Geometría y Trayectoria de Cables

 

HORMIGÓN PRETENSADO –  ING.  ING. MSC. PERCY F. CAMACHO RIOJA

CAPITULO 5

GEOMETRIA Y TRAYECTORIA DE CABLES El trazado geométrico de los cables es de fundamental importancia para la configuración final de esfuerzos en una pieza de hormigón pretensado. Toda vez que el objetivo principal del  pretensado es actuar eenn se sentido ntido op opuesto uesto a los esfuerzos producidos por las cargas car gas externas, e xternas, el trazado de los cables debe proyectarse en función de las cargas actuantes en la pieza, y  posteriormente ajustarlo, de manera de satisfacer los requerimientos constructivos particulares de cada situación de proyecto. 5.1 Secciones transversales típicas

Vamos a presentar a continuación algunos ejemplos de secciones utilizadas en piezas con armadura pretraccionada y postraccionada. a) Secciones transversales con armadura pretraccionada    

Los pilotes o postes pretensados son en general prefabricados con sección rectangular o circular hueca. En la construcción civil con piezas premoldeadas se utiliza con frecuencia los perfiles T simples y dobles. En obras de puentes, los perfiles más empleados actualmente son los tipos padronizados en sección I, tipos AASHTO o BPR de la PCA y secciones en cajón. La experiencia norteamericana revela que las vigas con armadura pretraccionada pr etraccionada pueden ser hechas sin bloques de extremidad, lo que constituye una simplificación muy conveniente para las formas metálicas utilizadas en planta.  b) Secciones transversales de las piezas con armadura ar madura postraccionada    

Para postesmás o pilotes, se emplean secciones circulares huecas. espesor. En vigas, las secciones eficientes son en forma de I ocuadradas cajón, cono almas de pequeño Estas secciones concentran mayores áreas en las alas superior e inferior donde ellas son más eficientes para el momento de inercia y momentos resistentes, los espesores del alma son limitados por valores mínimos constructivos. 5.2 Fundamento físico del trazado geométrico de los cables 

Consideremos como ejemplo, una viga simplemente apoyada sometida a una carga uniformemente distribuida, como se muestra en la parte superior de la figura 5.1

1

 

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Diagrama de momento flector

Variación de las tensiones normales de tracción en la fibra extrema del borde traccionado

Figura 5.1 Variación de las tensiones de tracción una viga simplemente apoyada sometida a una carga distribuida La introducción de un cable rectilíneo en la posición correspondiente al eje baricéntrico de la viga caracteriza un pretensado céntrico, produciendo tensiones uniformes de compresión a lo largo de la viga. De la superposición de los efectos efecto s de las cargas externas y del pretensado resulta la distribución de tensiones mostrada en la Figura 5.2. En la región de los apoyos de la viga el momento flector es prácticamente nulo y consecuentemente no produce tensiones tensione s de tracción ni de compresión en la sección. a) Variación de las tensiones normales en la fibra extrema del borde traccionado

Configuración final de las tensiones El pretensado céntrico produce tensiones normales de compresión en esa zona (Figura 5.2a) y el hormigón queda entonces, sujeto a tensiones de compresión en el borde comprimido de la viga, producidas respectivamente por las cargas externas exter nas y el pretensado, se suman aumenta aumentando ndo la solicitación en el hormigón en esa zona (Figura 5.2b). Es posible mejorar la configuración de esfuerzos en la viga alterando el trazado de los cables de  pretensado. 2

   

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 b) Variación de las tensiones normales en la fibra fibr a extrema del borde comprimido

Configuración final de las tensiones, para el centro del vano hay incremento de las tensiones de compresión en el hormigón Figura 5.2 Efecto del pretensado céntrico en una viga simple sometida a una carga distribuida Si consideramos un cable de pretensado rectilíneo, se puede observar que, desplazando la línea de acción de la fuerza de pretensado del eje baricéntrico de la viga, la distribución de tensiones en una sección genérica deja de ser uniforme (Figura 5.3).

+

+

3

 

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A medida que la línea de acción de la fuerza de pretensado se aleja del eje baricéntrico y se aproxima al perímetro del núcleo central de inercia de la sección, las tensiones de compresión  provenientes del prete pretensado nsado aumentan en un borde de la viga y disminuyen en el otro (Figura 5.3b). Si la fuerza de pretensado se aplica fuera del perímetro del núcleo central de inercia, las tensiones sufren un cambio de signo a lo largo de la sección, surgiendo tensiones de tracción en el borde más distante de la línea de acción de la fuerza de pretensado (Figura 5.3d).

+

-

 

+

Figura 5.3 Distribución de tensiones en la sección en función func ión del punto de aplicación de la fuerza de pretensado. a) P aplicada en el baricentro de la sección; b) P aplicada fuera del baricentro y dentro del perímetro del núcleo central de inercia; c) P aplicada dentro del perímetro del núcleo central de inercia; d) P aplicada fuera del perímetro del núcleo central de inercia. De un modo general, lo ideal es que los esfuerzos de pretensado varíen proporcionalmente a los esfuerzos externos. Eso puede conseguirse si el trazado de los cables acompaña la forma del diagrama de momentos flectores producidos por las cargas externas (Figura 5.4). Con esa configuración, el pretensado actúa en una posición optima contra la fisuración del hormigón. trazado del cable

diagrama de momento flector

Figura 5.4 Perfil de los cables en vigas hiperestáticas 4

 

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Durante la definición del trazado de los cables, el diseñador debe siempre intentar trabajar con las menores curvaturas posibles, así como un menor número curvas posibles, con el objetivo de minimizar las pérdidas por fricción, que están relacionadas directamente a esos factores. En un punto de la viga, el momento producido por la fuerza de pretensado  P  es:  es:

 =  .   Donde e es la excentricidad del cable en el punto considerado. Lo que se puede demostrar:

Para ángulos muy pequeños, se puede confundir el ángulo con el seno, y éste con la tangente

momento flector debido a una carga concentrada en el centro del vano

5.3 Influencia de los aspectos constructivos en el trazado de los cables

Aparte del efecto de las cargas, existen otros factores que inciden en el proyecto del trazado de los cables, relacionados con la geometría de la pieza, las características de los procedimientos constructivos, y el comportamiento de la estructura. 5

 

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a) En piezas con armadura pretraccionada    

Las piezas con armadura pretraccionada son fabricadas en planta, de manera que su longitud se fija en general por condiciones de manipuleo y transporte. Hay también tendencia a la padronización en las secciones de las piezas, a fin de permitir pe rmitir la utilización de los encofrados. Las armaduras de pretensado utilizadas son hilos y cordones, con tendencia a generalizar el empleo de los cordones, que permiten la obtención de mayores esfuerzos de  pretensado. -

 

En la sección de la pieza.

Los hilos o trenzas se colocan en la sección de la pieza, en elementos aislados o en  pares, generalmente a espacios regulares. Son necesarios espaciamientos mínimos constructivos entre los hilos, a fin de permitir el hormigonado de la pieza. En los extremos de la viga, el espaciamiento mínimo entre hilos o cordones según la AASHTO, debe ser 3 veces el diámetro del hilo o cordón, o 1.33 veces el tamaño máximo de los del agregado T  , adoptándose el valor mayor. max

El ancho de recubrimiento depende de las condiciones ambientales de exposición de la pieza. Considerando que las armaduras pretensadas son muy sensibles a la corrosión, el CEB adopta los siguientes recubrimientos: Condición Ambiental

Losas o Cáscaras

Piezas en general

Poco severa. Moderadamente severa. Severa

2.0 3.0 4.0

2.5 3.5 4.5

 Recubrimientos de armaduras pretraccionadas en cm., según CEB.

-

 

A lo largo de la pieza.

En postes y pilotes, las armaduras pretraccionadas se mantienen constantes y rectilíneas en toda la extensión de la pieza. En vigas hay interés en comentar las armaduras en la fase traccionada (fase superior), en el centro del vano y junto a los apoyos; si la armadura se encuentra concentrada en la fase inferior, se producen tensiones muy elevadas de compresión en la fase inferior y en tracción en la fase superior. A pesar de este inconveniente técnico, en vigas de pequeño poste las armaduras se mantienen rectilíneas para mayor simplicidad constructiva.

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En las vigas de gran poste, se obtienen mejores diagramas de tensiones a lo largo de la viga, recurriéndose a uno de los artificios siguientes: Poligonando parte de la armadura, de modo de disminuir la excentricidad del o  pretensado en los apoyos.   Reduciendo la altura de la viga, para el lado del apoyo, de manera de tener o  pequeña excentricidad en los apoyos, a pesar que las armaduras armadura s sean rectilíneas.   

 

Vigas de pequeño porte 

Vigas de gran porte con parte de la armadura poligonal

Vigas de gran porte con armadura rectilínea y sección transversal  

Figura 5.5 Ejemplos de distribución de armadura traccionada en vigas  b) En piezas con armadura postraccionada   

-

 

Posiciones de los anclajes activos  

Los anclajes activos, es decir, por donde se hace el estiramiento de los cables, son colocados en los puntos de salidas de éstos, los cuales deben escogerse de manera de  permitir el acceso y posicionamiento de los gatos.

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En las losas, los anclajes se colocan siempre en las fases laterales, los cables en general son rectilíneos en planta y elevación, pudiendo presentar una curva vertical.

Figura 5.6 Distribución de armadura post-traccionada en losas En las vigas simplemente apoyadas, los anclajes se colocan en los extremos o en la parte superior, los que salen en la parte superior tienen menor longitud, pero exige un nicho inclinado de mayor longitud para permitir la actuación del gato. En los casos de cables de gran potencia P > 200T, es preferible anclar todos los cables en las fases extremas de la viga.

1.  Cable rectilíneo anclado en las fases extremas de la viga. 2.  Cable curvo o parte curva anclada en las fases extremas. 3.   Nicho de anclaje activo en la fase extrema de la viga. 4.  Cable curvo o parte curva anclado en la parte superior. 5.   Nicho de anclaje activo en la fase superior de la viga.

Figura 5.7 Tipos de cables de pretensado usados en vigas simplemente apoyadas En vigas apoyadas con volados, los cables pueden tener los anclajes activos en las fases extremas o en la fase superior.

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1.  Cable curvilíneo anclado en las fases extremas. 2.  Cable curvilíneo anclado en la fase superior.

Figura 5.8 Tipos de cables usados en vigas simplemente apoyadas con volados En el caso de vigas con grandes volados, predominan los momentos negativos, de modo que los cables son colocados, a lo largo de la fase superior de la viga. Por razones de economía y estética, hay interés de anclar los cables en secciones intermedias. Si la viga fuese construida en avances sucesivos, los cables intermedios pueden ser anclados en las fases de la viga correspondientes a las juntas de hormigonado, el anclaje queda embutido en el interior de la viga. Si el hormigonado de la viga fuese hecho sin  juntas intermedias, los anclajes intermedios son realizados en salidas laterales. latera les.

1.  Cable parte curvo y parte recta anclado en los extremos. 2.  Cable parte curvo y parte recta anclado en sección intermedia. 3.   Nicho de anclaje activo en la fase extrema. 4.   Anclaje activo intermedio en la fase o en salidas laterales.

Figura 5.9 Tipos de cables usados en vigas de puentes con volados sucesivos En vigas continuas los cables pueden ser anclados en las fases extremas o en la fase superior.

Figura 5.10 Tipos de cables postensados usados en vigas de dos tramos 9

 

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En casos de vigas de varios tramos puede haber interés en anclar el cable en puntos intermedios, estos anclajes pueden hacerse en alargamientos laterales de la viga, de  preferencia junto a la losa que ayuda a absorber la excentricidad del esfuerzo aplicado. El anclaje intermedio puede ser hecho en la fase interior de la viga.

Figura 5.11 Tipos de cables postensados usados en vigas de tres tramos En general, se evita la salida de cables por la fase inferior de la viga, viga , para no remover y así dar acceso al gato. -

 

Bloques en los extremos de la viga  

Las vigas con cables postraccionados, tienen sus extremidades ensanchadas, con la finalidad de acomodar los anclajes situados en los extremos. Esos extremos ensanchados se denominan bloques, cuya longitud se debe escoger observando valores mínimos constructivos. En general los bloques de extremos son tomados con an ancho cho igual al del ala más corta. La longitud debe ser por lo menos igual a ¾ la altura de la viga, y no inferior a 60cm.

Figura 5.12 Detalle de bloque de anclaje ensanchado en los extremos 10

 

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-

 

Figura 5.12 Detalle anclaje en salida lateral de la viga Distribución de los cables en la sección transversal   La posición relativa de los cables en la sección transversal queda condicionada por los espaciamientos entre las vainas. Se recomiendan espaciamientos mínimos constructivos entre vainas, así como entre los anclajes en los extremos de las vigas. En las secciones de mayor concentración de cables, ca bles, a fin de permitir el hormigonado, las vainas son colocadas unas sobre otras, respetando los espaciamientos libres mínimos, en planta y en elevación especificados en las normas. Los espaciamientos libres en planta se destinan a permitir la colocación del hormigón (mínimo 4cm.) libres o al paso de la aguja dañar las vainas los espaciamientos en elevación sondel paravibrador, permitir sin la total envoltura de la(7cm.), vaina por el hormigón. Las normas AASHTO especifican el espaciamiento libre entre vainas, no menor que q ue 1.5T  T max , independientemente del diámetro de la vaina. ½ ó 1.5

-

 

Elevación de los cables en el alma  

En las regiones de mayores momentos flectores, f lectores, los cables se encuentran próximos a la fase de la viga traccionada por la flexión. En las secciones intermedias, algunos o todos los cables penetran en el alma de la viga, contribuyendo a la resistencia al esfuerzo cortante de la viga. El levantamiento de los cables puede realizarse de manera ordenada, procurándose limitar el mínimo de cables levantados simultáneamente, para evitar reducción exagerada del ancho efectivo del alma de la viga y también para no dificultar el hormigonado. En vigas premoldeadas con almas delgadas, los cables son colocados uno a uuno no en el alma. En vigas moldeadas in sitio, es común levantar los cables en pares. En las figuras siguientes se presentan esquemas de distribución de cables en las secciones de momento máximo, estando los cables numerados por orden de izamiento o descenso en el alma.

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a)  Cables alzados en el plano vertical del eje de la viga. b)  Cables alzados en el plano vertical del eje de la viga. c)  Cables alzados en dos planos verticales.

a)  Cables descendiendo en el plano vertical del eje de la viga. b)  Cables descendiendo en el plano vertical del eje de la viga. c)  Cables descendiendo en dos planos verticales.

Figura 5.13 Esquemas de distribución de cables en las secciones de momento máximo 12

 

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-

 

Zona de Cableaje

Zona de pasaje de los cables que garantiza que, en ninguna sección transversal de la viga pretensada, las tensiones de trabajo en el hormigón sobrepasen los valores de las tensiones admisibles. La estructura pretensada pasa por diversas fases críticas a lo largo de su vida útil que es preciso comprobar. El límite de tracción se clasifica como ELS, siendo obligatorio verificar los límites de tracción en las dos fases de proyecto: El instante de transferir la fuerza de tesado al hormigón o transferencia y, El estado de la actuación de las combinaciones de cargas totales, permanentes y accidentales, después de las perdidas diferidas. En las dos situaciones críticas descritas anteriormente, el condicionante más importante suele ser la resistencia a tracción del hormigón. La fibra más traccionada es la fibra superior a corto plazo y la fibra inferior a largo plazo. Diferenciando entre la fase de transferencia y la fase de servicio aparecen las siguientes inecuaciones, relativas a las limitaciones de las tensiones de tracción.

1         ≥      

 

+          ≥     1 1

 

Dónde: Mg1 = momento flector mínimo que se presenta en transferencia Mg+q = momento flector máximo que se presenta en estado de servicio W2  y W1  = módulos resistentes de la sección referidos a la fibra superior e inferior, respectivamente P0  y βP 0 = valores de la fuerza de pretensado en transferencia y en estado de servicio (siendo β el coeficiente de pérdidas a largo plazo)

  = resistencia del hormigón a tracción en transferencia   = resistencia del hormigón a tracción en estado de servicio, figura de abajo.

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σcto 

σct 

Figura 5.14 Estado de tensiones en transferencia y servicio Generalmente, lo más restrictivo en vigas simplemente apoyadas suele ser la limitación de tracción en la fibra inferior en servicio para la sección situada en el centro del vano. Desde el punto de vista lo más yinteresante disponer la máxima excentricidad permitida en laeconómico, sección en cuestión determinar es la fuerza de pretensado a  partir de la segunda de las ecuaciones anteriores. a nteriores. Alternativamente, para un valor determinado de la fuerza de pretensado Po se puede establecer una zona de cableado despejando e de las inecuaciones.



 ≥    

 −    

 

≤

  +     

 

Figura 5.15 Estado de tensiones en transferencia y servicio Para el Estado Limite de Servicio es frecuente recurrir al estado de descompresión, obligando a que σcto = σct= 0. 14

 

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5.4 Grado de pretensado 

Para el caso de piezas sometidas a flexión, se define el grado de pretensado como la relación entre el momento flector de descompresión y el momento característico máximo.

 =

 (+ +))

 

Donde  corresponde a la parte de la carga accidental que ocurre con frecuencia ( carga de larga duración). El momento de descompresión es aquel para el cual se alcanza el límite de descompresión, o sea, para el cual las tensiones de tracción en la sección, provenientes de las cargas externas, se anulan. En el caso de pretensado completo se tiene grado de pretensado por lo menos igual a 1. Por lo tanto, esa relación entre momentos flectores representa la aparición de tensiones de tracción o de formación de fisuras en una pieza. Según Leonhardt, es erróneo pensar que un pretensado completo conduce a un mejor comportamiento estructural que un pretensado limitado. Por ejemplo, en piezas con cargas  preferentemente variables el actúen pretensado completo puede llevar a situaciones críticas en el estado inicial.(relación Es decir, q/g), cuando tan solo el pretensado y el peso propio de la viga, las solicitaciones pueden alcanzar valores bastante elevados. Pueden surgir fisuras en la zona traccionada por los esfuerzos de pretensado, asociados a desplazamientos negativos o incluso pueden reducir la altura útil de la sección. Las flechas negativas pueden puede n acentuar además con la retracción y fluencia del hormigón, perjudicando la utilización de la pieza. El pretensado completo puede reducir el uso de armadura pasiva en pequeñas cantidades. Si surgieran esfuerzos de tracción y fisuras provocadas por diferencias de temperatura o asentamientos de apoyo, la armadura pasiva puede resultar inadecuada para controlar la fisuración.

armadura pasiva mínima

grado de pretensado Figura 5.16 Consumo de acero en función del grado de pretensado 15

 

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Según Bachman, existen razones económicas que justifican la utilización de un grado de  pretensado menor que 1. Diversos resultados obtenidos demuestran que existe un unaa composición óptima de armadura activa y pasiva que redunda en menores costos; eso se obtiene con grados de pretensado del orden de 0.5 a 0.6 (Figura 5.16). 5.5 Trazado geométrico de los cables 

Los cables de pretensado en general son constituidos en tramos rectilíneos y curvos, para los sectores curvilíneos de manera general se usan curvas que pueden ser:  x 2  y  f   2    s  x 3  y  f   3    s

Parábola de 2º grado: Parábola de 3º grado:

 y  R  R 2  x 2  

Circular:

tg      tg     

2 f    s 3 f    s

    



 = √ − =  

La Parábola de 3º grado es usada con poca frecuencia, frec uencia, permite mayor excentricidad. La curva Circular es usada en ciertos casos, permite un pretensado constante. En los proyectos generalmente la más usada es la curva parabólica de 2º grado, tiene la ventaja de ser una curva simple y de radio de curvatura aproximadamente constante.

Figura 5.17 Geometría general de la parábola de segundo grado  x 2 Ecuaciones para el cálculo de la curva:  y  f   2    s

tg    

2 f    s

 



 =        

En tramos simples con cargas uniformes puede ser suficiente que los cables sean Parábolas de 2º grado de extremo a extremo. Fijada la posición de los cable cabless en el centro y en el apoyo, el cable medio estará definido por la ecuación:  y  4

e  x2 2

l 

 

Siendo:

e   Excentricidad en el centro. l      Luz del tramo.

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El caso más general es el de un cable de dos o tres segmentos y anclados en los extremos de una viga simple, las características geométricas serán:

Figura 5.18 Caso general de un cable de dos o tres segmentos Caso I : Se conocen

d  ,  s , c  y  H  .

Se requiere   , h  

La ecuación del cable medio referido al eje y, y al intradós de la viga es:  (h  d )

(h  d )  y  d  

2 x   ,

 s 2

tg    2

h  H  c  tg     

  y

 s

Reemplazando tg     : h  H c2

Luego:

 

 (h  d )  s

    h 

 H  s  2c  d   s  2  c

 

   ( h  d )     tg 1  2     s 

Caso II : Por razones constructivas se fija

 

 y de igual manera

d  , c  y  H  ,

se debe calcular h  

y  s     h  H  c  2

h  H  c  tg     

 (h  d )  s

 

y finalmente:  s 

2  c  (h  d )  H  h

 

5.6 Verificación de las deflexiones

La deflexión de las vigas esbeltas y relativamente flexibles que se pueden construir mediante la utilización del pretensado debe estimarse cuidadosamente. Muchos elementos, satisfactorios desde todos los otros puntos de vista, han demostrado ser inservibles por su deformación excesiva. En algunos casos, el valor absoluto de la deflexión es excesivo. 17

 

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A menudo, La deformación diferencial entre elementos adyacentes (por ejemplo, unidades  prefabricadas para tableros de cubiertas) eess la que gene genera ra problemas. pr oblemas. Con bastante ba stante frecue frecuencia ncia las dificultades que ocurren están asociadas con la deflexión hacia arriba producida por la carga sostenida de pretensado. Estas dificultades se evitan con una consideración adecuada en el diseño. Cuando se aplica por primera vez la fuerza de pretensado, pretensad o, una viga presentará normalmente una contraflecha hacia arriba. Con el transcurso del tiempo, la retracción de fraguado y el flujo  plástico del cconcreto oncreto (propiedad mediante la cual el material se deforma continuamente en el tiempo cuando está sometido a esfuerzo o carga constante) producirán una reducción reduc ción gradual de la fuerza de pretensado; a pesar de esto, la deflexión hacia arriba aumentará por lo general a causa del flujo plástico diferencial, que afecta más las fibras inferiores sometidas a altos esfuerzos que las superiores. Con la aplicación de las cargas muertas y viva superpuestas, esta deflexión hacia arriba se  balanceará parcial o totalmente y se obtendrá una deflexión nula o una deflexión hacia abajo. Al calcular esta deformación, debe prestarse atención especial a la duración de la carga.  

Figura 5.19 Cable de pretensado y diagrama de momentos flectores debido al pretensado

La estimación de la deflexión puede realizarse con diferentes niveles de precisión, según la naturaleza e importancia del proyecto. En algunos casos es suficiente aplicar unos límites a la relación luz-altura, con base en las experiencias pasadas, de manera general se puede tomar como límite  L/250 para la flecha total, donde  L es la longitud del elemento que se comprueba, y L/400 para la flecha activa, ac tiva, además, para evitar flechas en e n mampostería, la flecha activa debe de ser menor de 1 cm. En general, es necesario calcular las deflexiones para todos los elementos pretensados, de acuerdo con las recomendaciones de las normas actuales es preciso calcularlas. El método aproximado que se describe en este apartado resulta suficientemente preciso en la mayoría de los casos. En circunstancias especiales, donde es importante obtener la mejor información  posible con relación a la deflexión eenn todos los estados importantes de carga, como en puentes de luces largas, el único método satisfactorio consiste en utilizar un procedimiento de sumas  basado en incrementos de las deflexiones en intervalos discretos de tiempo. De esta manera,  pueden tenerse en ccuenta uenta los cambios dependientes del tiempo de la fuerza de pretensado, pretensad o, las la s  propiedades de los materiales y las cargas hasta el grado de precisión que se de desee. see. 18

   

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 Normalmente, las deflexiones de principal interés son las que ocurren en el estado inicial, cuando la viga se somete al pretensado inicial    y a su peso propio, y para una o más combinaciones de carga de servicio, cuando la fuerza de pretensado se reduce al valor efectivo ∞ a causa de las pérdidas. Las deflexiones cambian por el flujo plástico que ocurre con la fuerza de pretensado sostenida y con todas las demás cargas sostenidas. La deflexión a corto plazo ∆, producto de la fuerza de preesfuerzo inicial  , puede determinarse con base en la variación del momento de pretensado pretensad o a lo largo de la luz, utilizando los principios del área de momentos. Para vigas estáticamente determinadas, las ordenadas del diagrama de momentos que resulta de la fuerza de preesfuerzo excéntrica son directamente  proporcionales a la excentricidad de la línea del centro de gravedad del acero con respecto al centro de gravedad del hormigón. En vigas estáticamente indeterminadas, la excentricidad se debe medir hasta la línea de empuje en vez del centro de gravedad del acero . La deflexión hacia abajo ∆  por el peso propio de la viga, que es por lo general carga uniformemente distribuida, se encuentra mediante los métodos convencionales. Así que, la deflexión neta obtenida inmediatamente después del pretensado es: ,

∆= ∆  ∆   donde el signo negativo indica un desplazamiento hacia arriba, y puede calcularse mediante las siguientes expresiones:

∆ =

         ,  

∆ =

          

Las deflexiones a largo plazo debidas al pretensado ocurren a medida que la fuerza se reduce en forma gradual de    a ∞ . Esto puede tenerse en cuenta de manera aproximada, suponiendo que el flujo plástico ocurre con una fuerza de pretensada constante igual al promedio de los valores inicial y final. Consecuentemente con esta suposición, la deflexión total que resulta de solo pretensado es:  ∆  ∆∞ ∆= ∆∞      

∆∞= ∆   Donde:  y , es el coeficiente de flujo plástico para el concreto (ver valores en la tabla ). Parámetros típicos de flujo plástico Resistencia a la Compresión Mpa

Flujo plástico Específico   10-6 por Mpa

Coeficiente de flujo plástico

21 28 35 41

145

3.1

116

2.9

97

2.6

80

2.4

58 41

2.0 1.6

55 69

  

19

 

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Perfil del Cable

Deflexión a medio tramo

Figura 5.20 Deflexiones de pretensado para varios perfiles del cable a. Cable parabólico con excentricidad e en el centro del vano  b. Cable inclinado con excentricidad excentricidad e en el centro del vano c. Cable inclinado con excentricidad e en el centro hasta los tercios del vano d. Cable inclinado con excentricidad e en el centro hasta los cuartos del vano e. Cable rectilíneo horizontal con excentricidad e constante a lo largo del vano f. Cable parabólico con excentricidad e1 +e2 en el centro del vano y e1 en los extremos

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