Geometrie Descriptiva

conf. dr. ing. LILIANA TOCARIU

conf. dr. ing. LILIANA TOCARIU

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

PREFAŢĂ În această lucrare sunt prezentate noţiunile elementare de geometrie descriptivă , necesare realizării desenelor in domeniul tehnic . Reprezentările in domeniul tehnic au un rol deosebit de important atăt in etapele de proiectare căt şi în etapele de execuţie a produselor industriale . Savantul francez Gaspard Monge (1746 – 1818 ) , întemeietorul acestei discipline , a formulat definiţia ei astfel : “ Geometria descriptivă este limba necesară şi comună a omului care concepe un proiect şi a celor ce cu artă dirijează execuţia ‘’ Lucrarea se adresează studenţilor de la facultăţile tehnice cu profil mecanic , inginerie industrială , metalurgic , ingineria şi protectia mediului . La elaborarea acestei lucrări , am avut în vedere prezentarea noţiunilor teoretice de bază prin explicarea rezolvării unor aplicaţii reprezentative , uzuale cu un grad mediu de dificultate . Mulţumesc studentului Roşca Marian din grupa 12212 - IMAPA pentru ajutorul acordat la scanarea desenelor şi la tehnoredactarea capitolelor incluse în lucrare . De asemenea , ţin sa mulţumesc anticipat tuturor celor care , in urma parcurgerii materialului , îmi vor face sugestii pentru creşterea calităţii ştiinţifice şi didactice a acestei lucrări .

Conf. dr. ing. LILIANA TOCARIU

CUPRINS Prefaţă Cap. 1. REPREZENTAREA PUNCTULUI ÎN TRIPLĂ PROIECŢIE ORTOGONALĂ ………………………………………… 5 Cap. 2. DREAPTA ………………………………………………... 10 Cap. 3. PLANUL…………………………………………………… 16 Cap. 4. METODE DE TRANSFORMARE A PROIECŢIILOR …………………………………………………. 25 Cap. 5. REPREZENTAREA CORPURILOR GEOMETRICE... 39 5.1 Reprezentarea poliedrelor ……………………………. 39 5.2 Reprezentarea cilindro - conicelor …………………... 43 5.3 Reprezentarea sferei …………………………………. 45 5.4 Reprezentarea torului …………………………………. 49 5.5 Reprezentarea cuadricelor de rotatie ……………….. 49 Cap. 6. CORPURI GEOMETRICE ……………………………...…59 6.1 Secţiuni plane ………………………………………… 59 6.2 Intersecţii cu drepte .................................................... 62 6.3 Desfăşurate .................................................................67 6.4 Diverse intersecţii ........................................................74 Bibliografie ................................................................... 82

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

5

CAPITOLUL 1

REPREZENTAREA PUNCTULUI IN TRIPLĂ PROIECŢIE ORTOGONALĂ Aplicaţii rezolvate 1. Sa se reprezinte in epura si in spatiu (in perspectiva cavaliera) urmatoarele puncte : A(20, 30, 40); B(20, -30, 40); C(20, -30, -40); D(20, 30, -40); E(-20, 30, 40); F(20, 30, 0); G(0, 30, 40); H(20, 0, 0).

Rezolvare: In toate exemplele, rezolvarea s-a realizat prin etape similare. Astfel, in figura 1.1: - S-au masurat, pe axe, coordonatele punctului A (abscisa, departarea, cota), tinandu-se seama de semnele acestora si s-au marcat punctele xA, yA, zA pe axe. - S-au trasat liniile de ordine din xA si yA si la intersectia acestora s-a obtinut proiectia orizontala notata cu a, la intersectia liniilor de ordine din zA si xA s-a obtinut proiectia verticala, notata cu a1, iar la intersectia liniilor de ordine din y1A si zA s-a obtinut a11, proiectia laterala a punctului A. - y1A a rezultat in urma rotirii segmentului OyA in sens trigonometric, pana ce arcul de cerc, de raza OyA si centrul O, intersecteaza axa Oy1. S-a realizat astfel epura punctului A.

Fig. 1.1.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

6

Fig. 1.2.

Fig. 1.3.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

7

Fig. 1.4. _ _ Pentru reprezentarea spatiala, in perspectiva cavaliera, s-au trasat axele Ox (orizontala), Oz (verticala) si Oy inclinata fata de Ox cu 45°. _ Se masoara abscisa si cota, la scara 1:1, pe axele corespunzatoare, iar pe axa Oy (pentru a obtine o imagine cat mai asemanatoare cu cea din spatiul real) se masoara departarea redusa la jumatate, deci la scara 1:2. La intersectia liniilor de ordine corespunzatoare, se obtin, proiectiile a, a1 si a11, iar apoi punctul din spatiul A. Observatie. In figura 1.2. s-a rotit yB tot in sens trigonometric pana ce arcul a intalnit axa Oy1, punct care s-a notat cu y1B. Celelalte puncte se reprezinta analog. (v. fig. 1.3, 1.4.) 2.Sa se afle a treia proiectie a urmatoarelor puncte, date in epura numai prin doua proiectii si sa se stabileasca triedrele ce le contin (v. fig. 1.5 a,b,c,d). Exemple de rezolvare: se marcheaza pe axe punctele xM, yM, zM, deci se obtin grafic abscisa, departarea si cota apoi se reprezinta dupa regulile prezentate anterior proiectia ceruta (v. fig. 1.6 a, b, c, d). Pentru a stabili cu usurinta triedrele ce contin punctele, se apeleaza la schema din figura 1.8. 3.Sa se reprezinte in spatiu si in epura punctul A1, simetricul punctului A(30, -40, 20) fata de planul [H], A2, simetricul punctului A fata de planul [V] si A3 simetricul lui A fata de [W]. Rezolvare : Mai intai se determina coordonatele punctelor A1, A2 si A3 utilizand schemele din figura 1.8.(a si b) si apoi se reprezinta punctele cerute dupa regulile prezentate anterior. Astfel coordonatele punctelor cerute au urmatoarele valori : A1 (+30, -40, -20) ; A2 (+30, +40, +20) ; A3 (-30, -40, +20) .

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

8

Fig. 1.5.

Fig. 1.6. a,b

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

9

Fig. 1.6. c,d

Fig. 1.7.

Fig. 1.8.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

10

CAPITOLUL 2

DREAPTA Aplicaţii rezolvate : __ 1.Sa se reprezinte in spatiu si in epura segmentul AB si sa se arate adevarata lui marime precum si unghiurile pe care le realizeaza cu [H] si [V]. Se dau A(50, 22, 7) si B(30, 10, 26). Rezolvare: In figura 2.1.(a, b) se reprezinta punctele A si B care determina dreapta AB. Se determina urmele H si V ale dreptei ce formeaza in spatiu triunghiul dretpunghic (hvv1).

Fig. 2.1. a __ Segmentul AB este situat pe ipotenuza acestuia. Daca se suprapune acest triunghi pe [H], exista posibilitatea in epura sa se masoare adevarata marime a segmentului, adica A0B0, si unghiul a0(H). Se anticipeaza metoda rabaterii pe planele [H] si [V]. Analog se procedeaza pentru determinarea unghiului a0(V), folosindu-se triunghiul dreptunghic (h1, h, v1), care se rabate pe [V]. Daca se observa cu atentie imaginile din figura 2.2. a si b, modul de rezolvare se deduce imediat. _ 2.Se considera dreapta D(d, d1) definita de punctele 1(45, 24, 5) si 2(80, 4, 30). Se cere: sa se afle regiunile dreptei (diedrele si triedrele pe care le strabate; sa se aleaga un punct A ce apartine dreptei D din T1, care sa aiba xA= (65) si in acest punct sa se traseze o frontala perpendiculara pe D, apoi in 1 o orizontala perpendiculara pe D iar in 2 o dreapta de profil perpendiculara pe D.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

11

Fig. 2.1. b Rezolvare: In figura 2.2. s-au determinat urmele H(h, h1) si V(v, v1) ale dreptei D(d, d1), s-au determinat regiunile dreptei studiind situarea in spatiu a punctelor T(t, t1); 2(2,21); S(s, s1) care s-au ales in zonele distincte ale dreptei, respectiv T la stanga liniei de ordine din V, 2 intre liniile de ordine trasate din V si H si S la dreapta liniei de ordine din H. S-a amplasat punctul A(a, a1) care are xA= 65 si apoi, conform teoremei unghiului drept, s-a trasat frontala F(f, f1). Analog G(g, g1) si P(p, p1).

Fig 2.2.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

12 __ _ 3. Sa se afle distanta dintre dreapta oarecare AB(ab, a1b1) si fronto-orizontala Δ(δ, δ1), care trece prin M(10, 17, 15). Se cunosc A(60, 10, 20) si B(25, 30, 35). Rezolvare: __ Se reprezinta dreapta AB(ab, a1b1, a11b11) apoi prin punctul M(m, m1. m11) se traseaza fronto-orizontala Δ(δ, δ1, δ11). Distanta dintre o fronto-orizontala si o dreapta oarecare se masoara pe o dreapta de profil P(p, p1, p11). Distanta cautata este ρ si se masoara intre m11≡j11 si i11 adica ρ= i11y11. OBS. Orice perpendiculara pe o fronto-orizontala este o dreapta de profil (v. fig. 2.3.).

Fig. 2.3. 4.Sa se construiasca un paralelogram oarecare in epura daca se cunoaste una dintre laturi AB(ab, a1b1), sa se puna in evidenta diagonalele sale si punctul lor de intersectie O.

Fig.2.4.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA 13 Rezolvare: Se traseaza un segment oarecare dat AB(ab, a1b1) in epura, apoi segmentele paralele si egale AΔ(ad, a1d1) si BC(bc, b1c1). Se traseaza diagonalele AC(ac, a1c1) si BΔ(bd, b1d1), care se intersecteaza cu punctul O(o, o1); rezulta imediat d1 si c1. Intr-o constructie corecta o si o1 trebuie sa se afle pe aceeasi linie de ordine (v. fig. 2.4.). __ _ 5.Sa se construiasca triunghiul isoscel (ABC) care are latura AB situata pe frontala F(f, f1) si apoi sa se afle proiactiile centrului sau de greutate. Se mai stie ca AC = BC. Rezolvare: Se stabileste 1(1, 11) mijlocul segmentului AB. Prin 1 se traseaza mediana si inaltimea 1 c 1 conform teoremei unghiului drept. Se alege arbitral c1 si apoi tot arbitrar, pe linia de prdine trasata din c1, se alege c. Problema admite o infinitate de solutii. Dupa ce s-au trasat proiectiile triunghiului ABC(abc, a1b1c1) se construieste a doua mediana A2(a2, a121). La intersectia celor doua mediane se afla G(g, g1) centrul de greutate cautat. Se aminteste ca, in proiectia paralela raportul simplu se pastreaza deci c121 = 21b1 si c2 = 2b. (v. fig. 2.5.)

Fig. 2.5. _ 6.Se dau punctele A si B ce apartin dreptei de capat Δ(δ, δ1). Sa se construiasca patratul ABCD care are latura AB data in cele trei proiectii. Se stie ca : δ1 ≡ a1≡ b1, si laturile AD si BC fiind perpendiculare pe o dreapta de capat sunt, in cazul general, niste frontale care se proiecteaza in adevarata marime pe [V]. Rezolvare: Din δ1 se traseaza cercul cu raza R= l, unde l=AB, pe care se aleg arbitral c 1≡ d1. Apoi se determina cd si a11b11c11d11. Problema admite o infinitate de solutii, care daca se indica si alte date referitoare la C si D.(v. fig. 2.6.b).

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

14

Fig. 2.6.a

Fig. 2.6.b 7. Sa se finalizeze reprezentarea figurii plane din urmatoarea epura (v. fig. 2.7.a). Rezolvare: (v. fig. 2.7.b) Se traseaza diagonala (1131) in pentagonul 1121314151 si apoi se determina t1 si s1 prin trasarea diagonalelor (2151), respectiv (2141). Se finalizeaza proiectia orizontala a pentagonului tinand seama de modul cum se proiecteaza punctele ce apartin acelorasi drepte.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

15

Fig. 2.7.a

Fig. 2.7.b

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

16

CAPITOLUL 3

PLANUL Aplicaţii rezolvate : _ 1. Sa se afle punctul I(i, i1) de intersectie al dreptei D cu planul [P] si sa se stabileasca vizibilitatea dreptei fata de plan. Se dau elementele in figura 3.1.

Fig.3.1. Rezolvare: Prin dreapta D se construieste un plan particular auxiliar (de capat sau vertical) [Q], se _ _ intersecteaza [Q] si [P], rezulta dreapta Δ(δ, δ1), apoi se afla I(i, i1)la intersectia dreptei Δcu D. In figura 3.2. se utilizeaza [Q] ca plan de capat auxiliar.

Fig.3.2. In figura 3.3. se alege un plan vertical auxiliar[Q]. Pentru rezolvarea vizibilitatii pe planul [H], se considera un punct H(h, h1) situat in planul [P]

GEOMETRIE DESCRIPTIVA 17 si punctul I(i, i1) ce apartine D, puncte ce sunt situate pe aceeasi proiectanta si pe elemente diferite in spatiu (dreapta si planul). Se observa ca pe [H] este vizibil punctul I Є D deoarece are cota mai mare fata de H Є [P] care are cota egala cu zero. Punctul I separa dreapta in doua zone, una vizibila si cealalta inzizibila. Deci pe [H], la stanga proiectiei i, fiind situata proiectia 1 vizibila, dreapta este vizibila fata de un plan, iar in dreapta proiectiei i dreapta este invizibila.. Similar se rezolva vizibilitatea pe planul [V], eliberandu-se punctele 2(2, 21) Є D si 3(3, 31) Є [P] amplasat pe o orizontala a planului. Deoarece Y(3) > Y(2) → ca este vizibil punctul 3 Є [P], deci dreapta este invizibila la dreapta proiectiei i1.

Fig. 3.3. 2. Sa se afle intersectia dintre dreapta de capat D si planul [P]. (v. fig. 3.4.a).

Fig. 3.4.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

18

Rezolvare: __ __ Se considera ca plan auxiliar planul de nivel N ce contine D. (v. fig. 3.4. b), [N]∩[P] → G(g, g1) si G ∩ D → I(i, i1). Vizibilitatea este evidenta. _ 3.Sa se determine intersectia dintre placa triunghiulara ABC si dreapta D, si sa se rezolve vizibilitatea epurei. (v. fig. 3.5. a).

Fig. 3.5. Rezolvarea se afla in figura 3.5. b. S-a construit planul de capat auxilizr [Q] ce contine dreapta D, si s-a aflat dreapta de intersectie cu placa Δ(δ, δ1). Aceasta dreapta de intersectie, 12, este concurenta in I(i, i1) cu D. Pentru determinarea vizibilitatii s-au luat in discutie cotele si departarile punctelor 2 si F pentru [V]; 3 SI 4 pentru [H]. 4.Prin M(m, m1) sa se construiasca un plan [R] perpendicular pe planele [P] si [Q]. Se dau M(94, 15, 38); [P] {Px=64; A(60, 0, 3); B(60, 15, 0)}; [Q] {Qx=15; C(25, 0, 7); D(25, 6, 0)} Rezolvare: Se intersecteaza [P] ∩ [Q] → Δ(δ, δ1). Planul [R] va fi perpendicular pe dreapta de intersectie Δ, a celorlalte doua plane. Prin M se traseaza o frontala F(f, f1) perpendiculara pe Δ ce se va include in planul [R] cautat. (v. fig. 3.6. a,b).

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

19

Fig.3.6. 5.Prin M(m, m1) sa se construiasca un plan [P] paralel cu placa patrulatera 1234. Se dau: M(31, 5, 10); 1(142, 11, 15); 2(111, 3, 36); 3(90, 17, 26); 4(101, 43, 7).

Fig. 3.7.a Rezolvare (v. fig. 3.7. a,b): Se reamintesc conditiile de paralelism a doua plane. In figura3.7. a) s-au reprezentat in spatiu doua plane paralele [P1] si [P2], care contin fie dreptele (D1//D2) incluse in [P1] si (D1*//D2*) inclus in [P2] cu proprietatea D1//D1*//D2//D2*; fie dreptele concurente (D1 si D2) incluse in [P1] si (D4 si D3) incluse in [P2] cu urmatoarea proprietate de paralelism D1//D3 si D2//D4. _

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

20

In figura 3.7. b) s-au trasat in planul patrulaterului doua drepte concurente ( o orizontala G si o frontala F) iar apoi prin M(m, m1) s-au reprezentat paralele la acestea F1//F si G1//G: F1 si G1 au determinat planul [P] (Pv, Ph).

Fig. 3.7.b 6.Sa se afle unghiul realizat de placa triunghiului ABC cu planul [H]. Se cunosc: A(90, 28, 8), B(50, 5, 45), C(25,50, 15). Rezolvare: In figura 3.8. s-a trasat linia de cea mai mare panta a planului placii, Lh(lh, 1 l h), cu ajutorul orizontalei planului G(g, g1), apoi s-a determinat a[h] conform notiunilor teoretice cunoscute. Recomandare: Sa se afle si unghiul a[V], realizat cu planul [V]. 7. Prin punctul A exterior planului [P]; sa se construiasca paralelogramul ABCD perpendicular pe planul [P]; sa se afle dreapta de intersectie a celor doua plane si sa se clarifice vizibilitatea epurei. Se dau : A(80, 60, 27); B(68, ?, ?), AB ┴ [P]; D(36, 17, 44), DC ┴ [P], [P]{Px= (95, 0, 0); N(85, 4, 0); M(85, 0, 6)}. Rezolvare ( v. Fig. 3.9 ): Prin A se construieste perpendiculara pe plan si se alege pe aceasta punctul B(b, b1) apoi se traseaza proiectia paralelogramului ABCD(abcd, a1b1c1d1). Se verifica daca cele doua plane se intersecteaza sau nu, utilizand Planul [N1] determina planele de nivel auxiliare de sectiune [N1] si [N2]. orizontala G in paralelogram si G1 in [P] ;G∩G1→punctul I(i, i1). Planul [N2] intersecteaza paralelogramul dupa orizontala G2 iar planul [P] dupa G ; G2 ∩ G3→ punctul J(j, j1). Dreapta IJ(ij, i1j1) este dreapta de intersectie a celor doua plane .

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

21

Se pastreaza numai portiunea de dreapta situata in interiorul conturului aparent al paralelogramului . Acasta dreapta separa paralelogramul in doua portiuni : una vizibila, cealalta invizibila. Constructiile care conduc la rezolvarea problemei se recomanda sa fie trasate cu linii subtiri, pentru ca in final sa se intareasca numai portiunile vizibile ale celor doua plane.

Fig. 3.8. 8.Sa se intersecteze placa triunghiulara [ABC] cu planul [P] paralel cu OX si sa se rezolve vizibilitatea epurei (v. fig. 3.10. a). Rezolvare: In figura 3.10.b) dreapta de intersectie 12(12, 1121, 111211) dintre placa si plan se proiecteaza pe planul [W] pe urma PW si este 111211. Apoi se determina 12 si 1121 si se rezolva in final vizibilitatea. 9.Sa se intersecteze placile (ABC) si (DEFH) si sa se rezolve vizibilitatea epurei. Se dau: A(97, 62, 46); B(23, 14, 7); C(73, 0, 0); D(97, 30, 9); E(58, 11, 37); F(10, 40, 42); H(60, 55, 5). Rezolvare: In figura 3.11. s-au intersectat laturile AC si AB ale placii triunghiulare cu patrulaterul. S-au folosit plane auxiliare de capat si s-a obtinut dreapta de intersectie data de punctele I(i, i1) si J(j, j1). Aceasta dreapta separa triunghiul in doua zone de vizibilitate.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

22

Fig.3.9.

Fig.3.10.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

23

Fig.3.11.

10.Sa se intersecteze dreptunghiurile ABCD si EFGH si sa se clarifice vizibilitatea epurei (v. fig. 3.12. a). Rezolvare: Se deduce ca planele celor doua dreptunghiuri sunt plane de capat, intersectia lor este data de punctele 1 si 2 care sunt situate pe dreapta de capat comuna celor doua plane. Vizibilitatea se rezolva conform teoriei prezentate anterior (v. fig. 3.1.3. b).

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

24

Fig.3.12.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

25

CAPITOLUL 4 METODE DE TRANSFORMARE A PROIECŢIILOR Probleme metrice si de poziţie utilizate in desenul tehnic Aplicaţii rezolvate : 1.Sa se afle adevarata marime a segmentului AB prin metoda rotatiei si a schimbarii planului vertical de proiectie. Rezolvare: __ In figura 4.1. a) s-a aflat masura segmentului oarecare AB(ab, a1b1) prin metoda rotatiei de nivel, in jurul axului vertical Δ(δ, δ1), pana s-a transformat intr-un segment de dreapta frontala (adica paralel cu [V]). Distanta a11, b11 reprezinta lungimea reala a segmentului AB din spatiu. In figura 4.1. b) s-a aflat lungimea reala a segmentului AB prin metoda schimbarii planului vertical. Noul plan [V1] s-a a ales paralel cu segmentul AB care s-a transformat in sistemul de plane {[H], [V1]}intr-un segment frontal. Masura acestuia este lungimea a11b11. Se observa paralelismul axei O1X1 cu proiectia ab; distanta dintre ab si O1X1 Se alege arbitrar. 2.Sa se afle unghiul dintre doua drepte concurente, prin metoda rabaterii pe un plan de nivel oarecare. In figura 4.2. planul dreptelor concurente D si Δ sa intersectat cu [N]. Orizontala G(g, g1), rezultata din intersectia planului dreptelor cu [N], reprezinta axa de rabatere. Punctele 1 si 2 apartin axei de rabatere deci sunt identice cu pozitiile lor rabatute. Punctul I se rabate construind din proiectia i perpendiculara si paralela la axa de rabatere. Pe paralela la axa de rabatere se marcheaza pentru I1 la o distanta egala cu cota zi [N]. Rezolvare: Se construieste triunghiul de rabatere si se executa rabaterea cu centrul in ω si raza egala cu ωI1, determinandu-se I0. Apoi se traseaza Δ0(I0, 20) si D(I010) si se afla unghiul α cerut. 3.Sa se determine distanta de la un punct la un plan oarecare prin metoda schimbarii planului vertical si punctul de incidenta al perpendicularei cu planul. Distanta de la un punct la un plan se masoara pe perpendiculara coborata din punct pe plan. In figura 4.3. a) s-a transformat planul [P] intr-un plan de capat, deci axa O1X1 s- a trasat perpendicular pe Ph. In sistemul de plane {[H], [V1]}, urmele planului sunt (Pv1 si Ph), iar punctul A are proiectiile (a, a11).

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

26

Din a11 se construieste perpendiculara pe Pv1 si se determina i11 punctul de incidenta dintre perpendiculara si plan, se afla apoi i si i1 trasand liniile de ordine corespunzatoare. Se remarca ca in sistemul {[H], [V1]} perpendiculara pe plan este o frontala, deci distanta de la un punct la plan este lungimea segmentului (a11, i11).

Fig. 4.1. a

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

27

Fig.4.1.

Fig. 4.2.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

28

Fig. 4.3.

4.Să se afle in adevarata marime unghiul dintre placile patrulatere (ABCD), (CDEF), utilizand doua metode de transformare succesive. Se cunosc A(100, 3, 0), D(120, 18, 0), E(88, 40, 0), B(42, 12, 27), C(50, ?, ?), F(25, ?, ?), si AB//DC//EF. Rezolvare: Intr-o prima etapa se reprezinta placile tinand cont de vizibilitate si se observa ca DC este dreapta de intersectie a placilor (plane) (v. fig. 4.4.). Se stie ca unghiul dintre doua plane se masoara intr-un plan perpendicular pe ele, deci pe dreapta lor comuna si anume intre dreptele de intersectie dintre cele doua plane oarecare cu cel de-al treilea plan perpendicular. (v. fig. 4.5.). In epura din figura 4.4. se alege un Px si se construieste planul [P] perpendicular pe DC, (Ph ┴ dc si Pv ┴ d1c1). Apoi se realizeaza prima transformare,care este o schimbare de plan vertical,pentru ca DC sa devina frontala,deci O1X1 este paralela cu proiectia dc.Se face transformarea de plan vertical pentru toate elementele geometrice ramase.In sistemul de plan{[H], [V1 ]}planul [P] a devenit un plan de capat, incat se pot afla imediat dreptele de intersectie cu placile: 12(12,1121) si 13(13,1131),intre care se va masura unghiul cerut.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

29

Fig. 4.4.

Fig. 4.5. Se realizeaza apoi a doua transformare si anume o rabatare pe[H], tot in sistemul {[H],[V1]},a planului de capat.Se obtin dreptele de intersectie in rabatare 1020,1030 intre care se poate masura unghiul α0 in marime reala.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

30

Fig.4.6. Obs. 1)Unghiul dintre doua plane se poate determina si cu ajutorul problemei nr.2, stiut fiind ca acest unghi are ca supliment unghiul dintre noemalele N1 si N2 trasate dintr-un punct exterior la cele doua plane (v. fig. 4.6.) Obs. 2) Tot cu ajutorul problemei 2 se poate afla unghiul α dintre o dreapta si un plan oarecare, care este complementar cu unghiul β dintre dreapta si normala la plan dusa printr-un punct al dreptei.

Fig.4.7. 5.Sa se afle unghiun dintre placile (ABC) si (BCDE) prin doua rotatii succesive fara axa de rotatie.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

31

Fig. 4.8. Rezolvare( fig. 4.8. a): Se reaminteste ca in situatia aflarii unghiului dintre doua plane verticale acest lucru se realizeaza cu usurinta, acesta fiind unghiul dintre urmele lor orizontale. (v. fig. 4.8.) In cazul problemei de fata, dreapta de intersectie CB a celor doua placi se transforma intr-o prima etapa intr-o frontala, apoi in etapa a doua intr-o verticala, planele devenind in final verticale (v. fig. 4.9.). In prima transformare se roteste proiectia orizontala a celor doua placi pana cand bc//OX, intreaga figura spatiala este supusa unei rotatii de nivel. In transformarea a doua se roteste proiectia verticala a11, b11, c11, d11, e11 pana cand c11, b11 devine c12, b12 perpendiculara pe OX. 6.Sa se reprezine patratul ABCD cu latura l=40. In planul de capat [P] care realizeaza unghiul α[PH]= 45° cu planul [H], Px=70; A0(96, 12, 0), D0(132, y=?, 0). Rezolvare: Se construieste in rabatere patratul (A0B0C0D0) apoi se ridica rabaterea si se determina proiectiile (abcd), (a1b1c1d1)(v. fig. 4.10.). Se observa proiectia orizontala (abcd) a patratului s-a deformat la un paralelogram iar proiectia verticala (a1b1c1d1) la o dreapta ce apartine urmei Pv. 7. Sa se reprezinte cercul de raza R=25 si centrul Ω0=(110, 0, 30) in pozitia rabatuta pe [V], in planul vertical [P]{Px=70;α[Pv]=30}.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

32

Fig. 4.9.

Rezolvare: Se construieste cercul in rabatere pe planul [V] si se traseaza diametrele opuse A0B0 si C0D0. Prin operatia de ridicare din rabatere se aduc punctele A0B0C0D0 in planul [P], rezultand proiectia orizontala (abcd), o dreapta pe Ph si (a1b1c1d1) proiectia verticala a cercului, o elipsa cu axa mare a1b1 si axa mica c1d1 (v. fig. 4.11.) Se reaminteste constructia elipsei prin „metoda cercurilor concentrice” cand se cunosc cele doua axe (v. fig. 4.12.). Axele AB si CD sunt perpendiculare si se intersecteaza in punctul O, centrul elipsei. Se traseaza doua cercuri ajutatoare cu centrul in O si de diametre egale cu AB si CD. Din O se traseaza, in primul cadran, raze in cele doua cercuri si se noteaza punctele 1, 1*; 2, 2* de intersectie a razelor cu cercurile.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

33

Fig.410. Din punctul 1 situat pe cercul mic se traseaza o paralela la axa mare, apoi din 1*, de pe cercul mare, se traseaza o paralela la axa mica, cele doua paralele se intersecteaza in punctul I care apartine elipsei. Analog se obtine II . Cu un florar se unesc punctele (A, I, II, D) ce formeaza un sfert din conturul elipsei. Se repeta constructia in celelalte cadrane prin simetrie. Cu cat se aleg mai multe puncte, constructia va fi mai riguroasa. Metodele moderne de reprezentare cu ajutorul calculatorului simplifica mult trasarea elipsei de axe date.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

34

Fig. 4.11.

Fig. 4.12. __

8.Sa se reprezinte in planul [P] paralel cu OX, dat prin {Py=70, Pz=45}, figura geometrica marginita de un arc de parabola data in rabatere (A0B0C0...V0) pe planul [V]. Se cunosc: A0(13, 0, 63); K0(63, 0, 63); H0(56, 0, 105); V0(38, 0, 105) – varful parabolei, L0V0 este mediatoarea segmentului K0A0 – axa parabolei.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

35

Rezolvare (v. fig. 4.13.): Se construieste in rabatare figura geometrica indicata.Se reaminteste constructia arcului de parabola cand se dau V0 varful ei,axa parabolei V0L0 si un punct curent A0. Se construieste pe perpendiculara din A0 pe axa parabolei (V0L0). A0L0=L0K0.Se imparte in acelasi numar de parti egale(sase in acest caz) atat L0A0 cat si V0L0. Se noteaza punctele de diviziune de pe axa cu 10,20,...60, de la V0 la L0 si apoi I0,II0,...VI0 punctele de pe L0A0 in sensul de la L0 la A0.Prin punctele de diviziune ale segmentului L0A0 se duc paralele la axa,iar prin K0 se duc raze care, trecand prin fiecare diviziune marcata pe axa,intersecteaza paralele cu acelasi numar de ordine,in punctele arcului de parabola(A0, B0, C0, D0, E0, G0, V0). Prin operatia inversa rabaterii se aduc toate punctele ce formeaza conturul geometric dat, in planele [W], [H], [V]. 9.Sa se reprezinte in planul vertical [P]{Px=95, αv=30°} figura geometrica (A0, B0, C0, D0, E0, 40, 30, 20, 10, A0) data in rabatere, stiind ca arcul A0E0 este un arc de hiperbola iar C0B0 si C0D0 sunt asimptotele hiperbolei. Se dau (A0(67, 41, 0); B0((71, 35, 0); C0(103, 54, 0); D0(35, 86, 0); D0E0┴C0D0; E0(32, YE, 0)). Rezolvare: Se construieste figura geometrica A0B0C0D0 apoi arcul de hiperbola A0, 10, 20, 30, 40, E0 in felul urmator: A0 este un punct al hiperbolei, se construieste secanta A0E0 care taie asimptotele in β0 si α0. Intr-o constructie corecta β0A0=E0α 0. Se reaminteste constructia hiperbolei cand se cunosc asimptotele si un punct A0 de pe une dintre ramuri. Alte puncte cum ar fi 10, 20, 30, 40, 50 s-au determinat analog, construind secante oarecare prin A0. Astfel, de exemplu secanta S4 care trece prin A0 intersecteaza asimptota C0B0 in L0 si asimptota C0D0 in M0, se masoara A0L0 si si se marcheaza punctul 40 astfel incat M040=A0L0 s.a.m.d. Cu un florar se traseaza arcul A0, 10, 20, 30, 40, 50, E0. Apoi se ridica aceste puncte din rabatere si se afla proiectiile orizontala si verticala (v. fig.4. 14.)

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

36

Fig. 4.13. 10.Sa se reprezinte proiectiile orizontala si verticala a cercului de centru Ω(ω, ω1) si raza R=25 situat in planul [P]{Px=105, V(74, 0, 30); Ω(45, 29, 30)}. Rezolvare: In figura 4.15. care s-a reprezentat planul [P] definit de Px, V si Ω, apoi sa rabatut planul pe [H]. Se observa ca ΩЄG. S-a construit in rabatere cercul de raza data si centrul Ω0 . Pentru proiectia orizontala se stie ca axa mare a elipsei apartine G, iar axa mica apartine liniei LH trasate prin Ω; pentru proiectia verticala se stie ca axa mare apartine frontalei F ce trece prin Ω iar axa mica apartine liniei L[V] trasata tot prin Ω.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

37

Fig. 4.14. Se construieste in rabatere G0, LH0 prin Ω0 si se obtin pe cerc punctele a0b0c0d0 care se ridica din rabatere in abcd, s-a utilizat si proprietatea de afinitate a dreptei a0d0α0 cu adα, apoi se traseaza conturul elipsei in proiectie orizontala. Pentru a reprezenta verticala se traseaza in rabatere LV0 si F0 tot prin Ω0. rezultand pe cerc punctele m0u0s0t0 care se ridica din rabatere in (m, n, s, t) si apoi in (m1, n1, s1, t1).

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

38

Fig.4.15.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

39

CPITOLUL 5

REPREZENTAREA CORPURILOR GEOMETRICE 5.1. Reprezentarea poliedrelor Aplicaţii rezolvate: 1.Sa se reprezinte cubul (hexaedrul) ABCDA1B1C1D1 cu baza ABCD inclusa in [H] si intr-un cerc de raza R data si centrul Ω dat Printr-o rotatie de front fara axa, sa se includa baza ABCD intr-un plan de capat [P] dat si sa se reprezinte cubul in noua stare si apoi in reprezentare desfasurata (v. fig. 5.1.)

Fig. 5.1.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

40

Rezolvare: Se reprezinta cercul se raza R si centrul Ω(ω, ω1), se determina proiectia orizontala a cubului (a, b, c, d, a1, b1, c1, d1); se afla grafic dimensiunea „l” a muchiei si apoi se construieste proiectia verticala a1, b1, c1, d1, a11, b11, c11, d11 se realizeaza rotatia frontala indicata, care modifica numai ca amplasare proiectia verticala a cubului si apoi se reprezinta proiectia orizontala a starii 2, tinand cont de regulile de vizibilitate; in final se desfasoara in totalitate cubul. 2. Sa se reprezinte tetraedul SABC ce are latura „lt” egala cu latura triunghiului echilateral inscris in cercul de raza R si centrul Ω(ω, ω1), instarea 1, deci cu baza ABC situata in planul de front [F], apoi in starea 2, in acest caz baza ABC, fiind inclusa in planul vertical [Q] si sa se efectueze desfasurata totala (v. fig. 5.2).

Fig. 5.2. Rezolvare: Se construieste cercul cu centrul in ω si raza R situat in planul de front [F]; se afla marimea „lt” a muchiei tetraiedului; se reprezinta tetraedul in starea 1, inaltimea h rezulta prin rabaterea triunghiului dreptunghic SΩC pe [V]; se reprezinta in starea 2, obtinuta printr-o rotatie de nivel fara axa; se reprezinta desfasurata totala a tetraedului cu cele 4 fete triunghiuri echilaterale dispuse in stea sau in evantai (cu fetele laterale adiacente).

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

41

3. Sa se reprezinte octaedrul regulat ABCDEF daca se cunoaste muchia „l0”, varful A si directia diagonalei AC si apoi sa se efectueze desfasurata totala (v. fig. 5.3.) .

Fig. 5.3. Rezolvare: __ __ __ Se observa diagonalele AC, DB si EF sunt egale si perpendiculare. Patratele ABCD, DEBF, AECF sunt situate in cele trei plane de simetrie ale octoedrului. In epura se reprezinta punctul A, se traseaza directia diagonalei AC, se determina abcdef si apoi a1b1c1d1e1f1 (e1f = ac).Cele opt fete triunghiuri echilaterale se reprezinta pe desfasurata ca in figura. 4. Sa se reprezinte dodecaedrul cu latura l5 data si apoi sa se desfasoare in stea suprafata totala. Rezolvare: Dodecaedrul are 12 fete pentagoane egale si 20 varfuri. Constructia pentagonului regulat este prezentata in figura 5.4., in cele doua cazuri cand se cunoaste latura l5 si cand se cunoaste raza R a cercului circumscris pentagonului. In planul [H] cele doua baze pentagonale se proiecteaza in interiorul aceluiasi cerc de centru O, rotite intre ele cu un unghi de 36°. Pentagonul bazei superioare este vizibil, cel din planul [H] invizibil. Cu 1...5 s-au notat varfurile bazei inferioare si cu 16...20 cele ale bazei superioare. Conturul aparent al proiectiei orizontale se obtine astfel: se prelungeste latura 54 iar din varful 20 se

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

42

coboara o perpendiculara pe aceasta, ce se va intersecta cu axa verticala a proiectiei in varful 14. Cu raza 014 se traseaza cercul ajutator, pe care se marcheaza varfurile 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ale decagonului, prelungind razele cercului mic, raze trasate prin varfurile 1...5 si 16...20. Pentru reprezentarea proiectiei verticale se considera cotele R si l10, baza superioara situandu-se la cota R + l10 + R fata de planul bazei. Unde R= 1212z si R1= 1111z si R1= R+l10. Se duc liniile de ordine corespunzatoare si se traseaza muchiile respectand vizibilitatea. Modul de desfasurare se intuieste din figura 5.4.

Fig. 5.4. 5. Sa se reprezinte icosaedrul in dubla proiectie ortogonala si desfasurat, daca se cunoaste latura li =l5 a unui pentagon inscris intr-un cerc de raza R. Rezolvare:

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

43

Icosaedrul are 20 de fete triunghiuri echilaterale, (v. fig. 5.5.), ce au li=l5 (latura unui pentagon). Este un poliedru alcatuit din doua piramide pentagonale SABCDE si TFGHIJ legate prin 10 fete triunghiulare. In proiectie orizontala se inscriu in cercul de raza R doua pentagoane decalate cu α=36°, apoi se traseaza muchiile respectand vizibilitatea. Pentru proiectia verticala, se determina inaltimea celor doua piramide, SS0 = l10, prin rabatere, apoi distanta R =bb0 dintre bazele piramidelor, tot prin rabatere. Pe desfasurata fetele triunghiulare se dispun ca in figura 5.5.

Fig. 5.5. 5.2. Reprezentarea cilindrului si conului. Aplicaţii rezolvate: 1. Sa se reprezinte conul circular drept si cilindrul circular drept care au bazele inferioare confundate, incluse in planul [P], paralel cu axa OX, fiind situate in parti opuse fata de plan si cu aceeasi inaltime h. Rezolvare: Cercul de baza are centrul Ω(ω1, ω11, ω111) in planul [P].

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

44

Diametrul cercului de baza se proiecteaza in adevarata marime pe [W] si este egal cu d11c11. Se alege S11 pe perpendiculara trasata din ω111, la distanta h. Triunghiul s11c11d11 reprezinta conturul aparent al conului pe planul [W]. Cilindrul circular drept are conturul aparent pe planul lateral un dreptunghi si anume (c11, c111, d111, d11, c11). Cercul de baza se deformeaza in proiectie pe planele [H] si [V] luand aspectul unor elipse. Conturul acestor elipse s-a trasat dupa metode prezentate anterior. Vizibilitatea pe [H] pentru cilindru este: baza superioara cu centrul ω2 este vizibila, conturul aparent al cilindrului este vizibil, arcul adb invizibil. Pentru con generatoarele se si sf sunt vizibile si arcul bazei aecfb tot vizibil. Analog se stabileste vizibilitatea pe [V].

Fig. 5.6. 2. Sa se reprezinte un trunchi de con circular oblic cu bazele paralele cu [H] de inaltime h data. Rezolvare:

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

45

In figura 5.7. se alege cercul bazei inferioare de centrul Ω1(ω1, ω11) si raza R si varful S(s, s1) al conului, Se construieste proiectia verticala S1a1b1 si se limiteaza la inaltimea „h” reprezentarea trunchiului de con. Se afla astfel „r” a bazei superioare egala cu ω12b11. Se finalizeaza proiectia orizontala, se pun in evidenta generatoarele de contur aparent si se determina vizibilitatea epurei.

Fig. 5.7 5.3. Reprezentarea sferei Aplicaţii rezolvate 1. Sa se reprezinte sfera de centru Ω dat si raza R data, apoi sa se afle proiectiile verticale ale punctului M de pe suprafata sferei cunoscand proiectia orizontala m, si proiectiile orizontale ale punctului N cunoscand proiectia „n” de pe suprafata sferei. Rezolvare:

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

46

In figura 5.8. s-a reprezentat R si centrul Ω (ω,ω1) dat.Se presupune cunoscuta proiectia m.Se sectioneaza sfera cu planul de front,[F] care trece prin M,si se obtine cercul de raza R1.Pe planul [V] cercul de raza R1 se reprezinta cu lilie intrerupta fiind invizibil.Daca se ridica linia de ordine din m se observa ca exista doua puncte M1 si M2 pe cercul de raza R1 care se proiecteaza pe [H] in m. Pentru a determina proiectia orizontala a punctului N cunoscand n1,se intersecteaza sfera cu un plan de nivel ce contine punctul N.Se obtine un cerc paralel de raza R2 in [H].Daca se traseaza linia de ordine din n1 se constata ca exista doua puncte N1 si N2 pe cercul paralel gasit,care au proiectiile n1 1si n12 confundate in n1 .

Fig. 5.8.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

47

2. Sa se reprezinte proiectiile sferei de centru Ω(ω, ω1) si raza R in urma sectionarii ei simultane cu planele: [F] de front si [N] de nivel. Se dau Ω(34, 33, 31), planul [N]cu Z(N V)=16 si [F] cu Y(Fh)= 44. Rezolvare: Planele [F] si [N] sunt perpendiculare intre ele si sectioneaza sfera dupa cercuri de raze diferite secante dupa coarda AB(ab, a1b1, c11b11) care are pozitie de fronto-orizontala (v. fig. 5.9). FW se intersecteaza cu NW in a11≡b11.

Fig.5.9. 3. Se da o sfera de centru Ω1(ω1, ω11) si raza R1 tangenta la planul vertical [Q][Qh;Qv]. Sa se reprezinte o alta sfera de raza R2 tangenta atat la sfera de centru Ω1 cat si la planul [Q], in doua pozitii : (v. fig. 5.10.) a) Cand Ω2 este in acelasi plan de nivel cu al centrului Ω1; b)Cand se da t2i; punctul de tangenta, in proiectie orizontala dintre sfera de raza R2 si planul [Q]. Rezolvare: Se reprezinta sfera de centru Ω1 si raza R1 se marcheaza punctul de tangenta (t1, t11) cu planul [Q] dat. Centrele sferelor de raza R2, tangente atat la [Q] cat si la sfera de centru Ω1 se afla in planul [Qh2;Qv2] si sfera de raza R1·R2 cu centrul in Ω1.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

48

Pentru cazul a) centrul ω2 in proiectie orizontala se afle la intersectia cercului de raza (R1+R2) cu centrul in ω1 cu urma Qh2; paoiectia ω12 este in planul [NvΩ1]; punctul de tangenta dintre cele doua sfere este (t, t1).

Fig 5.10.

Pentru cazul b) din punctul t2i (dat) se coboara o perpendiculara care intersecteaza urma Qh2 in ω2i . Pentru a afla ω12i se rabate linia centrelor celor doua sfere, Ω1ω2i pe planul [NvΩ1]; in epura din ω2i se traseaza o perpendiculara pe ω2iω1, apoi se afla ω02i, intersectand perpendiculara cu arcul de raza (R1+R2) si centrul ω1. Segmentul ω02iω2i este cota ZΩ2i a centrului sferei Ω2i fata de planul [NΩ1].

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

49

La intersectia dintre linia de ordine trasata din ω2i si paralela la ZΩ2i se afla ω12. Exista doua solutii, cu sfera Ω2i tangenta la calota superioara a sferei Ω1 sau cu sfera Ω2i tangenta la calota inferioara Ω1. Se rezolva si vizibilitatea sferelor. Se marcheaza punctul de tangenta dintre sferele Ω1 si Ω2i intersectand segmentul ω1 ω2i cu paralela trasata din t la urma Qh2.

5.4. Reprezentarea torului Aplicaţii rezolvate 1. Sa se reprezinte torul cu centrul in Ω(32, 32, 40), generat de cercul de raza r-20 mm, cu centrul in c(52, yc, zc), care se roteste inj jurul unei axe de capat. Rezolvare: Se reprezinta cercul Ω(ω, ω1) (v. fig. 5.1.1.), se traseaza cercul generator de centrul in c(c, c1) si raza r =10mm, care este tangenta la axa. Pe planul vertical, cercul colier nu se reprezinta avand raza nula, se reprezinta doar cercul ecuator cu raza R=2·r. Pe planul orizontal se reprezinta conturul aparent vizibil al suprafetei exterioare si cu linie intrerupta cel al suprafetei interioare. 2. Sa se reprezinte torul cu centrul in Ω(45, 30, 17) stiind ca cercul generator are raza r=15 si axa este verticala iar diametrul cercului ecuator cu diametrul de 54 mm. Rezolvare: Se reprezinta axa de capat a torului ce trece prin cercul Ω(ω, ω1) si apoi cu centrul in ω cercul ecuator cu diametrul de 45 mm. Se reprezinta centrul cercului generator C(c, c1) care este tangent la ecuator. Se observa ca axa torului este secanta fata de cercul generator (v. fig. 5.12.).

5.5. Reprezentarea cuadricelor de rotatie Aplicatii rezolvate 1. Sa se reprezinte hiperboloidul cu o singura panza (v. fig. 5.1.3.) fiind date axa verticala I(i, i1) si dreapta D necoplanara cu axa I care se roteste in jurul acesteia si care contine punctele A si B. Se dau: axa I(xi=40, yi=30) si dreapta D{A(50, 36, 12); B(30, 44, 44)}.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

50

Fig. 5.11.

Fig. 5.12.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

51

Fig.5.13. a

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

52

Rezolvare: Hiperboloidul cu o singura panza are o larga utilizare in tehnica, arhitectura, constructii si se obtine fie prin rotirea unei drepte in jurul unei axe necoplanare cu aceasta, fie prin rotatia unei hiperbole in jurul unei axe conjugate (v. fig. 5.1.3. a respectiv 5.1.3. b). Suprafata dublu riglata din figura a) este aceeasi cu suprafata de rotatie din figura 5.1.4. b). Se numeste suprafata dublu riglata deoarece poate fi generata si de dreapta D*(d*, d*1), simetria dreptei D in raport cu un plan ce contine axa I si P(p, p1) Є D. Se reprezintaaxa verticala I(i, i1) si dreapta D(d, d1) cu ajutorul punctelor A(a, a1) si B(b, b1) date. Din proiectia orizontala i a axei se construieste perpendiculara pe d, iar cu raza ip se descrie cercul colier. Din p se traseaza o linie de ordine care intersecteaza pe d1 in p1. Prin p1 trece urma Nv a planului orizontal ce contine colierul de centru C(c, c1). In timpul rotatiei urma orizontala H(h, h1) a dreptei D descrie un cerc in planul [H], ce reprezinta urmma orizontala a hiperboloidului si care are raza ih. _ Pentru a limita suprafata hiperboloidului, se ia pe D punctul S(s, s1) de intersectie cu planul orizontal [N1] situat la distanta h/2 fata de [N]. Se observa ca intre [H] si [N] exista aceeasi distanta h/2. In continuare se reprezinta suprafata generata de segmentul HS. Punctul S va descrie un cerc egal cu cercul deswcris de H, dar in planul [N1]. Conturul aparent in proiectie verticala se poate obtine cu ajutorul pozitiilor rotite ale dreptei D anume D1, D2...D4 si afland punctele lor de intersectie cu planul de front [F]. In figura 5.1.4. a) se observa punctele M2(m2, m12), M3(m3, m13), M4(m4, m14), M(m, m1) care cu siguranta apartin unei hiperbole cu centrul in c1 si cu axele (c1y11) si (c1y11) Є [N]. Prin constructii simetrice fata de axe se pbtin ambele ramuri ale hiperbolei iar cu ajutorul celor doua cercuri orizontale limita se finalizeaza trasarea conturului aparent vertical. In figura 5.1.3. b) conturul aparent in proiectie verticala se traseaza cu ajutorul a doua ramuri de hiperbola. Punctele M1(m1, m11) si M2(m2, m12) apartin suprafetelor hiperboloidului, fiind situate pe un cerc paralel obtinut din intersectia hiperboloidului cu planul de nivel [N]. .

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

53

Fig. 5.13.b. 2. Sa se reprezinte hiperboloidul de rotatie cu doua panze, generat prin rotirea hiperbolei date in jurul axei ei transversale I1N1 si sa se marcheze pe suprafata punctul A(a, a1, a11) in tripla proiectie ortogonala. Se cunosc varfurile hiperbolei V1 si V2, focarele F1 si F2, axa O1X1 si pentru A: (XA si ZA) sau (NA si YA) sau YA si ZA). Se dau:

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

54

Rezolvare: Se reprezinta in trei proiectii suprafata hiperboloidului de rotatie cu doua panze limitate de catre planele de profil P1 si P2, alese acest caz arbitrar. Din intersectarea celor doua panze cu plane de profil rezulta cercuri care se proiecteaza pe planul lateral in marime reala, astfel proiectiile punctelor A(a, a1, a11) si A1(a1, a11, a111) se gasesc pe cercul de sectiune cu planul P de raza „r” (v. fig. 5.14.) Constructia ramurilor de hiperbola se realizeaza dupa reguli prezenate anterior.

Fig. 5.14 3. Sa se reprezinte elipsoidul alungit, generat de elipsa cu axa mare AB, prin jurul acestei axe; apoi sa se reprezinte portiunea de elipsoid ramasa in urma sectionarii cu un plan de nivel [N] si cu un plan de proifil [P] si in urma indepartarii calotelor mici. Se dau:

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

55

Rezolvare: Se reprezinta in trei proiectii elipsoidul, apoi se reprezinta ovalul de sectiune cu planul de nivel N si cercul de sectiune cu planul de profil P iar in final se reprezinta cu linie groasaproiectiile vizibile ramase. Se observa: conturul aparent al elipsoidului pe planul [H] care este elipsaecuator si pe planul V care este elipsa meridian, iar pe planul lateral cercul mare, (v. fig. 5.1.5. b). In figura 5.1.5. a) se sugereaza generarea in spatiu a elipsoidului alungit iar in figura 5.1.5. c) se arata modul de trasare a elipsei cand se dau axele.

Fig.5.1.5.a,b

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

56

Fig.5.15.c 4. Sa se construiasca planul tangent [T] in punctul M, situat la cota ZM data, pe suprafata elipsoidului de rotatie turtit, de axe AB si CD. Se dau:

Rezolvare: __ Elipsoidul este generat prin rotirea elipsei meridian in jurul axei mici CD. Punctul M se situeaza pe cercul paralel de cota data; exista doua puncte M si M1, care au proiectiile m1≡m11 pentru carese vor construi planele tangente. Astfel, pentru punctul M(m, m1) planul tangent [T] este determinat de orizontala G(g, g1) tangenta in M la cercul paralel, corespunzator si de tangenta la meridianul punctului M. In epura, prin m se construieste g tangenta la cercul paralel. Punctului M si prin m se traseaza g1; orizontala ce are urma V(v, v1). Tangenta la meridianul punctului M se traseaza mai intai in pozitia rotita, MR(mr, m1r) apartine meridianului de contur aparent pe [V], dupa metoda urmatoare: se considera punctul L care rezulta din intersectia dreptelor m1rd1 cu a1c1, apoi se uneste L cu E, varful dreptunghiului circumscris elipsei meridian, obtinandu-se G pe dreapta FC se traseaza Gm1r care se intersecteaza pe OX in h1, se observa ca Gm1r reprezinta proiectia tangentei pe planul [V], (tg1r), iar mrh reprezinta proiectia orizontala a tangentei; apoi se roteste tangenta pana cand aceasta va trece prin M(m, m1). In epura h→h1; se construieste planul [T] ce are urma Th, paralela cu g se obtine Tx pe OX si urma verticala Tv rezulta ca v1 este inclus in Tx. Analog se construieste planul [T1](Th1, Tv1) ce trece prin M1(m1, m11), (v. fig. 5.1.6. b). In figura 5.1.6. a) s-a aratat modul de generare a suprafetei elipsoidului de rotatie tertit.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

57

Fig 5.16 .a,b 5. Sa se reprezinte un paraboloid de rotatie in cele trei proiectii, stiind ca axa de rotatie este o fronto-orizintala Δ(δ, δ1, δ11) si sa se marcheze puncte pe suprafata lui. Se dau: directoarea D(d, d1, d11), varful V(v, v1, v11) si F focarul parabolei, inaltimea „h” a paraboloidului. Rezolvare: Se reprezinte paraboloidul de rotatie astfel: in proiectie orizontala, conturul aparent este portiunea de parabola (avb) si dreapta ab (care reprezinta proiectia cercului de profil diametru AB), analog in proiectie verticala conturul aparent este dreapta c1e1 si ramura de parabola (e1v1c1), in proiectie laterala cercul de diametre a11b11 si c11e11 care se intersecteaza in proiectia δ11.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

58

Fig.5.17. Daca se considera punctele M1 si M2 se observa ca m1≡m2; in proiectie laterala m111 si m112 se afla pe cercul de profil rezultat din intersectia paraboloidului cu planul de profil [P] ce include punctele M1 si M2, prin corespondenta se afla m11 si m12. ( V. Fig . 5.17 ) .

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

59

CAPITOLUL 6

CORPURI GEOMETRICE 6.1. Secţiuni plane 1. Sa se afle in adevarata marime sectiunea realizata de planul vertical [R] in piramida SABCD si apoi sa se reprezinte trunchiul de piramida ramas (yA = yB – yC = yD = 0; zA = zC = zS ; xB = xD = xS ). (fig. 6.1). Se dau S(40, 50, 30), A(60, ?, ?), B(?,?, 50), C(20, ?, ?), D(?, ?, 10); planul [R] cu Rx= 27 si αv= 50°.

Fig. 6.1. Rezolvare: Varfurile poligonului de sectiune 12345, in proiectie orizontala se proiecteaza pe urma Rh, la intersectia acesteia cu muchiile piramidei proiectate pe [H] (fig. 6.1). Trasand apoi linii de ordine, se gasesc pe [V] 11 21 31 41 51 si pe [W] 111211311411511. Se rabate planul [R] pe [H] si se afla adevarata marime a sectiunii 10203o4050.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

60

Se reprezinta trunchiul de piramida cuprins intre [V] si [R] tinand seama de regulile de vizibilitate. 2. Sa se determine adevarata marime a sectiunii realizate de planul de capat [P] in prisma dreapta triunghiulara ABCA1B1C1 (ZA = ZB = zC ; AB = BC = AC), (fig 6.2). Se dau Px=16; F(yF=0)=(36, ?, 10); G(zG=0)=(27, 5, ?); A(133, 44, ?); B(124, 35, ?); C(100, 16, ?); D(110, 5, ?); A1(80, 43, 40).

Fig. 6.2.

Rezolvare: Varfurile poligonului de sectiune se proiecteaza pe [V] chiar pe urma Pv a planului si reprezinta punctele in care aceasta intersecteaza muchiile prismei. Se obtin astfel 11213141 . Se traseaza apoi linii de ordine spre [H] si [W] rezultand poligonul 1234, respectiv 1"2"3"4"(fig. 6.2). Pentru determinarea adevaratei marimi a sectiunii, se rabate pe [H] planul de capat [P], ce contine poligonul de sectiune, obtinandu-se 10203040. 3. Sa se afle marimea reala a sectiunii facute de planul [P], simplu particular, in cilindrul circular drept de baza Q, raza R si inaltime h (fig. 6.3). Se dau Ω(30, 30, 0); R=?; h=?; planul [P] cu Px=70, Ph perpendicular pe Ox, Pv=45°.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

61

Fig. 6.3. Rezolvare: Daca planul de sectionare taie toate. generatoarele cilindrului, sectiunea este o elipsa, a carei marime reala se afla prin rabaterea planului de sectiune peste unul din planele de proiectie. Daca exista generatoare nesectionate de plan, sectiunea va fi o portiune dintr-o elipsa, marginita de un segment de dreapta. Pentru rezolvarea problemei se considera un numar (suficient de mare) de generatoare ale cilindrului, care se intersecteaza cu planul de sectiune. Punctele gasite apartin elipsei sau portiunii de elipsa cautate . 4. Sa se rezolve intersectia dintre un con circular drept cu baza continuta in planul orizontal si un plan [P], utilizand teorema Dandelin. Sa se afle marimea reala a sectiunii (fig.6.4). Se dau Ω(35, 30, 0); R=20; h=50; planul [P] cu Px=65, Ph perprndicular pe Ox, Pv = 45°, Ω1(?, ?, ?).

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

62

Fig.6.4. Rezolvare : Conform teoremei Dandelin, sectiunea plana mtr-un con poate fi: o elipsa, daca planul secant taie toate generatoarele, o parabola, daca planul secant este paralel cu o generatoare sau o hiperbola, daca planul secant taie ambele panze ale conului.. In figura 6.4 sectiunea este o elipsa .. Pentru constructia acesteia se considera plane auxiliare de nivel ce sectioneaza conul dupa cercuri , proiectate in marime reala pe planul orizontal, iar intersectiile cu planul secant (care este proiectant fata de [V]) sunt drepte de capat. Intersectand cercurile de sectiune cu dreptele de capat, se obtin puncte ce apartin curbei de sectiune.

6.2. Intersecţii cu drepte. 1. Sa se determine in dubla proiectie ortogonala punctele α si β de intersectie dintre dreapta D(d,d') si piramida SABC, cu baza ABC inclus in [H], prin metoda sectiunii transversale, dreapta D fiind definita de punctele E si F, apoi sa se rezolve vizibilitatea epurei (fig.6.5.). Se dau : SABC [ A(110, 18, ?), B(85, 6, ?), C(78, 34, ?), S(26, 15, 55)]; si dreapta D [ E(69, 4, 30), F(42, 46, 10)].

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

63

Fig.6.5.

Rezolvare : Se reprezinta elementele date, apoi se traseaza (plan vertical planul auxiliar) [Q] ce contine dreapta D si sectioneaza transversal piramida dupa triunghiul [123, 112131]. Se afla mai intai proiectiile a' si β' la intersectia proiectiei d' cu [112 131], apoi a si β ducand liniile de ordine corespunzatoare (fig. 6.5). Vizibilitatea pe planul [H] este: intre a si β dreapta este invizibila, in afara conturului aparent al piramidei evident vizibila, intre conturul aparent si a este vizibila deoarece a Є [sab], fata vizibila pe [H]; intre β si conturul aparent dreapta este invizibila intrucat β apartine fetei invizibile [sbc]. Analog se stabileste vizibilitatea epurei pe [V]. 2. Sa se determine punctele in care orizontala G(g, g1) intersecteaza suprafata sferei sis a se clarifice vizibilitatea epurei ( fig. 6.6). Se dau : la sfera: Ω(45, 30, 30), R(l=22); la dreapta G: M(75, 60, 42), N(12, 11, 42).

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

64

Fig.6.6. Rezolvare : Se sectioneaza sfera cu contine orizontala planul de nivel [N] ce contine orizontala G(M ^ N),definita de punctele M si N, obtinandu-se cercul de sectiune, de raza r. La intersectia proiectiei g cu cercul de raza r se gasesc proiectiile punctelor α si β, cautate, apoi trasand linii de ordine se determina α1si β1. Pe planul [H] dreapta este invizibila intre α si β, si vizibila dincolo de α si β; pe [V] dreapta este vizibila pana la α, invizibila intre α' si β', invizibila intre β' si conturul aparent al sferei si apoi vizibila in exteriorul sferei. (fig. 6.6). 3. Se considera torul a carui axa este dreapta verticala Ω(ω, ω1) de coordonate xΩ=70, yΩ= 52 si cercul generator de raze R=18 mm si centru Ω1(40,52,35) si Ω2- Sa se determine punctele de intersectie dintre torul considerat si dreapta oarecare AB. (fig. 6.7). Se dau : dreapta AB : A(35, 80, 5), B(140, -15, 40).

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

65

Fig.6.7. Rezolvare : Prin dreapta AB se duce planul vertical Q(Qh,Qv). Se considera curba de sectiune facuta de plan in tor cu ajutorul planelor auxiliare, planele de nivel Nv1....Nv7. In cazul din figura curba de sectiune este bicontur (doua elipse). Proiectia verticala a dreptei intalneste cele doua elipse in punctele α1, β1, γ1 si δ1. Coborand liniile de ordine determinam proiectiile α, β, γ si δ in planul orizontal. Aceste puncte sunt proiectiile punctelor punctelor unde dreapta inteapa torul.Vizibilitatea se stabileste ca in figura 6.7. 4. Se considera hiperboloidul de rotatie obtinut prin rotatia hiperbolei definita de focarele F1(105,45,50) si F2(35,45,50) si varfurile hiperbolei M1(90,45,50) si M2(50,45,50) injurul axei Ω. Se cere sa se determine punctele de intersectie dintre dreapta D definita de punctele A si B si hiperboloid si sa se stabileasca vizibilitatea. (fig. 6.8). Se dau : dreapta AB cu A(20, 85, 10), si B(110, 20, 90). Rezolvare : Se duce prin dreapta D un plan de capat Q(Qh,Qv). Se determina curba de sectiune dintre plan si hiperboloid utilizand ca plane auxiliare, plane de nivel ale carei urme verticale sunt Nv....Nv6. Aceste plane intersecteaza hiperboloidul dupa cercuri iar planul Q dupa drepte de capat. Proiectia orizontala a dreptei intalneste curba de sectiune dupa α si β. Se duc linii de ordine si se obtin α' si β' acestea fiind proiectiile punctelor unde dreapta inteapa hiperboloidul. Vizibilitatea rezulta din fig.6.8.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

66

Fig.6.8.

5. Sa se determine proiectiile punctelor de intersectie dintre dreapta MN oarecare si un paraboloid rezultat din rotatia parabolei definita de axa Ωv, varful V si un punct curent A al parabolei in jurul verticalei ΩΩ1. Se dau: Ω(45,55,85); V(65,55,12); A(93,55,65). (fig.6.9). Se dau : N(40, 95, 20), M(110, 20, 70) Rezolvare : Se duce prin dreapta D un plan vertical Q(Qh,Qv). Se determina curba de sectiune dintre plan si paraboloid utilizand ca plane auxiliare planele de nivel Nv1...Nv5. Aceste plane intersecteaza paraboloidul dupa cercuri iar planul [Q] dupa drepte verticale. Proiectia verticala a dreptei intalneste curba de sectiune in γ= si δ'. Se due linii de ordine si se obtin punctele γ si δ, acestea fiind tocmai proiectiile punctelor unde dreapta inteapa paraboloidul. Vizibilitatea rezulta din figura .

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

67

Fig.6.9.

6.3. Desfăşurate 1. Se considers piramida oblica ABCDES cu baza ADCDE situata in planul orizontal de proiectie si planul de capat [P]. Se cere sa se reprezinte in evantai si in stea desfasurata totala a trunchiului de piramida cuprins intre planul [P] si baza ABCDE. Se cunosc P[PX(90,0,0); aH ; Ph ┴ Ox; B(135,10,0); C(l15,15,0); E(120,40,0)], (fig.6.10).

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

68

Fig.6.10 a. Rezolvare : Se executa mai intai desfasurata piramidei. Muchiile laterale ale piramidei fiind drepte oarecare, lungimea lor reala se afla printr-o rotatie de nivel. Rotatia se face in jurul axei verticale Ω(ω, ω1 ) care contine varful S(s,s1). Pentru a determina adevarata marime a bazei superioare a trunchiului de con taiata de planul [P], se rabate planul [P] pe planul orizontal si se obtine poligonul α0β0γ0δ0ε0 (fig. 6.1.0.a). Se considera un punct S0 de la care se incepe constructia fetelor laterale ale piramidei (6.1.0.b). Pe muchiile in adevarata lor marime S0A0 ; S0B0; S0C0; S0D0; S0E0 se iau segmentele α1a1, β1b1, γ1c1, δ1d1, ε1e1 care reprezinta adevarata marime a muchiilor laterale ale trunchiului de piramida. Se ataseaza si cele doua baze in adevarata marime (fig. 6.1.0.b) Desfasurata in stea se realizeaza pornind de la baza ABCDE trasand arce de cerc cu lungimile muchiilor. (fig. 6.1.0. c)

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

69

Fig.6.10 b, c. 2. Se considera prisma pentagonala oblica ABCDEA1B1C1D1E1 cu baza ABCDE situata in planul orizontal si cu muchiile laterale paralele cu planul vertical de proiectie. Se cere sa se determine desfasurata totala a acestei prisme, (fig. 6.1.1.). Se dau: A(110, 30, ?), B(95, 10, ?), C(75, 25), D(65, 45, ?), E(90, 60, ?), E1(25, ?, 95). Rezolvare : Pentru a executa desfasurata prismei, trebuie sa se cunoasca adevarata marime a muchiilor laterale si adevarata marime a distantei dintre muchii. Adevarata marime a muchiilor laterale se obtine in epura, unde proiectiile pe planul vertical sunt in adevarata marime fiind frontale. Adevarata marime a distantei dintre muchii se afla sectionand prisma cu un plan de capat perpendicular pe muchii si rabatand planul pe planul orizontal. Se obtine poligonul α*β*γ*δ*ε* . Se iau in compas laturile pentagonului si se aseaza pe o dreapta. Prin ele se due linii de ordine pe care se traseaza proiectiile verticale ale muchiilor. Se traseaza apoi bazele (fig. 6.1.1. a si b)

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

70

Fig.6. 11 a.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

71

Fig.6.11 b. 3. Sa se reprezinte cilindrul circular drept cu inaltimea h= 35, baza un cerc de raza R = 15 cu centrul Ω(30, 20, 0). Sa se determine in marime reala sectiunea realizata de planul vertical [P] {Px(64, 0, 0), α Ph,ox = 30° } in cilindru, apoi sa se reprezinte desfasurat suprafata totala a cilindrului ramasa dupa sectionare.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

72

Fig.6.1.2. Rezolvare : Planul de sectiune (v. fig. 6.1.2) intersecteaza razele cilindrului in punctele ab si cd, fiind parallel cu axa cilindrului sectiunea este un dreptunghi care se proiecteaza pe [H] dupa dreapta ab≡dc; pe [V] proiectia sectiunii este dreptunghiul a1b1c1d1; pe [W] proiectia sectiunii este dreptunghiul a11b11c11d11 in corespondenta cu celelalte proiectii. Pentru desfasurarea lungimii arcului de cerc al bazei (aefb) se imparte intr-un numar de parti egale. Portiunile din bazele ramase se ataseaza adiacent suprafetelor laterale(v. fig. 6.1.3). Marimea reala a sectiunii se afla prin rabaterea planului [P] pe [H] : (ad1 = a1d1 si bc1 = b1c1).

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

73

4. Sa se desfasoare sfera de centru Ω(ωω1)si raza R prin divizarea suprafetei in zone.(v.fig.6.1.3.). Se dau : Ω(40, 35, 34), raza l = 28.

Fig.6.1.3.a.b. Rezolvare : Se divide una dintre semisfere in mai multe zone, cu cat sunt mai multe zone, cu atat precizia de desfasurare este mai buna. In exemplu (v.fig.6.1.3.a) s-au considerat 4 zone: zona IV se aproximeaza cu o suprafata cilindrica; zonele III si II se aproximeaza cu suprafetele de trunchiuri de con circular drept iar zona I se aproximeaza cu suprafata unui con circular drept cu varful in S1; S2 si S3 reprezinta celelalte varfuri de conuri considerate. In fig.(6.1.3.b) s-a reprezentat un sfert din desfasurata totala a sferei. 5. Se considera sfera de raza R si de centru Ω(ω, ω'). Se cere sa se execute desfasurarea sferei prin fusuri sferice(v. fig.6.1.4).Se dau : Ω(30, 45, 40), cu R = 25

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

74

Fig.6.1.4. Rezolvare : Se sectioneaza sfera sase plane proiectante [P1], [P2], [P3], [P4], [P5], [P6] care contin cate un meridian si centrul Ω. Aceste plane divizeaza sfera in 12 fuse notate cu cifre romane, deci si cercul ecuator este divizat tot in 12 parti egale. Se sectioneaza apoi sfera cu noua plane de nivel care intersecteaza meridianele ce dau fusele sferice spre exemplu in punctele a,b,c...i. Pentru executia desfasurarii sferei se ia o dreapta oarecare figura 6.1.4, pe care se va aseza lungimea cercului ecuator 2πR, impartita in cazul de fata in 12 parti. Prin diviziunile respective se vor duce perpendiculare, reprezentand transformatele meridianelor si se masoara pe fiecare lungimea fuselor sferice care este egala cu πR. Se masoara l'a' si se transpune l0a0, apoi se masoara tangenta 2 a 20 si se transpune 20a02o0 si asa mai departe pentru toate punctele alese. Curbele 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200, 210 contureaza suprafata desfasurata a unui fus. In figura 6.1.4. este reprezentata axonometric sfera cu un fus orar desprins.

6.4. Intersecţii diverse 1. Sa se rezolve intersectia dintre piramida patrata dreapta SABCD si prisma dreapta KLMNK1L1M1N1 dispuse ca in figura 6.1.6.a, adica cu axele concurente in unghi drept.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

75

Sa se precizeze tipul intersectiei si apoi sa se desfasoare ambele suprafete (fig.6.1.5.).Se dau : S(50, 38, 60), A(75, 38, ?), B(50, 12, ?), C(25, 38, ?), D(50, 64, ?), K(82, 24, 20), L(82, 38, 30), M(82, 50, 20), N(82, 38, 10), lungimea MM1 = 74.

Fig.6.15.a.

Rezolvare : Se intersecteaza muchiile prismei, care sunt drepte fronto-orizontale, cu fetele piramidei, obtinandu-se poligoanele spatiale 1234 si 5678 in tripla proiectie ortogonala, remarcandu-se si faptul ca muchiile piramidei SA si SC sunt frontale, iar SB si SD sunt drepte de profil. Varfurile 1, 3 sunt situate pe muchia SA, respectiv pe LL1 si NN1; varfurile 4 si 2 sunt situate pe muchiile KK1 respectiv MM1 ale prismei si pe dreptele SF, respectiv SI ce apartin fetelor piramidei SAB si SDA.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

76

Fig.6.15.b..

Tipul intersectiei este o patrundere totala deoarece au rezultat doua poligoane spatiale de intersectie. Se desfasoara piramida avand muchiile in adevarata marime si baza. Distantele S0l0 = S111; S030 = S131 ; S020 = S121; S040 = S141 , se transpun pe desfasurata stiind ca 10 si 30 Є S0A0; 20 Є S0I0; 40 Є S0F0. Analog se marcheaza pe desfasurata punctele 50; 70; 60; 80 (vezi fig. 6.1.5.b). Prisma dreapta s-a desfasurat in figura 6.1.5. b). 2. Se considera o sfera de centru Ω(ω, ω1, ω11) de raza Rs O(o, o1, o11) si O1(o1,o1',o1") cu raza bazei mici rT si raza bazei mari RT. Se cere sa se determine intersectia dintre cele doua corpuri geometrice. (v.fig.6.1.6). Se dau : Ω(60, 60, ?), O(75, 60, 100), la sfera RS = 50, la trunchiul de con rT = 10, RT = 45.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

77

Fig.6.1.6. Rezolvare : Se intersecteaza cele doua corpuri geometrice cu plane de nivel. Acestea determina in sfera niste suprafete circulare si in trunchiul de con tot suprafete circulare. La intersectia cercurilor ce marginesc aceste suprfete se gasesc punctele curbei de intersectie (1, 2, 3, 4,...13). Pentru determinarea proiectiilor pe planul vertical se duc linii de ordine. Se dau : Ω( 60, 60, ?); O(75, 60, 100); la sfera Rs = 50; la trunchiul de con rT = 10 si RT = 45. 3. Se considera sfera de centru Ω(ω, ω') si de raza Rsf si cilindrul circular drept cu bazele de centru O 1 (o 1 ,o' l ) situata in planul orizontal si O2 (o2, o21) situata intr-un plan de nivel. Raza cilindrului s-a notat Rcir. Se cere sa se reprezinte curbele de intersectie dintre cele doua corpuri geometrice utilizand metoda planelor auxiliare. (v.fig.6.1.7). Se dau : la sfera Rsf = 45; la cilindru Rcil = 20; Ω(50, ?, 60); O(50, 80, 110).

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

78

Fig.6.17.

Rezolvare : Pentru determinarea punctelor de intersectie dintre cele doua corpuri se utilizeaza ca plane auxiliare planele de front [F1], [F2] etc. Aceste plane intersecteaza sfera dupa niste cercuri si cilindrul dupa dreptunghiuri. La intersectia acestora se obtin punctele curbelor de intersectie. Forma curbelor depinde de dimensiunile celor doua corpuri si de pozitiile lor reciproce. 4. Sa se rezolve intersectia dintre o prisma triunghiulara dreapta ABCA1B1C1 si o semisfera . Se dau : A ( 74; 48;0 ) , B ( 45; 10; 0 ), C ( 20; 71; 0 ) , A1 ( 74; 48; 67 ) iar pentru sfera Ω ( 45; 48; 0 ) , raza R= 43 mm . Sa se precizeze tipul intersectiei .

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

79

Fig.6.1.8.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

80

Rezolvare : Pentru determinarea intersectiei cerute se intersecteaza ambele corpuri simultan cu plane de front auxiliare: Fh1, Fh2...Fh7. La intersectia unui anumit plan de front cu semisfera rezulta un semicerc iar cu fetele prismei drepte verticale. Pe planul [H] se obtin punctele curbei spatiale de intersectie (1, 2, 3 ...10) iar pe planul vertical corespondentele lor (11, 21, 31...101). Arcul 11213141 este vizibil in rest curba este invizibila.(v. fig. 6.1.8.). * Cele doua corpuri geometrice sunt reprezentate spatial tot in fig. 6.1.8. observandu-se ca intersectia este o patrundere totala. 5. Se da un tor care are axa o dreapta verticala ce trece prin Ω(70, 52, 35) si cercul generator de centru Ω1(40, 52, 35) si R = 18. Sa se determine punctele de intersectie dintre torul dat si dreapta oarecare AB, A(30, 110, 10), B(115, 5, 58). Sa se clarifice vizibilitatea epurei. Rezolvare : Se utilizeaza plane de front auxiliare care intersecteaza simultan cele doua corpuri geometrice astfel : torul dupa cercuri iar cilindrul dupa drepte verticale. Sectiunea este o patrundere, o curba spatiala simetrica fata de planul [F1] data de punctele (123456789). Reprezentarea spatiala in axonometrie izometrica a intersectiei este prezentata tot in fig.6.19.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

81

Fig.6.19.

GEOMETRIE DESCRIPTIVA

82

BIBLIOGRAFIE

1. Alexandru , V. , Dragomir , Dumitru , s.a., Geometrie descriptivă şi desen, Galaţi, 1982 ; 2. Botez St. Mihail , Geometrie descriptivă , Ed. Didactică şi Pedagogică , Bucureşti , 1965 ; 3. Enache, I ., Ivanceanu , T., Buzilă , V., Geometrie descriptivă şi desen tehnic , , Ed. Didactică şi Pedagogică , Bucureşti , 1982 ; 4. Husein , Gh., s.a. , Desen tehnic, Ed. Didactică şi Pedagogică , Bucureşti , 1965 ; 5. Matei , Alex., Gaba, Victor, Tocu, T., , Geometrie descriptivă , Ed. Didactică şi Pedagogică , Bucureşti , 1982 ; 6. Moncea , Jean, ., Geometrie descriptivă şi desen tehnic , , Ed. Didactică şi Pedagogică , Bucureşti , 1982 ; 7. Precupeţu , P., ş. a ., Geometrie descriptivă cu aplicaţii în tehnică, , Ed. Didactică şi Pedagogică , Bucureşti , 1987 ; 8. Şolea , Dumitru, Morărescu , A., Tocariu, L., ş.a., Geometrie descriptivă şi desen tehnic, Ed.. Mongabit , Galaţi , 2002 ; 9. Tănăsescu , A., Geometrie descriptivă , Ed. Didactică şi Pedagogică , Bucureşti , 1965 ; 10. Tănăsescu , A., Probleme de geometrie descriptivă , Ed. Didactică şi Pedagogică , Bucureşti , 1967 ; 11. Tănăsescu , A., Geometrie descriptivă , perspectivă , axonometrie , Ed. Didactică şi Pedagogică , Bucureşti , 1975 ; 12. Tocariu , L., Elemente de geometrie descriptivă utilizate în tehnică, Ed. Evrika , Brăila , 2001.