Geometria

ISFD Insp. Prof. Albino G Sánchez Barros

Geometría I Apuntes de cátedra Prof. Lic. Alejandro D. Nieto

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Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Introducción a la Geometría A ti querido estudiante lector, este libro que tienes en tus manos es el producto de aprender y enseñar Geometría y Matemática por varios años, de reflexionar sobre lo que he enseñado y de mejorar. Es el fruto de conglomerar tiempo, esfuerzo, renuncias, saberes y experiencias… Así que “no tomes tan a la ligera tu aprender y tu crecimiento intelectual, porque de ello depende todo lo que viene en tu vida”. La Geometría que me ha sido enseñada y que he aprendido en mi formación así te la presento hoy, con la particularidad de proponer algunos aportes personales especialmente al incorporar las TICs para mostrar mejor su dinamismo y lograr un claro entendimiento. Hay autores que afirman poder demostrar la existencia de Dios por lo que se sabe, se entiende y se define mediante la geometría. Conocemos la perfección, lo infinito y la armonía conceptos casi imposibles de percibir en el espacio físico, no así en el geométrico. Otros dicen asombrarse cuando miraron belleza en el arte y la naturaleza y descubrieron formas y elementos de la geometría. Solo tienes que observar a tu alrededor y podrás ver un mundo colmado de formas, figuras y líneas que invaden nuestros sentidos y movilizan nuestro intelecto tratando de entender y mejorar nuestra realidad. Te muestro dos cuadros famosos. Es así que te pido que tomes este trabajo con mucho respeto y trates de aprender y de mejorar tu percepción sobre las matemáticas y especialmente la geometría. Si tienes alguna objeción y duda en algún punto de estas páginas por favor házmela saber ([email protected]) y la discutiremos, claro siempre en el plano académico. Además toma todo lo que leas con una sincera responsabilidad, pensado en tu futuro como matemático y docente, preparándote lo mejor posible para la bella tarea de educar. Te saludo cordialmente Prof. Nieto Alejandro

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Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Introducción a la Geometría Geometría es una palabra griega que significa medición de la tierra1. La geometría es la rama de las matemáticas que se dedica al estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el espacio o en el plano. En su desarrollo, la geometría utiliza nociones como puntos, rectas, planos y curvas, entre otros.

División de la geometría Entre las distintas corrientes de la geometría, se destacan: Geometría algorítmica, que utiliza el álgebra y sus cálculos para resolver problemas de la extensión. La geometría analítica, por su parte, se encarga de estudiar las figuras a partir de un sistema de coordenadas y de los métodos propios del análisis matemático. La geometría descriptiva busca resolver los problemas del espacio con operaciones que se efectúan en un plano, donde se representan las figuras de los sólidos. Por últimos, podemos agrupar tres ramas de la geometría. La geometría proyectiva se encarga de las proyecciones de las figuras sobre un plano; la geometría del espacio se centra en El fin principal de la geometría euclidiana es el las figuras cuyos puntos no pertenecen todos al estudio de las figuras geométricas para mismo plano; mientras que la geometría plana establecer su forma y extensión así como las considera las figuras cuyos puntos están todos relaciones que guardan entre si las diferentes en un plano. Otros campos de la geometría son la topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea.

medidas de sus partes. La geometría plana estudia las figuras planas, esto es, aquellas cuyos puntos están en un mismo plano.

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA. EUCLIDES:(Siglos IV – III a. C.) Matemático griego. Fue un sabio que floreció hacia el año

300 a. C. y que publicó numerosas obras científicas, destacándose entre ellas Los Elementos, considerados un tratado de Geometría que conservan después de más de dos milenios todo su valor y que por su difusión extraordinaria le permiten competir con las obras cumbres de la literatura universal; la Biblia, la Divina Comedia, el Quijote. Otros matemáticos posteriores a Euclides completaron la obra contenida en los elementos. Notable entre ellos fueron Arquímedes y Apolunio de Pérgamo. 1

Pogorélov A. V.- Geometría Elemental – Editorial Mir Moscú .UHSS – 1974

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Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

Los Elementos de Euclides están constituidos por trece libros.2 En el libro primero de los Elementos se introducen los términos o entes de que ha de ocuparse la Geometría: punto, recta, figura, etc. Considerados como definiciones, pueden ser criticadas desde el punto de vista lógico. Los postulados establecen la existencia de los términos: “Hay una recta que pasa por dos puntos”, etc. Las nociones comunes se refieren a la igualdad o desigualdad de las magnitudes de las cosas: “Dos cosas iguales a una tercera cosa son iguales entre sí”, etc. A partir de estos elementos se deducen una multitud de teoremas. El primer libro se cierra con la demostración del teorema de Pitágoras y de su recíproco. El libro II contiene 10 proposiciones sobre “Álgebra Geométrica” y la solución de triángulos acutángulos y obtusángulos con el teorema de Pitágoras. El libro III, comprende el estudio de la circunferencia y sus propiedades. El libro IV se refiere a la inscripción y circunscripción de polígonos a una circunferencia. Los libros V y VI son un estudio sobre la teoría general de las proporciones. En el libro VII se expone la teoría del máximo común divisor (mediante el algoritmo de las divisiones sucesivas) En el libro VIII se exponen propiedades de las proporciones continuas y de las progresiones geométricas. En el libro IX figuran tres de los más importantes teoremas de toda la Aritmética. El primero de ellos “La serie de los números primos es ilimitada”, el segundo da “La suma de los términos de una progresión geométrica” y el tercer teorema, es una fórmula para calcular “los números perfectos” (caracterizados porque resultan iguales a la suma de sus divisores). En el libro X hay numerosas proposiciones sobre los irracionales, y se dan métodos geométricos para resolver ciertas ecuaciones de segundo grado y bicuadradas. El libro XI está dedicado al estudio de los cuerpos redondos, destacando la esfera, cilindro y cono.

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GEOMETRIA PLANA Y DEL ESPACIO Y TRIGONOMETRIA - Dr. Aurelio Baldor - Publicaciones Cultural Edit. 2002 4

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

El libro XII incluye los siguientes teoremas.-Dos círculos están entre sí, como los cuadrados construidos sobre sus respectivos diámetros.-Una pirámide es equivalente a la tercera parte de un prisma de igual base y altura.-Un cono es equivalente a la tercera parte de un cilindro de igual base y altura.-Dos esferas están entre sí como los cubos construidos sobre sus respectivos diámetros. El libro XIII de los Elementos está totalmente dedicado a los poliedros regulares (da la construcción de los poliedros regulares: Tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro).Euclides demostró que sólo podían existir cinco poliedros regulares (llamados “sólidos cósmicos” por los pitagóricos). LOS CINCO POSTULADOS DE EUCLIDES3 Euclides propuso cinco enunciados con el fin de normar un criterio que sirva de base para el desarrollo de la Geometría, ellos son conocidos como los cinco postulados de Euclides:

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I.

Por dos puntos diferentes sólo se puede trazar una única línea recta.

II.

Todo segmento rectilíneo se puede prolongar indefinidamente.

III.

Con un centro y un radio dado sólo se puede trazar una única circunferencia.

IV.

Todos los iguales.

V.

Si una recta corta a otras dos formando a un lado ángulos internos, y la suma de estos es menor que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de ese lado.

ángulos

rectos

son

http://es.wikipedia.org/wiki/Postulados_de_Euclides 5

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Términos matemáticos4: es preciso familiarizarse con las siguientes terminologías matemáticas.    

  

 



Axioma: es una proposición evidente por si misma y que no necesita demostración por ser tan sencilla y básica: “El todo es mayor a cualquiera de sus partes” Teorema: es una proposición que para ser evidente necesita demostración. Consta de dos partes: hipótesis y tesis. Tesis: lo que se quiere demostrar. Hipótesis: suposición de una cosa sea posible o imposible, para sacar de ella una consecuencia. Teorema: “La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale dos rectos” Hipótesis: “A,B y C son los ángulos interiores de un triángulo” Tesis: “La suma de los ángulos A,B y C vale dos rectos” Proposición: es el enunciado de una hipótesis o suposición, y de una tesis o conclusión consecuencia de la hipótesis y tesis. Postulado: es una proposición que se admite sin demostración, aunque no es tan evidente como el axioma. “En una recta hay infinitos puntos” Lema: es un teorema preliminar que sirve de base para demostrar un teorema principal. Para demostrar el volumen de una pirámide se tiene que demostrar el siguiente lema: “un prisma triangular se puede descomponer en tres tetraedros equivalentes” Corolario: es un teorema cuya verdad se deduce de otra ya demostrada: “La suma de los ángulos agudos de un triangulo rectángulo vale un recto” Escolio: es una advertencia o anotación que se hace para aclarar, ampliar o restringir proposiciones anteriores. Después de demostrar el teorema que dice: En una misma circunferencia o en circunferencias iguales a mayor arco le corresponde mayor cuerda. A lo que se puede agregar como escolio: “si no se consideran arcos menores que a una circunferencia, a mayor arco corresponde menor cuerda.” Problema: Es una proposición en donde se establece una consigna para solucionar una situación problemática en ciertas y determinadas condiciones. Por ejemplo: “Construir una circunferencia que pasa por tres puntos”.

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Ejemplos de los términos matemático extraídos de GEOMETRIA PLANA Y DEL ESPACIO Y TRIGONOMETRIA - Dr. Aurelio Baldor - Publicaciones Cultural Edit. 2002

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Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto ELEMENTOS EUCLIDIANOS Los elementos más importantes en el trazado geométrico euclidiano son tres: el punto, la recta y el plano. Estos conceptos, punto, línea y plano, carecen de definición puestos que en la geometría se consideran términos primitivos. El Punto: “El punto es lo que no tiene partes” (Euclides). Un punto geométrico es imaginado tan pequeño que carece de dimensión. Notación: Los puntos se suelen designar por una letra mayúscula y se representa por un círculo pequeño o una cruz. Así como se demuestra en la siguiente figura: A

B X

La Línea: “La línea es una longitud sin anchura” (Euclides). Podemos concebir la línea como la huella que deja un punto en movimiento. La línea tiene una sola dimensión: su longitud. Hay diferentes tipos de líneas.

Entre las líneas más notables tenemos: 1. La línea recta a que contiene al segmento̅̅̅̅ 2. La línea curva ̂ . 3. La línea quebrada. La recta se puede designar por dos de sus puntos con el símbolo a (minúscula) encima. La recta Un punto recorriendo el espacio, describe una línea, la línea no tiene grosor alguno y si solo longitud o largo. La recta es la línea más corta que puede trazarse entre dos puntos. Una recta puede pensarse como una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección. Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula. Dos puntos determinan una recta.

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Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Relación de paralelismo entre rectas Dos rectas incluidas en un mismo plano son paralelas si, y solo sí, su intersección es vacía. r // s se lee: la recta r es paralela a s Si r ⊂ α ^ s ⊂α ⇒ r // s ⇔ r = s ^ r  s = Ø Se acepta que toda recta es paralela a si misma. Todo par de rectas coplanares pueden ser paralelas y no tener ningún punto en común, o bien tienen todos los puntos en común cuando son coincidentes. Además si un par de rectas no son paralelas entonces son incidentes y tienen un solo punto en común. Coincidentes Incidentes

Paralelas

r=s

r

r

s α

α

α

A

s

Relación de perpendicularidad entre dos rectas Dos rectas incidentes son perpendiculares si, y solo si, determinan una ángulo recto. La perpendicularidad es un caso espacial de rectas incidentes. se lee: recta a es perpendicular a la recta b.

b

90°

a

a

b

c

90°

90°

⇔ Cuando dos rectas son incidentes y perpendiculares determinan cuatro ángulos rectos. La relación de perpendicularidad entre dos rectas no es reflexiva porque no es verdad que toda recta sea perpendicular a sí misma. Tampoco es transitiva ^ pero b c La relación de perpendicularidad entre rectas es simétrica. ⇒

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Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

Axioma de existencia y unicidad de la perpendicularidad b

En un plano α, dado un punto P y una recta a, existe una única perpendicular b a dicha recta que pasa por ese punto.

P a

90°

α

El Plano: El plano es un plano es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta. Solamente puede ser definido o descripto en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. Cuando se habla de un plano, se está haciendo referencia a la superficie geométrica que no posee volumen (es decir, que es sólo bidimensional) y que posee un número infinito de rectas y puntos que lo cruzan de un lado al otro. Ejemplo: Dada la figura podemos verificar las siguientes afirmaciones:       

A, B, C, M, N, y P son elementos del espacio geométrico (E) α E; r E; s E r αys α Los puntos A, B, C y P pertenecen a α M αyN α A r; B r; C r y P s Las rectas r y s son alabeadas.

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Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Símbolos Matemáticos5 Las matemáticas se valen de un dialecto o lenguaje coloquial para expresarse en forma concisa, abreviada e universal. Este lenguaje en algunos casos se compone de letras griegas y otras veces de diversos símbolos universales. El porqué de este lenguaje único de las matemáticas podría ser para darle un carácter universal, es decir, darle entendimiento en cualquier lugar sea cual sea el idioma que se hable.

Axiomas importantes Lee atentamente los siguientes axiomas y trata de identificarlos en las gráficas:6 i. ii.

iii.

5 6

Tres puntos determinan un plano. Una recta y un punto no pertenecientes a la misma caracterizan un mismo plano. Por un punto cualquiera perteneciente a un plano, y por él pueden pasar infinitas rectas.

Extraído de http://www.matema-tic.blogspot.com/ Graficas realizadas en GeoGebra. 10

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto iv. v. vi.

Una recta, determinada por dos puntos distintos de un plano, está incluida en dicho plano. Dados dos puntos que determinan un segmento, por el cual, pueden pasar infinitos planos. Dos planos que se cortan forman una única recta.

Semirrecta: Todo punto de una recta determina dos figuras llamadas semirectas. Un único punto A de la recta a determina dos semirrectas ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ opuestas e incluyen el origen de las mismas. Las semirrectas también se denotan como indica en la figura Si una semirrecta por alguna razón excluye su origen su denotación en S (A, B) y se lee: Semirrecta abierta de origen A que pasa por B; o bien AB

A

B

Segmento: Dos puntos no coincidentes A y B pertenecientes a una misma recta delimitan un segmento de la misma, y el conjunto de puntos que separan dichos puntos al que llamamos extremos componen un segmento de la recta. Se denota ̅̅̅̅ y se lee “segmento de origen en A y extremo en B”

También aceptamos la definición de un segmento de una recta como el conjunto de puntos determinado por la intersección de la semirrecta de origen en A que pasa por B y la semirrecta de origen en B que pasa por A. ̅̅̅̅= S[AB)∩ S[B,A) =⃗⃗⃗⃗⃗ ∩ ⃗⃗⃗⃗⃗ Si los puntos extremos de son coincidentes, o sea A=B, entonces el conjunto cuyo único elemento es un punto y se llama segmento nulo. Se define segmento abierto a AB = AB - {A,B} o lo que es lo mismo, es el conjunto de puntos A B interiores del ̅̅̅̅ Cuando se excluye uno de los extremos, el segmento se llama semiabierto.

AB AB

A

B

A

B

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Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Segmentos consecutivos: Dos segmentos son consecutivos si están incluidos en una misma recta y tienen en común un solo punto.

B ̅̅̅̅

A

C

̅̅̅̅̅Son consecutivos ⇔̅̅̅̅

̅̅̅̅ = {A}

Distancia entre dos puntos: Es la medida del segmento que une dos puntos cualesquiera de un plano o espacio Para cada par de puntos se d(A,B) = |

A

B

| se lee “medida de distancia de ̅̅̅̅

les hace corresponder un número que es la distancia entre ellos.

La distancia entre pares de puntos satisface las siguientes propiedades: d(A,B) = 0 ⇔ A = B d(A,B) = d (B,A) d(A,B) d(A,X) + d(B,X)

  

X

X A



A

B

d(A,B) d(A,X) + d(B,X) d(A,B) d(A,X) - d(B,X)

d(A,B)

B

d(A,X) + d(B,X)

Mediatriz de un segmento: La mediatriz de un segmento ̅̅̅̅ es la recta que pasa por el punto medio del segmento M y es perpendicular al él dividiendo en dos segmentos iguales ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Pasos para trazar una mediatriz

1. Trazamos el segmento ̅̅̅̅. 2. Con centro en A se traza una circunferencia de radio mayor que la mitad del segmento ̅̅̅̅. 3. Desde B se traza una circunferencia de igual radio que la primera. 4. La recta que pasa por la intersección de las circunferencias (puntos C y D) es la mediatriz del segmento ̅̅̅̅ Semiplano: Cuando a un plano cualquiera se define una recta el mismo se divide en dos semiplanos opuestos. Sp [r,A) se lee “Semiplano de borde r que contiene a A” Sp [r,B) se lee “Semiplano de borde r que contiene a B”

B A

Cuando se verifica que la recta r no pertenece al semiplano o sea que r Sp (r,A), se definen dos semiplanos abiertos opuestos. α

r

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Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Semiespacio: De manera analógica un plano que está incluido en un espacio geométrico, divide a éste en dos semiespacios opuestos. En la siguiente gráfica podemos de encortar dos semiespacios a los que definimos como: Se [α,J) se lee: “Semiespacio de borde α que contiene a J” Se [α,L) se lee: “Semiespacio de borde α que contiene a L”

Propiedades generales de las figuras7 Curvas: si sobre una hoja de papel se desliza la punta de un lápiz, este describe una trayectoria que se llama curva o línea.

Simple

Cruzada

Cerrada

Abierta

La curva es un conjunto de puntos. Si los puntos de la curva pertenecen a un mismo plano se llama “Curva plana”. Una curva puede ser “cerrada”, es decir que si nos desplazamos desde un punto y hacemos todo su recorrido volvemos al punto de partida. En caso contrario se llama “abierta”. Una curva es “simple” cuando es posible recorrerla en la totalidad de su trayectoria sin pasar dos veces por alguno de sus puntos. Una curva que no es simple se llama “cruzada”.

Figuras cóncavas y convexas Una figura es “convexa” cuando todo par de puntos de la figura determina un segmento incluido en ella. En el caso que una figura tenga por lo menos un par de puntos que determine un segmento y este no esté incluido en el mismo la figura es “cóncava”. Figura X (convexa)

Figura Y (convexa)

Figura Z (cóncava)

∊ X ˄ ∊ X⇒̅̅̅̅⊂ X X es convexa G ∊ Y ˄ H ∊ Y ⇒̅̅̅̅⊂ Y Y es convexa O ∊ Z ˄ P ∊ Z ⇒̅̅̅̅ Z Z es cóncava

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Apuntes de cátedra de GEOMETRIA I , Prof. José Salaya 13

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto ÁNGULOS

Sean tres puntos (E, F, y G) no alineados pertenecientes a un mismo plano, se pueden considerar los semiplanos Sp [̅̅̅̅ ,G) y Sp [̅̅̅̅ ,F). Podemos definir “ángulo”̂ como la intersección de estos semiplanos. ̂ =Sp [̅̅̅̅ ,G) ∩Sp [̅̅̅̅ ,F) ̂ Se lee: ángulo convexo GEF Elementos de los ángulos: Vértice: Punto en común que tienen sus lados. Lados: Cada una de las semirrectas que lo forman. Amplitud: Es la apertura de sus lados y se mide en grados Tambien se puede tener la siguientes notaciones α ó ̂ (se lee ángulo α) A ó ̂ (se lee ángulo en el vértice A)

Ángulo cóncavo-convexo Ángulo convexo: es aquel que tiene una amplitud menor de 2R (rectos) o bien a 180º Ángulo cóncavo: es aquel que tiene una amplitud mayor de 2R (rectos) o bien a 180º Las agujas del reloj definen un ángulo cóncavo y convexo.

Clasificación de los ángulos según su amplitud Llano, es el ángulo formado por dos semirrectas opuestas. Tiene sus lados en la misma recta. Su amplitud es la mitad de un ángulo completo, es decir, de 180º. Ángulo Recto, es uno cualquiera de los ángulos en que la bisectriz divide al llano. Su amplitud o abertura es de 90º.

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Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

Agudo, es todo ángulo cuya amplitud sea menor que la del recto, es decir, es como máximo de 90º.

Obtuso, es aquel cuya amplitud es mayor que la del ángulo recto y menor que la del llano, es decir, está comprendida entre 90º y 180º. Nulo, es aquel que carece de amplitud y sus semirectas componentes son coincidentes y forman 0°. El ángulo nulo es congruente con el ángulo Giro que tiene una amplitud de 360°.

Casos límites de ángulos Si A, B, y C son tres puntos distintos y pertenecen a un plano y están alineados presentan los siguientes casos: 1) Las semirrectas ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ son coincidentes El ángulo no tiene puntos interiores, carece de abertura y se llama ángulo nulo. 2) Las semirrectas ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ pero el ángulo tiene puntos interiores. La apertura es todo el plano y se llama ángulo de un giro. 3) Las semirrectas ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ son opuestas El ángulo que se forma se llama llano. Todo ángulo llano es un semiplano.

A

B

C

A

B

C

B

A

C

Congruencia de ángulos Si dos ángulos cualesquiera α y β son superponibles diremos que son congruentes. Se observa que las medidas de las amplitudes de dos ángulos congruentes son iguales. α β

α es congruente a β ⇔| |

| |

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Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

Ángulos adyacentes Dos ángulosα y βson adyacentes si, y solo si, tienen un lado y el vértice en común.

β β

α

β

α

α

α y β son adyacentes

α y β no son adyacentes

α y β no son adyacentes

Ángulos Complementarios y suplementarios Dos ángulos son complementarios si y solo si la suma de sus medidas es de 90° α y β son complementarios ⇔| | | | = 90° (o sea un recto 1R). Dos ángulos son suplementarios si y solo si la suma de sus medidas es de 180° α y β son suplementarios ⇔| | = 180° (o sea un recto 2R).

β

1R

β

α

α y β son Complemento

| |

α 1R α y β son Suplemento

Ángulos opuestos por el vértice s

r

β α

α´

Dos rectas no paralelas que se cortan en un punto (vértice) forman dos pares de ángulos congruentes (α, α´ y β, β´) llamados opuestos por el vértice. α y α´ son opuestos por el vértice ⇒α = α´ β y β´son opuestos por el vértice ⇒ β = β´

β´ Además podemos afirmar que: α y β; α´ y β´ son ángulos adyacentes y suplementarios. Demostración (1) | | | | = 180° (2) | | | | = 180°

Se igualan las expresiones (1) y (2)

|α| |β| |α | |β |Por ley cancelativa llegamos |β | a: |α| |β| |α | |β | sabiendo que |β| Entonces |α|

|α | 16

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Bisectriz de un ángulo La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos partes iguales. Pasos para trazar una bisectriz

1. Con centro en el vértice del ángulo se traza una circunferencia de cualquier amplitud encontrando los puntos A y B. 2. Desde los puntos de corte A y B de la circunferencia con los lados del ángulo se trazan dos circunferencias con el mismo radio que se cortan formando el punto C. 3. La recta que pasa por el vértice del ángulo y el punto C de corte de las circunferencias es la bisectriz.

Ángulos determinados por una recta incidente a otras dos incluidas en un plano

t b

a

α1 α2 α4 α3

Sea la recta a⊂α, b⊂α y t incidente a ay a b en dos puntos distinto A y B, respectivamente. En ese plano se forman los ángulos α1, α2, α3, α4, β1, β2, β3 y β4. La recta t suele llamase transversal o secante.

β1 β2 β4 β3

α Los ángulos contenidos en un mismo semiplano de borde t se llaman colaterales. Ángulos colaterales son: α1, α4, β1 y β4 También en otro semiplano son colaterales: α2, α3, β2 y β3 Ángulos internos: Ángulos externos:

α3, α4, β1 y β2 α1, α2, β3 y β4

Podemos clasificar ciertos pares de ángulos: - Dos ángulos colaterales, uno interno y otro externo, no adyacentes se llaman correspondientes. Son pares de ángulos correspondientes: α1 y β1 - α4 y β4 - α3 y β3 - α4 y β4 -

Dos ángulos colaterales e internos se llaman conjugados internos. Son pares de ángulos conjugados internos: α4 y β1 - α3 y β2

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-

Dos ángulos colaterales y externos se llaman conjugados externos. Son pares de ángulos conjugados externos: α1 y β4 - α2 y β3

-

Dos ángulos no colaterales e internos, pero no adyacentes, se llaman alternos internos. Son pares de ángulos alternos internos: α3 y β1 - α4 y β2

-

Analógicamente dos ángulos no colaterales e internos, pero no adyacentes, se llaman alternos externos. Son pares de ángulos alternos internos: α2 y β4 - α1 y β3

Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Dadas dos rectas paralelas a//b que están cortadas por otra transversal t, se presentan algunas propiedades determinadas por algunas relaciones de congruencia entre t los ángulos formados. b α1 α2 α4 α3 Propiedad: dos rectas cortadas por una

a

tercera transversal son paralelas si y solo si, los ángulos correspondientes son congruentes.

β1 β2 β4 β3

a//b ⇔α1=β1˄ α2=β2˄ α3=β3˄ α4=β4

α De esta propiedad se desprenden las siguientes:

a) Dos rectas cortados por una tercera son paralelas si y solo si, los ángulos alternos internos son congruentes. a//b ⇔α4=β2 ˅α3=β1 Demostración: consideremos el ángulo α´opuesto por el vértice de α. Por lo tanto α´=α (son congruentes) [1] Como α´ y β son correspondientes se puede verificar que: α´ = β (son congruentes) [2]

c

α

α´ a

β b

Igualando las expresiones [1] y [2] por propiedad transitiva de la relación de congruencia resulta que: α = β

Nota: de forma analógica se pueden tratar y demostrar que los ángulos alternos externos son congruentes. b) Dos rectas cortadas por una tercera son paralelas si y solo si, los ángulos conjugados internos, son suplementarios a//b ⇔ |α3|+|β2|= 180° ˅|α4| +|β1|= 180°

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Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto b c

a β β´

Demostración: por ser β´correspondiente con β y a//b, se tiene que β´=β [1] Como α y β´son adyacentes entonces |α|+|β´|=180° [2]

α

De [1] y de [2] se puede obtener que |α|+|β|=180°

Nota: de forma analógica se pueden tratar y demostrar que los ángulos conjugados externos son congruentes.

Sabias que? Los números que tiene nuestro sistema decimal vienen del sistema de numeración arábico (ARABE). Las líneas que conforman cada dígito determina, justamente, el número de ángulos que se quiere contar y así se representa la cantidad de un número; es decir, el 1 tiene un ángulo, el 2 tiene dos ángulos, el 3 tiene tres, etc.

MEDIDA DE ÁNGULOS - SISTEMAS DE MEDICION Se utilizan varias unidades para medir los ángulos, la más empleada en la vida cotidiana es la sexagesimal, también es utilizada sobre todo por los topógrafos la centesimal y por los matemáticos el radian. Sexagesimal Aproximadamente en el año 1000 a.c los babilonios extienden a los círculos celestes la división del día en 360 partes, y a cada una de estas partes les llaman grado sexagesimal. La cuarta parte le corresponden 90 grados sexagesimales, que se denota por 90º. Ahora bien como los babilonios utilizan el sistema de numeración de base 60, dividen el grado en 60 partes iguales y a cada una de estas partes la denominan minuto y se nota por 1'. Cada minuto lo subdividen a su vez en 60 segundos y cada una de estas subdivisiones lo notan por 1''. Así pues tenemos que un ángulo recto mide 90º, 1º= 60' y 1'= 60''. Centesimal La medida de ángulos centesimal se adoptó con el sistema métrico decimal. El ángulo completo 360º en el sistema sexagesimal se divide en 400 partes iguales y un ángulo recto en 100, se notan por 100g y le llama gradián.

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Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto A su vez cada grado centesimal (gradian) se divide en 100 partes iguales que son los minutos, se nota por 1m y cada minuto se subdivide en 100 segundos que lo notaremos por 1s. Radianes Dada una circunferencia de centro O y radio r, se denomina radian al ángulo central cuyo arco coincide con el radio. 1 rad= 57° 17' 44.8'' 360º = 2

rad

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes; un ángulo de 180° equivale a π radianes (recordemos que el número π ≈ 3,14159265359…) Las equivalencias de los principales ángulos se muestran en las siguientes figuras:

Equivalencias La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180° La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200g La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

El TRANSPORTADOR Para medir ángulos usamos el transportador o semicírculo:

20

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto POLIGONOS

La palabra polígono está formada por dos voces de origen griego: “polys”: muchos y “gonía”: ángulos; por lo tanto, es una figura con varios ángulos. Un polígono es la región interior de una línea poligonal cerrada y no cruzada. Sus elementos son: los lados, los vértices y las diagonales. A la línea que lo rodea se la llama contorno del polígono. Podemos clasificar a los polígonos en regulares e irregulares, fijándonos en sus lados y, en cóncavos o convexos, fijándonos en sus ángulos. POLÍGONOS REGULARES Y POLÍGONOS IRREGULARES

Polígonos Regulares: Son todos los polígonos cuyos lados y ángulos son iguales. Una característica particular de los polígonos regulares, es que siempre pueden ser inscritos en una circunferencia. Por ejemplo, un triángulo es un polígono regular de 3 lados. Si te fijas en el dibujo, podrás ver que todos sus vértices tocan a la circunferencia, sin embargo, en el triángulo que está al lado, sólo dos de sus puntos tocan a la circunferencia, lo que nos muestra que es un polígono irregular. Polígono Irregular: A su vez, decimos entonces que un polígono es irregular cuando sus lados no son iguales, y podemos ver también, que no todos sus puntos tocan la circunferencia. Clasificación de polígonos regulares según el número de lados Según su número de lados los polígonos reciben los siguientes nombres: Triángulo: 3 lados. Cuadrilátero: 4 lados Pentágono: 5 lados Hexágono: 6 lados Heptágono: 7 lados Octógono: 8 lados Eneágono: 9 lados Decágono: 10 lados Undecágono: 11 lados Dodecágono: 12 lados

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Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Elementos de un polígono En un polígono podemos distinguir:  Lado, L: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.  Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.  Diagonal, D: segmento que une dos vértices no contiguos.  Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.  Ángulo central, ángulo interior y ángulo exterior. En un polígono regular podemos distinguir, además:  Centro, O: el punto equidistante de todos los vértices y lados.  Apotema, Ap: segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.

Polígono inscrito: Polígono que se halla dentro (en su región interior) de otra figura geométrica. Por ejemplo, un cuadrado ABCD inscrito en una circunferencia de centro O y radio OC (significa que el cuadrado está contenido dentro de la circunferencia). B

A

O r C

Polígono circunscrito: Polígono que contiene en su interior, a otra figura. El triángulo es un polígono circunscrito, porque contiene a la circunferencia. La circunferencia a su vez está inscrita en el polígono, porque está dentro de él.

L

M O

D

N

Semejanza de polígonos La razón entre los perímetros de dos polígonos semejantes es igual a la razón de un par de lados homólogos cualesquiera. Sea el polígono A, B, C,…,L, M y el polígono A´,B´, C´,…, L´, M´ son polígonos semejantes ̅̅̅̅

Se verifica: ̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅

(razón de semejanza)

Entonces por la propiedad de las proporciones afirmamos que: i. En un par de polígonos semejantes, toda serie de razones iguales, la razón entre la suma de los antecedentes y la suma de los consecuentes es igual a la razón entre un antecedente y su consecuente. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ En consecuencia podemos concluir: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅

22

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto ii.

La razón entre las áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza.

Ejemplos: 1. Sean los polígonos semejantes A,B,C,D y L,M,N,O ̅̅̅̅

̅̅̅̅

B

M C

̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅ A

̅̅̅̅

̅̅̅̅

N

D L

Por lo que se puede encontrar la razón

O

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ podemos afirmar ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅

r=

que ABCD

LMNO

2. Sea el triángulo ABC semejante al triángulo LMN Sea ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ son las alturas de los triángulos,

B

Resulta que el triángulo ABC LMN ya que el ángulo del vértice ̂ ̂ y el ángulo del vértice ̂ ̂ por ser ambos rectos. A

C

P M

Entonces: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

| |

| | C

En el caso de polígonos de tres o más lados el teorema se B L N demuestra subdividiendo en P´ triángulo como indican las siguientes figuras.

C´ B´

D´

D A´

A

E´ E

Luego de las expresiones [1], [2] y [3] por propiedades de proporciones se obtiene:

23

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Propiedades de los polígonos regulares8 Para expresarnos en modo general en las propiedades de los polígonos nos referiremos al polígono de n lados. Por ejemplo el hexágono tiene 6 lados iguales o sea que n = 6

1) La suma de los ángulos interiores de un polígono cóncavo o convexo de "n" lados es igual a tantas veces un ángulo llano como lados menos dos tiene el polígono: 2) El valor de un solo ángulo interior de un polígono convexo regular de "n" lados es: 3) La suma de los ángulos exteriores de un polígono cóncavo o convexo es igual a 4 ángulos rectos: = 360° Demostración: sabemos que los ángulos exteriores de un polígono son adyacentes a los ángulos interiores, en cada vértice la suma es de 2R (dos rectos), o sea 180°. Por lo que si el polígono tiene n vértices podemos verificar: Suma ángulos interiores +Suma ángulos exteriores= 2R.n Suma ángulos interiores = 2R. (n - 2) Suma ángulos exteriores = 2R.n – [2R. (n - 2)] Suma ángulos exteriores = 2R.[n – (n - 2)] Suma ángulos exteriores = 2R.[n - n + 2)] Suma ángulos exteriores = 2R. 2 Suma ángulos exteriores = 4R = 360°

4) El valor de un solo ángulo exterior de un polígono regular convexo de "n" lados es: 5) La suma de los ángulos centrales de un polígono convexo regular es igual a 4 ángulos rectos. 6) El valor de un solo ángulo central de un polígono convexo regular de "n" lados es:

7) El número total de diagonales que pasa por el vértice de un polígono: cada vértice de un polígono determina una diagonal con otro vértice no consecutivo. En consecuencia para determinar el número de diagonales que pasan por un vértice de un polígono de n lados usamos: N° de Diagonales de un vértice = n -3 8) El número total de diagonales de un polígono: se sabe que para calcular el número de diagonales que pasan por un vértice es igual (n – 3). Es lógico que para calcular el número total de diagonales de un polígono hay que multiplicar el número de diagonales que pasan por un vértice por el número de vértices que tiene el polígono, pero para no caer en el error de contar dos veces a los vértices se lo divide en dos.

N° de Diagonales =

8

( – )

Apuntes de cátedra de GEOMETRIA I , Prof. José Salaya 24

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto 9) Numero de triángulos determinados por las diagonales que pasan por un vértice: en un polígono de n lados las diagonales que pasan por el vértice A determinan : n – 2 triángulos Ejemplo: El polígono ABCDEF de n= 6 lados Entonces tiene n-2= triángulos que pasan por el punto A 6 – 2 = 4 triángulos

Perímetro de un polígono Se llama perímetro de un polígono a la suma de las longitudes de todos sus lados. Ejemplo:

Generalizando para un polígono regular de n lados: Perímetro = n . L Ejemplo: un Eneágono (n = 9 lados) cuyos lados son de 3 cm. Perímetro = n . L = 9 . 3 cm = 27 cm

Cálculo de áreas de polígonos sencillos En la siguiente figura presentamos en forma general el cómo se debe calcular el área de algunas figuras sencillas.

TRAPECIO b h

ROMBO d2

+

d1

También hay figuras como el Romboide y el trapesoide que se calculan sus areas como el Rombo y el trapecio respectivamenete. ROMBOIDE d1

d2

TRAPESOIDE b h B

B CUADRADO

A=

d1 . d2 2

A =( B 2. b ) . h

TRIANGULO

h L

2

A= L

A=

RECTANGULO

A = b.h

A= π.r2

CIRCULO

B

B.h 2

h

r A=

5L . Ap 2

PENTAGONO

b

A = b.h

PARALELOGRAMO h

Ap L

b

25

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Para calcular el área de los POLÍGONOS REGULARES de n lados se los puede descomponer en triángulos congruentes y adyacentes de vértice o y apotema Ap. Área del polígono =n .área AOB ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Área AOB =

por lo que̅̅̅̅

Entonces el Área AOB = Área polígono =

̅̅̅̅̅

y deducimos que el y como el perímetro de un polígono es P = n . L

Nos queda: Área polígono =

26

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto TRIANGULOS

Se llama triángulos a toda figura convexa cuya intersección de tres semiplanos definidos por tres puntos A, B, y C no alineados pertenecientes a un mismo plano. Se llama triángulo ABC a: ABC = Sp [̅̅̅̅,C) ∩ Sp *̅̅̅̅ ,B) ∩ Sp *̅̅̅̅ ,A) Los puntos A, B y C del triángulo se llaman vértice y los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ lados de los mismos. Los ángulos interiores son ̂ ̂ ̂ .

El ángulo ̂ tiene por opuesto al segmento ̅̅̅̅ y es adyacente a los ̅̅̅̅ El ángulo ̂ tiene por opuesto al segmento ̅̅̅̅ y es adyacente a los ̅̅̅̅ El ángulo ̂ tiene por opuesto al segmento ̅̅̅̅ y es adyacente a los ̅̅̅̅

̅̅̅̅ son los

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Condiciones para la construcción de triángulos Clasificación de los triángulos

Como ya se sabe, un triángulo tiene tres lados y tres ángulos. Se obtienen diferentes tipos de triángulos dependiendo del valor de sus ángulos y sus lados.

27

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

Propiedades de los triángulos 1- Un lado de un triángulo es menor a la suma de los otros dos y mayor a su diferencia. a a

b+c b–c

b

a c

2- La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180° o dos rectos.

β

α + β + γ = 180°

γ

α

3- El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los otros dos ángulos interiores no adyacentes. α´ = β + γ β´ = α + γ γ´= α + β

α , β, y γ son los ángulos interiores

β´ α α´

del triangulo

β

γ

γ´

α´ , β´, y γ´ son los ángulos exteriores del triangulo

28

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

4- Ningún triángulo puede tener dos ángulos obtusos, ni dos ángulos rectos porque en cualquiera de los casos la suma de los ángulos interiores sería mayor a 180°. 5- Todo triángulo rectángulo tiene dos ángulos agudos B Sea el triángulo ABC rectángulo en A. sabemos que | ̂ | | ̂ | | ̂| y que | ̂ | . Por lo tanto | ̂ | | ̂ | (son ̂ ̂ complementarios). Entonces deducimos que | | | | C ̂ ̂ por lo tanto afirmamos que son agudos. A

Construcción geométrica de triángulos. Como vimos en las propiedades de los triángulos podemos deducir que para construir un triángulo cualquiera se debe dar las siguientes condiciones: -

Cada lado debe ser menor a la suma de los otros dos Ninguno de los ángulos interiores debe ser mayor que 180° La suma de dos ángulos interiores nunca debe ser mayor que 180°

a) Construcción de un triángulo conociendo un lado y los dos ángulos adyacentes. Instrucciones para la construcción: sobre una semirrecta de origen b se ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≅ 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎. transporta 𝐵𝐶 Con vértice en B se construye un ángulo congruente con β. Con vértice en C se construye un ángulo congruente con 𝛼. Los lados de ambos ángulos se cortan en el punto A.

β

α Lado a

A

B

β

α

Lado a

C

b) Construcción de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo comprendido.

γ B

Lad oa

Lado a

Lado b

Instrucciones para la construcción: se traza una ⃗⃗⃗⃗⃗ . Con vértice C y semirecta 𝐶𝑋 ⃗⃗⃗⃗⃗ de lado 𝐶𝑋 se construye un ángulo congruente a γ. Se transporta ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶 ≅ 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎. Sobre en otro lado b se transporta ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ≅ 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑏 uniendo A con B queda formado el triángulo.

γ C

Lado b

A

X

29

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

c) Construcción de un triángulo conociendo sus tres lados. Instrucciones para la construcción: sobre una ⃗⃗⃗⃗⃗ . Se transporta semirecta𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ≅ 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎. Con centro en A y radio igual al lado b se traza un arco. Se repite el proceso pero con centro en B y radio igual al lado c se traza un arco. Ambos arcos se cortan en el punto C formando el triángulo requerido

Lado c

c

Lado b

ob

do

d La

La

Lado a

C

A

Lado a

B

Puntos notables de un triángulo Cada triángulo tiene asociados varios puntos de interés. 1) Baricentro [G]: es un punto que se obtiene al interceptar las medianas de un triángulo cualquiera. Las medianas de un triángulo son los segmentos determinados por cada vértice (A, B, C) y los puntos medios de cada lado opuesto al mismo (D, E, F). Se verifica que ̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

2) Circuncentro [C]: es el punto que se obtiene al hacer interceptar las mediatrices de un triángulo cualquiera. Este punto es el centro de una circunferencia que pasa por los vértices del triángulo ABC dado. Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados, por lo que se puede verificar: las rectas perpendiculares los lados y que pasan por los puntos D, E y F (que son los puntos medios de los lados) se cortan en un mismo punto [C] llamado circuncentro.

El circuncentro [C] puede ubicarse dentro del área determinada por el triángulo o no.

30

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

3) Incentro [I]: es el punto que se obtiene al hacer interceptar las bisectrices de un triángulo cualquiera. Este punto es el centro de una circunferencia tangente a los lados del triángulo ABC dado, o sea que se encuentra inscripto. Las bisectrices son rectas que contienen los segmentos ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ y que dividen los ángulos interiores de un triángulo en dos partes iguales y determina el incetro [I] (centro de una circunferencia inscripta en el triángulo). Para trazar la circunferencia es necesario un segmento ̅̅̅ perpendicular a uno de sus lados que pasa por el incentro. 4) Ortocentro[O]: es el punto que se obtiene al hacer interceptar las proyecciones de las alturas de un triángulo cualquiera. Las alturas de un triángulo cualquiera son las medidas definidas entre uno de sus vértices y el lado opuesto al mismo.

Recta de Euler Se llama así en honor al matemático suizo Leonhard Euler, quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIII. El ortocentro (O), el baricentro (G) y el circuncentro (C) de cualquier triángulo están alineados. La recta que los contiene se llama recta de Euler. El baricentro está a doble distancia del ortocentro que del circuncentro y se puede verificar que: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

31

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

Teorema de Napoleón Napoleón Bonaparte, además de ser uno de los militares más famosos de la historia, fue muy aficionado a las matemáticas, especialmente a la geometría. Se cuenta que se enzarzó en una discusión sobre matemáticas nada menos que con Lagrange y Laplace, dos de los mejores matemáticos de todos los tiempos y que éste último le dijo: "Lo último que esperamos de usted, General, es una lección de geometría".

El teorema que lleva su nombre aunque se le atribuye a Napoleón, parece dudoso que lo enunciara y demostrara por su cuenta. Dice así: Sobre los lados de un triángulo cualquiera ABC construimos tres triángulos equiláteros exteriores de forma que uno de los lados de cada triángulo exterior coincide con el correspondiente lado del triángulo dado. Pues bien los centros de tales tres triángulos forman un Triángulo equilátero MNO. Circunferencia de los 9 puntos de Poncelet También se conoce como la Circunferencia de 9 puntos de Euler, quien demostró definitivamente esta característica de los triángulos. “Los pies de las alturas de cualquier triángulo [P1, P6 y P8], los puntos medios de los tres lados [P2, P3 y P4] y los puntos medios de los segmentos que unen los tres vértices con el ortocentro [P5, P7 y P9], están todos en la misma circunferencia, llamada circunferencia de los 9 puntos de Poncelet. El centro de esta circunferencia [Oc] está sobre la recta de Euler en el punto medio del segmento formado por el ortocentro [O] y el circuncentro [C]y su radio es la mitad del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo dado.” 9

Historia: Generalmente, se adjudica a Karl Wilhelm Feuerbach el descubrimiento de la circunferencia de los nueve puntos; sin embargo, lo que Feuerbach descubrió fue la circunferencia de los seis puntos, reconociendo que sobre ella se encuentran los puntos medios de los lados de un triángulo y los pies de las alturas del triángulo. Anteriormente, Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet habían demostrado su existencia. Poco tiempo después de Feuerbach, Olry Terquem también demostró la existencia del círculo y reconoció además que los puntos medios de los segmentos determinados por los vértices del triángulo y el ortocentro, también están contenidos en la circunferencia.

9

http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_de_los_nueve_puntos 32

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

Semejanza de triángulo Cuando hablamos de figuras semejantes, nos referimos a figuras que son idénticas en todas sus características excepto el tamaño. Entre todos los triángulos, hay algunos que son semejantes entre sí, y hay otros que no lo son; por ejemplo, todos los triángulos equiláteros son semejantes. Pero un triángulo equilátero no es semejante a ningún triángulo rectángulo. Definición Dos triángulos son semejantes si los ángulos homólogos son congruentes y los lados homólogos son proporcionales.

1° caso de semejanza de triángulos LAL:(Lado, ángulo, lado) si dos triángulos tienen dos pares de lados homólogos proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente, entonces son semejantes.

̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ 𝐸𝐹

̅̅̅̅ 𝐵𝐶 ˄𝛼 ̅̅̅̅ 𝐹𝐺

𝛽̂ ⇒ 𝐴𝐵𝐶

2° caso de semejanza de triángulos AA: (Ángulo, ángulo) si dos triángulos tienen por lo menos un par de ángulos congruentes, entonces son semejantes.

𝛼

𝛾 ˄ 𝛽̂

𝛿̂ ⇒ 𝐴𝐵𝐶

𝐸𝐹𝐺

3° caso de semejanza de triángulos LLL: (Lado, lado, lado) si dos triángulos tienen sus tres pares de lados homólogos son proporcionales, entonces son semejantes.

̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ 𝐸𝐹

̅̅̅̅ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ 𝐹𝐺

̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ⇒ 𝐴𝐵𝐶 ̅̅̅̅ 𝐸𝐺

𝐸𝐹𝐺

33

𝐸𝐹𝐺

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

Teorema de Pitágoras Biografía10: Pitágoras de Samos (en griego antiguo Πυθαγόρας

580 a. C. – ca.495 a. C.) fue un filósofo y matemático griego, considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de la aritmética, derivada particularmente de las relaciones numéricas aplicadas a la teoría de la música, la astronomía y la teoría de pesos y medidas. Se interesó también en medicina, filosofía, ética, entre otras disciplinas. Es el fundador de la hermandad pitagórica, una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, formularon principios que influenciaron a tanto a Platón como a Aristóteles, y de manera más general, al desarrollo de las matemáticas y la filosofía racional en Occidente.

a us en t po Hi

H

Cateto

a

Cateto

No se conserva ningún escrito original de Pitágoras, y sus discípulos -los pitagóricosinvariablemente justificaban sus doctrinas citando la autoridad del maestro de forma indiscriminada, por lo que es difícil distinguir entre los hallazgos de Pitágoras y las de sus seguidores. Aun así, se le acredita a Pitágoras la teoría de la significación funcional de los números en el mundo objetivo y en música. Otros descubrimientos generalmente atribuidos a él (la inconmensurabilidad del lado y la diagonal del cuadrado, o el teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos) fueron probablemente desarrollados posteriormente por la escuela pitagórica.

Este es quizás uno de los teoremas matemáticos que más demostraciones presenta a lo largo de toda la historia. Este teorema solo funciona para los triángulos rectángulos.

b

Pitágoras llama HIPOTENUSA al lado opuesto al ángulo interior recto, o sea el lado más largo de un triángulo rectángulo, a los otros dos lados les llama CATETOS.

Enunciado: En todo triángulo rectángulo la medida de la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. En caso de que queramos despejar Demostración: El ángulo ̂ es común a los triángulos BMA y BAC, ̂ por ser ambos rectos. Además el donde vemos que ̂ ̂ ángulo es común a los triángulos AMC y BAC, y vemos que ̂ ̂ por ser ambos rectos. Luego demostramos que BAC AMC. Sea el triángulos rectángulo BAC y la altura ̅̅̅̅̅ se concluye por propiedad que

10

Extraído de: http://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras 34

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

En consecuencia, sus lados homólogos son proporcionales y en particular tenemos pares de triángulos semejantes y los triángulosque por lo que deducimos: obtenemos: ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

Pero como ̅̅̅̅̅

y

̅̅̅̅̅ y

por propiedad fundamental de las proporciones

̅̅̅̅̅

si sumamos miembro a miembro obtenemos:

Si sacamos factor común ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

nos queda

demostramos que

Otra demostración: El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

35

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS

En este apartado nos dedicaremos a aplicar algunos conceptos vistos hasta aquí para lograr descubrir algunas propiedades de los polígonos. Se entiende por “construcciones geométricas” a la Geometría que se puede construir con regla y compás, pero debemos agregar las herramientas informáticas. Además recurriremos a los procedimientos y propiedades algebraicas para dar razones a los temas que veremos. Nos focalizamos en buscar relaciones que existen entre el perímetro, los lados, la apotema y el radio de un polígono regular. El teorema de Pitágoras resulta muy útil para el cálculo de lados, apotemas, perímetros y áreas de los polígonos regulares en función de su radio. Cálculo del lado, apotema, perímetro y área de un triángulo equilátero en función de su radio El triángulo equilátero es el único triángulo que se define como polígono regular por tener sus tres lados y ángulos interiores iguales. Se sabe que los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = r(radio) Los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Y los segmentos ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ⁄

(lado)

̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ son las medianas del Además se sabe que ̅̅̅̅̅̅ triángulo ABC. Las medianas que concurren al punto O (Baricentro) y por propiedades del triángulo equilátero se puede entender que: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ⇒ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ además ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Remplazado el valor de ̅̅̅̅̅̅ nos queda: ̅̅̅̅̅̅ simplificando y remplazando ̅̅̅̅ nos queda la relación que hay entre la apotema y el radio: ̅̅̅̅̅̅

= Ap de manera analógica podemos llegar a ̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅

= Ap

Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo AM3B Es fácil afirmar que el segmento ̅̅̅̅̅̅ ( )

por lo que nos queda

remplazando

nos queda ( )

( (

) )

√

36

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Nos queda la relación entre el lado y el radio del triángulo equilátero:

√

Para encontrar el perímetro de un triángulo rectángulo en función del radio debemos remplazar el valor del lado. Sabemos que el perímetro de un triángulo equilátero es: P = 3 . L Si remplazamos obtenemos la fórmula del perímetro del triángulo rectángulo en función del radio √ Si queremos encontrar el área del triángulo equilátero en función del radio partimos de la expresión de la superficie de un polígono regular: ⁄

√

Remplazando nos queda:

por lo que llegamos a:

√

Cálculo del lado, apotema, perímetro y área de un cuadrado en función de su radio De la figura podemos afirmar que el triángulo rectángulo ̅̅̅̅ AOD es isósceles donde los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (radio). Además sabemos que (lado) Podemos aplicar el teorema de Pitágoras: =2 √

simplificado resulta

√

Para el cálculo de la apotema tenemos en cuenta los puntos medios de los lados M1, M2, M3 y M4. Es fácil demostrar que la medida del Apotema es la mitad de la medida del Lado: también podemos deducir que: Si remplazamos el valor del lado en función del radio en la ecuación del apotema tenemos √

Si ordenamos nos queda:

√

Para encontrar el perímetro de un cuadrado en función del radio debemos remplazar el valor del lado. Sabemos que el perímetro de un cuadrado es: P = 4 . L Si remplazamos obtenemos la formula del perímetro del cuadrado en función del radio √ Si queremos encontrar el área del cuadrado en función del radio partimos de la expresión de la superficie de un polígono regular:

37

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto √

√

Si remplazamos tenemos:

√

Por lo que nos queda:

Cálculo del lado, apotema, perímetro y área de un Hexágono en función de su radio El hexágono consta de varias propiedades, una de las cuales es que se puede dividir en 6 triángulos equiláteros, por lo que podemos afirmar que AOB tiene sus lados iguales. Entonces decimos que los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Concluimos que el lado de un hexágono es igual a sus radios.

Para encontrar la apotema de un hexágono en función del radio aplicaremos el teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo OM1B. Podemos afirmar:

̅̅̅̅̅̅

pero sabemos que el punto M1 es el punto medio del segmento ̅̅̅̅ =

L esntoces podemos decir que el segmento ̅̅̅̅̅̅ = Si remplazamos en la expresión del teorema

( )

de Pitágoras obtenemos:

( )

nos queda: nos queda:

Pero como L = r y despejamos la apotema √

aplicando propiedad de la potencia

√

Para encontrar el perímetro de un hexágono en función del radio debemos remplazar el valor del lado. Sabemos que el perímetro de un hexágono regular es: P = 6 . L Si remplazamos obtenemos el perímetro del hexágono en función del radio

Si queremos encontrar el área del hexágono en función del radio partimos de la expresión de la superficie de un polígono regular: √

Remplazando el perímetro y la apotema:

Simplificando obtenemos:

√

38

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

Cuadro de resumen Este cuadro comparativo trata presentar de manera sencilla lo visto en este apartado que trata el cálculo de la apotema, lado, perímetro y el área en función de su radio de algunos polígonos regulares. Polígono regular Triangulo equilátero Cuadrado

Lado

Apotema

Perímetro

√

Área

√

√

√

√

Hexágono

√

√

√

Construcción de polígonos regulares con un transportador Para construir un polígono regular de n lados inscripto en una circunferencia usando un transportador (semicírculo), se construyen n ángulos inscriptos de vértice en O congruentes con el ángulo central α del polígono. Los puntos que forman los lados de los ángulos con la circunferencia son los vértices del polígono que queremos construir. A modo de ejemplo construiremos un polígono regular de 5 lados (Pentágono). Trazamos una circunferencia de cetro O y de radio ̅̅̅̅ O . Cr (O, ̅̅̅̅ O ) Como n = 5

Encontramos en ángulo α Nos da α = 72° Y trazamos el ángulo encontrado Repetimos el proceso hasta encontrar 5 puntos que son coincidentes con los vértices del pentágono. Por último trazamos el pentágono requerido. De esta manera se pueden construir polígonos regulares de n lados.

39

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

Construcción de un pentágono con regla y compás Si bien esta construcción geométrica data de varios siglos atrás, nos viene bien realizarla a modo de práctica y de aplicación de algunos de los conceptos geométricos que venimos tratando hasta ahora. Vale la pena destacar, que la medida de este polígono dependerá de la medida de la circunferencia que lo inscribe, ya que ambas figuras comparten el mismo radio. La siguiente imagen muestra el resultado final de la construcción geométrica, y detallamos los pasos: 1) Se traza una circunferencia de radio ̅̅̅̅ O 2) Se traza otro segmento ̅̅̅̅ O perpendicular al radio ̅̅̅̅ O 3) Por medio de la mediatriz del segmento ̅̅̅̅ O se encuentra el punto medio C. 4) Se traza la recta a que pasa por los puntos C y E formando el ángulo ̂ . 5) Se traza la bisectriz de ángulo ̂ definida por la recta b que corta al segmento ̅̅̅̅ O en el punto F. 6) Se traza una recta d que pasa por el punto F y es perpendicular al segmento ̅̅̅̅ O y que intercepta a la circunferencia en el punto H. ̅̅̅̅ que es uno de los lados del 7) En el paso anterior queda definido y trazamos el segmento H pentágono. 8) Con un compás, haciendo centro en E y con radio ̅̅̅̅ H , se traza un arco de circunferencia y se la intercepta con la circunferencia primera en el punto G. 9) Se repite el proceso del punto anterior con el mismo radio ̅̅̅̅ H pero con centro en G y se encuentra el punto I. De la misma manera se encuentra el punto J. 10)

Los puntos E, H, G, I, J son los vértices del polígono por ende trazamos dicho polígono.

Método general para construir polígonos regulares de n lados11 Nos serviremos como ejemplo de la construcción del heptágono. Dada la circunferencia, consideramos el diámetro vertical AB y lo dividimos en 7 partes (se utiliza r´ dibujando segmentos unitarios sobre una semi-recta auxiliar y oblicua que parte de A). Por otra parte, sea C el punto intersección de los arcos con centros en A y B y radio AB. Trazamos desde C un segmento

11

r´

Extraído de “CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS” - Joseph Rochera Gaya - Zaragoza, 14 enero 2005 40

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto que pase por la división 2 anterior, el punto D de corte de este segmento con la circunferencia original es el segundo vértice del heptágono (el primero es A), los demás los determinaremos ayudándonos con el compás con la abertura AD. Desgraciadamente, este procedimiento funciona mientras no necesitemos dibujos o valores más que aproximados, pues el método no es exacto. Llegados a este punto podríamos preguntarnos si la construcción del pentágono es exacta o sólo lo parece. La respuesta es que el procedimiento es exacto, como bien sabían ya los griegos, pero el poco tiempo de que disponemos no nos permite incidir en ello.

Construcción del rectángulo áurico Si bien el rectángulo no es un polígono regular nos parece importante aprender como construir el rectángulo áurico ya que para dibujarlo partimos de la construcción de un cuadrado. Se siguen los siguientes pasos: I. Dado un segmento ̅̅̅̅ se le trazan rectas perpendiculares b y c que pasan por los puntos B y A respectivamente. II. Se traza un arco de circunferencia de centro en B con radio ̅̅̅̅ e intercepta a la recta b en el punto D. III. Se traza una perpendicular de la recta b en el punto D cortando a la recta c en el punto C formando un cuadrado de vértices ABCD. IV. Se encuentra el punto medio M de uno de sus lados en este caso ̅̅̅̅ y se une con uno de los vértices del lado opuesto formando el segmento ̅̅̅̅̅ . V. Se traza otro arco de circunferencia de centro en M y de radio ̅̅̅̅̅ interceptando en la recta b en el

punto F. Con este nuevo punto encontramos el segmento ̅̅̅̅ que es la base del rectángulo áurico. VI.

Por el punto F trazamos una perpendicular del segmento ̅̅̅̅ que corta a la recta c formando el punto E. Con este último estamos en condiciones de trazar nuestro rectángulo áurico ABEF.

41

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Trigonometría

La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios. El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad. Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática. El término Trigonometría proviene de las palabras griegas: Trígono y Metrón, que quieren decir: Triángulo y Medida respectivamente. Sin embargo el estudio de la Trigonometría no solamente está limitado a la medición de los triángulos, pues el campo de estudio de esta disciplina matemática se ha ido enriqueciendo progresivamente hasta llegar a ser un instrumento indispensable en el Análisis Matemático, en la Física y en varias ramas de la Ingeniería.

HIPARCO (180 – 125 antes de Cristo), Se le acredita la compilación de las primeras Tablas Trigonométricas, ganando así el derecho de ser conocido como el PADRE DE LA TRIGONOMETRÍA. Su obra fundamental fue el tratado que en 12 libros escribió sobre las cuerdas del círculo. Es considerado por algunos como el Pionero de la Autonomía Trigonométrica.

Trigonometría circular La circunferencia trigonométrica tiene como elementos y fundamentos principales al sistema de ejes cartesianos, una circunferencia Cr(O,1) (centro O origen y de radio 1) y un punto móvil P(x,y) , de coordenadas x en el eje de las abscisas e y en el eje de las ordenadas, que gira por sobre el contorno de la circunferencia en sentido anti-horario . Los ejes son rectas reales perpendiculares que tienen como cero coincidentes en el punto O (origen).Dichos ejes separan al plano cartesiano en cuatro cuadrantes como muestra la figura. El primer cuadrante tiene los valores de las ordenadas y de las abscisas positivas. En cambio en el segundo cuadrante tiene las ordenadas negativas y abscisas positivas. En el tercer cuadrante tiene los valores de las ordenadas y de

42

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto las abscisas negativas. Por último en el cuarto cuadrante tiene las ordenadas positivas y las abscisas negativas. El segmento ̅̅̅̅ define el radio vector cuyo módulo siempre es igual a| | en la circunferencia trigonométrica. Además el radio vector define un ángulo α que depende de su valor de la posición del punto móvil P. Los valores que toma el ángulo α definirá su posición ya sea en el primer, segundo, tercero o cuarto cuadrante. Si el ángulo es entonces el punto P está situado en el primer cuadrante. Si su valor está entonces el punto P está situado en el segundo cuadrante. Si su valor está entre entonces el punto P está situado en el tercer cuadrante. Por último, si su valor está entre en el cuarto cuadrante.

entonces el punto P está situado

A su vez cada posición que tome el punto P y sus coordenadas definirá un triángulo rectángulo único para cada posición. El triángulo rectángulo OPX está compuesto por la hipotenusa ̅̅̅̅ = ρ que es el radio vector, y por los catetos ̅̅̅̅ = Y y ̅̅̅̅ = X. Con los valores las medidas de los lados ρ, X e Y podemos formar las siguientes razones:

Estas 6 razones determinan 6 valores que están vinculados con el valor que toma el ángulo α. O sea que el ángulo α es una variable independiente, el valor de ρ=1 es constante y los valores e X e Y son variables dependientes del valor que toma α. En consecuencia podemos afirmar que estas razones son funciones del ángulo , y se las denomina funciones trigonométricas, que son las siguientes: Seno α =

o sea Sen α =

al ser ρ=1 queda Sen α= Y

Coseno α =

o sea Cos α =

Tangente α =

o sea Tg α =

Cotangente α =

o sea Cotg α =

Secante α =

o sea Sec α =

Cosecante α =

o sea Sec α =

al ser ρ=1 queda Cos α= Y

43

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Interpretación geométrica de funciones trigonométricas en la circunferencia trigonométrica

Sea la c (O,

y en ella el ángulo central ̅̅̅̅

α, se tiene que Sen α= = ̅̅̅̅ como ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Y por lo que afirmamos Sen α= Y Sea la c (O,

y en ella el ángulo central ̅̅̅̅̅

α, se tiene que Cos α = = ̅̅̅̅ como ̅̅̅̅

̅̅̅̅

por lo que afirmamos Cos α= X

α, se tiene Tg α = =

̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

Sea la c (O,

y en ella el ángulo central ̂ por tener α en común e iguales ángulos ̂

pero

entonces por semejanza de triángulos como ̅̅̅̅ =1 queda Tg α = ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅

si remplazamos tenemos Tg α = = ̅̅̅̅ pero ̅̅̅̅̅

Sea la c (O,

y en ella el ángulo central α, se tiene Cotg α = = ̅̅̅̅ pero ser ̂ ̂ triángulos rectángulos, α congruente e iguales ángulos entonces por semejanza de triángulos

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅

si remplazamos Cotg α = = ̅̅̅̅ pero como ̅̅̅̅ =1 queda Cotg α = ̅̅̅̅

Sea la c (O,

y en ella el ángulo central α, se tiene Sec

Sea la c (O,

y en ella el ángulo central α, se tiene Cosec

̅̅̅̅

pero ser triángulos rectángulos, α congruente e iguales ángulos ̂ ̂ entonces por semej. de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ triángulos si remplazamos Sec α = = ̅̅̅̅ pero ̅̅̅̅ =ρ=1 queda Sec α = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

pero ser ̂ ̂ triángulos rectángulos, α congruente e iguales ángulos entonces por semej. de ̅̅̅̅ triángulos si remplazamos Cosec α = = ̅̅̅̅ pero ̅̅̅̅ =ρ=1 queda Cosec α = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

44

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Para el Segundo cuadrante

Para el Tercer cuadrante

Para el Cuarto cuadrante

Signos de funciones trigonométricas

Senα Cosα Tgα Cotg α Sec α Cosec α

I cuadrante

II cuadrante

III cuadrante

IV cuadrante

+ + + + + +

+ +

+ + -

+ + -

Valores numéricos de las funciones trigonométricas para ángulos notables Los ángulos notables son aquellos que toman un valor determinado y el resultado de la función trigonométrica del mismo es un número destacado. Los ángulos notables para el primer cuadrante son 0°, 30°, 45°, 60°, y 90°. Valores numéricos de las funciones trigonométricas para α=0° La semirrecta móvil ⃗⃗⃗⃗⃗ coincide con el semieje positivo ⃗⃗⃗⃗⃗ sin generar ángulo alguno, de tal forma que el ángulo central ̂ es un ángulo nulo. Esto define las coordenadas del punto P en la circunferencia trigonométrica como P(X,Y) donde X=1 e Y=0. Si aplicamos el valor de este ángulo nulo, las definiciones de las razones trigonométricas teniendo en cuenta el radio vector y las coordenadas del P, nos queda:

45

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Sen 0° = =

Cos 0° = =

Tg 0° = =

Cotg 0° = =

Sec 0° = =

Cos 0° = =

Valores numéricos de las funciones trigonométricas para α=30° Se construye un ángulo positivo ̂ =30° ubicado en el primer cuadrante. El punto P(X,Y) define el radio vector |ρ|=1. Se sabe que el valor de ρ es igual al del radio de un hexágono regular. Además los segmentos |̅̅̅̅| +| ̅̅̅̅|= 1 por ser ̅̅̅̅ un lado de dicho hexágono inscripto en el circunferencia trigonométrica. Si ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ por ser ̅̅̅̅ la apotema del hexágono y como ya afirmamos que |̅̅̅̅| +| ̅̅̅̅| = 1 necesariamente |̅̅̅̅| =| ̅̅̅̅| = =

podemos plantear ̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅ siendo ̅̅̅̅̅ la única incógnita que despejada queda:

( )

queda

Por teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo HOP ̅̅̅̅ sabemos que ̅̅̅̅ y que ̅̅̅̅̅ remplazando

√

̅̅̅̅

( )

√

√

√

Entonces demostramos los valores de las coordenadas del punto P(X,Y) sabemos que X= ̅̅̅̅

√

√

y que Y = ̅̅̅̅= si remplazamos los valores nos que P( , ). Si aplicamos el valor del ángulo de 30° a las definiciones de las razones trigonométricas teniendo en cuenta el radio vector y las coordenadas del P, nos queda: √

Sen 30° = =

Tg 30° = =

Sec 30° =

=

√

Cos 30° = =

√

√

√

√ √

√

√

= √ √

√

√

=

=

Cotg 30° = = √

=

√

√

√

Sec 30° =

46

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Valores numéricos de las funciones trigonométricas para α=45° Se construye un ángulo positivo ̂ =45° ubicado en el primer cuadrante. El punto P(X,Y) define el radio vector |ρ|=1. Se sabe que el valor de ρ es igual al del radio de un cuadrado inscripto. Este cuadrado contiene el triángulo rectángulo agudo POH cuyos lados iguales son ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ los que corresponde a las coordenadas del punto P por lo que podemos afirmar que X=Y. Si planteamos el teorema de Pitágoras en este triángulo tenemos: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ pero como ̅̅̅̅ y además ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ remplazando nos queda lo siguiente: sabemos que ρ=1 y X=Y remplazando nos queda

despejando X nos queda: √

√

√ √

√

√

√

√

Por lo que podemos afirmar que X = Y =

√

Si aplicamos el valor del ángulo de 45° a las definiciones de las razones trigonométricas teniendo en cuenta el radio vector y las coordenadas del P, nos queda: √

Sen45° = =

=

√

√

Cos45° = =

√

Tg 45° = =

Sec 45° =

=

√

√

√

√

√

√

√ √

=

√

√

Cotg 45° = =

√

Sec 45° =

√

=

√

√

√ √

=

√

√

Valores numéricos de las funciones trigonométricas para α=60° Se construye un ángulo positivo ̂ =45° ubicado en el primer cuadrante. El punto P(X,Y) define el radio vector |ρ|=1. Se sabe que el valor de ρ es igual al del radio de un triángulo equilátero inscripto en la circunferencia. Este triángulo equilátero contiene al triángulo rectángulo OPH cuya hipotenusa es el radio vector ρ=1 y uno de los catetos es el apotema del triángulo equilátero, por lo que

47

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto podemos afirmar por propiedades del mismo que ̅̅̅̅ Por teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo HOP podemos plantear ̅̅̅̅ sabemos que ̅̅̅̅ y que ̅̅̅̅̅ remplazando queda única incógnita que despejada queda:

̅̅̅̅

√

( )

√

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅ siendo ̅̅̅̅̅ la

( )

√

√

Entonces demostramos los valores de las coordenadas del punto P(X,Y) sabemos que X = ̅̅̅̅ √

que Y = ̅̅̅̅= si remplazamos los valores nos que P(

√

y

).

Si aplicamos el valor del ángulo de 60° a las definiciones de las razones trigonométricas teniendo en cuenta el radio vector y las coordenadas del P, nos queda: √

Sen 60° = =

=

√

Tg 60° = 60° =

=

√

√

Cos 60° = = √

=

Cotg 60° = = √ Cosec 60° =

√ √

√

√ √

√ √

= √ √

√

Sec

=

√

Valores numéricos de las funciones trigonométricas para α=90° La Semirrecta móvil ⃗⃗⃗⃗⃗ coincide con el semieje positivo ⃗⃗⃗⃗⃗ sin generar ángulo alguno, de tal forma que el ángulo central ̂ es un ángulo Recto. Esto define las coordenadas del punto P en la circunferencia trigonométrica como P(X,Y) donde X=0 e Y=1, quedando P(0,1) Si aplicamos el valor de este ángulo recto R=90° las definiciones de las razones trigonométricas teniendo en cuenta el radio vector y las coordenadas del P, nos queda:

Sen 0° = =

Cos 0° = =

Tg 0° = =

Cotg 0° = =

Sec 0° = =

Cos 0° = =

48

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Tabla resumen de los valores de las funciones trigonométricas para ángulos notables Si tomamos los valores numéricos de las funciones trigonométricas para ángulos notables del primer cuadrante, obtendremos los valores hasta aquí vistos. Pero esta es una tabla abierta ya que se puede demostrar de manera analógica los valores numéricos de ángulos notables para el segundo, tercer y cuarto cuadrante de la circunferencia trigonométrica. Solo tendremos en cuenta el signo que corresponde para cada razón trigonométrica según el cuadrante que esté ubicado el ángulo α.

0°

Senα

Cosα

0

1

0

+

1

√

√

√

√

2

√

1

1

√

√

√

√

+

0

II cuadrante

I cuadrante

30° 45°

√

60°

√

90°

1

120°

√

135°

√

150° 180°

0

I V cuadrante

III cuadrante

210° 225°

√

240°

√

270°

1

300°

√

315°

√

330° 360°

0

0

Tgα

Cotgα

Secα

Cosecα +

√ +

1

√

√

√

1

1

√

√

√

1

0

√

√

√

√

1

1

√

√

√

0

1

√

√

√

√

1

1

√

√

√

√

√

√

2

1

0

0

√

√

√

√

2

1 √ √

2 √

1

49

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Reducción de un ángulo cualquiera al primer cuadrante Se nos va a presentar el caso que tendremos que calcular el valor de las razones trigonométricas para cualquier ángulo α, es aquí donde podemos reducir su magnitud convirtiéndolo en un ángulo agudo (del primer cuadrante) para simplificar su cálculo. Está claro que este procedimiento es prescindible cuando podemos usar la calculadora científica. Un ángulo puede tener cualquier valor, al mismo se le puede encontrar otro ángulo β congruente cuyo valor este entre los 0° y los 360°o sea en el primer giro. Para calcular dicho ángulo se recurre al algoritmo de la división. α

| 360°

n . 360°

n

n=Números de giros

resto

valor de β α es congruente a β ⇔ α = n . 360° + β

Ejemplo:

α = 5649°

5649° | 360° 5400

15

n=15

249

β=249 (ángulo del primer giro congruente a α)

Casos de reducción de ángulos al primer cuadrante Cuando un ángulo se encuentra situado en el segundo, tercero o cuarto cuadrante siempre es posible relacionarlo con otro del primer cuadrante cuyas líneas trigonométricas tengan los mismos valores absolutos. Un ángulo se puede reducir al primer cuadrante cuando su medida ha salido de los límites de él. Para reducir un ángulo al primer cuadrante, se tiene en cuenta el signo que le corresponde a la razón trigonométrica de acuerdo al cuadrante en el que está. Ángulos complementarios Sabemos que dos ángulos α y β son complementarios si sumados valen un ángulo recto (90º o sea π/2 rad). Sean α y β complementarios, entonces β = (π/2 – α) lo que es lo mismo β = (180º – α), luego les llamamos α y (π/2 – α). Los representamos en la figura, en la cual podemos observar que los triángulos OPP’ y OQQ’ son iguales, al tener los 3 ángulos iguales y la hipotenusa igual. En consecuencia, los catetos son también iguales PP’ = OQ’ y OP’=QQ’ Podemos entonces afirmar que ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ c ( ) c c ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

c

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

(

)

(

)

c

( ) De manera analógica se pueden demostrar las razones de cotg α, sec α y cosec α.

50

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Ángulos suplementarios Dos ángulos α y β son suplementarios si sumados valen un ángulo llano (180º o π rad). Sean α y β complementarios, entonces β = (π – α), luego les llamamos α y (π – α). En la figura podemos observar que los triángulos OPP’ y OQQ’ son iguales, al tener los 3 ángulos iguales y la hipotenusa igual. En consecuencia, los catetos son también iguales PP’ = OQ’ y OP’=QQ’. Podemos entonces afirmar que: ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

c

̅̅̅̅̅̅

–

̅̅̅̅̅̅̅̅

c

–

–

c

–

–

c

c

– De manera analógica se pueden demostrar las razones de cotg α, sec α y cosec α. Ángulos que se diferencian en 180º Tal y como están representados en la figura se deduce con facilidad que los triángulos OPP’ y OQQ’ son iguales, por tanto se deducen las relaciones siguientes:

c

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅

c

c c

c

De manera analógica se pueden demostrar las razones de cotg α, sec α y cosec α. Ángulos que suman 360º Dado un ángulo α al ángulo (2π - α ) también le podemos llamar el opuesto a α , es decir, lo podemos representar también por – α. Como se ve en la figura los triángulos OPP’ y OQQ’ son iguales, por tanto ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

c c

– ̅̅̅̅̅̅

c

c

– –

c

–

– –

De manera analógica se pueden demostrar las razones de cotg α, sec α y cosec α.

51

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Resolución de triángulos Es preciso acotar que cuando hablamos de resolución de triángulos nos referimos a la obtención de los valores de los lados, ángulos y área de un triángulo cualquiera. Además aclararemos que los triángulos pueden ser rectángulos o bien oblicuángulos (Aquellos que son acutángulos u obtusángulos) Primero antes de tratar los casos de resolución de resolución de triángulos veremos algunas formulas y teoremas importantes para abordar esta temática Teoremas para triángulos oblicuángulos Teorema del Seno

Lema: “En todo triangulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulo opuestos a ellos” c

a) Para demostrar este teorema partimos tomando el altura ̅̅̅̅ de los triángulos rectángulos BDA y ADC. Si tomamos el primer triangulo BDA tenemos

̅̅̅̅

Sen β = ⇒ ̅̅̅̅ = Senβ c En el triangular ADC ̅̅̅̅ Sen γ = ⇒ ̅̅̅̅ = Senγ b

Igualando ambas expresiones

Senβ

c = Senγ

b

a = Senα

b

Por lo que nos queda por propiedad fundamental de las proporciones b) Luego si trazamos la altura ̅̅̅̅ de los triángulos rectángulos AEC y AEC. Si tomamos el primer triangulo AEC tenemos ̅̅̅̅ Sen β = ⇒ ̅̅̅̅ = Senβ a En el triangular ADC ̅̅̅̅ Sen α = ⇒ ̅̅̅̅ = Senα

Igualando ambas expresiones

Senβ

b

Por lo que nos queda por propiedad fundamental de las proporciones Tomando lo obtenido en los puntos a) y b) podemos demostrar el teorema del seno por propiedad transitiva: c

52

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Teorema del Coseno Lema: “El cuadrado de un lado cualquiera de cualquier triangulo es igual a la suma de de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de los mismos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.”

Elevando al cuadrado ambos miembros ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

⇒ ⇒

Tomamos como premisas ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ En el triangulo AMB ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ En el triangulo ACM

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

De manera análoga podemos demostrar

La Superficie de un triangulo Teorema fundamental del los triángulos Lema: “En todo triángulo oblicuángulo su superficie es igual al semi-producto de dos lados cualesquiera por el seno del ángulo comprendido”.

Para demostrar tomamos la fórmula del área de un triangulo. Además sabemos que para el triángulo rectángulo BMA el: despejando h = sen α c Remplazando h en la primera expresión nos queda Teorema fundamental del los triángulos De manera analógica se puede obtener las otras expresiones. o bien

53

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Fórmula de Herón Herón de Alejandría fue un ingeniero que vivió hacia el siglo III a. de C. se le recuerda sobre todo por la llamada fórmula de Herón, que nos permite calcular el área de un triángulo cualquiera conocidos únicamente los tres lados. No es necesario por tanto conocer la altura ni ninguno de los ángulos. Llamamos S al semi-perímetro y a, b, c a los tres lados:

√ Demostración Tomamos como premisas para demostrar la fórmula de Herón al Teorema fundamental del área de un triángulo, el Teorema fundamental de la trigonometría y el Teorema de Coseno. (A) √

despejamos

(B)

Remplazamos (B) en (A) √

Elevando ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz A lo que es lo mismo

Haciendo la resta algebraica de fracciones (C) Del Teorema de Coseno Despejamos el elevando ambos miembros al cuadrado Igualando (C) con (D) nos queda

(

)

(

)

(D) simplificamos

54

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

Reordenando la última expresión y multiplicamos por (-1) ambos miembros, nos queda el primer miembro positivo y el segundo solo se modifica el último factor. (E)

Luego sabemos que el perímetro (P) es al semi-perímetro (S) en afirmar que:

P=2 S

por lo que podemos

[I] Si tomamos [I] y le restamos miembro a miembro (-2 a) nos queda -2 a resolviendo nos queda

– a) [II]

Si tomamos [I] y le restamos miembro a miembro (-2 b) nos queda -2 b resolviendo nos queda

– b) [III]

Si tomamos [I] y le restamos miembro a miembro (-2 c) nos queda c -2 c resolviendo nos queda

– c) [IV]

La expresión (E) obtenida anteriormente en su miembro derecho puede ser remplazada por las expresiones [I], [II], [III], [IV] respetivamente

– a)

– b)

– c)

Por lo que nos queda – – – √

–

Resolución trigonométrica de triángulos rectángulos Resolver un triángulo rectángulo es hallar el valor de sus lados, sus ángulos y de su área. Es necesario conocer dos datos, uno de ellos si o si tiene que ser un lado, el otro dato puede ser un ángulo u otro lado. Además se sabe que al ser un triángulo rectángulo, sus ángulos agudos son correspondientes. Para resolver el triángulo rectángulo hay que averiguar los elementos que faltan partiendo de dos datos conocidos. Es por eso que se nos presentan 4 casos:

55

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto 1er caso: Resolución de un triángulo rectángulo conociendo su Hipotenusa y un Cateto Datos Incógnitas Hya b;α;β; Calculo de b Despejando Calculo de α Cos α =

√ Calculo de 𝑆𝑢𝑝

Calculo de β

𝑏 𝐻

Sen α = 𝑏

despejando α = 𝑎𝑟𝑐 𝐶𝑜𝑠 (𝐻)

𝑏 𝐻

𝑆𝑢𝑝 = 𝑏

despejando β = 𝑎𝑟𝑐 𝑆𝑒𝑛 (𝐻)

𝑏 𝑎

Remplazando b nos queda 𝑆𝑢𝑝 =

√𝐻

𝑎

𝑎

2do caso: Resolución de un triángulo rectángulo conociendo su Hipotenusa y un ángulo Datos Incógnitas Hyα a;b;β; Calculo de β Despejando Calculo de a

Sen α

Calculo de b

𝑎 = 𝐻

Despejando a = 𝐻

Calculo de 𝑆𝑢𝑝

𝑏

𝑆𝑒𝑛 𝛼

Cos α = 𝐻 Despejando b = 𝐻

Cos 𝛼

𝑆𝑢𝑝 =

𝑏 𝑎

Remplazando a y b nos queda 𝑆𝑢𝑝 =

𝐻 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝐻 Co 𝛼

𝑆𝑢𝑝 =

𝐻

𝑆𝑒𝑛 𝛼

Co 𝛼

3er caso: Resolución de un triángulo rectángulo conociendo sus Catetos Datos Incógnitas ayb H;α;β; Calculo de b Despejando Calculo de α Tg α =

√ Calculo de 𝑆𝑢𝑝

Calculo de β

𝑎 𝑏

Tg β 𝑎

Despejando α = 𝑎𝑟𝑐 𝑇𝑔 (𝑏 )

𝑏 =𝑎

𝑏

𝑆𝑢𝑝 =

𝑎 𝑏

Despejando β = 𝑎𝑟𝑐 𝑇𝑔 (𝑎)

56

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto 4to caso: Resolución de un triangulo rectángulo conociendo su Hipotenusa y un ángulo Datos Incógnitas ayα H;b;β; Calculo de β Calculo de 𝑆𝑢𝑝 Despejando Calculo de H Sen α =

𝑎 𝐻

Despejando

𝑆𝑢𝑝 =

Remplazando b nos queda

Calculo de b Tg α = 𝑎

H = 𝑆𝑒𝑛 𝛼

𝑏 𝑎

𝑎

𝑎 𝑏

𝑎

Despejando b = 𝑇𝑔 𝛼

𝑆𝑢𝑝 = 𝑇𝑔 𝛼

𝑆𝑢𝑝 =

𝑎

𝑎 𝑇𝑔 𝛼

Resolución trigonométrica de triángulos oblicuángulos La resolución de triángulos oblicuángulos se basa en obtener los valores de los ángulos interiores y lados de cualquier triángulo. Para que se pueda aplicar estos casos de resolución se deba tener tres datos como mínimo, uno de ellos si o si tiene que ser un lado. Esto nos define 4 casos posibles

Supongamos que tenemos los tres ángulos como datos sería imposible determinar un único triángulo que lo defina. El triangulo ABC tiene como ángulos interiores a α, β, γ. Si trazamos paralelas al lado ̅̅̅̅ que pasan por los puntos D, E, F, G, H, e I formando los triángulos ADJ, AEK, AFK, AGM, AHN, y AIO todos ellos son triángulos semejantes. Esto nos remite a que todos estos triángulos tienen los mismos ángulos interiores α, β, y γ. Por lo que es imposible determinar los valores de sus lados ya que se necesita de por lo menos un valor de un lado para poder determinar el resto.

57

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto 1er caso: Resolución de triángulos oblicuángulos cuando conocemos sus tres lados Consideramos cualquier triangulo en el cual conocemos sus tres lados Datos a, b, y c

Incógnitas α, β, γ y

Cálculo de Aplicamos la Fórmula de Herón √ – Siendo S el semi-perímetro S Calculo de α 𝑎 𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝛼

𝑐 𝑏 𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝑎 𝑐 𝑏

𝑐

𝑎𝑟𝑐 𝐶𝑜𝑠 .

𝑐

𝑎 𝑐 𝑏

Calculo de β 𝑏 𝑎 c

/

𝛽

𝑎 𝑐 𝐶𝑜𝑠 𝛽 c 𝑏 𝑎 𝑐

𝑎

𝐶𝑜𝑠 𝛽

𝑎𝑟𝑐 𝐶𝑜𝑠 .

Calculo de γ 𝑐 𝑎

𝑎

𝐶𝑜𝑠 𝛾

c 𝑏 / 𝑎 𝑐

𝛾

𝑎 𝑏 𝐶𝑜𝑠 𝛾 𝑐 𝑎 𝑏

𝑎

𝑎𝑟𝑐 𝐶𝑜𝑠 .

𝑎

2do caso: Resolución de triángulos oblicuángulos cuando conocemos dos lados y un ángulo opuesto Datos Incógnitas a, b, y β c, α, γ y Cálculo de Despejado nos queda ( Calculo de γ 𝛼 𝛽 𝛾

)

Calculo de c 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛽

𝛾 𝛼

𝛽

𝑐

𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑐

Calculo de 𝑆𝑢𝑝

= 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛾

𝑆𝑢𝑝

𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑠𝑒𝑛 𝛽

𝑎 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝛽

3er caso: Resolución de triángulos oblicuángulos cuando conocemos dos lados y un ángulo comprendido Datos a, b, y

Incógnitas c, α, β y

58

𝑐 𝑎 𝑏

/

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Cálculo de

√

Despejando Calculo de α

Calculo de β

𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛽

=

𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝛾

𝑐 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝛼

𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛾

=

𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝛾

𝑐 𝑆𝑒𝑛 𝛽

𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑎𝑟𝑐 𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑐

𝛽

Calculo de 𝑆𝑢𝑝 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑆𝑢𝑝

𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑎𝑟𝑐 𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝑐

𝑎 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝛾

4to caso: Resolución de triángulos oblicuángulos cuando conocemos un lado y dos ángulos Datos a, α, y β

Incógnitas b, c, γ y

Cálculo de Despejado nos queda Calculo de γ 𝛼 𝛽 𝛾 𝛾

b

Calculo de c 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝛼

𝛽

𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐

Calculo de 𝑆𝑢𝑝

𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 𝛾

𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛾

𝑆𝑢𝑝

𝑎 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝛽

𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛾 𝑠𝑒𝑛 𝛼

Teorema de Thales Nació y murió en la ciudad de Mileto. Sus padres fueron Examyes y Cleobuline. Fue maestro de Anaximandro. Un hombre excepcionalmente inteligente y como el primer filósofo griego, científico y matemático, pero actuaba como un ingeniero. Es considerado el primero de los Siete Sabios Griegos. Tomó prestada La Geometría de los egipcios y dio en ella un avance fundamental ya que fue el primero en emprender la tarea de demostrar exposiciones matemáticas mediante series regulares de argumentos. En otras palabras, inventó la matemática deductiva. Midió la altura de las pirámides midiendo la altura de sus sombras en el momento en el cual la sombra de una persona es igual a su altura. THALES DE MILETO (624 a.C - 546 a.C.)

59

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Lema: Si tres o más rectas paralelas, son interceptadas por dos rectas transversales, los segmentos correspondientes que se forman son proporcionales. Los siguientes pares de segmentos se definen correspondientes por pertenecer a la misma resta o bien por estar entre las mismas paralelas. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Con estos pares de segmentos correspondientes podemos plantear la siguiente tesis: Si b//c y c//d ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

Demostración: El triangulo BGF su área El triangulo BFC su área El triangulo GEC su área El triangulo EFC su área

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Por construcción los triángulos BGF es congruente al GEC, por lo tanto: ̅̅̅̅

̅̅̅̅

Además los triángulos BFC es congruente al EFC, por lo tanto: ̅̅̅̅

̅̅̅̅

Se realizamos la división entre las dos expresiones anteriores, nos queda: ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅

Simplificando nos queda demostrado el Teorema de Thales

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

60

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Consecuencias del teorema de Thales Consideremos los siguientes casos particulares donde podemos aplicar el teorema de Thales Caso I

Caso II

Caso III

Vemos que en todos los casos los puntos A y D son coincidentes, por lo que podemos considerar el triángulo ACF para hacer nuestro análisis. Por un punto cualquiera B que pertenece a la recta r, se traza una paralela b al segmento ̅̅̅̅ . En el caso I la recta b corta los lados ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ del triángulo ACF. En los casos II y III la recta paralela b trazada corta a las transversales por encima y por debajo del triangulo ACF. En los tres casos el teorema de Thales se verifica la siguiente proporcionalidad ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Importante: La proporcionalidad no depende de la dirección que definen las rectas paralelas ni la rectas por la cual se proyectan los segmentos. En estos casos la recta t es la única que se ha modificado su dirección, aun así se demuestra: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

61

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

Aplicación del teorema de Thales En el teorema de Thales, la posición que toman los segmentos constituyentes en la proporción puede escribirse de múltiples maneras. Cuando se utiliza haciendo intervenir los segmentos paralelos, solo puede escribirse midiendo a partir del vértice. Es por eso que nos centraremos en los segmentos determinados por las paralelas a partir del vértice y los segmentos determinados por las paralelas. Teorema: Si las rectas r y s son paralelas se cumple: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Demostración: ̅̅̅̅

̅̅̅̅

Vamos a probar ̅̅̅̅ para ello vamos a tomar ̅̅̅̅ el triángulo ABC en el cual por el lado ̅̅̅̅ trazamos paralelas a ̅̅̅̅. El lado ̅̅̅̅ queda dividido en 7 partes iguales de longitud X. Por lo que observamos en la figura vemos que: ̅̅̅̅

̅̅̅̅

⇒

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

De manera analógica podemos demostrar que Por lo que se cumple

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

⇒

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Proyección paralela de una recta sobre otra12 Consideremos dos rectas a y b cualquiera, no necesariamente paralelas, y una tercera recta c de distinta dirección a las anteriores. Además se define en una de las rectas un punto P cualquiera y un segmento ̅̅̅̅ cualquiera

Por el punto P que pertenece a la recta a trazamos una paralela de la recta c de tal manera que al interceptar a la recta b se forma el punto P1 que es la proyección paralela del punto P en la recta a. De manera analógica se puede obtener la proyección paralela del segmento ̅̅̅̅ sobre recta b obteniendo otro segmento ̅̅̅̅̅̅̅

12

Tapia Matemática 3 – Vásquez de Tapia – Editorial Estrada – Argentina 1993 62

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Identidades Trigonométricas Son expresiones algebraicas que refieren a igualdades en las que intervienen funciones trigonométricas y es válida para cualquier valor angular. Obtención de las identidades trigonométricas básicas tienen como fundamento a las definiciones de las razones trigonométricas que son dispuestas en una expresión algebraica, la cual debe ser demostrada. Una vez que una identidad trigonométricas es demostrada nos sirve para la demostración de otras identidades. Esto nos lleva a decir que hay un sinfín de identidades trigonométricas, lo cual es muy difícil lograr una tipificación de las mismas, pero citaremos una forma básica de clasificarlas: Identidades trigonométricas básicas

Recíprocas

Cocientes

Pitagóricas

Para realizar la demostración de una identidad trigonométrica se aplican procesos algebraicos como la factorización, las operaciones entre fracciones así como su simplificación, además de las identidades trigonométricas básicas. La aplicación de estos procesos depende de la identidad en sí; esto significa que no existe un orden o procedimiento específico, debido a esta situación sugerimos iniciar con el lado más complejo o elaborado de la igualdad, con el fin de llegar a demostrar el lado más sencillo, como a continuación se ejemplifica.13 Identidades trigonométricas recíprocas En el triángulo rectángulo se definen las razones trigonométricas de un ángulo interior del mismo, por lo que tenemos: Sen α =

Cotg α =

Cos α =

Sec α =

Tg α =

Cosec α =

Si multiplicamos una función directa por cada una de sus recíprocas se obtiene Sen α . Cosec α = Cos α . Sec α =

=1 =1

Tg α . Cotg α =

despejando nos queda

Sen α =

despejando nos queda

Cos α =

o bién

Sec α =

despejando nos queda

Tg α = Co

o bién

Cotg α

Co

o bién

Cosec α =

Además se puede deducir Sen α . Cosec α = 1

Cos α . Sec α =1

Tg α . Cotg α =1

13

Matemática Simplificada – CONAMAT - Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de México -PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009

63

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Identidades trigonométricas Cocientes Si tomamos dos razones trigonométrica una directa y la otra su co-función y se realiza el cociente de la misma, por ejemplo la función seno (sen α) por la función coseno (cos α), se obtiene otra función, Tan α. =

=

= Tg α

por lo que queda:

De manera análoga se obtiene la función cotangente Cotg α

=

=

= Cotg α

por lo que queda:

Identidades trigonométricas pitagóricas En el triángulo se aplica el teorema de Pitágoras: Se divide entre a ambos miembro Se aplica la ley de los exponentes y se simplifica obtenemos

( )

( )

Remplazamos los cocientes por las razones trigonométricas Del teorema fundamental de la trigonometría se pueden obtener otras expresiones a las que llamaremos Identidades trigonométricas pitagóricas Si dividimos por

Esta expresión es conocida como el teorema fundamental de la trigonometría

a todos los términos en ambos miembros Simplificando y remplazando

por las identidades conocidas hasta ahora y aplicando propiedades de la potenciación obtenemos

De manera analógica a la anterior pero dividiendo por y obtenemos De las identidades anteriores se realizan despejes, con el fin de obtener otras identidades pitagóricas: √

√

√

√

√ √

64

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Identidades trigonométricas de la suma y la diferencia de ángulos Dados dos ángulos consecutivos α y β de vértice O y si tenemos en cuenta que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ además si proyectamos el punto D sobre el eje de las abscisas obteniendo el punto A y E, por lo que deducimos que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Esta construcción forma un rectángulo ABCE donde ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Ahora vamos encontrar las expresiones que definen las Identidades trigonométricas de la suma de dichos ángulos. Para obtener las funciones trigonométricas de los ángulos α y β tendremos en cuenta que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

(I)

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

(III)

(II)

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

(IV)

Para obtener (α +β) Tomando las expresiones anteriores, se realiza el producto de (I) y (IV); (II) y (III) se tiene: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

(V)

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

(VI)

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Sumando ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Por otro lado sabemos que: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

como ̅̅̅̅

(A) ̅̅̅̅ si remplazamos queda

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

o bien

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

(B)

Si igualamos las expresiones A y B nos queda

Para obtener (α +β) Si realizamos el producto de (II) y (IV); (I) y (III) se tiene: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

(VII)

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

(VIII)

Restando miembro a miembro las expresiones (VII) y (VIII) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Como ̅̅̅̅

̅̅̅̅ podemos decir

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

(C)

65

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Por otro lado sabemos que: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

como ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

o bien

̅̅̅̅ si remplazamos queda ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

(D)

Igualando las expresiones (C) y (D)

Para obtener tan (a + b), se emplean identidades básicas

Si se divide numerador y denominador

, nos queda:

Operamos algebraicamente

Para obtener las identidades trigonométricas de la diferencia de ángulos se emplean las identidades de los ángulos negativos en función de ángulos positivos, es decir:

Por lo tanto, tomando las identidades obtenidas y remplazando nos queda (

)

(

)

(

)

(

)

66

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Identidades trigonométricas del ángulo doble Para obtener estas identidades vamos a partir de las ya conocidas identidades de la suma de ángulos, solo que al sumar, igualaremos de tal manera que podamos llegar al doble de un ángulo

Seno del ángulo doble Sen (2α) como nos queda

Coseno del ángulo doble Cos (2α) Sabemos que

como

nos queda

entonces

Si tomamos Teorema fundamental de la trigonometría

podemos despejar:

O bien obtenida nos quedaría:

si remplazamos estas en la última identidad

Tangente del ángulo doble Tg (2α) Partimos de

como

nos queda

Operando obtenemos

67

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Funciones trigonométrica de la mitad de un ángulo Para obtener estas identidades tomaremos las del doble de un ángulo y haremos algunos reemplazos, Seno del ángulo doble Sen ( ) Para obtener esta identidad tomaremos la siguiente:

donde

realizamos el cambio de ángulo ( )

( ) Simplificando nos queda

( )

despejando Sen ( ) nos queda: ( )

√

Coseno del ángulo doble Cos ( ) Tomamos la identidad ya conocida del el coseno del doble de un ángulo, donde remplazaremos el ángulo ( )

( )

por lo que nos queda: ( )

Simplificando

De esta última despejamos Cos ( ) ( )

√

Tangente del ángulo doble Tg ( ) Para obtener esta identidad tomamos las anteriores obtenidas y realizamos lo siguiente: ( )

por lo que nos queda

√

( )

( )

√

√

simplificado

√

Además podemos obtener otra identidad si racionalizamos la expresión del denominador de la raíz obtenemos ( )

√

√

√

√ √

( )

68

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Identidades trigonométricas para transformar un producto en suma o resta Para obtener este tipo de identidades vamos a partir de las identidades ya obtenidas de la suma y diferencia de dos ángulos,

Sen De esta ultima expresión despejando, obtenemos la identidad buscada

Si procedemos de manera similar a la anterior pero restando

Sen Despejando el producto obtenemos

Tomando la identidad del el coseno de la suma

Despejando el producto obtenemos

Si procedemos de manera similar a la anterior pero restando obtenemos. (Dejamos al lector su demostración)

69

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Identidades para transformar sumas o restas de funciones trigonométricas en un producto Considerando dos ángulos conocidos ecuación:

de los cuales podemos plantear el siguiente sistema de

Resolviendo por igualación obtenemos: I II si igualamos obtenemos que: Despejando Remplazando el valor de

en alguna de I

nos queda: II obtendremos el valor de :

Resolviendo nos queda que De esta manera obtenemos los valores de

y

si a estos valores angulares los

remplazamos en la identidad que trasforma un producto en sumas y restas, obtenemos la siguiente:

remplazando por los valores angulares obtenidos nos queda: *

(

)

( (

)

)+ (

(

)

)

(

)

si operamos

despejando la suma (

)

(

)

De manera similar pero aplicando las otras indentidades obtenidas anteriormente podemos deducir las siguientes: (Dejamos al lector su demostración) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Ecuaciones trigonométricas Una ecuación trigonométrica es una expresión que tiene como incógnita valores angulares bajo los signos de funciones trigonométricas.

70

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Al resolver una ecuación trigonométrica se debe encontrar el o los valores que satisfacen dicha ecuación, esto es, que en una ecuación trigonométrica no siempre existe una solución única, en ocasiones existen varias, las cuales se expresan como conjunto solución. Ejemplos: (

a) Resolver la siguiente ecuación para 0 ≤ x ≤ 2π:

)

Como en toda ecuación, se despeja la incógnita x y la función seno se representa como arc sen en el segundo miembro, luego el intervalo indica que se tomarán como solución aquellas entre 0° y 360° (

)

b) Resolver la siguiente ecuación para

de la identidad:

de esta expresión despejamos α

Luego, la tangente es positiva en el primero y tercer cuadrante, por consiguiente, el conjunto solución es: c) Resuelve la siguiente ecuación para x si 0 ≤ x ≤ 2π:

Esta expresión se puede factorizar por división de polinomios, obteniendo: de esta expresión podemos obtener: y por otro lado ( ) ó Quedando como conjunto solución de

,

-

d) Resuelve la siguiente ecuación para α, si 0°≤ α ≤360°

71

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

√

√

√

√ √

.

√

/

√ .

√

/

El conjunto solución es 30°150°210° y 330° e) Resuelve la siguiente ecuación para α, si 0°≤ α ≤360° de: Replanteando obtenemos la ecuación: Factorizando de esta obtenemos por un lado o bien

( )

O sea que El conjunto solución es 0°; 180°; 210°; 330°y 360°

72

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Circunferencia y Círculo Sea O un punto del plano α y r un número positivo llamado radio, definimos una circunferencia al conjunto de puntos que pertenecen al plano que equidistan al punto central O en la distancia que marca el radio r.

C(O,r) se lee “circunferencia de centro O y de radio r” C(O,r) = { x ϵ α / d(o,x) = r}

Se llama radio de una circunferencia a la distancia que define el segmento |̅̅̅̅ | Se llama diámetro de una circunferencia a la distancia que define el segmento |̅̅̅̅|

Elementos de una circunferencia Radio ̅̅̅̅̅ Diámetro ̅̅̅̅ Cuerda ̅̅̅̅ Cuerda ̅̅̅̅̅ Angulo central α Angulo inscripto β Arco

Rectas y circunferencia Las rectas y circunferencia se ubican en el plano según las siguientes posiciones relativas Recta exterior

Recta secante

Recta tangente

73

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Trazado de la tangente de una circunferencia a) Por cualquier punto P perteneciente al contorno de una circunferencia se traza el radio Es una recta que toca a la determinado por el segmento ̅̅̅̅, circunferencia (en general a por lo que definimos una recta r tangente a la circunferencia a la cualquier curva) en un único punto ̅̅̅̅ recta perpendicular al radio que denominado punto de tangencia pasa por P. Por cualquier punto P perteneciente al contorno de una circunferencia se traza el diámetro determinado por el segmento ̅̅̅̅

b) Se une el centro de la circunferencia A con el punto P formando el segmento ̅̅̅̅, desde donde saldrán las tangentes. Tomando el segmento ̅̅̅̅ se traza su mediatriz donde se encuentra el punto M (punto medio de OP). Con centro en M y radio ̅̅̅̅̅ se traza una nueva circunferencia C (M, ̅̅̅̅̅ ) que intercepta a la primera en los puntos B y C, siendo éstos dos nuevos puntos de tangencia por donde pasarán las rectas buscadas b y e.

Posiciones relativas de dos circunferencias Dos circunferencias puestas en el mismo plano según la posición que ocupan, la distancia entre sus centros puede variar y se las puede clasificar de la siguiente manera:

d = r1 – r2

d r1 – r2

d=0

74

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Áreas del círculo Área total A total =

Sector circular

Porción de círculo limitada por dos radios. Área Sec Circ = Segmento circular Porción de círculo limitada por una curva y el arco correspondiente. Sup Seg Circ = Área Sec C – OPQ Sup Seg Circ= Semicírculo

Porción del círculo limitada por un diámetro y el arco correspondiente. Equivale a la mitad del círculo. Área semicírculo = Zona circular

Porción de círculo limitada por dos cuerdas contenidas en rectas paralelas Area zona circular = *

+

*

+

Corona circular

Porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos. Área de corona circular =

75

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA. Trazando rectas que estén dentro de una circunferencia o que tengan relación con ella podemos definir distintos tipos de ángulos. Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella. Es importante notar que dos puntos, A y B, sobre una circunferencia determinan dos arcos y, por tanto, dos ángulos centrales: uno cóncavo α y uno convexo β, o los dos iguales, ambos sumarán 360º.

Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados que son cuerdas de la misma. El ángulo semi-inscrito, (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso límite.

“Los ángulos inscripto que abarcan un mismo al mismo arco de la circunferencia son iguales”

Angulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo y sus lados que son

cuerdas de la circunferencia.

Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma.

Teorema: “Todo ángulo inscripto α es igual a la mitad del ángulo central β correspondiente”

Este teorema se extiende coando el ángulo central β es llano el angulo incripto α es rercto.

76

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

Teoremas importantes 14 Los siguientes teoremas se pueden demostrar pragmáticamente mediante cualquier método gráfico, dejamos al lector dicha tarea. Teorema 1. Si 2 ángulos centrales del mismo círculo o de círculos congruentes son congruentes, entonces sus arcos intersecados son congruentes. CC´ = BB´ Teorema 2. En una circunferencia de cuerdas iguales se subtienden arcos iguales y viceversa. Si ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ si y sólo si AB = CD

Teorema 3. Un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

Teorema 4. Una recta que pasa por el centro de un círculo y es perpendicular a una cuerda, biseca a la cuerda y a su arco. Si ̅̅̅̅

̅̅̅̅ entonces, AM MB y AN NB

Teorema 5. Una recta tangente a un círculo es perpendicular al radio trazado hacia el punto de tangencia A. ̅̅̅̅

14

recta b , ̅̅̅̅

Extraído de Matematicas Simplificadas – CONAMAT – Ed: Pearson - Mexico200577

Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

Teorema 6. Dos cuerdas trazadas en un círculo y que equidistan del centro, son congruentes. Si ̅̅̅̅

̅̅̅

̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅

Teorema 7. Las tangentes trazadas desde un punto fuera del círculo son congruentes y forman ángulos congruentes con la recta que pasa por el centro y dicho punto. ̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ y α= β

Teorema 8. Si 2 cuerdas se intersecan dentro de un círculo, el producto de las medidas de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las medidas de los segmentos de la otra. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Teorema 9. Si desde un punto exterior a un círculo se traza una tangente y una secante, la medida de la tangente es media proporcional entre la medida de la secante y su segmento externo. ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

Concecuencia para cuadriláteros inscrptos Todo cuadrilátero es circunscribible. En toda circunferencia en la que se definen 4 puntos cualquiera se pueden trazar un cuadrilátero BDCE incripto en la misma. Por lo que podemos afirmar: “Los ángulos opuestos de cuadrilátero incripto en toda circunferenciason suplementarios”

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Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto Para demostar diremos que el angulo α abarca el arco de circunferencia ̂ y angulo abarca el arco de circunferencia ̂ . Entre los dos arcos abarcan la totalidad de la circunferencia o sea 360°, como este concepto se repite con los angulos se divide en 2, es decir 180°.

Teorema de Ptolomeo “En todo cuadrilátero inscribible en una circunferencia, la suma de los productos de los pares de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales.”

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Demostración Para demostrar el teorema, en primer lugar dibujamos el segmento ̅̅̅̅de forma que el ángulo α = ̂ sea igual a β = ̂ . Después observamos que los ángulos marcados con rojo en los vértices E y D son iguales ya que son ángulos inscritos en la circunferencia que abarcan un mismo arco, lo mismo sucede en los ángulos marcado con celeste en los vertice B y E. De ahí se deduce que el triángulo CFD es semejante al CBE y por tanto: ̅̅̅̅

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̅̅̅̅ [I]

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Por otra parte, también son semejantes los triángulos CFB y CED, de donde: ̅̅̅̅

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[II]

Sumando miembro a miembro las expresiones [I] y [II], tenemos que

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̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

y como ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ sacando factor común ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

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̅̅̅̅ nos queda ̅̅̅̅

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Geometría I – Apuntes de cátedra – Prof. Alejandro D Nieto

Bibliografía Geometría: conceptos y construcciones elementales Apunte de catedra de Geometria I del profesor José Salaya Matemática Simplificada - Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de México -PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009 Tapia Matemática 3 – Vásquez de Tapia – Editorial Estrada – Argentina 1993

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