Geometria Trilce

G

 Dpto. Pedagógico TRILCE  Derechos de Edición Asociación Educativa TRILCE Tercera Edición, 2007. Todos los Derechos Reservados. Esta publicación no puede ser reproducida, ni en todo ni en parte, ni registrada en, o transmitida por, un sistema de recuperación de información, en ninguna forma y por ningún medio, sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia, o cualquier otro, sin el permiso previo de la editorial.

Geometría

INTRODUCCI ÓN Las matemáticas, con sus grandiosas panorámicas, su apreciación de la belleza y su precepción de nuevas realidades, posee una propiedad adictiva que es menos evidente y saludable, afin en cierto modo a los efectos de algunas drogas. El más nimio problema, aun siendo inmediatamente reconocible como trivial o reiterativo, puede ejercer esta influencia adictiva. Una de las formas en que podemos vernos arrastrados es comenzar a resolverlos. Martín Gardner

Las ciencias matemáticas se han desarrollado a través de los milenios y tienen definitivamente su origen en la necesidad de los seres humanos de especificar cantidades y medir figuras. El hecho que las matemáticas sean un medio para describir (y tal vez para resolver) los problemas del mundo real, descansa en la interacción entre lo concreto y lo abstracto. Es así como la enseñanza de las matemáticas, la manipulación de los números está dividida en lo concreto: Aritmética o cálculos con números, y lo abstracto: Álgebra o cálculo de símbolos. Ahora en la enseñanza de la Geometría se va más allá, involucrando sutilezas, como el distinguir entre la figura concreta, imaginar o crear otras figuras que ayuden a comprender y resolver las anteriores y a otras de formas más abstractas. Sólo se llegará a desarrollar las destrezas geométricas con una constante práctica que, a su vez, nos dará una mayor visión y fascinación sobre lo que estamos tratando. Este es uno de los objetivos del texto. A lo largo del desarrollo histórico de la Geometría, se observa la atracción que ella desencadenó en grandes matemáticos, aportando muchos de ellos, teoremas valiosos que, ordenados bajo una secuencia lógica y constructiva, hacen de la Geometría un curso razonado, elegante y fascinante. Este texto está dirigido a un nivel secundario y pre-universitario. Primero mostramos un resumen de los contenidos teóricos (definiciones, teoremas, etc.). Luego, presentamos ejercicios y problemas propuestos que se encuentran estructurados en orden creciente al grado de dificultad. Para ello, hemos utilizado guías de clase, problemas de exámenes de admisión de las diferentes universidades del país, terminando con aportes de los profesores del curso y olimpiadas matemáticas. Los profesores responsables de la elaboración estamos seguros que este texto será una herramienta valiosa para los objetivos del usuario; pero sobre todo deseamos despertar y desarrollar el gusto y la fascinación por la Geometría. La Organización TRILCE agradece por anticipado todos los aportes que se hagan llegar a esta primera edición y agradece infinitamente a todas las personas que hicieron posible cristalizar este proyecto tan esperado por la familia TRILCE.

7

Geometría

8

TRILCE

Capítulo

1

ÁNGULOS

Definición : Es la figura geométrica determinada por la reunión de dos rayos no alineados que tienen el mismo origen.

A

O

1. Vértice : O

º

Elementos 2. Lados : OA y OB B

Notación :

ˆB * Ángulo AOB : ) AOB, AO * Medida del ángulo AOB : m ) AOB = .

Región Interior de un ángulo

Región Exterior de un ángulo

Clasificación de los Ángulos por su Medida :

* Ángulo Agudo

* Ángulo Recto

* Ángulo Obtuso

º

º

º 0º < º < 90º

90º < º < 180º

º= 90º

Bisectriz de un ángulo :

N A º º

O

bisectriz

º º B

M

L bisectriz

9

Geometría Ángulos Adyacentes :

Ángulos Consecutivos :

aº bº

º º

cº dº

Observaciones :

º º

º º

º

º º º

º

º+º+º+º = 180º

Ángulos Complementarios

º+º+º+º+º = 360º

Ángulos Suplementarios

º

bº aº

º

aº + bº = 90º

º + º = 180º

Ángulos Adyacentes Suplementarios :

B

B

 A

O

C

Los ángulos AOB y BOC también se les denomina par lineal.

10

A

  O

 C

Las bisectrices de todo par lineal son perpendiculares.

TRILCE Ángulos Opuestos por el vértice

º º

º

º

Observaciones : Es necesario recordar los siguientes ángulos comprendidos entre rectas paralelas.

* Alternos Internos

* Correspondientes

* Conjugados

º º

º º

º

º = º

º

º = º

* Si : L1 // L2 a

º + º = 180º

* Si : L1 // L2 L1

 b

aº

L1

xº

 c 

º+º+º+ = aº+bº+cº

L2

bº

L2

xº = aº + bº

11

Geometría

Test de aprendizaje preliminar 01. Si: OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule "xº".

04. Calcule "xº", si : L1 // L2 .

L1

3xº

A

80º

10º 7xº5xº+40º

O

M 2xº

L2

B

05. Si : L1 // L2 , calcule "xº".

02. Calcule "xº".

4xº+20º

L1

4xº 80º

3xº+50º

3xº 60º

L2

º

 

03. Calcule :  2  .  

06. Si : L1 // L2 , calcule "xº".

60º 3º 2º

120º 3º

xº xº xº

12

L1

L2

TRILCE 07. En el gráfico, las medidas de los ángulos AOB y BOC

10. Calcule "xº".

son suplementarios y la m ) AOC = 80°. Calcule la m ) AOB. C

B

100º 3xº

80º

xº

A

O

Practiquemos : 11. Se tienen los ángulos AOB y BOC consecutivos y miden 20° y 30° respectivamente. Calcule la medida del ángulo que forman sus bisectrices.

08. Si : L1 // L2 , calcule : ºººº .

L1

º º 100º

º

º

L2

12. El doble del complemento de la medida de un ángulo es 120°. ¿Cuánto mide el ángulo?

09. Si : L1 // L2 , calcule "xº".

xº 60º

L1 13. Si un ángulo es el doble de su suplemento, ¿Cuánto mide el ángulo?

100º L2

13

Geometría 14. La diferencia de la medida de dos ángulos consecutivos AOB y BOC es 80°. Calcule la m ) DOB, si : OD es bisectriz del ángulo AOC.

19. Se tiene los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD, tal que : m ) AOD = 148° y m ) BOC = 36°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.

15. ¿Cuánto mide el ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos adyacentes y complementarios?

20. Se trazan los rayos coplanares y consecutivos OA , OB , OC y OD , determinándose los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOA que miden 90°, 7  , 10 y 100°. Calcule el complemento de  .

16. Si al complemento de un ángulo se le disminuye 10°, éste resulta ser el suplemento del triple del ángulo. Calcule el complemento de la mitad del ángulo.

Problemas propuestos 21. Si : L1 // L2 , calcule "xº". 17. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que los ángulos AOC y AOB son complementarios; m ) AOD + m ) AOB = 120°. Calcule la m ) DOC.

L1

xº+aº 40º 3xº 20+aº 160º

L2 a) 18° d) 10° 18. El doble de la medida un ángulo es mayor que otro en 30°. Si los ángulos son conjugados internos comprendidos entre rectas paralelas, ¿En cuánto se diferencian las medidas de estos ángulos?

b) 16° e) 25°

c) 15°

22. Si : L1 // L2 , calcule  .

ºº º+100º

L1

130º ºº a) 10° d) 20°

14

b) 15° e) 30°

c) 25°

L2

TRILCE 23. Si la sexta parte del suplemento del complemento de un ángulo es igual a 1/3 de 9° menos que su complemento, calcule la medida del ángulo. b) 16° e) 30°

L1

º º 5º 4º

c) 48°

3 º

a) 32° d) 24°

28. Si : L1 // L2 , calcule "xº".

xº 24. Un ángulo mide los 2/3 de un ángulo recto y otro ángulo los 4/5 de un ángulo recto, calcule el complemento de su diferencia. a) 30° d) 48°

b) 78° e) 60°

º

º

2º

º

L2

c) 18° a) 154° d) 144°

25. Calcule : "xº", si : L1 // L 2 .

c) 130°

29. En el gráfico, calcule "xº", siendo :

xº

L1 // L2 .

L1

2xº

b) 115° e) 120°

L1

4x º º º

xº 2xº

a) 80° d) 20°

º º

L2

b) 18° e) 75°

c) 70°

3xº a) 35° d) 45°

26. Si : L1 // L2 , calcule "xº".

º

L1

2º

b) 20° e) 37°

2xº

L2

º

c) 60°

º º a) 18° d) 30°

27. Si : L1 // L2 , calcule "xº".

L1

º º

3xº

2º

b) 70° e) 30°

c) 30°

30. Calcule "xº", si : L1 // L2 .

xº

a) 90° d) 40°

L2

b) 9° e) 20°

L2 c) 27°

31. Si : L1 // L2 , calcule "xº".

6x º 120º

xº

L1

xº

L2

L2 xº a) 10° d) 30°

b) 20° e) 45°

c) 25°

a) 15° d) 22°

b) 10° e) 22°30'

c) 12,5°

15

Geometría

32. Si : L1 // L2 , calcule : a° + b° + c° + d° + e°.

37. Si : L1 // L2 , calcule el máximo valor entero de "xº", siendo el ángulo CAB agudo.

A

dº

aº

L1

bº

L1

B

C

eº 2x

cº L2

L2 a) 180° d) 360°

b) 520° e) 720°

c) 480°

33. Si : L1 // L2 , calcule "xº". L1

34º

a) 18° d) 15°

3xº

b) 17° e) 12°

c) 16°

38. Dados los rayos consecutivos : OA 1 , OA 2 , OA 3 , .... OA n , contenidos en un mismo plano, donde "n" ángulos consecutivos y la suma de 2 ángulos consecutivos es siempre agudo. Calcule el menor valor entero que puede tener "n"?

 xº

a) 6 d)9

b) 48° e) 49°

L2 c) 82°

39. Si : AB // DC ,

b) 45° e) 160º

m ) BAQ 3  y m ) DCQ 2

m ) AQC = 100°, calcule el complemento del ángulo DCQ.

34. El doble del complemento de un ángulo sumado con el suplemento de otro ángulo es igual al suplemento del primer ángulo. Calcule la suma de las medidas de dichos ángulos. a) 100° d) 180°

c) 8



48º a) 34° d) 98°

b) 7 e) 10

B

A

Q

c) 90° D

35. El doble del complemento de un ángulo aumentado en el triple del suplemento del doble de dicho ángulo nos da 480°. Calcule el suplemento de la medida de dicho ángulo. a) 30° d) 150°

b) 60° e) 135°

c) 120°

a) 20° d) 70°

16

b) 30° y 90° e) 40° y 80°

b) 60° e) 80°

c) 50°

40. Calcule "xº", siendo : L1 // L2 .

L1

 

36. La diferencia de las medidas de dos ángulos es 40° y el triple del suplemento del ángulo doble del primero es igual al duplo del complemento del suplemento del ángulo triple del segundo. Calcule la medida de dichos ángulos. a) 60° y 60° d) 70° y 50°

C

xº 



L2

c) 45° y 75° a) 60° d) 135°

b) 75° e) 140°

c) 105°

TRILCE 41. Calcule "xº", si : aº + bº = 50° y L1 // L2 .

xº

xº

120º

L1

45. En el gráfico : º º  78 y L1 // L2 , calcule "xº".

º

80º

L1 º

bº aº

L2 a) 40° d) 60°

b) 50° e) 65°

º

L2

º

c) 70°

a) 76° d) 90°

42. En el gráfico, el rayo OP es bisecriz del ángulo AOD, siendo : m ) POC - m ) BOP = 20°.

b) 78° e) 82°

c) 70°

46. En el gráfico, calcule el mínimo valor entero de "xº".

Calcule m ) AOB - m ) COD. B

A



P

 xº C

a) 22° d) 10°



D

O



b) 40° e) 20°

c) 25°

a) 46° d) 56°

b) 48° e) 63°

c) 54°

43. En el gráfico, calcule el máximo valor entero de "yº". 47. Si : L1 // L2 , calcule "xº".



xº- 2yº

a) 50° d) 40°

3yº+ xº

b) 35° e) 52°



2

xº

c) 41°



44. Si : L1 // L2 y n //m, calcule "xº".

a) 143° d) 135° n C

4x



L1

 3





b) 127° e) 165°



L2

c) 150°

48. Si : L1 // L2 , calcule "xº". Si : ºº  220 .

54º L1

º

L1

3  m

xº x

a) 20° d) 35°

b) 30° e) 40°

39º

L2

 3

L2

º

c) 33° a) 10° d) 40°

b) 20° e) 50°

c) 30°

17

Geometría a) 23° d) 36°

49. Si : L1 // L2 y ºº  110 , calcule "xº".

º

L1

xº

b) 28° e) 75°

c) 63°

54. Del gráfico, calcule el máximo valor entero impar de "xº", si "  " es la medida de un ángulo agudo..

 x

L2

º a) 35° d) 30°

b) 45° e) 25°

 xº

c) 40°

50. Calcule la razón aritmética del máximo y mínimo valor entero que puede tomar "xº", si "  " es la medida de un ángulo agudo, en el gráfico L1 // L2 .

a) 100° d) 133°

b) 120° d) 145°

c) 130°

55. Del gráfico, calcule el valor de " " cuando "x" toma su mínimo valor entero par. Si : L1 // L2 .

L1

x- 

 xº

L1

xº  xº 83º

L2 a) 90° d) 88°

b) 85° e) 86°

c) 87°

51. Del gráfico, calcule el valor de la razón aritmética entre x e y, cuando "xº" toma su mínimo valor entero.

L2 a) 34° d) 29°

b) 32° e) 30°

c) 28°

56. Según el gráfico, calcule "xº", si : L1 // L2 .

44º xº-yº 5xº

a) 8° d) 5°

b) 3° e) 6°

c) 4°

52. Si un ángulo mide 180° es dividido en "n" ángulos consecutivos y congruentes : 1 , 2 , 3 , .... n , calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices de 5 y 8 , sabiendo que las bisectrices de 3 y n2 son perpendiculares. a) 44° d) 52°

b) 45° e) 54°

18

L2

121º

a) 66° d) 70°

b) 85° e) 80°

c) 77°

57. Calcule "xº", si : L1 // L2 // L3 y a° - b° = 36°. 

c) 48°

53. Sean : AOB, BOC, COD, DOE y EOF ángulos consecutivos tales que : m ) AOF = 154° y m ) AOD = m ) BOE = m ) COF.. Calcule la m ) BOC, si la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo COD y el rayo OE es igual a 54°.

L1 x



2yº+xº



L1

aº



º

L2

º

bº

L3

xº

a) 54° d) 63°

b) 72° e) 52°

c) 36°

TRILCE 58. Si el suplemento del complemento de la mitad del mayor ángulo que forman la bisectriz del ángulo adyacente a un ángulo " " y el lado no común es 140°, calcule " " . a) 10° d) 20°

b) 12° e) 30°

 60. En el gráfico, calcule ( ), cuando "x" sea máximo.. x Siendo : x  (6a  a 2 ) .

c) 15°

 59. En el gráfico : L1 // L2 , L3 // L4 , L5 // L6 , calcule : xº+yº.

L3

a) 0° d) 36°

x

b) 39° e) 30°

c) 35°

L1

x 110º 55º

L5 L4 L6 L2

y

a) 170° d) 235°

b) 180° e) 245°

c) 210°

19

Geometría

Claves

20

21.

d

41.

c

22.

e

42.

d

23.

d

43.

b

24.

b

44.

c

25.

b

45.

b

26.

c

46.

a

27.

d

47.

d

28.

d

48.

c

29.

b

49.

a

30.

c

50.

d

31.

e

51.

c

32.

e

52.

e

33.

d

53.

a

34.

d

54.

d

35.

a

55.

d

36.

e

56.

c

37.

c

57.

d

38.

d

58.

d

39.

c

59.

d

40.

d

60.

b

TRILCE

Capítulo

2

TRIÁNGULOS

Definición :

F B 1. Vértices : A, B, C 2. Lados : AB, BC y AC Elementos 3. Ángulos E

C

A

) A, < ) B, < )C Interiores : < ) EAB, < ) FBC,R+r A

O

L1

B

*

Ci rcunfere ncia s Ta ngentes Exte riores

r

L2

T

R *

Centro : O

*

Radio : OB

*

Diámetro : BC

*

Cuerda : EF

*

Arco : EB

*

Flecha o sagita : PQ

*

Secante : L1

*

Tangente : L 2

*

Punto de Tangencia : T

*

Perímetro : L = Longitud de la circunferencia.

d

d=R+r *

Ci rcunfer enci as Se ca nt es

r

R d

R-r