geometrie espace

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Géométrie dans l’Espace .   On se place dans un espace E muni d’un repère orthonormal direct (O, i, j, k ) , à chaque fois que l’on doit calculer des distances ( produit scalaire et norme) ou des angles. I. Equations cartésiennes de plans :

On caractérise un plan de l’espace par un point et un vecteur normal :

   M  P( A, n)  AM .n  0 . L’équation cartésienne d’un plan est : ax+by+cz+d=0 a   un vecteur normal est : n  b  c   

II. Distance d’un point à un plan :

 Soit A un point de l’espace, n un vecteur non nul, et

P  A, n . 

 x0    M0  y0  est un point quelconque de l’espace, H est son projeté orthogonal sur z   0   AM 0 .n ax0  by0  cz0  d M0H   n a ²  b²  c ²

où ax+by+cz+d=0 est l’équation cartésienne de

P  A, n 

P  A, n , alors :. 

http://www.mathovore.fr III.Barycentres :

 A ,  ,  A ,  A ,  ....  A ,  un

Soit

1

n

 i 1

i

1

  GA   i 1

2

3

3

n

système

n

de

i

i

1

massifs

/

      GA1  2  GA2  3  GA3  .....  n  GAn  0 . C’est par définition le

barycentre du système de points massifs.

n n   M  E ,  i  MAi   i  MG i 1





i 1

3.1. Barycentres partiels : n

soit G   A1 , 1  ,  A2 ,  2  A3 , 3  ....  An ,  n  H

points

 1  2  3  4  .....   n  0 ; Il existe alors un unique point G tel que 

n

2

 A ,  ,  A ,  A , ....  A ,  1

1

2

2

3

3

p

p

avec

i 1

p

avec



 i 1

i

i

 0,

p    alors G   H ,  i  ,  Ap 1,  p 1  Ap 2 ,  p 2  ....  An ,n     i 1 

3.2. Segments, droites :

  M ]AB[ k ]0;1[/ AM  k AB

  M  ( AB)  k   [/ AM  k AB

0

http://www.mathovore.fr IV. Représentation paramétriques de droites : a   Soit D une droite passant par A( xA , yA , z A ) et de vecteur directeur n  b  , c   

 x  ka  x A   M ( x, y, z)  D( A, n)   y  kb  y A  z  kc  z A 

Par simple lecture de la représentation paramétrique de la droite, on voit un vecteur directeur et un point de D.

V. Représentation paramétriques de plans : Soit P un Plan passant par A( xA , yA , z A ) et de vecteur directeur a   u b  , c   

d  ve f 

    

   M  P( A, u, v)  (k , t )   2 / AM  ku  tv

 x  ka  td  x A   M ( x, y, z)  P( A, u, v)   y  kb  te  y A  z  kc  tf  z A 

VI. Demi-espaces : Soit P un Plan dont l’équation cartésienne est : ax+by+cz+d=0 . Ce plan partage l’espace en deux demi-espaces d’équations respectives :

ax+by+cz+d0

VII. Plans médiateurs : Soit [AB] un segment et I son milieu. Le plan médiateur de [AB] est le plan orthogonal à (AB) passant par I. C’est aussi l’ensemble des points M de l’espace tels que MA=MB

http://www.mathovore.fr VIII. Lignes de niveau : Soit A et B deux points de l’espace ; I leur milieu

I  bary  A,1 ,  B,1  

M  E / MA  MB  0  S  I , AB2 

IX. Equations cartésiennes d’une sphère :

M  x, y, z   S ( I (a, b, c), R)   x  a  ²   y  b  ²   z  c  ²  R²