GeometriaS

Uma abordagem geral

Índice 1. Geometria Euclidiana 2. Geometria Hiperbólica 2.1. Postulados da Geometria Hiperbólica 2.2. Características da Geometria Hiperbólica 2.2.1. Rectas 2.2.2.. Triângulos 2.2.2 2.2.3. Círculos 3. Modelos de Geometria Hiperbólica 3.1. Modelo do Semi-plano de Poincaré 3.2. Modelo do Disco de Poincaré 3.3. Modelo de Klein - Beltr Beltrami ami 3.4. Um comparativo gráfico entre modelos 3.5. Outras dimensões 3.5.1. A Pseudoesfera 3.5.2. Modelo de Poincaré a 3D 3.5.3. Modelos materiais

1. Geometria Euclidiana

Εὐκλείδης

Euclides de Alexa Alexandria ndria (aprox.300 a.C.)

Para fazer download dos “Elementos” de Euclides:

http://www.ebook3000.com/Euclid-s-Elements-of-Geometry_34614.html

1. Geometria Euclidiana

5 Postulados de Euclides Uma representação gráfica

O Axioma das Paralelas

2. Geometria Esférica e Hiperbólica As novas geometrias nascem das sucessivas tentativas de deduzir o axioma das paralelas a partir dos outro quatro axiomas. Há duas formas de negar a afirmação de Euclides: 1. Supor que: “Por um ponto P exterior a uma recta m, num mesmo plano, plano, não existe existe uma única recta  paralela à recta m.” 

Geometria Esférica, Elíptica ou Riemanniana.

2. Supor que: “Por um ponto P exterior a uma recta m, num mesmo plano, plano, existe existe uma infinidade infinidade de rectas  paralelas à recta m.” 

Geometria Hiperbólica

1. Geometria Euclidiana Por um ponto P exterior a uma recta r, num mesmo plano, passa uma e só uma única recta paralela pa ralela à recta r.” 

“

- As geodésicas são linhas rectas. - A soma soma do doss ângulos internos de um triângulo é 180º (Curvatura Zero)

- A área área de um um triângulo é dada por:

 Áreaa [ABC]= base*altura/2  Áre - Há triângulos semelhantes semelhantes com tamanhos diferent diferentes. es.

Geometria Esférica Por um ponto P exterior a uma recta m, num mesmo plano, não existe uma única recta paralela à recta m.” 

“

- A geodésica é uma curva ao longo de um círculo máximo. - A som somaa dos dos ângulos internos de um triângulo é maior que 180º. (Curvatura Positiva)

- A área área de um um triângulo na superfície esférica de raio R é dada por Área Ár ea [A [ABC] BC] = R2.(α + β + γ - ) - Não exi exist stem em tri triâng ângul ulos os se seme melh lhan ante tess po pois, is, por por terem terem âng ângul ulos os in inte tern rnos os iguais, iguais, não form ormam am ne nece cessa ssaria riame ment ntee tri triâng ângul ulos os com a me mesma sma form orma. a.

2.2. Postulados da Geometria Hiperbólica Por um ponto P exterior a uma recta m, num mesmo plano, existem infinitas rectas paralelas à recta m.” 

“

Postulado 1: 1: Por dois dois pon pontos tos dife diferen rente tess pod podee ser traçad traçadaa uma, e só uma, rect rectaa hiperbólica. Postulado 2: 2: Uma recta hiper hiperbólica bólica pode pode estender-s estender-see indefinidament indefinidamentee em ambas as direcçõ dir ecções es sem que os seu seuss pon pontos tos extr extremos emos se se toquem toquem.. Postulado 3: 3: Pode Pode desenhar-se desenhar-se um círculo usando usando qualquer qualquer pont ponto o como centro, centro, e qualquer qualqu er medida como raio. Postulado 4: 4: Todos Todos os ângul ângulos os re rectos ctos são igua iguais is en entre tre si. Postulado 5: 5: Pelo ponto P, que que não pe pert rten ence ce a uma uma re rect ctaa hipe hiperb rbóli ólica, ca, podem podem se serr traçadas traç adas pelo menos duas rectas hiperb hiperbólicas ólicas paralelas paralelas a P.

2.2. Características Genéricas da Geometria Hiperbólica 2.2.1. Rectas As geodésicas na superfície hiperbólica hiperbólica podem ser represen representadas tadas por linhas rectas rectas ou por arcos de círculo, círculo, dependend dependendo o do modelo utilizado utilizado e da posição dos pontos pontos na superfície.

Conjunto de rectas que, passando pelo mesmo ponto, são todas paralelas à linha mais escura.

2.2. Características Genéricas da Geometria Hiperbólica 2.2.2. Triângulos

A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre menor do que 180 º. A di differ eren ença ça é de deno nomi mina nada da defeito. Na geometria euclidiana dois triângulos podem ser semelhantes e não serem congruentes. Isto é impossível na geometria hiperbólica, onde triângulos semelhantes têm de ser rigorosamente iguais.

2.2. Características Genéricas da Geometria Hiperbólica Área de Triângulos A área de um triângulo hiperbólico é proporcional ao seu defeito e é dada por: Área[ABC] = R2. (

-

-

-

)

Verificamos que, apesar de não haver um limite para o comprimen mento dos lados de um tri triângu ângulo lo,, há um lim limite ite para ara o valor alor da respe specti ctiva áre área. Na internet podemos encontrar um applet que calcula a área de triângulos hipe hiperb rból ólic icos os no disc disco o de Poinc oincar aré, é, cons consid ider eran ando do R= R=1. 1. http://www.geom.uiuc.edu/java/triangle-area/ Podemos também usar um applet da Wolfram

2.2. Características Genéricas da Geometria Hiperbólica 2.2.4. Círculos Uma circu circunfer nferência ência hipe hiperbóli rbólica ca é o lugar geométric geométrico o dos pontos pontos cuja distân distância cia hiper hiperbóli bólica ca a um pon ponto to  fixo chamado centro é const constante. ante.

Sendo r o raio do círculo círculo,,

, a medid medidaa do

perímetro e da área são dadas por: P = 2π Rsinh(r/R) Rsinh(r/R)

P = 2π sinh(r) sinh(r)

 A = 2π R 2 (cosh 2(r/R -  1 )  )

 A = 4π sinh sinh 2(r/2)

Na ge geome ometri triaa hi hipe perb rbóli ólica, ca, um umaa cir circun cunfe ferê rênci nciaa te terrá sem sempr pree um pe perím rímetr etro o maior mai or do que que uma uma cir circun cunfe ferê rênci nciaa Euc Euclid lidian ianaa com o mesmo mesmo raio aio!! !!!!

3. Modelos de Geometria Hiperbólica Foram desenvolvidos qua quatro tro prin princip cipais ais mode modelos los para a Geometria Hiperbólica. Semipl Semi plan ano o Sup uper erio iorr de Po Poin inca carré: toma como plano um semiplano aberto do plano plan o euc euclidi lidiano. ano. 

Disco Disc o de Po Poin inca caré ré:: representa o plano como o in intterior de um círcu cullo e as rectas como arcos de circunferência ort rto ogonais à fronteir iraa do disco ou diâmetros do mesmo. 

Proje Pro jeccti tivvo de Kl Klei ein n – Beltrami : Representa o plano como o interior de um círrcu cí culo lo e as rect ctas as co como mo cor ord das de dess ssee cí círrcu culo lo.. 

de Lo Lore renz nz ou Hiperbolóide: Ne Nesste cas aso o, usa sam mos uma fol olh ha de um hip ipeerb rbol olói óide de de rev evol olu ução ão.. Os pontos sã são o cl clas asse sess de equ quiival alên ênci ciaa de vect ctor orees que sa sati tissfaz azeem umaa de um detterm rmin inad adaa for orma ma qu quad adrrát átic icaa e as re rect ctas as res esu ult ltam am da in intter erse secç cção ão de ce cert rtos os plan pl anos os co com m o hi hipe perb rbol olói óide de.. Nã Não o va vamo moss exp xplilici cita tarr es este te mo mode delo lo.. 

3.1. Semiplano Superior de Poincaré .

Este modelo baseia-se no semiplano superior

Trata-se de um modelo mo delo que: •

é conforme, isto é, preserva ângulos,

•

não preserva distâncias,

•

nem áreas de figuras .

Esta forma de projecção é denominada Projecção Estereográfica.

3.1. Semiplano Superior de Poincaré Métrica Euclidiana: Métrica Métrica Hiperból Hiperbólica: ica:

As barras verticais indicam

As geodésicas são linhas curvas.

a distância euclidiana.

Podemos encontrar uma demonstração para a equação das geodésicas em: http://www.quantum-immortal.net/math/hyperbolic.php#parallel

3.1. Semiplano Superior de Poincaré

Construções no Semiplano Superior: NonEuclid Applet Appl et para para des desenha enharr linh linhas as no semipla semiplano no supe superio riorr de Poinca Poincaré ré (in (inte ternet rnet): ):

http://www.geom.uiuc.edu/~crobles/hyperbolic/hypr/modl/uhp/uhpjava.html

3.1. Semiplano Superior de Poincaré

par alela ao eixoaodos xxdos e círculos tangen tangentes tes ao eixo dos xx: perpendicular eixo xx;  Linha paralela

horociclos. horociclos.



Arcos que intersecta intersectam o eixo dos não na perpendicular: equidistantes. equidistantes. Linha o eixo dos xxxx, nãomas perpendicular a este;



Círculos que não intersectam o eixo dos xx : são círculos na geometria de Lobachevsky.

3.1. Semiplano Superior de Poincaré •

•

Ângulos da superfície mantidos no mapa

 Mapa

Triângulos hiperbólicos (mantêm os ângulos!)

conforme

3.1. Semiplano Superior de Poincaré Como calcular uma área neste modelo?

Verificamos o que já tinhamos escrito nas características da geometria hiperbólica: A área de uma região depende depende do seu defeito. defeito.

3.1. Semiplano Superior de Poincaré Transformações

Translação

Rotação

3.2. Disco de Poincaré Formalmente, o Disco de Poincaré é definido como o conjunto de todos os pontos de um disco unitário aberto

Trata-se de um modelo mo delo que: •

é conforme, isto é, preserva ângulos,

•

não preserva distâncias,

•

nem áreas de figuras .

3.2. Disco de Poincaré Métrica Euclidiana: Métrica Métrica Hiperból Hiperbólica: ica:

As barras verticais indicam

a distância euclidiana.

As geodésicas são geralmen geralmente te linhas curvas, embora embora possam ser rectas rectas em alguns casos. Podemos encontrar uma demonstração para a equação das geodésicas em: http://www.josleys.com/article_show.php?id=83#formule

3.2. Disco de Poincaré B 

- l  é um arco de raio infinito. t 

- m e n são concorrentes - l e n são estritamente paralelas. - l e m seriam assimptoticamente paralelas parale las se se tocassem na fronte fronteira ira do disco - m e n são ambas paralelas a l (e a t )

Para desenha desenharr linhas no Disco Disco de Poinca Poincaré ré (wolfram)

3.2. Disco de Poincaré

•

Ângulos: medidos através do ângulo formado pelas tangentes aos arcos no ponto de intersecção.

•

Triângulos hiperbólicos (mantêm os ângulos!)

Área de um triângulo no Disco de Poincaré Construções no Disco de Poincaré: http://www.math.umn.edu/~garrett/a02/H2.html

3.2. Disco de Poincaré

Todos os triângulos usados nesta pavimentação têm a mesma área... Outras pavimentações

3.2. Disco de Poincaré Círculos hiperbólicos

Círculo, seu centro e raios.

Uma circunferência dentro do disco de Poincaré que não passe  pelo centro O do disco terá como imagem, na superfície, outra circunferência. circunferência.

Construções no Disco de Poincaré: NonEuclid

3.2. Disco de Poincaré

Um ser ser vive vivend ndo o den dentro tro de um univ univeerso hipe hiperb rból ólic ico o seri seriaa to tota talm lmen ente te inca incapa pazz de perc perceb eber er,, unic unicam amen ente te atr através avés dos dos seus seus sentidos, que vive num espaço tão curi curios oso o vist visto o de fora. ora.

Segundo ele, vive num universo perfeitamente plano, no qual os seus habitant antes são vistos de fora como omo na figu figurra ao lado lado..

3.2. Disco de Poincaré

Sem ter formação matemática, Escher conseguiu representar muitos conceitos matemáti máticcos da geome ometri tria euclid clidia ian na e não euclidiana.

Muitos dos seus trabalhos são usados por matemá matemático ticoss para para ilustr ilustrar ar exemp exemplos. los.

Paraa saber mais sobr Par sobree M.C.Escher e sua Mauritius Cornelius Escher 

(1898 – 1972), Holanda

ligação liga ção com a geome geometria tria hip hiperb erbólic ólicaa

3.2. Disco de Poincaré Circle Limit I

3.2. Disco de Poincaré Circle Limit II

3.2. Disco de Poincaré Circle Limit III

Esboço original

3.2. Disco de Poincaré Circle Limit IV

Note-se que as figuras parecem mais pequenas à medida que nos aproximamos da fronteira do disco, mas que têm o mesmo tamanho na Geometria do Plano Hiperbólico.

Mais Exemplos !!!

3.2. Disco de Poincaré Transformações Rotação

Transformação Disco Disc o - Semi Semiplan plano o Filme Transformação Möbius

Translação

3.3. Mode Modelo lo de Klein - Beltr Beltrami ami

Eugene Beltrami 1835 – 1900, Italia

Felix Klein 1849 – 1952, Alemanha

3.3. Mode Modelo lo de Klein - Beltr Beltrami ami Modelo Mod elo de Beltr Beltrami ami-Kl -Klein ein:: obté obtémm-se se def deforma ormand ndo o a geom geomet etri riaa hipe hiperb rból ólic icaa do Disc Disco o de Poinc oincar aréé de modo odo a que que as rect ectas hiper perbólic ólicas as no disc isco de Poin oincaré aré (os arc arcos de circun circunfe ferê rênci ncia) a) se trans transfo form rmam am em cord cordas. as.

Trata-se de um modelo mo delo que: •

não é conforme, isto é, não preserva ângulos,

•

não preserva distâncias,

•

nem áreas de figuras .

3.3. Mode Modelo lo de Klein - Beltr Beltrami ami Métrica Disco de Poincar Poincaré: é:

Métrica Métrica modelo Klein-Beltrami Klein-Beltrami::

V B A

As barras verticais indicam a distância euclidiana. O factor ½ é necessário para que a curvatura seja -1.

U

As geodésicas no modelo de Beltrami são as cordas euclidianas do disco unitário . A dedução destas fórmulas pode ser vista aqui

3.3. Mode Modelo lo de Klein - Beltr Beltrami ami Projecção Central Curvatura positiva Meia esfera é projectada em todo o plano.

Curvatura negativa Toda a superfície é projectada em parte do plano.

3.3. Mode Modelo lo de Klein - Beltr Beltrami ami Neste exemplo, - m e n são rectas divergen divergentemente temente paralelas; paralelas; - l e m são assimptoticam assimptoticament ente e paralelas.

Este mapa só é conforme na origem, por isso é denom enomin inad ado o de não conforme rme - distorce ângulos e medidas  – e, assim, a medição de ângulos é muito complicada. Mas, existe um isomorfismo entre os modelos de Poincaré e Klein-Beltrami que permite efectuar medições de ângulos com relativa facilidade....

3.3. Mode Modelo lo de Klein - Beltr Beltrami ami Este isomorfismo transforma ângulos do modelo de Beltrami em ângulos con congrue gruen ntes no disc disco o de Poin oincaré caré,, basta astand ndo o assi assim m usar sar as rect rectas as tran transsforma ormada dass no plano ano de Poin oincaré aré e tomar omar a medida ida euclid clidia ian na do ângu ângulo lo de inte interrsecção cção das respectivas respectivas tangente tangentes: s:

A transformação é feita através da seguinte fórmula:

3.4. Um comparativo gráfico gráfico entre modelos

3.4. Um comparativo gráfico gráfico entre modelos

3.4. Um comparativo gráfico gráfico entre modelos

3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D 3.5.1. A pseudosfera

3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D 3.5.2. Modelo de Poincaré a 3D

•

Espaço : esf esfera era unit unitár ária ia;;

•

Linhas: Linhas: arcos de círculo que intersectam a fronteira da esf esfera era unit unitár ária ia em ângu ângulo lo rect recto; o;

•

Planos: Planos: porções de esfera que intersectam a esfera unit unitár ária ia em ângu ângulo lo recto ecto..

Para visualizar um visitante de um museu hiperbólico!!!

3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D

3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D Mas... como construir uma superfície hiperbólica num modelo sólido e palpável??? Todas estas superfícies são conceptuais e é preciso não esquecer que, há alguns ano anos, o uso do computador, com os seus programas de geometria, não era era prát prátic icaa corr corren ente te.. Su Surg rgir iram am algu alguns ns mode modelo loss em pape papel, l, mas mas muit muito o frág frágei eis. s.

Os matemáticos espe speravam o dia em que pudessem pegar numa superfície hipe hiperb rból ólic icaa da mesm mesmaa forma orma como como segu segurram numa numa esf esfera. era.

3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D 3.5.3. Modelos em Crochet É neste contexto que surge Daina Taimina, Taimina, matemática Letã que, num momento inspirado de uma tarde de 1977, se lembra de... Tricotar estas superfícies. Aqui vemos alguns exemplos do seu trabalho.

A pseudosfera, palpáv palp ável el e nada frágil. frágil.

3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D 3.5.3. Modelos em Crochet

Paralelas

Perpendiculares

Triângulos

3.5. Outras dimensões – Modelos a 3D Para ter em casa

Manta

Um conjunto de planos hiperbólicos, tricotados, imitando recifes de coral

Algas

FIM