Geometria_4.pdf

Índice UNIDAD I

El polígono más sencillo

Capítulo 1 Triángulos ........................................................... 5

Capítulo 3 Congruencia ....................................................... 24

Capítulo 2 Líneas notables ................................................... 15

Capítulo 4 Repaso ................................................................. 33

UNIDAD II

Cuándo los lados aumentan

Capítulo 1 Polígonos ............................................................ 37

UNIDAD III

Capítulo 2 Cuadriláteros ...................................................... 46

¿qUÉ HARÍAMOS SIN LA RUEDA?

Capítulo 1 Circunferencia .................................................... 56

Capítulo 3 Repaso ................................................................ 75

Capítulo 2 Ángulos en la circunferencia .............................. 66

UNIDAD IV

Los puntos y las proporciones en geometría

Capítulo 1 Puntos notables .................................................. 79

Capítulo 3 Semejanza .......................................................... 95

Capítulo 2 Proporcionalidad ................................................ 87

Capítulo 4 Repaso ................................................................. 103

UNIDAD V

¿Cómo calcular proyecciones y lineas asociadas al triángulo y a la circunferencia?

Capítulo 1 Relaciones métricas en el triángulo rectángulo ........ 108

Capítulo 3 Relaciones métricas en la circunferencia ........... 124

Capítulo 2 Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo ... 116

Capítulo 4 Repaso ................................................................. 133

GEOMETRÍA UNIDAD VI

El tamaño de las figuras planas, FORMAS geométricas Y MANERAS DE CALCULARLAS

Capítulo 1 Polígonos regulares ............................................ 139

Capítulo 3 Área de regiones cuadrangulares ........................ 158

Capítulo 2 Área de regiones triangulares ............................. 15

Capítulo 4 Repaso ................................................................. 166

UNIDAD VII

sEGUIMOS CON EL AGRADABLE TEMA DE ÁREAS Y LAS COORDENADAS

Capítulo 1 Relaciones de áreas ............................................ 170

Capítulo 3 Geometría analítica I .......................................... 188

Capítulo 2 Área de regiones circulares ................................. 179

Capítulo 4 Repaso ................................................................. 199

UNIDAD VIII

Las gráficas, relaciones y cálculo en las figuras espaciales

Capítulo 1 Geometría analítica II ......................................... 204

Capítulo 3 Poliedro o Sólidos geométricos - Poliedros regulares . 221

Capítulo 2 Geometría del espacio ........................................ 212

Capítulo 4 Repaso ................................................................ 229

UNIDAD IX

Los sólidos geométricos más usuales

Capítulo 1 Prismas y cilindros ............................................. 234

Capítulo 3 Repaso ................................................................ 249

Capítulo 2 Pirámide - Cono - Esfera .................................... 241

TRILCE

UNIDADUNIDAD 1 1

el poligono más sencillo

A

lo largo del estudio de las matemáticas y en especial de la Geometría, has podido observar la frecuencia con la que se presentan los triángulos. Su importancia es tal que permite el estudio y desarrollo de otras figuras. Es más, en el quehacer diario y en la vida profesional, procuramos hacernos entender a través de su uso. Por ejemplo, el especialista Doug Copp, jefe del grupo de rescate y director de desastres del Grupo Internacional de Rescate Norteamericano (ARTI), el equipo de mayor experiencia en rescates del mundo, manifiesta que: "En cualquier derrumbe hay un 100% de sobrevivencia para las personas usando lo que se denomina "el triángulo de vida".

¿El triángulo es solo un concepto teórico?

AprendiZajes esperados Comunicación matemática • Identificar los tipos de triángulos y las líneas que se asocian a ella. • Interpretar los postulados de congruencia. • Reconocer y representar los teoremas en los triángulos. Resolución de problemas • Analizar los datos disponibles y relacionarlos con los teoremas respectivos. • Formular estrategias de resolución en diferentes tipos de problemas relacionados a triángulos.

Razonamiento Matemático

Triángulos

1

En este capítulo aprenderemos: •

A identificar los triángulos, reconociendo sus elementos y características principales.

•

A utilizar con exactitud los teoremas que permitan obtener características de los triángulos y que permitan la resolución de problemas matemáticos.

El estudio de los triángulos es una de las partes medulares del curso de Geometría, que tiene muchas aplicaciones prácticas y que también sirve para el desarrollo mismo de la matemática en su conjunto. Hemos escogido esta lectura para graficar lo anterior.

E

l gran matemático Diofanto (275 d.C.) construyó un triángulo con una cuerda en la que había realizado 12 nudos (equidistantes). Los lados medían 3; 4 y 5 unidades.

Evidentemente el triángulo es rectángulo y cumple el teorema de Pitágoras: 32 + 4 2 = 5 2

Diofanto (275 d.C.)

Al ser un triángulo rectángulo, es fácil comprobar que el área es 6 unidades. Con la misma cuerda trató de construir otro triángulo rectángulo de forma que su área fuese 7 unidades. Su planteamiento fue el siguiente: • Un cateto mediría "x". • Como el área debía ser 7, el otro cateto será 14/x. • La hipotenusa debe cumplir el teorema de Pitágoras. x2 +

2

14 =h2 x

Pero por otra parte la suma de sus lados debe ser 12. 14 x+ +h=12 x

De donde se llega fácilmente a:

Por lo tanto se debe cumplir la ecuación: 14 2 196 x2+ 2 = 12 x x x

Cuya solución, Diofanto expresó como:

6x2

43x + 84 = 0

43+ 167 12

-1

Pero no conocía ningún número que elevado al cuadrado fuese igual a -1, por tanto, el problema no tenía solución. Este problema planteado por Diofanto tardaría siglos en resolverse. En el siglo XVI, Rafaello Bombelli fue uno de los primeros en admitir que era útil que los números negativos tuviesen raíces cuadradas.

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Triángulos

Saberes previos Antes de entrar al tema, recordemos que: •

Dos ángulos son suplementarios, cuando la suma de sus medidas es de 180°.

a°

•

b°

+

= 90°

En la figura, la suma de los ángulos es de 180° y no son suplementarios.

a°

•

= 180°

Dos ángulos son complementarios, cuando la suma de sus medidas es de 90°.

a°

•

b°

+

b° q° l°

Dadas las rectas paralelas, los ángulos cuya medida son "b°" y "a°", son iguales.

L1

a° b°

•

L2

En un cuadrilátero, la suma de sus ángulos internos es de 360°.

b° a°

q° l°

Importante: El ángulo exterior de un triángulo se consigue prolongando cualquiera de los dos lados del ángulo interior.

Colegios

6

TRILCE

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Geometría

1

Conceptos básicos

Elementos: B Región interior

y°

Vértices: A, B, C Lados:

b° a

c

Ángulos

a°

A

z°

q°

Externos: x°, y°, z°

Perímetro: 2p = a + b + c

C

b

x°

AB, BC, AC Internos: a°, b°, q°

Notación: ∆ ABC

• Observación B Puntos interiores

C

A

Se denomina región triangular a la reunión de los puntos del triángulo y los puntos interiores.

Puntos exteriores relativos al lado AC

Clasificación de los triángulos Según sus ángulos 0°