GEOMETRIA TRILCE.pdf

Problemas resueltos Resolución:

1. En el gráfico: L1//L2//L3; L4//L5. Calcular "x".

α θ

4β

L2

θ

a

γ

a

25º b b

L3

β

γ

2α

80º

L1

x



L5

L4

ββ

30º

2θ θ

En el ∆ABC : 3α+3θ=150º : α+θ=50º Por Prop. mBEBF= α + θ = 50º =25º 2 2 ∆FNG : 25º+a+b=180º \ a+b=155º.

B

L3 80º

3. En el gráfico mostrado, calcule "x".

em

4β β 50º

L1

at

x

L5

L4



L1//L2 : 2θº+80º=180º ⇒ θ=50º L2//L3 : mBEBF=50º L4//L5 : 5β=2θ

nº nº

x

2B B 90º+

2. En el gráfico mostrado, calcule: a+b.

γ

A

2α

a



γ b

30º

Quinto UNI 4

ββ

2θ θ

m m

θ

x

θ

B

∆EBF : 50º+x=4 βº 50º+x=4(20º) \x=30º.

α

2B

Resolución:

⇒ βº=20º

5β=100º

B

ww w.

F

M

E

L2

θ

at ic

θ

a1

.c o

m

Resolución:

nº

nº

B

x 2x 2

2B m m S m m

T

x

x

θ θ θ C

Piden: "x" Por propiedad de bisectrices interior y exterior: mBABC=4B ∆BTS: Prop. Bisectriz interior y exterior mBBTS=2x. ∆ABC: Prop. Bisectrices interiores mBATB=90º+ x . 2 90º+ x +2x=180º 2 \x=36º. Colegios

TRILCE

Geometría 4. En un triángulo ABC, se ubica en AB y BC los puntos "P" y "Q", respectivamente. mBBAQ=30º, mBQAC=50º, mBPCA=60º y AB=BC. Calcule mBQPC.

5. Según el gráfico, calcule α+β+θ, si AN=AT, BM=BR y CS=CP. M

Resolución:

R

B

Q

A



a

P

Resolución:

a

20º a 40º 20º 60º

C

T

N

50º

E

θ

α

A

40º x

40º a 60º 80º 30º 50º

β S

P a

B

Mb

B b 2b

C R

Piden: "x" Se traza CE tal que mBECA=20º ∆EQC: equilátero. ∆EPQ: isósceles: 40+x =70º \x=30º.



β S

A a

N

c

C

P

Piden : α+β+θ ∆ABC : 2a+2b+2c=180º a+b+c=90º

a1

∆TRS : a+α+β+b+θ+c=360º a+b+c+α+β+θ=360º 90º \ α+β+θ=270º.

M

at

em

at ic



.c o

m



θ c 2c

2a α a T

ww w.

Problemas para clase

1. En el gráfico, a // b , αº + θº=160º y el ángulo PQS es recto, calcule el valor de "β". aº

P βº

3. En el gráfico, αº=24º. Calcule el valor de "θº".

αº

a

θº

θº θº θº

Q b

θº S

a) 35º d) 55º

b) 40º e) 80º

c) 50º

a) 28° d) 42º

b) 36º e) 52º

4. Tenemos m // n , el ángulo AOB es recto. Calcule el valor de "α".

2. En el gráfico, calcule "x":

m

A βº 7αº

7βº 8θº

Central: 619-8100

αº

xº

αº

a) 140º d) 160º

c) 39º

θº

b) 110º e) 120º

φº

αº n

αº

8φº

c) 100º

a) 12º d) 45º

b) 15º e) 60º

B

O

c) 30º

www.trilce.edu.pe 5

5. Si: m // n , calcule el valor de "x". xº xº+10º 2xº x+40º

xº

b) 10º e) 30º

a) 120º d) 165º

6. En el gráfico: a // b ; m// n y α=66º, calcule "x". αº

βº

m

a) 66º d) 15º

φº

c) 33º

L3

b) 70º e) 100º

.c o

c) 80º

at ic

12. Si : L1// L2 ; b° - a°=70°. Hallar "xº" xº

em

αº L2

L1

aº

b) 36º e) 8º

c) 32º

ww w.

a) 40º d) 16º

αº

C

a) 60° d) 90º

L1

αº

M

2xº

A

aº

a1

64º

bº bº

at

φº

c) 150º

aº

7. Si: L1// L2, calcule el valor de "x". φº

B βº

L2

n

b) 60º e) 11º

b) 135º e) 180º

L1

3xº φº

b

11. Si: L1// L2// L3 ; αº+βº=200º. Calcule el valor del ángulo ABC.

b

βº

a

αº

c) 15º

a

zº αº

n

160º

αº

yº

αº m

m

160º

a) 5° d) 20º

10. Si : a // b , calcule: xº+yº+zº.

bº

L2

8. Si: BA = AD = DC, calcule: mBBCD. B

a) 50º d) 75º

D 5αº αº 3αº

A

a) 12º d) 18º

C

b) 10º e) 16º

b) 60º e) 90º

13. Si: a // b , AB // EF, α=22º y θ=144º, calcule el valor de "x°". a 

c) 15º

βº

xº

A 

a) 54º d) 122º

βº

Quinto UNI 6

B 

αº

θº

F 

E

αº

a) 90º d) 130º

b 

xº

9. En el gráfico mostrado, calcule "xº", si: β=50º.

βº

c) 70º

b) 58º e) 128º

c) 78º

αº

b) 100º e) 150º

c) 120º Colegios

TRILCE

Geometría 14. En la figura L1// L2, si: mº+nº+qº=135º, calcule: (αº+θº) mº αº

xº

nº θº

L1

2αº

L1

2θº αº

L2

a) 93º d) 107º

αº θº

qº 86º

48º

15. En el gráfico: L1// L2. Calcule el valor de "x°".

b) 97º e) 108º

a) 30º d) 45º

c) 100º

L2

b) 37º e) 60º

c) 40º

Tarea domiciliaria 1. En el gráfico mostrado, calcule la medida del ángulo ABC. B

a) 9µ d) 8

a) 20º d) 40º

.c o

40º

a1

D

b) 60º e) 50º

c) 30º

M

2. En el gráfico mostrado, calcule: y - x.

x y

a) 20º d) 30º

ww w.

a a

80º

60º

b) 10º e) 25º

c) 60º

3. En el gráfico mostrado, hallar el valor de "xº". dº dº

xº

a) 20º d) 10º

Central: 619-8100

b) 12º e) 20º

c) 15º

7. En el gráfico mostrado, calcule "xº".

aº

4aº

4bº

bº

x

a) 120º d) 132º

b) 118º e) 126º

c) 144º

aº 2aº bº bº

b) 15º e) 25º

aº aº

2bº

c) 35º

4. Los lados de un triángulo miden 8, "x" y "3x", calcule el valor entero de "x". a) 1µ d) 4

a) 10º d) 18º

8. En el gráfico mostrado, calcular "xº".

cº cº

80º

c) 6

6. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas BE y BD, donde "E" ∈ AD y mBEBD = mBDBC =mBABE=xº, AB=AD y 3 2 BC=EC, calcule "xº".

at ic

C

em

120º

A

b) 7 e) 5

m

aº

at

aº

5. En un triángulo ABC, AB=5µ, BC=9µ. Calcule la diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero que puede tomar AC.

b) 2 e) 5

bº

bº

xº

a) 120º d) 135º

b) 150º e) 105º

c) 144º

c) 3

www.trilce.edu.pe 7

9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la ceviana CM. Si CM=12µ, MB=2x y AC=3x+6, calcule los valores enteros que puede tomar "x". a) 2,3,4,5,6 d) 4,5,6

b) 2,3,4 e) 3,4

b) 14 cm e) 16 cm

c) 17 cm

11. Dada la región triangular ABC cuyo perímetro es igual a 10 m. (en dicha región de ubica el punto "P"). Calcular PA+PC, sabiendo que dicha suma es entero y que además AC toma su máximo valor entero. a) 6,5 m d) 5

a) 20µ d) 19

c) 3,4,5

10. Dado el triángulo obtusángulo ABC, obtuso en "C", AC=6 cm y BC=4 cm. Calcular la suma del máximo y mínimo valor entero de AB. a) 13 cm d) 12 cm

16. Cuál es el máximo valor entero de la longitud de un lado de un triángulo, si el perímetro de su región es igual a 40µ.

b) 5,5 e) 6

c) 4

a) 68º d) 70º

b) 85º e) 92º

c) 99º

18. En el gráfico, L1// L2 y el ángulo AOB es recto. Luego, el suplemento del complemento de "αº" es: B

m .c o

a1

L2

A

a) 30º d) 90º

b) 45º e) 120º

c) 60º

a) 22µ d) 29

ww w.

M

at

13. Los lados de un triángulo isósceles miden 5µ y 12µ. Calcule el perímetro de la región del triángulo.

O αº

at ic

c) 29º

L1

2αº

em

b) 28º e) 32º

c) 22

17. En un triángulo ABC, en los lados AB y AC se ubican los puntos "D" y "E" respectivamente, DE=EC=BC. La medida del ángulo BAC es igual a 25º y la del ángulo ADE es igual a 35º. Calcular la medida de ángulo ABC.

12. En un triángulo isósceles ABC cuya base es AC, se ubican los puntos "P" en AB y "Q" en BC de modo que: mBPAQ=20º, mBACP=50º y mBPCQ=30º. Calcule la mBPQA. a) 30º d) 31º

b) 21 e) 18

b) 25 e) 30

c) 24

19. Calcular "x" si L1// L2 y el triángulo ABC es equilátero. A 7θ

14. Del gráfico mostrado, calcule "xº".

L1

x

xº C 100º

B

xº

a) 120º d) 110º

L2

θ

b) 130º e) 145º

c) 135º

a) 100º d) 140º

b) 130º e) 110º

c) 120º

15. En el gráfico, halla el valor de "θº". 2θº 2θº

θº

a) 10º d) 20º Quinto UNI 8

b) 15º e) 25º

2θº

2θº

c) 18º Colegios

TRILCE

Problemas resueltos 1. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM, si mBBAC=106º y mBBCA=23º. Calcule: mBBMA.

3. En un triángulo ABC, se traza la ceviana BN, tal que BN=AC, mBBAC=100º, mBBCN=30º. Calcule mBNBC.

Resolución:

B x 6m

50º



M

Sea : TA=AC ∆BST : NOT 37º y 53º ∆BSC : NOT 14º y 76º :BTCM : Trapecio isósceles • BM//TC ` xº=37º.

C







80º

Resolución: B α

α

S S A

m C 2m S

Piden "x" Se prolonga BM y luego CS ⊥ BM ∆ AHM ≅ ∆ MSC HM=MS, AH=SC ∆ BSC: `NOT 53 y 127 j 2 2 53 ` X= 2

Central: 619-8100

C

4. En un triángulo isósceles ABC (BC=AC), se traza la ceviana BL, tal que mBBCA=2mBCBL. Calcule mBBCA, (AB=LC).

H



N

Se prolonga BA tal que TC=BT ∆BNCT: Prop. del cuadrilátero no convexo mBTBN=40º. \x=10º.

45 x 2m

M m

30º 20º

T

B

A

80º

.c o

23º

2. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM, luego se traza AH ⊥ BM (H ∈ BM). BH=2(HM). Calcule mBCBM. (mBABH=45º) Resolución:

2m

100º

m 5m

ww w.



x

5m

a1

A

at ic

106º

6m

em

14º

A

at

4m 37 º S 5m 3m B

M

T

Resolución:



90º-α H

N

E 2α α

S 30

L

2α

C

Piden: 2α Se traza LE tal que mBLCE=2α Se traza BH ⊥ AC, ∆ABH ≅ ∆BEN • BN=NL=BH (∆HBL: NOT 30º y 60º) 30=α+2α α=10 \ 2α=20º.

www.trilce.edu.pe 9

5. En un triángulo rectángulo ABC recto en "B" (AB=BC), se ubica un punto interior "P" PA=AB, mBBCP=135º. Calcule mBBCP.



Piden: "x" Se traza AH ⊥ BP BH=HP=α • ∆ABH ≅ ∆BIC (ALA) IC=BH

B



a θ H



• ∆BCI:NOT ( 37º y 143º ) 2 2 37 º • x+ =45º 2

a



Resolución:

θ θ

135º

P 45º a

A

\ x= 53º . 2

x C

α

a

I

• θ= 37º 2

Problemas para clase 1. Del gráfico, calcule "x".

5. En un triángulo ABC, mBA=2(mBC), la bisectriz interior BD prolongada intersecta en "E" a la bisectriz exterior del BC. Si: DE=8µ. Calcule CE.

θ x

x

a) 4µ d) 6

α

at

2. Calcule "xº":

ww w.

M

B 80º

α A

a) 140° d) 110º

α

6. En un triángulo ABC, sobre la prolongación del lado CB se ubica el punto "Q", tal que la medida del suplemento del ángulo AQC es el doble de la medida del ángulo ACB. Calcule QB. Si: AQ=9 y BC=7.

a1

c) 24º

at ic

b) 18º e) 60º

em

a) 12° d) 36º

c) 8

.c o

α

b) 7 e) 10

m

θ

xº

θ θ

C

b) 130º e) 125º

c) 120º

3. En el gráfico, calcule el valor de "xº".

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

7. Sobre el lado AC de un triángulo ABC, se ubica el punto "E", de tal manera que: EB=AB=10, BC=16 y mBC=30°. Calcule EA. a) 16 d) 13

b) 15 e) 12

c) 14

8. En la figura, calcule "α". B

θ θ α E

α 3xº

a) 18º d) 12º

b) 16º e) 20º

4xº

c) 19º

15º

A

a) 30º d) 18º

F

α

b) 24º e) 15º

45º C

c) 20º

4. En un triángulo ABC, mBA - mBC=18º. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz interior del BB y la mediatriz de AC. a) 16º d) 12º Quinto UNI 10

b) 24º e) 9º

c) 18º Colegios

TRILCE

Geometría 9. En la figura, calcule "θ".

12. En el gráfico, AM=MB, calcule "x". B

B

135º

135º

M

M θ

8º

A

53º/2

C

a) 30º d) 35º

b) 31º e) 37º

c) 33º

a) 10º d) 18º

10. En el gráfico, calcule: "xº ". AB = BC. 63º

A

30º

b) 8º e) 16º

C

c) 12º

13. En un triángulo ABC, "M" punto medio de AC. Si: mBA=14º, mBC=25º/2, calcule la mBABM.

B 21º

x

A

a) 75º d) 100º

C

xº

b) 82º e) 105º

c) 90º

14. En el grafico, PB=PC, AB=BC, calcule "xº". B

b) 20º e) 45º

c) 25º

75º

B

A

em

135º

α

A

Central: 619-8100

b) 37/2º e) 8º

ww w.

M

at

M

a) 15º d) 45/2º

a1

2 AB=2BC. Calcule: "α", si:

at ic

11. En el gráfico AM=MB.

.c o

m

a) 15º d) 30º

C

c) 12º

a) 14º d) 53/2º

P xº

C

b) 15º e) 30º

c) 37º/2

15. En un triángulo ABC, "P" punto medio de AC. Si la mBA=53º, mBC=23º, calcule la mBCBP. a) 28º d) 37º

b) 30º e) 53º/2

c) 36º

www.trilce.edu.pe 11

Tarea domiciliaria 1. Dos lados de un triángulo isósceles miden 5µ y 12µ. Calcular su perímetro. a) 22µ d) 29

b) 25 e) 31

6. Calcular el valor de "x", si: a+b=220º y CN=NM.

c) 27

C

θ θ N

2. Calcular "θ", si: AE=EF=FP=PB.

x

M

B a F

b

3θ

2θ

A

E

b) 120º e) 135º

c) 140º

C

P

a) 10º d) 20º

a) 110º d) 150º

140º

b) 18º e) 24º

7. En un triángulo ABC, se tiene que 6AB=5AC y mBA=7º. Calcule la mBC.

c) 15º

a) 37º d) 53º

3. Calcular "x".

b) 45º e) 60º

c) 30º

º

a1

.c o

27

c) 27º

θ

at

b) 18º e) 28º

nº

A

xº 2xº

a) 16º d) 14º

ww w.

M

4. Si BC // ED, m - n=16º. Calcular "α". AD=DE. B mº

E

αº C

b) 18º e) 26º

D

c) 22º

5. Calcular "θ" si los ángulos ACE y BFD son suplementarios.

A

C

3θ

A F

12

b) 40º e) 50º

C

c) 10º

a) 6,4º d) 4º

b) 5º e) 3,2º

c) 4,8º

10. Según el gráfico, calcular: m+n. α

α

θ

θ

2θ

m

n

20º

3θ

θ

Quinto UNI

70º

9. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se traza la ceviana interior CM, de tal manera que mBBCM=39º. Calcule "AM". Si: BC=9,6 y mBA=37º.

40º

a) 10º d) 18º

80º

a) 60º d) 20º

D B

θ

x

at ic

β

a) 9º d) 15º

B

em

β

θ

xº

θ

m

8. Según el gráfico, calcular "2x", si AB=AC.

b) 12º e) 20º

E

a) 220º d) 200º

b) 210º e) 250º

c) 145º

c) 15º

Colegios

TRILCE

Geometría 11. Según el gráfico, calcular (x+y). B

15. Calcular "x", del gráfico mostrado. θ θ

y

β

α y

x A

y-α

x+m

C

40º

a) 200º d) 280º

b) 210º e) 245º

a) 8º d) 13º

c) 220º

b) 10º e) 15º

B x

α A

R x

a) 10º d) 40º .c o

m

C

D

c) 30º

at M

B 60º

35º

ww w.

xº

em

13. Calcular "x", si AD=DC=BC.

C

D

a) 85º d) 95

b) 80 e) 75

c) 65

14. Calcular BC, si: AB+AD=4. αº αº

θ

a) 3º d) 9º

Central: 619-8100

D

b) 5º e) 4º

c) 30º

17. Sobre el lado BC de un triángulo ABC, se ubica el punto "D", tal que la mBADC es igual a la semisuma de los ángulos interiores de "A" y "B". Calcular BD, si además: AC=12µ y BC=16µ. a) 14µ d) 4

b) 10 e) 6

c) 8

18. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC, obtuso ! ! en "C", de modo que mC - mA =32º. Calcular la medida del ángulo que forman la bisectriz exterior BE y la altura BH. a) 64º d) 72

a) 12µ d) 15

2θ

b) 20º e) 25º

b) 68 e) 74

c) 70

19. En un triángulo ABC la mBA=30º mBC=7º, BC=10. Calcule: AC.

B

A

C

at ic

b) 50º e) 35º

A

30º D

60º

a) 40º d) 45º

45º

a1

2θº

A

c) 12º

16. En la figura mostrada, calcular "xº"

B

3θº

m

x

12. Calcular el valor de "x". si: 2mBABD+mBBCA=130º. α

β

80º

C

c) 7º

b) 13 e) 16

c) 14

20. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD. Si mBA-mBC=20º. Hallar mBBDC. a) 100º d) 110

b) 90 e) 120

c) 105

www.trilce.edu.pe 13

Problemas resueltos 1. En la figura, los triángulos ABC y CPQ son equiláteros. Calcule: mBBQP.



Piden "x" Se traza RE tal que: mBREB=90-θ ∆ ABR ≅ ∆ REC (L.A.L.) 2θ=x ∆ ABC: 2θ+2θ=90º 2θ=45º ` X=45º.

B Q P

3. En el gráfico AB=BC=2, AR=1. Calcule BT. T A

.c o

m

C

a1

Resolución:

at ic

B Q

x

60º α

A



θ

θ

a

A

B

C

Resolución:

M

b

at

a

T

ww w.

P

em

60º

R 45º

β

C

Se pide: "x" θ+α=60º ∆PQC : equilátero ∆APC ≅ ∆BCQ (L.A.L.) mBBQC=90º x+60º=90º x=30º

2. Dado un triángulo ABC, recto en "B", en la cual la ceviana interior es BR, tal que mBBAC=2mBABR y AB=RC. Calcule mBBCA. Resolución:

x

R 45º θ 1 A 2



B

β 2

4

C

θ

1

F

Se pide: "x" Se prolonga AC tal que mBTFC=90º ∆RAC ≅ ∆CTF (A.L.A.) • CF=1, TF=4 ∆ BTF (NOT 53 y 37) x=5

4. Del gráfico AB=EC. Calcule "x". C

B θ a

90º-θ

Quinto UNI 14

E

E

b

2θ A

x

90º-θ

R

2θ θ

b a

x

C

A

20º

20º

B

Colegios

TRILCE

Geometría

Resolución:

5. En un triángulo ABC, obtuso en "B", se traza la mediana AM, mBBAM=30º, mBBCA=2mBMAC. Calcule mBMAC.

M C 30º 30º

x

a

Resolución:

a

T

A



40º 20º

a

40º

B

40º 20º

a

B

Piden: "x" Se construye el ∆ABM equilátero ∆AME ≅ ∆EBM (L.A.L.) ∆MBE ≅ ∆EBC (L.A.L.) \ x=30º.

30º x

A



x M l S x

E

2x

2x

C

Piden: "x" Se traza ME tal que mBMEC=2x Se traza MT = AB ∆BTM ≅ ∆SME mBBTM = x 30º+3x+x+90º=180º ` X=15º.

.c o

m

Problemas para clase

l

l

30º+3x

3. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero. AB=a y AT=b. Calcular: BL.

em

at ic

1. Si CD=CA, AB=2µ y BC=5µ. Calcule la distancia de "D" a L

a1

E

B

at

D

L

M

C

ww w.

60º

B

a) 5µ d) 7

L

A

b) 3 e) 8

c) 6

2. En el gráfico, los triángulos ABC y BED son equiláteros. Calcule la medida del ángulo EDC. Si: mBAEB=108º.

A

a) b d) b 2

C

T

b) a.b e) a + b 2

c) a-b

4. En el gráfico: AB=ED, AE=CD y CE=6. Calcular: BC. C

B D

E A

a) 60º d) 45º

Central: 619-8100

A C

b) 30º e) 53º

B

c) 48º

a) 6º d) 12

60º

60º E

b) 6 2 e) 9

D

c) 6 2

www.trilce.edu.pe 15

5. En el gráfico, calcule "xº".

9. En la siguiente figura, calcule mBCDA. si AB=BC=CD.

B

B

24º xº

42º A

C

10x

P 24º

C 48º D

a) 30º d) 46º

b) 36º e) 48º

c) 42º

5x

a) 50º d) 70º

6. En gráfico: AE=MF, AE // MN y MN=AF. Halle "f º".

b) 10º e) 100º

D

c) 40º

10. En la siguiente figura, calcule MP si: AD=16, BM=MC y mBBAD=mBPDC.

N E

7x

A

B

70º

P M φº

A

7. En la siguiente figura, calcule la mBDCE. Si: BD=DE y la mBADE=100º.

Quinto UNI 16

b) 24º e) 45º

B

P

E

c) 10º

8. En un triángulo equilátero ABC, en su región interior se ubica un punto "P" , si: mBABP = mBCAP = mBBCP . 4 5 6 Calcule mBABP. a) 24º d) 37º

11. En el gráfico, calcule "αº" AP=BC.

at α

b) 30º e) 25º

c) 6

ww w.

α

a) 40º d) 20º

b) 12 e) 8

M

B

C

a) 16 d) 4

em

D

A

m

c) 40º

.c o

b) 30º e) 35º

a1

a) 20º d) 25º

F

M

C

D

at ic

A

c) 30º

A

2αº 3αº

a) 5º d) 10º

5α H

b) 7º e) 15º

C

c) 9º

12. En un ∆ ABC se traza la ceviana BD, tal que: AB ≅ CD y "D" está en el lado AC. Además, mBABD=60º y mBBAC=20º. Calcule la mBBCA. a) 15º d) 22º30'

b) 30º e) 20º

c) 25º

Colegios

TRILCE

Geometría 13. Si mBBCD=30º, AB=BC y BD=AD. Calcular "θº".

15. Del gráfico, BM=AC. Calcule "θ". B

B

2θ

4θº θº

M D

90º-θ

A

A

a) 12º d) 18º

θ

C

b) 15º e) 20º

a) 20º d) 10º

c) 10º

b) 30º e) 40º

C

c) 60º

14. Dado un triángulo equilátero ABC, en AC y en la región exterior relativa a BC se ubican los puntos "D" y "E", respectivamente, tal que AD=EC, AE=BC y mBBAE=40º. Calcule la mBBDE. b) 45º e) 60º

c) 40º

.c o

m

a) 30º d) 50º

at ic

a1

Tarea domiciliaria

B α

ww w.

M

at

C

B

3. Si: AB=CD. Calcule "a":

em

1. En el gráfico, AB=CD. Hallar la medida del ángulo formado por las rectas AB y CD.

θ

θ

A

a) 60º d) 40º

A D

b) 45º e) 15º

c) 30º

2. En el gráfico, los triángulos ABC y LCD son congruentes. Hallar la medida del ángulo formado por las rectas AB y LD.

L

A

a) 90º d) 150º

Central: 619-8100

a) 10º d) 8º

C

b) 100º e) 135º

D

C

b) 12º e) 18º

D

c) 16º

4. En cierto triángulo PQT, se traza de ceviana interior QM, de tal manera que: QM=PT y S P). Hallar: mMQ S P, S Q=4(mMQ mMT S P). si: mQPS M=7(mMQ a) 18º d) 10º

B

2α

90 - α

b) 16º e) 9º

c) 12º

5. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior S C=2 (mMB S A) y BM, de modo que: mMB S S S mMC B=2 (mMBC). Calcular mMBA, si BM=AC. a) 15º d) 24º

b) 18º e) 10º

c) 20º

c) 120º

www.trilce.edu.pe 17

6. Sobre el lado AC de un triángulo ABC, se construye exteriormente el triángulo isósceles SB AEC, (AE=EC) de tal manera que mAES B=3mAC S S S y mCA B=2mEC A. Calcular mEA C, S A=mAC S B. si EC a) 10º d) 18º

b) 12º e) 24º

12. Si AB=BC, AH=3µ y HC=8µ. Halle la distancia de "B" a L B

c) 15º

A

7. En un triángulo ABC, obtuso en "B", se traza la ceviana interior BM, de tal manera que: S =12º y MC=AB. Además, se sabe que mA S S mC =18º. Calcular mMB A. a) 9º d) 18º

b) 12º e) 24º

c) 15º

C

H

a) 4,5µ d) 5

b) 6,5 e) 6

B

C

c) 125º A

.c o

9. Calcule AD. Si: AB=9µ y CD=12µ.

a1

a) 7º d) 12º

at ic

C

2θ

90º- αº

b) 8º e) 15º

D

c) 9º

14. En un triángulo escaleno ABC, sobre sus lados exteriores se grafican los triángulos isósceles ABM y CBN. MC=12. Calcule la medida del segmento AN.

A

a) 18µ d) 21

2αº E

b) 15 e) 20

ww w.

2αº 2αº

M

at

em

B

3θ 45º

m

b) 120º e) 130º

c) 5,5

13. En el gráfico, calcule: "θº", si: AB=CD y BC = AD .

8. Se tiene un triángulo escaleno ABC. Exteriormente se construyen los triángulos equiláteros BAD y BEC. Hallar la medida del ángulo formado por CD y AE . a) 135º d) 115º

L

D

c) 22

10. En un triángulo ABC, sobre AC y BC se ubican los puntos "D" y "E", respectivamente. Si: AB=DC, mBBAC=mBBDE=32º, mBDBE=74º. Calcule la mBABD. a) 32º d) 42º

b) 36º e) 48º

Quinto UNI 18

b) 10º e) 20º

b) 6 2 e) 12

c) 6 3

15. En el gráfico, las regiones sombreadas son congruentes. Si: BM=3 y AC=11, calcule AB. B

M

c) 40º

11. En un triángulo ABC, sobre AC se ubica un punto "P", sea "Q" un punto exterior relativo al lado AC, si: AB=BP, AQ=PC, mBBAC=2xº, mBCAQ=5xº, mBBQC=mBBCQ. Calcule "xº". a) 8º d) 15º

a) 6 d) 8

A

a) 4 2 d) 5

H

b) 7 2 e) 10

C

c) 5 2

c) 12º

Colegios

TRILCE

Geometría 16. Calcule "x", si los triángulos ABR y PBC son equiláteros.

18. En la figura: AB=FC, calcular "αº". B

B

A

P

α 2α

C

x

α

A

a) 15º d) 30º

R

a) 30º d) 53º

b) 35º e) 60º

c) 45º

C

F

b) 18º e) 36º

c) 22º30'

19. En la figura, AP=BC, calcule "xº". B

17. En el gráfico, calcular "x"

70º

xº

40º x 10º 80º

c) 15º

m

c) 15º

b) 10º e) 40º

C

ww w.

M

at

em

at ic

a1

b) 12º e) 20º

a) 20º d) 30º

P

.c o

40º

a) 10º d) 18º

40º

A

Central: 619-8100

www.trilce.edu.pe 19

Problemas resueltos

1. Del gráfico, calcule: AC. Si: PB=4. B α α

P α

A

C

Sea ED=2n Se prolonga CP ⇒ TP=PC ⇒ Por dato: AB=BC=m T. mediana: CS=SE=SD=m ∆BSC ≅ ∆TSD: SC=TC ⇒ ∆ACT: NOT 30º y 60º \x=30º

3. Según el gráfico, AB=CD. L1 y L2 son mediatrices de AC y BD, respectivamente. Calcule θ α

Resolución:

a1 P

α

A

C

A

L2 α

M

ww w.

Se prolonga CP ⇒ TP=PC Se traza por "P" MP // AC ⇒ MP: base media del ∆ATC ∆MPB: isósceles: MP=4 \x=8

Resolución: C

L1

m

B

m

2. En el gráfico AB=BC= ED . Calcule "x". 2

//

A

B

α

C

α β

θ θ

L2

//

4θ

D

θ

at

x

B

em

4

at ic

T α

M



.c o

α α

C

L1

m

B

D

M

x

A

θ

E

D

Resolución: B 2θ

m

2θ

C k

m k A

Quinto UNI 20

θ k

S

x E



Se pide: θ α T. mediatriz: AM=MC, MB=MD ∆ABM ≅ ∆CMD (L.L.L.) ⇒ 2α+β=2θ+β α=θ \ θ =1 α

T

m 2θ m

S

m

θ

D

Colegios

TRILCE

Geometría 4. En el gráfico mostrado, AD=BC. Calcule "x".

5. En el gráfico mostrado, calcule: "x". B

B

M

T

x

D

A



x 2x

3x x

A

C

B

B x 120-2x

A

m

M

m

4x x D x

x 2x

2x

A

C



40º m 30º

m

50º 40º

40º m

H

T

F 10º 10º

m

G

C

∆AFG: NOT (30º y 60º) AF=2m, FG=m T. bisectriz: FG=FR ∆ MHF ≅ ∆ FRT (A.L.A.) ⇒ MF=FT \x=20º .c o

m

Se traza DS tal que mBDSC=2x ∆ASD ≅ ∆BDC (L.A.L.) ∆ATD ≅ ∆ADS ABDT: propiedad cuadrilátero no convexo ⇒mBABD=120 - 2x \ x=10º.

x

at ic

a1



2x 3x x x

C

Resolución:

Resolución:

T

10 10

30

4. Calcule QP. AM=MP, BP=PC.

M

B

at

1. En la figura, calcule BC, si: HM=6.

em

Problemas para clase

ww w.

B

H

Q α

α A

M α

a) 9 d) 18

M

b) 12 e) 24

C

c) 15

2. En un triángulo ABC la medida del B ABC es igual a 128°. Las mediatrices de AB y BC cortan a AC en los puntos "R" y "S", respectivamente. Luego, la suma de las medidas de los ángulos ABR y SBC es : a) 40º d) 52º

b) 48º e) 64º

Central: 619-8100

b) 24º e) 48º

α 18 C

A

a) 36 d) 12

b) 24 e) 9

c) 18

5. En la siguiente figura, calcule "α". 30º

20º

c) 50º 70º

3. En un triángulo ABC (AB