Geometría UNI 5º

Índice Capítulo 1 Triángulos con ángulos entre paralelos........................................................... 4 Capítulo 2 Líneas notables en el triángulo........................................................................ 9 Capítulo 3 Congruencia de triángulos............................................................................ 14 Capítulo 4 Aplicaciones de la congruencia..................................................................... 20 Capítulo 5 Polígonos...................................................................................................... 25 Capítulo 6 Cuadrilátero.................................................................................................. 30 Capítulo 7 Repaso.......................................................................................................... 35 Capítulo 8 Circunferencia - Ángulos asociados.............................................................. 39 Capítulo 9 Circunferencia - Propiedades........................................................................ 46 Capítulo 10 Puntos notables............................................................................................. 52 Capítulo 11 Puntos notables (Recta de Euler)................................................................... 57 Capítulo 12 Proporcionalidad.......................................................................................... 62 Capítulo 13 Semejanza..................................................................................................... 67 Capítulo 14 Relaciones métricas en la circunferencia...................................................... 73 Capítulo 15 Relaciones métricas en triángulos rectángulos.............................................. 79 Capítulo 16 Repaso.......................................................................................................... 85 Capítulo 17 Relaciones métricas en triángulos oblicuángulos.......................................... 88

Geometría Capítulo 18 Polígonos regulares....................................................................................... 93 Capítulo 19 Áreas triangulares......................................................................................... 98 Capítulo 20 Áreas cuadrangulares.................................................................................. 104 Capítulo 21 Áreas de regiones circulares....................................................................... 110 Capítulo 22 Repaso ....................................................................................................... 117 Capítulo 23 Geometría del espacio................................................................................ 122 Capítulo 24 Ángulo diedro y ángulo triedro................................................................... 128 Capítulo 25 Poliedros y poliedros regulares................................................................... 133 Capítulo 26 Prisma y cilindro......................................................................................... 138 Capítulo 27 Repaso........................................................................................................ 143 Capítulo 28 Tronco de prisma y cilindro........................................................................ 147 Capítulo 29 Pirámide y cono.......................................................................................... 154 Capítulo 30 Repaso........................................................................................................ 160 Capítulo 31 Tronco de cono y pirámide......................................................................... 163 Capítulo 32 Superficie esférica y Pappus........................................................................ 168 Capítulo 33 Esfera y Pappus........................................................................................... 173 Capítulo 34 Repaso........................................................................................................ 179

Problemas resueltos Resolución:

1. En el gráfico: L1//L2//L3; L4//L5. Calcular "x".

α θ

4β

L2

θ

80º

L1

x

L5

L4

Resolución: θ B E

L2

θ L3

4β β 50º

80º

L1

x



L1//L2 : 2θº+80º=180º ⇒ θ=50º L2//L3 : mBEBF=50º L4//L5 : 5β=2θ 5β=100º

⇒ βº=20º

nº nº

2B B

A

γ b

Quinto UNI 4

ββ

2θ θ

m m

θ

x

θ

B

2. En el gráfico mostrado, calcule: a+b. a

2B

x

90º+

2α

2θ θ

Resolución:

∆EBF : 50º+x=4 βº 50º+x=4(20º) \x=30º.

30º

25º b

3. En el gráfico mostrado, calcule "x".

L5

L4

γ

a

En el ∆ABC : 3α+3θ=150º : α+θ=50º Por Prop. mBEBF= α + θ = 50º =25º 2 2 ∆FNG : 25º+a+b=180º \ a+b=155º.

B

α

γ ββ

30º

F



a

b

L3

β

γ

2α

nº

nº

B

x 2x 2

2B m m S m m

T

x

x

θ θ θ C

Piden: "x" Por propiedad de bisectrices interior y exterior: mBABC=4B ∆BTS: Prop. Bisectriz interior y exterior mBBTS=2x. ∆ABC: Prop. Bisectrices interiores mBATB=90º+ x . 2 90º+ x +2x=180º 2 \x=36º. Colegios

TRILCE

Geometría 4. En un triángulo ABC, se ubica en AB y BC los puntos "P" y "Q", respectivamente. mBBAQ=30º, mBQAC=50º, mBPCA=60º y AB=BC. Calcule mBQPC.

5. Según el gráfico, calcule α+β+θ, si AN=AT, BM=BR y CS=CP. M

Resolución:

R

B

Q

A

a

P

Resolución:

a

20º a 40º 20º 60º

C

T

N

50º

E

θ

α

A

40º x

40º a 60º 80º 30º 50º

β S

P a

B

Mb

B b 2b

C

Piden: "x" Se traza CE tal que mBECA=20º ∆EQC: equilátero. ∆EPQ: isósceles: 40+x =70º \x=30º.

R



β S

A N



a

θ c 2c

2a α a T

c

C

P

Piden : α+β+θ ∆ABC : 2a+2b+2c=180º a+b+c=90º



∆TRS : a+α+β+b+θ+c=360º a+b+c+α+β+θ=360º 90º \ α+β+θ=270º.

Problemas para clase 1. En el gráfico, a // b , αº + θº=160º y el ángulo PQS es recto, calcule el valor de "β". aº

P βº

3. En el gráfico, αº=24º. Calcule el valor de "θº".

αº

a

θº

θº θº θº

Q b

θº S

a) 35º d) 55º

b) 40º e) 80º

c) 50º

a) 28° d) 42º

4. Tenemos m // n , el ángulo AOB es recto. Calcule el valor de "α".

2. En el gráfico, calcule "x":

m

A βº 7αº

7βº 8θº

Central: 619-8100

αº

xº

αº

a) 140º d) 160º

xc) 39º

b) 36º e) 52º

θº

b) 110º e) 120º

φº

αº n

αº

8φº

c) 100º

a) 12º d) 45º

b) 15º e) 60º

B

O

c) 30º

www.trilce.edu.pe 5

5. Si: m // n , calcule el valor de "x". xº

160º

xº

b) 10º e) 30º

6. En el gráfico: a // b ; m// n y α=66º, calcule "x". b

βº

αº

βº

m

3xº φº

a) 66º d) 15º

φº

n

b) 60º e) 11º

c) 33º

7. Si: L1// L2, calcule el valor de "x". φº

φº

64º

2xº

a) 40º d) 16º

L1

αº

a

αº

c) 15º

a

zº αº

n

160º

αº

yº

αº m

xº+10º 2xº x+40º

a) 5° d) 20º

10. Si : a // b , calcule: xº+yº+zº.

a) 120º d) 165º

b

b) 135º e) 180º

c) 150º

11. Si: L1// L2// L3 ; αº+βº=200º. Calcule el valor del ángulo ABC. L1 B βº

L2

bº bº

A

aº

αº

aº

L3

C

a) 60° d) 90º

b) 70º e) 100º

c) 80º

12. Si : L1// L2 ; b° - a°=70°. Hallar "xº" xº

αº L2

b) 36º e) 8º

L1

aº

c) 32º bº

L2

8. Si: BA = AD = DC, calcule: mBBCD. B

a) 50º d) 75º

D 5αº αº 3αº

A

a) 12º d) 18º

C

b) 10º e) 16º

a 

xº

A 

βº

6

B 

αº

θº

F 

36° E

αº

Quinto UNI

b 

xº

βº

a) 90º d) 130º

c) 70º

13. Si: a // b , AB // EF, α=22º y θ=144º, calcule el valor de "x°".

c) 15º

9. En el gráfico mostrado, calcule "xº", si: β=50º.

βº

b) 60º e) 90º

50°

a) 54º d) 122º

b) 58º e) 128º

c) 78º

αº

b) 100º e) 150º

c) 120º Colegios

TRILCE

Geometría 14. En la figura L1// L2, si: mº+nº+qº=135º, calcule: (αº+θº) mº αº

xº

nº θº

L1

2αº

L1

2θº αº

L2

a) 93º d) 107º

αº θº

qº 86º

48º

15. En el gráfico: L1// L2. Calcule el valor de "x°".

b) 97º e) 108º

c) 100º

a) 30º d) 45º

L2

b) 37º e) 60º

c) 40º

Tarea domiciliaria 1. En el gráfico mostrado, calcule la medida del ángulo ABC. B

aº

a) 9µ d) 8

aº

120º

A

C

a) 20º d) 40º

40º

D

b) 60º e) 50º

c) 30º

2. En el gráfico mostrado, calcule: y - x.

x y

a) 20º d) 30º

60º

b) 10º e) 25º

c) 60º

3. En el gráfico mostrado, hallar el valor de "xº". dº dº

xº

a) 20º d) 10º

Central: 619-8100

6. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas BE y BD, donde "E" ∈ AD y mBEBD = mBDBC =mBABE=xº, AB=AD y 3 2 BC=EC, calcule "xº". a) 10º d) 18º

b) 12º e) 20º

c) 15º

aº

4aº

4bº

bº

x

a) 120º d) 132º

b) 118º e) 126º

c) 144º

aº 2aº bº bº

b) 15º e) 25º

aº aº

2bº

c) 35º

4. Los lados de un triángulo miden 8, "x" y "3x", calcule el valor entero de "x". a) 1µ d) 4

c) 6

8. En el gráfico mostrado, calcular "xº".

cº cº

80º

b) 7 e) 5

7. En el gráfico mostrado, calcule "xº".

a a

80º

5. En un triángulo ABC, AB=5µ, BC=9µ. Calcule la diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero que puede tomar AC.

b) 2 e) 5

bº

bº

xº

a) 120º d) 135º

b) 150º e) 105º

c) 144º

c) 3

www.trilce.edu.pe 7

9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la ceviana CM. Si CM=12µ, MB=2x y AC=3x+6, calcule los valores enteros que puede tomar "x". a) 2,3,4,5,6 d) 4,5,6

b) 2,3,4 e) 3,4

c) 3,4,5

10. Dado el triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "C", AC=6 cm y BC=4 cm. Calcular la suma del máximo y mínimo valor entero de AB. a) 13 cm d) 12 cm

b) 14 cm e) 16 cm

c) 17 cm

11. Dada la región triangular ABC cuyo perímetro es igual a 10 m. (en dicha región de ubica el punto "P"). Calcular PA+PC, sabiendo que dicha suma es entero y que además AC toma su máximo valor entero. a) 6,5 m d) 5

b) 5,5 e) 6

c) 4

16. Cuál es el máximo valor entero de la longitud de un lado de un triángulo, si el perímetro de su región es igual a 40µ. a) 20µ d) 19

b) 21 e) 18

17. En un triángulo ABC, en los lados AB y AC se ubican los puntos "D" y "E" respectivamente, DE=EC=BC. La medida del ángulo BAC es igual a 25º y la del ángulo ADE es igual a 35º. Calcular la medida de ángulo ABC. a) 68º d) 70º

b) 85º e) 92º

b) 28º e) 32º

B L1

2αº O αº

c) 29º

13. Los lados de un triángulo isósceles miden 5µ y 12µ. Calcule el perímetro de la región del triángulo. a) 22µ d) 29

c) 99º

18. En el gráfico, L1// L2 y el ángulo AOB es recto. Luego, el suplemento del complemento de "αº" es:

12. En un triángulo isósceles ABC cuya base es AC, se ubican los puntos "P" en AB y "Q" en BC de modo que: mBPAQ=20º, mBACP=50º y mBPCQ=30º. Calcule la mBPQA. a) 30º d) 31º

c) 22

b) 25 e) 30

c) 24

L2

A

a) 30º d) 90º

b) 45º e) 120º

c) 60º

19. Calcular "x" si L1// L2 y el triángulo ABC es equilátero. A 7θ

14. Del gráfico mostrado, calcule "xº".

L1

x

xº C 100º

B

xº

a) 120º d) 110º

L2

θ

b) 130º e) 145º

c) 135º

a) 100º d) 140º

b) 130º e) 110º

c) 120º

15. En el gráfico, halla el valor de "θº". 2θº 2θº

θº

a) 10º d) 20º Quinto UNI 8

b) 15º e) 25º

2θº

2θº

c) 18º Colegios

TRILCE

Problemas resueltos 1. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM, si mBBAC=106º y mBBCA=23º. Calcule: mBBMA.

3. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BN, tal que BN=AC, mBBAC=100º, mBBCN=30º. Calcule mBNBC.

Resolución: T

4m 37 º S 5m 3m B

Resolución: B x 6m

50º

14º

106º A



x

5m

M

A

6m

5m

23º







Resolución: B α

α

S S

H A

m C 2m S

Piden "x" Se prolonga BM y luego CS ⊥ BM ∆ AHM ≅ ∆ MSC HM=MS, AH=SC ∆ BSC: `NOT 53 y 127 j 2 2 53 ` X= 2

Central: 619-8100

C

4. En un triángulo isósceles ABC (BC=AC), se traza la ceviana BL, tal que mBBCA=2mBCBL. Calcule mBBCA, (AB=LC).

45 x 2m



N

Se prolonga BA tal que TC=BT ∆BNCT: Prop. del cuadrilátero no convexo mBTBN=40º. \x=10º.

B

M m

30º 20º

80º

C

2. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM, luego se traza AH ⊥ BM (H ∈ BM). BH=2(HM). Calcule mBCBM. (mBABH=45º) Resolución:

A

80º

T

Sea : TA=AC ∆BST : NOT 37º y 53º ∆BSC : NOT 14º y 76º :BTCM : Trapecio isósceles • BM//TC ` xº=37º.

2m

100º



90º-α H

N

E 2α α

S 30

L

2α

C

Piden: 2α Se traza LE tal que mBLCE=2α Se traza BH ⊥ AC, ∆ABH ≅ ∆BEN • BN=NL=BH (∆HBL: NOT 30º y 60º) 30=α+2α α=10 \ 2α=20º.

www.trilce.edu.pe 9

5. En un triángulo rectángulo ABC recto en "B" (AB=BC), se ubica un punto interior "P" PA=AB, mBBCP=135º. Calcule mBBCP.



Piden: "x" Se traza AH ⊥ BP BH=HP=α • ∆ABH ≅ ∆BIC (ALA) IC=BH

B



a θ H



• ∆BCI:NOT ( 37º y 143º ) 2 2 37 º • x+ =45º 2

a



Resolución:

θ θ

135º

P 45º a

A

\ x= 53º . 2

x C

α

a

I

• θ= 37º 2

Problemas para clase 1. Del gráfico, calcule "x".

5. En un triángulo ABC, mBA=2(mBC), la bisectriz interior BD prolongada intersecta en "E" a la bisectriz exterior del BC. Si: DE=8µ. Calcule CE.

θ θ x

x

a) 4µ d) 6

α α

a) 12° d) 36º

b) 18º e) 60º

c) 24º

2. Calcule "xº": B 80º

α A

α

a) 140° d) 110º

b) 7 e) 10

6. En un triángulo ABC, sobre la prolongación del lado CB se ubica el punto "Q", tal que la medida del suplemento del ángulo AQC es el doble de la medida del ángulo ACB. Calcule QB. Si: AQ=9 y BC=7. a) 1 d) 4

xº

θ θ

C

b) 130º e) 125º

c) 120º

3. En el gráfico, calcule el valor de "xº".

c) 8

b) 2 e) 5

c) 3

7. Sobre el lado AC de un triángulo ABC, se ubica el punto "E", de tal manera que: EB=AB=10, BC=16 y mBC=30°. Calcule EA. a) 16 d) 13

b) 15 e) 12

c) 14

8. En la figura, calcule "α". B

θ θ α E

α 3xº

a) 18º d) 12º

b) 16º e) 20º

4xº

c) 19º

15º

A

a) 30º d) 18º

F

α

b) 24º e) 15º

45º C

c) 20º

4. En un triángulo ABC, mBA - mBC=18º. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz interior del BB y la mediatriz de AC. a) 16º d) 12º Quinto UNI 10

b) 24º e) 9º

c) 18º Colegios

TRILCE

Geometría 9. En la figura, calcule "θ".

12. En el gráfico, AM=MB, calcule "x". B

B

135º

135º

M

M θ

8º

A

53º/2

C

a) 30º d) 35º

b) 31º e) 37º

c) 33º

10. En el gráfico, calcule: "xº ". AB = BC. 63º

A

30º

a) 10º d) 18º

b) 8º e) 16º

C

c) 12º

13. En un triángulo ABC, "M" punto medio de AC. Si: mBA=14º, mBC=25º/2, calcule la mBABM.

B 21º

x

A

a) 75º d) 100º

C

xº

b) 82º e) 105º

c) 90º

14. En el grafico, PB=PC, AB=BC, calcule "xº". B

a) 15º d) 30º

b) 20º e) 45º

c) 25º

2 AB=2BC. Calcule: "α", si:

11. En el gráfico AM=MB. B

a) 14º d) 53/2º

M α

A

Central: 619-8100

P A

135º

a) 15º d) 45/2º

75º

b) 37/2º e) 8º

C

c) 12º

xº

C

b) 15º e) 30º

c) 37º/2

15. En un triángulo ABC, "P" punto medio de AC. Si la mBA=53º, mBC=23º, calcule la mBCBP. a) 28º d) 37º

b) 30º e) 53º/2

c) 36º

www.trilce.edu.pe 11

Tarea domiciliaria 1. Dos lados de un triángulo isósceles miden 5µ y 12µ. Calcular su perímetro. a) 22µ d) 29

b) 25 e) 31

6. Calcular el valor de "x", si: a+b=220º y CN=NM.

c) 27

C

θ θ N

2. Calcular "θ", si: AE=EF=FP=PB.

x

M

B a F

b

3θ 140º

2θ

A

E

b) 120º e) 135º

c) 140º

C

P

a) 10º d) 20º

a) 110º d) 150º

b) 18º e) 24º

c) 15º

7. En un triángulo ABC, se tiene que 6AB=5AC y mBA=7º. Calcule la mBC. a) 37º d) 53º

3. Calcular "x".

b) 45º e) 60º

c) 30º

8. Según el gráfico, calcular "2x", si AB=AC.

β

º

B

27

θ

xº

θ β

a) 9º d) 15º

b) 18º e) 28º

c) 27º

4. Si BC // ED, m - n=16º. Calcular "α". AD=DE. nº

B mº

A

xº 2xº

a) 16º d) 14º

E

αº C

b) 18º e) 26º

D

c) 22º

5. Calcular "θ" si los ángulos ACE y BFD son suplementarios.

θ A

C

3θ

b) 40º e) 50º

C

c) 10º

a) 6,4º d) 4º

b) 5º e) 3,2º

c) 4,8º

10. Según el gráfico, calcular: m+n. α

α

θ

θ

2θ

m

n

20º

3θ

θ A F

12

70º

9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la ceviana interior CM, de tal manera que mBBCM=39º. Calcule "AM". Si: BC=9,6 y mBA=37º.

40º

Quinto UNI

80º

a) 60º d) 20º

D B

a) 10º d) 18º

θ

x

b) 12º e) 20º

E

a) 220º d) 200º

b) 210º e) 250º

c) 145º

c) 15º

Colegios

TRILCE

Geometría 11. Según el gráfico, calcular (x+y). B

15. Calcular "x", del gráfico mostrado. θ θ

y

β

α y

x A

y-α

x+m

C

40º

a) 200º d) 280º

b) 210º e) 245º

c) 220º

a) 8º d) 13º

b) 10º e) 15º

B x

α A

R x

2θº

A

a) 10º d) 40º

C

D

b) 50º e) 35º

c) 30º

13. Calcular "x", si AD=DC=BC. xº A

B C

D

b) 80º e) 75º

c) 65º

14. Calcular BC, si: AB+AD=4. αº αº

θ

Central: 619-8100

D

b) 5º e) 4º

b) 20º e) 25º

c) 30º

b) 10 e) 6

c) 8

18. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC, obtuso ! ! en "C", de modo que mC - mA =32º. Calcular la medida del ángulo que forman la bisectriz exterior BE y la altura BH. a) 64º d) 72º

a) 12µ d) 15

2θ

a) 3º d) 9º

C

b) 68º e) 74º

c) 70º

19. En un triángulo ABC la mBA=30º mBC=7º, BC=10. Calcule: AC.

B

A

30º

17. Sobre el lado BC de un triángulo ABC, se ubica el punto "D", tal que la mBADC es igual a la semisuma de los ángulos interiores de "A" y "B". Calcular BD, si además: AC=12µ y BC=16µ. a) 14µ d) 4

60º

35º

a) 85º d) 95º

45º D

60º

a) 40º d) 45º

c) 12º

16. En la figura mostrada, calcular "xº"

B

3θº

m

x

12. Calcular el valor de "x". si: 2mBABD+mBBCA=130º. α

β

80º

C

c) 7º

b) 13 e) 16

c) 14

20. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD. Si mBA-mBC=20º. Hallar mBBDC. a) 100º d) 110º

b) 90º e) 120º

c) 105º

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Problemas resueltos 1. En la figura, los triángulos ABC y CPQ son equiláteros. Calcule: mBBQP. B Q P

Piden "x" Se traza RE tal que: mBREB=90-θ ∆ ABR ≅ ∆ REC (L.A.L.) 2θ=x ∆ ABC: 2θ+2θ=90º 2θ=45º ` X=45º. 3. En el gráfico AB=BC=2, AR=1. Calcule BT. T

A

C

Resolución:

R 45º

B Q

x 60º P

60º



C T

θ

θ

a

B

Resolución:

b α

A

A

a

β

C

Se pide: "x" θ+α=60º ∆PQC : equilátero ∆APC ≅ ∆BCQ (L.A.L.) mBBQC=90º x+60º=90º x=30º

2. Dado un triángulo ABC, recto en "B", en la cual la ceviana interior es BR, tal que mBBAC=2mBABR y AB=RC. Calcule mBBCA. Resolución:

x

R 45º θ 1 A 2



B

β 2

4

C

θ

1

F

Se pide: "x" Se prolonga AC tal que mBTFC=90º ∆RAC ≅ ∆CTF (A.L.A.) • CF=1, TF=4 ∆ BTF (NOT 53 y 37) x=5

4. Del gráfico AB=EC. Calcule "x". C

B θ a

90º-θ

Quinto UNI 14

E

E

b

2θ A

x

90º-θ

R

2θ θ

b a

x

C

A

20º

20º

B

Colegios

TRILCE

Geometría Resolución: M C 30º 30º

x

a

5. En un triángulo ABC, obtuso en "B", se traza la mediana AM, mBBAM=30º, mBBCA=2mBMAC. Calcule mBMAC. Resolución:

a

T E

A



40º 20º

a

40º

B

40º 20º

a

B l

30º+3x

l

x M l S x

30º Piden: "x" 2x x 2x C A Se construye el ∆ABM equilátero E ∆AME ≅ ∆EBM (L.A.L.) Piden: "x" ∆MBE ≅ ∆EBC (L.A.L.) Se traza ME tal que mBMEC=2x \ x=30º. Se traza MT = AB ∆BTM ≅ ∆SME mBBTM = x 30º+3x+x+90º=180º ` X=15º.

Problemas para clase 1. Si CD=CA, AB=2µ y BC=5µ. Calcule la distancia de "D" a L

3. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero. AB=a y AT=b. Calcular: BL. B

D C

L 60º

B

a) 5µ d) 7

L

A

b) 3 e) 8

c) 6

2. En el gráfico, los triángulos ABC y BED son equiláteros. Calcule la medida del ángulo EDC. Si: mBAEB=108º.

A

C

T

a) b b) a.b b a+b d) e) 2 2

4. En el gráfico: AB=ED, AE=CD y CE=6. Calcular: BC. C

B D

E A

a) 60º d) 45º

Central: 619-8100

B

A C

b) 30º e) 53º

c) a-b

c) 48º

a) 6 d) 12

60º

60º E

b) 6 2 e) 9

D

c) 8 2

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5. En el gráfico, calcule "xº".

9. En la siguiente figura, calcule mBCDA. si AB=BC=CD.

B

B

24º xº

42º A

C

10x

P 24º

C 48º D

a) 30º d) 46º

b) 36º e) 48º

c) 42º

6. En gráfico: AE=MF, AE // MN y MN=AF. Halle "f º". N E

7x

A

5x

a) 50º d) 70º

b) 10º e) 100º

D

c) 40º

10. En la siguiente figura, calcule MP si: AD=16, BM=MC y mBBAD=mBPDC. B

70º

P M φº

A

a) 20º d) 25º

F

M

b) 30º e) 35º

C

D

c) 40º

7. En la siguiente figura, calcule la mBDCE. Si: BD=DE y la mBADE=100º. D

A

a) 16 d) 4

b) 12 e) 8

c) 6

11. En el gráfico, calcule "αº" AP=BC. B

B α A

a) 40º d) 20º

α C

b) 30º e) 25º

P E

c) 10º

8. En un triángulo equilátero ABC, en su región interior se ubica un punto "P" , si: mBABP = mBCAP = mBBCP . 4 5 6 Calcule mBABP. a) 24º d) 37º

Quinto UNI 16

b) 24º e) 45º

c) 30º

A

2αº 3αº

a) 5º d) 10º

5α H

b) 7º e) 15º

C

c) 9º

12. En un ∆ ABC se traza la ceviana BD, tal que: AB ≅ CD y "D" está en el lado AC. Además, mBABD=60º y mBBAC=20º. Calcule la mBBCA. a) 15º d) 22º30'

b) 30º e) 20º

c) 25º

Colegios

TRILCE

Geometría 13. Si mBBCD=30º, AB=BC y BD=AD. Calcular "θº".

15. Del gráfico, BM=AC. Calcule "θ". B

B

2θ

4θº θº

M D

90º-θ

A

A

a) 12º d) 18º

θ

C

b) 15º e) 20º

c) 10º

a) 20º d) 10º

b) 30º e) 40º

C

c) 60º

14. Dado un triángulo equilátero ABC, en AC y en la región exterior relativa a BC se ubican los puntos "D" y "E", respectivamente, tal que AD=EC, AE=BC y mBBAE=40º. Calcule la mBBDE. a) 30º d) 50º

b) 45º e) 60º

c) 40º

Tarea domiciliaria 1. En el gráfico, AB=CD. Hallar la medida del ángulo formado por las rectas AB y CD.

α

θ

θ

a) 60º d) 40º

A D

b) 45º e) 15º

c) 30º

2. En el gráfico, los triángulos ABC y LCD son congruentes. Hallar la medida del ángulo formado por las rectas AB y LD.

L

a) 90º d) 150º

Central: 619-8100

C

b) 100º e) 135º

D

2α

90 - α

a) 10º d) 8º

C

b) 12º e) 18º

D

c) 16º

4. En cierto triángulo PQT, se traza de ceviana interior QM, de tal manera que: QM=PT y S P). Hallar: mMQ S P, S Q=4(mMQ mMT S P). si: mQPS M=7(mMQ a) 18º d) 10º

B

A

B

C

B

A

3. Si: AB=CD. Calcule "a":

b) 16º e) 9º

c) 12º

5. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior S C=2 (mMB S A) y BM, de modo que: mMB S S S mMC B=2 (mMBC). Calcular mMBA, si BM=AC. a) 15º d) 24º

b) 18º e) 10º

c) 20º

c) 120º

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6. Sobre el lado AC de un triángulo ABC, se construye exteriormente el triángulo isósceles SB AEC, (AE=EC) de tal manera que mAES B=3mAC S S S y mCA B=2mEC A. Calcular mEA C, S A=mAC S B. si EC a) 10º d) 18º

b) 12º e) 24º

B

c) 15º

7. En un triángulo ABC, obtuso en "B", se traza la ceviana interior BM, de tal manera que: S =12º y MC=AB. Además, se sabe que mA S S mC =18º. Calcular mMB A. a) 9º d) 18º

12. Si AB=BC, AH=3µ y HC=8µ. Halle la distancia de "B" a L

b) 12º e) 24º

c) 15º

A

C

H

a) 4,5µ d) 5

b) 6,5 e) 6

b) 120º e) 130º

B

A

a) 7º d) 12º

C B

90º- αº

A

a) 18µ d) 21

2αº E

b) 15 e) 20

D

c) 22

10. En un triángulo ABC, sobre AC y BC se ubican los puntos "D" y "E", respectivamente. Si: AB=DC, mBBAC=mBBDE=32º, mBDBE=74º. Calcule la mBABD. a) 32º d) 42º

b) 36º e) 48º

Quinto UNI 18

b) 10º e) 20º

2θ

b) 8º e) 15º

D

c) 9º

a) 6 d) 8

b) 6 2 e) 12

c) 6 3

15. En el gráfico, las regiones sombreadas son congruentes. Si: BM=3 y AC=11, calcule AB. B

M

c) 40º

11. En un triángulo ABC, sobre AC se ubica un punto "P", sea "Q" un punto exterior relativo al lado AC, si: AB=BP, AQ=PC, mBBAC=2xº, mBCAQ=5xº, mBBQC=mBBCQ. Calcule "xº". a) 8º d) 15º

3θ 45º

14. En un triángulo escaleno ABC, sobre sus lados exteriores se grafican los triángulos isósceles ABM y CBN. MC=12. Calcule la medida del segmento AN.

2αº 2αº

C

c) 125º

9. Calcule AD. Si: AB=9µ y CD=12µ.

c) 5,5

13. En el gráfico, calcule: "θº", si: AB=CD y BC = AD .

8. Se tiene un triángulo escaleno ABC. Exteriormente se construyen los triángulos equiláteros BAD y BEC. Hallar la medida del ángulo formado por CD y AE . a) 135º d) 115º

L

A

a) 4 2 d) 5

H

b) 7 2 e) 10

C

c) 5 2

c) 12º

Colegios

TRILCE

Geometría 16. Calcule "x", si los triángulos ABR y PBC son equiláteros.

18. En la figura: AB=FC, calcular "αº". B

B

A

P

x

α 2α

C α

A R

a) 30º d) 53º

b) 35º e) 60º

c) 45º

C

F

a) 15º d) 30º

b) 18º e) 36º

c) 22º30'

19. En la figura, AP=BC, calcule "xº". B

17. En el gráfico, calcular "x"

70º

xº

40º x 10º 80º

40º

a) 10º d) 18º

Central: 619-8100

40º

A

b) 12º e) 20º

c) 15º

a) 20º d) 30º

P

b) 10º e) 40º

C

c) 15º

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Problemas resueltos

1. Del gráfico, calcule: AC. Si: PB=4. B α α

P α

A

C

Resolución: B α α



3. Según el gráfico, AB=CD. L1 y L2 son mediatrices de AC y BD, respectivamente. Calcule θ α C

L1

T α

M

B 4

A

P

α

A

Sea ED=2n Se prolonga CP ⇒ TP=PC ⇒ Por dato: AB=BC=m T. mediana: CS=SE=SD=m ∆BSC ≅ ∆TSD: SC=TC ⇒ ∆ACT: NOT 30º y 60º \x=30º

α

C

x

Se prolonga CP ⇒ TP=PC Se traza por "P" MP // AC ⇒ MP: base media del ∆ATC ∆MPB: isósceles: MP=4 \x=8

D

θ

Resolución: C

L1

m

2. En el gráfico AB=BC= ED . Calcule "x". 2

B

m

α

α β

θ θ

L2

//

C

//

A

B

4θ

L2

D

M x

A

θ

E



Resolución: B 2θ

m

2θ

C k

m k A

Quinto UNI 20

θ k

S

x E



D

T

Se pide: θ α T. mediatriz: AM=MC, MB=MD ∆ABM ≅ ∆CMD (L.L.L.) ⇒ 2α+β=2θ+β α=θ \ θ =1 α

m 2θ m

S

m

θ

D

Colegios

TRILCE

Geometría 4. En el gráfico mostrado, AD=BC. Calcule "x".

5. En el gráfico mostrado, calcule: "x". B

B

M

T

x

D x 2x

3x x

A

A

C

B

B x 120-2x

A



2x 3x x x

m

C

Resolución:

Resolución:

T

10 10

30

M

m

4x x D x

x 2x

2x

A

C

Se traza DS tal que mBDSC=2x ∆ASD ≅ ∆BDC (L.A.L.) ∆ATD ≅ ∆ADS ABDT: propiedad cuadrilátero no convexo ⇒mBABD=120 - 2x \ x=10º.



40º m 30º

m

x

50º 40º

40º m

H

T

F 10º 10º

m

G

C

∆AFG: NOT (30º y 60º) AF=2m, FG=m T. bisectriz: FG=FR ∆ MHF ≅ ∆ FRT (A.L.A.) ⇒ MF=FT \x=20º

Problemas para clase 1. En la figura, calcule BC, si: HM=6.

4. Calcule QP, si: AM=MP, BP=PC y MC = 18

B

B H

Q α

α A

M α

a) 9 d) 18

M

b) 12 e) 24

C

c) 15

b) 48º e) 64º

c) 50º

3. En un triángulo ABC (AB