
√
√
2
2
(−16 − (2)) + (−12 − (8)) =
√
2
2
(−19)2 + (−1)2 =
√
(−1)2 + (19)2 =
√
√
(−18)2 + (−20)2 =
√
√
(−17 − (3)) + (7 − (−11)) =
362
(19)2 + (1)2 =
2
(2 − (−17)) + (8 − (7)) =
2
√
√
(−16 − (3))2 + (−12 − (−11))2 =
(xF − xI ) + ( yF − yI ) =
2
2
√
(xH − xG )2 + ( yH − yG )2 =
IF =
√
2
√
HI =
FH =
2
√
(−20)2 + (18)2 =
√
362
√
362
362
√
724 = 2 181
√
√
724 = 2 181
Comme FG = GH = HI = IF, on en conclut que FGHI est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque FH = GI, on en conclut que FGHI est un carré.
EXERCICE 3
Soient les points D(−2; −4), E(−15; −2), F(−14;2) et G (−1; 0). Déterminer les coordonnées du milieu L du segment [DF ] et du milieu M du segment [ EG ]. Démontrer que le quadrilatère DEFG est un parallélogramme.
Soient les points D(−2; −4), E(−15; −2), F(−14;2) et G (−1; 0).
xL =
xD + xF −2 + (−14) −16 = = = −8 2 2 2
yL =
yD + yF −4 + (2) −2 = = = −1 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [DF ] est L(−8; −1)
xM =
xE + xG −15 + (−1) −16 = = = −8 2 2 2
yM =
yE + yG −2 + (0) −2 = = = −1 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [EG ] est M (−8; −1)
2
xO =
xG + xI 3 + (−17) −14 = = = −7 2 2 2
yO =
yG + yI −11 + (7) −4 = = = −2 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [GI ] est O (−7; −2)
FG =
GH =
√
√
√
GI =
(xG − xF ) + ( yG − yF ) =
2
2
(xI − xH ) + ( yI − yH ) =
√
2
(xH − xF ) + ( yH − yF ) =
√
2
2
(xI − xG ) + ( yI − yG ) =
(1)2 + (−19)2 =
(3 − (2)) + (−11 − (8)) =
√
2
2
(−17 − (−16)) + (7 − (−12)) =
2
2
√
2
√
√
2
2
(−16 − (2)) + (−12 − (8)) =
√
2
2
(−19)2 + (−1)2 =
√
(−1)2 + (19)2 =
√
√
(−18)2 + (−20)2 =
√
√
(−17 − (3)) + (7 − (−11)) =
362
(19)2 + (1)2 =
2
(2 − (−17)) + (8 − (7)) =
2
√
√
(−16 − (3))2 + (−12 − (−11))2 =
(xF − xI ) + ( yF − yI ) =
2
2
√
(xH − xG )2 + ( yH − yG )2 =
IF =
√
2
√
HI =
FH =
2
√
(−20)2 + (18)2 =
√
362
√
362
362
√
724 = 2 181
√
√
724 = 2 181
Comme FG = GH = HI = IF, on en conclut que FGHI est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque FH = GI, on en conclut que FGHI est un carré.
EXERCICE 3
Soient les points D(−2; −4), E(−15; −2), F(−14;2) et G (−1; 0). Déterminer les coordonnées du milieu L du segment [DF ] et du milieu M du segment [ EG ]. Démontrer que le quadrilatère DEFG est un parallélogramme.
Soient les points D(−2; −4), E(−15; −2), F(−14;2) et G (−1; 0).
xL =
xD + xF −2 + (−14) −16 = = = −8 2 2 2
yL =
yD + yF −4 + (2) −2 = = = −1 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [DF ] est L(−8; −1)
xM =
xE + xG −15 + (−1) −16 = = = −8 2 2 2
yM =
yE + yG −2 + (0) −2 = = = −1 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [EG ] est M (−8; −1)
2
Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque L = M on en conclut que DEFG est un parallélogramme.
EXERCICE 4
Soient les points R(−8; −8), S (−17; −1), T (−10;8) et U (−1; 1). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [RT ] ] et du milieu B du segment [SU ]. Démontrer que le quadrilatère RSTU est un carré.
Soient les points R(−8; −8), S (−17; −1), T (−10;8) et U(−1; 1).
xA =
xR + xT −8 + (−10) −18 = = = −9 2 2 2
yA =
yR + yT 0 −8 + (8) = = = 0 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [RT ] ] est A(−9; 0)
xB =
xS + xU −17 + (−1) −18 = = = −9 2 2 2
yB =
yS + yU 0 −1 + (1) = = = 0 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [SU ] est B (−9; 0)
RS =
√
ST =
TU =
√
√
SU =
2
(xS − xR ) + ( yS − yR ) =
√
UR =
RT = =
2
2
(xT − xS ) + ( yT − yS ) =
2
2
√
2
2
(xR − xU ) + ( yR − yU ) =
2
2
2
√
2
2
2
(−1 − (−10)) + (1 − (8)) =
√
2
2
(−8 − (−1)) + (−8 − (1)) =
√
(xU − xS )2 + ( yU − yS )2 =
2
√
(−10 − (−17)) + (8 − (−1)) =
(xU − xT ) + ( yU − yT ) =
√
2
(−17 − (−8)) + (−1 − (−8)) =
2
(xT − xR ) + ( yT − yR ) =
√
√
2
2
(−10 − (−8)) + (8 − (−8)) =
√
(−9)2 + (7)2 =
√
√
(9)2 + (−7)2 =
√
√
√
130
(−7)2 + (−9)2 =
(16)2 + (2)2 =
130
√
130
√
√
√
√
(−2)2 + (16)2 =
√
130
(7)2 + (9)2 =
√
(−1 − (−17))2 + (1 − (−1))2 =
√
260 = 2 65
260 = 2 65
Comme RS = ST = T U = UR, on en conclut que RSTU est un losang losange. e. et comme comme les diagonale diagonaless ont ont même même longueur puisque RT = SU, on en conclut que RSTU est un carré.
3
EXERCICE 5
Soient les points I(8; −1) , J (4;15) et K(4; −1). Déterminer les coordonnées du milieu P du segment [IJ ]. Démontrer que le triangle IJK est rectangle en K.
Soient les points I(8; −1) , J (4;15) et K(4; −1).
xI + xJ 8 + (4) 12 = = = 6 2 2 2
xP = yP =
yI + yJ 14 −1 + (15) = = = 7 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [IJ ] est P(6; 7)
IK =
KJ =
IJ =
√
2
2
(xK − xI ) + ( yK − yI ) =
√
(xJ − xK )2 + ( yJ − yK )2 =
√
(xJ − xI )2 + ( yJ − yI )2 =
√
2
2
(4 − (8)) + (−1 − (−1)) =
√
(4 − (4))2 + (15 − (−1))2 =
√
(4 − (8))2 + (15 − (−1))2 =
√
(−4)2 + (0)2 =
√
(0)2 + (16)2 =
√
(−4)2 + (16)2 =
√
16 = 4
√
256 = 16
√
√
272 = 4 17
IK2 + KJ2 = 16 + 256 = 272 or
IJ2 = 272 ainsi
IK2 + KJ2 = IJ2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IJK est rectangle en K.
EXERCICE 6
Soient les points N(−6; −3), O(−16; −13), P(−22; −7) et Q(−12;3). Déterminer les coordonnées du milieu V du segment [ NP ] et du milieu W du segment [ OQ ]. Démontrer que le quadrilatère NOPQ est un rectangle.
Soient les points N(−6; −3), O(−16; −13), P(−22; −7) et Q(−12;3).
xV =
xN + xP −6 + (−22) −28 = = = −14 2 2 2
yV =
yN + yP −3 + (−7) −10 = = = −5 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [NP ] est V (−14; −5)
4
xO + xQ −16 + (−12) −28 = = = −14 2 2 2 yO + yQ −13 + (3) − 10 yW = = = = −5 2 2 2
xW =
Ainsi le milieu du segment [OQ ] est W (−14; −5)
NP =
√
(xP − xN )2 + ( yP − yN )2 =
OQ =
√
2
√
(−22 − (−6))2 + (−7 − (−3))2 =
√
2
(xQ − xO ) + ( yQ − yO ) =
2
√
(−16)2 + (−4)2 =
2
(−12 − (−16)) + (3 − (−13)) =
√
(4)2 + (16)2 =
√
√
272 = 4 17
√
√
272 = 4 17
Comme les diagonales ont même longueur puisque NP = OQ , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque V = W on en conclut que NOPQ est un rectangle.
EXERCICE 7
Soient les points K(3; 6) , L(21; −4) et M(7;10). Déterminer les coordonnées du milieu R du segment [ KL ]. Démontrer que le triangle KLM est rectangle en M .
Soient les points K(3; 6) , L(21; −4) et M(7;10).
xR =
xK + xL 3 + (21) 24 = = = 12 2 2 2
yR =
yK + yL 6 + (−4) 2 = = = 1 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [KL ] est R(12;1)
KM =
ML =
√
KL =
√
√
2
2
(xM − xK ) + ( yM − yK ) =
2
2
(xL − xM ) + ( yL − yM ) =
2
2
(xL − xK ) + ( yL − yK ) =
√
2
2
(7 − (3)) + (10 − (6)) =
√
2
2
(21 − (7)) + (−4 − (10)) =
√
2
2
(21 − (3)) + (−4 − (6)) =
√
(4)2 + (4)2 =
√
√
(18)2 + (−10)2 =
or
KL2 = 424 ainsi
KM2 + ML2 = KL2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle KLM est rectangle en M.
√
32 = 4 2
(14)2 + (−14)2 =
KM2 + ML2 = 32 + 392 = 424
5
√
√
√
392 = 14 2
√
√
424 = 2 106
EXERCICE 8
Soient les points C(1; 1) , D (−13; −3) et E(−4; −8). Déterminer les coordonnées du milieu J du segment [ CD ]. Démontrer que le triangle CDE est rectangle en E.
Soient les points C(1; 1) , D(−13; −3) et E(−4; −8).
xJ =
xC + xD 1 + (−13) −12 = = = −6 2 2 2
yJ =
1 + (−3) −2 yC + yD = = = −1 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [CD ] est J (−6; −1)
CE =
ED =
CD =
√
2
2
(xE − xC ) + ( yE − yC ) =
√
2
2
(xD − xE ) + ( yD − yE ) =
√
(xD − xC )2 + ( yD − yC )2 =
√
2
√
2
(−5)2 + (−9)2 =
(−4 − (1)) + (−8 − (1)) =
√
2
2
(−13 − (−4)) + (−3 − (−8)) =
√
(−13 − (1))2 + (−3 − (1))2 =
√
√
106
√
(−9)2 + (5)2 =
(−14)2 + (−4)2 =
√
√
106
√
212 = 2 53
CE2 + ED2 = 106 + 106 = 212 or
CD2 = 212 ainsi
CE2 + ED2 = CD2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CDE est rectangle en E. Comme CE = DE , on peut en conclure que le triangle est rectangle isocèle en E .
EXERCICE 9
Soient les points S(−10; −5), T (−14; −5), U (−14;11) et V (−10;11). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [SU ] et du milieu B du segment [T V ]. Démontrer que le quadrilatère STUV est un rectangle.
Soient les points S(−10; −5), T (−14; −5), U (−14;11) et V (−10;11).
xA =
xS + xU −10 + (−14) −24 = = = −12 2 2 2
yA =
yS + yU 6 −5 + (11) = = = 3 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [SU ] est A (−12;3)
6
xT + xV −14 + (−10) −24 = = = −12 2 2 2
xB =
yT + yV −5 + (11) 6 = = = 3 2 2 2
yB = Ainsi le milieu du segment [T V ] est B(−12;3)
SU =
√
T V =
2
2
(xU − xS ) + ( yU − yS ) =
√
2
√
2
(xV − xT ) + ( yV − yT ) =
2
2
(−14 − (−10)) + (11 − (−5)) =
√
2
√
2
(−10 − (−14)) + (11 − (−5)) =
(−4)2 + (16)2 =
√
(4)2 + (16)2 =
√
√
272 = 4 17
√
√
272 = 4 17
Comme les diagonales ont même longueur puisque SU = T V , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque A = B on en conclut que STUV est un rectangle.
EXERCICE 10
Soient les points T (8; 9), U(−2; −1), V (8; −11) et W (18; −1). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [ T V ] et du milieu B du segment [ UW ]. Démontrer que le quadrilatère TUVW est un rectangle.
Soient les points T (8; 9), U(−2; −1), V (8; −11) et W (18; −1).
xT + xV 8 + (8) 16 = = = 8 2 2 2
xA = yA =
yT + yV 9 + (−11) −2 = = = −1 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [T V ] est A(8; −1)
xB = yB =
xU + xW −2 + (18) 16 = = = 8 2 2 2
yU + yW −1 + (−1) −2 = = = −1 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [UW ] est B(8; −1)
T V =
UW =
√
2
2
(xV − xT ) + ( yV − yT ) =
√
2
2
√
(xW − xU ) + ( yW − yU ) =
2
2
(8 − (8)) + (−11 − (9)) =
√
2
√
(0)2 + (−20)2 =
2
(18 − (−2)) + (−1 − (−1)) =
√
√
(20)2 + (0)2 =
400 = 20
√
400 = 20
Comme les diagonales ont même longueur puisque T V = UW , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque A = B on en conclut que TUVW est un rectangle.
7
EXERCICE 11
Soient les points P(−9; −2), Q(−15; −22), R(28; −24) et S(−52;0). Déterminer les coordonnées du milieu X du segment [ PQ ]. Démontrer que le quadrilatère PRQS est un losange.
Soient les points P(−9; −2), Q(−15; −22), R(28; −24) et S(−52;0).
xP + xQ −9 + (−15) −24 = = = −12 2 2 2 yP + yQ −2 + (−22) − 24 yX = = = = −12 2 2 2 xX =
Ainsi le milieu du segment [PQ ] est X(−12; −12)
2
2
√
RQ =
√
2
2
√
QS =
√
2
2
√
PR =
√
(xR − xP ) + ( yR − yP ) =
(xQ − xR ) + ( yQ − yR ) =
SP =
(xS − xQ ) + ( yS − yQ ) =
√
2
2
2
(28 − (−9)) + (−24 − (−2)) =
2
√
(37)2 + (−22)2 =
2
(−15 − (28)) + (−22 − (−24)) =
2
(xP − xS ) + ( yP − yS ) =
2
2
(−52 − (−15)) + (0 − (−22)) =
√
2
2
(−9 − (−52)) + (−2 − (0)) =
√
1853
√
(−43)2 + (2)2 =
√
(−37)2 + (22)2 =
√
√
√
(43)2 + (−2)2 =
1853
1853
√
1853
Comme PR = RQ = QS = SP, on en conclut que PRQS est un losange.
EXERCICE 12
Soient les points E(9; 3), F(10; −2), G(9; −3) et H(8; 2). Détermine Déterminerr les coordonnées coordonnées du milieu M du segment [ EG ] et du milieu N du segment [ FH ]. Démontrer que le quadrilatère EFGH est un parallélogramme.
Soient les points E(9; 3), F(10; −2), G(9; −3) et H(8; 2).
xM =
xE + xG 9 + (9) 18 = = = 9 2 2 2
yM =
yE + yG 3 + (−3) 0 = = = 0 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [EG ] est M (9; 0)
xN =
xF + xH 10 + (8) 18 = = = 9 2 2 2
yN =
yF + yH 0 −2 + (2) = = = 0 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [FH ] est N(9; 0)
8
Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque M = N on en conclut que EFGH est un parallélogramme.
EXERCICE 13
Soient les points A(2; −1) , B(−6; −1) et C(−2; 7). Déterminer les coordonnées du milieu H du segment [ AB ]. Démontrer que le triangle ABC est isocèle en C .
Soient les points A(2; −1) , B(−6; −1) et C(−2; 7).
xH = yH =
xA + xB 2 + (−6) −4 = = = −2 2 2 2
yA + yB −1 + (−1) −2 = = = −1 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [AB ] est H(−2; −1)
AC =
√
2
2
BC =
√
2
2
(xC − xA ) + ( yC − yA ) =
(xC − xB ) + ( yC − yB ) =
√
2
2
(−2 − (2)) + (7 − (−1)) =
√
2
√
√
√
√
√
(−4)2 + (8)2 =
2
(−2 − (−6)) + (7 − (−1)) =
√
(4)2 + (8)2 =
80 = 4 5
80 = 4 5
Ainsi AC = BC. Le triangle ABC est donc isocèle en C .
EXERCICE 14
Soient les points W (− (−7;10), X(−23; −2), Y (3; −20) et Z (−33;28). Détermine Déterminerr les coordonnées coordonnées du milieu milieu A du segment segment [WX ]. Démontrer Démontrer que le quadrilatè quadrilatère re WYXZ est un losange.
Soient les points W (− (−7;10), X(−23; −2), Y (3; −20) et Z (−33;28).
xA =
xW + xX −7 + (−23) −30 = = = −15 2 2 2
yA =
10 + (−2) 8 yW + yX = = = 4 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [WX ] est A(−15;4)
WY =
√
YX =
√
2
2
(xY − xW ) + ( yY − yW ) =
(xX − xY )2 + ( yX − yY )2 =
√
(3 − (−7)) + (−20 − (10)) =
√
√
√
(−23 − (3))2 + (−2 − (−20))2 =
√
√
√
2
2
√
9
(10)2 + (−30)2 =
(−26)2 + (18)2 =
1000 = 10 10
1000 = 10 10
XZ =
√
ZW = =
√
(xZ − xX )2 + ( yZ − yX )2 =
2
2
√
(xW − xZ ) + ( yW − yZ ) =
2
(−33 − (−23)) + (28 − (−2)) =
√
√
√
√
2
√
√
√
2
2
(−7 − (−33)) + (10 − (28)) =
(−10)2 + (30)2 =
(26)2 + (−18)2 =
1000 = 10 10
1000 = 10 10
Comme WY = = YX = XZ = ZW , on en conclut que WYXZ est un losange.
EXERCICE 15
Soient les points A(−9; −2), B(−5;13), C(11;6) et D(7; −9). Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AC ] et du milieu J du segment [BD ]. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Soient les points A(−9; −2), B(−5;13), C(11;6) et D(7; −9).
xI =
xA + xC 2 −9 + (11) = = = 1 2 2 2
yI =
yA + yC 4 −2 + (6) = = = 2 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [AC ] est I(1; 2)
xJ = yJ =
xB + xD 2 −5 + (7) = = = 1 2 2 2 yB + yD 13 + (−9) 4 = = = 2 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [BD ] est J(1; 2) Comme les diagonales diagonales se coupent en leur milieu puisque I = J on en conclut que ABCD est un parallélogramme.
EXERCICE 16
Soient les points J(5; 0) , K(−9; 4) et L(0; −5). Déterminer les coordonnées du milieu Q du segment [JK ]. Démontrer que le triangle JKL est rectangle en L .
Soient les points J(5; 0) , K(−9; 4) et L(0; −5).
xQ =
−4 xJ + xK 5 + (−9) = = = −2 2 2 2
yQ =
yJ + yK 0 + (4) 4 = = = 2 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [JK ] est Q(−2; 2)
10
JL =
√
√
(xL − xJ )2 + ( yL − yJ )2 =
LK =
√
JK =
√
2
2
(xK − xL ) + ( yK − yL ) =
2
2
(xK − xJ ) + ( yK − yJ ) =
√
(0 − (5))2 + (−5 − (0))2 =
√
2
2
2
2
(−9 − (5)) + (4 − (0)) =
√
√
√
(−9)2 + (9)2 =
(−9 − (0)) + (4 − (−5)) =
√
(−5)2 + (−5)2 =
√
(−14)2 + (4)2 =
√
50 = 5 2
√
162 = 9 2
√
√
212 = 2 53
JL2 + LK2 = 50 + 162 = 212 or
JK2 = 212 ainsi
JL2 + LK2 = JK2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle JKL est rectangle en L.
EXERCICE 17
Soient les points U(7; 6) , V (−7; −12) et W (−7; 6). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [UV ]. Démontrer que le triangle UVW est rectangle en W .
Soient les points U(7; 6) , V (−7; −12) et W (−7; 6).
xA = yA =
xU + xV 7 + (−7) 0 = = = 0 2 2 2
−6 yU + yV 6 + (−12) = = = −3 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [UV ] est A (0; −3)
UW =
WV =
UV =
√
2
2
(xW − xU ) + ( yW − yU ) =
√
2
2
(xV − xW ) + ( yV − yW ) =
√
2
2
(xV − xU ) + ( yV − yU ) =
√
√
2
2
(−7 − (7)) + (6 − (6)) =
√
2
√
2
(−7 − (−7)) + (−12 − (6)) =
2
2
(−7 − (7)) + (−12 − (6)) =
(−14)2 + (0)2 =
√
196 = 14
(0)2 + (−18)2 =
√
(−14)2 + (−18)2 =
UW 2 + WV 2 = 196 + 324 = 520 or
UV 2 = 520 ainsi
UW 2 + WV 2 = UV 2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle UV W est rectangle en W .
11
√
√
324 = 18
√
√
520 = 2 130
EXERCICE 18
Soient les points N(9; −1) , O (−9;11) et P (9;11). Déterminer les coordonnées du milieu U du segment [ NO ]. Démontrer que le triangle NOP est rectangle en P .
Soient les points N(9; −1) , O (−9;11) et P (9;11).
xU =
xN + xO 9 + (−9) 0 = = = 0 2 2 2
yN + yO 10 −1 + (11) = = = 5 2 2 2
yU = Ainsi le milieu du segment [NO ] est U (0; 5)
NP =
PO =
NO =
√
2
2
(xP − xN ) + ( yP − yN ) =
√
(xO − xP )2 + ( yO − yP )2 =
√
2
2
(xO − xN ) + ( yO − yN ) =
√
(9 − (9)) + (11 − (−1)) =
√
(−9 − (9))2 + (11 − (11))2 =
√
2
2
√
√
2
2
(−9 − (9)) + (11 − (−1)) =
(0)2 + (12)2 =
√
144 = 12
(−18)2 + (0)2 =
√
(−18)2 + (12)2 =
√
√
324 = 18
√
468 = 6 13
NP2 + PO 2 = 144 + 324 = 468 or
NO2 = 468 ainsi
NP2 + PO2 = NO2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle NOP est rectangle en P.
EXERCICE 19
Soient les points O(9; −9), P(46;4), Q(29;3) et R(−8; −10). Déterminer les coordonnées du milieu W du segment [ OQ ] et du milieu X du segment [ PR ]. Démontrer que le quadrilatère OPQR est un parallélogramme.
Soient les points O(9; −9), P(46;4), Q(29;3) et R(−8; −10).
xO + xQ 9 + (29) 38 = = = 19 2 2 2 yO + yQ −9 + (3) − 6 yW = = = = −3 2 2 2 xW =
Ainsi le milieu du segment [OQ ] est W (19; −3)
12
xP + xR 46 + (−8) 38 = = = 19 2 2 2
xX = yX =
yP + yR 4 + (−10) −6 = = = −3 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [PR ] est X (19; −3) Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque W = X on en conclut que OPQR est un parallélogramme.
EXERCICE 20
Soient les points X(1; 5) , Y (−1;11) et Z(12;12). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [ XY ]. Démontrer que le triangle XYZ est isocèle en Z .
Soient les points X(1; 5) , Y (−1;11) et Z (12;12).
xA =
xX + xY 1 + (−1) 0 = = = 0 2 2 2
yA =
yX + yY 5 + (11) 16 = = = 8 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [XY ] est A (0; 8)
XZ =
YZ =
√
2
2
(xZ − xX ) + ( yZ − yX ) =
√
2
2
(xZ − xY ) + ( yZ − yY ) =
√
2
2
(12 − (1)) + (12 − (5)) =
√
2
2
√
(12 − (−1)) + (12 − (11)) =
(11)2 + (7)2 =
√
√
(13)2 + (1)2 =
170
√
170
Ainsi XZ = YZ . Le triangle XYZ est donc isocèle en Z.
EXERCICE 21
Soient les points F(8; 4), G(17;32), H(8;24) et I(−1; −4). Déterminer les coordonnées du milieu N du segment [FH ] et du milieu O du segment [GI ]. Démontrer que le quadrilatère FGHI est un parallélogramme.
Soient les points F(8; 4), G(17;32), H(8;24) et I(−1; −4).
xN = yN =
xF + xH 8 + (8) 16 = = = 8 2 2 2
yF + yH 4 + (24) 28 = = = 14 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [FH ] est N(8;14)
xO = yO =
xG + xI 17 + (−1) 16 = = = 8 2 2 2 yG + yI 32 + (−4) 28 = = = 14 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [GI ] est O (8;14)
13
Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque N = O on en conclut que FGHI est un parallélogramme.
EXERCICE 22
Soient les points D(−6; 4), E(−28; −19), F(−14; −16) et G(8; 7). Déterminer les coordonnées du milieu L du segment [DF ] et du milieu M du segment [ EG ]. Démontrer que le quadrilatère DEFG est un parallélogramme.
Soient les points D(−6; 4), E(−28; −19), F(−14; −16) et G(8; 7).
xL =
xD + xF −6 + (−14) −20 = = = −10 2 2 2
yL =
yD + yF 4 + (−16) −12 = = = −6 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [DF ] est L(−10; −6)
xM =
xE + xG −28 + (8) − 20 = = = −10 2 2 2
yM =
yE + yG −19 + (7) −12 = = = −6 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [EG ] est M (−10; −6) Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque L = M on en conclut que DEFG est un parallélogramme.
EXERCICE 23
Soient les points E(5; −7), F(−2; −14), G (−9; −7) et H(−2; 0). Déterminer les coordonnées du milieu M du segment [ EG ] et du milieu N du segment [ FH ]. Démontrer que le quadrilatère EFGH est un rectangle.
Soient les points E(5; −7), F(−2; −14), G (−9; −7) et H(−2; 0).
xM = yM =
xE + xG 5 + (−9) −4 = = = −2 2 2 2
yE + yG −7 + (−7) −14 = = = −7 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [EG ] est M (−2; −7)
xN =
xF + xH −2 + (−2) −4 = = = −2 2 2 2
yN =
yF + yH −14 + (0) −14 = = = −7 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [FH ] est N(−2; −7)
14
EG =
√
√
√
FH =
√
√
√
(xG − xE )2 + ( yG − yE )2 =
(xH − xF )2 + ( yH − yF )2 =
(−9 − (5))2 + (−7 − (−7))2 =
(−14)2 + (0)2 =
(−2 − (−2))2 + (0 − (−14))2 =
(0)2 + (14)2 =
√
196 = 14
√
196 = 14
Comme les diagonales ont même longueur puisque EG = FH , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque M = N on en conclut que EFGH est un rectangle.
EXERCICE 24
Soient les points X(−7; 4), Y (3;14), Z (7;10) et A(−3; 0). Déterminer les coordonnées du milieu F du segment [XZ ] et du milieu G du segment [YA ]. Démontrer que le quadrilatère XYZA est un rectangle.
Soient les points X(−7; 4), Y (3;14), Z (7;10) et A(−3; 0).
xF =
xX + xZ −7 + (7) 0 = = = 0 2 2 2
yF =
yX + yZ 4 + (10) 14 = = = 7 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [XZ ] est F(0; 7)
xG =
0 xY + xA 3 + (−3) = = = 0 2 2 2
yG =
yY + yA 14 + (0) 14 = = = 7 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [YA ] est G (0; 7)
XZ =
YA =
√
2
2
(xZ − xX ) + ( yZ − yX ) =
√
2
2
(xA − xY ) + ( yA − yY ) =
√
2
2
(7 − (−7)) + (10 − (4)) =
√
2
2
(−3 − (3)) + (0 − (14)) =
√
(14)2 + (6)2 =
√
√
(−6)2 + (−14)2 =
√
232 = 2 58
√
√
232 = 2 58
Comme les diagonales ont même longueur puisque XZ = Y A, et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque F = G on en conclut que XYZA est un rectangle.
EXERCICE 25
Soient les points R(4; 6), S (−8; −8), T (33; −31) et U(−37;29). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [ RS ]. Démontrer que le quadrilatère RTSU est un losange.
Soient les points R(4; 6), S (−8; −8), T (33; −31) et U(−37;29).
15
xA =
xR + xS 4 + (−8) −4 = = = −2 2 2 2
yA =
yR + yS 6 + (−8) −2 = = = −1 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [RS ] est A(−2; −1)
RT =
√
2
2
(xT − xR ) + ( yT − yR ) =
TS =
√
2
SU =
√
2
2
(xS − xT ) + ( yS − yT ) =
UR =
2
(33 − (4)) + (−31 − (6)) =
2
√
(29)2 + (−37)2 =
2
(−8 − (33)) + (−8 − (−31)) =
2
2
2
√
(xU − xS ) + ( yU − yS ) =
√
√
√
2
2
(xR − xU ) + ( yR − yU ) =
√
2
2
(4 − (−37)) + (6 − (29)) =
2210
√
√
√
√
(−37 − (−8)) + (29 − (−8)) =
2
√
(−41)2 + (23)2 =
2210
(−29)2 + (37)2 =
√
(41)2 + (−23)2 =
2210
√
2210
Comme RT = T S = SU = UR, on en conclut que RTSU est un losange.
EXERCICE 26
Soient les points A(4; 4) , B(−8;14) et C(−2; 9). Déterminer les coordonnées du milieu H du segment [ AB ]. Démontrer que le triangle ABC est isocèle en C .
Soient les points A(4; 4) , B(−8;14) et C(−2; 9).
xH =
xA + xB 4 + (−8) −4 = = = −2 2 2 2
yH =
yA + yB 4 + (14) 18 = = = 9 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [AB ] est H(−2; 9)
AC =
BC =
√
2
2
(xC − xA ) + ( yC − yA ) =
√
2
2
(xC − xB ) + ( yC − yB ) =
√
2
2
(−2 − (4)) + (9 − (4)) =
√
2
2
√
(−2 − (−8)) + (9 − (14)) =
(−6)2 + (5)2 =
√
√
(6)2 + (−5)2 =
61
√
61
Ainsi AC = BC. Le triangle ABC est donc isocèle en C .
EXERCICE 27
Soient les points J(5; 6) , K(−15;22) et L(11;34). Déterminer les coordonnées du milieu Q du segment [JK ]. Démontrer que le triangle JKL est isocèle en L.
16
Soient les points J(5; 6) , K(−15;22) et L(11;34).
xJ + xK 5 + (−15) −10 = = = −5 2 2 2
xQ =
6 + (22) 28 yJ + yK = = = 14 2 2 2
yQ = Ainsi le milieu du segment [JK ] est Q(−5;14)
JL =
KL =
√
2
2
(xL − xJ ) + ( yL − yJ ) =
√
2
2
(xL − xK ) + ( yL − yK ) =
√
2
2
(11 − (5)) + (34 − (6)) =
√
2
√
(6)2 + (28)2 =
√
2
√
(26)2 + (12)2 =
(11 − (−15)) + (34 − (22)) =
√
820 = 2 205
√
√
820 = 2 205
Ainsi JL = KL. Le triangle JKL est donc isocèle en L .
EXERCICE 28
Soient les points C(−2; 1), D (−2; 1), E(10; −11) et F(10; −11). Déterminer les coordonnées du milieu K du segment [CE ] et du milieu L du segment [DF ]. Démontrer que le quadrilatère CDEF est un rectangle.
Soient les points C(−2; 1), D (−2; 1), E(10; −11) et F(10; −11).
−2 + (10) 8 xC + xE = = = 4 2 2 2
xK = yK =
yC + yE 1 + (−11) −10 = = = −5 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [CE ] est K(4; −5)
xL = yL =
xD + xF 8 −2 + (10) = = = 4 2 2 2
yD + yF 1 + (−11) −10 = = = −5 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [DF ] est L(4; −5)
CE =
√
2
2
√
2
2
√
√
√
DF =
√
2
2
√
2
2
√
√
√
(xE − xC ) + ( yE − yC ) =
(xF − xD ) + ( yF − yD ) =
(10 − (−2)) + (−11 − (1)) =
(10 − (−2)) + (−11 − (1)) =
17
(12)2 + (−12)2 =
(12)2 + (−12)2 =
288 = 12 2
288 = 12 2
Comme les diagonales ont même longueur puisque CE = DF , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque K = L on en conclut que CDEF est un rectangle.
EXERCICE 29
Soient les points Q(4; 6), R(20;6), S (20;24) et T (4;24). Déterminer les coordonnées du milieu Y du segment [QS ] et du milieu Z du segment [RT ]. Démontrer que le quadrilatère QRST est un rectangle.
Soient les points Q(4; 6), R(20;6), S (20;24) et T (4;24).
xQ + xS 4 + (20) 24 = = = 12 2 2 2 yQ + yS 6 + (24) 30 yY = = = = 15 2 2 2 xY =
Ainsi le milieu du segment [QS ] est Y (12;15)
xZ =
xR + xT 20 + (4) 24 = = = 12 2 2 2
yZ =
yR + yT 6 + (24) 30 = = = 15 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [RT ] est Z(12;15)
QS =
RT =
√
2
2
(xS − xQ ) + ( yS − yQ ) =
√
2
2
(xT − xR ) + ( yT − yR ) =
√
2
2
(20 − (4)) + (24 − (6)) =
√
2
2
(4 − (20)) + (24 − (6)) =
√
(16)2 + (18)2 =
√
√
(−16)2 + (18)2 =
√
√
√
580 = 2 145
580 = 2 145
Comme les diagonales ont même longueur puisque QS = RT , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque Y = Z on en conclut que QRST est un rectangle.
EXERCICE 30
Soient les points T (−2; 3), U(−2; −13), V (22; −5) et W (−26; −5). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [T U ]. Démontrer que le quadrilatère TVUW est un losange.
Soient les points T (−2; 3), U(−2; −13), V (22; −5) et W (−26; −5).
xA =
xT + xU −2 + (−2) −4 = = = −2 2 2 2
yA =
yT + yU 3 + (−13) −10 = = = −5 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [T U ] est A(−2; −5)
18
T V =
√
(xV − xT )2 + ( yV − yT )2 =
VU =
√
UW =
√
2
2
(xU − xV ) + ( yU − yV ) =
2
2
(22 − (−2))2 + (−5 − (3))2 =
√
(xW − xU ) + ( yW − yU ) =
WT =
√
2
√
(24)2 + (−8)2 =
2
(−24)2 + (−8)2 =
2
(−26 − (−2)) + (−5 − (−13)) =
√
(xT − xW )2 + ( yT − yW )2 =
√
(−2 − (−26))2 + (3 − (−5))2 =
√
640 = 8 10
√
2
(−2 − (22)) + (−13 − (−5)) =
√
√
√
√
(−24)2 + (8)2 =
√
(24)2 + (8)2 =
√
640 = 8 10
√
√
640 = 8 10
√
√
640 = 8 10
Comme T V = VU = UW = WT , on en conclut que TV UW est un losange.
EXERCICE 31
Soient les points V (4; 2) , W (6;12) et X(4;12). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [VW ]. Démontrer que le triangle VWX est rectangle en X.
Soient les points V (4; 2) , W (6;12) et X(4;12).
xA = yA =
10 xV + xW 4 + (6) = = = 5 2 2 2
yV + yW 2 + (12) 14 = = = 7 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [VW ] est A(5; 7)
VX =
√
2
(xX − xV ) + ( yX − yV ) =
XW =
VW =
2
√
√
√
2
(xW − xV ) + ( yW − yV ) =
2
(4 − (4)) + (12 − (2)) =
(xW − xX )2 + ( yW − yX )2 =
2
2
√
(0)2 + (10)2 =
√
(6 − (4))2 + (12 − (12))2 =
√
2
2
(6 − (4)) + (12 − (2)) =
100 = 10
√
(2)2 + (0)2 =
√
(2)2 + (10)2 =
VX2 + XW 2 = 100 + 4 = 104 or
VW 2 = 104 ainsi
VX2 + XW 2 = VW 2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle V WX est rectangle en X.
19
√
√
√
4 = 2
√
104 = 2 26
EXERCICE 32
Soient les points K(−6; 3), L(−16; −1), M(−1; −24) et N(−21;26). Déterminer les coordonnées du milieu S du segment [ KL ]. Démontrer que le quadrilatère KMLN est un losange.
Soient les points K(−6; 3), L(−16; −1), M(−1; −24) et N(−21;26).
xK + xL −6 + (−16) −22 = = = −11 2 2 2
xS =
yS =
yK + yL 3 + (−1) 2 = = = 1 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [KL ] est S(−11;1)
KM =
ML =
√
2
(xM − xK ) + ( yM − yK ) =
√
LN =
2
2
NK =
2
√
2
√
(xN − xL ) + ( yN − yL ) =
√
2
2
2
2
(−1 − (−6)) + (−24 − (3)) =
2
(xL − xM ) + ( yL − yM ) =
√
√
2
2
√
(−16 − (−1)) + (−1 − (−24)) =
(xK − xN ) + ( yK − yN ) =
2
2
(−21 − (−16)) + (26 − (−1)) =
√
2
2
(−6 − (−21)) + (3 − (26)) =
√
(5)2 + (−27)2 =
754
√
(−15)2 + (23)2 =
√
(−5)2 + (27)2 =
√
(15)2 + (−23)2 =
√
754
√
754
√
754
Comme KM = ML = LN = NK, on en conclut que KMLN est un losange.
EXERCICE 33
Soient les points R(−3; −1), S (−12; −23), T (−19; −21) et U(−10;1). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [RT ] et du milieu B du segment [SU ]. Démontrer que le quadrilatère RSTU est un parallélogramme.
Soient les points R(−3; −1), S (−12; −23), T (−19; −21) et U(−10;1).
xA =
xR + xT −3 + (−19) −22 = = = −11 2 2 2
yA =
yR + yT −1 + (−21) −22 = = = −11 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [RT ] est A(−11; −11)
xB =
xS + xU −12 + (−10) −22 = = = −11 2 2 2
yB =
yS + yU −23 + (1) −22 = = = −11 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [SU ] est B (−11; −11)
20
Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque A = B on en conclut que RSTU est un parallélogramme.
EXERCICE 34
Soient les points B(3;10), C(−5; 8), D (4; −11) et E (−6;29). Déterminer les coordonnées du milieu J du segment [ BC ]. Démontrer que le quadrilatère BDCE est un losange.
Soient les points B(3;10), C(−5; 8), D (4; −11) et E (−6;29).
xJ =
xB + xC 3 + (−5) −2 = = = −1 2 2 2 10 + (8) 18 yB + yC = = = 9 2 2 2
yJ = Ainsi le milieu du segment [BC ] est J (−1; 9)
BD =
√
2
2
√
DC =
√
2
2
√
CE =
√
2
2
√
EB =
√
2
2
√
(xD − xB ) + ( yD − yB ) =
(xC − xD ) + ( yC − yD ) =
(xE − xC ) + ( yE − yC ) =
(xB − xE ) + ( yB − yE ) =
2
√
√
√
√
√
√
√
√
2
(1)2 + (−21)2 =
(4 − (3)) + (−11 − (10)) =
2
2
(−5 − (4)) + (8 − (−11)) =
2
2
(−6 − (−5)) + (29 − (8)) =
2
2
(3 − (−6)) + (10 − (29)) =
442
(−9)2 + (19)2 =
(−1)2 + (21)2 =
(9)2 + (−19)2 =
442
442
442
Comme BD = DC = CE = EB, on en conclut que BDCE est un losange.
EXERCICE 35
Soient les points R(8; 8), S (6;28), T (−23;15) et U(37;21). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [ RS ]. Démontrer que le quadrilatère RTSU est un losange.
Soient les points R(8; 8), S (6;28), T (−23;15) et U(37;21).
xA = yA =
8 + (6) 14 xR + xS = = = 7 2 2 2
yR + yS 8 + (28) 36 = = = 18 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [RS ] est A(7;18)
RT =
√
2
2
(xT − xR ) + ( yT − yR ) =
√
2
2
(−23 − (8)) + (15 − (8)) =
21
√
(−31)2 + (7)2 =
√
1010
TS =
√
SU =
√
UR =
√
(xS − xT )2 + ( yS − yT )2 =
2
2
(xU − xS ) + ( yU − yS ) =
√
2
2
√
√
√
√
(6 − (−23))2 + (28 − (15))2 =
(xR − xU ) + ( yR − yU ) =
√
2
2
(37 − (6)) + (21 − (28)) =
√
2
(29)2 + (13)2 =
(31)2 + (−7)2 =
√
2
1010
(−29)2 + (−13)2 =
(8 − (37)) + (8 − (21)) =
1010
√
1010
Comme RT = T S = SU = UR, on en conclut que RTSU est un losange.
EXERCICE 36
Soient les points X(−1; −9), Y (10;2), Z (1;11) et A(−10;0). Déterminer les coordonnées du milieu F du segment [XZ ] et du milieu G du segment [YA ]. Démontrer que le quadrilatère XYZA est un rectangle.
Soient les points X(−1; −9), Y (10;2), Z (1;11) et A(−10;0).
xX + xZ −1 + (1) 0 = = = 0 2 2 2
xF = yF =
yX + yZ 2 −9 + (11) = = = 1 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [XZ ] est F(0; 1)
xG =
xY + xA 10 + (−10) 0 = = = 0 2 2 2
yG =
2 + (0) 2 yY + yA = = = 1 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [YA ] est G (0; 1)
XZ =
YA =
√
2
2
(xZ − xX ) + ( yZ − yX ) =
√
2
2
(xA − xY ) + ( yA − yY ) =
√
2
2
(1 − (−1)) + (11 − (−9)) =
√
2
2
(−10 − (10)) + (0 − (2)) =
√
(2)2 + (20)2 =
√
√
(−20)2 + (−2)2 =
√
404 = 2 101
√
√
404 = 2 101
Comme les diagonales ont même longueur puisque XZ = Y A, et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque F = G on en conclut que XYZA est un rectangle.
EXERCICE 37
Soient les points P(−3; 9), Q(−12;16), R(−5;25) et S (4;18). Déterminer les coordonnées du milieu X du segment [PR ] et du milieu Y du segment [QS ]. Démontrer que le quadrilatère PQRS est un carré.
22
Soient les points P(−3; 9), Q(−12;16), R(−5;25) et S (4;18).
xX =
xP + xR −3 + (−5) − 8 = = = −4 2 2 2 yP + yR 9 + (25) 34 = = = 17 2 2 2
yX = Ainsi le milieu du segment [PR ] est X (−4;17)
xQ + xS −12 + (4) −8 = = = −4 2 2 2 yQ + yS 16 + (18) 34 yY = = = = 17 2 2 2
xY =
Ainsi le milieu du segment [QS ] est Y (−4;17)
PQ =
√
2
2
√
2
QR =
√
2
2
√
2
RS =
√
2
2
√
2
SP =
√
2
2
√
2
PR =
√
QS =
√
(xQ − xP ) + ( yQ − yP ) =
(−12 − (−3)) + (16 − (9)) =
(xR − xQ ) + ( yR − yQ ) =
(xS − xR ) + ( yS − yR ) =
(xP − xS ) + ( yP − yS ) =
2
2
(xR − xP ) + ( yR − yP ) =
2
2
√
(xS − xQ ) + ( yS − yQ ) =
2
(−9)2 + (7)2 =
2
(−5 − (−12)) + (25 − (16)) =
2
(4 − (−5)) + (18 − (25)) =
2
(−3 − (4)) + (9 − (18)) =
2
2
(−5 − (−3)) + (25 − (9)) =
√
√
2
√
(7)2 + (9)2 =
√
(4 − (−12)) + (18 − (16)) =
130
√
130
(9)2 + (−7)2 =
√
(−7)2 + (−9)2 =
√
√
√
2
√
130
130
(−2)2 + (16)2 =
√
√
√
√
√
(16)2 + (2)2 =
260 = 2 65
260 = 2 65
Comme PQ = QR = RS = SP, on en conclut que PQRS est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque PR = QS, on en conclut que PQRS est un carré.
EXERCICE 38
Soient les points V (−4;10), W (−8; 4), X(0; 3) et Y (−12;11). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [VW ]. Démontrer que le quadrilatère VXWY est un losange.
Soient les points V (−4;10), W (−8; 4), X(0; 3) et Y (−12;11).
xA =
xV + xW −4 + (−8) −12 = = = −6 2 2 2
yA =
yV + yW 10 + (4) 14 = = = 7 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [VW ] est A(−6; 7)
23
VX =
√
XW =
√
(xX − xV )2 + ( yX − yV )2 =
2
√
(0 − (−4))2 + (3 − (10))2 =
2
(xW − xX ) + ( yW − yX ) =
WY =
√
YV =
√
2
2
(xY − xW ) + ( yY − yW ) =
(xV − xY )2 + ( yV − yY )2 =
√
2
√
√
√
(4)2 + (−7)2 =
2
(−8 − (0)) + (4 − (3)) =
√
√
(−8)2 + (1)2 =
65
65
(−12 − (−8)) + (11 − (4)) =
√
√
(−4 − (−12))2 + (10 − (11))2 =
√
√
2
2
√
(−4)2 + (7)2 =
(8)2 + (−1)2 =
65
65
Comme VX = XW = WY = YV , on en conclut que VXWY est un losange.
EXERCICE 39
Soient les points V (−2; −10) , W (−16; −30) et X (−2; −30). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [VW ]. Démontrer que le triangle VWX est rectangle en X.
Soient les points V (−2; −10) , W (−16; −30) et X (−2; −30).
xA =
xV + xW −2 + (−16) −18 = = = −9 2 2 2
yV + yW −10 + (−30) −40 = = = −20 2 2 2
yA =
Ainsi le milieu du segment [VW ] est A(−9; −20)
VX =
XW =
VW =
√
√
2
2
(xX − xV ) + ( yX − yV ) =
√
2
√
2
(xW − xX ) + ( yW − yX ) =
2
2
(xW − xV ) + ( yW − yV ) =
√
2
2
(−2 − (−2)) + (−30 − (−10)) =
√
2
√
(0)2 + (−20)2 =
2
(−16 − (−2)) + (−30 − (−10)) =
√
√
(−14)2 + (−20)2 =
√
√
VX2 + XW 2 = 400 + 196 = 596 or
VW 2 = 596 ainsi
VX2 + XW 2 = VW 2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle V WX est rectangle en X.
24
400 = 20
(−14)2 + (0)2 =
2
(−16 − (−2)) + (−30 − (−30)) =
2
√
196 = 14
√
596 = 2 149
EXERCICE 40
Soient les points M(9; 3), N(−9; 3), O(−9; −11) et P(9; −11). Déterminer les coordonnées du milieu U du segment [ MO ] et du milieu V du segment [ NP ]. Démontrer que le quadrilatère MNOP est un rectangle.
Soient les points M(9; 3), N(−9; 3), O(−9; −11) et P(9; −11). 9 + (−9) 0 xM + xO = = = 0 2 2 2
xU =
yM + yO 3 + (−11) −8 = = = −4 2 2 2
yU =
Ainsi le milieu du segment [MO ] est U (0; −4) 0 −9 + (9) xN + xP = = = 0 2 2 2
xV =
yN + yP 3 + (−11) −8 = = = −4 2 2 2
yV =
Ainsi le milieu du segment [NP ] est V (0; −4)
MO =
√
NP =
2
2
(xO − xM ) + ( yO − yM ) =
√
2
2
(xP − xN ) + ( yP − yN ) =
√
2
2
(−9 − (9)) + (−11 − (3)) =
√
2
2
(9 − (−9)) + (−11 − (3)) =
√
(−18)2 + (−14)2 =
√
(18)2 + (−14)2 =
√
√
520 = 2 130
√
√
520 = 2 130
Comme les diagonales ont même longueur puisque MO = NP , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque U = V on en conclut que MNOP est un rectangle.
EXERCICE 41
Soient les points Z(0; 9), A(−2; −9), B(44; −5) et C(−46;5). Déterminer les coordonnées du milieu H du segment [ZA ]. Démontrer que le quadrilatère ZBAC est un losange.
Soient les points Z(0; 9), A(−2; −9), B(44; −5) et C(−46;5).
xH =
xZ + xA 0 + (−2) −2 = = = −1 2 2 2
yH =
9 + (−9) 0 yZ + yA = = = 0 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [ZA ] est H(−1; 0)
ZB =
√
2
2
(xB − xZ ) + ( yB − yZ ) =
√
2
2
(44 − (0)) + (−5 − (9)) =
25
√
(44)2 + (−14)2 =
√
√
2132 = 2 533
BA =
√
AC =
√
√
(xA − xB )2 + ( yA − yB )2 =
2
2
CZ =
2
2
√
2
2
(−46 − (−2)) + (5 − (−9)) =
2
(xZ − xC ) + ( yZ − yC ) =
√
2
2
(0 − (−46)) + (9 − (5)) =
√
√
√
√
√
√
(−46)2 + (−4)2 =
(−2 − (44)) + (−9 − (−5)) =
(xC − xA ) + ( yC − yA ) =
√
2
(−44)2 + (14)2 =
√
(46)2 + (4)2 =
2132 = 2 533
2132 = 2 533
√
√
2132 = 2 533
Comme ZB = BA = AC = CZ, on en conclut que ZBAC est un losange.
EXERCICE 42
Soient les points D(−9; 2) , E(−27;18) et F(−18;10). Déterminer les coordonnées du milieu K du segment [ DE ]. Démontrer que le triangle DEF est isocèle en F.
Soient les points D(−9; 2) , E(−27;18) et F(−18;10).
xK =
xD + xE −9 + (−27) −36 = = = −18 2 2 2
yK =
yD + yE 2 + (18) 20 = = = 10 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [DE ] est K(−18;10)
DF =
EF =
√
(xF − xD )2 + ( yF − yD )2 =
√
2
2
(xF − xE ) + ( yF − yE ) =
√
(−18 − (−9))2 + (10 − (2))2 =
√
2
2
(−18 − (−27)) + (10 − (18)) =
√
√
√
√
(−9)2 + (8)2 =
(9)2 + (−8)2 =
145
145
Ainsi DF = EF. Le triangle DEF est donc isocèle en F .
EXERCICE 43
Soient les points P(9; −7), Q(21;13), R(−35;33) et S(65; −27). Déterminer les coordonnées du milieu X du segment [ PQ ]. Démontrer que le quadrilatère PRQS est un losange.
Soient les points P(9; −7), Q(21;13), R(−35;33) et S(65; −27).
xP + xQ 9 + (21) 30 = = = 15 2 2 2 yP + yQ 6 −7 + (13) yX = = = = 3 2 2 2 xX =
Ainsi le milieu du segment [PQ ] est X(15;3)
26
PR =
√
√
RQ =
√
2
2
√
QS =
√
2
2
√
SP =
√
(xR − xP )2 + ( yR − yP )2 =
(xS − xQ ) + ( yS − yQ ) =
2
(xP − xS ) + ( yP − yS ) =
√
2
(−44)2 + (40)2 =
(−35 − (9)) + (33 − (−7)) =
(xQ − xR ) + ( yQ − yR ) =
2
2
√
√
√
2
√
√
√
(21 − (−35)) + (13 − (33)) =
(65 − (21)) + (−27 − (13)) =
√
2
√
3536 = 4 221
2
2
2
√
2
(9 − (65)) + (−7 − (−27)) =
(56)2 + (−20)2 =
(44)2 + (−40)2 =
√
(−56)2 + (20)2 =
3536 = 4 221
3536 = 4 221
√
√
3536 = 4 221
Comme PR = RQ = QS = SP , on en conclut que PRQS est un losange.
EXERCICE 44
Soient les points G(5; −10), H(13; −18), I (25;2) et J (−7; −30). Déterminer les coordonnées du milieu O du segment [ GH ]. Démontrer que le quadrilatère GIHJ est un losange.
Soient les points G(5; −10), H(13; −18), I (25;2) et J(−7; −30).
xO = yO =
xG + xH 5 + (13) 18 = = = 9 2 2 2
−10 + (−18) −28 yG + yH = = = −14 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [GH ] est O(9; −14)
GI =
IH =
HJ =
√
2
(xI − xG ) + ( yI − yG ) =
√
2
2
(xH − xI ) + ( yH − yI ) =
√
JG =
2
2
2
(xJ − xH ) + ( yJ − yH ) =
√
2
2
√
2
(25 − (5)) + (2 − (−10)) =
√
2
2
(13 − (25)) + (−18 − (2)) =
√
(xG − xJ ) + ( yG − yJ ) =
2
2
√
2
2
2
√
√
(−20)2 + (−12)2 =
√
(12)2 + (20)2 =
√
544 = 4 34
(−12)2 + (−20)2 =
(5 − (−7)) + (−10 − (−30)) =
27
√
√
(−7 − (13)) + (−30 − (−18)) =
√
(20)2 + (12)2 =
√
544 = 4 34
√
√
544 = 4 34
√
√
544 = 4 34
Comme GI = IH = HJ = JG, on en conclut que GIHJ est un losange.
EXERCICE 45
Soient les points Q(8; −3) , R(16; −1) et S(11; −6). Déterminer les coordonnées du milieu X du segment [ QR ]. Démontrer que le triangle QRS est rectangle en S .
Soient les points Q(8; −3) , R(16; −1) et S(11; −6).
xQ + xR 8 + (16) 24 = = = 12 2 2 2 yQ + yR −3 + (−1) − 4 yX = = = = −2 2 2 2 xX =
Ainsi le milieu du segment [QR ] est X(12; −2)
QS =
√
SR =
√
QR =
√
2
√
2
(xS − xQ ) + ( yS − yQ ) =
2
2
(xR − xS ) + ( yR − yS ) =
2
2
(11 − (8)) + (−6 − (−3)) =
√
2
2
√
(16 − (11)) + (−1 − (−6)) =
(xR − xQ )2 + ( yR − yQ )2 =
√
(16 − (8))2 + (−1 − (−3))2 =
(3)2 + (−3)2 =
√
√
18 = 3 2
√
√
√
√
√
√
(5)2 + (5)2 =
(8)2 + (2)2 =
50 = 5 2
68 = 2 17
QS2 + SR2 = 18 + 50 = 68 or
QR2 = 68 ainsi
QS2 + SR2 = QR2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle QRS est rectangle en S.
EXERCICE 46
Soient les points A(5; 0), B(27;13), C(15;16) et D (−7; 3). Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AC ] et du milieu J du segment [BD ]. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Soient les points A(5; 0), B(27;13), C(15;16) et D (−7; 3).
xI =
xA + xC 5 + (15) 20 = = = 10 2 2 2
yI =
yA + yC 0 + (16) 16 = = = 8 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [AC ] est I(10;8)
28
xJ =
xB + xD 27 + (−7) 20 = = = 10 2 2 2
yJ =
yB + yD 13 + (3) 16 = = = 8 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [BD ] est J(10;8) Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque I = J on en conclut que ABCD est un parallélogramme.
EXERCICE 47
Soient les points B(2; 7) , C(4;15) et D (−5;13). Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [BC ]. Démontrer que le triangle BCD est isocèle en D.
Soient les points B(2; 7) , C(4;15) et D (−5;13).
xI = yI =
2 + (4) 6 xB + xC = = = 3 2 2 2
yB + yC 7 + (15) 22 = = = 11 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [BC ] est I (3;11)
BD =
CD =
√
2
2
(xD − xB ) + ( yD − yB ) =
√
2
2
(xD − xC ) + ( yD − yC ) =
√
2
2
√
2
√
(−5 − (2)) + (13 − (7)) =
√
2
(−5 − (4)) + (13 − (15)) =
(−7)2 + (6)2 =
√
(−9)2 + (−2)2 =
85
√
85
Ainsi BD = CD. Le triangle BCD est donc isocèle en D .
EXERCICE 48
Soient les points A(6; 6), B(14;6), C (14; −2) et D(6; −2). Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AC ] et du milieu J du segment [BD ]. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un carré.
Soient les points A(6; 6), B(14;6), C (14; −2) et D(6; −2).
xI =
xA + xC 6 + (14) 20 = = = 10 2 2 2
yI =
yA + yC 6 + (−2) 4 = = = 2 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [AC ] est I(10;2)
xJ =
xB + xD 14 + (6) 20 = = = 10 2 2 2
yJ =
yB + yD 6 + (−2) 4 = = = 2 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [BD ] est J(10;2)
29
AB =
√
(xB − xA )2 + ( yB − yA )2 =
√
(14 − (6))2 + (6 − (6))2 =
√
(14 − (14))2 + (−2 − (6))2 =
(8)2 + (0)2 =
BC =
√
√
√
CD =
√
√
(6 − (14))2 + (−2 − (−2))2 =
√
√
√
(xC − xB )2 + ( yC − yB )2 =
(xD − xC )2 + ( yD − yC )2 =
DA =
AC =
√
2
(xA − xD ) + ( yA − yD ) =
√
2
2
2
2
(xD − xB ) + ( yD − yB ) =
2
(14 − (6)) + (−2 − (6)) =
√
2
2
(6 − (6)) + (6 − (−2)) =
√
2
(xC − xA ) + ( yC − yA ) =
√
BD =
2
2
2
(6 − (14)) + (−2 − (6)) =
√
64 = 8
(0)2 + (−8)2 =
√
64 = 8
(−8)2 + (0)2 =
(8)2 + (−8)2 =
64 = 8
√
(0)2 + (8)2 =
√
√
64 = 8
√
√
(−8)2 + (−8)2 =
√
128 = 8 2
√
√
128 = 8 2
Comme AB = BC = CD = DA , on en conclut que ABCD est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque AC = BD, on en conclut que ABCD est un carré.
EXERCICE 49
Soient les points B(−2; −8) , C(−6;12) et D(−14;4). Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [ BC ]. Démontrer que le triangle BCD est rectangle en D .
Soient les points B(−2; −8) , C(−6;12) et D(−14;4).
xB + xC − 2 + (−6) −8 = = = −4 2 2 2
xI =
yI =
yB + yC 4 −8 + (12) = = = 2 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [BC ] est I (−4; 2)
BD =
√
2
(xD − xB ) + ( yD − yB ) =
DC =
BC =
2
√
2
√
2
2
2
(xC − xB ) + ( yC − yB ) =
2
(−14 − (−2)) + (4 − (−8)) =
(xC − xD ) + ( yC − yD ) =
√
2
√
√
2
2
√
(−6 − (−14)) + (12 − (4)) =
2
2
(−6 − (−2)) + (12 − (−8)) =
30
(−12)2 + (12)2 =
√
√
128 = 8 2
(8)2 + (8)2 =
√
√
(−4)2 + (20)2 =
√
288 = 12 2
√
√
√
416 = 4 26
BD2 + DC2 = 288 + 128 = 416 or
BC2 = 416 ainsi
BD2 + DC2 = BC2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle BCD est rectangle en D.
EXERCICE 50
Soient les points G(6; −9) , H (10; −3) et I(14; −10). Déterminer les coordonnées du milieu N du segment [GH ]. Démontrer que le triangle GHI est isocèle en I.
Soient les points G(6; −9) , H (10; −3) et I(14; −10).
xG + xH 6 + (10) 16 = = = 8 2 2 2
xN = yN =
yG + yH −9 + (−3) − 12 = = = −6 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [GH ] est N(8; −6)
GI =
HI =
√
2
2
(xI − xG ) + ( yI − yG ) =
√
(xI − xH )2 + ( yI − yH )2 =
√
2
2
(14 − (6)) + (−10 − (−9)) =
√
√
√
√
√
(14 − (10))2 + (−10 − (−3))2 =
(8)2 + (−1)2 =
(4)2 + (−7)2 =
65
65
Ainsi GI = HI. Le triangle GHI est donc isocèle en I.
EXERCICE 51
Soient les points G(−7; 7), H(−7;15), I(−23;11) et J(9;11). Déterminer les coordonnées du milieu O du segment [ GH ]. Démontrer que le quadrilatère GIHJ est un losange.
Soient les points G(−7; 7), H(−7;15), I(−23;11) et J(9;11).
xO =
xG + xH −7 + (−7) −14 = = = −7 2 2 2
yO =
7 + (15) 22 yG + yH = = = 11 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [GH ] est O(−7;11)
GI =
√
2
2
(xI − xG ) + ( yI − yG ) =
√
2
2
(−23 − (−7)) + (11 − (7)) =
31
√
(−16)2 + (4)2 =
√
√
272 = 4 17
IH =
√
(xH − xI )2 + ( yH − yI )2 =
HJ =
√
2
JG =
√
2
√
√
2
(xJ − xH ) + ( yJ − yH ) =
2
(xG − xJ ) + ( yG − yJ ) =
2
2
(9 − (−7)) + (11 − (15)) =
√
2
2
(−7 − (9)) + (7 − (11)) =
√
√
√
(16)2 + (−4)2 =
√
√
(−16)2 + (−4)2 =
√
√
(−7 − (−23))2 + (15 − (11))2 =
(16)2 + (4)2 =
√
√
272 = 4 17
272 = 4 17
272 = 4 17
Comme GI = IH = HJ = JG, on en conclut que GIHJ est un losange.
EXERCICE 52
Soient les points B(1; 3), C(−2; 0), D(−7; 5) et E(−4; 8). Déterminer les coordonnées du milieu J du segment [BD ] et du milieu K du segment [CE ]. Démontrer que le quadrilatère BCDE est un rectangle.
Soient les points B(1; 3), C(−2; 0), D(−7; 5) et E(−4; 8).
xB + xD 1 + (−7) −6 = = = −3 2 2 2
xJ =
yJ =
yB + yD 3 + (5) 8 = = = 4 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [BD ] est J(−3; 4)
xK =
xC + xE −2 + (−4) −6 = = = −3 2 2 2
yK =
0 + (8) 8 yC + yE = = = 4 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [CE ] est K(−3; 4)
BD =
CE =
√
2
2
(xD − xB ) + ( yD − yB ) =
√
2
2
(xE − xC ) + ( yE − yC ) =
√
2
2
(−7 − (1)) + (5 − (3)) =
√
2
2
(−4 − (−2)) + (8 − (0)) =
√
√
√
√
√
√
(−8)2 + (2)2 =
(−2)2 + (8)2 =
68 = 2 17
68 = 2 17
Comme les diagonales ont même longueur puisque BD = CE , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque J = K on en conclut que BCDE est un rectangle.
EXERCICE 53
Soient les points C(1; −7), D (3; −19), E (9; −7) et F(7; 5). Déterminer les coordonnées du milieu K du segment [CE ] et du milieu L du segment [DF ]. Démontrer que le quadrilatère CDEF est un parallélogramme.
32
Soient les points C(1; −7), D (3; −19), E (9; −7) et F(7; 5).
xC + xE 1 + (9) 10 = = = 5 2 2 2
xK =
yC + yE −7 + (−7) −14 = = = −7 2 2 2
yK =
Ainsi le milieu du segment [CE ] est K(5; −7)
xL = yL =
xD + xF 3 + (7) 10 = = = 5 2 2 2
yD + yF −19 + (5) −14 = = = −7 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [DF ] est L(5; −7) Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque K = L on en conclut que CDEF est un parallélogramme.
EXERCICE 54
Soient les points P(0; −7) , Q(−6; −21) et R (4; −17). Déterminer les coordonnées du milieu W du segment [ PQ ]. Démontrer que le triangle PQR est rectangle en R .
Soient les points P(0; −7) , Q(−6; −21) et R (4; −17).
xP + xQ 0 + (−6) −6 = = = −3 2 2 2 yP + yQ −7 + (−21) −28 yW = = = = −14 2 2 2 xW =
Ainsi le milieu du segment [PQ ] est W (−3; −14)
PR =
RQ =
√
2
(xR − xP ) + ( yR − yP ) =
√
PQ =
2
2
2
(xQ − xR ) + ( yQ − yR ) =
√
2
2
√
2
(4 − (0)) + (−17 − (−7)) =
√
(xQ − xP ) + ( yQ − yP ) =
2
2
√
2
(4)2 + (−10)2 =
2
2
(−6 − (0)) + (−21 − (−7)) =
√
116 = 2 29
√
√
√
√
√
√
(−6 − (4)) + (−21 − (−17)) =
√
√
(−10)2 + (−4)2 =
(−6)2 + (−14)2 =
116 = 2 29
232 = 2 58
PR2 + RQ2 = 116 + 116 = 232 or
PQ2 = 232 ainsi
PR2 + RQ2 = PQ2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle PQR est rectangle en R. Comme PR = QR , on peut en conclure que le triangle est rectangle isocèle en R .
33
EXERCICE 55
Soient les points A(−1; −5), B(−11;15), C (−46; −15) et D(34;25). Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [ AB ]. Démontrer que le quadrilatère ACBD est un losange.
Soient les points A(−1; −5), B(−11;15), C (−46; −15) et D(34;25).
xI =
xA + xB −1 + (−11) −12 = = = −6 2 2 2 yA + yB 10 −5 + (15) = = = 5 2 2 2
yI = Ainsi le milieu du segment [AB ] est I(−6; 5)
AC =
√
CB =
(xC − xA )2 + ( yC − yA )2 =
√
2
(xB − xC ) + ( yB − yC ) =
BD =
DA =
2
√
(−46 − (−1))2 + (−15 − (−5))2 =
√
(xD − xB )2 + ( yD − yB )2 =
2
2
(xA − xD ) + ( yA − yD ) =
(−45)2 + (−10)2 =
2
(−11 − (−46)) + (15 − (−15)) =
√
√
2
√
√
(34 − (−11))2 + (25 − (15))2 =
√
2
2
(−1 − (34)) + (−5 − (25)) =
√
(35)2 + (30)2 =
√
(45)2 + (10)2 =
√
√
√
√
2125 = 5 85
√
(−35)2 + (−30)2 =
√
2125 = 5 85
√
2125 = 5 85
√
√
2125 = 5 85
Comme AC = CB = BD = DA, on en conclut que ACBD est un losange.
EXERCICE 56
Soient les points K(0; 8), L(−16;14), M (−23; −29) et N (7;51). Déterminer les coordonnées du milieu S du segment [ KL ]. Démontrer que le quadrilatère KMLN est un losange.
Soient les points K(0; 8), L(−16;14), M (−23; −29) et N (7;51).
xS =
xK + xL 0 + (−16) −16 = = = −8 2 2 2
yS =
yK + yL 8 + (14) 22 = = = 11 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [KL ] est S(−8;11)
34
KM =
√
√
ML =
√
√
(xM − xK )2 + ( yM − yK )2 =
(xL − xM )2 + ( yL − yM)2 =
LN =
√
(xN − xL )2 + ( yN − yL )2 =
√
NK =
2
√
(−23 − (0))2 + (−29 − (8))2 =
(−23)2 + (−37)2 =
(−16 − (−23))2 + (14 − (−29))2 =
√
(7 − (−16))2 + (51 − (14))2 =
2
(xK − xN ) + ( yK − yN ) =
√
2
2
(0 − (7)) + (8 − (51)) =
√
(7)2 + (43)2 =
√
(23)2 + (37)2 =
√
(−7)2 + (−43)2 =
√
1898
√
1898
√
1898
√
1898
Comme KM = ML = LN = NK, on en conclut que KMLN est un losange.
EXERCICE 57
Soient les points H(4; 9), I (16;9), J(16;21) et K (4;21). Déterminer les coordonnées du milieu P du segment [HJ ] et du milieu Q du segment [IK ]. Démontrer que le quadrilatère HIJK est un rectangle.
Soient les points H(4; 9), I (16;9), J(16;21) et K (4;21).
xP =
xH + xJ 4 + (16) 20 = = = 10 2 2 2
yP =
yH + yJ 9 + (21) 30 = = = 15 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [HJ ] est P (10;15)
xQ =
xI + xK 16 + (4) 20 = = = 10 2 2 2
yQ =
9 + (21) 30 yI + yK = = = 15 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [IK ] est Q (10;15)
HJ =
IK =
√
2
2
(xJ − xH ) + ( yJ − yH ) =
√
2
2
(xK − xI ) + ( yK − yI ) =
√
2
2
(16 − (4)) + (21 − (9)) =
√
2
2
(4 − (16)) + (21 − (9)) =
√
(12)2 + (12)2 =
√
(−12)2 + (12)2 =
√
√
√
288 = 12 2
√
288 = 12 2
Comme les diagonales ont même longueur puisque HJ = IK, et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque P = Q on en conclut que HIJK est un rectangle.
35
EXERCICE 58
Soient les points X(−10; −1) , Y (−16;3) et Z (−9; 7). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [ XY ]. Démontrer que le triangle XYZ est isocèle en Z .
Soient les points X(−10; −1) , Y (−16;3) et Z (−9; 7).
xX + xY −10 + (−16) −26 = = = −13 2 2 2
xA =
yA =
yX + yY −1 + (3) 2 = = = 1 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [XY ] est A (−13;1)
XZ =
√
YZ =
2
2
(xZ − xX ) + ( yZ − yX ) =
√
√
(xZ − xY )2 + ( yZ − yY )2 =
2
2
(−9 − (−10)) + (7 − (−1)) =
√
(−9 − (−16))2 + (7 − (3))2 =
√
(1)2 + (8)2 =
√
(7)2 + (4)2 =
√
65
√
65
Ainsi XZ = YZ . Le triangle XYZ est donc isocèle en Z.
EXERCICE 59
Soient les points X(0; −7), Y (−20; −27), Z(−20; −27) et A(0; −7). Déterminer les coordonnées du milieu F du segment [XZ ] et du milieu G du segment [YA ]. Démontrer que le quadrilatère XYZA est un rectangle.
Soient les points X(0; −7), Y (−20; −27), Z(−20; −27) et A(0; −7).
xX + xZ 0 + (−20) −20 = = = −10 2 2 2
xF =
yX + yZ −7 + (−27) −34 = = = −17 2 2 2
yF =
Ainsi le milieu du segment [XZ ] est F(−10; −17)
xG = yG =
xY + xA −20 + (0) −20 = = = −10 2 2 2
yY + yA −27 + (−7) −34 = = = −17 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [YA ] est G (−10; −17)
XZ =
√
2
2
(xZ − xX ) + ( yZ − yX ) =
√
2
2
(−20 − (0)) + (−27 − (−7)) =
36
√
(−20)2 + (−20)2 =
√
√
800 = 20 2
YA =
√
(xA − xY )2 + ( yA − yY )2 =
√
2
2
(0 − (−20)) + (−7 − (−27)) =
√
√
(20)2 + (20)2 =
√
800 = 20 2
Comme les diagonales ont même longueur puisque XZ = Y A, et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque F = G on en conclut que XYZA est un rectangle.
EXERCICE 60
Soient les points J(5; −2), K(3;14), L(−12;4) et M (20;8). Déterminer les coordonnées du milieu R du segment [ JK ]. Démontrer que le quadrilatère JLKM est un losange.
Soient les points J(5; −2), K(3;14), L(−12;4) et M(20;8).
xR = yR =
xJ + xK 5 + (3) 8 = = = 4 2 2 2
yJ + yK 12 −2 + (14) = = = 6 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [JK ] est R(4; 6)
JL =
√
LK =
√
KM =
√
MJ =
2
2
(xL − xJ ) + ( yL − yJ ) =
2
√
2
(xK − xL ) + ( yK − yL ) =
2
2
(xJ − xM ) + ( yJ − yM ) =
2
(−12 − (5)) + (4 − (−2)) =
√
(xM − xK )2 + ( yM − yK )2 =
√
2
√
(−17)2 + (6)2 =
(3 − (−12)) + (14 − (4)) =
√
√
√
2
2
(20 − (3))2 + (8 − (14))2 =
√
2
2
(5 − (20)) + (−2 − (8)) =
(15)2 + (10)2 =
√
√
√
√
325 = 5 13
(17)2 + (−6)2 =
√
325 = 5 13
√
(−15)2 + (−10)2 =
√
325 = 5 13
√
√
325 = 5 13
Comme JL = LK = KM = MJ, on en conclut que JLKM est un losange.
EXERCICE 61
Soient les points T (−3;10), U(1; 0), V (−9; −4) et W (−13;6). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [ T V ] et du milieu B du segment [ UW ]. Démontrer que le quadrilatère TUVW est un carré.
Soient les points T (−3;10), U(1; 0), V (−9; −4) et W (−13;6).
37
xA =
xT + xV −3 + (−9) −12 = = = −6 2 2 2 yT + yV 10 + (−4) 6 = = = 3 2 2 2
yA = Ainsi le milieu du segment [T V ] est A(−6; 3)
xB =
xU + xW 1 + (−13) −12 = = = −6 2 2 2
yB =
yU + yW 0 + (6) 6 = = = 3 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [UW ] est B(−6; 3)
TU =
UV =
VW =
2
2
2
(xV − xU ) + ( yV − yU ) =
√
(xW − xV )2 + ( yW − yV )2 =
√
2
2
√
2
2
√
(4)2 + (−10)2 =
√
2
2
2
(−3 − (−13)) + (10 − (6)) =
2
2
(−9 − (−3)) + (−4 − (10)) =
(xW − xU ) + ( yW − yU ) =
√
2
2
√
(−10)2 + (−4)2 =
(−13 − (−9))2 + (6 − (−4))2 =
√
2
√
√
(xV − xT ) + ( yV − yT ) =
2
2
(−9 − (1)) + (−4 − (0)) =
√
2
2
(1 − (−3)) + (0 − (10)) =
(xT − xW ) + ( yT − yW ) =
√
UW =
√
2
(xU − xT ) + ( yU − yT ) =
√
WT =
T V =
√
(10)2 + (4)2 =
(−14)2 + (6)2 =
√
√
116 = 2 29
√
√
116 = 2 29
(−6)2 + (−14)2 =
√
√
116 = 2 29
(−4)2 + (10)2 =
√
(−13 − (1)) + (6 − (0)) =
√
√
√
√
116 = 2 29
√
√
232 = 2 58
√
√
232 = 2 58
Comme T U = UV = V W = WT , on en conclut que TUVW est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque T V = UW , on en conclut que TUVW est un carré.
EXERCICE 62
Soient les points X(−10;8) , Y (−30;14) et Z(−23;1). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [ XY ]. Démontrer que le triangle XYZ est rectangle en Z.
Soient les points X(−10;8) , Y (−30;14) et Z(−23;1).
xX + xY −10 + (−30) −40 = = = −20 2 2 2 yX + yY 8 + (14) 22 yA = = = = 11 2 2 2 Ainsi le milieu du segment [XY ] est A (−20;11) xA =
38
XZ =
√
√
ZY =
√
√
XY =
(xZ − xX )2 + ( yZ − yX )2 =
(xY − xZ )2 + ( yY − yZ )2 =
√
2
2
(xY − xX ) + ( yY − yX ) =
√
(−23 − (−10))2 + (1 − (8))2 =
(−30 − (−23))2 + (14 − (1))2 =
√
2
2
(−30 − (−10)) + (14 − (8)) =
√
(−13)2 + (−7)2 =
√
(−7)2 + (13)2 =
√
(−20)2 + (6)2 =
218
√
218
√
√
436 = 2 109
XZ2 + ZY 2 = 218 + 218 = 436 or
XY 2 = 436 ainsi
XZ2 + ZY 2 = XY 2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle XYZ est rectangle en Z. Comme XZ = Y Z, on peut en conclure que le triangle est rectangle isocèle en Z .
EXERCICE 63
Soient les points G(−9; 5), H(−3; −7), I(18;11) et J(−30; −13). Déterminer les coordonnées du milieu O du segment [ GH ]. Démontrer que le quadrilatère GIHJ est un losange.
Soient les points G(−9; 5), H(−3; −7), I(18;11) et J(−30; −13).
xO =
xG + xH −9 + (−3) −12 = = = −6 2 2 2 5 + (−7) −2 yG + yH = = = −1 2 2 2
yO =
Ainsi le milieu du segment [GH ] est O(−6; −1)
GI =
IH =
HJ =
√
(xI − xG )2 + ( yI − yG )2 =
√
2
(xH − xI ) + ( yH − yI ) =
√
JG =
2
2
2
(xJ − xH ) + ( yJ − yH ) =
√
2
2
√
(18 − (−9))2 + (11 − (5))2 =
√
2
(−3 − (18)) + (−7 − (11)) =
√
(xG − xJ ) + ( yG − yJ ) =
2
√
(27)2 + (6)2 =
√
(−30 − (−3)) + (−13 − (−7)) =
√
√
2
(−9 − (−30))2 + (5 − (−13))2 =
39
√
765 = 3 85
(−21)2 + (−18)2 =
√
2
√
√
(−27)2 + (−6)2 =
(21)2 + (18)2 =
√
765 = 3 85
√
√
765 = 3 85
√
√
765 = 3 85
Comme GI = IH = HJ = JG, on en conclut que GIHJ est un losange.
EXERCICE 64
Soient les points L(7; −8) , M(−13; −24) et N(−11; −26). Déterminer les coordonnées du milieu S du segment [ LM ]. Démontrer que le triangle LMN est rectangle en N .
Soient les points L(7; −8) , M(−13; −24) et N(−11; −26).
xS =
xL + xM 7 + (−13) −6 = = = −3 2 2 2
yL + yM − 8 + (−24) − 32 = = = −16 2 2 2
yS =
Ainsi le milieu du segment [LM ] est S(−3; −16)
LN =
√
2
(xN − xL ) + ( yN − yL ) =
NM =
LM =
2
√
2
√
2
2
2
(xM − xL ) + ( yM − yL ) =
2
(−11 − (7)) + (−26 − (−8)) =
(xM − xN ) + ( yM − yN ) =
√
2
√
√
(−18)2 + (−18)2 =
2
2
(−13 − (−11)) + (−24 − (−26)) =
√
2
2
(−13 − (7)) + (−24 − (−8)) =
√
√
648 = 18 2
√
(−2)2 + (2)2 =
√
(−20)2 + (−16)2 =
√
√
√
8 = 2 2
√
656 = 4 41
LN2 + NM2 = 648 + 8 = 656 or
LM2 = 656 ainsi
LN2 + NM2 = LM2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle LMN est rectangle en N.
EXERCICE 65
Soient les points C(6; 3), D (−9; 0), E(−12;15) et F(3;18). Déterminer les coordonnées du milieu K du segment [CE ] et du milieu L du segment [DF ]. Démontrer que le quadrilatère CDEF est un carré.
Soient les points C(6; 3), D (−9; 0), E(−12;15) et F(3;18).
xK =
xC + xE 6 + (−12) −6 = = = −3 2 2 2
yK =
yC + yE 3 + (15) 18 = = = 9 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [CE ] est K(−3; 9)
40
xD + xF −9 + (3) −6 = = = −3 2 2 2
xL =
yD + yF 0 + (18) 18 = = = 9 2 2 2
yL = Ainsi le milieu du segment [DF ] est L(−3; 9)
CD =
DE =
√
(xD − xC )2 + ( yD − yC )2 =
√
(xE − xD )2 + ( yE − yD )2 =
√
(xF − xE )2 + ( yF − yE )2 =
EF =
FC =
CE =
√
2
(−9 − (6))2 + (0 − (3))2 =
2
(xE − xC ) + ( yE − yC ) =
√
2
(−15)2 + (−3)2 =
√
√
√
(−12 − (−9))2 + (15 − (0))2 =
(3 − (−12))2 + (18 − (15))2 =
√
2
2
√
√
(xC − xF ) + ( yC − yF ) =
√
DF =
√
2
(6 − (3)) + (3 − (18)) =
√
2
2
(xF − xD ) + ( yF − yD ) =
√
(15)2 + (3)2 =
(3)2 + (−15)2 =
2
2
√
2
2
√
(3 − (−9)) + (18 − (0)) =
√
234 = 3 26
(−3)2 + (15)2 =
√
(−12 − (6)) + (15 − (3)) =
√
√
√
234 = 3 26
√
√
234 = 3 26
√
(−18)2 + (12)2 =
(12)2 + (18)2 =
√
234 = 3 26
√
√
468 = 6 13
√
√
468 = 6 13
Comme CD = DE = EF = FC, on en conclut que CDEF est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque CE = DF, on en conclut que CDEF est un carré.
EXERCICE 66
Soient les points R(6; −1) , S(−12;7) et T (9;30). Déterminer les coordonnées du milieu Y du segment [ RS ]. Démontrer que le triangle RST est isocèle en T .
Soient les points R(6; −1) , S(−12;7) et T (9;30).
xY =
xR + xS 6 + (−12) −6 = = = −3 2 2 2
yY =
yR + yS −1 + (7) 6 = = = 3 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [RS ] est Y (−3; 3)
RT =
ST =
√
2
2
(xT − xR ) + ( yT − yR ) =
√
2
2
(xT − xS ) + ( yT − yS ) =
√
2
2
√
2
√
(9 − (6)) + (30 − (−1)) =
√
2
(9 − (−12)) + (30 − (7)) =
41
(3)2 + (31)2 =
√
(21)2 + (23)2 =
970
√
970
Ainsi RT = ST . Le triangle RST est donc isocèle en T .
EXERCICE 67
Soient les points Y (8; −3) , Z(28; −1) et A(17; −12). Déterminer les coordonnées du milieu F du segment [YZ ]. Démontrer que le triangle YZA est rectangle en A.
Soient les points Y (8; −3) , Z(28; −1) et A(17; −12). 36 xY + xZ 8 + (28) = = = 18 2 2 2
xF =
yY + yZ −3 + (−1) −4 = = = −2 2 2 2
yF =
Ainsi le milieu du segment [YZ ] est F (18; −2)
YA =
AZ =
√
2
(xA − xY ) + ( yA − yY ) =
√
YZ =
2
2
2
(xZ − xA ) + ( yZ − yA ) =
√
2
√
2
2
√
√
2
2
√
√
(17 − (8)) + (−12 − (−3)) =
√
(28 − (17)) + (−1 − (−12)) =
2
(xZ − xY ) + ( yZ − yY ) =
√
2
2
(28 − (8)) + (−1 − (−3)) =
(9)2 + (−9)2 =
(11)2 + (11)2 =
√
(20)2 + (2)2 =
√
162 = 9 2
√
√
242 = 11 2
√
404 = 2 101
YA 2 + AZ2 = 162 + 242 = 404 or
YZ 2 = 404 ainsi
YA 2 + AZ2 = YZ 2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle Y ZA est rectangle en A.
EXERCICE 68
Soient les points L(6; 5), M(9;23), N(−4;23) et O(−7; 5). Déterminer les coordonnées du milieu T du segment [ LN ] et du milieu U du segment [ MO ]. Démontrer que le quadrilatère LMNO est un parallélogramme.
Soient les points L(6; 5), M(9;23), N(−4;23) et O(−7; 5).
xT = yT =
xL + xN 6 + (−4) 2 = = = 1 2 2 2
yL + yN 5 + (23) 28 = = = 14 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [LN ] est T (1;14)
42
xM + xO 9 + (−7) 2 = = = 1 2 2 2
xU =
yM + yO 23 + (5) 28 = = = 14 2 2 2
yU =
Ainsi le milieu du segment [MO ] est U (1;14) Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque T = U on en conclut que LMNO est un parallélogramme.
EXERCICE 69
Soient les points J(0; −9), K(4; −17), L(10; −9) et M(−6; −17). Déterminer les coordonnées du milieu R du segment [ JK ]. Démontrer que le quadrilatère JLKM est un losange.
Soient les points J(0; −9), K(4; −17), L(10; −9) et M(−6; −17).
xR = yR =
0 + (4) 4 xJ + xK = = = 2 2 2 2
yJ + yK −9 + (−17) −26 = = = −13 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [JK ] est R(2; −13)
JL =
LK =
KM =
√
2
2
(xL − xJ ) + ( yL − yJ ) =
√
2
2
(xK − xL ) + ( yK − yL ) =
√
MJ =
2
2
2
2
√
2
√
(10 − (0)) + (−9 − (−9)) =
√
(xM − xK )2 + ( yM − yK )2 =
√
√
2
(4 − (10)) + (−17 − (−9)) =
(10)2 + (0)2 =
√
(xJ − xM ) + ( yJ − yM ) =
(−6 − (4))2 + (−17 − (−17))2 =
√
2
2
(0 − (−6)) + (−9 − (−17)) =
√
100 = 10
(−6)2 + (−8)2 =
√
100 = 10
√
(−10)2 + (0)2 =
√
(6)2 + (8)2 =
√
100 = 10
√
100 = 10
Comme JL = LK = KM = MJ, on en conclut que JLKM est un losange.
EXERCICE 70
Soient les points P(2; −7), Q(18; −7), R(18;3) et S(2; 3). Déterminer les coordonnées du milieu X du segment [PR ] et du milieu Y du segment [QS ]. Démontrer que le quadrilatère PQRS est un rectangle.
Soient les points P(2; −7), Q(18; −7), R(18;3) et S (2; 3).
43
xP + xR 2 + (18) 20 = = = 10 2 2 2
xX =
yP + yR −7 + (3) −4 = = = −2 2 2 2
yX =
Ainsi le milieu du segment [PR ] est X (10; −2)
xQ + xS 18 + (2) 20 = = = 10 2 2 2 yQ + yS −7 + (3) −4 yY = = = = −2 2 2 2 xY =
Ainsi le milieu du segment [QS ] est Y (10; −2)
PR =
QS =
√
2
2
√
2
2
√
2
√
2
2
√
(xR − xP ) + ( yR − yP ) =
√
2
(xS − xQ ) + ( yS − yQ ) =
(18 − (2)) + (3 − (−7)) =
(2 − (18)) + (3 − (−7)) =
(16)2 + (10)2 =
√
(−16)2 + (10)2 =
√
356 = 2 89
√
√
356 = 2 89
Comme les diagonales ont même longueur puisque PR = QS , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque X = Y on en conclut que PQRS est un rectangle.
EXERCICE 71
Soient les points U(−6; 2), V (−20;14), W (−37; −20) et X(11;36). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [UV ]. Démontrer que le quadrilatère UWVX est un losange.
Soient les points U(−6; 2), V (−20;14), W (−37; −20) et X(11;36).
xA =
xU + xV −6 + (−20) −26 = = = −13 2 2 2 16 yU + yV 2 + (14) = = = 8 2 2 2
yA =
Ainsi le milieu du segment [UV ] est A (−13;8)
UW =
√
WV =
√
2
2
(xW − xU ) + ( yW − yU ) =
VX =
√
2
(xV − xW ) + ( yV − yW ) =
√
√
2
2
2
(−31)2 + (−22)2 =
(−37 − (−6)) + (−20 − (2)) =
√
2
√
2
(xX − xV ) + ( yX − yV ) =
2
2
(−20 − (−37)) + (14 − (−20)) =
2
2
(11 − (−20)) + (36 − (14)) =
44
√
√
(17)2 + (34)2 =
(31)2 + (22)2 =
√
√
√
1445 = 17 5
√
√
1445 = 17 5
√
1445 = 17 5
XU =
√
√
(xU − xX )2 + ( yU − yX )2 =
2
2
(−6 − (11)) + (2 − (36)) =
√
√
(−17)2 + (−34)2 =
√
1445 = 17 5
Comme UW = WV = VX = XU, on en conclut que UWVX est un losange.
EXERCICE 72
Soient les points F(−4; −5), G(4; −25), H (40;1) et I(−40; −31). Déterminer les coordonnées du milieu N du segment [ FG ]. Démontrer que le quadrilatère FHGI est un losange.
Soient les points F(−4; −5), G(4; −25), H (40;1) et I(−40; −31).
xN =
xF + xG 0 −4 + (4) = = = 0 2 2 2
yF + yG −5 + (−25) −30 = = = −15 2 2 2
yN =
Ainsi le milieu du segment [FG ] est N (0; −15)
FH =
HG =
GI =
√
(xH − xF )2 + ( yH − yF )2 =
√
2
(xG − xH ) + ( yG − yH ) =
√
IF =
2
2
√
2
√
2
√
(xF − xI ) + ( yF − yI ) =
(40 − (−4))2 + (1 − (−5))2 =
√
2
(xI − xG ) + ( yI − yG ) =
√
2
2
(4 − (40)) + (−25 − (1)) =
2
2
2
(44)2 + (6)2 =
√
√
(−40 − (4)) + (−31 − (−25)) =
2
√
√
1972 = 2 493
(−36)2 + (−26)2 =
√
√
√
(−4 − (−40)) + (−5 − (−31)) =
(−44)2 + (−6)2 =
√
(36)2 + (26)2 =
√
1972 = 2 493
√
1972 = 2 493
√
√
1972 = 2 493
Comme FH = HG = GI = IF, on en conclut que FHGI est un losange.
EXERCICE 73
Soient les points I(7; 9) , J (−7;27) et K(−9;25). Déterminer les coordonnées du milieu P du segment [IJ ]. Démontrer que le triangle IJK est rectangle en K.
Soient les points I(7; 9) , J (−7;27) et K(−9;25).
45
xI + xJ 7 + (−7) 0 = = = 0 2 2 2
xP =
yI + yJ 9 + (27) 36 = = = 18 2 2 2
yP = Ainsi le milieu du segment [IJ ] est P(0;18)
IK =
√
2
(xK − xI ) + ( yK − yI ) =
KJ =
IJ =
2
√
2
√
2
2
2
(xJ − xI ) + ( yJ − yI ) =
2
(−9 − (7)) + (25 − (9)) =
(xJ − xK ) + ( yJ − yK ) =
√
2
√
2
√
(−16)2 + (16)2 =
2
(−7 − (−9)) + (27 − (25)) =
√
2
2
(−7 − (7)) + (27 − (9)) =
√
√
(2)2 + (2)2 =
√
(−14)2 + (18)2 =
√
512 = 16 2
√
√
√
8 = 2 2
√
520 = 2 130
IK2 + KJ2 = 512 + 8 = 520 or
IJ2 = 520 ainsi
IK2 + KJ2 = IJ2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IJK est rectangle en K.
EXERCICE 74
Soient les points K(−6; −5), L(−38;9), M(−24;9) et N(8; −5). Déterminer les coordonnées du milieu S du segment [KM ] et du milieu T du segment [ LN ]. Démontrer que le quadrilatère KLMN est un parallélogramme.
Soient les points K(−6; −5), L(−38;9), M(−24;9) et N(8; −5).
xS =
xK + xM −6 + (−24) −30 = = = −15 2 2 2
yS =
yK + yM −5 + (9) 4 = = = 2 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [KM ] est S (−15;2)
xT =
xL + xN −38 + (8) −30 = = = −15 2 2 2
yT =
9 + (−5) 4 yL + yN = = = 2 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [LN ] est T (−15;2) Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque S = T on en conclut que KLMN est un parallélogramme.
46
EXERCICE 75
Soient les points J(−9; 9), K(−11;7), L(5; −9) et M(7; −7). Déterminer les coordonnées du milieu R du segment [JL ] et du milieu S du segment [KM ]. Démontrer que le quadrilatère JKLM est un rectangle.
Soient les points J(−9; 9), K(−11;7), L(5; −9) et M(7; −7).
xJ + xL −9 + (5) −4 = = = −2 2 2 2
xR =
yR =
0 yJ + yL 9 + (−9) = = = 0 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [JL ] est R (−2; 0)
xS =
xK + xM −11 + (7) −4 = = = −2 2 2 2
yS =
yK + yM 7 + (−7) 0 = = = 0 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [KM ] est S (−2; 0)
JL =
KM =
√
2
2
(xL − xJ ) + ( yL − yJ ) =
√
2
√
2
2
(5 − (−9)) + (−9 − (9)) =
2
(xM − xK ) + ( yM − yK ) =
√
2
√
2
(14)2 + (−18)2 =
(7 − (−11)) + (−7 − (7)) =
√
√
√
520 = 2 130
(18)2 + (−14)2 =
√
√
520 = 2 130
Comme les diagonales ont même longueur puisque JL = KM , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque R = S on en conclut que JKLM est un rectangle.
EXERCICE 76
Soient les points G(1; −9), H(4; −16), I(−3; −19) et J(−6; −12). Déterminer les coordonnées du milieu O du segment [GI ] et du milieu P du segment [HJ ]. Démontrer que le quadrilatère GHIJ est un carré.
Soient les points G(1; −9), H(4; −16), I(−3; −19) et J(−6; −12).
xO = yO =
xG + xI 1 + (−3) −2 = = = −1 2 2 2
yG + yI −9 + (−19) −28 = = = −14 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [GI ] est O (−1; −14)
xH + xJ 4 + (−6) −2 = = = −1 2 2 2 yH + yJ −16 + (−12) −28 yP = = = = −14 2 2 2 Ainsi le milieu du segment [HJ ] est P (−1; −14) xP =
47
GH =
√
(xH − xG )2 + ( yH − yG )2 =
√
(4 − (1))2 + (−16 − (−9))2 =
√
(3)2 + (−7)2 =
HI =
√
√
√
IJ =
√
√
√
(xI − xH )2 + ( yI − yH )2 =
JG =
(xJ − xI )2 + ( yJ − yI )2 =
(−3 − (4))2 + (−19 − (−16))2 =
(−6 − (−3))2 + (−12 − (−19))2 =
√
(xG − xJ )2 + ( yG − yJ )2 =
GI =
√
2
HJ =
√
2
√
2
(xI − xG ) + ( yI − yG ) =
2
√
2
(−3 − (1)) + (−19 − (−9)) =
(xJ − xH ) + ( yJ − yH ) =
√
2
(−3)2 + (7)2 =
√
(−4)2 + (−10)2 =
√
(−10)2 + (4)2 =
(−6 − (4)) + (−12 − (−16)) =
√
58
√
58
√
(7)2 + (3)2 =
√
2
58
(−7)2 + (−3)2 =
(1 − (−6))2 + (−9 − (−12))2 =
2
√
58
√
√
√
√
116 = 2 29
116 = 2 29
Comme GH = HI = IJ = JG, on en conclut que GHIJ est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque GI = HJ, on en conclut que GHIJ est un carré.
EXERCICE 77
Soient les points O(5;10), P(3; 8), Q(−7;18) et R(−5;20). Déterminer les coordonnées du milieu W du segment [ OQ ] et du milieu X du segment [ PR ]. Démontrer que le quadrilatère OPQR est un rectangle.
Soient les points O(5;10), P(3; 8), Q(−7;18) et R(−5;20).
xO + xQ 5 + (−7) −2 = = = −1 2 2 2 yO + yQ 10 + (18) 28 yW = = = = 14 2 2 2 xW =
Ainsi le milieu du segment [OQ ] est W (−1;14)
xX =
xP + xR 3 + (−5) −2 = = = −1 2 2 2
yX =
yP + yR 8 + (20) 28 = = = 14 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [PR ] est X (−1;14)
OQ =
√
2
2
(xQ − xO ) + ( yQ − yO ) =
√
2
2
(−7 − (5)) + (18 − (10)) =
48
√
(−12)2 + (8)2 =
√
√
208 = 4 13
PR =
√
(xR − xP )2 + ( yR − yP )2 =
√
(−5 − (3))2 + (20 − (8))2 =
√
(−8)2 + (12)2 =
√
√
208 = 4 13
Comme les diagonales ont même longueur puisque OQ = PR, et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque W = X on en conclut que OPQR est un rectangle.
EXERCICE 78
Soient les points P(−5; 6), Q(−16;8), R(−9; −2) et S(2; −4). Déterminer les coordonnées du milieu X du segment [PR ] et du milieu Y du segment [QS ]. Démontrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme.
Soient les points P(−5; 6), Q(−16;8), R(−9; −2) et S(2; −4).
xX =
xP + xR −5 + (−9) −14 = = = −7 2 2 2
yX =
yP + yR 6 + (−2) 4 = = = 2 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [PR ] est X (−7; 2)
xQ + xS −16 + (2) −14 = = = −7 2 2 2 yQ + yS 8 + (−4) 4 yY = = = = 2 2 2 2
xY =
Ainsi le milieu du segment [QS ] est Y (−7; 2) Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque X = Y on en conclut que PQRS est un parallélogramme.
EXERCICE 79
Soient les points E(−4; 3) , F (14; −13) et G (21;13). Déterminer les coordonnées du milieu L du segment [ EF ]. Démontrer que le triangle EFG est isocèle en G.
Soient les points E(−4; 3) , F (14; −13) et G (21;13).
xL = yL =
10 xE + xF −4 + (14) = = = 5 2 2 2
yE + yF 3 + (−13) −10 = = = −5 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [EF ] est L (5; −5)
EG =
√
2
2
(xG − xE ) + ( yG − yE ) =
√
2
2
(21 − (−4)) + (13 − (3)) =
49
√
(25)2 + (10)2 =
√
√
725 = 5 29
FG =
√
(xG − xF )2 + ( yG − yF )2 =
√
(21 − (14))2 + (13 − (−13))2 =
√
(7)2 + (26)2 =
√
√
725 = 5 29
Ainsi EG = FG. Le triangle EFG est donc isocèle en G.
EXERCICE 80
Soient les points Y (−8; 5), Z(−8; 7), A(−6; 7) et B(−6; 5). Déterminer les coordonnées du milieu G du segment [YA ] et du milieu H du segment [ ZB ]. Démontrer que le quadrilatère YZAB est un carré.
Soient les points Y (−8; 5), Z(−8; 7), A(−6; 7) et B(−6; 5).
xG =
xY + xA −8 + (−6) −14 = = = −7 2 2 2
yG =
yY + yA 5 + (7) 12 = = = 6 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [YA ] est G (−7; 6)
xH =
xZ + xB −8 + (−6) −14 = = = −7 2 2 2
yH =
yZ + yB 7 + (5) 12 = = = 6 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [ZB ] est H(−7; 6)
YZ =
√
2
ZA =
√
2
(xZ − xY ) + ( yZ − yY ) =
AB =
2
BY =
√
2
ZB =
2
2
(xB − xA ) + ( yB − yA ) =
2
2
2
√
2
2
2
2
(−6 − (−6)) + (5 − (7)) =
√
√
√
(0)2 + (2)2 =
(−6 − (−8)) + (7 − (7)) =
√
√
(2)2 + (0)2 =
√
√
2
√
2
√
2
2
√
(xB − xZ ) + ( yB − yZ ) =
(−6 − (−8)) + (7 − (5)) =
√
2
2
(−6 − (−8)) + (5 − (7)) =
4 = 2
(0)2 + (−2)2 =
2
(−8 − (−6)) + (5 − (5)) =
4 = 2
√
√
(xA − xY ) + ( yA − yY ) =
√
2
2
(xY − xB ) + ( yY − yB ) =
√
2
(−8 − (−8)) + (7 − (5)) =
(xA − xZ ) + ( yA − yZ ) =
√
YA =
√
2
(−2)2 + (0)2 =
(2)2 + (2)2 =
√
4 = 2
4 = 2
√
(2)2 + (−2)2 =
√
8 = 2 2
√
√
8 = 2 2
Comme YZ = ZA = AB = BY , on en conclut que YZAB est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque YA = ZB, on en conclut que YZAB est un carré.
50
EXERCICE 81
Soient les points Z(7; −6) , A(27; −24) et B (53;25). Déterminer les coordonnées du milieu G du segment [ZA ]. Démontrer que le triangle ZAB est isocèle en B .
Soient les points Z(7; −6) , A(27; −24) et B (53;25).
xG =
xZ + xA 7 + (27) 34 = = = 17 2 2 2
yZ + yA −6 + (−24) −30 = = = −15 2 2 2
yG =
Ainsi le milieu du segment [ZA ] est G(17; −15)
ZB =
AB =
√
2
2
(xB − xZ ) + ( yB − yZ ) =
√
√
2
2
(53 − (7)) + (25 − (−6)) =
√
(46)2 + (31)2 =
√
(xB − xA )2 + ( yB − yA )2 =
(53 − (27))2 + (25 − (−24))2 =
√
√
(26)2 + (49)2 =
3077
√
3077
Ainsi ZB = AB. Le triangle ZAB est donc isocèle en B.
EXERCICE 82
Soient les points B(−9; −6), C(−11; −6), D (−10; −10) et E (−10; −2). Déterminer les coordonnées du milieu J du segment [ BC ]. Démontrer que le quadrilatère BDCE est un losange.
Soient les points B(−9; −6), C(−11; −6), D (−10; −10) et E (−10; −2).
xJ =
xB + xC −9 + (−11) −20 = = = −10 2 2 2
yJ =
yB + yC −6 + (−6) −12 = = = −6 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [BC ] est J (−10; −6)
BD =
√
DC =
√
2
2
(xD − xB ) + ( yD − yB ) =
CE =
2
2
(xC − xD ) + ( yC − yD ) =
√
2
2
√
2
2
(−10 − (−9)) + (−10 − (−6)) =
√
(xE − xC ) + ( yE − yC ) =
2
√
2
(−11 − (−10)) + (−6 − (−10)) =
√
2
2
(−10 − (−11)) + (−2 − (−6)) =
51
(−1)2 + (−4)2 =
√
(−1)2 + (4)2 =
√
(1)2 + (4)2 =
√
17
√
17
√
17
EB =
√
(xB − xE )2 + ( yB − yE )2 =
√
(−9 − (−10))2 + (−6 − (−2))2 =
√
(1)2 + (−4)2 =
√
17
Comme BD = DC = CE = EB, on en conclut que BDCE est un losange.
EXERCICE 83
Soient les points E(−8; 5), F(−3;10), G (12; −5) et H(7; −10). Déterminer les coordonnées du milieu M du segment [ EG ] et du milieu N du segment [ FH ]. Démontrer que le quadrilatère EFGH est un rectangle.
Soient les points E(−8; 5), F(−3;10), G(12; −5) et H(7; −10).
xM =
xE + xG 4 −8 + (12) = = = 2 2 2 2
yM =
yE + yG 5 + (−5) 0 = = = 0 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [EG ] est M (2; 0)
xF + xH 4 −3 + (7) = = = 2 2 2 2
xN =
yF + yH 10 + (−10) 0 = = = 0 2 2 2
yN = Ainsi le milieu du segment [FH ] est N(2; 0)
EG =
FH =
√
2
2
(xG − xE ) + ( yG − yE ) =
√
(xH − xF )2 + ( yH − yF )2 =
√
(12 − (−8)) + (−5 − (5)) =
√
√
√
(7 − (−3))2 + (−10 − (10))2 =
√
√
√
2
√
2
(20)2 + (−10)2 =
(10)2 + (−20)2 =
500 = 10 5
500 = 10 5
Comme les diagonales ont même longueur puisque EG = FH , et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque M = N on en conclut que EFGH est un rectangle.
EXERCICE 84
Soient les points C(2; 8) , D (−6; −8) et E(6; 4). Déterminer les coordonnées du milieu J du segment [ CD ]. Démontrer que le triangle CDE est rectangle en E.
Soient les points C(2; 8) , D(−6; −8) et E(6; 4).
xJ =
xC + xD 2 + (−6) −4 = = = −2 2 2 2
yJ =
yC + yD 8 + (−8) 0 = = = 0 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [CD ] est J (−2; 0)
52
CE =
ED =
√
(xE − xC )2 + ( yE − yC )2 =
√
2
2
(xD − xE ) + ( yD − yE ) =
CD =
√
2
√
(6 − (2))2 + (4 − (8))2 =
√
2
2
(−6 − (6)) + (−8 − (4)) =
2
(xD − xC ) + ( yD − yC ) =
√
2
√
(4)2 + (−4)2 =
√
√
32 = 4 2
√
2
(−6 − (2)) + (−8 − (8)) =
√
(−12)2 + (−12)2 =
√
√
288 = 12 2
(−8)2 + (−16)2 =
√
√
320 = 8 5
CE2 + ED2 = 32 + 288 = 320 or
CD2 = 320 ainsi
CE2 + ED2 = CD2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CDE est rectangle en E .
EXERCICE 85
Soient les points U(9; 7) , V (21; −13) et W (25;3). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [UV ]. Démontrer que le triangle UVW est rectangle en W .
Soient les points U(9; 7) , V (21; −13) et W (25;3).
xA =
xU + xV 9 + (21) 30 = = = 15 2 2 2
yU + yV 7 + (−13) −6 = = = −3 2 2 2
yA =
Ainsi le milieu du segment [UV ] est A (15; −3)
UW =
WV =
√
2
(xW − xU ) + ( yW − yU ) =
√
UV =
2
2
2
√
2
√
(xV − xW ) + ( yV − yW ) =
√
2
√
(xV − xU ) + ( yV − yU ) =
2
2
(25 − (9)) + (3 − (7)) =
2
2
√
(16)2 + (−4)2 =
(21 − (25)) + (−13 − (3)) =
2
2
(21 − (9)) + (−13 − (7)) =
UW 2 + WV 2 = 272 + 272 = 544 or
UV 2 = 544
53
√
√
(−4)2 + (−16)2 =
√
(12)2 + (−20)2 =
√
272 = 4 17
√
√
272 = 4 17
√
√
544 = 4 34
ainsi
UW 2 + WV 2 = UV 2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle UVW est rectangle en W . Comme UW = V W , on peut en conclure que le triangle est rectangle isocèle en W .
EXERCICE 86
Soient les points E(−10; −7) , F(−16; −5) et G (−10;3). Déterminer les coordonnées du milieu L du segment [ EF ]. Démontrer que le triangle EFG est isocèle en G.
Soient les points E(−10; −7) , F(−16; −5) et G (−10;3).
xL =
xE + xF −10 + (−16) −26 = = = −13 2 2 2
yL =
yE + yF −7 + (−5) −12 = = = −6 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [EF ] est L (−13; −6)
EG =
√
2
2
√
2
2
√
2
√
2
2
√
(xG − xE ) + ( yG − yE ) =
FG =
√
2
(xG − xF ) + ( yG − yF ) =
(−10 − (−10)) + (3 − (−7)) =
(−10 − (−16)) + (3 − (−5)) =
(0)2 + (10)2 =
(6)2 + (8)2 =
√
100 = 10
√
100 = 10
Ainsi EG = FG. Le triangle EFG est donc isocèle en G.
EXERCICE 87
Soient les points Y (−5; −4) , Z(−7; −16) et A(−12; −11). Déterminer les coordonnées du milieu F du segment [YZ ]. Démontrer que le triangle YZA est rectangle en A.
Soient les points Y (−5; −4) , Z(−7; −16) et A(−12; −11).
xF = yF =
xY + xZ −5 + (−7) −12 = = = −6 2 2 2
yY + yZ −4 + (−16) −20 = = = −10 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [YZ ] est F (−6; −10)
YA =
√
2
2
(xA − xY ) + ( yA − yY ) =
√
2
2
(−12 − (−5)) + (−11 − (−4)) =
54
√
(−7)2 + (−7)2 =
√
√
98 = 7 2
AZ =
YZ =
√
(xZ − xA )2 + ( yZ − yA )2 =
√
2
2
(xZ − xY ) + ( yZ − yY ) =
√
2
2
(−7 − (−12)) + (−16 − (−11)) =
√
2
2
(−7 − (−5)) + (−16 − (−4)) =
√
(5)2 + (−5)2 =
√
(−2)2 + (−12)2 =
√
√
50 = 5 2
√
√
148 = 2 37
YA 2 + AZ2 = 98 + 50 = 148 or
YZ 2 = 148 ainsi
YA 2 + AZ2 = YZ 2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle Y ZA est rectangle en A.
EXERCICE 88
Soient les points H(1; −5), I(14; −8), J(5; 1) et K(−8; 4). Déterminer les coordonnées du milieu P du segment [HJ ] et du milieu Q du segment [IK ]. Démontrer que le quadrilatère HIJK est un parallélogramme.
Soient les points H(1; −5), I(14; −8), J(5; 1) et K(−8; 4).
xP = yP =
6 xH + xJ 1 + (5) = = = 3 2 2 2
yH + yJ − 5 + (1) −4 = = = −2 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [HJ ] est P (3; −2)
xQ = yQ =
6 xI + xK 14 + (−8) = = = 3 2 2 2
yI + yK −8 + (4) −4 = = = −2 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [IK ] est Q (3; −2) Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque P = Q on en conclut que HIJK est un parallélogramme.
EXERCICE 89
Soient les points N(3; −8) , O (13;0) et P (−4;11). Déterminer les coordonnées du milieu U du segment [ NO ]. Démontrer que le triangle NOP est isocèle en P.
Soient les points N(3; −8) , O (13;0) et P (−4;11).
55
xN + xO 3 + (13) 16 = = = 8 2 2 2
xU =
yN + yO −8 + (0) −8 = = = −4 2 2 2
yU =
Ainsi le milieu du segment [NO ] est U (8; −4)
NP =
√
2
OP =
√
2
√
2
(xP − xN ) + ( yP − yN ) =
2
(xP − xO ) + ( yP − yO ) =
2
2
(−4 − (3)) + (11 − (−8)) =
√
2
2
(−4 − (13)) + (11 − (0)) =
√
(−7)2 + (19)2 =
√
(−17)2 + (11)2 =
√
410
√
410
Ainsi NP = OP. Le triangle NOP est donc isocèle en P.
EXERCICE 90
Soient les points B(5; 0), C(15; −8), D (7; −18) et E (−3; −10). Déterminer les coordonnées du milieu J du segment [BD ] et du milieu K du segment [CE ]. Démontrer que le quadrilatère BCDE est un carré.
Soient les points B(5; 0), C(15; −8), D (7; −18) et E (−3; −10).
xJ = yJ =
xB + xD 5 + (7) 12 = = = 6 2 2 2
yB + yD 0 + (−18) −18 = = = −9 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [BD ] est J(6; −9) 15 + (−3) 12 xC + xE = = = 6 2 2 2
xK = yK =
yC + yE −8 + (−10) −18 = = = −9 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [CE ] est K(6; −9)
BC =
√
2
2
(xC − xB ) + ( yC − yB ) =
√
2
(15 − (5)) + (−8 − (0)) =
CD =
√
2
2
√
2
DE =
√
2
2
√
2
(xD − xC ) + ( yD − yC ) =
EB =
(xE − xD ) + ( yE − yD ) =
√
2
2
2
√
2
(7 − (15)) + (−18 − (−8)) =
(xB − xE ) + ( yB − yE ) =
2
(10)2 + (−8)2 =
2
2
(−8)2 + (−10)2 =
(5 − (−3)) + (0 − (−10)) =
56
√
(−10)2 + (8)2 =
√
(8)2 + (10)2 =
√
164 = 2 41
√
(−3 − (7)) + (−10 − (−18)) =
√
√
√
√
√
√
√
164 = 2 41
164 = 2 41
√
164 = 2 41
BD =
CE =
√
(xD − xB )2 + ( yD − yB )2 =
√
2
2
(xE − xC ) + ( yE − yC ) =
√
(7 − (5))2 + (−18 − (0))2 =
√
2
√
2
(−3 − (15)) + (−10 − (−8)) =
(2)2 + (−18)2 =
√
√
√
328 = 2 82
(−18)2 + (−2)2 =
√
√
328 = 2 82
Comme BC = CD = DE = EB , on en conclut que BCDE est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque BD = CE, on en conclut que BCDE est un carré.
EXERCICE 91
Soient les points C(−10;1) , D (−24; −11) et E(−11;2). Déterminer les coordonnées du milieu J du segment [ CD ]. Démontrer que le triangle CDE est rectangle en E.
Soient les points C(−10;1) , D (−24; −11) et E(−11;2).
xJ =
xC + xD −10 + (−24) −34 = = = −17 2 2 2
yJ =
yC + yD 1 + (−11) −10 = = = −5 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [CD ] est J (−17; −5)
CE =
ED =
√
CD =
√
√
2
2
(xE − xC ) + ( yE − yC ) =
(xD − xE )2 + ( yD − yE )2 =
2
2
(xD − xC ) + ( yD − yC ) =
√
2
2
(−11 − (−10)) + (2 − (1)) =
√
(−24 − (−11))2 + (−11 − (2))2 =
√
2
2
(−24 − (−10)) + (−11 − (1)) =
√
(−1)2 + (1)2 =
√
√
√
(−13)2 + (−13)2 =
(−14)2 + (−12)2 =
or
CD2 = 340 ainsi
CE2 + ED2 = CD2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CDE est rectangle en E .
57
2
√
CE2 + ED2 = 2 + 338 = 340
EXERCICE 92
√
√
338 = 13 2
√
340 = 2 85
Soient les points Y (3; 7), Z(−3; −7), A(−17; −1) et B(−11;13). Déterminer les coordonnées du milieu G du segment [YA ] et du milieu H du segment [ ZB ]. Démontrer que le quadrilatère YZAB est un carré.
Soient les points Y (3; 7), Z (−3; −7), A(−17; −1) et B (−11;13). 3 + (−17) xY + xA −14 = = = −7 2 2 2
xG =
yY + yA 7 + (−1) 6 = = = 3 2 2 2
yG = Ainsi le milieu du segment [YA ] est G (−7; 3)
xZ + xB −3 + (−11) −14 = = = −7 2 2 2
xH =
6 yZ + yB −7 + (13) = = = 3 2 2 2
yH = Ainsi le milieu du segment [ZB ] est H(−7; 3)
YZ =
ZA =
√
2
(xZ − xY ) + ( yZ − yY ) =
√
2
2
(xA − xZ ) + ( yA − yZ ) =
√
AB =
2
YA =
√
2
2
2
(xA − xY ) + ( yA − yY ) =
√
2
2
(xB − xZ ) + ( yB − yZ ) =
2
(−3 − (3)) + (−7 − (7)) =
2
√
√
(−6)2 + (−14)2 =
2
2
√
2
2
√
√
2
2
√
(−17 − (3)) + (−1 − (7)) =
√
2
2
√
(6)2 + (14)2 =
(14)2 + (−6)2 =
(−11 − (−3)) + (13 − (−7)) =
√
232 = 2 58
√
√
√
√
(−14)2 + (6)2 =
2
(3 − (−11)) + (7 − (13)) =
√
√
(−11 − (−17)) + (13 − (−1)) =
(xY − xB ) + ( yY − yB ) =
√
2
(−17 − (−3)) + (−1 − (−7)) =
2
2
√
√
(xB − xA ) + ( yB − yA ) =
BY =
ZB =
2
232 = 2 58
232 = 2 58
√
√
232 = 2 58
(−20)2 + (−8)2 =
√
√
√
√
√
(−8)2 + (20)2 =
464 = 4 29
464 = 4 29
Comme YZ = ZA = AB = BY , on en conclut que YZAB est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque YA = ZB, on en conclut que YZAB est un carré.
EXERCICE 93
Soient les points C(−2; 4) , D(2; −14) et E(9; −3). Déterminer les coordonnées du milieu J du segment [ CD ]. Démontrer que le triangle CDE est isocèle en E.
58
Soient les points C(−2; 4) , D(2; −14) et E(9; −3).
xC + xD 0 −2 + (2) = = = 0 2 2 2
xJ = yJ =
yC + yD 4 + (−14) −10 = = = −5 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [CD ] est J (0; −5)
CE =
√
DE =
√
2
2
(xE − xC ) + ( yE − yC ) =
2
2
√
(xE − xD) + ( yE − yD ) =
2
√
2
(9 − (−2)) + (−3 − (4)) =
√
2
2
(9 − (2)) + (−3 − (−14)) =
(11)2 + (−7)2 =
√
√
√
(7)2 + (11)2 =
170
170
Ainsi CE = DE. Le triangle CDE est donc isocèle en E.
EXERCICE 94
Soient les points S(−5; 3), T (−11; −9), U(−23; −3) et V (−17;9). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [SU ] et du milieu B du segment [T V ]. Démontrer que le quadrilatère STUV est un carré.
Soient les points S(−5; 3), T (−11; −9), U(−23; −3) et V (−17;9).
xS + xU −5 + (−23) −28 = = = −14 2 2 2
xA =
yA =
yS + yU 3 + (−3) 0 = = = 0 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [SU ] est A (−14;0)
xB =
xT + xV −11 + (−17) −28 = = = −14 2 2 2
yB =
yT + yV −9 + (9) 0 = = = 0 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [T V ] est B(−14;0)
√
√
√
√
ST =
TU =
UV =
(xT − xS )2 + ( yT − yS )2 =
(xU − xT )2 + ( yU − yT )2 =
√
2
2
(−11 − (−5))2 + (−9 − (3))2 =
(xV − xU ) + ( yV − yU ) =
√
(−6)2 + (−12)2 =
(−23 − (−11))2 + (−3 − (−9))2 =
√
√
√
2
2
(−17 − (−23)) + (9 − (−3)) =
59
√
(−12)2 + (6)2 =
(6)2 + (12)2 =
√
180 = 6 5
√
√
180 = 6 5
√
√
180 = 6 5
VS =
√
(xS − xV )2 + ( yS − yV )2 =
√
SU =
√
2
2
√
T V =
√
2
2
√
(xU − xS ) + ( yU − yS ) =
2
2
(−23 − (−5)) + (−3 − (3)) =
(xV − xT ) + ( yV − yT ) =
√
(−5 − (−17))2 + (3 − (9))2 =
2
(12)2 + (−6)2 =
√
√
2
(−17 − (−11)) + (9 − (−9)) =
(−18)2 + (−6)2 =
√
(−6)2 + (18)2 =
√
180 = 6 5
√
√
√
√
360 = 6 10
360 = 6 10
Comme ST = T U = UV = VS, on en conclut que STUV est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque SU = T V , on en conclut que STUV est un carré.
EXERCICE 95
Soient les points H(6; −7), I(19; −14), J(12; −27) et K(−1; −20). Déterminer les coordonnées du milieu P du segment [HJ ] et du milieu Q du segment [IK ]. Démontrer que le quadrilatère HIJK est un carré.
Soient les points H(6; −7), I(19; −14), J (12; −27) et K(−1; −20).
xP = yP =
xH + xJ 6 + (12) 18 = = = 9 2 2 2
yH + yJ −7 + (−27) −34 = = = −17 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [HJ ] est P (9; −17)
xI + xK 19 + (−1) 18 = = = 9 2 2 2
xQ = yQ =
yI + yK −14 + (−20) −34 = = = −17 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [IK ] est Q (9; −17)
HI =
√
(xI − xH )2 + ( yI − yH )2 =
IJ =
√
JK =
√
2
2
(xJ − xI ) + ( yJ − yI ) =
KH =
2
2
2
(19 − (6))2 + (−14 − (−7))2 =
√
2
2
(12 − (19)) + (−27 − (−14)) =
(xK − xJ ) + ( yK − yJ ) =
√
√
√
2
2
√
2
(xH − xK ) + ( yH − yK ) =
2
218
2
(−7)2 + (−13)2 =
√
√
√
(6 − (−1)) + (−7 − (−20)) =
60
√
√
(−1 − (12)) + (−20 − (−27)) =
√
(13)2 + (−7)2 =
(−13)2 + (7)2 =
√
(7)2 + (13)2 =
218
218
√
218
HJ =
IK =
√
(xJ − xH )2 + ( yJ − yH )2 =
√
2
2
(xK − xI ) + ( yK − yI ) =
√
2
2
√
2
√
(12 − (6)) + (−27 − (−7)) =
√
2
(−1 − (19)) + (−20 − (−14)) =
(6)2 + (−20)2 =
√
√
436 = 2 109
(−20)2 + (−6)2 =
√
√
436 = 2 109
Comme HI = IJ = JK = KH, on en conclut que HIJK est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque HJ = IK, on en conclut que HIJK est un carré.
EXERCICE 96
Soient les points M(−3; 0) , N (7; 8) et O(7; 0). Déterminer les coordonnées du milieu T du segment [MN ]. Démontrer que le triangle MNO est rectangle en O.
Soient les points M(−3; 0) , N (7; 8) et O(7; 0).
xT =
xM + xN −3 + (7) 4 = = = 2 2 2 2
yT =
yM + yN 0 + (8) 8 = = = 4 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [MN ] est T (2; 4)
MO =
√
2
(xO − xM) + ( yO − yM ) =
ON =
MN =
2
√
√
√
(xN − xO )2 + ( yN − yO )2 =
2
2
(xN − xM ) + ( yN − yM ) =
(7 − (−3)) + (0 − (0)) =
√
√
√
2
2
(7 − (7))2 + (8 − (0))2 =
√
2
2
(7 − (−3)) + (8 − (0)) =
(10)2 + (0)2 =
√
100 = 10
(0)2 + (8)2 =
√
(10)2 + (8)2 =
√
√
64 = 8
√
164 = 2 41
MO2 + ON2 = 100 + 64 = 164 or
MN2 = 164 ainsi
MO2 + ON2 = MN2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNO est rectangle en O.
EXERCICE 97
Soient les points M(8; 9), N(34;48), O(26;29) et P(0; −10). Déterminer les coordonnées du milieu U du segment [ MO ] et du milieu V du segment [ NP ]. Démontrer que le quadrilatère MNOP est un parallélogramme.
61
Soient les points M(8; 9), N(34;48), O(26;29) et P(0; −10).
xU =
xM + xO 8 + (26) 34 = = = 17 2 2 2
yU =
yM + yO 9 + (29) 38 = = = 19 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [MO ] est U (17;19)
xN + xP 34 + (0) 34 = = = 17 2 2 2
xV = yV =
yN + yP 48 + (−10) 38 = = = 19 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [NP ] est V (17;19) Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque U = V on en conclut que MNOP est un parallélogramme.
EXERCICE 98
Soient les points T (3; 0) , U(−11; −6) et V (−1; −10). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [ T U ]. Démontrer que le triangle T UV est rectangle en V .
Soient les points T (3; 0) , U(−11; −6) et V (−1; −10).
xA =
3 + (−11) −8 xT + xU = = = −4 2 2 2
yA =
yT + yU 0 + (−6) −6 = = = −3 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [T U ] est A(−4; −3)
T V =
VU =
√
2
2
(xV − xT ) + ( yV − yT ) =
√
TU =
(xU − xV )2 + ( yU − yV )2 =
√
2
2
√
2
2
(−1 − (3)) + (−10 − (0)) =
√
(−4)2 + (−10)2 =
√
(xU − xT ) + ( yU − yT ) =
(−11 − (−1))2 + (−6 − (−10))2 =
√
2
2
(−11 − (3)) + (−6 − (0)) =
√
√
√
(−10)2 + (4)2 =
(−14)2 + (−6)2 =
√
116 = 2 29
√
√
116 = 2 29
√
√
232 = 2 58
T V 2 + VU2 = 116 + 116 = 232 or
T U2 = 232 ainsi
T V 2 + VU2 = T U2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle T UV est rectangle en V . Comme T V = UV , on peut en conclure que le triangle est rectangle isocèle en V .
62
EXERCICE 99
Soient les points U(9; −2), V (−4; −15), W (−5; −14) et X(8; −1). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [ UW ] et du milieu B du segment [ VX ]. Démontrer que le quadrilatère UVWX est un rectangle.
Soient les points U(9; −2), V (−4; −15), W (−5; −14) et X(8; −1).
xU + xW 9 + (−5) 4 = = = 2 2 2 2
xA =
yU + yW −2 + (−14) −16 = = = −8 2 2 2
yA =
Ainsi le milieu du segment [UW ] est A(2; −8)
xV + xX 4 −4 + (8) = = = 2 2 2 2
xB = yB =
yV + yX −15 + (−1) −16 = = = −8 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [VX ] est B (2; −8)
UW =
√
VX =
(xW − xU ) + ( yW − yU ) =
√
√
√
2
2
2
2
(xX − xV ) + ( yX − yV ) =
2
2
(−5 − (9)) + (−14 − (−2)) =
2
2
(8 − (−4)) + (−1 − (−15)) =
√
(−14)2 + (−12)2 =
√
(12)2 + (14)2 =
√
√
√
340 = 2 85
√
340 = 2 85
Comme les diagonales ont même longueur puisque UW = V X, et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque A = B on en conclut que UVWX est un rectangle.
EXERCICE 100
Soient les points C(1; −5) , D(7; −17) et E(16; −5). Déterminer les coordonnées du milieu J du segment [ CD ]. Démontrer que le triangle CDE est isocèle en E.
Soient les points C(1; −5) , D(7; −17) et E(16; −5).
xJ = yJ =
xC + xD 1 + (7) 8 = = = 4 2 2 2
yC + yD − 5 + (−17) − 22 = = = −11 2 2 2
Ainsi le milieu du segment [CD ] est J (4; −11)
CE =
√
2
2
(xE − xC ) + ( yE − yC ) =
√
2
2
(16 − (1)) + (−5 − (−5)) =
63
√
(15)2 + (0)2 =
√
225 = 15
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