Geometría y Trigonometría

Geometría y Trigonometría

Geometría . , y tri gonometr1 a

AITTURO AGUILAR MÁRQUEZ FABIÁN V AJ.APAI BRAVO V ÁZQUEZ HERNIAN AuREuo GALLEGOS Ru1z M IGUEL CERÓN VLLEGAS RICARDO REYES FIGUEROA

REVISIÓN TÉCNICA

Ing. Carlos Lozano Sousa (M.Sc.) lng. Agustín Vázquez Sánchez (M. en C.) Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de México

Prentice Hall México • Argentina • Bra~il • Colombia • Costa Rica • Chile • Ecuador Esparia • Guatemala • Panamá • Perú • Puerto Rico • Uruguay • Venezuela

/

Datos de catnlogación bibliográfica

Geometría y trigonometría Primera edición

PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009 ISBN: 978-607 ·442-350· l Área; Matemáticas

Formato: 20 X 25.5 cm

Páginas: 320

Tocios los derechos reservados Lilia Moreno Olvera e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Alejandro Gómez Ruiz Supervisor de producción: Rodrigo Romero Villa1obos

Editores:

PRIMERA EDICIÓN, 2009 D.R. © 2009 por Pearson Educación de México, S.A. de C. V. Atlacomulco 500-5° Piso Industrial Atoto 53519 Naucalpan de J uárez, Estado ele México Cámara Nacional dela Industria Editorial Mexicana. Reg. n6m. 1031 Prentice·Hall es marca registmda ele Pearson Educación ele México, S.A. de C. V. Reservados tocios los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproduciJse, registrarse o transmitiJse, por un sistema ele recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoqufmico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. 8 préstamo, alquiler o cualquier otm forma de cesión de uso ele este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.

ISBN: 97&-607-442-350-1

Prentice Hall

es una marca de

--

PEARSON

Impreso en México. Printed in Mexico. 1234567 890-12111009

Para los que enseñan

y para

los que aprenden

ING. A RTURO SANTANA PINEDA

El poder de las matemáticas El que domina las matemáticas piensa, razona, ana liza y por ende actúa con lógica en la vida cotidiana, por lo tanto, domina al mundo. ING. ARTURO SANTANA PINEDA

Prefacio l Colegio Nacional de Matemáticas es una institución que, desde su fundación, ha impartido cursos de regularización en las áreas de Matemáticas, Física y Química, con resultados altamente satisfactorios. Es por ello que su fundador y director general, el Ingeniero Arturo Santana Pineda, decidió plasmar y compartir la experiencia adquirida en este libro que recopila lo aprendido en todos estos años y cuyo principio fundamental es que la persona que aprende matemáticas, piensa, razona, analiza y por tanto actúa con lógica.

E

A través de esta institución y sus docentes, se ha logrado no sólo resolver el problema de reprobación oon el que llega el estudiante sino, también, cambiar su apreciación sobre la materia, de tal forma, que se va aprender matemáticas y que puede incluso dedicarse a ellas. De ahí que jóvenes oonvencido de que es que han llegado con serios problemas en el área, una vez que descubren su potencial han decidido estudiar alguna carrera afín.

racil

De esta forma, se decide unir a los docentes con mayor experiencia y trayectoria dentro de la institución para que conjuntamente escriban un libro que lejos de presunciones formales, muestre la parte práctica que requiere un estudiante al aprender matemáticas y que le sirva de refuerzo para los conocimientos adquiridos en el aula.

Enfoque El libro tiene un enfoque 100% práctico, por lo que la teoria que se trata es lo más básica posible, sólo se abordan los oonceptos básicos para que el estudiante comprenda y se ejercite en la aplicación de la teoria analizada en el aula, en su libro de texto y con su profesor. De esta manera, se pone mayor énfasis en los ejemplos, en donde el estudiante tendrá la referencia para resolver los ejercicios que vienen al final de cada tema y poder así reafirmar lo aprendido. Estamos oonvencidos de que es una materia en la cual el razonamiento es fundamental para su aprendizaje, sin embargo, la práctica puede lograr que este razonamiento se dé más rápido y sin tanta dificultad.

Estructura El libro está formado por 17 capítulos, los cuales llevan un orden especifico tomando en cuenta siempre que el estudio de las matemáticas se va construyendo, es decir, cada capítulo siempre va ligado con los conocimientos adquiridos en los anteriores. Cada capítulo está estructurado a base de teoría, ejemplos y ejercicios propuestos. Los ejemplos son desarrollados paso a paso, de tal forma que el lector pueda entender el procedimiento y posteriormente resolver los ejercicios correspondientes. Las respuestas a los ejercicios se encuentran al final del libro, de tal forma que el estudiante puede verificar si los resolvió correctamente y comprobar su aprendizaje. Por otro lado, en algunos capítulos aparece una sección de problemas de aplicación, la cual tiene como objetivo hacer una vinculación con casos de la vida cotidiana en donde se pueden aplicar los conocimientos adquiridos en cada tema. Como recomendación se propone que se resuelvan los ejercicios preliminares de aritmética y álgebra que se encuentran al final del libro, para que el lector haga un diagnóstico de sus conocimientos en dichas áreas los cuales son fundamentales para poder iniciar el aprendizaje de la Geometria y la Trigonometria. De tener

VII

GfoNEIRÍA Y IRGONOVEIRÍA

algún problema con dichos ejercicios se recomienda retomar los temas correspondientes y consultarlos en el libro de aritmética y álgebra publicado por la misma editorial. En el primer capítulo se dan las definiciones básicas de Geometrla y algunas notaciones que se utilizarán en el desarrollo de los siguientes temas como son: recta, segmento de recta, arco, entre otros. En el segundo capítulo, se estudian los ángulos y sus generalidades.

El tercer capítulo estudia las rectas paralelas y perpendiculares, así como las rectas paralelas cortadas por una secante. En el capítulo cuatro, se estudian los triángulos y sus generalidades. Se continúa en el siguiente apartado con cuadriláteros, mientras que en el capítulo seis, se analizan los polígonos en forma general (ángulos interiores y exteriores, diagonales, etc.). El capítulo siete corresponde a transformaciones (escala, rotación, simetrla axial, simetrla central}. la circunferencia, sus elementos, rectas notables y otras generalidades de ésta, se estudian en el capítulo ocho. En los capítulos nueve y 1O se estudia el perimetro y área de figuras geométricas en el primero y volumen en el segundo. En los capítulos 11 y 12 se comienza con el estudio de la Trigonometrla. Se dan los conceptos de funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo y valores para distintos ángulos, para estos capítulos se agregan las tablas de funciones trigonométricas que encontrará en la parte final del libro. En el capítulo 13 se analizan las gráficas de dichas funciones. Las distintas identidades trigonométricas se contemplan en ei capítulo 14. En los dos capítulos siguientes, se estudia la resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos, respectivamente. La parte de Trigonometría termina en el capítulo 17 el cual corresponde a la forma trigonométrica de los números complejos.

VIII

Agradecimientos Según Benjamín Franklin, invertir en conocimientos produce siempre los mejores intereses, por lo que espero

que obtengas, a través de este libro, las más grandes ganancias para tu futuro profesional. ARTURO SANTANA PINEDA

IJrREcroRGENERALDECONAMAT A mi madre por darme la vida y enseñarme a vivirla, Andrey por ser y estar conmigo, Cherna e Hiram

los alumnos que se volvieron mis hermanos, a mi fiunilia (Echevenia, Pineda y Sánchez), a la UNAM, al ingeniero Santana, Rox llegaste a tiempo, a los cuatro fantásticos: Herman, Fabián, Ricardo y Miguel, fue un placer compartir este trabajo. A mis alumnos que fueron y serán. ARTURO

AGUILAR MÁRQllEZ

A mis padres Maria Elena y Álvaro, por brindarme la vida, por sus enseñanzas y consejos; a mi esposa e hijos (Ana, Liam y Daniel), porque son la razón de mi vida y mi inspiración; a mis hermanos Belem, Adalid y Tania por apoyarme incondicionalmente y sobre todo a mis compañeros y amigos: Ricardo, Miguel, Arturo yHerman. F ABIÁN V ALAPAI BRAVO V ÁZQllEZ

Una vez mi padre me dijo que "un hombre triunrador no es el que acumula riquezas o títulos, sino es aquel que se gana el cariño, admiración y respeto de sus semejantes", agradezco y dedico esta obra a la memoria de mi padre el Sr. Herman Gallegos Bartolo que me dio la vida y que por azares del destino ya no se encuentra con nosotros. A Eli y José Fernando que son el motor de mi vida. HERMAN A. GALLEGOS RIJIZ

ramilia

A toda mi muy en especial a Lupita y Agustín, por haberme dado la vida y ser un ejemplo a seguir; a mis hermanos Elizabeth y Hugo por quererme y soportarme. Quiero además, reconocer el esfuerzo de mis amigos y compañeros Arturo, Fabián, Herman y Ricardo con quien tuve la oportunidad de ver cristalizado este sueño. MIGUEL CERóN Vil.LEGAS

A mis padres Rosa y Gerardo, por darme la vida; a mis hermanos Javier, Gerardo y Arturo; un especial agradecimiento a mi esposa Ma. Mercedes; a mis hijos Ricardo y Allan por su sacrificio, comprensión y tolerancia; un reconocimiento a mis amigos Herman, Arturo A., Fabián, Miguel, Roxana y Arturo S. por hacer realidad nuestro sueño. RICARDO REYES FiGllEROA

Un agradecimiento especial a los alumnos que tomaron clase con alguno de nosotros, ya que gracias a ellos logramos adquirir la experiencia para poder escribir este libro.

Los AUTORES

IX

Acerca de los autores Arturo Aguilar Márquez. Llegó romo estudiante al Colegio Nacional de Matemáticas, desarrolló habilidades y aptitudes que le permitieron incorporarse a la plantilla de docentes de la Institución. Realizó estudios de Actuaria en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México y ha impartido clases de Matemáticas por más de 11 años en CONAMAT. FabiánValapaiBravoVázquez. Desdemuytempranaedad,conlapreparacióndeprofesoresdeCONAMAT, participó en concursos de matemáticas a nivel nacional. Posteriormente, se incorporó a la plantilla docente de la misma institución donde ha impartido la materia de Matemáticas durante 12 años. Al mismo tiempo, estudió la carrera de Diseño Gráfioo en la Escuela Nacional de Artes Plásticas. Herman Aurelio Gallegos Ruiz. Se inició como profesor en CONAMAT. Realizó estudios en la Escuela Superior de Fisica y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional y Actuaria en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México. Ha impartido clases de Matemáticas y Física por más de 15 años en el Colegio Nacional de Matemáticas. Miguel Cerón Vtllegll$. Es egresado de la Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias Sociales y Administrativas del Instituto Politécnico Nacional, realizó estudios de Ingeniería Industrial y tiene más de 15 años de experiencia en docencia. Ricanfo Reyes Figueroa. Inició su trayectoria en la disciplina de las Matemáticas tomando cursos en CONAMAT. Dejando ver su gran capacidad para transmitir el conocimiento, se incorpora como docente en la misma institución donde ha impartido las materias de Matemáticas y Fisica durante 19 años. Realizó sus estudios de Matemáticas en la Escuela Superior de Fisica y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional, y de Matemáticas Puras en la Universidad Autónoma Metropolitana.

XI

Anexo: Ejercicios preliminores, 285

Contenido eometría y trigonometría Prefacio VII Agradecimientos IX /laJrco de los autores XI

CAP1TuLO 1 C.Onceptos básicos Conceptos básicos 4.

CAP1TuLO 2 Ángulos Cefinición, 8. fvl.edidas, 8 . Sistema sexogesimol, 8. Sistema cíclico o circular, 10. Conversión de grodas o rodiones yde rodiones o grodos, JO. Operociones, 12. Closifiooción de ocuerdo con su medido, 14. Convexos, 14. Llono o de lodos colineoles, 15. Cóncovo o enfronte, 15. Perigonol o de vuelto entero, 15. Complementarios, 15. Suplementarios, 15. Conjugados, 16. ÚPlTuLO

3 Rectas perpendiculares y paralelas

Perpendiculoridod, 22. Porolelismo, 22. Ángulos opuestos por el vértice, 23. Ángulos oontiguos, 23. Ángulos odyocentes, 23. Rectos porolelos oortodas por uno recto seoonte, 23.

CAPITULO 4 Triángulos Cefinición, 30. Closifiooción de los triángulos, 30. Por sus lodos, 30. Por sus ángulos, 30. Rectos y puntos notobles, 31. Teoremos, 32. Triángulos oongruentes, 37. Teoremas de congruencia, 37. Proporciones, 44. Teoremas de proporciones, 45. Semejonzo, 46. Propiedades fundomentoles, 46. Teoremas de semejonzo, 47. Teorema de Toles, 49. eoremo de Pitógoras, 54. Noturolezo del triángulo o porlir del teorema de Pitágoros, 56. Teoremas de semejonzo en triángulos rectángulos, 57.

CAPITULO 5 Cuadriláteros Cefinición, 62. Closifiooción, 62. eoremo, 63. Propiedodes de los porolelogromos, 63. Demostraciones, 65. Porolelogromos especiales, 66. Propiedades de los trapecios, 68. Propiedades de los trapecios i5ósceles, 68.

CAP1TuLO 6 Polígonos Cefinición, 72. Clasifiooción, 72. Por sus lodos, 72. Por sus ángulos, 72. Sementas, 73. Número de diogonoles, 73. NJmero de diogonoles trozados desde un mismo vérlice, 73. Número de diagonales l::>loles, 73. Ángulos de un polígono, 75. ÚPlTuLO

7 Transformaciones

Escalo, 82. Figuras o escolo, 82. Tronsformociones de figuros en el pleno, 84. Trosloción, 84. Roloción, 87. Simetría axiol, 91. Simetrío central, 96.

XIII

GfoNEIRÍA Y IRGONOVEIRÍA

CAPITULO

8 Grcunferencia y circulo

Circ unfere ncia, 102. Recios notables, 102. Porciones de un círculo, 102. Circunfe re ncia y polígonos, Áng ulos notables, 103. 7eoremos, 107. Tangente o uno circ unfere ncia, 112. longitud de uno tangente,

Propiedades de los tangentes, 112. CAPITULO

Posiciones re lativos,

103. 112.

113.

9 Perímetros y superficies

l:efiniciones, 118. Perímetro y á rea de uno figura plano, 118. Fióngubs, 118. Coodril:reros, 119. Po#gonos ¡egubres, 121 . Orcooferencio yóro.ib, 122. Sector ysegmenb drcubr, 122. heo de figuras combinados, 125.

CAPITULO

10 Cuerpos geométricos, áreas y volúme nes

132. Oosificoción, 132. Áng ulo triedro, 132. Oosificoción, 133. Áng ulo poliedro, 134. Oosificoción, 134. Poliedro, 135. Bemenfos, 135. Clasificación, 135. Poliedros regulares, 136. Clasificación, 136. Desarrollo, 137. Áreo y volumen de un poliedro regular, 137. Prisma, 140 . Clasificación, 140. Área y volumen, 142. Pirá mides, 144. Área y volumen, 145. C uerpos con superficies no planos, 147. Cilindro circular, 148. Cono circular, 148. Esfera, 151. Figuras esféricos y zonas esféricos, 151. Área de figuras esféricos y volumen de cuerpos esféricos, 152.

Áng ulo diedro,

CAPITULO

11 Funciones trigonométricas

158. Definiciones, 158. Cofunciones, 159. Rango numérico, 160. Valor, 160. Signos de los funciones trigonométricos en el plano corlesiono, 162. Tablo de signos, 162. Funciones trigonométricos poro á ngulos mayores q ue 90º, 164. Funciones trigonométricos de á ng ulos negativos, 166. \blores numéricos de los funciones trigonométricos circula res, 167. Funciones trigonométricos,

CAPITULO

12 Funciones trigonométricas para ángulos notables Oº, 90º, 180º, 270º y 360º, 172. Valor de los 30º, 45º y 60º, 173. Aplicación de los valores trigonométricos

\blor de los funciones trigonométricos de los á ngulos de funciones trigono métricos de los á ngulos de ck los ángulos notables, 175.

CAPITULO

13 Representación gráfica de las funciones trigonométricas

180. Gráfico de y= sen x, 180. Gráfico de y = cos x, 181. GráFico de y= fon x, 181 . Gráfico de y= dg x, 182. GráFico de y= sec x, 182. GráFico de y= ese x, 183. 1 x, Resumen, 183. Amplitud, periodo y desplozomienfo de fose, 184. Gráficos de y = sen-1 x, y = 1 y= fon- x, 187.

G ráficos de los funciones trigonométricos,

cos-

CAPITULO

14 Identidades y ecuaciones trigonométricas

192. Obtención de los identidades trigonométricos básicos, 192. l:emostrocián 193. O btención de los identidades trigonométricos de lo sumo y lo diferencio de á ngulos, 198. Valor de uno función trigonométrico poro lo sumo y lo diferencio de ángulos, 200. Aplicación de los funciones trigonométricos de lo sumo y lo diferencio de á ng ulos, 20 l. Funciones trigonométricos del á ngulo doble, 205. Seno del ángulo doble sen (2a}. 205. Coseno del ángulo doble cos (2a}. 205. Tangente ckl ángulo doble fon (2a). 206. Funciones trigonomé tricos de lo mitad de un á ng ulo, 207. Seno de lo Identidades trigonométricos,

de identidades trigonométricos,

mitad de un ángulo: sen( ~} 207. Coseno de lo mitad de un ángulo: de un ángulo: fon(~)· 207.

cos( ~ } 207. Tangente de lo mitad

Identidades trigonométricos poro tra nsformar un producto en sumo o resto,

2 12.

Demostración de identidades, 214. Identidades po ro tra nsfo rmar sumos o restos de funciones trigonométricos 2 16 . l:emosfroción de identidades, 219. Ecuaciones trigonométricos, 220.

en un producto,

XI V

Contenido

CAPITuLO

15 Triángulos rectángulos

Solución de triángulos redángulos, 226.

16 Triángulos oblicuángulos Solución de triángulos oblicuángulos, 236. ley de

CAPITuLO

senos, 236. ley de cosenos, 238. ley de tangentes,

240. ÚPÍlULO

17 Forma trigonométrica de los números complejos

Formo trigonométrico o polar, 250. Operaciones fundamentales, 251.

Solución o los ejercicios, 257 Anexo: Ejercicios preliminares, 285 lOblos de valores de los funciones trigonométricos, 297

XV

,

'

I

CAPÍTULO

1

CONCEPTOS BÁSICOS

~ETREIN,

ªMEDIR")

mo de los matemáticos que se ocupo de los propiedades del es· ocio. En su formo más elemen· tal, lo geometría se ocupo de problemas métricos como el cálculo del área y dió· metro de figuras pionas y de lo superfi· de y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de lo geometría son lo geometría analítico, geometría descriptivo, topología, geometría de espacios con 4 o más dimensiones, geometría fractal y geometría no euclídeo. Los seis libYOs primeYOs de la geometrla de Euclides

Geometria plana

Romo de lo geometría elemental que es· ludio los propiedades de superficies y figuras planos, como el triángulo o el círculo. Esto porte de lo geometría también se conoce como geometría euclídeo, en honor a l matemático griego Euclides, el primero en estudiarlo en el siglo IV o .C. Su extenso trotado Los seis libros primeros de lo geometría se mantuvo como texto autorizado de geometría hasta lo aparición de los llamados geometrías no Euclídeos en el siglo XIX.

1

CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Conceptos básicos Antes de iniciar el estudio de la geometría y trigonometría, analizaremos algunos conceptos básicos: Geometría. Rama ele las matemáticas que estudia las propiedades, las formas y las dimensiones ele figuras y cuerpos geométricos. Punto. Según Euclides: "Punto es lo que no tiene partes", para evitar confusiones al dar una definición más compleja sólo diremos que la idea de punto, nos la da la marca que deja un lápiz sobre el papel, tan pequeña que carece ele dimensión. linea recta. Sucesión infinita de puntos que tienen la siguiente forma: B

A

RectaAB Semirrecta. Si se fija un punto C en una recta, al conjunto de puntos que le siguen o preceden se le llama semirrecta.

e

D Semirrecta

CD

Segmento. Porción de recta limitada por 2 puntos no coincidentes .

•

•e

A

D

B Segmento CD

Curva. Fs aquella línea que no tiene partes rectas.

~B A

Arco. Porción ele curva limitada por 2 puntos no coincidentes. A

Áii

B

ArcoÁB

~ Figura geométrica. Extensión limitada por puntos,

lfnea¡ y superficies.

o

Cuerpo sólido. Fs todo aquello que ocupa un lugar en el espacio y posee longitud, anchura y altura.

Proposición. Enunciado que nos propone algo y que por tanto se puede calificar como falso o verdadero.

CAPÍTULO

1

Conceptos b6sioos Axioma. Proposición evidente que no requiere demostración.

Ejemplos Dos puntos diferentes determinan una recta y sólo una. Sobre cualquier recta hay al menos 2 puntos diferentes.

Postulado. Proposición cuya verdad aunque no tenga la evidencia de un axioma se admite sin demostración.

Ejemplos Dos rectas determinan un punto y sólo uno. Siempre es posible describir una circunferencia de centro y radio dado.

'Thorema. Proposición cuya verdad necesita demostración.

Ejemplos Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales. La suma ele los ángulos interiores ele todo triángulo son 180°. Corolario. Proposición que es consecuencia inmediata ele otra.

Ejemplo Del postulado de Euclides: "Por un punto exterior a una recta, pasa una sola paralela a dicha recta". Se obtiene el siguiente corolario: "Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre si". Lema. Proposición que sirve para facilitar la demostración ele un teorema.

Ejemplos Toda linea poligonal convexa es menor que cualquier otra linea envolvente que tenga los mismos extremos. Un ángulo no nulo y no llano divide al plano en 2 regiones, ele tal suerte que en una y sólo una de las regiones, 2 puntos cualesquiera siempre pueden unirse por un segmento que oo interseca ninguna de las 2 semirrectas que forman el ángulo.

5

CAPÍTULO

2

ANGULOS

-

SEXAGESIMAL o LOfU.F.MINTOJ

E

,. '"'"n" ' "•••IO-

-::¡::C-=-· -! ._.;:¡;; :¡.,;,_.::::E...:=-:;.,. ·~~

·==-....:~ .r=.-....., ...-

-

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..

-----::,

E

s un sistema de numeración posi· cionol que empleo lo base sesenta . Tuvo su origen en lo antiguo Babi·

lonio.

Definiciones de ángulos del libro

A d iferencio de lo mayoría de los demás l.oselementosdeEuclides sistemas de numeración, e l sexogesimol no se uso mucho en lo computación general ni en lo lógico, pero sí en lo medición de ángulos y coordenados geométricos. Lo unidad estándar en sexogesimol es el grado. Uno circun· ferencio se d ivide en 360 grados. Los d ivisiones sucesivos del grado don lugar o los minutos de orco ( 1/ 60 de grado) y segundos de orco ( 1/ 60 de minuto). Quedan vestigios del sistema sexogesimol en lo medición del tiempo. Hoy 24 horas en un día, 60 minutos en uno hora y 60 segundos en un minuto. Los unidades menores que un segundo se miden con el sistema decimal.

2

CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Definición Un ángulo es la abertura comprendida entre 2 semirrectas que tienen un punto en común, llamado vértice.

Fl ángulo se representa como LA, L BAC, a, o con letras del alfabeto griego. Si un ángulo se mide en sentido contrario al movimiento de la> manecilla> de un reloj, entonces es positivo, si se mide en el mismo sentido entonces será negativo.

Medidas Los ángulos se miden en grados o radianes de acuerdo al sistema.

Sistema sexagesimal Este sistema de medir ángulos es el que se emplea normalmente: la circunferencia se divide en 360 partes llamadas grados, el grado en 60 partes llamadas minutos y el minuto en 60 partes que reciben el nombre de segundos. 1º=60';

1'=60"

Ejemplos A continuación se dan 3 números en sistema sexagesimal: a) 45º b) 21° 36' e) 135º 28' 32"

Relación de conversión Es la relación que existe entre los grados, minutos y segundos de un ángulo expresado en sistema sexagesimal. R>r3600

~~ Grados

Minutos

: : : : - - Entre60___.-/ ...____ Entre60

Segundos

~

- - - - - Entre3 600 - - - - - - -

O: acuerdo con la gráfica, se establecen la> siguientes condiciones de conversión:

e e

Para convertir de una unidad mayor a una menor se multiplica por 60 o 3 600, según sea el caso. Para convertir de una unidad menor a una mayor se divide entre 60 o 3 600, según sea el caso.

8

CAPÍTULO Ángulos

EJEMPLOS,-------------

~ 1 E .L w

•••Convierte 19º 47' 23" a grados.

Solución Los minutos se dividen entre 60 y los segundos entre 3 600: 19º 47' 23" = 19º + (

~ J+(3~00

J

= 19º + 0.7833° + 0.0063° = 19.7896°

Por tanto, 19º 47' 23" equivalen a 19.7897º.

2

•••Convierte 32º 12' IS' a minutos.

Solución Los grados se multiplican por 60 y los segundos se dividen entre 60:

32° 12' 15" =(32)(60)' + 12'

+(~~)' = 1920' + 12' +0.25' = 1932.25'

Por consiguiente 32º 12' IS' equivalen a 1 932.25'.

3

•••Convierte 45.5638° a grados, minutos y segundos.

Solución la parte decimal de 45.5638° se multiplica por 60 para convertir a minutos:

45.5638° = 45° + (.5638)(60') = 45° 33.828' la parte decimal de los minutos se multiplica por 60 para obtener los segundos:

45°33.828' = 45° 33' + (.828)(60") = 45° 33'49.68"

EJERCICIO 1 Convíerte los siguíentes ángulos a grados:

l. 40° 10' 15" 2. 61° 42'21"

3. 1° 2' 3" 4. 73°40'40"

5. 9° 9' 9" 6. 98°22'45"

Convíerte los siguíentes ángulos a su equivalente en grados, mínutos y segundos:

7. 40.32° 8. 61.24°

t::)

11. 19.99º 12. 44.01°

9. 18.255° 10. 29.411°

Verffi:a tus nsultados en la sección de soludone1 cOf'ftspondiente ••• •.•• ••••••••• •••.•

9

2

2

CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Sistema cíclico o circular Este sistema utiliza como unidad fundamental al radián. El radián es el ángulo central subtendido por un arco igual a la longitud del radio del círculo. Se llama valor natural o valor circular de un ángulo.

~

Oº Un radián (1 rad) equivale a 57.29º y rr radequivalen a 180°.

Conversión de grados a radianes y de radianes a grados Sea S un ángulo en sistema sexagesimal (grados) y R en el sistema cíclico (radianes), entonces para convertir:

Se multiplíca el número de grados por el factor

Se multiplíca el número de radianes por el factor

; . y se simplifca, esto es: 1

180º . I"' - y se somp nea, esto es: 1!

.....

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~

~ 1 • • •Convierte 150° a radianes. E

Solución

.ll.

Se multiplica 150° por el factor ; . 1

R:>r consiguiente, 150° es equivalente a

2

• •Convierte a grados

21!

4

~ 1! rad.

rad.

Solución 180° Se multiplica por el factor - - y se simplifica al máximo, obteniendo: 1!

2 1!=2 1!(180º)= 7(180º)1! - 7(180º) =315 º 4 4 1! 41! 4 Finalmente,

21! rad equivalen

4

a 315°.

10

CAPÍTULO Ángulos

3

• • · Convierte 12° 15' 36" a radiane$.

Solución Se convierte a grados el ángulo: 12° 15' 36" = 12°

J J

+(!~ +(3:0

= 12°

+0.25° +0.01° = 12.26°

La conversión a grados se multiplica por el factor ~ y se simplifica a su mínima expresión: 180°

12.260 (~) 180°

= 12.26ºit = 1226it = 613it rad 180º 18 000 9 000

. 613it Por tanto, 12° 15' 36" eio eqwvalente a - - rad. 9000

4 • •· Exprei¡a un ángulo 6 que mide 3 radianes en grados, minutos y segundos. Solución Para convertir de radiane$ a grados se multiplica por el factor (

3 rad = 3(

n180º)

n180º ) = 171.8873°

La parte decimal se convierte en minutos,

171.8873°=171° + (0.8873)(60') = 171° 53.238'

El nuevo decimal se convierte en segundos, entonces: 171.8873° = 171o53' + (0.238)(60") = 171o53' 14.28"

EJERCICIO 2

•

Transforma a radíanes los sigulenteS ángulos:

e

l. 210°

8. 330°

2. 300°

9. 120°

3. 225°

10. 135°

4. 450°

11. 45.23°

5. 72°

12. 128.30°

6. 100°

13. 150º 36' 40"

7. 30°

14. 420º O' 45"

Verifica tus r..ultados en la .. ccl6n da .00.clonu CO V.riflca tus ,...,atados en la sección de soludotlos con..ponchnte • -----------~ 27

3

CAPÍTULO

4

TRIÁNGULOS

P

hnagen de Pitágoras obtenida del Diccionario de Autores, perteneciente a la obra 8/ustrium lmagi· nes de Ful vio Orsini, publicada en

IS70.

itógoras (c. 582-c. 500 a C.), filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón. Nacido en la isla de Somos, Pítógoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios: Tales de M ileto, Anaximandro y Anaxí· menes. Se dice que Pítógoras fue condenado a exiliarse de Somos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a .C. se instaló en Crotona, una colonia gñega a l sur de Ita lia , donde fundó un movimiento con propósitos relig iosos, políticos y filosóficos,

conocido como pitagorismo.

Teoria de los números Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóri· cos se encuentran sus estudios de los números pores e impores, y de los números primos y de los cuadrados, esencia les en la teoría de los números. Desde e l punto de vista aritmético cultivaron el concepto de número, que ll egó a ser poro e llos el pñncipio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A pomr de estos estudios establecieron una base óentífica poro las matemáticas. En geometría el gran descubñmiento de la escuela fue e l teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitó· goras: el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros 2 lados.

4

CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Defin ición Porción del plano limitada por 3 rectas que se intersecan una a una en puntos llamados vértices.

l¡ A, B y C: vértices

AB, BC y AC: lacios

Clasificación de los triángulos Los triángulos se clasifican por la longitud de sus lacios o la magnitud de sus ángulos.

Por sus lados Triángulo equilátero Sus lacios son iguales

'Iriángulo isósceles llene 2 laclos iguales B

B

6

A

'Iriángulo escaleno Sus lacios son diferentes

6

A

C

AB = AC = BC

B

C

AB = BC" AC

AB " BC "AC

Por sus ángulos Triángulo rectángulo n ene un ángulo recto

'Iriángulo acutángulo Sus 3 ángulos son agudos

'Iriángulo obtusángulo Fs el que tiene un ángulo obtuso

B

e

B

LA = 90º

D

A

B

LA LB entonces BC > AC

4

CAPÍTULO GfoNmíA Y TOOONONf'TlllA

EJEMPl.os~~~~~~~~~~~~~----e

"'o l • • Calcula el valor de los llngulos del siguiente triángulo: o..

l

Solución Por definición, los ángulos interiores de un triángulo suman 1800 x+ 2.r+ 3x = 180°

donde

fu,= 180° 180° x= --=30º 6

Si x = 30°, entonces:

L A =x = 30º, L C= 2x = 2(30°) = 60° y LB= 3x= 3(30°) = 90°

l\:Jr consiguiente: L A

2

=30°, L C =60° y L B = 90º

• •Calcula el valor de los ángulos del siguiente triángulo:

Solución l\:Jr ángulos exteriores: L e+ 53º = 135º

donde

L C= 135° -53° = 82°

l\:Jr ángulos suplemenlarios, L B+ 135º= 180º

LB= 180° -135° = 45°

L A+53º= 180°

LA= 180° -53° = 127°

L C+L D=l80º

L D = 180° - L C= 180° -82° =98°

Por tanto, L A = 127º, L B = 45°, L C = 82º y L D = 98º

34

CAPÍTULO

4

Trióngulos

3

••· Determina el valor de los ángulos del siguiente triángulo:

Solución La suma de los ángulos interiores es 180° 2x+ X+ (2x-5") = 180°

5x-5º = 180° 1&5º x= - - = 37º

5

Por ser ángulos suplementarios:

LA+x= 180°

LA= 180°-x = 180°-37º= 143°

LB+2x-5º=180°

LB= 180°-2x + 5° = 180°-74°+ 5° = 111°

L C + 2x = 180°

LC= 180º-2x= 180°-74º=106°

Por consiguiente:

LA= 143° Lx= 37°

4

LB=lllº L 2x-5º=69º

L C= 106° L 2x=74º

•••La medida de los ángulos interiores de un triángulo es equivalente a 3 nómeros pares consecutivos, ¿cuál es la medida de cada ángulo?

Solución Sean los ángulos 2x, 2x + 2°, 2x+ 4°, si aplicas el teorema 1 de los triángulos: 2x+2x+2º +2x+4º = 180°

& + 6°=180° &= 174° X

Por tanto, el valor de cada uno de los ángulos es: 58°, 60° y62º

35

=29°

4

CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

.

EJERCICIO 8 Resuelve los siguíentes problemas:

1. Calcula el valor ele los ángulos exteriores del siguiente triángulo:

2. Uno de los ángulos agudos ele un triángulo rectángulo es 8 veces el otro. ¿Cuánto vale cada ángulo?

3. En un triángulo isósceles, un ángulo ele la base es el cuádruplo del ángulo diferente. ¿Cuánto mide cada ángulo?

4. Uno de los ángulos interiores de un triángulo miele 84° y la diferencia ele los otros 2es ele 14°. ¿Cuánto mielen los ángulos restantes? A

B

5. Encuentra los ángulos interiores cielos siguientes triángulos:

6. Determina los valores de {3 y 8. Si AC biseca al ángulo DCBy DC IAB

112°

7. Determina el valor de los ángulos interiores del triángulo ABC.

8. En la siguiente figura el lado AC es bisectriz del ángulo L BAD. Determina los ángulos interiores ele los t;. ABC y ACD sabiendo que L BAC y+ 8~ L CAD= x + 13°, 10 LABC=3x-6ºyLACD= - y +7º 3

=

A

B

e

-..rlftca tus NSUltac:los en

la MCdón de soluciones COfft5piOnclente •

36

~. ,. C

D

-----------~

E

CAPÍTULO

4

Trióngulos

Triángulos congruentes Son aquellos que tienen la misma forma y tamaño. Si 2 triángulos son congruentes entonces: a) Sus lacios homólogos son iguales. ó) Sus ángulos homólogos son iguales.

A'

A

e

B

2

C'

2

Los triángulos ABC y A 'B'C' son congruentes, porque tienen iguales tanto sus lados como sus ángula>, es decir, existe igualdad entre los 3 pares de lacios y los 3 pares de ángulos. Esto se representa á ABC: á A 'B'C' y se lee: "El triángulo ABCes congruente con el triángulo A'B'C' ".

Teoremas de congruencia

e

'Ieorema I (lado, lado, lado). Dos triángulos son congruentes si tienen sus lacios iguales.

L L

E

F

E'

F'

DE= D' E', EF=E F' y DF=D' F'

e

'Ieorema U (ángulo, lado, ángulo). Dos triángulos son congruentes si tienen 2 ángulos yel lado adyacente a ellos

respectivamente iguales.

]'

J H'

H

LH=LH', HJ = H'J' y LJ=LJ'

e

'Ieorema m (lado, ángulo, lado). Dos triángulos son congruentes si 2 lados yel ángulo comprendido entre ellos son

respectivamente iguales a sus homólogos del otro. K

K'

66

L

M

L'

M'

KL=K'U, LL=LL' y LM=L'M'

37

4

CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

• ••Fn la siguiente figura MOllPN. Determina si los siguientes triángulos son congruentes y encuentra los valores de xy y.

N

Solución Se construye una tabla en la que se dan las afirmaciones y las razones que nos lleven a la demostración que se pide.

1.

1. Datos 2. Datos 3. Por ser lado común a los triángulos MON y PNO 4. Por el teorema: lado, ángulo, lado S. los ángulos homólogos de triángulos congruentes son íguales 6. En el triángulo OMN:

MO•PN

2. L MON• L PNO 3. ON• NO 4.

a MON :

.ó. PNO

S. y•SSº

L MON+ L ONM+ L NM0• 180" 76º + x + ss•. 180" x • 180"- 76º -ss• - "9°

EJERCICIO 9 En cada uno de los síguientes casos indica por qué son congruentes los triángulos y determina los valores de x y y.

2. E

1.

J

3. Si NR =QO

o

M p

N

e

\flrlfk• tus nsultaclos •n 1.e sección de soluciones contisponclent• • . •• • • • .. .. . . • . . . . . •..

38

CAPÍTULO Trióngulos

Aplicación de los teoremas de congruencia Dacios dos triánguloo, establece loo criterioo por loo que son congruentes.

EJEMPLOS,------------~ 1 • • · Si ABIJDF, ACIJEF y CB=DE, demostrar que t!. ABC=

ti. FDE

E

i!-

~

\: C

E

F

Solución Demostraci6n:

1. L C : L E

2. CB

: DE

3. L B :LD 4. 1!. ABC : 1!. FDE

2

1. los lados AC y EF son paralelos y CE es la recta secante, por tanto. los ángulos C y E son alternos internos 2 Datos l Los lados AB y DFson paralelos y CEes la recta secante, en c.onsecuencía, los ángulos B y O son alternos íntemos

4. Por el teorema: ángulo, lado, ángulo

• • •Si AB es bisectriz de L CAD y AC ;;, AD. Demuestra que BE es billectriz de L CBD. A

e E

Solución

1. AC : JlD 2. L CAB :L DAB 3. AB : AB 4. I!. CAB : I!. DAB 5. L CBA : L OBA

1. Datos

2 Definición de bisectriz

3 Por ser lado c.omún a los triángulos CAB y DAB 4 Por el teorema: lado, ángulo, lado

5 los ángulos homólogos en triángulos congruentes son iguales

6. L CBE : L DBE 7.

BE es bisectriz del

6. L EBA• L ABE --+LCBA+ L CBE• L DBA+ L DBE, peroL CBA • L DBA. entonces L CBE • L DBE 7. Definición de bisectriz:

ángulo L CBD

L CBE• L DBE

39

4

4

CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

3

--

• • •Si L DCB = 111° y DB l.AC , demuestra que los triángulos DBC y ACB son congruentes y determina los valores dex yy.

A

Solución 1. 2. 3. 4.

LCEB•90º L DBC•45° L DCB• 111°

LECB•45°

1. 2. 3. 4.

Datos Datos Datos En el triángulo EBC:

L CEB+ L EBC+ L ECB •100°, 9QO + 45°+ LECB • 100° L ECB • 100°-135º L ECB • 45° 5. L AEC • 100°

6. L AEB • 9QO

7. L ABE•66º

8. LCBA• 111º

9. LDBC:LACB 10. CB: BC 11. L DCB : L ABC 12. a DBC: a ACB 13. x• 12, y• 24°

4

••Fn la figura,

= =

0Q PQ , (;Ji Demuestra que OU PT.

5. Por ser ángulo llano

6. L AEC• L CEB+ L AEB 100° • 90° + L AEB 90º• L AEB 7. En el triángulo ABE: L AEB+ L EAB+ L ABE• 100° K V

R

2. En la tiguraMED, con AE:DE y AB:CD. Demuestra queL CBE: L BCE E

3. En la figura, L CDH E L CEH, FH E GH , DH E EH , AC E BC y DC E EC. Demuestra queá ADG E á BEF

e

41

4

CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

4. En la figura, L ABC;;; L ACB; BF;;; CF y L BFD;;; L CFE. Demuestra que BE;;; CD A

5. En la figura, AD s BC , AC s BD, AE s BF y AG s BH . Demuestra que EG s FH

e

D

6. Enlafigura, PS:QT, RS:RT. Demuestraque PT:QS R

p

Q

7. EolafigurasetieneeláABCcoo DF .LAC, EF .LBC, AD:BE y DF:EF.DemuestraqueáABCesisósceles.

e

8. De esta figura realiza lo que se indica. R

p

a) EneláPQR, PR :QR

e

y L7

= L3,demuestraque RS

s RT

ó) En el á PQR, L RPQ;;; L RQP y L 6;;; L 4, comprueba que PS ;;; QT Elt• ejercicio no 1ion• ooluclonu .. &al del libro, por ... clemostreclonu. ••• •••• •••••• •.•• • • ••

42

CAPÍTULO

4

Trióngulos

Relación entre ángulos y lados homólogos de dos triángulos congruentes Sean los triángulos congruentes ABCy A'B'C': A

e

B

e·

B'

Entonces se verifica que sus lacios y ángulos homólogos son iguales: LA=LA',LB=LB',LC=LC', AB

= A'B',

BC

= B'C'

yAC = A'C'

~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~--

...~

1

••· Determina los valores de las incógnitas en los siguientes triángulos congruentes:

E

i!-

Solución Dado que los triángulos son congruentes, sólo basta con igualar los ángulos y lacios homólogos para determinar los valores tanto de xcomo de y, entonces: X

3y + 15° es homólogo a 48º y ''.x + 4" es homólogo a " - + 6" 2

Paray 3y+ 15° =48°

3y = 48° -15°

--+

--+

3y= 33• y= 11•

Parax

!

2

+6=x+4

--+

6-4=x- ~

2

--+

2=

!

2

x=4

En consecuencia, los valores de x y y son: 4 y 11•

43

4

CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

EJE~CICIO

11

En las síguientes figuras los triángulos 1y 11 son congruentes. Determína el valor de las Incógnitas.

B

l.

D

D

A

e

E

Si AB = 2y-5, BC =5x+ 10 AD =x+30, EC=3x

3.

4.

e

B

D

x+3 A

D

2y B

A

e

5. B

e

e:> Ytriflca

t\lt ,...,lt.dos en

la -cl6n de solucionu oon..,,pocu:llont• •• ••••• •••••••••• ••••

Proporciones La razón es la comparación ele dos cantidades.

a b

r=-

Una proporción es una igualdad ele 2 razones.

a

e

- =b d

Y se lee: aes a b como e es a d.

44

o

a:b=c:d

CAPÍTULO

4

Trióngulos

Teoremas de proporciones

e

Tuorema l. En tocia proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos. Si a:b = c :d, entonces ad= be

e Thorema 2. En una proporción pueden intercambiarse el segundo y tercer términos, y se obtiene una proporción cierta.

Si a:b = c:d, entonces a:c = b:d

e

Tuorema 3. En una proporción pueden invertiJSe las razones. Si a:b = c:d, entonces b:a = d:c

~eMPLos.~~~~~~~~~~~~~-..

~

...2

~

1

E

X 3 • • •Encuentra el valor de x en la proporción - = 20 5

Solución

&!-

Se despeja la incógnita x,

-20X =-53

Por consiguiente, x = 12

2

• • •Determina el valor dex en la proporción

x= 3(20) = 60 =12

donde

5

5

~=~ X

5

Solución Se despeja la incógnita: 3 X

15

2 5

3(5) x= - -

donde

2

= -152

Fioalme nte:x= -

2

3

• •Determina el valor de x en la proporción x: 2x -3 = 3: 5

Solución Se establece en forma de cociente la proporción: 3

X

--=2x-3 5 Ahora de la igualdad se realiza un producto cruzado y se resuelve para x: 5x= 3(2x - 3)

5x=6x - 9 5x - 6x= - 9 - x= - 9 x=9

De acuerdo con lo anterior, x = 9

4

• • •Determina el valordexenlasiguiente proporción

32 X

=~ 2

Solución Se realiza un producto cruzado y se resuelve para x, 32 X -=donde X

2

x(x) = (2) (32)

x2= 64 X=

±M

x= ± 8

45

4

CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

EJE~CICIO

12

Precisa el valor de x en las siguíentes proporciones:

l. 2. 3. 4. 5.

x:4=6:8 3:5=x:12 3:x=x:27 X; 5 = 2x; (X+ 3) (x-2):4=7:(x+2)

e -.rfflc.

6. (2x + 8): (x + 2) = (2x + 5): (x + 1) 7. X: 2y = 18y : X 8. (x + 4): 3 3: (x-4) 9. (x-1) :3 5: (x+l) JO. 2x:(x+7) =3:5

= =

tul NSUltados •n la MCC'6n de soluckHtes cornsportdliente • • • • • • • • • • • • • • •

Semejanza Los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes si tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño.

Lados homólogos. Son aquellos cuyos ángulos adyacentes son iguales. a con a', b ron b', e oon e'

e

b

C'

A

b'

A'

Para indicar que 2 triángulos son semejantes se escribe ti. ABC - ti. A'B'C', donde el símbolo ( - ) se lee: es semejante.

Propiedades fundamentales l. Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales. LA

= LA', L B =L B' y L

C =L C'

2. Dos triángulos son semejantes si la razón de cada par de lados homólogos es constante, es decir, si sus lados son respectivamente proporcionales.

a b e -=-=a' b' e'

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-.

~ l ••· SitJ.ABC-1!.A'B'C',encuentraelvalordebyc.

E

B

.L

:·~5

9

C' U

A' 4

b

Solución La proporcionalidad entre los lados se establece como

2.3 = !!.4 = ~5 , de la cual se obtiene:

e 9 - =5 3

-+

9(5) c= - - =15 3

b 4

-+

b=

9 3

46

4 130, el triángulo es obtusángulo.

3

•· O:termina la naturaleza de un triángulo cuyos lacios miden 6, 4 y 5 unidades. Solución Al aplicar el teorema de Pitágoras, se tiene:

(6)2 = (4)2 + (5)2

36 = 16 + 25

Pues to que 36 < 41, el triángulo es acutángulo.

56

36•41

CAPÍTULO

4

Trióngulos

Teoremas de semejanza en triángulos rectángulos

e

Tuorema L La altum trazada sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, forma dos triángulos rectángulos que son semejantes al triángulo dacio, y a su vez semejantes entre ellos.

t!.ACD - t!.BAD t!.OtB -t!.CDA t!. CAB - t!.ADB

e e

'Ieorema 2. La altura trazada sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la media proporcional entre la medida de los segmentos de la hipotenusa.

e

e

Tuorema 3. Cualquiera de los catetos de un triángulo rectángulo es la media proporcional de la hipotenusa y la medida del segmento de la hipotenusa interceptado por la altura, y el lacio que es adyacente a ese cateto.

-

2

AB

e

57

--

= CB·DB

4

CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

.

EJERCICIO 16 Sí a y bson los catetos de un triángulo y csu hipotenusa, determina el lado que falta:

a = 12, e = 20

9. a=6myb= 3

1. a = 15, b = 20

5.

2. a= 5,b= 4

6. b=6,c =8

10. a= 12myc

3. a= S. b = 4

7. b = 15, e = 17

11. a= 14 cm y b = 15 cm

4. a= 7, b = 7

8. a=5Ji,c=10

12. b=15dmyc=20dm

=13m

Determina la naturaleza de los siguientes triángulos, cuyos lados miden:

1

J3

13. 4, 5 y7 cm

16. 7, 24y25cm

19. -2. - 2

14. S, 12 y 13 cm

17. 6, 8y IOmm

20. 0.5, 0.7y0.8m

15. 7, 9y 11 cm

18. 1,

Ji y2cm

ylcm

21. x,x-ly hx2 -2x+l

22. Fn el triángulo rectángulo PQR, con Q el ángulo recto y QS como altura trazada mcia la hipotenusa:

a) Determina QS si PS = 12 y SR= 5 b) Encuentra QR si PR = 25 y RS = 13 c) Halla QR si PS=6, PQ=2M y RS=4 d) Encuentra PQ si PS = 21 y RS = 15 e) Determina

PQ si RS = 6, RQ = 10 y QS = 8

f) Determina QS si PQ = 13 y QR =7 g) Encuentra RS si PQ

e

=17 y

QS = 13

,.rffka h.IS NIUltadOS en la MCC'6n de soluckHtel COfftsportclente •

58

-----------~

CAPÍTULO

4

Trióngulos

- -- - - - - - - - - - - - - - - - PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1

Determina la longitud de la diagonal de un cuadrado de ladoxcm.

Solución Al tra7.ar la diagonal en un cuadrado, se forman 2 triángulos rectángulos, entonces: (hip)2

=(cat)2 + (cat)2

i=r+r i=2x2 y= M =x·..fi.

Por tanto, la diagonal es x .J2.

2

xcm

Al abrir una escalera de pintor, se forma un triángulo isósceles, la distancia entre las bases es de 1 m y los lacios iguales miden 1.40 m. Determina la altura de la escalera.

Solución La altura de un triángulo isósceles divide a la base en 2 partes iguales, formándose 2 triángulos rectángulos:

lí1 =

(1.4)2-(0.5)2

lí1=1.96-0.25

lí1 = 1.71 h=

.J1Ti

h =1.3 m Por consiguiente, la altura de la escalera es de 1.3 m.

0.5m

3

Un automóvil viaja a una velocidad constante de 2.5 mis y pasa por debajo de un puente peatonal. Determina a los 12 s, ladistanciaentreel automóvil y el punto ubicado exactamente arriba del paso del mismo, si la altura del puente es de 6 m.

Solución La altura del puente es de 6 m y a los 12 sel automóvil recorre 12(2.5) = 30 m, entonces:

d1- = (6)2 + (30)2

d1- =36 + 900 d1- = 936 d=

J9'36

d=30.5m Fn consecuencia, la distancia es de 30.5 m.

59

4

CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

.

EJERCICIO 17 Resuelve los siguíentes problemas:

1. Se tiene un terreno en forma de triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 300 y 800 m.¿Qué cantidad de malla se necesita para cercarlo?

d

2. Con una escalera de 6 m se desea subir al extremo de una barcia de 4 m de altura. ¿A qué cistancia se necesita colocar la ba.5e de la escalera para que el otro extremo coincida con la punta de la torre?

3. 4. 5. 6.

Calcula la altura de un triángulo isósceles si su ba.5e mide 60 cm y cada uno de sus lados mide 50 cm. Calcula la altura de un triángulo equilátero que de lado mide JO cm. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado, cuya diagonal mide 8 m? ¿A qué altura llega una escalera de 10 m de largo en un muro vertical, si su ¡:ie está a 3 m del muro?

7. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado si su diagonal mide 5.J2 cm? 8. Si el lado de un hexágono regular mide 16 cm,¿cuánto mide su apotema? 9. Una persona camina 7 kilómetros hacia el sur, 3 hacia el oeste, 2 hacia el sur y 6 más hacia el oeste. ¿Cuál es la cistancia entre el punto de partida y su destino? N

E

s 10. La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles mide 10 cm. Encuentra la longitud de los catetos. 11. Fn un triángulo rectángulo, la hipotenusa es igual a m y la mediana de uno de los ángulos agudos es igual a

mJ3. Determina la magnitud de los catetos. 3 12. En un triángulo rectángulo, m y n representan la longitud de las medianas tra7.adas a los catetos. Obtén la longitud el: éstos y la hipotenusa en función de m y n.

e

Ylriflca tus .. sultadosen la -cl6n do soluclonH"°'"'opondionte

60

a------------~

CAPÍTULO

5

CUADRllÁTEROS

E

staba destinado al oficio religioso, pero lo impresión que le produjo lo lectura de los Elementos de Euclides le llevó hacia los motemó· ticos. Se interesó por lo mecánico, por el incipiente cálculo infinitesimal y por lo geometría .

Teorema de Varignon

Pierre Varignon (1654-1722)

Dado un cuadrilátero cualquiera ABCD, el polígono que determinan los puntos medios (E, F, G, H) de sus lodos es un poro· lelogromo, y el áreo de éste es lo mitad de lo del cuadrilátero inicial.

ÁrcO.UCB

1 2

=-

Árt::a.MCI>

A

B

5

CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Defin ición Fl cuadrilátero es tocio polígono de 4 lacios.

Clasificación Los cuadriláteros se dividen en:

Paralelogramo. & el cuadrilátero cuyos lacios opuestos son paralelos. Cuadrado. & el paralelogramo que tiene tocios sus lacios iguales y sus ángulos son rectos. Rectángulo. & el paralelogramo que tiene sus lacios contiguos desigualei> y los 4 ángulos rectos. Rombo. & el paralelogramo que tiene los lacios iguales y ángulos contiguos desiguales. Romboide. & el paralelogramo que tiene los lacios contiguos desiguales y ángulos oblicuos. 'frapecio. & el cuadrilátero que sólo tiene 2 ele sus lacios paralelos. 'frapecio rectángulo. & el que tiene 2 de sus ángulos rectos. Thapecio isósceles. & el que tiene 2 lacios no paralelos iguales. 'frapecio escaleno. & aquel que tiene sus lacios no paralelos diferentes. 'frapezoide. & el cuadrilátero que no tiene ningún lacio paralelo a su opuesto.

D CJ

o

LJ

o

Q

d

Cuadrado

Trapecio

Rectángulo

D

Rombo

Trapecio rectángulo

Trapecio isósceles

Romboide

Trapezoide

Diagonal. Fs el segmento de recta que une 2 vérticei> ele un cuadrilátero no adyacentes. AC y BD son diagonales

62

CAPÍTULO Cuodnl6teros

Teorema la suma ele los ángulos interiores ele un cuadrilátero es igual a 360°.

Demostración: Dacio el cuadrilátero ABCD, se traza una ele sus diagonales: B

D

Se observa que se forman dos triángulos !J. ABC y !J. ACD. la suma ele los ángulos interiores de los triángulos es igual a 180°.

L BAC+ LABC+ L ACB= 180° L CAD+ LADC+ LACD= 180° Al sumar ambas expresiones, se obtiene:

L BAC+ L ll4C+ L ABC+ LADC+ LACB + LACD=360º

pero L BAC+ L ll4C= L BADy L ACB+ LACD = L BCD Al sustituir estas igualdades en la expresión anterior:

(L BAC+ L DAC)+ L ABC+ LADC+(L ACB + L ACD)=360º L BAD + L ABC + L ADC + L BCD = 360°

Por consiguiente, queda demostrado el teorema.

Propiedades de las paralelogramos

B

l. Los lacios opuestos son iguales. AB=CD Y AC=BD

2. Los ángulos opuestos son iguales. LA=LDyLB=LC

3. Los ángulos adyacentes a un mismo lacio son suplementarios.

c

LA + L B = 180°, L C + L D = 180° LA+ L C= 180°, LB+ L D = 180°

4. Las diagonales se bisecan mutuamente. 5. La diagonal lo divide en 2 triángulos congruentes. ~ABD:~CDA

63

5

5

CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

EJEMPLos~~~~~~~~~~~~~-4

a

D.

1 • •. ~termina los ángulos interiores del siguiente paralelogramo:

!

Solución En tocio paralelogramo, los ángulos adyacentes son suplementarios, entonces:

LP+LM=180º

--+

x+3x-12º=180º

--+

4x = 180º + 12º 4x= 192º

192° 4

x= - - =48° Luego, los ángulos opuestos son iguales, por tanto:

LN=LP=48º L O= L M = 3{48°)- 12° = 144° - 12° = 132°

EJE~CICIO

18

Encuentra los datos que se píden en cada uno de los siguíentes paralelogramos: 5. Halla el valor de x y y

l. Determina L A, L By L C

o·

D

C

2. Encuentra L DCA, L OID, L DAB, L DCB, L D y L B

\Z l \ A

B

7. Precisa el valor de x y la medida de los ángulos y y z

3. Encuentra L A, L B, L C y L ADC

E

6. Calcula la medida de los ángulos y y z

D

C

4. Determina el valor x, Ly y Lz

8. Halla el valor de

x y la medida de los ángulos y y z

e:> 'lllriflca tusr.,ultados en la sección de &oluclonu correspondiente • •• ••• •••••. ••• •••.. 64

CAPÍTULO

5

Cuodnl6teros

Demostraciones Para que un cuadrilátero sea un paralelogramo se debe probar que 2 de sus lados son iguales y paralelos.

EJEMPLOS,------------~ 1 •••Sea el triángulo ABC cuyos puntos medios ele los lados AB, BC y E

DFCEes un paralelogramo.

AC son D, E y F respectivamente, demostrar que A

.2. ...,,

e

Solución

1. En todo triángulo el segmento que une los puntos medios de dos lados es paralelo e ígual a la mítad del tercer lado.

-

1- 1(- -) 1( ;:;;'\ -

DE =-AC = - AF+FC = - 2FC¡ =FC

2

2

CF =EC, DFllEC

2.

2

2

En todo triángulo el segmento que une los puntos medios de dos lados es paralelo e ígual a la mítad del tercer lado. DF = .!ec =.!(BE +EC) = .!(2ec) = EC 2 2 2

3.

2

DFCE es paralelogramo

3.

Si los lados opuestos de un cuadrilátero son íguales y paralelos, es un paralelogramo.

• • •SeaPQRSlos vértices de un paralelogramo, Te! punto medio de PS y U el punto mediocleRQ, demuestra que TQUS

es un paralelogramo.

Solución

1. 2.

PT=TS

1.

Tes el punto medio del segmento PS

ou=uR

2.

U es el punto medio del segmento OR

3.

En un paralelogramo los lados opuestos son íguales y paralelos.

- -

3. PS =OR y PSJIOR 4.

-TS =au -

4. De la afrmacíón 3, se tiene que PS = OR, entonces:

s.

TSJIOU

S.

6.

TOUS es paralelogramo

6. Dos lados opuestos TS y OU son paralelos e iguales.

'PT + TS = au+ ~ --+ 2TS = 2au--+ TS = au

Son segmentos de PS y OR, bs que a su vez son paralelos.

65

5

CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

EJE~CICIO

19

Realiza las siguíentes demostracíones:

l. SeaABCD los vértices de un paralelogramo, Py Q dos puntos sobre la diagonal AC, de modo que PA es congruente con QC, demuestra que PBQD e> paralelogramo.

2. Sea ABCD los vértices de un paralelogramo, E y F son puntos sobre la diagonal AC, de tal manera que DF biseca al L ADC y BE biseca al L ABC, demuestra que DEBF es paralelogramo. 3. Sea RSTU un paralelogramo, V y W puntos sobre la diagonal TR de modo que UW y SV son perpeocliculare$ a TR, demue>tra que UWSVes un paralelogramo. 4. SeaABCDlosvértice¡deun paralelogramo, Q,R,S, T,puntossobreloslaclos AB, BC, CD, DArespectivameote,detal manera que AQ =es y BR = ro. demuestra que QRST e> pamlelogmmo. 5. Sea PQRS los vértices de un trapecio, SR e> paralelo a PQ y PS=SR, demuestra que RP biseca L P.

e

6. Demue>tra que la suma de los cuadrados de I~ diagonales de un paralelogramo, e> igual al doble producto dela suma del cuadrado de sus lados adyacentes. Esta •Jordclo no tiene ool\ldonu .. &al dolllbro por ... dom0S1racloclu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Paralelogramos especiales Se les denomina así al rectángulo, al rombo y al cuadrado, los cuales pertenecen al conjunto de los paralelogramos y se definen de la siguiente manera: Rectángulo. Bs el paralelogramo que tiene sus ángulos iguale>, también se le conoce como paralelogramo equiángulo. Rombo. Rlralelogramo que tiene sus lados iguales, también recibe el nombre de paralelogramo equilátero. MN = NO = OP = PM

Cuadrado. Se define como el paralelogramo equiángulo y equilátero, esto e>, un cuadrado es un rectángulo y a la vez UD rombo. LR=LS=L T=L U=90º; RS

= ST =TU= UR

Propiedades l. Los rectángulos tienen sus ángulos rectos. L A = LB = L C

=L D = 90º

2. Las diagonale> de un rectángulo son iguales.

3. Las diagonale> de UD rectángulo forman 2 pare> de triángulos congruentes.

66

CAPÍTULO

5

Cuodnl6teros 4. l..a5 diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí y se bisecan mutuamente, esto es, una diagonal es mediatriz de la otra.

B

AC l. BD, AE = EC, BE= ED 5. Las diagonales de un rombo son bisectrices de los ángulos formados por los \értices que unen.

A~..,,----~-----;~

L1=L~L3=L~L5=L6yL1=L8

D

6. Las diagonales de un rombo forman 4 triángulos congruentes.

t.AED st.BEC st.AEB st.CED

Los cuadrados por ser rectángulos y rombos a la vez, cumplen con las propiedades anteriores.

• • •Determina la longitud de los lados del siguiente rombo:

Solución En un rombo, los lados son iguales, entonces:

3x+4=2x+5

x=I

3x-2x=5-4

Luego, sustituyendo x = 1en cualquiera de los lacios, se obtiene: 3x + 4 = 3{1) + 4 = 7 Por tanto, los lados del rombo miden 7u.

2

• • •Encuentra la longitud del lado AD ene! siguiente rectángulo, si AC = 13, DB = 3x + 4 y AD =x + 2

Solución En todo rectángulo, las diagonales son iguales, esto es:

AC = DB

13=3x+4

9=3x

x=3

Luego, AD = x + 2, por tanto, AD = 3 + 2 = 5u.

J

• • •En el romboABCD,determinael valordeL ABC si L BAC=6xy L ll4C= 4x + 10°

Solución En el rombo, la diagonal AC biseca al ángulo BAD,esto es: L BAC= LDAC

6x=4x+ 10°

2x = 10°

D

Por otro lado, en un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales y como AC es diagonal, se deduce que L BAC = L BCA = 30°, luego, en el triángulo BAC:

L ABC + L BAC + LBCA = 180°

L ABC = 180° -(L BAC + L BCA) L ABC= 180° -60° LABC= 120°

Por tanto, el ángulo ABC mide 120°.

67

e

5

CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Propiedades de los trapecios l. En un trapecio la longitud de la línea media (paralela media) es igual a la semisuma de las bases del trapecio.

2. Las bisectrices de los ángulos adyacentes al lado lateral del trapecio son perpendiculares y el punto de intersección se encuentra en su línea media.

b' b. = l:isectriccs

PV 1-TV

Propiedades de los trapecios isósceles l. Los ángulos de la base son iguales. L D =LC 2. Sus diagonales son iguales.

DB=AC

......

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~

~ 1

••· Determina la longitud de las bases AB y DC del siguiente trapecio si E y F son puntos medios y EF mide 14 cm.

E

&!-

3x + 4

A

D

e

8x + 2

Solución En todo trapecio la longitud de la paralela media es igual a la semisuma de las bases:

EF = AB+ DC 2

Al sustituir, se tiene:

14= (3x+4)+(8x+2) 2

--+

28 =11x+6

--+

22=11x

--+

Rlr consiguiente, las longitudes de las bases son:

AB ='.h'+4=3(2) +4= 10

68

DC = 8x + 2 = 8(2) + 2 = 18

x=2

CAPÍTULO

5

Cuodnl6teros

2

• • •Determina la longitud de la diagonal AD en el siguiente trapecio, si CD IAF, By E son los puntos medios de AC y DF respectivamente.

p

y

A

Solución De la figura se tiene que BE =

Ci5 +AF , entonces: 2

x+ 1+2x+1 = IO+y

2(3x + 2) = 10 +y

2

y=fu'-6

Fn el triángulo ADF, por proporcionalidad, se establece que:

2x+l x+5 --= - y 2x+10

2x+l

-- = y 2

4x+2=y

Se sustituye y= &- 6: 4x+2=6x-6

2x= 8

x=4

Por tanto, AD = 2x + IO = 2(4) + 10= 8+ 10 = 18cm

3

• • •Determina el valor de los ángulos de la base del siguiente trapecio isósceles:

D

Solución Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales: 3x + IOº =X+ 50°

3x-x=50º-10º

2x=40º x=20º

Fn consecuencia, los ángulos de la base miden:

3(20°) + 10° = 60° + 10° = 70°

69

5

CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

.

EJERCICIO 20 Resuelve los siguíentes problemas:

1. Encuentra el valor de x en el rectángulo ABCD, si AC = 24 cm y BD = Sx + 4 2. Determina la longitud de los lados del rectánguloABCD, si AO = 2J5 y AB = 2BC

3. En el rombo MNOP, determina el valor de los lados si MN =6x + 5 y MP =1x-I 4. Determina el ángulo NPO, si L PON= 132" y NP es bisectriz del ángulo P y N

o 5. Halla el valor dex y yen el rombo PRST, si L TRP = 2x + 10°, L RTS = x + 30° y L TSR=y+ 12°

rA~ n

6. En la figura, cy_D son puntos mediosdeAE y BF. Encuentra el valor de AB. si AB =x+ 1, CD =x+2y EF = 13 cm

7. En la figura, R y O son puntos medios de MQ y NP. Determina la longitud de MN, si OS = 3x + 1, RS = 14 y QP = 9x + 1

E~F

· f fs i · R

NO

Q 8. En la figura, los lados Al y BJ están divididos en 4 partes iguales. Encuentra la 3a+b a+b longitud de AB e U,si CD= - - y EF = - -

4

9.

2

En~ figura, CJ...!J son puntos medios de AE y BF. Determina la longitud de AE, si AB =x+ 1, CP =y, PD =2y+2, EF = 11, AC = CE = x

70

p

C -~ A BD • F G

H

1

J

6

CAPÍTULO POÚGONOS

L

a palabra polígono procede del griego pofy, muchos, y gwnos, ángulos.

Una de las aplicaciones de los poJgonos es el attiguo juego llamado 111ngram chino "tt>la de la sabiduóa~, que se confonna de 7 piezas lamadas Taos y son: C> Cinco triángulos de diversos tamaños C> Un cuadrado C> Un paralelogramo romboide Cl>n ellas se pueden formar figuras cvradascomo:

Cada polígono recibe un nombre de acuerdo al número de lados que lo conforman; para saber cómo se llama un polígono de menos de cien lados se realiza la lectura del número de lados de acuerdo con la siguiente tabla. 1

20 30 40 50 60 70 80 90 100

1• · 1, 11r . ,.

l'll

teosa-

-/caí-

TriacontaTetraconta-

PentacontaHexacontaHeptaconta-

OctacontaEneacontaHecta-

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9

.r~J:T:~J-ll

-Hen1>o

"

.... -gono

-Dí-Trí-Tetra-Penta-Hexa-Hepta-Octa-

-Enea-

Se cuenta el número de lados que tiene el polígono y se pone el prefijo conveniente, como en el siguiente ejemplo, y se agrega la terminación •gano·. El polígono de de:

78

lados recibe el nombre

•Heptacontakaioctágono•

6

CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Definición Se llama polígono a aquella figura plana cerrada, delimitada por segmentos ele recta. Se clasifican de acuerdo con la

medida de sus lacios o sus ángulos.

Clasifica ción Los polígonos se clasifican ele acuerdo con sus lacios o la magnitud de sus ángulos interiores.

Por sus lados Regulares. n enen todos sus lacios iguales. Irregulares. n enen la medida de sus lacios diferentes.

Por sus ángulos C.Onvexo. Los ángulos interiores son tocios menores que 180°.

Tocios los ángulos son menores que 180º

E

B A

Cóncavo. Uno ele sus ángulos interi= es mayor que 180º.

t ,z C

B

LA> 180°

e

Por su número de lados. Los polígonos reciben un nombre según su número de lados, como se muestra a continuación:

1

. .

~

.

·h

.. ........

....

1

3

Tríángulo

12

Dodecágono

4

Cuadrilátero

13

Trídecágono

5

Pentágono

14

Tetradecágono

6

Hexágono

15

Pentadecágono

7

Heptágono

16

Hexadecágono

8

Octágono

17

Heptadecágono

9

Nonágono

18

Octadecágono

10

Decágono

19

Nonadecágono

11

Undecágono

20

lcoságono

72

CAPÍTULO Polígonos

Elementos Tocio polígono está formado por los siguientes elementos: \\?rtice. Fs el punto donde concurren 2 lados.

Ángulo interior. Fs el que se forma con 2 lados adyacentes de un polígono. Ángulo exterior. Aquel que se forma entre la prolongación de uno de los lados y su lado adyacente. Diagonal. Fs el segmento de recta que une 2 vértices no adyacentes.

Bementos: A: rertice L BAF: ángulo interior

e

F

L DEG: ángulo exterior

EB:diagonal A

B

Un polígono tiene el mismo número de lados que de ángulos interiores, así como exteriores.

Número de diagonales El número de diagonales en un polígono se obtendrá en función del número de lados.

Número de diagonales trozadas desde un mismo vértice En un polígono de n lados se pueden trazar (n - 3) diagonales desde un solo vértice, entonces la fórmula es: d=n-3

Donde:

d =diagonales trazadas desde un solo vértice.

n =número de lados.

Número de diagonales totales El número total de diagonales que se pueden trazar desde tocios los vértices está dado por la fórmula:

Donde:

D=n(n-3) 2

D =diagonales totales del polígono.

n = número de lados.

73

6

6

CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

~EMPLos~~~~~~~~~~~~--

s

i5..

1

!

• • •Calcula el número ele diagonales que se pueden trazar desde un solo vértice en un hexágono.

Solución En un hexágono n = 6, al sustituir en la fórmula se obtiene: Fórmula d= n - 3

e

F

Sustitución d=6 - 3=3

A

B

Rlr consiguiente, se pueden trazar 3 diagonales desde un solo vértice.

2

• • •Calcula el número ele diagonales totales que se pueden trazar en un octágono.

Solución En un octágono n = 8, por lo que al sustituir en la fórmula se obtiene: F

D = n(n-3) 2

donde D= 8(8-3) = 8(5) = 40 =20

2

2

2

B Rlr tanto, en un octágono se pueden trazar 20 diagonales en total.

3

• •¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar en total 65 diagonales?

Solución O: acuerdo con el problema, D = 65; entonces, al sustituir en la fórmula y resolver la ecuación, se determina que: D = n(n-3) 2

65

= n(n-3) 2

130=n2 -3n n 2 -3n-130=0 (n-13)(n+t0)=0

n - 13=0;

n+l0=0

n = 13; Fn consecuencia, el polígono es ele 13 lados, esto es, un triclecágono.

74

n = - 10

CAPÍTULO

6

Polígonos

.

EJERCICIO 21 Resuelve los siguíentes problemas:

l. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un solo vértice en un unclecágono?

2. Determina el polígono en el que se pueden trazar 17 diagonales desde un solo vértice. 3. Calcula el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice en un decágono. 4. Determina cuál es el polígono en el que se pueden trazar 9 diagonales desde un vértice. 5. ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar 6 diagonales desde un vértice? 6. Calcula el número total de diagonales que se pueden trazar en cada uno delos siguientes polígonos: a) lcoságono

d) Hexágono

b) Dodecágono

e)

e) Nonágono

f) Heptágono

g) Hexaclecágono

~ntadecágono

h) O::taclecágono i) Undecágono

7. ¿En qué polígono se pueden trazar 14 diagonales en total? 8. ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar en total 104 diagonales? 9. Determina el polígono en el cual se pueden trazar 119 diagonales en total. 10. Precisa en qué polígono se pueden trazar en total 152 diagonales. 11. ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales en total es el doble que su número de lacios? 12. ¿En qué polígono el número de lacios es la cuarta parte de su número de diagonales en total ? 13. Determina el polígono en el cual el número de lacios equivale al número de diagonales en total.

~ del número de diagonales en total. Determina el polígono en que el número de diagonales en total son los ~ del número de lacios.

14. Precisa el polígono cuyo número de lacios es 15.

16. Encuentra el polígono cuyo número de diagonales en total, equivale al número de lacios del polígono en el que se pueden trazar 170 diagonales. 17. ¿En cuál polígono el número de diagonales trazadas desde un vértice es

R+ r

Circunferencia interior. Fs aquella en la cual tocios sus puntos son interiores a otra circunferencia. d) que tienen una recta en común (arista). A

AB: Arista D

CW, DAB: Caras

dosificación Un diedro es agudo, recto, obtuso o llano, según la medida del ángulo rectilíneo correspondiente. Diedro llano. Se forma por dos semiplanos opuestos.

i

z

B

Diedro cóncavo. Fs aquel cuya medida es mayor que un diedro llano.

B

Diedro convexo. Su medida es menor que un diedro llano.

Diedros adyacentes. Son aquellos cuya suma es igual a un diedro llano.

Rectilíneo correspondiente a un diedro. Es el ángulo plano 8 formado por lacios perpendiculares a la arista sobre las caras y es igual al ángulo diedro. Se traza un plano perpendicular a la arista del diedro y se obtiene en la intersección el rectilíneo correspondiente.

Ángulo triedro Fs el espacio que comprenden tres planos, los cuales se cortan dos a dos y tienen un punto en comón. A

V.·

~rtice

AV, CVy BV: Arista AVC, AVB y BVC: Caras

e

B

132

7

CAPÍTULO 10 Cuerpos geométricos, óreos y volúmenes

Clasificación 1Hedros escalenos. Si las caras son desiguales.

E

e D

1Hedros isósceles. Si dos caras son igualei> y una desigual. ABC=ACD °*ABD

e B

D

A

1iiedros equiláteros. Si las caras son iguales. ADB = BDC = CDA A

e

B

'friedros trirrectángulos. Si sus diedros y caras son rectos. ADB .L ADC, BDA .L BDC, BDC .L CDA LADB = L BDC= L CDA =90º A

e

B

133

1O CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Ángulo pol iedro Fs el ángulo que fonnan tres o más planos que concurren en un punto llamado vértice del poliedro. De acuerdo con el número de caras, recibe el nombre de triedro, tetraedro, pentaedro, etcétera. A

A: Vértice del poliedro AD , AC, AB y AE: Aristas AED,ADC, ACB, ABE: Caras

dosificación Ángulo poliedro regular. Si todos los diedros y todas la; caras son iguales entre sf. LBAC= L CAD = L DA E= L EAF= L FAB A

D

Ángulo poliedro cóncavo. Si al cortar sus caras con un plano determina un polígono cóncavo. En el cuadrilátero BEDC: L B, L E, L D y L C son menores que 180º A

Ángulo poliedro convexo. Si al cortar sus caras mediante un plano determina un polígono convexo. En el polígono BCDEF: L E es mayor que 180° A

D

134

CAPÍTULO 10 Cuerpos geométricos, óreos y volúmenes

Poliedro Fs un cuerpo geométrico al que limitan polígonos.

Elementos Cara. Cada uno de los polígonos que lo limitan. El cuadrado ABCD es una cara del poliedro.

Arista. Las intersecciones de las caras del poliedro. FJ segmento AE es una arista.

Wrtice. Los puntos donde concurren las aristas de un poliedro. El punto D es un vértice.

Ángulo diedro. Se forman con las caras que tienen un arista en común. Lo forman las caras ADHE y CDHG.

Ángulo poliedro. Se forman por tres o más caras que tienen un vértice en común. Lo forman las caras AD HE, CDHG y ABCD.

Diagonal. Recta que une dos vértices que no pertenecen a una misma cara. La recta

BH es una diagonal del poliedro.

Superficie. Fs el conjunto de todas las caras y se le denomina área del poliedro, ésta se obtiene mediante la suma de las áreas de las caras. Volumen. Fs la región de espacio que limita el área del poliedro.

Clasificación Poliedros cóncavos. Si una recta cualquiera cruza en dos puntos a sus caras. G y F son los puntos de cruce. A

135

1OCAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Poliedros convexos. Si existe una recta que cruce en más de dos puntos a sus caras. K, L, M y N son los puntos de cruce.

A

Poliedros regulares Son aquellos limitados por polígonos regulares iguales, sus ángulos poliedros son iguales y sus ángulos diedros iguales.

dosificación Tutraedro. Sus caras son cuatro triángulos equiláteros.

Dodecaedro. Sus caras son doce pentágonos regulares.

Hexaedro o cubo. Sus caras son seis cuadrados.

Icosaedro. Sus caras son veinte triángulos equiláteros.

Octaedro. Sus ~ son ocho triángulos equiláteros.

136

CAPÍTULO 10 Cuerpos geométricos, óreos y volúmenes

Desarrollo & la representación en un plano de los poliedros, en la cual se tienen sus caras unidas por las aristas.

Tutraedro

Hexaedro o cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

Área y volumen de un poliedro regular 'Thtraedro. & el poliedro que forman cuatro caras triangulares iguales.

e e

Ána total: cuatro veces el área de una de sus caras. Volumen: un tercio del área de una de las caras por la altura del cuerpo. Área total en función de L Ar= J3L2

Volumen total en función de L

Donde,

Vr= ..fj,Vh= J2L, 12 12 L= Longitud de la cara h = Altura del cuerpo

L

137

1O CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Hexaedro o cubo. es el poliedro que forman seis caras cuadradas iguales.

e e

Área total: reís veces el área de una de sus caras. Volumen: cubo de su arista (se le denomina arista a la longitud de uno de los lados de una de la> caras). Área total Ar=6L2 L

1 1 1

/

,,

/

~lumen

total

Vt= L3

>---

/

Donde, L = Longitud de la cara L

Octaedro. es el poliedro que forman ocho caras triangulares iguales.

e e

Área total: ocho veces el área de una de sus caras. Volumen: un tercio del cuadrado de la arista por la altura total del cuerpo. Área total en función de L

1 l

Ar=2.f3L' ~lumen

h

total en función de L

1, ,/2, Vt= -Ch= - L 3 3

Donde,

L = Longitud de la cara h Altura total del cuerpo

=

Dodecaedro. es el poliedro que forman 12caras pentagonales iguales.

e

Área total: d:>ce veces el área de una de las caras. Área total en función de L

Ar= 3J25+10../5 · L2 ~lumen

total en función de L

Vt=

( 15+ 1../5)

Donde,

4

/J

L = Longitud de la cara

Icosaedro. es el poliedro que forman 20 caras triangulares iguales.

e

Área total: 'l:inte veces el área de una de las caras. Área total en función de L

Ar= ~lumen

total en función de L

Vt=

(15+5../5) ' L 12

Donde, L

138

5../3· /3

=Longitud de la cara

CAPÍTULO 10 Cuerpos geométricos, óreos y volúmenes ~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~-.

~ 1 ••· Determina el área total y el volumen ele un tetraedro con arista de 3 cm. E

Solución

L!-

Fn este caso L = 3 cm y al sustituir en las fórmulas ele área total y volumen se obtiene:

Área total=

../3!3 = ../3(3 cm )2 = 9../3 cm2

J2L'= -(3cm) J2 3 J2 ) = --cm 9J2 3 Volumen= = -(27cm' 12 12 12 4 2

•••Si el volumen de un hexaedro es ele 128 cm', determina la arista y su área total.

Solución El volumen ele un hexaedro se define como: V= L3 , al sustituir Vy despejar L,se obtiene:

(128 cm') = L3 Entonces, la arista del hexaedro es

L= .J128cm' =

4Jí cm

4J2 cm y el área total es: A =6L2 =6( 4J2 cm)2 =6(32 cm2)= 192cm2

Por tanto, el área total es 192 cm2.

3 ••· FJ área total ele un octaedro es 54 ../3 cm2. Determina su volumen. Solución FJ área total de un octaedro se define como: A = 2../3 L2 , al sustituir en A y despejar Lse tiene:

54 ../3

cm2 = 2 ../3

L2

luego, el volumen se define como: V=

L=

~

L3 , sustituyendo L=

54../3 cm 2 ~ ~ r;; r;; = ,¡27 cm = .>V3 cm 2v3

3../3 cm ,se obtiene:

Por tanto, el volumen del octaedro es: 27../6 cm'.

4

•••Determina la altura de un tetraedro de arista

J2 cm si su volumen es ~ cm 3•

Solución

../3

El volumen ele un tetraedro en términos de la arista y la altura es: V=

entonces:

r

1~ L h, sustituyendo V y L, se despeja h, 2

h= 12V = 12Gcm') = 4cm' = 4J6 cm= 2J6 cm fj¡] ../3( J2 cm J6 cm' 6 3

Por consiguiente, la altura del tetraedro es:

2

~ cm. 139

1O CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

EJE~CICIO

33

Determina el área total y el volumen de los siguientes poliedros regulares:

1. Tetraedro de arista 2 cm

6. Octaedro de arista ../3 cm

2. Tetraedro de arista J3 cm

1. Dodecaedro de arista 2

3. Hexaedro de arista 2../3 cm

8. Dodecaedro de arista 2 cm

4. Cubo de arista

~

dm

J5 cm

9. Icosaedro de arista ../3 cm

5. Octaedro de arista 6 cm

10. Icosaedro de arista 5

.J2 dm

Resuelve los siguientes problemas:

11. Determina el área total ele un tetraedro, si su altura es

.J6 cm y su volumen es ~Ji cm3

12. Determina el volumen de un tetraedro si su área total es 27 J3 cm2 13. Encuentra la altura de un tetraedro si su volumen es

!

3

cm3

14. Encuentra el volumen de uncubosisuárea totales 12cm2 15. Si el volumen de un cubo es 2 m3, determina su arista y área total. 16. Determina la altura ye! área total de un octaedro de volumen 72 Ji cm3 17. La altura de un octaedro es de 2 cm ysu área total es 4J3 cm2 ,encuentra su volumen. 18. Si la altura de un octaedro es de 6 cm determina su volumen. 19. Si el área total de un icosaedro es 10 ../3 cm2,encuentra su volumen. 20. Determina el volumen de un icosaedro de lacio Len términos del área total.

e

\flrlfk• tus nsultaclos •n 1.e sección de soluciones contisponclent• • • . • . • . . . . . . . • • . •• • ••

Prisma Fs un poliedro en que dos de sus caras son polígonos iguales situados en planos paralelos; las caras restantes son paralelogramos.

dosificación Rectos. Si las caras laterales son perpendiculares alas bases.

~

Oblicuos. Si las caras laterales no son perpen-diculares alas bases.

acuerdo con sus bases, los prismas se clasifican también de acuerdo con el polígono que tienen como base. Prisma rectangular. Sus bases son rectángulos.

Prisma triangular. Sus bases son triángulos.

......

-- --- --1.40

CAPÍTULO 10 Cuerpos geométricos, óreos y volúmenes

Prisma cuadrangular. Sus ba5es son cuadrados.

Prisma pentagonal. Sus bases son pentágonos.

'

: '' ''

/

- ~'---- -- ---

Paralelepípedo Son prisma5 cuya ba5e es un paralelogramo y sus caras opuestas son para!~. también se les conoce como ortoeclros.

A

B

:'.......

º -~~~;; ·""~...-:........

~·

G

........,~.

E

Características principales l. Las cuatro diagonales de un paralelepípedo son iguales. AF = BE =CH =DG

2. Las diagonales de un paralelepípedo se cortan en su punto medio. Oes el punto medio de AF,BE,CHyDG

3. El punto de intersección de las diagonales de un paralelepípedo es el centro del mismo. O es el centro del paralelepípedo

4. La longitud de una diagonal es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las aristas que concurren en un vértice.

EJEMPLos.~~~~~~~~~~~~~_,..

S 1 o.

[

• • •Determina la longitud de la diagonal de un paralelepípedo si su ancho mide 3 cm, el largo 4 cm y el alto 2 cm.

w

'

' ,;;L------- - -- -,/

Solución

4 cm

Sea d la diagonal del paralelepípedo, entonces: d= J 2 2 +32 +42 = ,/4 +9+16 = fi9cm

141

1O CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Área y volumen

e e e

Área lateral de un prisma: producto del perímetro de la base y la altura. Área total: suma del área lateral y el área de las dos ba.5es. Volumen de un prisma: producto del área de la base y la altura del prisma.

Prisma rectangular

Prisma triangular

a

b

L

Área lateral

Área lateral

AL=2(a+b)h

AL=Ph

Área total

Área total

h

Ar=2(a + b)h + 2ab

h

Ar= Ph +2As

Volumen total

Volumen total

Vr= abh

Vr=Ash

Prisma cuadrangular (cubo) L

...

/""- - - - - - : :

L

Prisma cuya ba5e es un polígono den lados

AL=4L2

AL=Ph

L Área total

,.

.....

Área lateral

L

Área lateral

Área total

h

Ar=6L2

Ar= Ph +2As

Volumen total

Volumen total

Vr=L3

Vr= A,ji

EJEMPLos~~~~~~~~~~~~~-...

a .i

D.

1 • ••~termina el área lateral, área total y volumen de un prisma triangular de 2 cm de lado con altura de 4 cm. Solución Fl área lateral de un prisma triangular se define: AL= Ph, se determina el perímetro de la base, P = 3{2 cm) = 6 cm, entonces AL= (3)(2 cm)(4 cm) = 24 cm2 FJ área total de un prisma triangular se define: Ar= Ph + 2As• por lo que se obtiene el área de la base triangular meciante la fórmula de Herón de Alejandrfa: As= Js(s-a)(s - b)(s - c) = J3(3-2)(3-2)(3-2) =

J3

cm2

Luego el área total es: Ar= Ph +As= 24 cm2 + f3 cm2 = (24 + f3)cm 2

El volumen del prisma triangular se define Vr= Ash, entonces: Vr=Ash = ( ,J3 cm2 )(4 cm) = 4 ,J3 cm3

2

25 • • •Determina el volumen de un prisma cuya ba.5e es un triángulo rectángulo isósceles de área cm2 , si el área lateral del 2 pismaes (80+4oJ2)cm2.

Solución Fl área de la base es un triángulo rectángulo isósceles, entonces:

1 A= 1.bh

~

25

2

cm 2 =

1

2(x)(x) 1.42

~

x2 = 25 cm2

~

x=5cm

CAPÍTULO 10 Cuerpos geométricos, óreos y volúmenes

luego, la hipotenusa (d) del triángulo es:

férico y el volumen dela cuña son: Slir m2 y

2

3

2

243 ir

2

m3 rei>pectivamente.

••·Determina el área del casquete ei>férico cuya ~e dista 2 cm del centro, si el radio de la ~eei> fiicm.

Solución FJ área de un casquete ei>férico se obtiene mediante la siguiente fórmula: A=2ir m

d! los cuales se desconocer y h, de la figura se tiene que:

r = ~(2cm)2 +( J2t cm)' = J4cm2 +21 cm 2 = J25 cm2 = 5 cm luego, la altura del casquete es: h = r-2cm= 5 cm-2cm = 3 cm al sustituir r = 5 cm y h = 3 cm en A = 2ir rh, se obtiene:

A= 2ir(5 cmX3 cm)= 30ir cm2 Por consiguiente, el área del casquete ei>férico es 30ir cm2•

153

1O CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

4

• • •Una esfera de 1Ocm de radio se corta mediante dos planos paralelos a una distancia de un mismo lacio del centro de 2 cm y 6 cm respectivamente, determina el volumen del segmento e>férico.

Solución Para determinar el segmento e>férico, primero se encuentran los volúmeoe> de los casquetes e>féricos, como lo mue>tra la figura: V= \ólumen del segmemo esférico

V1

=\blumendel primercasquete

V2

=\blumen del segundo casquete

. . • . • • . . . . . "R; ' ..•.. 'r=lOan

·

Eola figura,R 1 = Jl00-36 R 1 =8cm V1 =

2

1

2

2

3 irr2h-3 irR2fera con radio de 4 cm. 2. Encuentra el volumen de una esfera cuyo diámetro mide 6J5 cm. 3. El radio de una e>fera es de 3 cm, determina el volumen de un sector e>férico cuyo casquete e>férico tiene una altura

de 1 cm. 4. Determina el volumen de un sector esférico si la base de su casquete esférico se encuentra a 4 cm del centro de la e>fera cuyo radio es de 9 cm. 5. El radio de una estera mide IO cm, ¿cuál es el área del casquete esférico cuya base se encuentra a 7 cm del centro de la estera? 6. ¿Cuál es el área de un casquete e>férico cuya base dista del centro de una e>fera 2 cm y su radio mide 2 ../15 cm? 7. ¿Cuál e> el volumen de un segmento e>férico cuya base tiene una altura de 2 cm y el diámetro de la e>fera mide 6 cm? 8. Encuentra el volumen de un segmento e>férico si su base tiene un radio de 4 cm y el radio de la e>fera mide 5 cm. 9. Una e>fera con un radio de 12 cm se corta mediante dos planos paralelos a una distancia de un mismo lacio del centro de 4 cm y 7 cm respectivamente, determina el área de la zona esférica y el volumen de la rebanada esférica. IO. Una esfera con un radio de 1 cm se corta mediante dos planos paralelos, uno a cada lado del centro a una distancia de

.!. cm y .!. cm respectivamente, determina el área de la zona e>férica y el volumen de la rebanada esférica. 2

3

154

CAPÍTULO 10 Cuerpos geométricos, óreos y volúmenes

11. Encuentra el área del huso esférico si el ángulo que forman sus planos es de ©' y el radio de la esfera miele 10 cm. 12. El área de un huso esférico es

16

3

n, si el radio de la esfera mide 2 cm, ¿qué ángulo forma el huso esférico?

13. Calcula el volumen de una cuña esférica si el ángulo que forman sus planos es de 30" si el área de la esfera es 36n cm2 •

14. Dos planos que concurren en un diámetro forman una cuña esférica de volumen 2ncm3 y un buso esférico de área 2 3n cm2, encuentra el radio, área y volumen de la esfera.

e

Verlft:a tu1 ,.ouftaclos en la Hccl6n de solucloaH comollpOndlente a

155

------------=----

CAPÍTULO

11

FUNCIONES lRIGONOMÉlRICAS

R

ama de las matemáticas que estudia las rela· óanes entre los ángulos y lados en cualquier lriángulo.

Hiparco de Nicea (190-120 a. C.)

Hiparco

Desde hace más de 3000 años los babilonios y los egipcios fueron los primeros en utilizar los ángulos y las razones trigonométricas para efec· luar medidas en la agricultura, así como para la construcción de pirámides.

de Nicea

Astrónomo, matemático y geógrafo griego nacido en N icea . Uno de los principales desarrolladores de la trigonometría (plana y esférica), construyó tablas que relacionaban los ángulos ce ntrales con las cuerdas delimitadas por su ángulo central correspondiente. Gracias a esta tabla, equiva lente a una tabla de senos actual, logró relacionar los lados y ángulos en cualquier triángulo plano. Los triángulos esféñcos se forman en la superficie de una esfera y son objeto de estudio de la trigonometría esférica, la cual se aplica en la náutica y navegación.

11 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Funciones trigonométricas A las razones que existen entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo se les llama funciones o razones trigonométricas.

Definiciones Seno de UD ángulo. Fs la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Coseno de UD ángulo. Fs la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Tungente de un ángulo. Fs la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Cotangente de UD ángulo. Fs la razón entre el cateto adyacente y el opuesto.

Secante de UD ángulo. Fs la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente. Cosecante de UD ángulo. Fs la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto. Nota: los catetos se nombran según el ángulo agudo que se utilice.

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-.

S a..

1 • ••Fn el siguiente triángulo determina los catetos opuesto y adyacente para cada uno de los ángulos agudos.

!

a

b

Solución Para el ángulo a: cateto opuesto= a cateto adyacente = b hipotenusa =e

Pam el ángulo {J: cateto opuesto = b cateto adyacente =a hipotenusa = e

FJ cateto que es opuesto para uno de los ángulos será el adyacente para el otro, siendo la hipotenusa el lado que no

presenta variante.

2 • •• Obtén las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del siguiente triángulo rectángulo:

a

158

CAPÍTULO 11 Funciones trigonométricos

Solución F.o el triángulo la hipotenusa es e y los catetos son a y b, entonces las funciones para los ángulos agudos a y p son:

Funciones de a:

a sena = e b

[

cosa = e a rana= b b

ctga = a e seca= b

e esca = a

w

Funciones de {J: b

~

sen f3 =e a cos f3 = e b

~

~

ran{J = a a erg f3 = b

J

e sec f3 = a e ese f3 = b

funciones trigonométricas de un ángulo agudo guardan ciertas relaciones entre sí:

Función directa

Función recíproca

seno

(sen)

'"(f------)"'

cosecante

(ese)

coseno

(cos)

, mediante las definiciones:

sena=cos (90° -a) =cos P cosa =sen (90° -a) =sen P tan a =ctg (90° -a) =erg p ctg a= tan (90° -a) =tan p seca =ese (90° - a) =ese P ese a =sec (90° - a) =sec P

159

11 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Ejemplos [8clas las

funciones trigonométrica5, se determinan sus respectivas cofunciones:

sen 32° =eos (90° - 32°) =eos 58° tan 25º = etg (90º - 25º) =erg 65º

see ¡1': =ese

(1':2-¡ 1':) =ese¡ 1':

Rango numérico Dacio que la hipotenusa ele un triángulo rectángulo siempre es mayor que cualquiera de los dos catetos, los valores del seno y el coseno ele un ángulo agudo no pueden ser mayores que +1, ni menores que -1, mientras que los valores de las funciones cosecante y secante, al ser recíprocas del seno y coseno, no pueden estar entre -1 y+ I; los catetos de un triángulo rectángulo pueden guardar entre sí cualquier proporción, por tanto, los valores de la tangente y la cotangente varían sobre todo el conjunto de números reales.

Valor Dada una función trigonométrica de un ángulo agudo se pueden determinar las demás funciones a partir de la construcción de un triángulo rectángulo y el empleo del teorema de Pitágoras como a continuación se ilustra.

EJEMPLOS

..§D. 1

!

3 4

• • •Si Bes agudo, y eos 8 = - . calcula los valores de las funciones trigonométrica5 para 8.

Solución Se construye un triángulo rectángulo, donde 8 es uno de los ángulos agudos, la hipotenusa es 4 y el cateto adyacente es 3. Se aplica el teorema de Pitágoras para encontrar el valor del lacio restante:

(4)2 = (x)2 + (3)2

16=x2+9 16-9 =x2 7 =x2

J7 = x R>r tanto, las funciones trigonométricas del ángulo agudo 8 son:

.J7

sen8= -

4

.J7

tan8= -

3

etg8=

3.fi "'J37 = -:¡-

ese 8 =

4 3

see8= -

160

4

"'J7

4.fi

=- 7

CAPÍTULO 11 Funciones trigonométricos

2

•••Si Bes agudo y tan B =.!.,calcula los valores de seno y coseno del ángulo B. 2

Solución Se construye un triángulo rectángulo, donde Bes uno de los ángulos agudos, el cateto opuesto es 1 y el cateto adyarente es 2. Se aplica el teorema de Pitágoras para encontrar el valor del la~ restante:

(.>')2= (1)2+ (2)2 x2=1+4

x2=5 x=

.J5

n... • • 1 = -.J5 y cos B = 2r. = -2.JS cvr coos1gwente, sen B = r. -v5 5 -v5 5

.

2

EJERCICIO 37 1. Obtén el valor de

~

funciones trigonométricas de los ángulos agudos, en los siguientes triángulos:

a)

X

b)

d)

N

N

7 2. Obtén el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos en los siguientes triángulos rectángulos: a) Si B y a son los ángulos agudos y cos B =

~

d) Si By a son los ángulos agudos y sec B = 2 .J3

b) Si L A y LB son complementarios y tan B =

~

3

e) Si L M y L N son complementarios y t::fC N = 2

e

e) Si a+ f3 = 90º y erg a=

f) sen A =

4

Jí5 5

:¡;; y L Bes complemento de L

Verift:• tui resultados •n la secc&6n de soludoa•• COl'1'9spondient• . - -- -- - -- - - -

161

A

11 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Signos de las funciones trigonométricas en el plano cartesiano Si un triángulo rectángulo se ubica en el plano cartesiano, de manera que uno de sus catetos coincida con el eje horizontal, funciones trigonométriCa5 tendrán un signo dependiendo del cuadrante sobre el cual se encuentre dicho triángulo.

m

11

+ X

m

N

bbla de signos

.. - .

-

1

.

.

Seno

+

+

Coseno

+

Tangente

+

Cotangente

+

Secante

+

-

Cosecante

+

+

.

..

-

.

.

+ +

-

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-­

_..~Q. E

i!-

1

• ••Sea el punto A(-3, 4), determina ~ funciones trigonométrica5 del ángulo agudo a= LX O A. Solución R>r el teorema de Pitágoras: (OA)'

y

=(-3)2 + (4)2

(oA)'=9+16 OA =

..fil

=5

X Por tanto, las funciones trigonométricas del ángulo a, son:

4 sena= -

5

4 tona= -3

3 4

ctga= --

162

5 3

seca= - esca=

¡5

•1

+ + -

CAPÍTULO 11 Funciones trigonométricos

2

•••Calcula las funciones trigonométricas para el ángulo {3, si se sabe que tan f3 = 4 y 180° s f3 s 270°.

Solución FJ ángulo se define en el tercer cuadrante y la función tangente es positiva, por tanto, tan f3 =

se ubican en el plano cartesiano. RJr el teorema de Pitágoras: (h)2

~ = -4 , estos valores 1

-1

y

=(-4)2 + (-1)2

Jí2 = 16 + 1 h

= .fi7

X

Entonces, las funciones trigonométricas del ángulo f3 son:

sen/3= - -

4

.fi7

1 =-Ji? = .fi7 17

cos /3

.fi7

tan {3=4

csc{J= - -

1 erg {3= 4

4

sec f3 = -.fi7

3 ••· Encuentra las funciones trigonométricas del ángulo agudo 8 que forman el punto P(2, -S) y el eje horizontal. Solución Por el teorema de Pitágoras: 2

0P

=(2)2 +(-5)2

X

OP= ..J4+25 OP=

Ji9

Las funciones trigonométricas son: 5 5..fi.9 5 ../29 sen 8 = - - = - - - tan8 = -- sec8 = -

.fi9

29

2

2.fi.9

..fi.9

29

cos8= - = - -

2

2 ctg 8=--

5

163

2

..fi.9

csc8 = - -

5

P(2, -S)

11 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

EJ E~C ICIO

38

1. Calcula las funciones trigonométricas del ángulo agudo a=< XOM que forman el punto M( 12, -5) y el eje horiwntal. 2. Encuentra las funciones trigonométrica; del ángulo agudo a= YON que forman el punto N(- 4, -7) y el eje vertical. 3. Determina las funciones trigonométrica; del ángulo agudo f3 = XOA que forman el punto A(2, 3) y el eje horizontal. 4. Calcula las funciones trigonométricas del ángulo agudo horizontal.

(J)

=

XOB f3 :!> ir

2

11. Si sen a > O, tan a < O y seca = -2, calcula las funciones trigonométricas del ángulo a 12. Si sec a >O, erg a< O y eos a=

.!. , calcula las funciones trigonométricas del ángulo a 2

Funciones trigonométricas para ángulos mayores que 90º lbdo ángulo mayor que90º , se puede expresar en la forma (n ·900± a) o bienG ·~±a). donde nes un entero positivo y aes un ángulo cualquiera, la función de dicho ángulo será equivalente a: i) La misma función de a sin es un número par. ii) La cofunción correspondiente de a si n es un número impar.

&to con el fin de expresar la función trigonométrica de dicho ángulo en una expresión equivalente, pero con un ángulo agudo, conservando el signo correspondiente a la función dada, segón el cuadrante donde se encuentre el lado terminal.

EJEMPLos~~~~~~~~~~~~~-­

"' o l D.

E

• • •F.xpresacomo función de un ángulo agudo tan 140°.

Solución Fl ángulo se sitúa en el segundo cuadrante, donde la función tangente es negativa, entonces:

tan 140° =tan (2 · 90º -40°) =-tan 40° Ahora bien, tan 140° se puede expresar también como tan (1 · 90º + 50°), n = !, por tanto se utiliza cotangente, la cual es cofunción de la tangente, entonces:

tan 140° =tan (I · 90º + 50°) =- erg 50°

164

CAPÍTULO 11 Funciones trigonométricos

2 • •• Expresa como función de un ángulo agudo sen !.! ir. 9

Solución FJ ángulo está en el tercer cuadrante, donde la función seno es negativa, entonces:

sen sen

!.!ir 9

!.!ir =sen(2.!:.+3.ir) =-sen 3.ir 9

2

se puede representar también como sen(3·

d:cir, se expresa en términos del coseno.

sen

3

9

9

!:-~ir). n = 3 por tanto se utiliza la cofunción del seno, es 2 18

11 (ir5) 5 9 ir =sen 3· 2 -¡gir =-cos 18 ir

• • •Expresa como función de un ángulo agudo sec 350° 15' 28".

Solución FJ ángulo está situado en el cuarto cuadrante donde la función secante es positiva, entonoes:

sec 350° 15' 28" = sec (4

· 90° - 9° 44' 32") = sec 9º 44' 32"

O en términos de cosecante:

sec 350º 15' 28" = sec (3 · 90º + 80º 15' 28") = ese 80º 15' 28"

4

• • · Expresa como función de un ángulo agudo cos 1 000º.

Solución Cuando el ángulo es mayor que 360°, debe dividirse entre esta cantidad para obtener el número de giros o vueltas que da el lado terminal y el residuo es el ángulo que debe expresaise en función de un ángulo agudo.

¿---

giros o vueltas

2

360°

11 000º 280°

~ Ángulo equivalente

FJ ángulo equivalente a 1 000° es 280°, situado en el cuarto cuadrante donde la función coseno es positiva, entonces: CQS

1 000º = CQS 280° = CQS (4 · 90° - 80º) = COS 80º

O bien, en términos de la función seno,

cos 1 000º = cos 280° = cos (3 · 90º + 10°) =sen 1Oº

5

• • •Expresa como función de un ángulo agudo sen 6 290º.

Solución Se obtiene el ángulo equivalente, que sea menor que 360°,

17

360º 16290° 170° FJ ángulo equivalente es 170º, el cual se sit1Í11 en el segundo cuadrante donde la función seno es positiva, entonces,

sen 6 290º =sen 170º =sen (2 · 90º -

10º) = sen 10º

O bien, en términos de coseno,

sen 6 290º =sen 170° =sen (1

165

· 90º + 80°) = cos 80°

11 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

6

• • · Expresa como función de un ángulo agudo tan (-65°).

Solución Se traza el ángulo negativo, el cual girará en sentido horario y será equivalente a un ángulo de 295°, que se sitúa en el cuarto cuadrante, donde la función tangente es negativa.

Rlr consiguiente:

tan (-65°) =tan 295º =tan (4 · 90º -65º) =-tan 65° O bien, en términos de cotangente:

tan (-65°) =tan 295º =tan (3 · 90º + 25°) = -ctg 25°

7

• • • Expresa como función de un ángulo agudo sen (-

~~ n)

Solución Se traza el ángulo negativo, el cual se encuentra en el tercer cuadrante donde la función seno es negativa.

37

-n 36

Por tanto,

sen (- 35 n) =sen 37 TC =sen (1 · ~ + 36 36 2 36

!:..) = -sen!:._ 36

O bien, en términos de coseno:

sen (- 35 36

n) =sen

37 n 36

=sen(3·!E.-.!2.n) =-cos.!2.n 2 36 36

Funciones trigonométricas de óngulos negativos Los ángulos negativos giran en sentido horario y las funciones trigonométricas de ángulos negativos, se expresan en términos de funciones trigonométricas de ángulos positivos.

166

CAPÍTULO 11 Funciones trigonométricos Fn el triángulo !J. AOB, ubicado en el primer cuadrante: AB sen8= =

sec8= =

BO

BO AO

eos8= =

ctg8=

BO =

ese8=

AB

AO = AB

o

Fn el triángulo !J. AOB, ubicado en el cuarto cuadrante: AB sen(- 8) = - -

AO

eos(- 8) =

~ AO

AB tan(- 8)= - -

BO

erg (- 8)

=- .!.!! AB

Por consiguiente: sen (-8) = -sen 8 eos (-8)

A

AO BO

AB tan8= =

AO

y

=cos 8

AO BO

see(- 8)= -

ese(-8)= - ~

A

AB

tan (-8) = -tan 8 erg (-8) = -erg 8

see (-8) =see 8 ese (-8) =-ere 8

EJEMPLOS,------------~

1

E .l. w

• • •Expresa sen (-30°) en términos de un ángulo positivo.

Solución Al aplicar sen (-8) =-sen 8,se obtiene:

2

sen (-30º) =-sen 30º • • •Expresa tan (-120°) en términos de un ángulo positivo y agudo.

Solución Se aplica tan (-8) = -tan 8 y se obtiene: tan (-120º)= -tan 120º

y al reducir a un ángulo agudo, tan (-120") =-tan 120º = -tan (2 · 90º -60°) =-(-tan 60°) =tan 60°

Valores numéricos de las funciones trigonométricas circulares Los valores de las funciones trigonométricas guardan una estrecha relación con el círculo unitario y se pueden calcular por medio de la medición de algunos segmentos de éste, el uso de tablas matemáticas o con el empleo de una calculadora.

y

M R

167

X

11 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Si se consideran las distancias OR = ON = OV = 1, entonces para calcular el valor ele las funciones trigonométricas del ángulo a, se emplean las definiciones ele las mismas y representan la longitud de los segmentos:

sen a=

careto opuesto MN MN . == = = MN hiporermsa ON 1

cosa=

caretoadyacente OM OM . = == OM luporenusa ON 1

rana=

careto opuesto SR SR ===-=SR careto adyacente OR 1 c01eto adyacente

VT

Clg a= COJetO opuesto = OV

VT

-

= - 1- = Vf

seca=

hiporeruisa OS = = careto adyacente OR

= OS -1

-

ese a=

hiporeruisa OT OT - carero opuesto ov = - 1 = OT

= OS

~EMPLOS--------------.

8 1 a.. E

i!-

• • • Calcula el valor ele las funciones trigonométricas del ángulo 32º 10'.

Solución Si se emplea el círculo unitario para calcular las funciones, donde a= 32° 10', entonces:

y

X

Se consideran los segmentos OR

= ON = OV = 1, entonces:

sen 32º 10' = MN = 0.5324

ese 32º 10' = OT = 1.8783

COS 32° 10'

= OM = 0.8465

sec 32º 10' = OS

= 1.1813

tan 32° 10'

= SR

erg 32º 10'

= VT

= 1.5900

= 0.6289

168

CAPÍTULO

11

Funciones trigonométricos

Si se emplean las tablas matemáticas (incluidas al final del texto) para calcular el valor de las funciones trigonométricas de 32° 10', entonces, se procede de la siguiente forma: Grados 0'00'

1

Radianes .0000

Sen .0000

Ten .0000

'"

.52QQ

.!5324

1.6003 1.5900 1.5798 1.5697 1.5597 1.5497

Cos 1.0000

1.5708

90' 00'

.8480 .8450 .8434 .8418 .8403

1.0123 1.0094 1.0065 1.0036 1.0007 .9977

58' 00' 50' 40' 30' 20' 10'

32' 00' 10' 20' 30' 40' 50'

.5585 .5614 .5643

.Sl48

.5701 .5730

.5373 .5398 .5422

.6249 .6289 .6330 .6371 .6412 .6453

33' 00'

.5760

.5446

.6494

1.5399

.9387

.9948

57' 00'

45' 00'

.7854

.7071

1.0000

Cos

Cta

1.0000 Ten

.7071 Sen

.7854 Radianes

45' 00' Grados

.sen

.8465

r

El renglón superior corresponde a la columna izquierda cuyos valores van desde 0° 00' a 45° 00' y el renglón inferior va desde 45° 00' a 90º 00'. El valor desen 32° 10' se busca en la columna izquierda de arriba hacia abajo y además se observa que es el mismo valor que el de cos 57º 50', buscado en la columna derecha de abajo hacia arriba, esto es porque son cofunciones. Si se busca el valor de lm funciones trigonométricas empleando una calculadora, el procedimiento es el siguiente: a) Verificar si la calculadora es de renglón simple o es más sofisticada y cuenta con doble renglón. Esto es porque se teclea de forma diferente; en la explicación que a continuación se presenta se considera que el estudiante empleará una máquina de doble renglón. b) Es necesario definir en qué medidas angulares se desea trabajar (grados o radianes). e) Considerar que el idioma que regularmente emplean los fubricantes en los menús y teclados es el inglés, es por ello que el ejemplo así lo considera. d) Para encontrar las funciones cosecante, secante y cotangente, es necesario encontrar primero sus respectivas funciones recíprocas, ya que las calculadoras no cuentan con estas funciones de manera directa, y después dividir la unidad entre dicho resultado.

Lla cual indica que la medida angular está en grados sexagesimales. Si se busca el sen 32° 10', entonces: Se digita ~después, el valor de los grados 32 a continuación la tecla ~enseguida 10 y por último la tecla ~ Para que el resultado aparezca en la pantalla es necesario digitar la tecla~ y el resultado desplegado en la pantalla de la calculadora es 0.53238389. Si la función buscada es sec 32° 10', ésta no puede ser calculada de forma directa, por lo que es necesario encontrar su función rec~ Además, ahora vamos a usar la medida angular en radianes, por tanto: Se digita ~y se elige la opción 1 Rad I , la cual indica que la medida angular empleada está en radianes, 32° 10'=0.5614rad. Se comienza digitando un paréntesis en seguida la función recíproca de la secante, la cual es el coseno ~de0.5614, después se cierra el paréntesis [ I ) y por último la tecla~ la cual es la función recíproca. Para que aparezca el resultado se teclea~ y se desplegará en la pantalla l. 1813.

Si se emplea la medida en grados debes digitar la tecla ele IMooelyelegir la opciónl Deg

ITJ

169

11 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

.

EJERCICIO 39 1. Expre5a en función de un ángulo agudo las siguientes funciones: a) sen 210•

h) tan 254• 46'24"

b) tan 165°

i) eos 95• 25'

e) eos 280°

¡) see 320°48'12"

d) ese 120•

k) ese 121•

e) see 358º

l) erg (-48º)

f) sen 240° 37'25"

m) eos (-38° 54')

g) erg 315°

n) sen (-28°35'24")

2. Expre5a en términos de un ángulo positivo las siguientes funciones: a) sen (-160°)

f) ese (-90º)

l>) erg (-140º)

g) eos (-225º 15' 46")

e) see (-240º)

h) erg (-176º 45' 23")

d) eos (-280°)

i) see

e) tan (-345°)

¡) sen (-228° 15')

(-tos• 32')

3. Expresa en función de un ángulo agudo las siguientes funciones: a) sen (-160°)

g) sen (1 315°)

b) erg 1 240º

h) tan 823º 25' 18"

e) eos (-2 800º)

i) eos (-428° 45' 24")

d) tan 5 445º

¡) erg 920•

e) ese (-98º 32' 12")

k) see (-220°)

f) see (-230º)

l) ese 328º 33' 41"

4. Fncuentra el valor de las siguientes funciones trigonométricas (empleando tablas o calculadora): a) sen

e

ts•

f) ese 79º

l>) erg 46º

g) eos 22• 10'

e) see 25•

h) erg 14º 40'

d) eos 83°

i) see to• 30'

e) tan 37•

a----------.. . -=- =

J) sen 29• 50'

Ylriflca tus .. sultadosen la-cl6n do soluclonH"°'"'opondionte

170

CAPÍTULO

12

FUNCIONES lRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS NOTABLES

strónomo, motemático y geógrafo egip· cio del siglo 11 de lo ero cristiano, nace en Tolemoido Hermio (en el A lto Egipto), alrededor del año 100, y vive y trabajo en A lejandría .

A

Ptolomeo calculó cuerdos inscribiendo polígonos regulares de lodos 3, 4, 5 y 6 en un círculo, lo cual le permitió calcular cuerdos subtendidos por ángulos de 36º, 72º, 60º, 90° y 120º. En su obro Almagesto, Ptolomeo p-oporcionó uno tablo de cuerdos de 0° o 180º con variaciones de 1º, con uno exactitud de 1 /3 600 de uno unidad . Ptolomeo

(100 4 c. -170 d. C.)

Los astrónomos de lo Indio habían desarrollado to mbién un sistema trigonométrico basado en lo función seno, en vez de cuerdos como los griegos. Esto función seno ero lo longitud del lodo opuesto o un ángulo en un lriángulo rectángulo de hipotenusa dado. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores poro ésto en sus tablas. A f¡ noles del siglo vii los astrónomos árabes trabajaron con lo función seno y o fina les del siglo x yo habían completado lo función seno y los otros cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundomen· toles de lo trigonometría, tonto poro triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 (rodio de lo circunferencia) y esto dio lugar o los valores modernos de los funciones trigonométricos .

12 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Valor de las funciones trigonométricas de los ángulos de Oº, 90º, 180º , 270º y 360º Las coordenadas del punto P sobre el eje X son (a, O) y la distancia al origen es igual a a, entonces las funciones de los ángulos de Oº y 360º son:

o

sen o· = sen 360° = - = o

y

a

eOS 0° = eos 360° = ~ = 1 a

360°

o tan o• = tan 360° = - =o

P(a, O)

d=a

a

X

erg o• =erg 360º = ~ No existe

o

see o• =S'1e 360º = ~ = 1 a

ese o• =ese 360º = ~ No existe

o

Para el ángulo de 90°, las coordenadas de cualquier punto P sobre el eje Y es P(O, b), la distancia al origen es b, entonces:

y

s,¡n

90º =

~

=1

b

o

eos90º = - =O b

P(O, b)

%No existe o erg 90º = - =0

tan 90º =

d=b

b

X s,¡e

90º =

~

o

No existe

ese90º=~=1 b

Para el ángulo de 180° las coordenadas de cualquier punto P sobre el eje -X son (-a, O), la distancia al origen es a.

o

sen 180º= - =O a

eos 180º = -a =-1 a

d=a P(- a, O)

tan 180° =

X

o - =O

-a

erg 180º = -; No existe see 180º= ~=-1 -a ese 180º = ~ No existe

172

CAPÍTULO 12 Funciones trigonométricos poro óngulos notobles

Para el ángulo de TTOº las coordenadas de cualquier punto P sobre el eje - Y son P(O, -b), la distancia al origen es b. b b

sen TTOº = - - = -1

y

o

eos TTOº = - = o

TTOº

b

tan 270º =

X

-b

0

No existe

o

erg 270º = - = O -b

see 270º = ~ No existe

P(O, - b)

ese 270º = .!... = -1 -b

Cuadro de valores de las ilncione1 trigonom6tricas

Funciones

Oº

seno

o

90°

coseno

100°

2700

3W'

o

-1

o

o

-1

o

tangente

o

No exÍSte

o

No exÍSte

o

cotangente

No exÍSte

o

No exÍSte

o

No exÍSte

No exÍSte

-1

No exÍSte

No exÍSte

-1

secante cosecante

No exÍSte

No exÍSte

Valor de las funciones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º Para las funciones trigonométri~ de los ángulos de(J()º y 30° se construye un triángulo equilátero de lacio igual a 2:

c

B

A

D

Se traza CA .l BD , CA es bisectriz del L C y mediatriz del lado BD. En el triángulo BAC, L B = (J()º, L ACB = 30° y BA = 1

c

B

A

173

12 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Rlra obtener el lado b = CA se usa el teorema de Pitágoras: 2

CA = (2)2 -(1)2 2

CA =3

CA=

J3

Las funciones trigonométricas del ángulo de 60° son:

sen 60° =

J3

tan 60° =

2

J3

2

sec60º= - =2

1

1 erg 60º = - -

eos 60º = .!.

2 1

J3 = J3

• 2 2../3 ese60 = - = J3 3

=J3 3

Las funciones trigonométricas del ángulo de 30º son:

sen30º =

1

1

l

eos 30º = ../3 2

J3

2

2../3

J3 = 3

tan 30º = ../3 = 3

sec 30º =

erg 30º = J3

ese 30º = -= 2

1

2

= J3

1 Rlra calcular las funciones trigonométricas del ángulo de 45° se construye un cuadrado de longitud por lado igual a la unidad y se traza su diagonal.

Rlra obtener el valor de la hipotenusa, se aplica el teorema de Pitágoras:

a2 =b2 + e2

a2 =(1)2+ (1)2

donde:

a2=1+1

~ acuerdo con el resultado anterior, a=

a2=2

..fi.

c b=I

B Las funciones trigonométricas del ángulo de 45° son: 1

sen 45° = - -= Ji

ran45º = ! = 1

cos 45• = _l_ = Ji

erg 45º = - = 1

Ji

Ji

2

2

1

1 1

174

.!l?C45º=

Ji =Ji 1

ese 45 • = Ji 1

=Ji

CAPÍTULO 12 Funciones trigonométricos poro óngulos notobles

Aplicación de los valores trigonométricos de los ángulos notables

EJEMPLOS,------------~ 1 • • •Calcula el valor numérico de 2 sen 30° cos 60°. E .L w

Solución Se sustituyen los valores ele las funciones trigonométricas y se efectúa la operación:

= (fl{~)=~

2sen 30° · cos 60° 2 ·

2 • •· Determina el valor numérico ele la expresión: taríl 60° + ctg245°. Solución Se sustituyen los valores ele las funciones trigonométricas y se determina que:

tarí1- 60º + ctg2 45º =(tan 60°)2 + (ctg 45°)2 Por tanto, tan260º +ctg2 45º = 4

3 • •· Calcula el valor numérico de sen 7..11:

+ 3 sen

6

=(J3

= =

)2 + (1)2 3 + 1 4

!!11: • 6

Solución Los ángulos se expresan en función ele ángulos agudos para obtener los valores ele las funciones trigonométricas:

Entonces,

sen Por tanto, sen

7

11:

6

+ 3 sen

sen

~11:

sen

~11: =sen ( 4·%-~) =-sen~=-~

=sen

~ 11: + 3 sen ~1 11:

11

-¡¡11:

(2·~+~) =-sen~=-~

=-~ + (-D =-~ -~ =-~ =3

2

=-2

4 • •• Mediante ángulos notables demuestra la siguiente igualdad: sen 30º - (cos 30º · ctg 60°)2 = cos2 60º

Solución Primero se encuentran los valores ele las funciones trigonométricas:

sen 30°

=-· 1 2'

cos 30º

=-J3 ;

ctg 60º

2

=

1 r;:; ; v3

1 2

cos 60º = -

Después se sustituyen los valores ele las funciones y se demuestra que se cumple con la igualdad:

sen 30º - (cos 30º · ctg 60º)2 = cos2 60º

¡-(~·i-J =Gr ~-Gr=¡ 1

1

2 4

1

4

- - - =1

- = Con lo cual queda demostrada la igualdad propuesta.

175

4

4

12 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

5 • ••Demue$tra la siguiente igualdad, mediante el valor de los ángulos notables: /sen 2 ~11:+3see211: =ese!:.

V

2

6

Solución Primero se encuentran los valores de las funciones trigonométricas:

sen ~11: =-1· sec 211: = l·, ese !:. =2 2

'

6

Entonces: 2

J(-1) + 3(1) = 2 .J1+3 =2

Ji.

=2 2=2

R:>r tanto, la igualdad es verdadera.

.

EJERCICIO 40 Completa la síguiente tabla:

Ciil

1l!7I!1!IJ

1 ~i' l• I ' 11 {

()"

o

D'

.l!.

45º

.l!.

«Y'

~

9(J'

2

120°

3

135°

4

150"

.l!.

180°

Jt

210"

Zll

225°

~

240"

.h

'ZJO"

J.l!.

D:l°

á

315° 330" 360°

mi

·.o

6

4

Jt

,. Jt

6

6

4

3

2

3

7Jt

4

111t

6

2Jt

176

l!Jj]

cm

cm

G;¡,'!J

1

CAPÍTULO Funciones trigonométricos poro óngulos notobles

Encuentra el valor numérico de las siguíentes expresíones:

l. 2 sen 30° eos 30°

9. 2sen¡ eos¡

(sen2 ~+eos 2 ~)

2. 2 sen 30° sen 60°

10. 2sen30ºcos30º (1-2sen2 30º)

3. 3 tan!:. sen !:. 6 3

2 5 5 2 5 11. tan - 1r+4sen- ir-3erg - 1r 3 6 4

4. sec2 45º - 2 ran2 45º

12.

eos 120º + see 180º ese Z70 • + sen 330º

(sen 120º)(tan 240º)J 13. [ tan 315° - eos 300° 6. [sen2 45ºeos'45ºj

14. J(ran 225º)(sen 180°)(eos 240º)

7. 3 tan 60º erg 30º sen 45º ese 45º

15. sen90º+(eos 210º +sen 300º) +see 240º

2

8. 2 sen 60° sec 30° eos 45 • tan 45 • Utiliza ángulos notables para demostrar las siguientes igualdades:

. sen 240º+sen120º·eos60º =tan 210• 16 sen 120º ·sen(-60º)

1r

2 3

1r

17. tan - ·sen - 1r =1+sen3

6

18. sen 180º =2sen 60º +sen 240º(sec45º)

2

19. cos225º+3sen225º = -2sec45º • 20. ese 60 =-

e

sen30º

sen 150º ·sen 300º

V.riflca tus ..... atados •n la sección de soludotlos con. .ponchnt• •

177

-------------~

12

CAPÍTULO

13

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE lAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

S

e les considero como fundamento· les por diversos rozones: poseen Onda senoidal propiedades matemáticos muy interesantes (un ejemplo, con combino· cienes de señales senoidoles de d iferente amplitud y frecuencia se puede reconstruir Ondasenoidalamortiguada cua lquier formo de onda), lo señal que se obtiene de los tomos de corriente de cua lquier coso tiene esto formo, los señales de test producidos por los circuitos osciladores de un generador de señal también son senoido· les, lo mayoría de los fuentes de potencio en AC (corriente alterno) producen señales senoidoles. Lo señal senoidol amortiguado es un coso especial de este tipo de ondas y se produce en fenómenos de oscilación, pero que no se mantienen en el tiempo.

13 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Gráficas de las funciones trigonométricas Al establecer una regla de correspondencia entre dos conjuntos, por medio de las funciones trigonométricas, se establecen relaciones como: y= sen x,jµ") = cos (- x), y= tan

(x+~ir)

Para construir la gráfica de una función o raz.ón trigonométrica se dan valores al ángulo (Argumento), é$tos van sobre el ejex, los valores obtenidos se grafican sobre el eje y.

Los valores asignados para el argumento se expresan en grados sexagecimales o radianes.

Gráfica de y= sen x Thbulación

1im ..

y

I~

• • ·.,. ' •

2

3ir 4

45•

90'

135°

0.7

1

0.7

o

~

o o

X

u•

4

~

~•

1

" . 1n!'t.

1 ... r.

...

... 1

-Sir

3ir

4

2

7ir 4

21<

1800

225°

2700

315º

3/IY

o

-0.7

-1

-0.7

o

1<

Gráfica

Características y

l. La función tiene periodo igual a 2ir rad. 2. La función es creciente en el primero y cuarto cuadrantes. 3. La función decrece en el segundo y tercer cuadrantes. 4. La función es positiva en el primero y segundo cuadrantes y negativa en el tercero y cuarto cuadrantes. 5. La función interseca al eje horimntal en múltiplos enteros de ir. 6. -- cos(n + a>)

21.

cse(n - y) + cos(n + y) " sen y ran(n + y)

1

ran(n - x) -"------'- " sec x · (ese x + 1) sen x

23.

24

·

{J) y

tan(a -

{J).

-% con n 5 a 5 %n y erg fJ = J2 con O5 fJ 5 %, halla las seis funciones trigonométricas ele (a+ {J)

y(a - {J).

14.

9. esc255º sen 165º

10.

[sen(x + 2n) +

cos(~ -

x)T

+

4 cos(x - 2n)

ese(~

- x)

sen(a+fJ+r) + sen(a-fJ-r) •tan a eos (a+fJ+r) + cos(a-fJ-r)

204

" 4

CAPÍTULO 14 Identidades y ecuociones trigonométricos

25. sen(B+w) · sen(8-w) "' (sen 8 + sen w) (sen 8 - s•m w)

26. ron(!:. + 4

.s) + tan(!:.4 - .s) "' - sen 8 2

27. 4 are tan ( -

~)

29. cos -· ..!!.. 13

cos -1 ~ • - sen-1 -3

30. see-•

31.

-

J 12

+

"'

+ 1

~)

5

- ag_,t "' O, t> O

1

t 2 -1

vt +1

t +1

1

•-are tan - , r > O t

~+sen_, ~ •sen-1(1 ), t>O 2 2

'l/!

33. sen

4arc tan ( -

65

are sen r:;--:-are cos-22

32. sen-•

vt +1

+1

-·E; --sen t+l

-1

1 -1!-l ~•sen -,tr tanto, queda demostrada la igualdad.

214

CAPÍTULO Identidades y ecuociones trigonométricos

.

EJERCICIO 47 Demuestra las siguientes igualdades:

3 4

l.

- -----= -

2.

sen 75° eos 45° = _ _ .fj 2 sen 225° eos 75°

3.

eos 35° sen 100 + eos 100 sen 35° J6 = cos 200eos100 - sen200 sen100 3

4.

see 30° ese 120°

'Ir 57r 'Ir 57r tan - tan - + tan - tan -

6

12

12

12 = 2 + .fj

1- tan ~ tan !!... 6 12

5. sen x eos x + eos 3x sen x =

7.

3

cos(27r- x)eor( 1r- x

2

21 sen 4x

}en (%-x)

8.

eos x[eos 2x- 2sen1 x] = eos 3x

9.

tan(x+~) tan (~-x) 3

3

= see x

2

=

2eos2x+l 2eos2x - 1

10. sen(lOº + x) eos (20° - x) + eos(80°- x)sen(70º + x)

12.

sen(~-x) 2 ese 2x

=sen(2x- 10°)

senx -..,.---..- =sen 3x ese (37r + 2x)

2

13. eos 2x + 2[sen X eos y + eos X sen y] sen(x - y) = eos 2y 14. sen(%- x)

e

·sen(~Tr -x) ·eos(Tr - x) = eos3 x

Esto ojorcldo no tiene soNCiotlH ol flnol dol IJbro por .., dom011rOC:iotlH •

215

-----------~

14

14CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Identidades para transformar sumas o restas de func iones trigonométricas en un producto Dados los ángulos x y y, tales que

x+y=a

x - y =/3

Al resolver el sistema de ecuaciones para x y y se obtienen los siguientes resultados:

a-fJ

a+fJ x= - -

y= - 2

2

& tos valores angulares se sustituyen en la identidad: 1 2

(senx) (cos y)= -[sen(x+ y)+sen(x-y)] Y el resultado es:

(ª-/3)= 2[sena+senf3]

sen( -a+fJ - ) cos - 2 2

1

Ahora, al despejar la suma de los senos, se determina que:

sen a + sen /j = 2 sen( "' ~

/J)cos ( "'; /J)

O: la misma manera se obtiene:

sen a - sen

/J =2 cos("' ; /J)sen("' ; /J)

/J)cos("' ; /J) !f\ cos a - cos /j = - 2sen( "' - +-/J) sen("' - ---} 2 2

cos a + cos fJ = 2 cos("' ;

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~--.

S 1 a.

• • · Efectúa lo siguiente: sen !!.. - sen !!.. 2

E

i!-

6

Solución Al aplicar la transformación de diferencia de senos a productos, se obtiene:

-Í -•M¡;

o

2

2 16

ro•[i;~ ]-[Í~~} ,;,.rnr tanto, el conjunto solución es 0°, 180°, 210°, 330° y 360°.

6

• •Resuelve la siguiente ecuación para x si o•~ x ~ 360º.

2cos2x = senx-1

Solución 2(1 -sen2 x) = senx- 1

2 cos2 x= sen x- 1

2-2sen2 x= sen x- 1 2-2sen2 x-senx+ 1 =O -2sen2 x-senx+ 3 =O

(+-1)

2sen2 x+ senx-3 =O (2sen x + 3)(sen x - 1) =O Se despeja el ángulo x de ambas ecuaciones: senx-1 =O

x = a1t' sen (1)

2senx+3=0 sen x =-~(no existe solución)

2 x=90º Cabe mencionar que 2 sen x+ 3 =O no tiene solución porque -1 ,; sen xs 1, entonces el conjunto solución es 90º.

222

CAPÍTULO Identidades y ecuociones trigonométricos

.

EJERCICIO 50 Resuelve las síguientes ecuaciones, tales que O" s x s 360°.

l. senx =sen

(~-x)

16. 2senx+cscx=3

2. eos x + 2 sen x = 2

17.

=1

18. 2eos3 x + eos2 x - 2cos x - 1 = O

3.

2eos (¡-x)

4.

ese x = see x

19. 4eos x - 2 = 2 tan x ·erg x -see x

5.

2eos x · tanx-1 = O

20. tan5x-9tanx=0

6.

4eos2x=3-4eosx

21. -

1 - +.J3ranx=O etg2 x

7. 3 cos2 x+ sen2 x = 3

22.

senx·seex+J2senx -J2 = sec x

8. 2sen2 x+ senx = O

23.

(2-J3)senx+(2-J3) =2eos2 x

9. eos x + 9 sen2 x = 1

24. (2+

10. csc2 x = 2eot2 x 11. senx · tanx + 1

.J5) - (1 + 2.J5) eos x

J3ranx seex

=senx + tanx

26. - - --eosx=O

J2eos x -J2senx =-J3

Tl.

13. senx-eosx= O

28. 5sen2 x + cos2 x = 2

14. 3cos2 x-sen2 x = O

5 29. - - -5J3eos x = O ese x

cos x-.J3 !Jl!nx = O

30.

Verifica tul resultados en la Hoci6n de soluciones corni~nte •

223

2

= 2 sen

25. see x(2sen x + 1) - 2(2sen x + 1) =O

12. 2cos2 x + 3sen x = O

15.

e

senx ·etg x -senx = O

eos2 x + eos x = sen2 x

------------~

x

14

CAPÍTULO

15

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

S

u origen se encuentro en la cultura egipcia, específicomente en la geometría egipcia.

los egipcios d ominoban o la perfección los trión· gulos, yo que fueron la base paro la construcción eo el antiguo de sus pirámides así como la medición de tierras. Egipto mediante Se auxiliaba n de los anudadores, hacían nudos los anucladol'e-s igualmente espaciados para medir y se dieron cuenta que a l ubicar cuerdas de diversas longitu· des en forma de trióngulo obtenían ángulos rectos y, par tanto, trió ngulos rectángulos, lo cual significa que tenían conocimiento de la relación que existe entre la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo. Medición de tierras

Sin embargo, Pitágoras fue el primero en demostrar el teorema que lleva su nombre, el cual establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, aunque los egipcios y babilónicos lo utilizaban en sus cálculos y construcciones pero sin haberlo demostrado.

15 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Solución de triángulos rectángulos Dacios tres datos de un triángulo, si uno de ellos es un lacio, encontrar el valor de los datos restantes. Para los triángulos rectángulos basta conooer el valor de uno de los lacios y algún otro dato, el cual puede ser un ángulo u otro lacio, debido a que el tercer dato siempre está dado ya que, al ser triángulo rectángulo, uno ele los ángulos siempre será de 90º. Cabe destacar que el teorema ele Pitágoras y las funciones trigonométricas son de suma importancia para la resolución de triángulos rectángulos.

~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-.

S 1 • ••Fn el triángulo ABC, a= 12 cm, b = 9 cm. Resuelve el triángulo. a. E ~

Solución B

a= 12an

A

b=9cm

e

Se proporcionan catetos; entonces, para encontrar la hipotenusa se utiliza el teorema de Pitágoras:

c= Ja

2

2

+b

c = J(12)2 +(9)2 =J144+ 81 =..flli = 15 Por lo tanto c = 15 cm. Para encontrar los ángulos se utilizan funciones trigonométricas; en este caso, al tener los tres lados se puede aplicar cualquier función. Por ejemplo, en el caso del ángulo A se aplica la función tangente, entonces: 12 tanA= 9 Se despeja el ángulo A: LA =are tan

e:}

53° 7' 48"

Para encontrar el tercer ángulo, se tiene que LA+ LB+ L C = 180º, en particular LA+ LB= 90º ya que L C = 90º,

por tanto: 53° 7' 48" + LB = 90º LB= 90º -53° 7' 48" LB = 36° 52' 12"

226

CAPÍTULO

15

Trióngulos rectóngulos

2 •••Fn el triángulo MNP, m = 13.4 cm, L P= 40°. Resuelve el triángulo. Solución Para hallar el L N, se aplica: LN+ LP+ LM= 180° Ya que L M = 90º, entonces,

L N + L P = 90º donde L N = 90º - L P LN=90º-40º

LN=50º Ladon Se elige uno de los ángulos agudos, en este caso L P y se establece la función trigonométrica de acuerdo al lado que se va a encontrar (n) y el lado conocido (m 13.4), por lo que la función que se busca es el coseno de P, entonces:

=

cosP=

!:

cos 40° = __!!__ 13.4

donde

m

Al despejar n:

n = (13.4) (cos 40º) = (13.4) (0.76604) = 10.265 cm

Para hallar el lado restante (p) se utiliza el teorema de Pitágoras: p=

3

Jm

2

2

2

-n 2 = J(B.4) -(10.26) = .Jl79.56-10S.27 = .J7429 =8.62cm

• •En el triánguloABC, a= 54 cm, A= 36° 20'. Resuelve el triángulo.

Solución Fn el triángulo ABC:

B

LB=90º -LA LB= 90º -36° 20' a =S4cm

LB= 53° 40'

A

e

b

Para hallar el lado b, se utili2a la función tangente de LA: tan A=~ b

Al despejar b: b =

S4

tan 36º 20' = b

donde

54 = ~ = 73.42 cm tan36º20' 0.7354

FJ valor de la hipotenusa se encuentra mediante el teorema de Pitágoras: c= Ja2 +b2

= J(S4)

2

227

2

+(73.42) =91.14cm

15 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

.

EJERCICIO 51 Resuelve el siguíente triángulo rectángulo según los datos proporcionados:

e a

e

A

B

1. a= 12, b= 17 2. LA =32°, b=4 3. LC=46º20'.a=5 4. a= 32.5, e= 41.3 5. LA =45°, a= 13

6. L C= 54°, b =22.6 7. b = 22.5, e= 18.7 8. LA = 48° 12', b = 34.5

9. L C= 34° 32', e= 56.9 10. a= 18.23, b = 19.86 11. LA= 32° 27', a= 12 12. b= Jl7,a=2 13. L C = 48° 23', b = 23 14. a= 7.5, e = 2.5 15. c=13,LA=25º49' 16. Calcula el valor ele los ángulos agudos si a = ~. 17. Determina el valor ele los ángulos agudos y el valor ele los lados si a = x, b = x + 8 y e = x + 7. 18. Calcula el valor ele los ángulos agudos y el valor ele los lados si a= x + 1, b = x + 2 y e= x. 19. Determina el valor ele los ángulos agudos si a= c. 20. Calcula el valor de los ángulos agudos si b = 3a.

e:> lllrlflca tus r..ultados en la Mecl6n do soluclonu --diento • -----------=~

228

CAPÍTULO

15

Trióngulos rectóngulos

- -- - - - - - - - - - - - - - - - PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1

Se sitúa un punto a 20 metros de un edificio. Siel ángulo de elevación al punto más alto del edificio es de 46° 23', encuentra la altura del edificio.

Solución Se representa el problema con un dibujo:

1 h

l

¡------ 20 m

----;

Para hallar la altura del edificio se utiliza la función tangente, ya que se tienen como datos un ángulo y el cateto adyacente a éste, y la altura representa el cateto opuesto al ángulo ciado: h

tan 46° 23' = -

20

Al de5pejar h:

h = (20) (tan 46° 23') = (20) ( 1.04949) m 21 m

De acuerdo con el dato anterior, la altura del edificio es de 21 m.

2

En la construcción de una carretera se encuentra una montaña de 250 metros de altura, a través de ella se construirá un túnel. La punta de la montaña se observa bajo un ángulo de 48 °30' de5de un punto P en un extremo de la montaña, y bajo un ángulo de 38º de5de el otro extremo. ¿Cuál será la longitud del túnel?

Solución

p

Q --f

R

1--

a

b

La longitud del túnel e\ltá determinada por a+ b. Rlra obtener a, se utiliza el triángulo PRTy se aplica la función tangente de L P:

250 tan 48° 30' = -

a

Al de5pejar a

a=

250 250 = - - =221.19m tan 48"30' 1.1302

Rlra obtenerb,se utili2a el triángulo QRTyse aplica la función tangente de L Q: 250 tan38º= Al de5pejar b

b

250 b= = ~ =320.02m tan380º 0.7812

Por tanto, la longitud del túnel es: 221.19 + 320.02 = 541.21 m.

229

15 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

.

EJERCICIO 52 Resuelve los siguíentes problemas:

1. En una torre de 40 m que está sobre un peiWco de 65 m de alto junto a una laguna, se encuentra un observador que mide el ángulo de depresión de 20° de un barco situado en la laguna. ¿A qué distancia de la orilla del peñasco se encuentra el barco?

T 40m

2. A una distancia de 10 m de la base de un árbol, la punta de éste se observa bajo un ángulo de 23°. Calcula la altura 001 árbol.

3. Una persona cuyos ojos están a 1.20 metros del suelo, observa una pintura que se encuentra a un metro del suelo y mide 1.50 metros. Dicha persona se encuentra a dos metros de distancia de la pintura. b) ¿A qué distancia se debe parar la persona para que el ángulo de visión sea de 45°?

a) ¿Cuál es el ángulo de visión?

T

T ~

1.5m

1.5m

t

t

lm

¡.---

2m~

lm

l

¡.---

230

d

~

l

CAPÍTULO

15

Trióngulos rectóngulos

4. Un niño tiene un papalote, el cual hace volar sosteniendo una cuerda a un metro del suelo. La cuerda se tensa formando un ángulo ele 45° con respecto a la horizontal. Obtén la altura del papalote con respecto al suelo si el niño suelta 20 metros ele cuerda.

l h

5. Determina el ángulo ele elevación del Sol si un poste ele 2.56 metros proyecta una sombra ele 1.85 metros.

6. Un globo de aire caliente sube con un ángulo de elevación con respecto a un punto A de 46° 10'. Calcula la altura a la que se encuentra el globo, con respecto a un punto P del suelo, si la distancia de éste al punto A es ele 50 metros.

231

15 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

7. Desde lo alto ele una torre cuya altura es de 25 m, se observa un automóvil alejándose de la torre, con un ángulo ele d:presión de 32°; si un instante después el ángulo es ele 26°, ¿qué distancia se ha desplazado el automóvi I?

1 25m

1 8. Un maleante es perseguido por un patrullero, quien es apoyado desde el aire por un helicóptero, como se muestra en la figura. Si el ángulo de depresión desde el helicóptero basta donde se encuentra el delincuente es ele 25° y el ángulo d: depresión hasta donde se encuentra el patrullero es ele 65°, y su distancia a éste es de 25 metros,

calcula: La distancia entre el helicóptero y el delincuente. La distancia entre el patrullero y el delincuente. La altura del helicóptero. 9. Un ingeniero civil desea conocer el ángulo ele elevación del topógrafo, así como la distancia a la que se encuentra ool asta bandera, si se sabe que el asta bandera miele la cuarta parte ele la altura del edificio que es de 16 metros, y la dstancia entre ambas es de 9 metros.

16m

232

CAPÍTULO

15

Trióngulos rectóngulos 10. Una araña que se encuentra en la base de una caja desea alcanzar una mosca ubicada en la esquina opuesta de la caja, como se muestra en la figura. Las esquinas están conectadas por un cable tenso, determina cuál es el ángulo de elevación del cable y la distancia que recorrería la araña hasta llegar a la mosca por el cable.

11. Se tienen dos

poi~

de radios R, r y la distancia entre sus ejes es 1, ¿cuál es la longitud de la cadena de transmisión?

12. Debido a un accidente en unos laboratorios químicos, se tuvieron que desalojar ~casas que estuvieran en un radio de 500 m de los laboratorios. Una familia vivía a 250 mal este y 195 mal sur de los laboratorios. Determina si la filmilia desalojó s u casa.

i==i i==i

DD

D O

e

Veriflca tus Nsultaclot en la MCC&ón de toludof'tes Cotftspondlent• a

233

-----------===-

CAPÍTULO

16

TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

strónomo y matemático alemán que realizó trotados sobre lo trigonometría y lo astronomía, inventor de d iversos herramientas p:iro lo observación y lo medido del tiempo.

A

Su obro se compone de cinco libros llamados: De ¡publicado en Nuremberg 70 años después de haber sido escrito! Es intere(regicmonJanu$) sante desde el punto de visto matemático, yo que 1436 . 1476 en el primer libro se establecen los definiciones básicos de rodio, orcos, igualdad, círculos, cuer· dos y lo función seno. En el segundo, lo ley de senos poro lo resolución de problemas con triángulos, y del tercero al quinto libros se expone lo trigonometría esférico. Johann Müller Von Kiinigsberg

tiangulis omnimodis,

16CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Solución de triángulos oblicuángulos Un triángulo es oblicuángulo cuando sus tres ángulos son oblicuos, es decir, no tiene un ángulo recto. &te tipo ele triángulos se resuelven mediante la ley ele senos, ele cosenos o ele tangentes.

ley de senos La razón que existe entre un lado ele un triángulo oblicuángulo y el seno del ángulo opuesto a dicho lado e> proporcional a la misma razón entre los lados y ángulos restantes.

e Ley ele senos:

a b e sen A sen B sen C

- -= - - =- -

A

e

B

La ley ele senos se utiliza cuando:

e e

Los datos conocidos son 2 lados y el ángulo opuesto a uno ele ellos. Los datos conocidos son 2 ángulos y cualquier lado.

~EMPLOS~~~~~~~~~~~~-.

..¡ 1 ••·Fn E

i!-

el triánguloABC, b = 15 cm, LB= 42º y L C = 76º. Calcula la medida ele los lados y ángulos re>tantes.

Solución Para obtener LA, se aplica LA +LB+ L C = 180°, despejando,

A

LA= 180° -L C- LB= 180° -42° -76° = 62°

Se conoce el valor del lado b y el ángulo B, opuesto a dicho lado, también se proporciona el ángulo C, por tanto, se puede determinar la medida del lado e,

c b -=-sen C sen B

B

Al sustituir L C = 76º, LB = 42º y b = 15 cm, se determina que,

c

15

--=--

sen 76° sen 42°

~

la expresión anterior se despeja e,

c = (15Xsen 76º) = (15)(0.9703) = 2 1.75 cm sen 42° 0.6691 Por último, se determina el valor del lado a con la siguiente relación:

a b senA sen B

--=--

donde

a 15 --=--

sen 62° sen 42°

Al despejar a:

a= (15)(sen 62°) _ (15)(0.8829) _ 19.8 cm sen 42° 0.6691

236

CAPÍTULO 16 Trióngulos obllcuóngulos

2 • ••Fn el triángulo MNP, L P= 76°, p = 12 cm y m = 8 cm. Resuelve el triángulo. Solución p

M

p=l2cm

N

Con los datos del problema, se calcula el valor de L M con la siguiente relación: ___!!!__ =_f!_

senM

senP

Al despejar sen M y sustituir los valores, se obtiene:

sen M = msen P = (8)(sen 76°) p

12

(8)(0.97029) = o.6469 12

Entonces:

L M =are sen (0.6469) LM=40º 18' Por otro lado,

L N= 180° - L P-L M = 180° - 76° -40° 18' = 63° 42' Se aplica la ley de senos para encontrar el valor del lado n:

_ n_ = _ p_ senN senP Al despejar n,

p sen N ( 12)(sen 63°42') n= - - - = sen P sen 76°

(12)(0.8965) 0. = 11.09 cm 9703

Por consiguiente,

L M =40° 18', L N=63º 42' y n = 11.09 cm

237

16CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

3

••·En el triángulo ABC, LA= 46°, LB= 59º y a= 12 cm. Determina los elementos restantes del triángulo. Solución

e

A

Fn el triángulo:

L C = 180"-LA -LB= 180"-46° -59° = 75°

Para hallar el valor del lado c se utiliza la relación:

c

a

--=-sen C sen A

donde

c = asen e= (12)(sen75°) _ (12)(0.9659) _ . cm 16 11 sen A sen 46° 0.7193

Asimismo, para obtener el valor del lado b se utiliza la relación:

a

b

--=-sen B senA

donde

b = asenB _ (12)(sen59") = (12)(0.8571) _ . cm 14 3 sen A sen 46° 0.7193

Finalmente, los elementos restantes son: L C= 75°, c = 16.11cmyb=14.3 cm

ley de cosenos El cuadrado de un lado de un triángulo oblicuángulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados restantes, menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo opuesto al lado buscado.

e

Ley de cosenos: a 2 = b 2 + c2 -2/x cos A b2 = a 2 + c2 - 2ac cos B c2= a2 + b 2 - 2ab cose

A

238

CAPÍTULO 16 Trióngulos obllcuóngulos

Al despejar La ley de cosenos se utiliza cuando:

e e

Se tiene el valor de 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos. Se tiene el valor de los 3 lados.

~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~--.

~ E

.~

1

•••Fn el triánguloABC, a= 15 cm, c =18 cm, LB= 70". Resuelve el triángulo. Solución

e

e= 18 cm

A

Para calcular el valor del lado b se utiliza la fórmula:

b2 = 01- + c2-2accos B Donde, b= j(l5)2 + (18)2 -2(15)(18)cos 70º = .J225 + 324-2(15)(18)(0.34202) = J364.3 b = 19.09 cm Conocidos los 3 lados del triángulo se calcula el valor de L A:

s A= b2 +c2 -a2 ce

2bc

2

_

2

2

(19.09) +(18) -(15) 2(19.09)(18)

_

'364.43+ 324-225 = 0. 6743 687.24

Donde: LA= are CQS 0.6743 = 47° 36' Por último, se determina la medida de L C:

L C = 180"-LA-L B = 180º -47º 36' -70º = 62º 24' Por tanto, los elementos restantes del triángulo ABC son:

b = l9.09cm, LA= 47° 36' y L C= 62° 24'

239

16CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

2 • •· Fn el triángulo ABC, a= 50, b = 45, e= 32. Resuelve el triángulo. Solución

e

Para obtener L A:

e A- b 2 +c2 -a2 _(45)2 +(32)2 -(50)2 _2025+1024-2500_ os

-

2bc

-

2(45)(32)

2880

01906 ·

Donde,

LA= are CQS 0.1906 = 79°

Para obtener LB: CQS

2

2

2

2

2

2

B = a +c -b = (50) +(32) -(45) 2ac 2(50)(32)

_

2500+1024-2025 _ 0. 4684 3200

Donde,

LB= are cos 0.4684 = 62° 4'

Para calcular L C: L C= 180° -LA-LB= 180° -79º -62° 4' = 38° 56' R>r consiguiente, los ángulos del triángulo ABC son:

LA= 79º, LB =62° 4' y L C= 38° 56'

ley de tangentes En todo triángulo oblicuángulo la razón entre la diferencia de 2 lacios y la suma de los mismos, es igual a la razón entre la tangente de la semidiferencia de los ángulos opuestos a cada uno de los lacios, y la tangente ele la semisuma ele dichos ángulos. Fórmulas:

a-e_

(A-C)

tan - 2

b-c _

(B-C)

tan - 2

a-b _

tan (A-B) -2

a+c - ~+C tan - - 'b+c - ~+C tan - - Ya+b - ~+B tan - 2

2

240

2

CAPÍTULO 16 Trióngulos obllcuóngulos

•••Fn el triánguloABC, c = 10, A= 68º, C = 36º. Resuelve el triángulo. Solución Se determina el L B:

e

LB= 180° - LA - LC= 180° -68°-36° = 76° Se aplica la ley ele tangentes para encontrar el valor del lado a:

a-c

tan(A-C) 2

a+c =tan( A;C) Al sustituir los valores de e = 10, LA = 68º y L C = 36°, se obtiene: e= 10

68"-36°

tan a _ -_ 1_0 = -+---2_,_.. = tan 16° = 0.2867 =0.2240 tan 52° 1.2799 a+10 tan 68"+ 36° 2

Entonces, de la expresión resultante:

a-10 =0.2240 a+10

Se despeja a:

a - 10 = 0.2240a + 2.240

a - 0.2240a = 2.240 + 10 0.776a = 12.240 12.240 0.776 a= 15.77 cm

a= - Se aplica la ley de tangentes para encontrar el valor del lado b:

b-c b+c

tan(T) tan( B;c)

Al sustituir los valores de e = 10, LB = 76° y L C = 36º, se determina que: 76°-36°

b-10 tan ( 2 = tan 200 = 0.3639 = 02454 b+10= 76°+36º tan 56° 1.4826 tan 2

De la expresión resultante,

b-10 =0.2454 b+10 Se despeja b: b - 10 = 0.2454b + 2.454

b -0.2454b = 10 + 2.454

0.7546b = 12.454

b= l6.5cm Por tanto, los elementos restantes del triángulo son:

L B=16º, a= 15.77 cm y b= 16.5 cm

241

16CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

.

EJERCICIO 53 Resuelve el siguíente triángulo oblicuángulo de acuerdo con los datos proporcionados.

e

A

1. LB= 57° 20', L C= 43° 39', b = 18 2. LA= 63° 24', L C= 37° 20', e= 32.4 3. LA=85º45', LB=26º31',c=43.6 4. LC=49°,LA=54º21',a=72 5. LB= 29°, L C = 84", b = 12.3 6. LA= 32°, LB =49", a= 12 7. a=5, LA=32°,b=8 8. c=13,b=10,LC=35º15' 9. LB=56º35', b= 12.7, a=9.8 10. a=9, e= ll.5,LC=67°21' 11. a= 15, b = 16, e= 26

12. a= 32.4, b = 48.9, e = fl:J.1 13. a= 100, b = 88.7, e= 125.5 14. a = 15, b = 12, e= 20 15. a = 12, b = 15, L e= 68" 16. a= 28, c=32, LB =16º 17. b = 45, e= 75, LA =35°

18. a= 12.6, b = 18.7, Le= 56º Demuestra que para el triángulo se cumple:

b e -a= - = -e -

senA

sen B

e a2 =b 2 + c2 -

e

sen C

2Jx cos A

b2 =a2 +c2 -2accosB

e c2 =a'+ b2 -2abcos e e:)

""rifleª hls r.,ultados en la -cl6n do toluclonu con-o_.dlont• • -----------=~

2.42

CAPÍTULO 16 Trióngulos obllcuóngulos

- -- - - - - - - - - - - - - - - - PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1

Para calcular la distancia entre 2 puntos a las orillas de un lago, se establece un puntoP a lOOmetros del punto M; al medir los ángulos resulta que L M = 110" y L P= 40". ¿Cuáles la distancia entre los puntos M y Q?

Solución Se realiza una figura que represente el problema:

De acuerdo con los datos se determina el valor de L Q:

L Q = 180º - 110° - 40° = 30°

Sea MQ

=d, entonces, al aplicar la ley de senos se obtiene: d

sen 40°

100 sen 30º

De la cual se despejad: d = (lOO)(sen 40") = (100)(0.6427) = . 128 54 ~n30º 0.5

En consecuencia, la distancia entre los puntos es de 128.54 metros.

2

Un observador se encuentra en un punto P que dista de 2 edificios, 250 m y 380 m,respectivamente. Si el ángulo formado por los 2 edificios y el observador es 38" 20', precisa la distancia entre ambos edificios.

Solución

Sea d la distancia entre ambos edificios; entonces, por la ley de cosenos:

d = J(250)2 +(380)2-2(250)(380)cos 38º20' = ..}62500 + 144400-149038.98= 240.55 Finalmente, la distancia entre los edificios es de 240.55 m.

243

16CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

3

Se inscribe un octágono regular de lacio 1 cm en una circunferencia; determina el área del círculo.

Solución Si se in.$cribe un polígono regular en una circunferencia, la distancia del centro al vértice es el radio, si se trazan 2

radios a 2 vértices se forma un triángulo isósceles yla medida del ángulo centrales la figura:

~·

= 45°, como lo muestra

Sea x la medida de cada ángulo de la base en un triángulo isósceles, entonces: 2x + 45°

=180°

2x= 135°

X=

l

35 º 2

=67.5°

Rir la ley de senos se tiene la igualdad:

t --= sen 45°

r sen 67.5°

Al despejar r de la expresión anterior:

sen67.5 r= sen 450 =1.3cm

Luego, el área del círculo está dada por la expresión: A=1tr2

Se sustituye r = 1.3 cm y se obtiene: A= 1t (1.3 cm)2 = 1.691tcm2

.

EJERCICIO 54 Resuelve los siguíentes problemas:

l. Rtra establecer la distancia desde un punto A en la orilla de un río a un punto Bdeéste, un agrimensor selecciona un punto P a 500 metros del punto A, las medidas de L BAP y L BPAsoo 38° y 47º 32'. Obtén la distancia entre Ay B.

244

CAPÍTULO 16 Trióngulos obllcuóngulos

2. El horario y el minutero de un reloj miden respectivamente 0.7 y 1.2 cm. De termina la distancia entre los extremos de dichas manecilla5 a las 13:30 horas.

3. Un barco sale de un puerto a las 10:00 a.m. a 10 km/h con dirección sur 30°20'0. Una segunda embarcación sale del mismo puerto a las 11:30 ha 12 km/h con dirección norte 45°0. ¿Qué distancia separa a ambos barcos a las 12:30 horas?

4. La distancia entre 2 puntos A y Bes de 20 km. Los ángulos de elevación de un globo con respecto a dichos puntos sonde 58° 20' y 67º 32'. ¿A qué altura del suelo se encuentra?

5. Una persona se encuentra a 3.7 m de un risco, sobre el cual se localiza una antena. La persona observa el pie de la antena con un ángulo de elevación de 30° y la parte superior de ésta con un ángulo de 70º. Determina la altura de la antena.

245

16CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

6. ¿Cuál es la longitud de los lados de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 4 centfme.tros de radio?

7. Dos aviones parten de una ciudad y sus direcciones forman un ángulo de 74º 23'. Después de una hora, uno de ellos se encuentra a 225 km de la ciudad, mientras que el otro está a 300 km. ¿Cuál es la distancia entre ambos aviones?

'1'2.~"" --- ------~ ',

'

' ,,.,.--., , m~;;J

,

( 300km

'' '

8. En un plano inclinado se encuentra un poste vertical de 20 metros d: altura. Si el ángulo del plano con respecto a la horizontal es de 20°, calcula la longitud de un cable que llegaría de un punto a 300 metros cuesta abajo a la parte superior del poste.

T

20m

/

~

Jl

=--= .:-::-:.ú.!>".. - - - - - - - 9. Un barco parte de un puerto y navega hacia el norte con una velocidad de 70 km por hora. Al mismo tiempo, pero en dirección noreste, otro buque viaja a razón de 80 km por hora. ¿A qué distancia se encontrarán uno del otro después de media hora?

N

+ 246

CAPÍTULO 16 Trióngulos obllcuóngulos 10. La distancia que hay de un punto hacia los extremos de un lago son 145 y 215 metros, mientras que el ángulo entre las 2 visuales es de 56° 10'. Calcula la distancia entre los extremos del lago.

11. En un paralelogramo que tiene un lado que mide 20.8 cm, su diagonal mide 46.3 cm. Determina la longitud del otro lado si se sabe que el ángulo entre la diagonal y el primer lado es de 28° 30'.

12. Si t. ABC triángulo cualquiera y DE es el diámetro de la circunfurencia, demuestra que:

BC sen A

AB DE= - -

sen e

CA

senB

13. Observa la siguiente figura:

R

a) Demuestra que dado un lado y 2 ángulos adyaoentes, el área del triángulo será:

A=?_Q_P=i-P-R=l-R-Q 2sen (Q+P) 2sen (P+R) 2sen (R+Q) b) Demuestra que el área del triángulo está dada por cualquiera de las siguientes fórmulas:

e

e

A =

21 r

2

sen P sen Q ese R

V.riflca tus ..... atados en la sección de soludonos con..ponchnt• .

247

----------~=~

CAPÍTULO

17

FORMA TRIGONOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

HISTÓRICA o

IC

5t &

A

braham de Moivre es conocido por lo fórmula de /l/tivre y por su trabajo en la distri·

b.ición normal y probabilidad. Fue amigo de Isaac Newton y Edmund Halley. En 1697 fue elegido miembro de Royal Sociely de Londres. Abraham de Moivre (1667- 1754)

La fórmula de Moivre afirma que:

V'xeRAV'neZ(cos8 + i sen 8)•= (cos n 8+ i sen n 8) Esta fórmula es importante porque conecta los nú· meros imaginarios con la trigonometría.

17CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

Forma trigonométrica o polar Sea el número complejo z =a+ bi, r = lzl = Ja2 +b2 su valor absoluto y 6 =an: tan (!:)el argumento o módulo de z. entonces su forma trigonométrica o polar se define corno: a

z= r (cos 6 + i sen 6) = r cis 6 = r!fl con cos 6 + i sen 6 = cis 6 Demostración Fn el triángulo

Imaginario

a b cos6 = - .sen 6= r

z= a+ bi

r

P(a, b)

Al despejar a y b respectivamente

b

a= r cos 6, b = r sen 6 Si sustituyes en z =a + bi, obtienes:

a

Real

z= r cos 6 + ir sen 6 = r(cos 6 + i sen 6) = r cis 6 = rl!l

ª

EJEMPLOS-------------a.

1

E

• • •'Ilansforma el complejo z =4 + 3í a su forma trigonométrica con 0° S: 6 S: 360°.

Solución

i!-

Se obtiene6 y r, entonces:

6=an: tan

Imaginario

z = 4 +3i z = 5 cis36º 52'

(~)=arctan (¡) =36º 52' 2

2

r= J(4) +(3) =J16+9

=.fi5 =5

R>r tanto, la forma trigonométrica es:

z = 5(cos 36° 52' + i sen 36º 52')

o

z = 5 cis 36º 52' = 5136°52'

2

Real

4

• •Transforma el complejo z = -1 + i a su forma trigonométrica con Oº S: 6 S:360º.

Solución Se obtiene 6 y r, entonces:

Imaginario

6 = an; tan ( ~l) = 135º 2

2

r= J(-1) +(1) = Jl+l =

z=

J2

1

Real

I\:>r tanto, la forma trigonométrica es:

z= z=

J2 cis 135º

J2 (cos 135º + i sen 135º) J2 cis 135º = J21135°

250

CAPÍTULO 17 Formo trigonométrico de los números complejos

Operaciones fundamentales

e

M;ltip/icación

Sean los complejos z 1 = r1(cos 61 +isen61) y Zi =r2 (cos 62 + isen 62), entonces: z1 • Zi =r1 • r2 [cos (6 1 +IJi) + i sen (6 1 + 62 )) =r1 r2 cis (6 1 + 62 ) EJEMPLos.~~~~~~~~~~~~~-.

S 1 Q..

• • •Si z1=2(cos 60º + isen 60º) y Zi

=..fi. (cos 45º + isen 45º), determina z1• Zi·

E

Solución

&!:-

Se aplica la definición del producto ele dos números complejos z 1 • Zi= (2)(..fi.) [cos(60°+ 45º) + isen (60º +45º)) = 2..fi. [cos 105º + isen 105º]

2

• • •Determina zt"Zisiz 1 =4cis~

YZi=3cis ~.

1

Solución Aplicando la definición del producto

z 1 ·Zi =r1 r2 cis(61+62 )=(4)(3)cis

e

(~ +~)=12 cis¡ = 12~

División

Sean los complejos z1 = r1(cos 61 + i sen 91) y Zi = r2 (cos 92 + i sen 82), entonces: 81)) _- -'i [ cos ("0' -1t1,, ) +1sen . ( 0' " -0' ,, ) ] r, · ( " ,, ) - 't 19. -R". -z, -_ 'i (cos 81 +isen . 1 2 1 2 - - c1s 0'1 -0'2 - -~ z, r,(cos 82 +1sen 82 r, '2 r2 EJEMPLos.~~~~~~~~~~~~~-.

S 1 • ••Sean z 1= S(cos 50° + i sen 50º) y Zi = 4(cos 15º + i sen 15º), determina ~. z,

Q..

i_

Solución

Se aplica la definición del cociente de dos números complejos ~ = ! [cos(50º-15º)+i sen(50º-15°)]

¡¡¡

Z2

4

~ = 2[cos 35º + i sen 35º)

z,

2

• • •Encuentra

z,. si z 1 = 12(cos!!...+¡ sen!!...) y Zi = 3(cos!:.+; sen!:.) z, 15 15 3 3

Solución Aplicando la definición del cociente:

z,

Z

(n n}. (n

[ 3 = 12 cos

3- 15

Simplificando, se obtiene:

1

sen

3- 15

n}¡ sen( 4n]

z, = .!. [cos( 4 z, 4 15 25 1

TC]

15

17CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

. ¡;;2 . 1! lng . 21! 2 . 1! 3 • • • S1 z = ..¡;. CIS- , Z¡ = "" CIS- , ~ = CIS-

4

3

12

y~=

1 . 51! de . z. z, CIS-, termma - - . 2 6 z, . z,

-

Solución Se realizan las operaciones del numerador y del denominador por separado:

z·

~= ( J2cis¡ )(2cis :i)= 2J2[cos(¡+ ~ }isen(¡+ ~] ~}i sen(~]

= 2J2[cos(

~

2

5

z1• = ( JScis ; )Gcis : ) =

~[cos(2; + 5:

}¡ sen(2;

5 + :]

RJr consiguiente la división se define como:

}\!

71!

1

. . -¡¡,entonces: 51! ro --¡¡ es 1·gua1 a ángul o pos11Jvo

(51!}·1sen(51!] 6

Z·Q - = 2[ cos z,·z, 6

e

Potencia (fórmula de Moivre)

Dado el complejo z =r(cos 8 + isen 8), entonces, t' = I' (cos n8 + i sen n8)

EJEMPLOS------------_.,.

aa. E

L!-

1

• • •Sean z = 2(cos 15° + isen 15º), encuentraz2.

Solución Aplicando la definición de la potencia para ballar?:

¿. = 22(cos 2(15º) + i sen 2(15º)) = 4(cos 30" + i sen 30") Fs importante mencionar que algunos de los resultados están expresados en términos de un ángulo notable y se pueden sustituir por sus valores respectivos.

252

CAPÍTULO 17 Formo trigonométrico de los números complejos

2

• • · Sea z =

~ (cos 36º + i sen 36"), encuentra ~.

Solución Se aplica la definición de potencia de un número complejo

~ = G)' (cos 5(36º) + isen 5(36º)) = 3~ (cos 180º+ isen 180") = ; 1 (-1 + i(O)) =- 3~ Por tanto ~ = _ _!_ ' 32

3

• • •Si z =

~(cos.!:..+; sen!:..) yz = '113 12 12 1

fi(cos 3ir +i sen 3ir) determina i. 2

4

z,

4

Solución Se obtiene la potencia de z:

z2=(~(cos 1~ +i sen 1~)J

. 2ir) = -1(cos -lt +1sen. ir) = -1(cos-2it +1sen3 12 12 3 6 6

Se procede a realizar la división, entonces: 1

,

'¡

1. lt'J z2 = 3 cos6 + sen 6 = J'j(cos(!!.-.!:..}¡ sen(!!._.!!..)~ = J'j(cos.!!..+; sen.!!..) z, 1 cos.!I.+; sen ir:) 3 6 12 6 12 ~ 3 12 12 lt

73'

12

12

e Raíz Sea el complejo z = r(cos 8+ i sen 8), entonces su raíz enésima se define como:

·r; = ··( 8+2irk . 8+2irk) vr cos- -+1sen-~z

n

n

Donde k toma los valores O, 1, 2, 3,. . ., n - 1

~eMPLos.~~~~~~~~~~~~~-.

~ E

.~

1

• • •Determina la raíz cúbica ele z= 8 cis240".

Solución Las raíces se obtienen aplicando la definición y k adopta los valores ele O, 1 y 2, entonces: Para k=O

lo= ?.f8 ( cos 240º+360º(0) +i sen 240º+360º(0)) = 2(cos 80" + i sen 800) 3

3

Para k= 1

z1 =

?.ís( cos 240°+360º(1) +isen 2400+360º(1)) =2(cos2000+isen2000)

~

•r.:(cos 240º+3600(2) + i sen 2400+360º(2)) = 2(cos 3200 + i sen 3200)

3

3

Parak=2 = "8

3

3

253

17CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA

2

•••Dacio el número z = 1, determina

'Ji. .

Solución El número complejo z = 1 en su forma trigonométrica es z =I (cos O"+ i sen O"), luego k adopta los valores de O, 1, 2 y 3, entonce> las rafees son:

Zo =

ifi( cos 0" +360º(0) +i sen 0º+360º(0)) 4

z1 = ifi( cos

= 1 (coso• + i sen Oº) = 1

4

0º+360º(1) 0º+360°(1)) +i sen = 1(cos90º + isen 90°) = i 4 4

Zz =

lfl( cos 0"+360º(2) +i sen 0º+360º(2))

= 1 (cos 180º + i sen 180º) = -1

Zol =

ifi( cos 0º+360º(3) +i sen 0º+360º(3))

= 1 (cos270º + isen 270º) = -i

4

4

4

4

Fn consecuencia, los valores de la raíz cuarta de z = 1 son los complejos Zo = 1, z1 = i, Zz = -1 y Zol = -i.

.

EJERCICIO 55 Transforma a su forma trigonométrica los síguíentes números compleíOs:

l. z=4 -i

2. z=

3.

5. z= -3i 1 2. 6 . z= -+-1

.J3 + i

2 3

z= -2+2i 8. z=-.fj+.!.;

4. z=5 Sean los compleíOs z 1

2

=..fi cis 45", '2 = ./13 cis~, '3 •

2 cls U:/' y z4 =

J2

2

3

cis : , determína:

Zz

12.

Z¡' Zz'Zol

15. ~

18. ~

10. Zz. z,

13.

z1• Zol' Z.

16. ~

19.

17. ~

20.

9.

11.

Z ¡.

Z¡ •

Zol

14. ~

z.

254

z.

z.

z,

z, ·z.

z,. z,

z, ·z,

z.. z,. z, z,

CAPÍTULO Formo trigonométrico de los números complejos

Resuelve lo que se te pide. 21. Si z

=3 cis 120", determina z2

22. Encuentra t' si z = 3(cos 25º + i sen 25º) 23. Determina z3 si z = 5 cis 15º 24. Encuentra

.JZ si z = 16(cos; +i sen;)

25. Si z = 64 cis 120", determina 26. Encuentra

27•

Vi.

Vi_ si z = -1

s·1 z = 4 c1s9 . n y z = 2c1s9, 3 . 2n re termma .