Geometria y Trigonometria de Baldor

1,f.OMETIU \ I'LA"r-A 't DEI ESPACIO

Se llama ""BlIlo esfr"ro en un punto el formado por dos arc~ ue circulo máximo. Se mide por 1"1 ángu lo formauo por )¡tS tllngentes a In~ orcos en el pW'Lto. ti.

{77 AHEA DE UNA ESFl:.RA \ lll:. FIGURAS ESFERICAS. La ubtenciOn por metodO$ elementales de la fórmula del area de \lna esfero """ algo laboriosa . Requ iere los siguientes pasos: El area engendrada por la base AH de un t riángulo isósceles l:::.OAR at girar alredew... dI' un eje e que 110 corta al triángulo, es iguI,.... '1'0,' Sf' rumIan um e ndIJ lo. \"c rtices Je la pdigunal ron el cenl m. Segllll d teorema anterior, el á rea de la superficie enFlendratla ,,1 )! Il "¡, r la pOh p;onal i! l redetlor d(' UJl eje, qu.. no Ii! Corl('. ('S igual al proouct u df'" 1" pro" ,..'cció" ,1(> 1.. daagt>lJil¡ §Oor(' el eje l'

R.: B4,1..!

111.

(11 Hallar el radio de la b.,~ de un ciJill,h" sabirll(l" que ~U a re" lateral M ) ;(17.2 cm~ y la gen",r,t lrh- vo le 41) cm . 11,: ti {"m_

18) El área le lol de UII cilindro ps 7-'>. i6 m: y su ¡,¡eneról tri .... ,', ..1 dobl.' Jel rodio de la base. H all .. r ",1 nldi(') y 111 J!:e nenltrir.. r .2 Ul . R.: #1. .;:: 4- '". (-.\ 'RECfANunto O . , 3 ·' - 3 -2 -1 0 El eje XX' se grad úa posti\'amente hltda la derecha y negativamente hacia m III la izquierda. El eje YY' se gradíUI poSlti"amentE' hacia arriba y nega til'amente hacil! aOO;O. i' u'¡s n úmeros sobre el ele XX' miden las distancias en magnitud y fil( . :ro.; ~¡ flI1n ofOl ori~ 8 los )lWltos del eje y reciben el nombre de flbsci5ll5,

,

Sobre

I,EOMETIUA PI.... I\A \ DEI. ESP\(JO

Los numeros tomados sobre el eje YY' miden las distancias del "ngell a los puntos del eje y reciben el nombre de ordellmlas. AJ1alogamente, el eje XX' se llama c¡" de las obsáS. No hay que olvidar que :t;I no #!$ un núml!FO., sino lID. simbolo.

-,

=

Valores para ti 90° . Si hacelTlOl gIrar la semirrecta DA de manen que COincida COI"! el semieje OY, te~mos: el

= 90° .

UB = O.

Entonces;

AB AB sm 90o===== I .

OB O 00190°= =- = = =0. AB AB

cos90o= OB = 0 = 0. DA DA

sec

DA

°

AB

AB

AB

tan90 = = = - = OB U

DO.

900

VA OA = OB =O =OII.

o_ OA _ AB_ csc90 _ = _=-_ 1. AB AB

=

Valores para a 180°. Si el giro de OA. continua hasta que coincida OX', tendremos que 0lI es negativo y a = 180°, GlOIo€f ...... IbLDOIIII _ t I

AB = O,

OA=-OB.

'"

GEOMETRf.\ ¡en

Pl.A~."

O -O. _ =AB __ __ l BO o_ DA DA (1

ros 180

08

==

DA

Ion 180

0

V DEL ESPACIO

OB 08 ror l ijQo==- = _ ="" ( no existe). A8 O

08

(1

= - = = - 1. _ 08

.,

,~

v'J I

I

\,T

I

\,'3

,

.,j2

2

V2

2\ '3

,

F.Jf.RC IUOS ( 1) Represenlllr en un sislema de eje5 coordenados., los puntos siguientes:

ÓODt'S

P (~7, ~ 5)

K ( - 6,0) L (~ 4,~3) M( - 3, -3) N ( - l ,-3) 0 (0, - 3)

F ( 7. 6 ) G(O.5 )

A (O, O) 8 (4, O) C(3,2) D ( 7,2 ) E(6,8 )

H (~ 3.3 )

1 (-3.1) J (-5.3)

Q (2, 11 (2, -

2) 4)

S (5. -

4)

T(8. -

2)

(2) En el lriil.ngulo rectángulo e, ABC ( L A = 90°), calcular 11:15 funtrigo.lOffietrX:as de los ingulos B y C, si b = 2 cm y e 4 cm.

=

_

V5

cotB = tonC = 2.

R.: senB - ro.sr=T · ro.s

B =.fen C

2VS =,I

tmI8 = cotC=mo< 'jjjij J.. OX y por el ponlo C. IrucCIT\05 CII 1. 7J!iI'. Consideremoa b

En l10CM y b,rDII

Iriángu 1011 l1OCM . l1COI/ y !:lOCO

¿CDII

¿ MOC-Q

,.,

100f' ., 'I&Inb. oogudoo. y tI;' r 1.,11, 1If''1lfndic.,lart''o

.

,

COOMETR'A

+ b).

Cálculo de um (a gura 325. tenemos:

sen

(a + b)

NO

= =00

PI~'NA

Y DEL ESPACIO

En la fi-

,

(1)

+

o

Pero: ND = N H HD (2 ) ........ . (el lodo e; Igual a la suma de la ~ fk... rt('~) .

y

N H = (VIL' (lados upuestos

(3)

de

un

Sustituyendo ( 3 ) en

r('C] li ngulo) .

(2) :

ND = M C+ H D

Sustituye ndo

(4 ) en

. .. .... .

-'O~~---No--o"------ X

(4)

HII'.325

( 1 l . tenemos:

( + b) sen a -

~+ HO .

ME+ OD7liJ

OD

OD

!\1uhiplicando el n umerador y denominador de la primera fracción por OC y el n umerador y denom in ador de la segu nda po r Cli, tenemos:

M e oc HD CD u n (a + b) = -=- ' -=+-=-, OC OD e D DO ' Pero:

MC

( 5)

liD e D =cos a .

OC=sen a ,

CD

OO =$Cl b .

Sustituyendo estos va lores en (S . ,en(.'1T\OS: sen ( a

.

+ b)

sen;o. ros b

{.alculo

d~ ('US

ON

cos(a + b) = -==-.

00

y romo: -,;;r¡;¡ = H C.

+ b l.

(t)

El todo es igual a la suma de las partO"< _

Pl'ro: OM = ON +MN

7JÑ= OM -MN

(oa

+ ro< a U'rr b.

(2)

Du pe jéllldo ON

"

l.. Ido..

" l'ue~l n~

de UB n 't" l"n guln ;

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS D:E U. SU M"" y DE LA DIFERENCI....

,.1

sustituyendo (3) e n (2 ) , tenemos: ON = OM - HC.

(4 )

Sustituyendo (-1-) en ( 1 \, tt>nt>lTlOIi:

C05 (a+ b)

= OM- I/C 00

Multip licando el numerador y denominador de la primera fracción por OC Y el numerador y denominnd b

=a.

resulta : (;OS (a

+ a) =ros a

= ros' a -

cos 9.. a

Si

54'

quiere

a

(;01"

ros a _ fe" a sen a.

sen~ L

función solamente del coseno, se sen' a. t -ros' a

ell

'''1

=

~us tituye :

cos2 a = 00$~ a _ { 1 _ ca.:a J

y 1"CSul ta:

= ~ a_l +corlOo

ms 2 lOo = 2iW a -

Si en la iguAldad:

I esta tabhl para resol ver dos cuestiones: AI

Halla r el k ga nlmo de un numero dada.

81

Halla r el antilogaritmo de un logaritmo dado.

A) Hallor el 101((""''''0 de un 1II·m ll'ro. Primero se detennina la caracteristica de acuerdo con Jo f'xplicado en el inciso 423.

Pora hallar la mantisa; l·) Cuando se trola de un número de una cifra: se toma la mantisa de la decena correspondiente a diclto número, 1!11 la columna encabezada ''0''.

o loS 1

•

1

= 0.000

•

•

_ "'"

O.'\ -, I

lOS 2

= 0.3010

2') Cuando S4 Irala de un número tÚ! dos o/ros. Se busca el número en la columna N y se toma la mantisa en la oolurnna encabeuda cero.

• • • "" .,. "M ,.,,, ..., " ."" , "'" 'o; ,,'" ,," ",,, " "... ,.., ,,.o ''''' ,," " N

O

1

,

.",

lar 51 = 1.7076

7' 01

1 ' 77

1324

7151 73J'

1 185

71Y.J

7 ' 93

7275

73.$8

I.cx:ARITMOS

LOGAJUTMOS DI: LAS FUNCIONES TRIGONOMtTRJCAS '93

,

N

..

1og92

= 1,9638

-

'" '''''' ""J " "J' 068, 90

".,. "

'J~2

,12

. ,-

-~:~. - ,

793'

."'

7' 0 ' 7' SS

725 1

73 2 4

,

",

-"ti ;9~

-

.

• ••

7 11 0

7 19J

Ir"

~;~

-"

'-:;{

,", ~5~

Cuando la manb.sa se encuentre en la columna encabezada por "O", el antilogantmo se encuentra en la columna encaw.ada por "N", Cuando la manusa se encuentra en una columna el'lcabeu da por " 1" , ''2'', elc., d icha cifra se coloca a continuación de las cifras tomadas en la columna " N",

LOGARITMOS.

LOGARITMOS DE LAS f'UNCIONES TRICONOMETRICAS

S~

La caracteristica nos detennina la pos ición del punto decimal, o sea, el número de cifras de la porte entera.

Cua"do El lOgaritmo no ligura en la tubkJ. Vamos a explicarlo con un ejemplo. Tenem06: wg _= 1.0875. QuereIJlO!; determina r el valor de _, es decir el antilogaritmo COJTeSpondiente al logaritmo 1.0875. Sabemos que la caracteristica 1, significa que el número tiene dos ¡;;jfras en su parte entera. Nos falta buscar cuales son estas ¡;;jfras y esto lo da la mantisa 0.0875. Buscamos en la tabla la mantisa que más se aproxime por defecto. 2" )

N

O

1

•

,-

."09'

:11: =

122 11 73

, °.'>.1 1

.,,, "'" ,

• "',.

En este caso encont r amos que la mantisa 0.0864 corresponde al núme' ro 12 en la columna 2. Es decir a un nlunero cuyas cifras son 122. Como sabemos que el número tiene (los cifras de parte entera, tene· mos, que aproximadamente el valor ooscaoo. es 12.2. Si qW'nmlOS obtener una aproximación mayor, es decir más cifras deci· males, hacemos lo siguiente; a)

HaUamos la diferencia entre la mantisa que ten emos y la que hemo.:

tcnJado de la tabla. A esta diferenc ia la llamaremos l ' diferencia: 0.0875 0.0864

l ' diferencia = 0.0011 b) HallamOli la diferencia entre la manlisa tomada en la tabla y la mantisa siguiente que (:(lfTe'Sponde Al n úmrrt) 12 3. A esta d iferencia la lIa. JnareIn06 2J diferencia :

0.0899 0.0864

2" dirr.rcnCI3 _ U.OO35

".

GEOMETRIA PLANA Y DEL ESPACIO

c.)

Ahora decimos:

Si 35 corresponde a una diferencia de 1 11" . . . . l[

,, = 11j5 = 0.314. Luego las cifras del número buscarlo son;

12.2314.

EJ ERC IC IOS

Calcular las siguientes expresiones, empleando logaritmos: 1)

2) 3)

53.2 X 16.24

89.2

-

R_' 9.685.

71.5 X 8.64 _

R_" 143.665.

O.5X8.6 (---6.3) X (-

9.432) 0.05 ) X 816.5 -

R.: -

1.-455.

.,

S" X 0.3' =

S)

S'X&X4J"=

6)

4.'F =

R_' 45.703.

1)

O.... 2."

R .: O,()(x)368.

B)

.=

(

,

,

.

R .: 16.fl 75.

R.: 10.366.

"

-

•

., JO )

11 )

12)

¡ji

.... .... .... .... .....

(j

.

\/836 X 9.12

J64.8

X 203.5

9402

J,fx)T (~)f =

-

.. . . . . . .. . . . .. . . ..

. .. ..•............... •.... .... .... • - ..... ....

.. . .. .... . .. .. . . .

'"

1.041.

Ji.; 8,73 1.

R.: 3.4.

R"

0.7225.

R.: 0.905.

LOGARITMOS

13)

(

LOCARITMOS DE LAS FUNCIONES TRTOONO METR1 CAS 397

0.(6123)1 0.1823

R.: 0.483.

=

14) v'3xV5xv'O.04 = V~.28 X y'62.15

15)

R.: 3.655.

428. MANEJO DE LA TABLA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS NA11JRALES. Esta tabla se emplea para resolver dos cuestiones:

1')

Hallar el valor de una fWlción trigonométrica de un angu lo dado. Dado el valor de W1a función tri gonométrica de un á llgulo, hollor dicho ñngulo.

2')

Para hollar el valor de una función trigonométrica COtlsiderem06 dos casos: Cuando d áogulo dado figura en la u bla . Para hallar el volor de una función de un ñngulo menor de 45°, se busca el angulo en la l ' crr lumna de lo iu¡uierda y el nombre de la función en la fila vertical correspondiente. El valor de la función trigonométrica si halla en la intersección de la fila donde se lee el ángulo y la columna encabe;,.ada por la función trigono. métrica buscada. CaliO A )

Ejemplo. ~"'M

-

Halla r ros 2 7° 2ú'. •• !040

i~

., '" r ,. '" .,'" ",'

",'

~~

'"

...,

•• 6 17

.,'", "

¡ ,,6 ..... 772 ,."

,~ .ZOJ

"'" ",

2. 166

010 1

I.IJJ

'~~ w, ", , . .,. 471 2

·504."\0

., .

1.142

!. •

...

lO' O' W

'"

lO'

:z

.,

,

,~

m

o

"

·!;09S

,,,, '" '" :U "" ... "' '" , ,,' . , '" 1· r 'l'

1·92 1

lO'

'"'

1. l n

.l:lQ10

1.127

.8~70

". ,,'

~~

'" '" ."'''' ~~ '".JI! .,,, '" '.1' 'l'

,,o

,"

,., '"

T

lO'

. .,.• 2 45 0 y 90°, son 185 que fig uran e n la tabla ; t8mbién lo son las de los logaritmos de las cotangentes de á'VfUlos menores de 45° . En esta tabla no aparecen 1C!i ,'a lores de los I~aritmos de las secantes y las cosecantc!!. En caso que fuera nEcesa rio calcularlos. recomemos que la secante y la cosecante son los n.-cíprocos del cosenO y el seno respectivamente.

.

LOGARITMOS_ LOOARITMOS DE LAS Ft.:NCIONES llUGOr.;OMETRI CAS

,'J

•

,

•

~.

I,~,n

l , ... 9 · 1n7~

•

. ;1 .1') ·1 1ó(1

••

,.. ,'.'..

"

....., ..

•• ... ...... ..... . ... ... ......

.., •• ., .,

..

....,•

'.' ••

... ...

••

log sen 30°

= 7 .6990

= 1.9368 log tan 30° -40' = 1 .7730 ¡og COI 31 == 0.2212 log COI 31 UI == 0.2184. log r;:o.s 30° 10' 0 0

. ~ISS . ~U7

+0 1

..,

GEOMETRIA PLAN,", \ ' DEL ESPACIO

Ejaup&os.

lag sen 4:5 lO'

= I .8507

log ros 45° 20' = 1.8469 log ros 45° 30'

= 1 .8457

10M tan 4 5° 40' = O.OtOI log mi. 45 50' = T.9874.

430. INTERPOLACION. Cuando se trata de buscar el logaritmo d", una funó6n trigonométrica que no esta en la tabla. ya que en ella los valores eslall calculados de ICf en 10', necesitamos hacer u n cálculo auxiliar, llamado interpolDáón. Vamos a e"plicarlo con ejemplos:

Ejemplo 1.

H allar /og sen 30° 25',

Buscamos:

log sen 30° 20'. log sen 30" 20'

=1.7033.

Tom¡lmos de la columnil " d". la diferenc:i8: 22 ( veintidos die-Lmilesimas). que corresponde a 10'. Sabiendo esta diferencia, calculamos la diferencia ar rrespondiente a 5'. 10' -

-

22

x = 22XS' _22_ 11 10' - 2 .

5'-- . Entonces tenemos:

108 set! 30' 20'

valor correspondienle a

= T.7033

5' =

log sen 30° 25'

11

--

= 1.7044

El valor correspondiente a 5', lo sumamos a l log un 30' 20', porque el seno es /tna funáón r:reciente. También lo es la tangente. Ejanplo 2.

Hallar lag

t;Ot

45° 32'.

log rot 45° 30'

= 1 .9924.

Tomamos de la columna " de" , la diferencia: 25 (veinticiru:o diezrnilesimas) O.

,-"

.

J . 14 1 3, '75

·o.p 7

.

.,.~

.0,385

71

,,,.

3 ·302

.• '94 .0286 .0278

.""" "

.0222

='7

." "

7·931 J ·979 .0'.59 ~

.O l .~

4·(>2' .0 154

8. 12 4 4.04 1

•

.Ol ~

4.141 .01 4'

4.160 .0 139 4.179 .(1)7

•.""

5.476 4°.s,u.. 8 .602 4.1')8 ·'lI1S 5. 62 5 42 1.875 4."1 .0' .\3 4.2]6 .o l J2 5.776 4J8m 6 4s6.m " .2S4 .01 30 474,W 4. 2 73 .Qu8

1,0S'> 7. 22 5

7,06 7,'" 7.744

.0221

....•. .'~

373. 2 4 8 3119.017

.0]2J

.03 . 7

3· " ''''3 J .74Q

,. ""

7. 14 1 3.708 .0I'}6 ].73J .0 192

7·'" p-80

J·756 .01119 ' 57,464 7·348 ].180 .0I8s 166,375 7-416 J.80J .olh 115,6 16 7·4 8J J.826 .0179

J.7 21 3,'" 3,'" "50.041 .,,,",, :1'62.144

-"""

2·35 ·

~

185. 193

~

." .,..,. .. .,,.. ."'. " ~

~

59 7,704 614, 125 636.056

..

9· 16s 4.3 80 .01 '9 ~ 4·391 .(1' .8 9. 7 74 4-4'4 .(1116 9-317 · 9.3 8 •

,.>JO

..

.o " .~

.01 ~ ~

"

.0"0 , .". 4.05'4 .01 09 9,'" 4 ..sJ ' .0108 8,83 6 9.0 2 5 9,2.6

SOL UClONES G EOMETRICAS

T·2l

TA81.AS DE RESOI.L'C ION DE FIGURAS PLANAS

+ a •

+

•

•

•

•

•

-.

•

•

•

:

•+

• •• •E •

L

+ a

+

+ a

•

•

•

•

• •

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•

••

• u

.¡.:

•

••

8

E

O

~

•

Z

~

~

U

.a 11

TABLAS DE RF_-. . "~ -c-

o. "

N- O

L ."~ O CC "

~" >-uu

TABUS DE RESOLUC ION DE f iGURAS PLANAS

••

:•

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•

o

•

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•

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•

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T-25

1

I - I

•

I I __

••

I

- I

•

.., I I I

til

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'J i'i

~1

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• • • I -4"~~

• ~

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c,¡

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"

TABLAS DE RESOLUC ION DE CUERPOS GEOMETRI COS

•• E • • >

...++

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-,-

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>

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T_29

• ,..:... ." ........ '1.. '1 .. ,":. _'o _'o •• • •

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."r •. i•• • • {j.• .H "

o u

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•

o

• i

1 !! I S I

é e cj,c ' <

-W~

QW

~ g.

z

~

l 4)

para a _ 1, b = 2, e .. 3,

3n){4p + 2c ) -

2n"

"'---:-p=+

e+c' n

4m' n"

9

7 R.: - 32

R_6

GEOMETRIA DE 8ALDOR

Repaso de Algebra

N~

2

Sumar hu expresiones ";guialtes: 1) n1<

+

ab ; - ab + 8me -

cn -

2cn - ab

+ nx - 5

R .; IOnx - 3ab - cn - 5

21 a' +

bO j

-3a"b + aba -

b' -Sa' - 6ab' + 8; 3a' b -

2b'

R .: ---4a' - 5ab" - 2b' + 8

+ 25nm' - 14mn"

3) 27m' + 125n' ; - 9m'n

8; Ilmn" + IOm' n

R.: 27m' + m'n + 22mn' + 125n' - 8

4) x.- ' + ).1>-2 + m°-t:

2X--' - 2)~ - 2m·----I ;

3yb-2_2m"-t

R.: 3x--' + 2)"'-2 _ 3m""""' 5) nb-· _ ro o -

I

+ 8; - 5nl>-' _ 3m" • + ID; 4 n l>- ' + 5m'-- _ 18 R.: m"-

61 x")' -

xr" + 5;

;0ivKIirV2

5) RctOI\ler

2

2~ 9

R.: 2'11 + 8~

VIV5

+

+

22

5

R.: 7 + 2 - 3

VI enl", V2- V5

+

V9x

14 = 9

x

+

10

4

R., 15 R.:

5) Simplificar 3

y-::::::r;o

R.: !lb"i

6) Simplificar

9 v=r;4 - 5" -49 + 3 7) Multiplicar 2" 8 ) Diyidi r"

v=m

1 X3"

150 +

V

28

R.: Z2i R.: -84

''f!

9

R.,

_ 1

R.,¡ 2O - 4i

9 ) Sumar.

12 -

11"

1: 8+7

10) Sumar: i ; 4 + 3i ;

V2 + 5i

R . (5 +

V2) +7i

5 V"l5

R-"

C EOMETttlA DE; BALOOR

i,rr; 9 -

1) Sumar: 9 + 2) Res tar 8 -

7V

1 de 15 - 4V

3) De - 3 - 7 V i ) M uhipJicar 8 -

11

R.: 18

iV!

R.: 7+3i

I

l , resta r - 3 + 7y=T

V

R .: _ 14i

9 por

+l/=H

5) Multiplicar

R. : 103

V2 -

+

7i

5i por

V2 + 5i

R.: 27

6 ) Dividir (5 - 3"

1) entre (3

+ 4V

R.: 3

1)

29i

25

7) Repraerllar gráficamente

- 1- 5i 8)

R~lver:

49x" -

70x + 25 ;:: O

9 1 Resol\"er: (x -

10 ) Resolver: (2x: -

5 )" -

(1( -

3J ' - ( x

R.: 6 ) " = (211 -

+ 5 )"

= - 23

3)" -

118

, 7

Ro, 7, - 3'2I R.:

I

" "3

RI':PASOS DE ALGEBRA

1) 5x(. -

2) x x

"1 lII ClII -

I)

2(2x' - 7l11 )_ ~

135 _ 10(5l11 + 5 ) _ _ 18 ... I ) - .5 (x -

4 ) . ' - 2&11: + a' - b"'

R..: _ 1,-8

•

R , 10, - 19

2) _ 2

R.: 2, •

=O

R : (a - b), (a + b) R .:

"', 2

6) (x - 3)' - (2x + 5)" _ _ 16

2 R.: 0'~3

7) 2Vx-Vx'+'1 - 1

R.:

8)

I- x _ %

R.: R.

10)

x + ' ¡ lII + 8 - 2vx+3

R.:

•

. I

"

1, 6

GEOMETR IA DE BALDOR

R·32

Repaso de Algebra

N~

27

Detenninar el carácter de las raices, $in resolver la ecuación.

1) 3x' - 2x +5 = 0

R,: Imaginarias

2) 3x'+5x - 2 .. 0

R.; Realcs, desiguales

3) 36x' + 12x + I = O

R.: Realcs, iguales

4 ) In\,estigarsi-ky 2, son las raices de: 5x' -

11x + 2 "" O R.; No

5) Dctenninar la ecuación CU)'as raitt$ son: O )' 2 6 ) Hallar dOIII

níune~ ru)'a suma es -

R.: x'-2x = 0

3 ~ y cuyo producto es 1

R.: -3

1

Y-3

7) Descomponer en factores, hallando las raices:

11x' -

1531( -

180

R.: (11x + 12)(x -

Raoh-cr:

8 ) x" - 25 = 0

R,: - 5), 5

9 ) x' - 4'ix"- I96 = 0

R,: ±7

10) 1(' - 4Ix' +400 = O

R,: ±

VI.

±2

15)

R_33

REf'ASOS DE ALCE8 RA

1) Tnonsformar en suma de radk:alcs simples!

J13 - 12 v15

R.: 3V5 - 2V7

2 ) Hallar el 11 0 lémlino de la progresión

ari~tica:

R.:

-.

3) Hallar la razCn cia q ue

..,.ala por Iff!!I puntos dado.

.:jercicioot adicionalo Dado. lO!'

~ment()5

a )' b, dibujar

los !IC."gllll_"1lIOS

2Q , 3b,

d -

b. 2a

~

b.

Rup,,,"Q 2 t;lih"lando la fj¡(II01 . "omplMar lo siguiente .

RD

DE -t

AC = :::il" -f EB """ BD

1. El q111enlo AB mide 4 cln. Dividir el K'g"mento Al': ('J1 lu ",i..m" partes qlW" tI ~111 .. nlo AB. ;(:uanto mid.- cada I~rtl' dI' AC'

Rr,pu. "n 4

Dad~ k:. lfegl1lenlO$ siguienlo", completar lo que a cOf1.linuat"i6n ,.. expresa, mn I~ ~ignO!> < o >,

~. ,

. ~. •

.,

AH

E15

C,

b)

AB

EF

G'

ágs. 17.21) SucÑ>nft

24 Genm~trb. 25. Teorema ,.

PUnlOQr un punto no pueden pasar dos perpendiculares a la misma ra:la. [jncicios

adM:~k$

¿ Cuál es la d istancia mis oorta que hay de un punto a una recta? R l"JpUf'Jlo :

2

¿Cuándo decimos que dos rectas IOn paralelas?

Ru ¡n.l"5lo : .. . . .

3. ¿Qué propiedad es aque lla por la cual acqx.a.111O!I que toda rec ta es paralela a ú misma? Rf'Spuu to : ....

4

¿Cuántas pnad ... por u"" lleO«ma 8. 67. Reciprooo.

Puntos importantes a ) Dadas dos rectas. cortadas por una secante, reconocer los distintos ángulos que

se ronnan (internos, externos, etc.) . b ) Postulado de las paralelas cortadas pOr una s«anle. el Teorema 8. Ejercicios adicKxWc:s

]. Dada la siguiente rigura, decir qué angulos A

5OfI: A

A

A

D\ byh,e)'c A

AA

b ) b Y e, A

l' AA

e) a y d, A

f

AA

A

y h

e

A

y g ,....

f

d ) tJye,dyh A l')

AA

9

A

e y h, b y r

RtJpunla: a ) ..

. b)

c) . . . .... d ) . . . . . . . e)

2. Demostrar que la suma de los ángulos intl!mos de un triángulo cualquiera es 180'

:1

Dada la ·rigura, deJnostrar que la suma de IUS ángulos in ternos es :l6()O.

A,-__________- , B

o

e

G EO M ETRI .. f'L.":-¡A y DEL ES PAC IO

&-26

R rrpu("'a·

~.

Si At.V 11

PQ

n

ML------~.~t7.L------ N

d ~'rv

p ----i~~~-------Q a b dt:"fir CCtiv.a menlc son cO"'l'leLllrnlarios.

pcrpendicular~.

dichos á ngulos

Rnpu"JIlI :

2 Si un punto pencnr("{' a la ladtJs dd ángulo.

bioo::c t ri~

do:- un ángulo, NiI"

. '$

I"tjuidistantt- dI' lO!'

RI!Jpuf"JltJ:

Si dos i,"gulos 5011 complementario!; a un mislOo a n!!;uln, eslO5 ¡jngulos 5011 suIllemcntariO$. R • •pu..sta:

4. I)m¡ angulO!i son

ad~'acenk~

ruando tienen un lado COmún.

R l"1pUn la :

J. Si los ladO$ de un :ingulo iguales o suplementarios. R" spUI!Jla '

$00

paralelos a los lad05 de otro, dichos imgulO!i 5011

......•

CaliftcacMln'_ _ _ _ _ _ __

19

Triángulos y generalidades (Págs.. .:;4-58)

Sttcioon 80, Triingul.,.

81. Cl3lificacJoo "'" loo triánguJOI. 82 . Rr.:I". y ptJn,,," notable. en tl triingulo.

Punto!> imporl anles a) b) e) d)

Definición dr triángulo. Elemento