GEOMETRIA
August 4, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Geometrí a SEGMENTOS - ÁNGULOS
1.
En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D, E; siendo: AE AD + BE = 20 y BD = . Calcule 4 BD. A) 3 D) 6
B) 4 E) 7
6 x = 2(62x) 3x = 6 x =2 RPTA.: B
3.
En u una na rect rectaa se tienen tienen los puntos consecutivos: G, E, O, M y GE MT T, siend siendo o EO = 2 , OM = 3 , GT = 36
C) 5
y “O” es punto medio de GT . Calcule EO + 2MT.
RESOLUCIÓN
A) D)
27 33
B) 39 E) 35
C) 31
RESOLUCIÓN G
*
*
a=4 RPTA.: B
B) 2 u E) 5 u
C) 3 u
6
B 6 - x
3b
3a + 4b = 36 }
}
3 ( 4k ) + 4 ( 3k ) = 36 12k + 1 12 2k = 36 24k = 36 k = 36 ... ....... ...... ........ ....((I) 24 *
x = EO + 2MT x x x
RESOLUCIÓN
A
b
T
a 4 4k Del dato: 3a = 4b b = 3 = 3k
*
Se tien tienee los los punt puntos os co cons nsec ecut utiivo voss A, B, C; tal que: (AB).(AC) = 2(AB2–BC2 ), AC = 6u. Calcule BC. A) 1 u D) 4 u
a
M
36
4ab + a+b = 20 5a = 20
2.
O
2a
De dato AD + BE = 20
E
}
}
a + 2 ( 3b ) = 4k + 6 ( 3k ) 18kk = 22k 22k.... ...... .... .... .... .... ..((II) II) = 4k + 18 =
C
X
Dato : AB x AC = 2(AB2 – BC2) (6 x) x6AC BC)(AB – BC) x==2(AB+ 2(ABBC)
(I (I)) en (II) 36 � x = 22 � �24 �= 33 � � RPTA.: D
Geometrí a 4.
En un una re recta se se ub ubican lo los pu puntos consecutivo consec utivoss P, Q, R y S, tal que PQ = 2(RS) , QR = 2 y PQ = 2 ( QR ) + 3 ( RS ) . Calcule QS
Datos: (AB)² + b(AC) = (AC)² + (BC)²
A) 4 D) 7
Piden: BC = x = ?
QR
RS
B) 5 E) 8
C) 6
Reemplazando y ordenando el dato: (1A4B )4²2 4( B4C3) ² = ( AC ) ² b ( AC )
RESOLUCIÓN 2a 2 P
a
Q
R
DIFERENCIA DIFERENCIA DE CUADRADOS
S
� � � A B +43 BC �( AB BC ) = A C �A � {C b 142 � � �
Datos:
PQ = 2(RS) = 2a QR 2 PQ 2 ( QR ) + 3 ( RS) = ......(b) QR RS
(AC) (ABBC) = AC(AB+BC b) (ABBC) = (AB + BC b) b = 2BC b BC = 2
Piden: QS = (2 + a) = ?
RPTA.: C
6.
Reemplazando en (b) 2a 2(2) + 3(a) = a a a² = 4 + 3a Resolviendo: a=4 QS = 6
A D)) 1220 RPTA.: C
5.
En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C. Si (AB)2 + b(AC) = (AC)2 + (BC)2 ; calcule BC. A) b D) b/4
Sobre la línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C, luego se ubican los puntos medios X de AB , y de BC y Z de XY . Si: AB – BC = 36, calcule ZB.
B) 2b E) 4b
C) b/2
RESOLUCIÓN x
B
C
C) 9
RESOLUCIÓN 2a+b a+b A
X
a Z
b B
b Y
C
Datos: X punto medio de AB (AX=XB) Y punto medio de BC (BY = YC) Z punto medio de XY (XZ=ZY) AB BC = 36 Piden:
A
B E)) 818
ZB = a = ?
Geometrí a BY = YC = b XZ = ZY = a + b AX = XB = 2a + b
(x a)x = x² b(x a) (x a) (x + b) = x² x² + bx ax ab = x²
Reemplazando :
ab = x (ab) 1 1 1 = x a b
AB BC = 36 (4a + 2b) (2b) = 36 4a = 36 a=9
De (III) 1 1 = k x k
RPTA.: C
7.
En un una re recta se se ub ubican lo los pu puntos consecutivos P, Q, R y S. Si (QR (QR)(RS) = K(RS – RQ) y
RPTA.: B
8.
PR RS = 1 . Calcule PR PQ PR
A) 2K D) K/2
B) K E) K/4
C) K/3
1
1
A) 11 D) 17
x
Q
R a
S
B) 13 E) 19
De (I): 1 RS RQ 1 1 1 � = = K QR gRS QR gRS K QR RS 1 1 1 = ...(III) K a b
b
a
x
O
a -x
A
b -a
B
C
b -x
1 OC
+
1 OB
=
1 OA
1 1 1 a+b 1 + = � = � (a + b).x = ab b a x ab x
(AB).(AC) = 289 (a-x).(b-x) = 289 ab (a + b )x + x 2 = 289
ab – ab +x2 = 289 x2 = 289 =1
C) 15
RESOLUCIÓN
b
Datos: (QR) (RS) = K (RS RQ).... (I) PR RS = 1 .....................(II) PQ PR Piden: PR = x = ?
De (II) x b ( x a) x
1
Si: OC + OB = OA , (AB).(AC) = 289
RESOLUCIÓN
P
Sob Sobre re una rec recta ta se tom toman an los puntoss consec punto consecutivo utivoss O ,A, B y C. Calcule OA,
x
= 17
Geometrí a RPTA.: D
9.
A) 2,0 D) 3,0
En una recta se tienen los puntos conse co nsecu cuti tivo voss P, Q, R, S; si sien endo do:: 1 1 1 1 = + y PQ.RS = m. QR RS PQ PS Calcule PS.QR A)
2m
D) m
a+
b 2
b 2
a+
M
B R
x
Q
Q
a
a
b+
a 2
b
a b+ 2
S
a+ y
b
+ x +b +
a
a + 2b + a = 10 �
= 1 0 �
2 3 2 10 0 ( a + b) + x = 1 2 3 10 0 ( 5) + x = 1 2
b
x
Adecuando el dato: 1 1 1 1 = + QR PS PQ RS 1 1 1 1 = + y x a b
b+a=5
�
x = 10 7, 5 x = 2, 5 RPTA.: B
x y b + a � = �x y = a + b yx ab �
11.
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD , tal que: mS AO AOB = mS B BO OC lu lueg ego o se tra raza za 5 3
b+a b+a = yx ab
�
bise sect ctrriz de dell S AO AOC, C, de ta tall OM bi forma que: m S AOM - m S COB+m S COD = 40º. Calcule m S MOB + m S COD
yx = ab yx = agb = m RPTA.: E
10.
b
10
R
a
C
N
C) 2m
RESOLUCIÓN P
C) 2,8
RESOLUCIÓN
A
m B) 2 E) 3m
B) 2,5 E) 3,5
A) 30º D) 45º
En una recta se tienen los puntos consecutivo consec utivos: s: A, B, C; siend siendo o AC = 10, luego se ubican los puntos medios: M, N, R y Q de AB,BC,AN Calcule RQ.y MC respectivamente.
B) 35º E) 60º
C) 40º
RESOLUCIÓN M
B C
A
5
3
D
4 4
o
b
Geometrí a a b
=
40º 60º
=
2 3 RPTA.: A
13.
m S AOB = 5 m S BOC = 3 � OM : bisectriz del S AOC (m S MOB = ) m S AOM m S COB + m S COD = 40º .............(I) m S MOB + m S COD = + b = ?
Reemplazando 4 33 + b = 40ºen (I) 142 4
+ b =
40º RPTA.: C
12.
Sean dos ángulos cuya suma de sus medidas es 100º y la diferencia de su suss co com mpl pleementos es 20º. Calcule la razón de las medidas de dichos ángulos. A) 2/3 1/4
B) 1/3
D) 3/7 E) 2/9 RESOLUCIÓN Sean los ángulos: a + b = 100º ................. (I) C(a) C(b) = 20º ..............(II) a Piden: = ? b En (II) (90º a) (90º b) = 20º b a = 20º En (I) a + b = 100º Resolvemos: a = 40º b = 60º
C)
Se tienen los ángulos adyacentes y co comp mple leme ment ntar ario ioss AO AOB B y BO BOC, C, lue ueg go se tra raza zan n la lass bi bise sect ctri rice cess � � � � loss án ángu gullos OM,ON,OR y OS de lo AOB, BOC, AON y MOC respectivamente. Calcule mSROS . A) 15º D) 22,5º
B) 18,5º E) 25º
C) 20º
Geometrí a R
RESOLUCIÓN
+
M
B
x O
2 N
F
2
“OR” es la bisectriz del
C
o
A
E
+
COD.
*m S AOD=m S BOE = m S COF=+b+2
* 2 + 2 = 90º + = 45º
*m S AOF = 224º 2+2b++2 b+ = = 224º 112º .….. (I)
* + + x + + = 90 º 2 2 3 x + ( + ) = 90º 2 3 x + ( 45º ) = 90º 2 x = 22,5 ,5ºº
*m S BOC = 52º b= 52º.… (II) (II ) en (I) +52º + = 112º + = 60º RPTA.: D
14.. 14
B
S
x
C
D
R A
Se ti tien enen en lo loss áng ángul ulos os co cons nsec ecut utiv ivos os AOB, BOC, COD, DOE, EOF de tal manera que: m S AOD=m S BOE=m S C O F y m S DOF + m S AO AOD= D=22 224º 4º.. Cal Calcu cule le la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo COD y el rayo S BOC = 52º. OE , si : m
15.
x = + = 60º RPTA.: B
AOB = , calc Si: m S AOB calcule ule “x” si el S AO AOB B es di divi vidi dido do en pa part rtes es de med ediida dass ig igua uale less por “n “n”” ra rayyos interiores. B
A) 52º D) 82º
B) 60º E) 102º
x
C) 70º
RESOLUCIÓN
O
A
Geometrí a RESOLUCIÓN
A) /n �n 4 � C) � � �n 1 � �n 1 � E) �n + 2 � � �
n 3� � B) � � �n � �n 2 � D) �n + 1 � �
B X
�
X
O
A
“n” rayos interiores entonces son “(n+1)” ángulos interiores m AOB = (n+1)= =
(n + 1)
x = - 3
= n + 1
x = - 3
n 2 n + 1
RPTA.: D
16.
El suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual al do dobl blee de dell co comp mple leme ment nto o de la diferencia entre el suplemento y el complemento del complemento del mismo ángulo. Calcule el suplemento del doble de la medida del ángulo. A) 120º D) 60º
B) 45º E) 75º
C) 135º
RESOLUCIÓN Sea “x” el ángulo S S C = 2C S CC .......(I) (
( x)
( x)
)
(
( x)
( x)
)
S(2X) = ? Resolviendo (I) 180º[(180x)(90x)]= 2[90º(180xx)] 180º [90º] 90º = = 2[2x 2 (2x 90º] 90º)
Geometrí a 45º = 2x 90º 2x = 135º S(2x) = S(135) = 45º
m S BOC = 80º + 2 = 90º
RPTA.: B
17.
Se tien ti enee doss do ángu án gulo loss adya ad yace cent ntes es,, AOB AOB y BOC, BO C, cuy cuyaa suma de sus medidas es 100º (m S OC)). Se tra raza zan n las AOB< m S BOC � � bise bi sect ctri rice cess ON y OM . Cal Calcu cule le la medida del ángulo BOC si la bisectriz del ángulo NOM determina � con OB un ángulo que mide mide 20º. A) 90º D) 60º
B) 40º E) 70º
4 = 20º = 5
RPTA.: A
18.
Según
el L 1 //L 2 y L 3 //L 4 y Calcule el valor de “x”. �
�
�
x L
6x
C) 80º
L 1 4
L 2x
RESOLUCIÓN B
Q 20º
2
M
A) 25° D) 30°
+ 20º + 40º
L
L 6
C
A
�
L 3
5
N
gráfico � L 5 // // L 6 .
�
B) 40° E) 20°
C) 10°
RESOLUCIÓN L 3
x x
o
Datos: m S AOB + m S BOC = 100º
L 4
6x
L 1
3x
�
-
ON bisectriz del S AOB (m S NOA = m S NOB = ) � OQ bisectriz del S NOM (M S NOQ = m S QOM = 20º+) m S QOB = 20º � OM bisectriz del S BOC (m S BOM = m S MOC = + 40º) Piden: m S BOC = 80º + 2 = ? Reemplazando: S
S
m +BOC m AOB 2 + + (80º 2) == 100º 100º
L 5
2x
L 2
2x L 6
Del gráfico (en L 5 ) 6x + 3x = 180° x = 20 RPTA.: E
19.
�
�
calcu Si: L1 //L 2 , cal cule le “X”.
el va valo lorr de de
Geometrí a L 1
A) 1 D) 2,5
2 x
B) 1,5 E) 3
RESOLUCIÓN n
L 2
A) 150° D) 160°
B) 130° E) 135°
mº n
2
Propiedad: 4 = 90º 2 = 45º ...............................(I) Por ángulos de lados perpendiculares x + 2 = 180º ....................... (II) De (I) y (II) x = 135° RPTA.: E �
�
L1 //L 2 . Calcule la relación
de m y n.
aº
L1
bº
mº bº
nº aº
L2
a + b + n = 180º m m = 2n n = 2 RPTA.: C
L 2
Si:
aº
Si:
x
20.
nº bº
2
ii)
L1
bº
a+bº
L 1
aº
C) 120°
RESOLUCIÓN
i)
C) 2
Geometrí a
Geometrí a D) 18º
equilátero DEF DEF. La relaci ció ón correcta entre a; b y c es:
E) 24º
B
RESOLUCIÓN A C
= C E = E D A B = B C
B
E
b° E
3 3
4
4
A
D
2
C
ACE: 4 2 + 4 +
2
a°
D
=
C
A
= 180
F
A) a =
10 = 180°
c°
C) b =
18°
RPTA.: D
En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se ubica exter exteriorm iormente ente y relat relativo ivo al lado lad o BC el pun punto to D, de modo modo que que AC=AD, mADC=80º y mBCD=15º. Calcule la mBAD. A) 15º D) 45º
B) 20º E) 55º
b c
2
a c
B) a-b-c = 0
D)
b=
a + c 2
RESOLUCIÓN B
D
C) 35º
E
b° 60 °
60 °
a°
c° 6
0
°
C F Como el DEF DEF es A
RESOLUCIÓN B
b + c 2
2
E)
a=
equi eq uilá láte tero ro
se
cumple:
A B = B C A C = A D
60° + b = +a .............. ( 1) +c = 60 + a .............. ( 2)
D 80° 1 5°
x
A
De (1) a (2) a =
65°
2 0°
C
En el ABC x + 20° = 65° x = 45° adju ad junt ntaa
2
RPTA.: D RPTA.: D
En la fi figu gura ra
b + c
se
tien ti enee
el
triángulo ABC tr en el quee se isósceles qu inscr in scrib ibee el triá iáng ngul ulo o
En la figura se cumple: x+ yb + z = 360°; siend siendo o x ; y, z; números enteros . Calcule: x+y+z
Geometrí a 2)
n
m
x + y = 180 + A) 6 D) 3
B) 5 E) 2
RPTA.: D
En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BF que resulta ser igual al lado lad o AB. Si la mC = 15º. Calcule la mABF.
B
n n
m
A m
n
c
A) 50º D) 70º
D
E
b) 30º E) 60º B x
x
( 2) en (1) 1 + 1b + 2 = 360° x + y +z=4
x+15º x+1 5º
A
RPTA.: C
En lasi: figura, x + y, m + calcule n = 150º
RPTA.: A
En y
la figura AB = BC y AC = AD = DE = EF = FB Calcule la medida del ángulo ABC. A
m
n
A) 150° B) 200° D) 255° E) 270° RESOLUCIÓN 1)
C
: x+x+15º +x+15º = 180º 3x = 150º x = 50º
b
x
1 5º
F
ABF
b b
C) 45º
RESOLUCIÓN
Se cumple: m + n + + b = 360° ...... ( 1 ) m +n = + ................ ( 2 )
150º 2
x + y = 180 + 75º x + y = 255º
C) 4
RESOLUCIÓN
m
m 2
suma x + y = 180 + n +2 m ...(I) Datto: m + n = 150º .. Da ...... ....... .....(II) (II) en (I)
3) 4) 5)
n m
y = 90º +
E
C) 225° C
x = 90º + n
2
A) 15º D) 36º
D
F
B) 18º E) 20º
B
C) 30º
Geometrí a RESOLUCIÓN
En la figura, calcule “x”:
Completando ángulos: mBAC = m ACB = 4x mDAC = x A
3
x
3x
X
3
E
3x
4 0° X
4x
4x
C
2x
D
ACD
2x
F
X
A) 8° D) 18°
B
C) 12°
RESOLUCIÓN 4 + 4b = 40º +180º +b = 55º 3 + 3b = x = 180º 3. 55 + x = 180º x = 15º
: 4x + 4x + x = 180º x = 20º
RPTA.: E
En la figura mostrada, calcule “x”. X
B) 15° E) 10°
RPTA.: B
En la figura, calcule: "x", si: b=20°. D
3 0 º
B 50°
5
3
5
3
x E
A) 60º D) 70º
B) 40º E) 50º
C) 80º A
A) 30°
RESOLUCIÓN Del gráfico: exterior: 8 + x = 8 x = 8( - ) 3 + 30º = 3 - = 10º x = 80º
C
B) 40°
C) 50°
D) 45° E) 35° RESOLUCIÓN Dato -b=20°……….(1) ABC: Propiedad: Propiedad: mB=100°
RPTA.: C
Luego: +b=80° +b =80° +b=40° ……………(2) Ec.(1) + Ec.(2):
2 = =30° y b=10° x = + b = 30° + 2(10°) = 50°
Geometrí a RPTA.: C
RESOLUCIÓN x +b = 180º x =180º - b
x
En la fi figu gurra: a+b a+b = 36. Cal Calcu cule le el el mayor valor entero de “x”. B
10
A
a
b
D
2
x
x
C
X
8
2
x
x
2b +2b + b = 5b = 180º b = 36º x = 180º - 36º = 144º RPTA.: A
A) 206 D
B) 251 E
C) 22
RESOLUCIÓN Dato: a + b = 36 ABC : x < 10 +a .................. ( I) ACD : x < 8 + b .................. ( II) (I) +(II) 2x < 10 +8 +a+b 2x < 54 x < 27 xmax = 26
Calcule “x” sabiendo que es entero, AB = AE = CD X C B
4º
A
RPTA.: D
A) 82º D) 85°
En la figura, calcule: “x”.
D
E
B) 83° E) 86°
C) 84°
RESOLUCIÓN P
x
xº C B x+4º x x x
x
A) 144º
B) 150º
D) 160º
E) 120º
=
=
C) 136º
A
180º-2(x+4º) =
1) 2)
EPD, m S AEP ABE isósceles
4º
x+4º E
= x + 4º
m S AEB = m S ABE = x + 4º m S BAE = 180º 2(x + 4º) ....(I)
D
Geometrí a 3) 4)
5)
x + 4º < 90º x < 86º ...............................(II) ACD a mayor lado se opone mayor ángulo 180º 2(x+4º) < 4º 84º< x ................................(III) De (II) y (III) 84º < x < 86º x = 85º
CP in inte ters rsec ecta tand ndos osee en “O “O”” . Si Si:: AO=4, OC = 12 y CD=15; calcule el máximo máximo valor ente entero ro de AD , si AC to toma ma su mí míni nimo mo va valo lorr entero, ente ro, ademá ademáss “D” es un punto exterior al triángulo ABC. A) 20 D) 25
B) 21 E) 27
C) 23
RPTA.: D
RESOLUCIÓN B
Calc Ca lcul ulee “y “y”, ”, sabi sabien endo do que que “x” es el mínimo valor entero. B x+y
P
2x - y
1) 2)
3)
4)
5)
H
12
4 y-x
A
A) 62º D) 92º
O
B) 82º E) 98º
C
13
A
C) 88º
X
RESOLUCIÓN 2x y + x + y + y x = 180 2x + y = 180 y = 1802x ......(I) En A: 2xº yº > 0º (no existe ángulo negativo) 2xº > yº ...................... ........................(II) ..(II)
(I) en (II) 2xº > 180º 2xº 4xº > 180º xº > 45º El mí mínimo va valor en entero de de “x “x” es es 46º x = 46º ......... (III) (III) en (I) yº = 180º 2(46º) yº = 88º RPTA.: C
Se tiene una triángulo ABC, riz se inte trazan la altur altura AH y la bisectriz bisect interior rior
C 15
D
Del gráfico: > 90º (obtuso) AOC: 12 < AC < 16
ACmin= 13; porque: AC² > 4² + 12² ADC: 2 < x < 28 xmax = 27 RPTA.: E
En un triángulo ABC, S y R son puntos que pertenecen a AB y BC respectiv respec tivame ament nte. e. Si : AC=A AC=AS=R S=RC, C, mSAR=10° y mRAC=50°. Calcule mSRA. A) 20° D) 25°
B) 30° E) 15°
RESOLUCIÓN
C) 40°
Geometrí a Se une une S y C ASC equilátero SRC isósceles B S
R
x 50°
10°
60°
50°
A
20°
C
x + 50° = 80° x = 30°
RPTA.: B
Se tiene un trián triángulo gulo equil equilátero átero ABC, se ubica el punto “D” “D ” exterior y relativo relat ivo al lado BC. Si: mCBD m DAC = 30° y mADC=10°. Calule: mCAD. A) 5° D) 18°
B) 10° E) 20°
C) 15°
RESOLUCIÓN B 6 0 °
x + 3 0 ° 3 0 °
D
1 0 °
6 0
A
° - x
6 0°
x
C
Como la m BDA BDA = 30 30°° es es la mita mi tad d de la m ACB ACB = 60 60°; °; y como se cumple que: AC = CB , entonces: AC = CB = CD mCBD = mCDB x+30° =
40°
x
= 10°
m CAD = x = 10° RPTA.: B
Geometrí a
Geometrí a 5. RPTA.: B
4.
A) 30º B) 45º
En un triángulo ABC donde AC=25, se traza BE perpendicular a la bisectriz interna dell áng de ngul ulo o A, lu lueg ego o se une el punto medio “M” de BC con “E”, calcule AB si EM=4 A) 18 D) 17
B) 15 E) 21
Calcule “x” en en la la fifigura si si: AB = BE y BC =BD
C) 50º D) 53º E) 20º RESOLUCIÓN
C) 16
RESOLUCIÓN B M
x 4
C
A
25
P
8
Se prolonga BE hasta “P” AEP P ( ALA ) AEB AE AB = AP = x BPC: PC = 8 x = 17 RPTA.: D
.......( .(LL.A.L.) i) ABD EBC ...... m S BAD = m S BEC = ii) Por propiedad: x = + 180º 3x 4x = 180º x=45º RPTA.: B
6.
En un tr triá iáng ngul ulo o re rect ctán ángu gulo lo AB ABC C donde mB= 90º, mC = 22º 30’, AC=2 AC =20. 0. Cal Calcu cule le la di dist stan anci ciaa de dell punto medio de BC a la hipotenusa. A) 10 2 3 D) 5 2 2
B) 5 2 3 E) 5 2 4
C) 5 2
B
22º 45º 10
2x
Geometrí x
45º
A
a RESOLUCIÓN
8.
H
10
x =
2
x
=
En un triángulo ABC donde donde m S A = 48º, se traza la ceviana interior BM tal que: m S ABM =18º y AB AB = MC. Calcule m S C. B) 28º E) 66º
C) 37º
10 2
10
2
=
5 2
2 2 2 7.
2
RPTA.: D
En un triángulo ABC donde m S B=150º, m S c =10º y la distancia de “C” a la bisectriz del ángulo “A” es 4. Calcule AB.
RPTA.: D
9. A) 4 D) 10
C
10
RESOLUCIÓN Se traza BP = BM ABP BMC (L.A.L.) � m A� =m C =48º
Se traza la mediana BM y la altura BH BHM: notable (45º)
22º 30
M
20
A) 18º D) 48º
B) 6 E) 2
C) 8
En un triángulo rectángulo ABC rec ectto en B, “F “F”” es el ex exce cent ntro ro relativo al lado AC. Calcule FB si la distancia de “F” a AC es 6.
RESOLUCIÓN A
x
10º x 60º 1 0 0 ºº
C
10º 150º
2
30º
A) 3 D) 6
B H
Se traza la altura AT
ATC AT
x 2
=
2
BPF x=6 2
AHC (ALA)
B
= CH 4�x
C) 12
RESOLUCIÓN El excentro edidista de los lados
4
T
B) 9 E) 8
2
=
45º 45º
8 RPTA.: C
Q A
C
x 6 6
F
Geometrí a RPTA.: D
10.
En la figura: ABCD es un cuadrado, las distancias de “B” y “C” a AF son “b” y “c” respectiva vam mente. Callcu Ca culle la distancia de “D” a AF .
A) D)
b + c 4
b
B)
b c
C) b c
2
E) c
2
RESOLUCIÓN Triángulos rectángulo congruentes. x = b c B
C c
x b
c
x A
D RPTA.: C
11.
Se ti tien enee el cuadr cu adrililát áter ero o ABCD donde AB=BC, BD=AC y m S CAD = 90º. Calcule m S BDA. A) 37º D) 53º
B) 45º E) 30º
C)60º
Geometrí a RPTA.: B
RESOLUCIÓN
i)
13.
Se construye PCD BH
Calcule “x” “x” en la la fifigura.
PD
2BHD = AC = 2a
BHD : notable x = 30º C
A) 30º D) 40º
2a B
B) 32º E) 45º
C) 35º
RESOLUCIÓN a
P
2a
x
x A
H
D
RPTA.: E
12.
C
B
En el triángulo rectángulo ABC (m S B=90º) donde AB=BC, se ubica el punto interno “P” siendo: m S PAB=m S PCA y AB AB=A =AP. P. Ca Calc lcul ule: e: m S PAC A) 10º D) 20º
B) 15º E) 24º
C) 18º
8
8 x
A
i)
75º
16
Se traza CH AD CH = 8 ACD: Propiedad x = 30º
ii)
RPTA.: A
RESOLUCIÓN
14.
B
Calcule “x” x”.. Si: AB=DC
a 2
H 45
P x
a
C
A) 40º D) 30º
2a A
AHC notable
(30º, 60º)
B) 35º E) 25º
C) 32º
RESOLUCIÓN B
APC:
=
=45º 30º x + 30º x = 15º
40º x
x x
P
x
40+x
x
A
D
Geometrí a D) 19 E) 20
i) ii)
Se traza bisectriz: AP Se traza PD ABPD: Inscriptible ABP PDC...............(L.A.L.) ABP: 4x + 40º = 180º 4x = 140 x = 35º
RPTA.: B
15.
En el tr triá iáng ngul ulo o re rect ctán ángu gulo lo AB ABC C ( mS B = 90º ) donde AB = BC, se considera interiormente el punto “P” siendo AP = BC y m S PAC =15º. Calcule m S PCA A) 20º D) 35º
B) 25º E) 40º
C) 30º
RESOLUCIÓN
i)
Se construye AEC: equilátero ABE BEC PAC (L.A.L.) x= 30º RPTA.: C
16.
En la la fig figura, calcule “BC” si: si: AB =13, AE = 3 y AF = FC. A) 16 B) 17 C) 18
C
Geometrí a RESOLUCIÓN
i) B
x
13 x A 3
P
F C
E
Se traza PF//BQ PAF PF = 2NQ = 2b BQC BQ = 2PF = 4b ABP: “M”: Baricentro MB = 2MN = 2x b=x 24 x= =6 4 RPTA.: A
18.
0
i)
Se traza OP
En la fig figura ura:: AB = BC, m S ABC = 40º, m S DBA = 20º y m S DAB = 10º. Calcule: m ACD.
BC
ii) iii)
Por Bisectriz: OE = OP EB = BP = 16 Por mediatriz: OA OA = OC
AEO OPC EA=PC=3 x = 16 + 3 = 19 RPTA.: D
17.
En el triángulo ABC se traza la cevi ce vian anaa BQ qu quee in inte terc rcep epta ta a la mediana AP en su punto medio “N” , luego se ubica el punto medio “E” de BP tal qu que AE int interc ercept eptaa a BQ en el punto M. Calcule: MN si BQ= 24 A) 6 D) 8
B) 3 E) 5
A) 40º D) 50º
B) 45º E) 54º
C) 48º
RESOLUCIÓN B
20
20
60º 70º A a
H
C) 2
20
D x
RESOLUCIÓN
30º 2a 10
E a
x a
C
Geometrí a 20.
i)
Se traza la altura BH
ii) iii)
Se construye AED(notable) Propiedad bisectriz AE = AH = a DAC: Isósceles: 2x = 100º x = 50º
iv)
En la figura AB = PC, BF = FC, AE = EP. Calcule “x”.
RPTA.: D
19.
Calcule “” en la figura: Si: AD = BC
A) 18º D) 22º A) 10º D) 18º
B) 12º E) 20º
B) 19º E) 24º
C) 20º
RESOLUCIÓN
C) 15º
RESOLUCIÓN
i) ii)
Se construye APD BDC....(L.A.L.) ABD (Isósceles) 3+3+6=180º 12=180º =15º
i)
RPTA.: C
Propiedad me mediatriz: B BQ Q = QC QC y AQ = QP ABQ PQC (L.L.L.) m QCP =m ABQ=2x ABC:5x = 90º x
=
= 90 5 18º
Geometrí a RPTA.: A
Geometrí a
Geometrí a
Geometrí a *
Reemplazando: ( 5 + 1) ( 5 + 2) 9 = n(5)
n=6
2
RPTA.: C
25. * *
Piden: x=? e$ = 360 = 18º
*
e$ =
1
Calcule la suma de las medidas de los áng ángulos internos de un un Polígono Regular ABCDE…, de “n” lados; si AC CE
20
360
2
15
A) 540º D) 1080º
º
24
e
+
C ( 2x + e + e ) = 180º BM
1
e
=
2
B) 720º E) 1260º
C) 900º
= 42º e 1
2
42º
x = 69º RPTA.: D
24.. 24
9 es es un un núm númer ero o de de di diag agon onal ales es qu quee se pueden trazar desde 5 vértices con co nsecutivo voss de un polígono regular de “n” lados. Calcule “n”. A) 5 lados C) 6 lados E) 9 lados
B)7 lados D) 8 lados
RESOLUCIÓN
Piden: Nº lados =n=? Dato: Nº Diag. Trazados Desde 5 vértices =9 *
Recordando: Nº Diag. Trazados desde “k” vértices consecutivos ( k + 1) ( k + 2) nk 2 En un polígono de “n” lados.
=
A
B
e x U
P
E
C D
T
Q
R
S
Geometrí a RESOLUCIÓN D e C
e a
a
Piden: máx. Nº S si=100º * Para 1S i = 100º � 1S e = 80º * Para 4S i = 100 � 4e$ = 320º * Para 5S i � 5e$ = 400º (Esto es imposible)
E e
e
a
B a
“n” lados
Por que: Se$ = 360º A lo máximo Solo se pueden conseguir ángulos.
A
Dato: AC
CE S = 180º n 2 = ? Piden: i ( ) ABC CDE ..............(L.A.L.) mS BC BCA = mS DC DCE = 360º e$ = 2 = n En c$ : 4 = 90º 360º 2 = 45º = n n = 8 S = 180º ( 8 2 ) = 1080º
RPTA.: B
�
*
4
27.
Calcule el perímetro de un octógono equiángulo ABCDEFGH, AB=EF= 2 2 ; HG = 2 , AH = 3, DE = 1 y GF=8. A) 16+6 2 C) 16+8 2 E) 18+8 2
B) 18+6 2 D) 8 2 + 10
�
i
RESOLUCIÓN
RPTA.: D Q
26.
En un dec decágo gon no convexo xo,, ca callcu culle el má máxi ximo mo nú núme mero ro de án ángu gulo loss internos de medida 100º. A) 3 D) 6
B) 4 E) 7
100º
B
6
A e
3
C
e
e
R 3 D
1
E
H 2
e
2 2
e P
80º
1
100º 80º
100º 80º
*
e 2
e G
F
8
100º
100º
e
3 2
2 2
3
C) 5
RESOLUCIÓN 80º
2
Pide: Perímetro octógono=? 360 Calculando: e$ =
n
2
S
Geometrí a - e$ =
360 8
= 45º
- Se ete rmiidna nan rián ángu los notabdlet eserm e n 445º tri y gulo uns rectángulo. PQ=RS=6 RD=3 y CD= 3
( e1 + e2 + ...e5 ) = 140º 2
Reemplazando en (I) 140º + ( e + e + ...e n ) = 360º ( e + e + ...e n ) = 220º
PS=QR=11 BC=6 Perímetro= 18 +8 2
. . . . . . $ i5 + en = 180º 760 + ( e1 + e2 + ...e5 ) = 180º (5)
6
6
7
7
RPTA.: D
RPTA.: E
28.
La su suma de de la las med medidas de ci cin nco
29.. 29
ángulo áng uloss int intern os de un pol polígo no convexo es ernos 760º.Calcule la ígono suma de la lass me medi dida dass de lo loss án ángu gulo loss extern ext ernos os cor corre respo spondi ndient entes es a los vértices restantes. A) 190º D) 220º
B) 200º E) 230º
C) 210º
A)
RESOLUCIÓN e2
1
D)
e3
1 5
1 2
B)
1 4
C)
1 3
E)1
i3
e
En un pol políígo gon no reg regul ular ar cuy cuyo o semi semi-perí pe ríme metr tro o es p, el nú núme mero ro qu quee expresa su perímetro es el igual al número de diagonales. Además la medida del ángulo interior es p veces la medida del ángulo exterior. exter ior. ¿Cuánto mide el lado del polígono regular?
i2
RESOLUCIÓN
i 4 e4
i1
en
i5
in
i 6 e5
e6
Dato: $ i1 + $ i2 + ...$ i5 = 760º Piden: e + e + ...en = ? Se sabe: e + e + ..... en = 360º ...(I) $ i1 + e1 = 180º $ i2 + e2 = 180º 6
* *
7
1
2
*
Sea “n” es Nº lados. Datos: semiperímetro: “p”=
nx 2
Geometrí a * 2p=Nº Diagonales=
n = 24
n(n 3) 2
4
n = 6 (Hexágono)
RPTA.: D
�
* mS i = p ( pS e ) Piden: x=?
31.
Por el vér vértice B de un tr triángulo ABC, se traza una recta exterior. Calc Ca lcul ulee la di dist stan anci ciaa de dell pu punt nto o medio de la mediana BM a la recta, sabiendo que las distancias de los vértices A y C a dicha recta miden 8 y 12 respectivamente.
Reemplazando en los datos: n(n 3) ...(I) 2p = 2
º ( n 2) � 360º � = P� �...(II) n n � � ( n 2) = 2p...(III) n ( n 3) (I) =(III) = ( n 2) 180
A)2 D)5
C) 3
RESOLUCIÓN
2
B) 10 E) 7
n = 4
Q B
Reemplazando:”p” en (III) �nx � 1 ( n 2 ) = 2 � �� x = 2 �2 �
R P
12
RPTA.: D
H
30.
N
Si un po polígono de n la lados tuvi tuvieera (n-3) lados, tendría (n+3) diagonales menos. ¿Qué polígono es? A) Triángulo
B) Cuadrilátero
C entógo tágono gono no E)) POc Octó
D) Hexágono
RESOLUCIÓN Piden: “n” (¿Qué polígono es?) Dato: Para: “n” lados
Nº Diagonales. =
n ( n 3) -(n+3) 2
10 8
A
2
2
M
a
C
Dato: AH=8 CQ=12 Piden: NR =x=P *
*
Reemplazando el Nº lados en el 2do polígono n ( n 3) ( n 3) ( n 3 3) Nº Diag = ( n + 3) = 2 2 Resolviendo: n 3n 2n 6 = n 9n + 18
a
En el trapecio AHQC: Trazamos la base media MP 8 + 12 MP = = 10
2
MPB (Base
x
=
media)
10 2
x = 5 RPTA.: D
32.
Las distancias de los vértices A y B de un triángulo ABC a una recta
Geometrí a que pasa por su baricentro miden 3 y 4 respectivamente; calcule la dist di stan anci ciaa de dell vé vért rtic icee C a di dich chaa recta. La recta intercepta a AB y BC . A)7 D) 8
B)5 E)1
RESOLUCIÓN B m N
4
C) 3
m
H Q
G R
S
P
3 x A
M
C
Dato: AH=3 BQ=4 “G” Baricentro *
BG=2GM Piden: CP=x= 2m En el el tr trapecio AH AHPC ((ttrazamos la la 3 + x ...(I) base media: MR = 2
*
En el BQG(NS=2); MR =NS=2 Luego: En (I) 3 + x 2= 2
x=1 RPTA.: E
33.
En un trapecio ABCD, BC // AD, AD, P y Q son puntos medios de AB y CD ; AC PQ = { E} , PQ BD = { F} .La prolongación de CF intercepta a AD en G, BC=a, AD=50, calcule 2EF+GD.
A) C)
50
a
+
5 100
E) 40
+a
3
B)
50
D) 50
+
3
a
Geometrí a RESOLUCIÓN
B
P
a
x
E
A
C
Q
F
G
2x
Dato: AB=6 BC=4 CD=8 AD=10 Piden: PQ=x=?
y
Dato: Piden:AD=50 2EF+GD 2(x)+y=? ACG (Base media) AG=2X AD=2x+y 2x+y=50
(Isósceles) AM=6 y ND=4
*
MCD
2
x=0
B)
D) 2
E)
1
º
87
A) 37º D)
2
B
E) 30º
1
C
2
M
4
C
4
C 6
m m
P Q
C)
3
RESOLUCIÓN B b b
º
53
B) 53º
RESOLUCIÓN
C) 0
2
RPTA.: C
En un tr trap apec ecio io AB ABCD, CD,BC//AD y se ubica el punto medio M de B, MDA = mS MD MDC y se tall que mS MD ta traza CH ^ AD . S Sii BC = 1 , toma ma su máximo máximo AD = 4 y CH to valor entero, calcule mS MDA .
35.
En un trapecio trapecio ABCD ABCD ( BC//AD) , lass bi la bise sect ctri rice cess in inte teri rior ores es de lo loss ángulos A y B se interceptan en P y las bisectrices interiores de los ángulos C y D se interceptan en Q. Calcule la longitud del segm se gmen ento to PQ si AB AB=6 =6 , BC BC=4 =4,, CD=8, AD=10 A) 1
(Isósceles) MD=8MN=4 BCNM: x = 4 4
*
RPTA.: D
34.
ABN
D
50
*
*
8
A b
H 4
N
5
D
2
A
4
M 10
N
4
D
Geometrí a m S ABC = 106º Piden: MN=x=? �
Dato: BC=1 AD=4 “CH” es máximo entero
*
Piden: mSMDA = *
Trazamos la base media 1+4 MN = = 2, 5 CD = 5
Trazamos: AH AH CQ
*
*
2
�
L L ABH y CBQ (37º, 53º) AH = 4 y CQ =24 �
Trapecio: AHCQ (propiedad) 24 4 = 10 x = 2 RPTA.: A
MND = (Isósceles)
ND=NC=2,5 CD 5 * *
37.
CHD: CH < 5 CH = 4 (53,37º) 53º = 2
tdi raagon peonal ciales o es iel sósdo celble ese; de sila base unsea diag dobl ba media. A) 60º D) 53º
RPTA.: D
36.
En un tri rián ángu gullo AB ABC; C; AB AB=5 =5 y BC=30 BC= 30;; Ca Calc lcul ulee la di dist stan anci ciaa de dell punto medio de AC ha haci ciaa la bisectriz del ángulo ABC; si mS ABC = 106º . A) 10
B)8
Calcule la med medida del del áng ángulo que que forman las diagonales de un
B) 45º E) 37º
C) 30º
RESOLUCIÓN
C)6
D) 4 E) 12 RESOLUCIÓN
Dato: Ac = BD =
2
( a + b) 2
Pide: x=? *
Dato: BC=30 AB=5
Trazamos: CK //BD Y BCKD (Paralelogramo) DK = a; CK = a + b mS ACK = x ACK (Equilátero)
Geometrí a x = 60º
RPTA.: A
38.
Calcule la longitud de la base media de un trapecio isósceles, si lass di la diag ago ona nale less fo form rmaan 10 106 6º y tienen por longitud 5m c/u. A) 3 D) 8
B) 4 E) 5
C) 6
RESOLUCIÓN B
a
C
M
106º 5
106º 5
5
b
A
D
a
M
Datos: :Trapecio Isósceles mS AMD = 106º A C = BD = 5 Pide:(Longitud de media) = x a+b =? x=
la
base
2
*
�
Trazamos CM//BD BCMD (Paralelogramo) DM=a; CM=5 mS ACM = 106º ACM(a + b = 8) a+b x= � x = 4 2
RPTA.: B
39.
En un cuadrado ABCD, de lado 6, en CD y AD se ubican los puntos M y N, respectivamente, tal que CM=MD. Si la mS MBN = 45º . Calcule MN.
A) 3
B)4
D)
E) 5
3 2
C) 4
2
Geometrí a RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN b
C
B
Q
2
A
Dato: AB=BC=6 CM=MD=3 mS MBN = 45º
Dato: BC=b AD=a
mS ACB = 2mS ADB = 2
Piden: MN=x=? *
Piden: AC=x=?
53º 53º BCM (notable) � �2 � 37º mSABN =
*
2
�37º �2
*
*
AN=2 ND=4 MND (37º, 53º) x=5
ABN �
Un trapecio rect ctáángulo ABC ABCD, es recto en A y B. Si: ,AD D = a y mS BCA= BCA= 2 ( mS ADB ) ,A BC =b. Calcule AC.
ab
A) a+b
B)
D) a-b
E) 2a+b
2
Construimos el rectángulo ABQD mS AQ AQB = mS AD ADB = ACQ = (Isósceles) CQ=AC=x Luego: BQ = AD b+x=a x= x=a-b
RPTA.: D
RPTA.: E
40.
D
a
C) 2a-b
Geometrí a
Geometrí a
Geometrí a + 2b = a + d + b + c + a 2 + 2b = 360º
2
x=25º
RPTA.: A
� = mBN . Según el gráfico, mBM Calcule + b :
43.
+ b = 180º
44.
Según el gráfico, calcule la difer dif erenc encia ia ent entre re las medida medidass del � . mayor y menor AB AB.
B
A) 120º
RPTA.: E
B) 150º N
C) 90º
M
b
D) 130º E) 180º
A
C
RESOLUCIÓN
A) 90º B) 45º D) 270º E) 135º RESOLUCIÓN
B a
a
N
C) 180º
C
b
M
45º
B
d b
90º
A C c
�B = mBN = a Sea m M mMA = b, mAC = c, mCN = d
Del gráfico 2 = a + d. d...(I) .....( S interior) Por S interior b+c+a b= 2
b = b + c + a.. ...( .(III)
2
A
Por prop. del S ex inscrito: mS ACB = 45º m AB menor =90º � mayor =360º-90º=270º m AB � mayor - m AB � menor =180º m AB RPTA.: C
45.
B
Según el el gr gráfico, ca calcular ABCD es un paralelogramo.
x, si si C
C
Sumando (I) y (II):
x
70º
B
D 145º
2x
E
o
M 180-2x
40º
A
D
A
Geometrí a En el gráfico: como mo AB ABCD CD B�CE = 2x � S BAE = x co
es un paralelogramo mS c = x Luego: BDC es equilátero. x = 60º RPTA.: B
A) 120º D) 90º
B) 60º E) 80º
C) 70º
46.
RESOLUCIÓN
En un trap trapec ecio io ABCD ABCD ( BC//AD) inscrito en una circunferencia , su altura mide H. Calcule la longitud longitud de la base media del trapecio, si: mBC + mAD = 180º . A) D)
H
B)
3 2
HB
3
H
3
2
H H-a
E)
C
2
RESOLUCIÓN H 90º
A
C) H
H
º 4 5 a
45º a
90º
D
H
Como BC//AD Trapecio ABCD (Isósceles) *
�D = 180 � º Por dato BC + A �B + C �D =180º A �B + C �D = 90º A mS CAD = mS BDA = 45º
*
Del gráfico, la base media es: ( a + H) + ( H a) = H 2
Geometrí a RPTA.: D
47.
48.
Según el gr gráfico, A, B y T son puntos de tangencia. Calcule “x”. x
En el gráfico, calcule � = 20º AE=2(BC) y m CD C
A) 130º
x,
x
si
D
B) 120º C) 110º
B
120º
D) 150º T
E) 160º
A
A) 3 67 0º D
A
o
E
RESOLUCIÓN
B
B) 5330º E
C) 45º
RESOLUCIÓN C x
Dato: Sea BC = a ; AE = 2a AO = OE = a
P 120º M
º º 2bº
2
A
bº
T
N
b B
En el MNP : + b = 60º ...(I) En el ATB , por propiedad m S T = 90º
x + + b = 90º ...(II)
Reemplazando (I) en (II) x = 30 RPTA.: B
semi mi ci circ rcun unfe ferrBO enci en cia: a: el En ABElaes se rectángulo = a � E = 180 mCDE CD 180º �D = 20 º�D �E = 160º Como: m C Luego: ento tonc nces es lo loss BC = BO = OE = a en arcos son iguales. �E + C �DE = 360º BC + B�O + O 180 �E = 60º BC = BO B�O = O OE C+C �D = 60º +20º = 80º B�CD = B m S BED = 40º x = 130º RPTA.: A
Geometrí a 49.
En
el �
TB = CD = 50º mS TOE = 50º
gráfico:
�B = mCD, es � , m AT = 7 y T es mT mTB CD BC 1
punto de tangencia “m”. Calcule mSTEO .
x = 40º......(
50.
� , si Según el gráfico; calcule m BT ABCD es un paralelogramo (D es punto de tangencia).
E 30º T B
OTE)
RPTA.: E
A) 60º
C
B) 70º C) 140º A
o
A) 60º D) 80º
B) 30º E) 40º
C) 50º
D
D) 120º E) 35º
RESOLUCIÓN E
RESOLUCIÓN
x 50º
T
B
30º k
C
7k
B
T
C 70º
50º
40º 120º
70º A
60º A
o
H
m AB = mTD ........ Propiedad m S ADT = 70º En el paralelogramo ABCD: m S BAD + m S ADC = 180º mTDC = 40º
Luego: � = 80º m TD Pero: m � = 140º ...(ángulo inscrito) � = 140º 80º = 60º m BDT BT
OHE: m S EOH = 60º....(1) �D = 60º En el gráfico: k + C 7k + TB = 120º ..(2) � (2)(1) 6k + TB CD = 60º 6k + 0 = 60º = 10º
D
D
Como: �T 7 mA �T = 7k ; mB �C = k = � mA � 1 mBC
k
70º
RPTA.: A
Geometrí a 51.
BAP, Del gráfico, Calcule la mS BAP S iendo T TB y =P 4 soyn r = pu5ntos de tangencia, T
B
A
r
P
A D) 3670º
B E ) 4553º
C) 30º
RESOLUCIÓN T
B
5 o 5
5 4 H
x
3
P
Como P y T son puntos de tangencia, tange ncia, ento entonces: nces:OP PA y OT TA, además: OT = OP = r = 5 (dato) En el PHO (notable); mS OP OPH = 53º mS BP BPA = 37º x = 53º .....( PBA) RPTA.: B
A
Geometrí a 52.
Calcule x, si AB=BC =DE=FE y m � 120 0 . ABC = 12 º
53.
Del gráfico, P y T son puntos de � . tangencia, además R=3r. Calcule m PT
C
D B
o
x
E
F
A) 60º D) 120º
A
A) 60º D) 30º
B) 70º E) 50º
C) 40º
B) 105º E) 90º
C) 100º
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN C D 60º o B
60º
x
x
x
E
120º F
A
Como: ABC = 120º � S BOC = S BOA = 60º Lo Loss tr triá iáng ngul ulos os BO BOC C y AO AOB B so son n equi eq uilá láte tero ross lu lueg ego, o, OD ODEF EF es un rombo, donde �F = x mS DEF = mS DOF = x � D
x
=
Del gráfico, como TA = R = 3r AO = 2r Luego, m S TOP = 120º �P = 120 º mT
RPTA.: D
54.
Según el gráfico, mTC mT C + mBC, BC, si AB = BC
calcule
120 12 0º x ...........( S exterior) 2
3x = 120º x= 40º RPTA.: C
A) 120º
B) 150º
C) 180º
Geometrí a D) 100º
RESOLUCIÓN
E) 90º
En la se semi mi ci circ rcun unfe ferren enci ciaa el m S TBC es recto El ATC es isósceles. �T = TC =2x A luego, en el gráfico T�C = B�C = 2 + 2b = 2 ( + b ) =180º 90º =180º RPTA.: C
55.
�T. Calcule En la figura, mST = 2mQ PS, si T,Q y S son puntos de tangencia.
A) 5 3
B) 3
S
Q
C) 2,5 D) 4
T
E) 6 P
RESOLUCIÓN
S
P
O1 3 Q 2 53º 53º a 3 4 2a T 3
O2
2
Geometrí a � =a Sea m QT por dato m ST = 2a luego, O1 TO (notable) mS TO1O2 =53º a = 53º PS = 4
Sea m S ATC = � mTC = 2 Como T y C son puntos de tangencia AT = AC = 3 mSACT = biéén B y T son puntos de tambi tangencia BD =TD=4 Entonces ATD (notable) mS AD ADT = 37º ; + x = 90º ...(I) 2 2x = 37º .........( S exterior)
2
RPTA.: D
56.
Según el gráfico; AB AB = 1, BC = CD = 2, 2, adem además ás B, B, C y T son puntos de tangencia.
2 x = 37º.. º...(II)
Calcule “x”.
De (I) 53º (II): 2x=53º x= 2
RPTA.: E
57.
Si “O” “O” es el ce centro del del cua cuadrado ABCD y PA =AD=8. Calcule AM. B
O
M
A) 30º
B) 37º
D) 60º
E)
º
C) 53º
P
C
D
A
53 2
RESOLUCIÓN
A) 6 D)
8 3
B) E)
4 3 2 3
RESOLUCIÓN
C) 3
Geometrí a Sea AQ AQ=a
Luego ABC (notable) m S BAQ = 127º � = 53º m QP
Como ABCD es cuadrado el lado del cuadrado =8 AH=HD=4 Como “O” es centro OH=4 37º Luego: m S OPH = 2 P{A = 3x
x =
59.
=
53º ..........( S inscrito) 2
Se tiene el triángulo ABC inscrito en una circunferencia, en el arco BC se ubica el punto P, tal que AP BC , luego se traza PH perpendicular a AC en H. Calcule la mSEHP si la l a mS ABC = 70º y AP �BC = { E} .
8 3
RPTA.: D
58.
RPTA.: B
8 = 3x
BT=2a y BC BC=4a
En la figura, calcule ; si T, Q y P son puntos de tangencia y CB=2(BT)=4(AQ).
A) 53º D) 20º
B) 35º E) 30º
C) 10º
RESOLUCIÓN B
70º
B) 53 2º
A) 53º D)
º
37
2a
Q
2
D 20º
x
x
RESOLUCIÓN T
E
C) 37º
E) 45º
2
º º
P
A
H
B 4a 2a
Q
P a a A
37º
C
* * *
En AHB: mS HAB = 20º Se traza AQ que pasa por D. Por proa. AEDH es inscriptible
C
Geometrí a *
mS DH DHE = mS EAD = x EPD = mS HC H CD = Por proa. mS EP
60.
En
la
y
�CD = b . Calcule “x”. m BC B
� = 2 � mSBPA = mAB
E
Luego BPD(isósceles) � BE = E D � ABD (isósceles)
m E�D = a
figura
F D
x=20º RPTA.: D
A x
C
B
A)
a+b
B)
ba
2
2
C) b a E)
D)
ab
2
2
ba
2
2
RESOLUCIÓN
c
a
E
F D
a+c G
2
A x B
*
b C
� =c Sea: FE � mSFAD =
a+c .......( S inscrito) 2
Geometrí a *
En la e menor: mFG = a + c luego a+c S
por pro. *
ex -inscrito: =
2
En la e mayor: T. cuerdas
c + mBC .............( S interior) 2 a + c c + BC BC � = � BC = a 2 2
=
�D = b a mC
x=
b a 2
RPTA.: B
Geometrí a
Geometrí a
Geometrí a circunferencia de radio longitud es R, calcule HD.
en
2R + 2r +2R = 42 2R + r = 21….... : 2(3r) +r = 21 r=3
A) D)
RPTA.: C
63.
B
A
b+x
C
R
b
x
a
D
+ : a + b +2x + 2r = 4R + a + b 2x = 2(2R-r) x = 2R-r
C) 10
RESOLUCIÓN Dato: BN NE NE = 16 � x y = 16 ….. BC = AD x + r = 3r + y x – y = 2r …………..
: 16 = 2r x = 8 RPTA.: D
64.
H AHB: Teorema de Poncelet. a + 2r = b + 2R ………….... Y BCDH: Teorema de Pithot. b + 2x = 2R + a……………...
en
+ + r
R
r
C)
2( R r )
2R
a
BN – NE = 16.
B) 12 E) 4
r 2 R
2R 3r
RESOLUCIÓN
En un rectángulo ABCD se traza la bisectriz bisectriz del ángulo B, interceptando en “E” a AD . Calcule la longitud longitud del del radio radio de la cirrcunfe ci ferrencia insc scrrita en el cuad cu adri rilá láte tero ro BE BEDC DC,, si ésta és ta determ det ermina ina el pun punto to “N” en BE y
A) 16 D) 8
B) E)
R 2r
cuya
RPTA.: D
65.
En una cir circun cunfer ferenc encia ia de cen centro tro “O” se ubican los puntos A, B y C de mo mod do qu quee AC es diámetro y �B = 90 º. En AB y en la la m AB A prolongac prolo ngación ión de BO se ubica los punt pu ntos os P y S re resp spec ecti tiva vame ment nte. e. Siendo m
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