Geometría

Geometría 5to grado – II Bimestre

Índice Índice

Pág l

Ángulos

77

l

Clasificación de los ángulos

83

l

Bisectriz de un ángulo

91

l

Polígonos

97

l

Triángulos

101

l

Área de una región

111

l

Cuadriláteros

115

l

Área de cuadriláteros

119

Ángulos Observa: Región Angular

Región Angular

Región Angular

Dos rectas secantes dividen el plano en cuatro regiones angulares. Cada región angular determina un ángulo.

Región Angular

P Ángulo

Se llama ángulo a la abertura que forman dos rayos que parten del mismo punto. B

Elementos

do

la

___ ___

• Lados: OA; OB Vértice

O

Notación

α

∧

Ángulo AOB: � AOB ; A OB

• Vértice: O lado

A

Nota: m � AOB : Se lee medida del ángulo AOB. α es la medida del ángulo AOB. ∴ m� AOB = α º

Pasos para medir ángulos:

1)

Se coloca el transportador de modo que su centro coincida con el vértice "O" del ángulo.

2)

 Se hace pasar un lado del ángulo por la medida 0 del transportador.

Geometría - 5to. grado

77

2

3) Se identifica en el transportador el número por el que pasa el otro lado del ángulo. Ese número es la medida del ángulo.

B

A

O

70

60 50

110

90

100

100

90

80

110 70

1

B 12

0

60

1

0

14

0

30

10

170 180

180

0

O

170

10

0

160

20

20 160

15

30

0

15

50

40

0

0

40

13 50

14

30

20

80

A

B

60

70

50

90

100

100

90

80

1

0

40

1

14

0

15

30

30

160

160 20 180

0

O

10

0

170

11

170

20

0

0

10

13 50

15

0

0

40

180

12 60

0

78

110 70

14

30

20

110

80

A

Geometría – 5to. grado

¡Listos, a trabajar!

2

Jugando con los ángulos

1) Observa los siguientes ángulos y completa la tabla.

B

D E A

O

C R

Q P

N

Q

L

M

J

Nombre

Designación

Vértice

Ángulo AOB

� AOB

O

Geometría - 5to. grado

K

Lados

  OA ; OB

79

2

2) Mide los siguientes ángulos con la ayuda del transportador y luego, completa cada espacio en blanco. A

Recuerda:

B

O

� AOB : se lee medida del ángulo AOB.

m � AOB = ____

H E

C D

G

F

m � EDC = ____

m � FGH = ____

J

L

N

K

I

M

m � IJK = ____

m � LMN = ____

R P m � PQR = ____

80

Q Geometría – 5to. grado

3. Denota y mide con ayuda del transportador todos los ángulos que observas en las siguientes figuras:

NOTACIÓN

C B

m�

AOC

m �

AOB

2

MEDIDA

m � BOC O

A

NOTACIÓN

MEDIDA

NOTACIÓN

MEDIDA

C

D

B

O

A

C B D

A

O

Geometría - 5to. grado

E

81

2

4. Usando tu regla y compás, construye en ángulo de 60º; 37º; 160º; 200º; 255º; 300º y 345º.

82

Geometría – 5to. grado

Clasificación de los ángulos 1.

Ángulo Nulo: Cuando sus dos lados coinciden, su medida es 0º.

O

2.

B

m � AOB = 0º

A

Ángulo Agudo: Su medida es menor que 90º y mayor que 0º.

B

Oº < m � AOB < 90º

O

A

60

70

50

110

90

100

100

90

80

1

0

40

1

0

14

0

15

30

30

13 50

0

10

180

0

O

170

170

20 160

160 20

10

0

15

0

12 60

40

180

70

B

0

Geometría - 5to. grado

110

14

30

20

80

A

83

2

3. Ángulo Recto : Su medida es igual a 90º. B

B

El cuadrado pequeño indica que el ángulo mide 90º

m � AOB = 90º

m � AOB = 90º

90º

O

O

A

A

B

60 50

110

80

90

100

100

90

80

0

40

1

0

14

0

15

0

30

30

13 50

15

10

180

0

O

170

170

20 160

160 20

10

0

40

180

12 60

0

0

110 70

14

30

0 12

70

A

4. Ángulo Obtuso: Su medida es mayor que 90º pero menor que 180º.

90º < m � AOB < 180º

B

O

84

A Geometría – 5to. grado

70

60 50

110

90

100

100

90

80

110 70

2

12 60

0

1

0

14

40

0

0

40

13 50

14

B

30

0

12

80

30 15 0

0 15 30

10 0

180

0

180

170

10

170

20 160

160 20

O

A

5. Ángulo llano: Cuando mide 180º

m � AOB = 180º 180º

O

B

60 50

0

0 12

70 110

80

90

100

100

90

80

0

40

13

14

0

15

30

30

10

180

0

O

170

170

160

160 20

180

0

0

20

13 50

15

10

0

40

0

12 60

0

Geometría - 5to. grado

110 70

14

B

A

A

85

2

6. Ángulo de una vuelta: Este ángulo mide 360º m � AOB = 360º O

B

0

12 0

100

90

80

80

90

100

70 110

60 12

0

50

50

13

0

14

40

0

13

60

110 70

A

30

15

10

A

160 20

20 160

15

30

30

1 50

0

B

10

170

10

170

0

180

0

170

10

180

20

20 160

160

0

170

15

30

0

0

40

14

O

40

13 50

0

50

12 60

0 14

0

40

14

0

110 70

90

100

90

80

80 100

70 110

60

0

0

13

12

¡Listos, a trabajar! 1. Usando el transportador mide y clasifica cada ángulo según su medida: B

• m � AOB = __________, ángulo __________. • m � BOC = __________, ángulo __________.

C

• m � AOC = __________, ángulo __________.

O

86

A Geometría – 5to. grado

C B

D

A

O

E

¿C u á l

• ______________ = _______, ángulo _______. • ______________ = _______, ángulo _______. • ______________ = _______, ángulo _______. • ______________ = _______, ángulo _______. • ______________ = _______, ángulo _______. • ______________ = _______, ángulo _______. • ______________ = _______, ángulo _______. • ______________ = _______, ángulo _______. • ______________ = _______, ángulo _______.

2

es el valor?

2. Halla el valor de "x" con los datos que se te proporcionan y denótalos correctamente:

C

A B

D 10º

x

x

2x

O

O

C

x = _________

E

x = _________



O

F

I

80º x

G 60º x

O

J

H

x = _________

Geometría - 5to. grado



K

x = _________

87

2

O

O 10º+x

N

8x

R

x

x

Q M

L

P

x = _________

x = _________

U

X

T

W

102 - 52

x 2x

x

O

S

O

Y

x = _________

x = _________

A

M N B

68º

x

x

20º+x

O

C

x = _________

88

O

P

x = _________

Geometría – 5to. grado

3) Con ayuda de tu transportador, encuentra la medida de 4 ángulos en cada figura. Luego, completa la tabla.

D

NOTACIÓN

MEDIDA

NOTACIÓN

MEDIDA

C B

O

A

N

O

P

M

Q

Algunos casos especiales de ángulos • Ángulos Adyacentes: Son dos ángulos que tienen el vértice y un lado común, el lado común es intermedio.

B A

Lado común

C Vértice común

Geometría - 5to. grado

Los ángulos AOB y BOC son adyacentes.

O

89

2

•

Ángulos Consecutivos: Son dos o más ángulos adyacentes.

B A

C O

Los ángulos AOB, BOC y COD son consecutivos. D

•

Ángulos Opuestos por el vértice: Son dos ángulos en los cuales los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro.

A

D

m � AOD = m � COB

O

C

90

B

Geometría – 5to. grado

Bisectriz de un ángulo USANDO REGLA Y COMPÁS Concepto: Es el rayo que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos partes iguales.

A

  

O

• Si: OP bisectriz del ángulo AOB.

x x

P

se cumple: m � AOP = � POB

Vértice B

Usando compás y regla traza la bisectriz.

Trazar la bisectriz de un ángulo con el uso del compás. Paso 1:Ubica la punta del compás en el vértice O y con una abertura que tú elijas, dibuja un arco que cortará ambos lados del ángulo en "M y N".

A M o

Vértice

n B

Geometría - 5to. grado

91

2

Paso 2: Luego, con la punta del compás en "M" y luego en "N", con una misma abertura o con otra, dibuja dos arcos que se corten en "P".

A M

O

P

Vértice N B

   Paso 3: Finalmente, al unir el vértice "O" y el punto de corte “P”, se obtiene la bisectriz OP del ángulo inicial AOB.

A M

O

P

Bisectriz del ángulo AOB

Vértice N B

92

Geometría – 5to. grado

¡Listos, a trabajar! 1.

2

Usando tu regla y tu compás, traza la bisectriz de los siguientes ángulos: a. Si: m � AOB = 80º

A

P

O

   OP bisectriz del ángulo AOB donde: m � AOP = 40º y m � POB = 40º.

B

b. Ahora tú solo, construye un ángulo de 60º con tu transportador y luego, traza su bisectriz.

c. Construye un ángulo de 120º y traza su bisectriz.

d. Construye un ángulo de 40º y luego, traza su bisectriz.

Geometría - 5to. grado

93

2

2.

Traza la bisectriz de los siguientes ángulos y da la medida de los ángulos formados. (Usa tu transportador).

a.

b. R

T

O

S

U

O

c.

d. X

M E

O

3.

Y

U

Traza la bisectriz en los ángulos de cada triángulo y luego, halla la suma de la medida de los seis ángulos así formados. (Sugerencia: usar colores). a.

b.

E

C

A

B

J

G

d.

c.

H

94

F

D

I

K

L Geometría – 5to. grado

4. En cada caso, dibuja los ángulos con las medidas indicadas y traza sus bisectrices.

a. m � ABC = 20º

b. m � BCD = 50º



c. m � CDF = 60º

d. m � DFG = 70º



e. m � PQR = 96º

f. m � MNP = 120º



g. m � HIJ = 150º

h. m � DEF = 105º

Geometría - 5to. grado

2

95

Polígonos CONCEPTO: Un polígono es una figura geométrica que se forma al unir tres o más puntos no colineales con segmentos de recta. diagonal

B

C

γ

A β

φ

D

ψ

α

F ángulo interno

•

Elementos:

ϕ

E

- Vértices

: __________________

- Lados

: __________________

- Diagonales

: __________________

- Med. de � Internos : __________________ vértice

lado

- Perímetro

: __________________

Completa el cuadro:

Polígono

Geometría - 5to. grado

Nombre

Nº de lados

Nº de vértices

Nº de ángulos internos

Nº de diagonales

97

2

•

Nonágono o eneágono, tiene _______ lados y _______ vértices.

•

Decágono, tiene _______ lados y _______ vértices.

•

Endecágono, tiene _______ lados y _______ vértices.

•

Dodecágono, tiene _______ lados y _______ vértices.

•

Pentadecágono, tiene _______ lados y _______ vértices.

•

Icoságono, tiene _______ lados y _______ vértices.

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS: 1. Polígono Convexo

_____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________

2. Polígono no Convexo

_____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________

98

Geometría – 5to. grado

¡Ahora, hazlo tú! 1. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en el gráfico?

3. Traza las diagonales en el siguiente gráfico:

2. En el hexágono mostrado, traza las

4. En el octógono mostrado, traza las diagonales desde dos vértices consecutivos:

diagonales de un vértice:

Geometría - 5to. grado

2

99

Triángulos Triángulo Figura geométrica formada por tres segmentos de recta determinados por tres puntos no colineales.

Elementos de un Triángulo Del triángulo ABC que se muestra en la figura, recordamos los siguientes elementos: B ___ ___ ___ χ Lados: AB;BC y AC β Vértices: A, B y C Ángulos: Internos: α; β y θ

α

A

θ

π

externos: χ , π , Z Perímetro: P ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ AB;BC AB;BC AB;BC y y AC y AC AC P= + +

C

Z

PROPIEDADES: En todo triángulo se cumple:

1.

α + β + θ = 180

( Suma de ángulos internos)

2.

φ + ω + π =360

(Suma de ángulos externos)

Clasificación de Triángulos

1. Según las medidas de sus lados. a) Triángulo escaleno.

B β

• Tiene sus tres lados diferentes. • Tiene sus tres ángulos diferentes. α A Geometría - 5to. grado

θ

C

101

2



b) Triángulo isósceles

• Tiene dos lados iguales y el tercer

B β

θ

A

θ

C

•

lado es diferente. Los dos ángulos de la base son iguales.



AC : BASE

___

c) Triángulo equilátero. B 60º

• Tiene sus tres lados iguales. • Tiene sus tres ángulos iguales a 60. 60º

A

60º

C

2. Según las medidas de sus ángulos:

a) Triángulo rectángulo C

• Tiene un ángulo recto (mide 90º).

α

•

___

___

Los lados BC y BA se llaman cateto y ___

β

•

AC hipotenusa. Se cumple α + β =90

A



B



b) Triángulo acutángulo B

• Tiene sus tres ángulos agudos. A

102

C Geometría – 5to. grado



c) Triángulo obtusángulo C

• Tiene un ángulo obtuso (mide

2

más de 90º y menos de 180º).

•

90º ∠ α ∠180º

α A

B

¡A practicar lo aprendido! 1. Encierra con un

60º

la alternativa que identifica a cada triángulo:

a. Rectángulo b. Isósceles c. Equilátero

a. Obtusángulo b. Escaleno c. Isósceles

a. Isósceles b. Acutángulo c. Escaleno

a. Obtusángulo b. Equilátero c. Isósceles

a. Isósceles b. Acutángulo c. Escaleno

a. Isósceles b. Equilátero c. Obtusángulo

30º

a. Isósceles b. Acutángulo c. Escaleno Geometría - 5to. grado

60º

60º

a. Isósceles b. Equilátero c. Escaleno

103

2

2.

Dibuja los triángulos que se indican: Equilátero

Rectángulo e isósceles

Isósceles y obtusángulo

Isósceles y acutángulo

Reconozco líneas notables de un triángulo. a.

Mediana: Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. B ___

BM : Mediana

A b.

C

M

Bisectriz Es el segmento trazado desde un vértice y divide a dicho vértice en dos ángulos iguales. B αα __

BI : Bisectriz

A

104

I

C Geometría – 5to. grado

c.

Altura Es el segmento que se traza en forma perpendicular desde un vértice hacia el lado opuesto o a su prolongación. B

2

B

___

BH : Altura

H d.

C

A

A

C

H

Mediatriz Es la recta perpendicular a uno de los lados y que lo divide en dos partes iguales. B T  MT :Mediatriz A

C

M

¡Listos, a trabajar! 1.

Ahora, desarrolla tu cálculo mental aplicando en cada caso la propiedad de la suma de ángulos internos para determinar el valor de "x". 3x

x 15º

x

53º

x= Geometría - 5to. grado

x=

60º 30º

x=

105

2

x

100º

x

45º x

x=

70º

60º

75º

x=

x=

Suma de ángulos internos = 180º

2. Indica con una (V) si es verdadero o con una (F) si es falso:

- El triángulo es un polígono....................................................................... (

)



- La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º...................... (

)



- El triángulo isósceles tiene 3 lados iguales............................................... (

)



- El triángulo no tiene diagonales............................................................... (

)



- El cuadrado tiene 3 diagonales............................................................... (

)

Aprendo propiedades

1. La suma de los ángulos internos

de cualquier triángulo es 180º.

α

β

106

α + β + θ =180º

θ

2. La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 90º.

β

α + β =90º

α

Geometría – 5to. grado

3. La suma de los ángulos externos de cualquier triángulo es 360º.

α

4. La medida de un ángulo externo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes a él.

α + β + θ =360º

θ

β

α

β

2

x= α + β

x

Desmuestra lo aprendido 1. Halla el valor del ángulo "x" aplicando propiedades sobre los ángulos de un triángulo.

a) 60º

x + 60º + 70º = 180º x = 180º - 60º - 70º x = 50º



x

70º

b) 70º

x

Geometría - 5to. grado

107

2

c. 50º

x

60º

d.

x

60º

2. Averigua el tipo de triángulo:

a)

b)

3 cm

2 cm

2 cm

2 cm

3 cm

1 cm

c)

2 cm

3 cm

4 cm

108

Geometría – 5to. grado

3.

Grafica un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 3 cm y 4 cm e indica qué tipo de triángulo es.

4.

Construye con ayuda de una regla lo que se indica:

triángulo equilátero

5.

Grafica un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 5 cm y 3 cm e indica qué tipo de triángulo es.

triángulo isósceles

2

triángulo escaleno

Según la clasificación de triángulos, completa la tabla marcando con una cruz en los espacios en blanco: Triángulo

Isósceles

Escaleno

Equilátero

Rectángulo

Acutángulo

Obtusángulo

60º

60º

60º

60º 70º

50º

100º 40º

40º

Geometría - 5to. grado

109

2

40º

70º

50º

70º

40º

6. Halla "x" en cada caso:

130º

30º

120º

x

30º

x

40º

x

30º

x

x

x

x

x 3x

30º

110

70º

2x

x

x

x

x

60º

Geometría – 5to. grado

Área de una región Región

Nota: El área de una región se expresa en: cm2, m2, km2, etc. 40m2

Área

Área de una Región Triangular Para calcular el área de una región triangular es necesario conocer la altura y el lado relativo a dicha altura, como se muestra en el gráfico:

1.

Triángulo acutángulo

A=

b.h 2

h

A

área

b

base

h

altura

b

2.

Triángulo obtusángulo

A=

h

b.h 2

b Geometría - 5to. grado

111

2

3.

Triángulo rectángulo

a

A=

a.b 2

b

EJEMPLOS:

1.

Calcula el área de la región triangular ABC.

3. A

Resolución:

B

A=

A=

4.12 → A = 24 cm2 2

4cm

C

10cm

2.

Resolución:

10.8 → A = 40 cm2 2

8cm

A

Calcula el área de la región triangular ABC.

B

12cm

C

Calcula el área de la región triangular ABC. Resolución:

B

A=

4.6 → A = 12cm2 2

4cm

A

112

6cm

C

Geometría – 5to. grado

¡Listos, a trabajar! •

2

Calcula el área de la región sombreada en cada ejercicio:

1.

4.

10 cm

8 cm

4 cm

10 cm

A = ______________

A = ______________

A = ______________

A = ______________

2.

5.

10 cm

5 cm 4 cm

3 cm

8 cm

A = ______________

A = ______________

A = ______________

A = ______________

3.

6.

6 cm

5 cm

8 cm

10 cm

A = ______________

A = ______________

A = ______________

A = ______________

Geometría - 5to. grado

113

2

7.

10. 3 cm

12 cm

4 cm 6 cm

A = ______________

A = ______________

A = ______________



A = ______________



8.

11. 4 cm

8 cm

5 cm

4 cm

3 cm

12 cm

A = ______________

A = ______________

12.

9. 3 cm

8 cm

6 cm

4 cm

5 cm

A = ______________

114

A = ______________



A = ______________



A = ______________

A = ______________

A = ______________

Geometría – 5to. grado

Cuadriláteros CONCEPTO: ______________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ C B

Elemento:

θ

β

A

: _________________________

- Lados

: _________________________

- Diagonales

: _________________________

- Ángulos Internos : _________________________

γ

α

- Vértice

α º +β º +θº +γ º = 360º

D

CLASIFICACIÓN:

1.

Paralelogramos a) Cuadrado B

a

b) Rectángulo C

B

a

a

a

A

D

a

b

C

a

a

b

D

D

b

d) Rombo

B

A

a

A

c) Romboide

C

b

B

a

a

•

•

A

C

•

•

a

a

D Geometría - 5to. grado

115

2

Sabías que... ...un paralelogramo tiene dos pares de lados paralelos. En el romboide AB//CD y BC//AD.

2. Trapecios

3. Trapezoides

Un trapecio tiene un par de lados paralelos que se ___ ___ llaman bases BC// AD.

Un trapezoide no tiene ningún par de lados paralelos.

¡Listos, a trabajar! 1. Indica los elementos de cada gráfico: R

a. Q

- Lados

: _________________________

- Vértices

: _________________________

- Diagonales : _________________________ S

P



b.

R

I

T

116

- Lados

: _________________________

- Vértices

: _________________________

- Diagonales : _________________________ L Geometría – 5to. grado

2. Completa los espacios en blanco: a. El cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos se llama ______________________.

2

b. El cuadrilátero que no tiene lados paralelos se llama ________________________. c. El cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos se llama __________________. d. El cuadrilátero es un polígono que tiene ______________________________ lados. 3. Traza las diagonales de los siguientes cuadriláteros:

a.

b.

c.

d.

Geometría - 5to. grado

117

Áreas de Cuadriláteros El cuadrado ________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ L

L

L

A=LxL A = L2

L

El rectángulo _______________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________

a

A = a.b

b

Geometría - 5to. grado

119

2

¡Listos, a trabajar! • Usando colores, sombrea cada área y luego, halla su medida. 5.

1. 4 cm

3 cm

6 cm

12 cm

A = _____

A = _____

6.

2. 4 cm

4 cm

10 cm

4 cm

A = _____

7.

3. 5 cm

3 cm

5 cm

3 cm

A = _____

A = _____

8.

4. 10 cm

9 cm

5 cm

A= _____

120

A = _____

9 cm

A = _____ Geometría – 5to. grado

2

Demuestra lo aprendido • Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas:

1. Un aula cuadrada de 10 m de lado se ha dividido en dos partes iguales. ¿Cuál es el área de tres aulas iguales? 2. ¿Cuál es el área de un rectángulo cuyos lados miden 10 m y 20 m?

3. ¿Cuál es el área de un rectángulo de 5 cm de largo, si se sabe que su ancho es el triple de la medida de su largo?

4. Si el lado del cuadrado es 1 m, el área será igual a: 5. Calcula el área de un cuadrado de lado igual a 16 cm. 6. El área de un rectángulo es 50 cm2. Si el ancho es 5 cm, ¿cuánto mide el largo? 7. El lado de un cuadrado es 16 cm. ¿Cuál es la medida del área de cinco cuadrados iguales?

{}(

))

(} {

8. Si el lado de un cuadrado es igual a  5 ×4+018÷ ÷810+4× 5  cm, ¿cuál es el área?     9. ¿Cuál es el área de un rectángulo cuyo largo mide 5 cm y su ancho es 8 cm?

10. Si en una pista de patinaje cuadrangular, un lado mide 10 m, ¿cuál es el área de la pista de patinaje?

11. Si el área de un salón cuadrado es 64 m2, ¿cuánto mide el lado del cuadrado?

Geometría - 5to. grado

121