geometria trilce 1°.pdf
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Índice UNIDAD I
Inicio y necesidad de la Geometría
Capítulo 1 Introducción ....................................................... 5
Capítulo 3 Distancias entre puntos y rectas......................... 18
Capítulo 2 Posiciones relativas entre rectas ........................ 11
Capítulo 4 Recordando lo aprendido .................................... 26
UNIDAD II
Midiendo las primeras figuras geométricas
Capítulo 1 Longitud del segemento de la recta ................... 29 Capítulo 2 Identificación de ángulos.................................... 35
Capítulo 4 Plano cartesiano .................................................. 50 Capítulo 5 Repaso bimestral ................................................. 56
Capítulo 3 Ángulos consecutivos.......................................... 44
UNIDAD III
Simetría
Capítulo 1 La simetría hecha arte ........................................ 60
Capítulo 3 Utilicemos la simetría en el plano cartesiano...... 75
Capítulo 2 Reflexionemos el espejo natural ......................... 68
Capítulo 4 Recordemos variando simetrías........................... 83
UNIDAD IV
Figuras triangulares en diversos objetos y construcción de triángulos
Capítulo 1 Lados de un triángulo ......................................... 87
Capítulo 3 Lados y ángulos del triángulo ............................ 98
Capítulo 2 ängulos de un triángulo ...................................... 93
Capítulo 4 Recordando lo aprendido ................................... 103
GEOMETRÍA UNIDAD V
tRACEMOS LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
Capítulo 1 La mediatriz en el triángulo ............................... 107
Capítulo 3 La mediatriz y la bisectriz en el triángulo ........... 117
Capítulo 2 La altura en el triángulo ..................................... 112
Capítulo 4 Recordando lo aprendido .................................... 123
UNIDAD VI
Ubiquemos los puntos notables en el triángulo
Capítulo 1 Ubicación del circuncentro ................................ 131
Capítulo 3 Ubicación del baricentro .................................... 143
Capítulo 2 Ubicación del ortocentro .................................... 137
Capítulo 4 Ubicación del incentro ....................................... 149
UNIDAD VII
Formemos ecuaciones con las medidas de segmentos y de ángulos
Capítulo 1 Operaciones con segmentos ............................... 156
Capítulo 3 Ángulos entre dos rectas paralelas ..................... 171
Capítulo 2 Sumando y restando ángulos consecutivos ........ 162
Capítulo 4 Recordemos lo aprendido ................................... 180
UNIDAD VIII
Encontrando triángulos
Capítulo 1 Aplicando la suma de ángulos internos de un tiángulo en polígonos.......................................... 184
Capítulo 3 Recordemos lo aprendido ................................... 202
Capítulo 2 Operaciones con líneas notables en el triángulos ........................................................... 193
TRILCE
UNIDAD 1
Inicio y necesidad de la Geometría
E
n la cultura egipcia hubo aportes muy importantes por la necesidad de construir y de aplicarlo en la división de terrenos destinados a su actividad económica más importante: La agricultura. Pero en Grecia fue donde se desarrolló la Geometría como ciencia, siendo "Euclides" considerado como el padre de la "Geometría Elemental".
AprendiZajes esperados •
Identificar figuras geométricas a partir de los objetos que se conoce.
•
Diferenciar entre elemento y figura geométrica.
•
Usar herramientas como las escuadras y el compás.
•
Contar puntos de corte observando y analizando los gráficos.
•
Reconocer las diferentes distancias utilizando unidades de longitud.
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1
Introducción En este capítulo aprenderemos: •
A relacionar los diferentes objetos que tienes a tu alrededor con elementos y figuras geométricas.
•
A representar a los elementos geométricos.
•
A diferenciar entre elementos y figuras geométricas.
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Saberes previos • Figuras planas
Central: 619-8100
CAPITULO
Según nuestra perspectiva podemos encontrar elementos y figuras geométricas en todas partes. En la imagen mostrada, señala elementos y figuras geométricas.
• Figuras espaciales
Unidad I
5
Introducción
Conceptos básicos Definición de elementos geométricos Son las ideas obtenidas a partir de la necesidad de representar formas que no se les considera una medida, estas son: El punto Es la idea geométrica más pequeña y se le representa con una letra mayúscula. E punto "E"
A punto "A"
La recta Es la idea geométrica formada por infinitos puntos sucesivos que se encuentran en una misma dirección y se le representa con una letra minúscula. m
Recta n n
Recta m
El plano Es la superficie geométrica ilimitada que puede contener completamente puntos y rectas. A un plano se le representa generalmente por un cuadrilátero al cual se le da una letra mayúscula.
Q Plano Q
Definición de figuras geométricas Es la idea obtenida a partir de la forma de un objeto.
• Objetos y figuras geométricas:
Objeto: Dado Forma o figura geométrica : Cubo
Objeto: Pelota Forma o figura geométrica : Esfera
Atún Colegios
6
TRILCE
Objeto: Conserva de atún Forma o figura geométrica : Cilindro www.trilce.edu.pe
1
Recuerda que
Posiciones representativas de la recta Vertical: n
Horizontal:
Oblicua: L
a Recta horizontal a Recta oblicua L Recta vertical n
Elementos contenidos en otros elementos geométricos
L
.B
F
A.
R
Punto "F" contenido en la recta L
Puntos "A" y "B" contenidos en el plano R
Recta n contenida en el plano W
n W
10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Grafica la recta horizontal a y a los puntos "E" y "F" contenidos en ella.
5. Grafica a los puntos "M"; "N" y "T" contenidos en un plano P.
2. Grafica el punto "A" contenido en un plano H.
6. Graficar una recta L contenida en el plano R.
3. Grafica una recta horizontal m y una recta vertical n que contengan a un punto "D". 4. Grafica tres rectas cualesquiera que pasen por un punto "C".
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R
Unidad I
7
Introducción
7. Graficar a la recta m contenida en el plano E y al punto "B" contenido en la recta m.
9. Graficar cuatro rectas cualesquiera que pasen por un punto "T". 10. Graficar a los puntos "P"; "Q" y "R" contenidos en la recta L y a los puntos "A" y "B" exterior (no contenidos) a L .
E
8. Graficar la recta o rectas que pueden pasar por dos puntos "A" y "B" a la vez.
L
sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. Marcar (V) si es verdadero o (F) si es falso, en las siguientes proposiciones:
• • •
Por un punto pueden pasar infinitas rectas...................................................................... ( Por dos puntos puede pasar solamente una recta a la vez............................................... ( Toda recta tiene una longitud determinada..................................................................... (
) ) )
2. Relacionar correctamente: I
a
II
III
B
B Q A
Triángulo
C
IV
Recta
C
A
Cuadrilátero
D Plano
3. Completar las siguientes proposiciones, utilizando las palabras del recuadro.
• • •
La línea recta es ................................ en sentidos opuestos. En la cultura ................................ la Geometría se desarrolló como ciencia. El padre de la ................................ elemental es ................................
infinita - egipcia - ilimitada - griega Platón - Pitágoras - Euclides - Geometría - Matemática
Colegios
8
TRILCE
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1
4. Dar el nombre de las siguientes figuras geométricas espaciales
5. Dar el nombre de las siguientes figuras geométricas planas
Resolución de problemas 6. ¿Cuántos puntos están contenidos según el gráfico, en la recta L ?
A
M
E
L
C
B
7. ¿Cuántos puntos como máximo pueden estar contenidos en una recta? 8. ¿Qué forma tiene un ladrillo? 9. Graficar el plano R, la recta n y el punto "B". Si "B" y n pertenecen a "R", entonces ¿el punto "B" pertenece a n ? 10. ¿Cuántas rectas pasan por los puntos "R"; "G" y "C"? G R
11. ¿Cuántas rectas pasan por los puntos "A"; "B"; "C" y "D"?
A
D
12. ¿Cuántas rectas pasan por los puntos "A", "C", "D", "Y" y "W"? A C
W Y
D
C
Aplicación cotidiana 13. ¿ Qué figuras geométricas espaciales forman el siguiente objeto? ................................ y ................................ Lápiz 14. ¿ Qué figuras geométricas espaciales forman el siguiente objeto? ................................ y ................................ Perno Central: 619-8100
Unidad I
9
Introducción
15. ¿Qué figuras geométricas planas y cuántas forman el prisma mostrado? ................................ y ................................
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Graficar los puntos "A"; "B"; "C"; "D"; "E" y "F" no colineales (no pertenecen a una recta) y contar todas las rectas que pasen por dichos puntos. 2. ¿Qué figuras planas y cuántas forman la pirámide mostrada?
3. Graficar siete puntos no colineales y contar todas las rectas que pasen por dichos puntos. 4. Calcular la cantidad de rectas que pasen por ocho puntos no colineales contenidas en un plano. 5. Calcular la cantidad de rectas que pasen por nueve puntos no colineales contenidas en un plano. 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Graficar un punto "E" y tres rectas que contengan 9. Graficar un plano Q y los puntos "A"; "D" y "F" contenidos en dicho plano. a dicho punto. 2. Graficar un punto "M" y cinco rectas que pasen por dicho punto.
10. Graficar un plano T, luego la recta L y los puntos "M" y "N" contenidos en dicho plano .
3. Graficar dos puntos "C" y "D" y la recta o las rectas que pasen por dichos puntos a la vez.
11. Graficar el plano R y la recta m contenida en ella, luego a los puntos "A" y "B" que pertenecen a m.
4. Graficar la recta a horizontal y los puntos "A"; "B" y "C" contenidos en ella. 5. Graficar la recta c horizontal y los puntos "M"; "N" y "K" exterior a ella . 6. Graficar la recta vertical m y los puntos "D"; "E" y "F" contenidos en ella. 7. Graficar la recta n y los puntos "A" y "B" exterior a ella. 8. Graficar un plano R y una recta a contenida en él. Colegios
10
TRILCE
12. ¿Cuántas rectas pasan por tres puntos no colineales? (Graficar) 13. ¿Cuántas rectas pasan por cuatro puntos no colineales? (Graficar) 14. ¿Cuántas rectas pasan por cinco puntos no colineales? (Graficar). 15. Graficar una recta vertical a y a los puntos "M"; "N" y "P" contenidos en a .
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Posiciones relativas entre rectas
1
En este capítulo aprenderemos: •
A reconocer las posiciones entre dos o más rectas en el plano.
•
A usar las escuadras para trazar rectas paralelas.
•
A identificar el número mínimo y máximo de puntos de corte entre rectas en el
plano.
CAPITULO
Las escuadras
Te has preguntado: ¿por qué hay dos tipos de escuadras? ¿Tienen la forma de cualquier triángulo? ¿Por qué tienen la forma de esos triángulos en particular? Las figuras geométricas más usadas en la construcción y elaboración de viviendas, herramientas, etc; en la antigüedad fueron el cuadrado y el triángulo equilátero (lados iguales).
Que al ser divididos en la mitad, se obtienen la forma de los triángulos usados en las escuadras.
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11
Posiciones relativas entre rectas
Conceptos básicos Definición de rectas paralelas
•
Dos o más rectas son paralelas si no tienen ni un punto en común. m n
L1 L2 L3 L4
m y n son paralelas (m // n )
•
L1; L2; L3 y L4 son paralelas (L1//L2//L3//L4)
Uso de las escuadras para trazar rectas paralelas. Se desliza para trazar otra recta
Escuadra fija
Definición de rectas secantes
•
Dos rectas son secantes si tienen un punto en común, llamado punto de intersección o punto de corte. a a y b son secantes en el punto "P". a y b se cortan en "P".
P b
•
Número de rectas secantes y número de puntos de corte.
Tres rectas secantes
1 punto de corte Colegios
12
"P" es el punto de intersección.
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3 puntos de corte www.trilce.edu.pe
Cuatro rectas secantes
1 punto de corte
2
4 puntos de corte
6 puntos de corte
Cinco rectas secantes
1 punto de corte
6 puntos de corte
10 puntos de corte
Ten en cuenta
•
Las rectas que pasan por un mismo punto se llaman rectas concurrentes, es decir que son rectas secantes con un solo punto de corte.
Seis rectas concurrentes
•
Para obtener el mayor o máximo número de puntos de corte entre rectas secantes, tres rectas no deben coincidir en un mismo punto, solo dos.
Seis rectas secantes dan como máximo 15 puntos de corte.
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Unidad I
13
Posiciones relativas entre rectas
Ten en cuenta
•
Máximo número de puntos de corte entre rectas paralelas y secantes. Entre 2 paralelas y 1 secante
2 puntos de corte
Entre 3 paralelas y 2 secantes
7 puntos de corte
Entre 2 paralelas y 2 secantes
5 puntos de corte
Entre 2 paralelas y 3 secantes
9 puntos de corte
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Graficar dos rectas paralelas y verticales. 2. Graficar dos rectas paralelas y horizontales.
6. Graficar cinco rectas paralelas oblicuas y una recta secante a las anteriores. ¿Cuántos puntos de corte hay?
3. Graficar dos rectas secantes: una horizontal y la otra vertical.
7. Graficar cuatro rectas paralelas y verticales y además una recta secante a las anteriores. ¿Cuántos puntos de corte hay?
4. Graficar tres rectas paralelas y una recta secante a las rectas anteriores. ¿Cuántos puntos de corte hay? 5. Graficar tres rectas concurrentes y una recta secante a las rectas anteriores. ¿Cuántos puntos de corte hay?
Colegios
14
TRILCE
8. Graficar cuatro rectas secantes, obteniendo el menor número de puntos de corte. 9. Graficar cuatro rectas secantes, obteniendo el mayor número de puntos de corte. 10. Graficar las rectas a ; b ; c y d , tal que: a // b y c // d . Calcular cuántos puntos de corte hay al intersectarse.
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2 sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. En el gráfico, las rectas son: a) Paralelas b) Secantes c) Ninguna de las anteriores
2. 3.
Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • •
Dos rectas paralelas tienen un punto en común.............................................................. ( Si dos rectas tienen un punto en común, entonces son secantes..................................... (
) )
Usando los términos del recuadro, completar las siguientes proposiciones: paralelas - triángulo - reglas - secantes escuadras - cuadrado - rectas - punto - obtienen
• •
Si dos ....................... que pertenecen a un plano no tienen un ....................... en común, entonces son ....................... . Las ....................... que se utilizan son dos, porque se ....................... de la mitad de un ....................... y un ....................... equilátero.
4. Relacionar correctamente las siguientes figuras y términos geométricos. II
III
I
Rectas secantes
Dos rectas paralelas y una secante
Rectas concurrentes
5. Grafica dos rectas paralelas y una secante (gráfico 1); luego dos rectas secantes y una tercera recta que sea paralela a una de ellas y secante a la otra recta (gráfico 2) Gráfico 1
Gráfico 2
De los gráficos 1 y 2, indicar si es verdadero (V) o falso (F):
• •
¿El gráfico 1 es igual al gráfico 2?................................................................................... ( ¿El número de puntos de corte en ambos es el mismo?................................................... (
Central: 619-8100
) )
Unidad I
15
Posiciones relativas entre rectas
Resolución de problemas 6. Calcular el máximo número de puntos de corte entre tres rectas secantes.
10. Calcular el máximo número de puntos de corte entre dos rectas paralelas y dos rectas secantes.
7. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas secantes.
11. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y dos rectas secantes.
8. Calcular el mínimo número de puntos de corte entre cinco rectas secantes. 9. Calcular el mínimo número de puntos de corte entre dos rectas paralelas y dos rectas secantes.
12. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas paralelas y tres rectas secantes.
Aplicación cotidiana •
En un tablero de ajedrez, las líneas que forman los cuadrados están contenidas en rectas paralelas tal como se muestra en el gráfico:
Responder: 13. ¿Cuántas rectas paralelas verticales hay? 14. ¿Cuántas rectas paralelas horizontales hay? 15. Calcular el número total de puntos de corte.
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas secantes. 2. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes. 3. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y tres rectas secantes. 4. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas paralelas y cuatro rectas secantes. 5. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y cuatro rectas secantes. Colegios
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TRILCE
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2
18:10:45
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y una recta secante. (Graficar) 2. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas paralelas y una recta secante. (Graficar) 3. Calcular el máximo número de puntos de corte entre tres rectas paralelas y dos rectas secantes. (Graficar) 4. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas paralelas y dos rectas secantes. (Graficar) 5. Calcular el mínimo número de puntos de corte entre seis rectas secantes. (Graficar) 6. Calcular el número de puntos de corte entre cinco rectas concurrentes y una recta secante a las anteriores. (Graficar) 7. Calcular el número de puntos de corte entre seis rectas concurrentes y una recta secante a las rectas anteriores. (Graficar)
9. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas secantes. (Graficar) 10. Calcular el máximo número de puntos de corte entre tres rectas paralelas y tres rectas secantes. (Graficar) 11. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y dos rectas secantes. (Graficar) 12. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas paralelas y dos rectas secantes. (Graficar) 13. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas paralelas y tres rectas secantes. (Graficar) 14. Calcular el máximo número de puntos de corte entre tres rectas concurrentes y tres rectas paralelas. (Graficar) 15. Calcular el máximo número de puntos de corte entre tres rectas concurrentes y cuatro rectas paralelas. (Graficar)
8. Calcular el máximo número de puntos de corte entre dos rectas paralelas y tres rectas secantes. (Graficar)
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Unidad I
17
3
Distancias entre puntos y rectas En este capítulo aprenderemos: •
A medir distancias entre puntos y rectas con el uso de una regla calibrada.
•
A representar gráficamente la distancia entre un punto y una recta exterior.
•
A usar las escuadras para trazar perpendiculares.
•
A usar el compás para encontrar distancias.
CAPITULO
Instrumentos de precisión ¿Qué es longitud?
Saberes previos
O
El ángulo recto mide ................
Colegios
18
TR ILCE
Dos rectas que forman 90º se llaman rectas ...............................
r
r: radio
Todos los puntos que pertenecen a una misma circunferencia tienen la misma distancia con respecto a un punto que se llama ............................... www.trilce.edu.pe
Geometría
Conceptos básicos Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos es la medida o longitud del segmento de recta que une dichos puntos. A 0
1
2
F
B
E
3
0
La distancia entre "A" y "B" mide 3 cm
4
3
2
1
El punto "E" dista del punto "F" 4 cm
Distancia entre un punto y una recta Está representado por la medida o longitud de un segmento de recta perpendicular trazado desde el punto hacia la recta. Ten en cuenta
• P
2,5 cm
BQ también se dice que es la menor distancia de "B" a la recta a . Cualquier otro punto de la recta a tendrá mayor distancia con respecto al punto "B". B
L Q
4 cm
La distancia de "P" a L mide 2,5 cm
a Q
M
N
"B" dista 4 cm de a
Distancia entre dos rectas paralelas Está representado por la medida o longitud de un segmento de recta perpendicular a ambas rectas Ten en cuenta
• m
Cualquier punto de la recta a dista 2 cm de la recta b A
1,5 cm
n La distancia entre m y n mide 1,5 cm
2 cm
B 2 cm
C 2 cm
a dista de b 2 cm
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a
b
Unidad I
19
Distancias entre puntos y rectas
Aplicaciones
•
¿Cómo usar el compás para ubicar puntos que tienen la misma distancia con respecto a un punto fijo? E
A 0
1
2
3
4
B
5
O El punto "O" es fijo. Los puntos "A"; "E" y "B" distan 3 cm del punto "O"
N
M
0
1
2
3
4
5
6
Q
5 cm
5 cm
5 cm
P
Ejemplo
Los puntos "M"; "N" y "Q" distan 5 cm del punto fijo "P".
Resolución: 0
1
2
3
4
5
Ejemplo
Se muestran dos rectas paralelas que distan 3 cm. Dado el punto "A", ubicar a un punto "B" que diste 4 cm del punto "A" y que se encuentre en la otra recta paralela
Se traza una circunferencia de centro "A" y radio 4 cm
3 cm
B A
3 cm
4 cm A
Colegios
20
TRILCE
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3 Ten en cuenta
•
Para trazar rectas perpendiculares a una cierta recta, se ubica una escuadra que coincida con la recta "L" y la otra escuadra servirá para trazar las perpendiculares a " L ".
L
¿Cómo ubicar un punto en una recta, que se encuentra a cierta distancia de un punto dado?
En el gráfico, el punto "W" se encuentra a 2 cm de la recta L . Encontrar un punto "A" que pertenece a L y que se encuentra a 3 cm de L
L
Ejemplo
•
Ejemplo
2 cm
W
Resolución: A 1
2
3
4
5
L
A
3c
m
0
3
m
3c
cm W
Se traza una circunferencia de centro "W" y radio 3 cm. Luego, no se encontró un solo punto sino dos puntos "A" que pertenecen a L y distan 3 cm de "W".
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Unidad I
21
Distancias entre puntos y rectas
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Mide la distancia entre los puntos "M" y "N". M
N
2. Mide la distancia entre el punto "A" y la recta "L".
L
6. Graficar un punto "C" que diste 4 cm de una recta vertical m. 7. Graficar dos rectas a y b paralelas y verticales que disten 6 cm.
A
5. Grafica una circunferencia de centro "B" y de 3 cm de radio. Luego ubica a los puntos "E" y "F" que pertenezcan a la circunferencia. También compara la distancia entre "B" y "E" con la distancia entre "B" y "F".
8. Graficar el punto "R" y la recta L1 horizontal que disten 3,5 cm
3. Calcular la distancia entre las rectas paralelas m y n. m n
9. Graficar a las rectas L1 y L2 paralelas y horizontales que disten 4,3 cm. 10. Graficar la circunferencia de centro "A" de 2 cm de radio, luego marca los puntos de intersección entre L y la circunferencia L
4. Grafica una circunferencia de centro "A" y de 2 cm de radio.
1 cm
A
sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. 2.
Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • •
Las distancias solamente se miden en centímetros.......................................................... ( La circunferencia es igual al círculo................................................................................ (
) )
Completar correctamente los elementos de una circunferencia
r 0
3. Usando los términos geométricos del recuadro, completar las siguientes proposiciones:
•
Todos los ....................... que pertenecen a una circunferencia tienen la misma ........................... con respecto a su centro.
Colegios
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•
Dos ....................... son perpendiculares si ....................... un ángulo de 90º (ángulo recto).
3
rectas - triángulos - puntos - distancia - forman - tienen - cuadrados 4. Completar el enunciado que corresponde al gráfico adjunto. A m
1,5 cm
a
1 cm n
El ......................... "A" ......................... de la recta a 1,5 cm.
Las ....................... paralelas y horizontales tienen una ........................... de 1 cm.
5. En el gráfico mostrado, "P" es el centro de la circunferencia de 2 cm de radio. Responde las siguientes preguntas: A
B
L
¿Cuánto mide la distancia de "P" a "A"? Rpta: .............................. ¿Cuánto mide la distancia de "P" a "B"? Rpta: ..............................
P
¿Cuánto mide la distancia de "P" a L ? Rpta: .............................. Resolución de problemas 6. Graficar el punto "C" que se encuentra a una distancia de 1,8 cm de la recta oblicua n .
9. Ubicar a un punto "B" que diste de "A" 3 cm y además pertenezca a la recta L . L
7. Ubicar el punto "P" que se encuentra a 2 cm de la recta a y a 3 cm de la recta b . A
b
2 cm
a
8. Ubicar al punto "P" que se encuentra a 1 cm de la recta m y a 2 cm de la recta n .
11. Graficar un punto "B" y las rectas L1; L2 y L3 que distan de "B" 1,2 cm; 1,8 cm y 2 cm respectivamente, tal que: L1 // L2 // L3.
m
n
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10. Graficar un punto "P" que diste 1,5 cm de la recta horizontal L , luego ubique a un punto "Q" en la recta L que diste 2,5 cm del punto "P".
12. Graficar un punto "A" y las rectas L1 y L2 que disten de "A" 2,6 cm y 3,2 cm respectivamente tal que: L1 // L2.
Unidad I
23
Distancias entre puntos y rectas
Aplicación cotidiana •
En el gráfico, se muestra un parque de forma circular, donde se encuentran cuatro amiguitos ubicados en los puntos "A", "B", "C" y "D". Si los amiguitos caminan a la misma velocidad para encontrarse en el centro del parque:
A
B
Responder: 13. ¿Los cuatro amiguitos llegan juntos? 14. ¿Qué amiguitos llegan primero? 15. ¿Qué amiguitos llegan al último?
C
D
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Ubicar al punto o los puntos que disten 1 cm de dos rectas perpendiculares. 2. Ubicar al punto o los puntos que disten 0,5 cm de la recta a y 1 cm de la recta b . b
a
3. Grafica una circunferencia de 4 cm de radio y a una recta que dista 3 cm del centro. ¿Cuántos puntos de intersección hay entre la recta y la circunferencia? 4. Graficar una circunferencia de 3 cm de radio y a las rectas L1 y L2 que distan 2 cm del centro, luego calcular la distancia entre las rectas paralelas L1 y L2. 5. Graficar una circunferencia de 5 cm de radio, a la recta L1 que dista 1cm del centro y a la recta L2 que dista 3 cm del centro. Calcular la menor y mayor distancia entre las rectas paralelas L1 y L2.
Colegios
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TRILCE
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3
18:10:45
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Trazar la distancia entre "P" y "Q"; "Q" y "R" y "P" y "R". Luego medirlos.
8. Trazar las distancias de los puntos mostrados a la recta L . Dar las medidas.
Q
B A
C
R
P
2. Trazar la distancia entre "A" y m, luego calcular esta medida. A
L 9. Graficar las distancias entre L1; L2; L3 y L4. Luego medirlas. L1
L2
L3
L4
m 3. Ubicar un punto "P" a una distancia de 2 cm de L
L
10. Graficar las distancias de "P" a las rectas L1; L2 y L3 . L1
4. Ubicar los puntos "A" y "B" a una distancia de 3 cm de n . n
P
L2
L3
5. Graficar dos rectas paralelas y horizontales que disten 1,5 cm. 6. Ubicar los puntos "A" y "C" que pertenezcan a L y disten 5 cm. L
7. Graficar las distancias de "A" a las rectas a y b . Luego medirlas.
11. Trazar una circunferencia de 1,6 cm de radio. 12. Trazar una circunferencia de 1,8 cm de radio. 13. Trazar una circunferencia de 1,2 cm de radio y luego una recta que dista 1 cm del centro. 14. Trazar una circunferencia de 2 cm de radio y luego una recta que dista 1,3 cm del centro. 15. Trazar una circunferencia de 2,5 cm de radio y luego una recta que dista 2 cm del centro.
a A b Central: 619-8100
Unidad I
25
4
Recordando lo aprendido Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones:
• • •
El padre de la Geometría elemental es Pitágoras ........................................................... ( Dos rectas contenidas en un plano pueden ser paralelas o secantes................................ ( Los elementos geométricos son cuatro............................................................................ (
) ) )
2. Usando los términos del recuadro, completar las siguientes proposiciones:
• • •
Por un ....................... pueden pasar ........................... rectas. Por dos puntos ....................... puede pasar una ...................... . Todo punto que ....................... a una circunferencia tiene la misma ....................... con respecto al centro. pertenece - recta - punto - distancia - infinitas - únicamente - plano - concurrentes - solo
3. Relacionar correctamente las siguientes figuras y términos geométricos.
A
Rectas perpendiculares
B Rectas concurrentes
C Rectas secantes A
D Circunferencia de centro "A"
Colegios
26
TR ILCE
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Geometría
Resolución de problemas 4. Calcular el máximo número de puntos de corte entre tres rectas, siendo una vertical, otra horizontal y la tercera oblicua. (Graficar) 5. Calcular el máximo número de puntos de corte entre tres rectas concurrentes y cuatro rectas paralelas. 6. Trazar una recta paralela a m y a 1,6 cm de distancia.
9. ¿Cuántas rectas pasan por seis puntos no colineales? 10. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas secantes. 11. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cuatro rectas paralelas y tres rectas secantes. 12. Ubicar un solo punto en la recta L1 que diste 2,8 cm de la recta L2.
m
L1
7. Trazar una recta paralela a L y a 2,3 cm de distancia. L
8. Ubicar a los puntos de la recta a que disten 2,4 cm del punto "P".
L2
13. ¿Cuántas rectas pasan por ocho puntos no colineales?
P 1,8 cm
a
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Graficar la recta "a" horizontal y una recta "b" perpendicular a ella.
10. Graficar una recta vertical y los puntos "P"; "Q" y "R" respectivamente contenidos en ella, tal que "P" y "Q" disten 5 cm y "Q" y "R" disten 6 cm.
2. Graficar la recta "m" vertical y una recta "n" perpendicular a ella.
11. Graficar siete rectas concurrentes.
3. Graficar ocho rectas paralelas y una recta secante a ellas. Contar los puntos de corte.
12. Graficar un punto "P" y una recta vertical "L" que disten 3 cm.
4. Graficar cinco rectas secantes que no sean concurrentes y contar los puntos de corte.
13. Graficar un punto "A" y una recta horizontal "a" que disten 4 cm.
5. Graficar cinco rectas concurrentes y una recta secante a ellas. Contar los puntos de corte.
14. Graficar siete rectas paralelas y dos rectas secantes. Contar los puntos de corte.
6. Graficar seis rectas paralelas y dos rectas secantes. Contar los puntos de corte.
15. Graficar las distancias de "E" a las rectas "m" y "n", luego medirlas.
7. Graficar una recta oblicua y dos puntos "A" y "B" contenidos en ella que disten 5,5 cm.
E m
n
8. Graficar el punto "P" y la recta "a" horizontal que disten 3,5 cm. 9. Graficar las rectas "m" y "n" oblicuas y paralelas que disten 4 cm. Central: 619-8100
Unidad I
27
UNIDAD 2 Midiendo las primeras figuras geomÉtricas
A
partir de que a un año lo dividían en 360 días antiguamente, se dividió a una vuelta o círculo en 360 partes dando como origen al sistema sexagesimal. Para medir longitudes, en nuestro país se utiliza el centímetro, metros, kilómetros; en otros países se utiliza la pulgada, el pie, la yarda y la milla.
AprendiZajes esperados •
Identificar segmentos y ángulos en su entorno.
•
Medir longitudes de segmentos.
•
Ubicar los puntos medios de segmentos con el uso del compás.
•
Clasificar a los ángulos de acuerdo a su medida y medirlos con el transportador.
•
Trazar la bisectriz de un ángulo con el uso del compás.
1 Longitud del segmento de recta En este capítulo aprenderemos: •
A representar y medir a los segmentos de recta.
•
A identificar a los puntos colineales.
•
A contar segmentos contenidos en una misma recta.
•
A ubicar al punto medio de un segmento con el uso del compás.
¿Cuánto mide? ¿Cuáles son las longitudes de tu aula? ¿Cuáles son las dimensiones de un campo de fútbol? Estas preguntas son sencillas de responder y se les representan por segmentos de recta.
70 m 1,30 m 110 m
¿Estarán representados por segmentos de recta, las distancias entre departamentos, países de un mismo continente o de diferentes continentes?
Cuando las distancias son muy grandes no están representadas por segmentos de recta, sino por parte de una circunferencia (arcos de circunferencia).
29
Longitud del segmento de la recta
Saberes previos
•
En la circunferencia de centro "O" el radio mide 3 cm. B ¿Cuánto mide la distancia entre "A" y "O"? Rpta: ..............................
A O
3 cm ¿Cuánto mide la distancia entre "B" y "O"? Rpta: ..............................
Conceptos básicos Definición de segmento de recta Es la porción de línea recta que tiene como extremos a dos puntos. La medida o longitud del segmento de recta es la distancia entre sus extremos. P
Q
L
6 cm
• Segmento de recta de extremos "P" y "Q". • Segmento PQ • Medida de PQ : mPQ= 6 cm • Longitud de PQ : mPQ= PQ = 6 cm Ten en cuenta
• Los puntos que pertenecen a una recta se denominan puntos colineales.
A
• •
F
n
Los puntos "A"; "E" y "F" pertenecen a n entonces "A"; "E" y "F" se llaman puntos colineales. También se dice que los segmentos AE y EF son consecutivos y colineales.
En una recta pueden estar contenidos varios segmentos de recta.
• Si en una recta se marcan tres puntos, ¿cuántos segmentos de recta se forman? A
Colegios
30
E
TRILCE
B
C
Rpta:
Tres segmentos
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•
1
Si en una recta se marcan cuatro puntos, ¿cuántos segmentos de recta se forman? A
N
P
L
Seis segmentos
Rpta:
Punto medio de un segmento de recta Es el punto que pertenece al segmento de recta y tiene la misma distancia a los extremos de dicho segmento. 7 cm A
E 3,5 cm
B 3,5 cm
• "E" es el punto medio de AB .
• Los segmentos AE y EB son congruentes (miden igual) mAE=m EB o AE=EB
Ten en cuenta
Si no se conoce la longitud de un segmento se le puede ubicar con el uso del compás.
Ubicación del punto medio de un segmento de recta con el uso del compás.
Paso 1: Tomando como centro a los extremos del segmento se trazan circunferencias o parte de ellas, usando el mismo radio, buscando que se intersecten como en la figura II o III.
Figura I
Figura II
A
B
B
A
Figura III
Central: 619-8100
B A
Se recomienda que el radio sea menor que la longitud del segmento como en la figura II
Unidad II
31
Longitud del segmento de la recta
Paso 2: Se marcan los puntos de corte y se unen. Luego la intersección entre el segmento inicial y la línea de unión de los puntos de corte será el punto medio buscado
A
M
B
"M" es el punto medio del segmento AB.
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Graficar una recta horizontal y a los segmentos consecutivos PQ y QR contenidos en ella y que midan 3 y 7 cm respectivamente. 2. Graficar a los segmentos consecutivos AB y BC no colineales que miden 4 y 9 cm respectivamente. 3. Graficar un segmento MN que mide 8 cm y ubicar a su punto medio "E". 4. Graficar a los puntos colineales "A"; "B" y "C", tal que: mAB = 3 cm y mBC = 5 cm. Luego, ubicar el punto medio "M" de AC. 5. Graficar al segmento EL que mide 4,6 cm. Luego, ubicar a su punto medio "M".
6. Graficar al segmento de recta TI. Luego, ubicar a su punto medio "R", sabiendo que: mTI = 5,8 cm. 7. Ubicar el punto medio de un segmento de recta que mide 7 cm, haciendo uso del compás. 8. Graficar a los puntos colineales "A"; "B"; "C" y "D". ¿Cuántos segmentos de recta se determinan? 9. Graficar a los puntos "M"; "N"; "P"; "Q" y "R" contenidos en una recta. ¿Cuántos segmentos de recta se forman? 10. Graficar un segmento de recta AN cualquiera en posición vertical y ubicar a su punto medio, usando el compás.
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • Los puntos colineales no pertenecen a una misma recta................................................. ( • Un segmento de recta puede tener más de un punto medio........................................... ( 2. Usando los términos del recuadro, completar las siguientes proposiciones:
• •
) )
La longitud de un ....................... de recta es igual a la distancia entre sus ....................... . El punto ....................... de un segmento de ....................... tiene igual distancia con ....................... a los extremos de dicho segmento. punto - plano - segmento - recta - extremos - vértices - medio - respecto
Colegios
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TRILCE
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1
3. Relacionar correctamente las siguientes figuras, de acuerdo al número de segmentos.
B
A
cinco
tres
C
cuatro
4. Si el siguiente enunciado es falso, decir ¿porqué? y cómo sería lo correcto. "El punto medio de un segmento de recta es el único que tiene igual distancia de los extremos del segmento" Resolución de problemas 5. Ubicar el punto medio de un segmento horizontal que mide 3,1 cm.
10. En una recta se ubican los puntos consecutivos "M"; "N" y "P" tal que: MP = 9 cm y MN=5 cm. Ubicar el punto medio de NP y calcular: mNP.
6. Ubicar el punto medio de un segmento vertical que mide 2,9 cm. 11. En una recta se ubican los puntos consecutivos "A"; "B" y "C" tal que: AB = 6 cm y BC = 4 cm. 7. Graficar a los segmentos consecutivos y Luego, ubicar a los puntos medios "M" de AB y colineales AB y BC que miden 2 y 3,3 cm. "N" de BC y además, calcular: mMN. Luego, ubicar al punto medio de AC. 12. En una recta se ubican los puntos consecutivos 8. Graficar a los segmentos consecutivos y "P"; "Q" y "R" tal que: PQ=5 cm y PR=9 cm. colineales PQ y QR que miden 3,5 y 4 cm. Luego, ubicar el punto medio "M" de QR y Luego, ubicar al punto medio de PR. además, calcular: mQM. 9. En una recta se ubican los puntos consecutivos "A"; "B" y "C" tal que: AC = 7 cm y BC = 4 cm. Ubicar al punto medio de AB. Aplicación cotidiana •
Las dimensiones oficiales de un campo de fútbol, es decir, para partidos internacionales es de 100 a 110 metros de largo y de 65 a 75 metros de ancho. Se pide graficar el contorno de un campo de 100 metros de largo y 70 metros de ancho. (Considerar para graficar en el cuaderno a: 1 cm = 10 metros.).
http://www.colchonero.com
Luego:
Central: 619-8100
13. Ubicar a los puntos medios de los lados menores. 14. Ubicar a los puntos medios de los lados mayores. 15. Ubicar el centro del campo de fútbol.
Unidad II
33
Longitud del segmento de la recta
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Graficar una recta oblicua "L" y los segmentos consecutivos AB y BC contenidos en L , de tal manera que: AB = 4 cm y BC = 5 cm, luego ubicar el punto medio de AB y BC usando el compás. Calcular la distancia entre dichos puntos medios. 2. Graficar los segmentos consecutivos AB y BC de tal manera que AC = 7 cm. Luego, ubicar con el uso del compás los puntos medios "M" y "N" de AB y BC respectivamente. Calcular la medida de MN. 3. Graficar los segmentos consecutivos AB; BC y CD de tal manera que: BC = 2 cm y AD = 10 cm. Luego, ubicar con el uso del compás, los puntos medios "R" y "S" de AB y CD respectivamente. Calcular la medida de RS. 4. Graficar los segmentos consecutivos PQ y QR de 3 y 4 cm. Luego, ubicar con el uso del compás, el punto medio de PR y calcular la distancia de dicho punto medio a "Q". 5. Graficar los segmentos consecutivos PQ; QR; RS y ST que midan 1; 2; 3 y 4 cm respectivamente. Haciendo uso del compás, ubicar el punto medio "M" de PT y calcular la distancia de "M" a "S".
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. En la recta L , graficar el segmento AB de 5,5 cm de longitud. L 2. Graficar los segmentos consecutivos AB y BC que están contenidos en L , de tal manera que: AB= 3,5 cm y BC = 4,5 cm. L 3. Graficar un segmento PQ de 6 cm de longitud y luego, ubicar su punto medio "M". 4. En la recta L , graficar los segmentos AB; BC y CD que midan 2; 3,5 y 2,5 cm respectivamente. L 5. Graficar un segmento MA de 10 cm y ubicar su punto medio "P". 6. Graficar un segmento AC de 6,5 cm y ubicar su punto medio "M". 7. Graficar un segmento de 7,5 cm y ubicar su punto medio. Colegios
34
TRILCE
8. Graficar un segmento de 8,5 cm y ubicar su punto medio. 9. Graficar un segmento de 9 cm y ubicar su punto medio. 10. Graficar un segmento de 9,5 cm y ubicar su punto medio. 11. En una recta se ubican los puntos consecutivos "E"; "F" y "N" tal que: EF= 1 cm y EN = 4 cm. Luego, ubicar el punto medio de FN 12. En una recta se ubican los puntos consecutivos "A"; "B" y "T" tal que: AB = 3 cm y AT = 5 cm. Luego, ubicar el punto medio de BT. 13. Graficar a los segmentos AB y BC consecutivos pero no colineales que miden 6 y 5 cm respectivamente. 14. Graficar a los segmentos consecutivos y no colineales MN y NQ que miden 3,7 y 2,8 cm respectivamente. Luego, ubicar el punto medio de MN. 15. Graficar a los segmentos consecutivos y colineales "A"; "C" y "F" tal que: mAC = 5,2 cm y mCF=4,1 cm. Luego, ubicar el punto medio de AF. www.trilce.edu.pe
Identificación de ángulos
1
En este capítulo aprenderemos: •
A diferenciar entre ángulo, medida del ángulo y región angular.
•
A clasificar a los ángulos de acuerdo a su medida.
•
A medir ángulos con el uso del transportador.
•
A relacionar ángulos formados por rectas secantes y paralelas.
Teodolito
CAPITULO
Para medir ángulos en construcciones de puentes y edificaciones se utiliza un instrumento llamado "teodolito".
Para medir ángulos de elevación se toma como referencia la línea horizontal.
Conceptos básicos Definición de ángulo Es la figura geométrica formada por dos rayos que tienen el mismo origen y la medida del ángulo es la abertura entre los rayos. A O
aº B
Región interior del ángulo AOB
Elementos: Vértice: Lados: Medida:
O OA y O B mB AOB = aº mBO = aº m AÔB= mBÔA = aº
35
Identificación de ángulos
Clases de ángulos de acuerdo a su medida
Ángulo agudo: Su medida es mayor de cero y menor de 90 grados sexagesimales. Q
N
mBMON = 40º
70º
40º O
mBPQR= 70º
P
M
R
Ángulo recto: Mide exactamente 90º, es decir que sus lados son perpendiculares. A mBABC = 90º C B
Ángulo obtuso: Su medida es mayor de 90º y menor de 180º. N
P
mBEFN=120º 120º
B
mBAPB = 130º
F
E
130º
A
Ángulo llano: Se forma cuando los rayos son opuestos, obteniéndose una recta.
O
A
F
180º
180º
P
B
mBAOB = 180º
mBEPF = 180º
E
El transportador El transportador sirve para medir las aberturas entre los lados de un ángulo. 90º
0º
180º
0º 180º
180º 0º
90º
270º Colegios
36
TRILCE
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2
¿Cómo se mide un ángulo? Dado el cuadrilátero mostrado:
180 º 0º
º 140
Vértice del ángulo
Lado final
Lado inicial
Lado final 90º
140º
70º 90º
0º 180 º 70º
180º 0º
0º 180º
Lado inicial
Vértice del ángulo
Ángulos formados entre rectas
Entre dos rectas secantes: Se forman cuatro ángulos, donde el punto de corte es el vértice común. B
C 2 1
O
Se observa y verifica que: mBAOB = mBCOD mBBOC = mBAOD
3
4 A
D
Los ángulos 1 y 3 ; 2 y 4 se llaman ángulos opuestos por el vértice.
140º 40º
130º 40º
50º
50º 130º
140º
Rectas perpendiculares
Central: 619-8100
Unidad II
37
Identificación de ángulos
Entre dos rectas paralelas y una secante: Se forman ocho ángulos; cuatro ángulos en cada punto de corte. L 1
2
P
a
4
Región exterior
3
5 8
a // b
6 Q
b
Región interior a las rectas
a
Región exterior
b
7
Los primeros cuatro ángulos se relacionan con los cuatro últimos ángulos de acuerdo a la región que ocupan, en pares de ángulos.
•
Ángulos correspondientes: 1 y 5 ; 2 y 6 ; 3 y 7 ; 4 y 8 .
•
Ángulos alternos:
Internos: 4 y 6 ; 3 y 5 . Externos: 1 y 7 ; 2 y 8 .
•
Ángulos conjugados:
Internos: 4 y 5 ; 3 y 6 . Externos: 1 y 8 ; 2 y 7 .
Graficar ángulos a partir de uno dado
•
Graficar el ángulo opuesto por el vértice al ángulo POQ Procedimiento: Se prolongan en sentido opuesto OP y OQ. N
P
P El ángulo obtenido MON es el ángulo opuesto por el vértice del ángulo POQ.
O
O Q
•
Mídelos y comprueba que son de medidas iguales. Q
M
Graficar un ángulo correspondiente al ángulo EOF Procedimiento: Se traza una paralela n a uno de los lados
E F O
B
E A
F O
Colegios
38
TRILCE
n
El ángulo EAB obtenido es un ángulo correspondiente al ángulo EOF. Mídelos y comprueba que son de medidas iguales. www.trilce.edu.pe
•
Graficar un ángulo alterno interno al ángulo AOC Procedimiento: Se traza la paralela m a uno de los lados del ángulo AOC.
A
A
m
El ángulo OEF es el ángulo alterno interno al ángulo AOC.
C
Mídelos y comprueba que son de medidas iguales.
E
C F
O
O
2
•
Graficar un ángulo alterno externo al ángulo DOF Procedimiento: Se traza la paralela L a uno de los lados y que intersecta a la prolongación del otro lado.
F
F D
O
D O
El ángulo PMQ es el ángulo alterno externo al ángulo DOF.
L M
Q
Mídelos y comprueba que son de medidas iguales.
P
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Medir los siguientes ángulos y clasificarlos.
6. Graficar un ángulo correspondiente al ángulo mostrado.
2. Graficar un ángulo de 45º y clasificarlo. 3. Graficar un ángulo de 75º y clasificarlo.
7. Graficar un ángulo correspondiente al ángulo mostrado.
4. Graficar un ángulo de 90º y clasificarlo. 5. Graficar un ángulo de 110º y clasificarlo.
Central: 619-8100
Unidad II
39
Identificación de ángulos
8. Graficar un ángulo alterno interno al ángulo mostrado
10. Graficar un ángulo alterno externo al ángulo mostrado.
9. Graficar un ángulo alterno interno al ángulo mostrado.
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: 2.
• • •
• • •
Un ángulo que mide 180º se llama ángulo recto............................................................ ( Un ángulo que mide 35º se llama ángulo obtuso........................................................... ( Un ángulo que mide 75º se llama ángulo agudo............................................................ (
) ) )
Usando los términos del recuadro, completar las siguientes proposiciones: Los ángulos ....................... por el vértice tienen ....................... medida. Al trazar dos ....................... secantes se ....................... cuatro ángulos. Dos ....................... en sentidos opuestos y con el mismo ....................... forman una recta. rayos - segmentos - opuestos - igual determinan - forman - rectas - vértice - origen
3. Si: m // n , los ángulos mostrados se llaman:
m
n
Colegios
40
TRILCE
a) Alternos internos b) Correspondientes c) Conjugados
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2
4. Si: a // b , los ángulos mostrados se llaman:
a) Alternos internos b) Correspondientes c) Conjugados
b
a
5. Si: L1 // L2, los ángulos mostrados se llaman: L1
a) Alternos internos b) Correspondientes c) Conjugados internos
L2
Resolución de problemas 6. Medir los siguientes ángulos y clasificarlos.
11. Graficar un ángulo de 148º y clasificarlo. 12. Graficar un ángulo correspondiente al ángulo RMN mostrado. R
M
N
7. Graficar un ángulo de 85º y clasificarlo.
13. Graficar un ángulo alterno interno al ángulo AOB mostrado.
8. Graficar un ángulo de 64º y clasificarlo.
O
9. Graficar un ángulo de 135º y clasificarlo. 10. Graficar un ángulo de 72º y clasificarlo.
A
B
Aplicación cotidiana •
En un centro comercial se construyeron dos rampas de acceso para personas discapacitadas como se muestra en la figura. Si el ángulo que forman las rampas con el suelo mide 40º, graficar: 14. Un ángulo de igual medida que el de la rampa con el suelo y clasificarlo.
B
Suelo Central: 619-8100
Rampa
A
15. El ángulo que forma el recorrido de la persona del punto "A" hasta el punto "B" y clasificar dicho ángulo. Unidad II
41
Identificación de ángulos
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Graficar un ángulo alterno externo al ángulo mostrado
2. Graficar un ángulo conjugado interno al ángulo mostrado.
3. Graficar un ángulo conjugado externo al ángulo mostrado.
4. En el gráfico: a // b . Si: mB EDF = 45º, ¿cuánto mide el ángulo MON? E D
a F b
O N M 5. En el gráfico: L1// L2. Si: mBAOB = 155º, calcular la mB PEF. A
P
B O
L1
E F
Colegios
42
TRILCE
L2
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2
18:10:45
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Graficar un ángulo de 60º y clasificarlo.
10. Graficar un ángulo de 35º y clasificarlo.
2. Graficar un ángulo de 130º y clasificarlo.
11. Graficar un ángulo de 30º y además a su ángulo opuesto por el vértice.
3. Graficar un ángulo de 72º y clasificarlo. 4. Graficar un ángulo de 135º y clasificarlo. 5. Graficar un ángulo de 45º y clasificarlo. 6. Graficar un ángulo de 75º y clasificarlo. 7. Graficar un ángulo de 95º y clasificarlo. 8. Graficar un ángulo de 165º y clasificarlo. 9. Graficar un ángulo de 140º y clasificarlo.
Central: 619-8100
12. Graficar un ángulo de 100º y además a su ángulo opuesto por el vértice. 13. Graficar un ángulo de 110º y además a su ángulo opuesto por el vértice. 14. Graficar un ángulo de 115º y además a su ángulo opuesto por el vértice. 15. Graficar un ángulo de 150º y además a su ángulo opuesto por el vértice.
Unidad II
43
3
Ángulos consecutivos En este capítulo aprenderemos: •
A reconocer los ángulos consecutivos.
•
A identificar la bisectriz de un ángulo.
•
A usar el compás para trazar la bisectriz de un ángulo.
¿Te gusta el fútbol?
•
¿Te gusta ser arquero o hacer un gol?
•
¿Qué posición debe ocupar el arquero y en qué dirección debe seguir para cubrir lo mejor posible su arco?
aº
aº
CAPITULO
•
Chicos, la bisectriz del ángulo formado por los extremos del arco y la posición de la pelota ya que de esa manera se cubre el mayor espacio que comprende el arco. "En el fútbol se usa también Geometría ya que es un deporte de ángulos y distancias"
Conceptos básicos Ángulos consecutivos Son aquellos que tienen el mismo vértice y un lado en común respectivamente. B
A
C
Colegios
44
TR ILCE
AÔB y BÔC son dos ángulos consecutivos.
O www.trilce.edu.pe
Geometría
B
C
A
AÔB; BÔC y CÔD son tres ángulos consecutivos.
D
O
Bisectriz de un ángulo Es el rayo que parte del vértice de un ángulo y lo divide en medidas iguales. A
O
Bisectriz del ángulo AOB que mide 60º.
30º 30º
Q 70º O
B
Bisectriz del ángulo POQ que mide 140º. 70º P
25º 25º Bisectriz del ángulo que mide 50º. Es decir, que se obtienen dos ángulos consecutivos de medidas iguales.
Trazar la bisectriz de un ángulo haciendo uso del compás Paso 1: Con una abertura arbitraria y a partir del vértice del ángulo, se traza con el compás y se marcan los puntos de corte. A
Vértice O
B
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Unidad I
45
Ángulos consecutivos
Paso 2: Luego, a partir de los puntos marcados y Paso 3: Finalmente al unir el vértice y el punto de corte "W", se obtiene la bisectriz del ángulo con la misma o con otra abertura trazar con inicial. el compás y marcar el punto de corte. A
A
Vértice O
Bisectriz del ángulo Vértice
O
W
W
B
B
El rayo OW es bisectriz del ángulo AOB, entonces: mB AOW = mB BOW
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: mBAOB = 40º y mBBOC = 70º. 2. Graficar los ángulos consecutivos POQ y QOR, tal que: mBPOQ = 50º y mBQOR = 100º. 3. Graficar los ángulos consecutivos MON y NOP, tal que: mBMON = 30º y mBNOP = 60º. 4. Graficar los ángulos consecutivos AEB y BEC, tal que: mBAEB = 110º y mBBEC = 70º. 5. Graficar los ángulos consecutivos APC y CPD, tal que: mBAPC = 80º y mBCPD = 100º.
7. Graficar un ángulo de 120º y trazar su bisectriz con el uso del compás. Luego, comprobar con el transportador. 8. Graficar un ángulo recto y trazar su bisectriz con el uso del compás. Luego, comprobar con el transportador. 9. Graficar un ángulo agudo cualquiera y trazar su bisectriz con el uso del compás. 10. Graficar un ángulo obtuso cualquiera y trazar su bisectriz con el uso del compás.
6. Graficar un ángulo de 100º y trazar su bisectriz con el uso del compás. Luego, comprobar con el transportador.
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3 sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: 2.
• Solo dos ángulos pueden ser consecutivos..................................................................... ( • Los ángulos consecutivos no tienen el mismo vértice..................................................... ( Usando los términos del recuadro, completar las siguientes proposiciones:
• •
) )
La bisectriz ....................... a un ángulo en ....................... iguales. Dos ....................... son consecutivos si tienen el ....................... vértice y un .......................en común. ángulos - divide - forma - partes - mismo medidas - recta - lado - rayo
3. ¿Cuántos ángulos hay en el gráfico? C
B
A
O 4. Si OM es bisectriz del ángulo AOB, entonces, ¿ON será bisectriz del ángulo COD? A recta
D N
O
M B
C
5. En el gráfico, trazar las bisectrices de los ángulos AOE y EOB. Luego, medir el ángulo formado por dichas bisectrices. E Recta A
O
B
Resolución de problemas 6. Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: mBAOB = 25º y mBBOC = 45º. ¿Cuánto mide el ángulo AOC y de qué tipo es? 7. Graficar los ángulos consecutivos POQ y QOR, tal que: mBPOQ = 72º y mBQOR = 58º. ¿Cuánto mide el ángulo POR y de qué tipo es? Central: 619-8100
8. Graficar los ángulos consecutivos MON y NOR, tal que: mBMON = 84º y mBNOR=96º. ¿Cuánto mide el ángulo MOR y de qué tipo es? 9. Graficar un ángulo de 86º y trazar su bisectriz con el uso del compás. Luego, comprobar con el transportador. Unidad II
47
Ángulos consecutivos
10. Graficar un ángulo de 172º y trazar su bisectriz con el uso del compás. Luego, comprobar con el transportador. 11. Graficar un ángulo de 116º y trazar su bisectriz con el uso del compás. Luego, comprobar con el transportador.
12. Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: mBAOB = 60º y mBBOC = 80º. Luego, trazar la bisectriz del ángulo AOC con el uso del compás. 13. Graficar los ángulos consecutivos POQ y QOR, tal que: mBPOQ=30º y mBQOR=70º. Luego trazar la bisectriz del ángulo POR con el uso del compás.
Aplicación cotidiana •
Cuando un rayo de luz incide y se refleja sobre una superficie (espejo) "el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflejo"
Rayo de luz
Rayo reflejado
B de incidencia
B de reflejo Espejo
Teniendo en cuenta lo mencionado, graficar un rayo de luz con un ángulo de incidencia de 40º. Luego: 14. Medir el ángulo formado por los rayos de luz. 15. Trazar con el uso del compás, la bisectriz del ángulo formado por los rayos de luz.
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. En el siguiente gráfico, ¿cuántos ángulos agudos hay?
50º 20º 10º 2. Graficar un ángulo de 170º y trazar su bisectriz con el uso del compás, luego traza las bisectrices de los ángulos parciales formados. 3. Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: mBAOB=40º y mBBOC=70º. Haciendo uso del compás, trazar las bisectrices de los ángulos AOB y BOC y calcular la medida del ángulo entre dichas bisectrices.
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4. En el gráfico, trazar la bisectriz de los ángulos AOB y BOC, haciendo uso del compás. ¿Cuánto medirá el ángulo formado por dichas bisectrices?
3
A B
O
C
5. Graficar los ángulos AOB y AOM, tal que: mBAOB = 140º y mBAOM = 30º. Haciendo uso del compás, trazar la bisectriz del ángulo MOB.
18:10:45
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Graficar un ángulo de 75º y clasificarlo. 2. Graficar un ángulo de 95º y clasificarlo. 3. Graficar un ángulo de 165º y clasificarlo. 4. Graficar un ángulo de 140º y clasificarlo. 5. Graficar un ángulo de 30º y clasificarlo. 6. Graficar un ángulo de 40º y trazar su bisectriz usando el compás. 7. Graficar un ángulo de 110º y trazar su bisectriz usando el compás. 8. Graficar un ángulo de 160º y trazar su bisectriz usando el compás.
10. Graficar un ángulo recto y trazar su bisectriz usando el compás. 11. Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC que miden 50º y 70º respectivamente. 12. Graficar los ángulos consecutivos COD y DOE que miden 60º y 90º respectivamente. 13. Graficar los ángulos consecutivos MON y NOP que miden 75º y 105º respectivamente. 14. Graficar los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD tal que: mBAOB=30º; mBBOC=40º y mBCOD=80º 15. Graficar los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD que miden 50º; 70º y 100º respectivamente.
9. Graficar un ángulo de 145º y trazar su bisectriz usando el compás.
Central: 619-8100
Unidad II
49
4 Plano cartesiano En este capítulo aprenderemos: •
A reconocer los componentes de un punto.
•
A ubicar los puntos en el plano cartesiano.
•
A identificar el cuadrante al que pertenece un punto.
¿Por qué se llama plano cartesiano?
René Descartes Filósofo y matemático francés (1596 - 1650) también conocido por su nombre latinizado Renato Cartesio. De ahí que lleva su nombre el plano de su creación. Es considerado también como el padre de la filosofía moderna.
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Geometría
Saberes previos •
Indica las partes de una recta numérica.
-5
•
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Calcular las distancias indicadas en las rectas numéricas siguientes:
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Conceptos básicos Definición de plano cartesiano Es un plano formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y la otra vertical. Todo punto se representa por dos números; el primero corresponde a la recta horizontal y el segundo a la recta vertical. Eje Y (ordenada) 6 5 4 3 2 1
Segundo cuadrante (IIC) L(-3;2)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 Tercer cuadrante (IIIC) -4 -5 -6 A(-5;-7)
Central: 619-8100
E(3;6) Primer cuadrante (IC)
1 2 3 4 5 6 Eje X (abscisa) Cuarto cuadrante (IVC)
-7
Unidad II
51
Plano cartesiano
Eje Y
5 4 3
•
B
De acuerdo al gráfico, completar: Punto
2 1
A
Eje X
C -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 E -3 D -4 -5 F
A B C D E F
Abscisa Ordenada Pertenece al 1
IC
0 –4
Eje X
3
6
IVC
Luego, la representación de los puntos son: A ( ; ), B ( ; ), C ( ; ), D ( ; ), E ( ; ), F ( ; ).
Ojo: El punto (0;0) es el origen de coordenadas. •
Sin necesidad de graficar, reconocer a que cuadrante pertenece cada punto.
P (–1; 3) pertenece al IIC
T (26;19) pertenece al ____
Q (-16; –1) pertenece al IIIC
U (–23; 17) pertenece al ____
R (4; –20) pertenece al IVC
V (13; –34) pertenece al ____
S (18; –2) pertenece al ____
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos •
Graficar un plano cartesiano y además lo pedido en cada ejercicio:
6. Ubicar a los puntos: A(–4; 2) , B(3; –5) y C(8; –9). Luego unirlos.
1. Ubicar el segmento EF, tal que: E(–1;3) y F(2; –2)
7. Ubicar a los puntos P(–5;1) , Q(3;4) y R(0;0). Luego unirlos.
2. Ubicar el segmento AB, tal que: A(2; –1) y B(–3;–2)
8. Ubicar a los puntos: E(1; 0) , F(–2; 5) y M(0; –3). Luego unirlos.
3. Ubicar el segmento CD, tal que: C(4; –3) y 9. Ubicar a los puntos: A(–7; 0) , L(0; –8) y E(6; 6). D(–5; 5) Luego unirlos. 4. Ubicar el segmento MQ, tal que: M(–8;6) y Q(0;1)
10. Ubicar a los puntos: E(–2; 0) , L(3; 3) y M(0; –3). Luego unirlos.
5. Ubicar el segmento RG, tal que: R(0;6) y G(–4;0).
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4 sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: 2.
• El eje X horizontal del plano cartesiano se llama eje de ordenadas................................. ( • Los ejes de coordenadas cartesianas son perpendiculares............................................... ( Usando los términos del recuadro, completar las siguientes proposiciones:
• •
) )
En todo plano ...................... se determinan ..................... regiones que se llaman ...................... Si un ...................... en el plano cartesiano no pertenece a uno de los cuadrantes ......................., pertenece a uno de los ....................... cartesianos. tres - punto - rectas - cartesiano - ejes entonces - cuatro - paralelas - cuadrantes
3. Completar los términos geométricos, indicados en los recuadros respectivos. Y
2
A(4;2)
4
X
4. Indicar a que cuadrantes pertenecen cada uno de los puntos siguientes:
• • • •
(–9; 6).............................................................................................................. ( (–11; –13)........................................................................................................ ( (8; –5).............................................................................................................. ( (15; –4)............................................................................................................ (
) ) ) )
5. ¿A qué ejes pertenecen cada uno de los siguientes puntos?
• • • •
(0; –30).............................................................................................................( (–25; 0).............................................................................................................( (18; 0)...............................................................................................................( (0; 36)...............................................................................................................(
Central: 619-8100
) ) ) )
Unidad II
53
Plano cartesiano
Resolución de problemas 6. Ubicar a los puntos: A(6; 8), B(0; 7) y C(5; 2). Luego unirlos.
10. Ubicar a los puntos: A(11; –10), B(10; –2) y C(3; 0).Luego unirlos.
7. Ubicar a los puntos: D(–2; 7), E(–6; 5) y F(–3; 0). Luego unirlos.
11. Ubicar a los puntos: A(3; 4), B(0; 5) y C(–4; 6). Luego unirlos.
8. Ubicar a los puntos: M(–5; –2), N(–7; –10) y P(0; –9). Luego unirlos.
12. Ubicar a los puntos P(5;–2), Q(6;1) y R(–2;4). Luego unirlos.
9. Ubicar a los puntos: R(–9; –1), S(–3; –8) y T(– 2; –11). Luego unirlos. Aplicación cotidiana •
En el gráfico, se muestran las ubicaciones de tres alumnos: Ronaldo, Carlos y Anelita y además del colegio donde estudian. Si las líneas representan calles por donde se desplazan los chicos: Y 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
Metros
Ronaldo
Carlos Anelita
X 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Metros
13. Señalar las coordenadas de los puntos de ubicación de cada alumno y del colegio. 14. Calculando el recorrido de cada alumno al colegio, señalar quien se encuentra más cerca y quien más lejos. 15. Si Ronaldo quiere buscar a Anelita, ¿cuánto debe caminar Ronaldo para llegar donde Anelita?
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4 socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Ubicar los puntos: E(0; 7), D(–7; 0) y L(3; –4). Luego unirlos y trazar la bisectriz del ángulo de vértice "D" con el uso del compás. 2. Ubicar los puntos: A(–3; 1), B(2; 5) y C(4; –3). Luego unirlos y ubicar los puntos medios de AC y BC haciendo uso del compás. 3. Ubicar los puntos: M(–3;0), N(0;4) y C(24;0). Luego unirlos y calcular la medida del ángulo de vértice "N" del triángulo MNC. 4. Un alumno de un colegio está ubicado en las coordenadas (–1; 0), luego se traslada a las coordenadas (–1; 6), pero como es algo inquieto, se traslada a las coordenadas (4; 6) y luego a las coordenadas (4; 12), para luego quedarse allí. Calcular la distancia total recorrida por dicho alumno. (Se desplaza por las líneas de coordenadas) 5. Del problema anterior, si él desea llegar lo más pronto posible a la coordenada (4;12), ¿cuál será la distancia mínima que dicho alumno tendrá que recorrer?
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos •
Graficar un plano cartesiano para cada ejercicio y ubicar los puntos indicados, para luego unirlos.
1. A= (3; 3) y B= (5; 4).
9. T= (9; 3), R= (–7; 4) y I=(–1; 8).
2. C= (–3; 4) y D= (–5; 3).
10. A= (0; 7), L= (–6; 0) y E=(5; –8).
3. E= (–2; –4) y F= (–1; –8).
11. A= (5; 5) y B= (2; 4).
4. G= (2; –3) y H= (5;–1).
12. P= (–1; 5) y Q= (–4; 1).
5. I= (–4; 3) y J= (3; 5).
13. D= (–5; –1) y E= (–2; –6).
6. A= (1; 5), B= (–2; 4) y C=(–3; –4).
14. M= (1; –2) y N= (7; –5).
7. P= (–2; 5), Q= (–3; 5) y R=(4; 3).
15. C= (–1; 1) y F= (4; 2).
8. M= (6; –2), N= (–5; –4) y T=(–2; 6).
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Unidad II
55
5
Repaso bimestral sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1.
Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • • • •
El segmento de recta está compuesto por dos puntos...................................................... ( El ángulo que mide más de 90º y menos que 180º se llama obtuso................................ ( Al trazar dos rectas secantes, se determinan dos pares de ángulos opuestos por el vértice................................................................................................... ( La menor distancia de un punto a una recta exterior es el segmento de recta perpendicular trazado del punto a la recta...................................................................... (
) ) ) )
2. Usando los términos del recuadro, completar las siguientes proposiciones:
• •
El ....................... cartesiano está formado por dos rectas ....................... perpendiculares y al punto de ....................... se le conoce como ....................... de coordenadas. Al trazar dos rectas ......................... y una secante, se ....................... ocho ángulos los cuales se ...................... en pares, como ángulos ............................; alternos y conjugados. intersección - plano - correspondientes - numéricas origen - bisectriz - segmento - paralelas - relacionan - determinan
3. Completar los cuadros correctamente. A
O
//
M // B
Q
M
P
"O" es
"P" y "Q" son
OA y OB son
"M" es el
OM es una
PM y MQ son
Resolución de problemas 4. Calcular el máximo número de puntos de corte entre tres rectas paralelas y dos rectas secantes. 5. Calcular el máximo número de puntos de corte de tres rectas secantes. Luego medir los ángulos formados por las rectas en la región interior.
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6. En el plano cartesiano, ubicar a los puntos A(–2; 3) y B(4; 5). Luego ubicar el punto medio del segmento de recta AB, con el uso del compás. 7. Ubicar a los puntos P(–5; 2) y Q(3; –3). Luego con el uso del compás, marcar el punto medio de PQ. www.trilce.edu.pe
Geometría
8. En el plano cartesiano, ubicar a los puntos 10. Ubicar a los puntos A(–4; 5), B(5; 5) y C(5; –4). A(–4; 5), B(2; 2) y C(4; –6). Luego trazar el Luego medir los segmentos AB; BC y AC. segmento que representa la distancia del punto "A" a la recta que pasa por los puntos "B" y "C". 11. Trazar dos rectas que formen 60º y que se ¿Cuánto mide dicha distancia? corten en "A". Luego, ubicar a un punto "B" en una de las rectas y trazar la distancia de "B" a la 9. Ubicar a los puntos P(0;3), Q(–4;0) y R(5;1). otra recta. Luego trazar la bisectriz del ángulo PQR con el uso del compás. 12. Trazar dos rectas paralelas L1 y L2 que distan 4 cm. Luego ubicar un punto "A" en L1 y "B" en L2 , tal que: mAB = 6 cm. Aplicación cotidiana •
Waldy (W) es un habilidoso jugador de fútbol y goleador que en el encuentro final de un campeonato se enfrenta al equipo de su primo Ronaldo (R) que es un destacado arquero y hasta ese partido es el arquero menos batido del campeonato. Durante el encuentro "W" está en posesión del balón y a 30 m del extremo "A" del arco y a 50 m del otro extremo "B". El arco mide 10 m de largo (considerar: 1m = 1 cm) 13. Medir el ángulo AWB formado 14. Trazar la bisectriz del ángulo AWB. http://blogs.chron.com
15. Ronaldo (R) como buen arquero sale a evitar el gol de Waldy (W) que cuando patea; "R" se encuentra a 20 m de "W". Ubicar la posición de "R"
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Graficar los segmentos consecutivos AB y BC, de tal manera que: AC= 9 cm. Luego ubicar con el uso del compás los puntos medios "E" y "D" de AB y BC respectivamente. Calcular la medida de ED. 2. Graficar un plano cartesiano y ubicar los puntos F(8; 2), D(–2; 5) y H(–4; –7). Luego unirlos y haciendo uso del compás, trazar las bisectrices de los ángulos de vértices "F"; "D" y "H". 3. En el gráfico, ¿cuántos ángulos agudos y rectos hay?
70º 20º 10º
4. En el triángulo mostrado, ubicar los puntos medios de PQ y QR haciendo uso del compás. Luego, por dichos puntos traza el segmento que los une. ¿Qué puedes observar con respecto a dicho segmento y PR? Q
P
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R Unidad II
57
Repaso bimestral
5. En el triángulo mostrado, ubicar haciendo uso del compás, el punto medio "R" de AC. ¿Qué puedes observar entre AR; RC y BR? B
C
A
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. En un plano cartesiano, ubicar a los puntos P=(5; 6) y Q=(–4; –5), luego trazar la recta que contiene a dichos puntos.
9. En el triángulo, trazar las bisectrices de los ángulos de vértices "A" y "C". A
2. Graficar una recta y sobre ella marcar los puntos "A"; "B" y "C" tal que: AB=2 cm y BC=4 cm. 3. Graficar un segmento horizontal de 12 cm y ubicar a su punto medio con el uso del compás. 4. Graficar un ángulo de 105º y trazar su bisectriz con el uso del compás.
B
10. En el triángulo mostrado, ubicar los puntos medios de AB y AC, luego por dichos puntos trazar las rectas perpendiculares a AC y AB.
5. Graficar en un plano cartesiano, los puntos A=(4;0) y B=(–5;6). Luego ubicar el punto medio de AB con el uso del compás. 6. En el plano cartesiano, ubicar los puntos T=(4; 3) y R=(–6; –2). Luego ubicar el punto medio de TR con el uso del compás. 7. En el plano cartesiano, ubicar los puntos A=(0; 5), B=(–3; 2) y C=(4; –5), luego unir AB y BC para trazar la bisectriz del ángulo de vértice "B" con el uso del compás. 8. Graficar un plano cartesiano, ubicando a los puntos M=(7; 3), N=(–6; 2) y T=(0; –5), luego trazar la bisectriz del ángulo de vértice "M" y de lados MN y MT.
C
C
A
B
11. Graficar los segmentos consecutivos AB; BC y CD que no estén contenidos en una recta, tal que: AB=2 cm; BC= 4 cm y CD= 5 cm. 12. Graficar los puntos consecutivos "A"; "B"; "C" y "D" contenidos en una recta tal que: AB= 1 cm; BC= 3 cm y CD= 4 cm. 13. Graficar un ángulo de 115º y trazar su bisectriz con el uso del compás. 14. Graficar un ángulo de 75º y trazar su bisectriz con el uso del compás. 15. Graficar el segmento DE oblicuo de 6,5 cm y ubicar su punto medio, usando el compás.
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UNIDAD 1
Inicio y necesidad de la Geometría
E
n la cultura egipcia hubo aportes muy importantes por la necesidad de construir y de aplicarlo en la división de terrenos destinados a su actividad económica más importante: La agricultura. Pero en Grecia fue donde se desarrolló la Geometría como ciencia, siendo "Euclides" considerado como el padre de la "Geometría Elemental".
AprendiZajes esperados •
Identificar figuras geométricas a partir de los objetos que se conoce.
•
Diferenciar entre elemento y figura geométrica.
•
Usar herramientas como las escuadras y el compás.
•
Contar puntos de corte observando y analizando los gráficos.
•
Reconocer las diferentes distancias utilizando unidades de longitud.
1 La simetría hecha arte En este capítulo aprenderemos: •
A ubicar el punto de simetría de una figura.
•
A graficar la figura simétrica con respecto a un punto de una determinada figura.
•
A usar términos geométricos como figuras congruentes obtenidas en la simetría.
CAPITULO
Las figuras geométricas mostradas son simétricas con respecto a un punto, tal que al repetirlas se crean figuras diversas que se usan en diferentes zócalos, mayólicas, pisos de mármol y construcciones en general.
Conceptos básicos Simetría con respecto a un punto Llamado también simetría de rotación o radial de primer orden, los cuales llevan un centro de simetría. A d
O d
A'
En el gráfico, A y A' son simétricos con respecto al punto "O". (La distancia entre A y O es igual a la distancia entre O y A').
Centro de simetría Colegios
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Geometría
B d2 d1
A
En la figura mostrada, el segmento A'B' es simétrico al segmento AB con respecto al punto "O". (Los segmentos AB y A'B' son congruentes).
A'
O
d1
d2 B'
Q d2 d1
Observación
R
P
d3 C d3
¿Qué segmentos son congruentes? Respuesta:
d1 M
E d2 N
•
PQ ≅ MN
•
QR ≅ EN
•
PR ≅ EM
En la figura, los triángulos PQR y MNE son simétricos. Siendo "C" el centro de simetría.
En conclusión, los triángulos PQR y EMN son congruentes. ¿Cómo graficar una figura simétrica a una figura conocida con respecto a un punto?
•
Encontrar el punto simétrico de "P" con respecto a "M". M P
Procedimiento:
P' M
Paso I: Trazar una línea recta de "P" a "M". Paso II: Con el uso del compás, ubicar el lápiz en el punto "P" y la punta en el centro de simetría "M". Paso III: Girar el compás, hasta ubicar en la línea recta trazada al punto simétrico de "P".
P •
Encontrar la figura simétrica con respecto al punto "O". C B O
A D Central: 619-8100
Unidad III
61
La simetría hecha arte
Procedimiento: D'
C
A'
B O
A
B'
C'
D
Paso I: Utilizar los pasos del ejemplo anterior, para cada punto A; B; C y D respectivamente. Paso II: Luego, unir los puntos simétricos encontrados A'; B'; C' y D'. D'
C B
A' O
A
B' C'
D
Los cuadriláteros ABCD y A'B'C'D' son simétricos con respecto al punto "O".
Figuras simétricas con respecto a un punto B A
D'
C
D
O A'
C' B'
Simetría central, también llamada simetría con respecto al origen, por que el origen es el punto central alrededor del que hay simetría. "Se ven igual desde arriba o abajo"
Logo de Hyundai
Logo de Suzuki
Logo del Banco Financiero Colegios
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1
Observación
Si cortas una figura simétrica adecuadamente, puedes obtener dos nuevas figuras iguales:
Al cortar esta carta en forma diagonal, se obtienen dos figuras "congruentes", que al invertirla se observa mejor la congruencia.
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos •
Encontrar la figura simétrica de cada uno de los siguientes gráficos con respecto al punto "O".
1.
4.
A
F M
O E 2.
5.
B
O C
N
M
O
6.
3.
D
A
O B
M
O A
C O
Central: 619-8100
P
N
Unidad III
63
La simetría hecha arte
7.
9.
E
Q
R
P
O
O P 8.
B 10.
C
O
D
E
B
G
A
H
F
D
A
C
O
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. ¿Qué letras del alfabeto son simétricos con respecto a un punto?
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones: • Dos puntos simétricos y el centro de simetría se encuentran en la misma recta.............( • Los puntos simétricos se encuentran a diferente distancia del centro de simetría ..........( 3. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones:
) )
) )
• •
Las figuras simétricas son necesariamente congruentes ...................................................( El punto "O" es el centro de simetría del pentágono . .....................................................(
O
Colegios
64
TRILCE
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1
Resolución de problemas •
Encontrar las figuras simétricas, con respecto al punto "O" de:
4.
10.
B
F
C O
A
E
D
E O
5.
•
A
Graficar las figuras simétricas de las figuras curvas mostradas, con respecto al punto "P".
11. O C
B 6.
A
N
P
O
12.
A
O
P
O
M 13. 7.
B
B
O A
P
A
C
14. 8.
B
C O O
P
A
D
15. A
9.
C
B
D
A O
Central: 619-8100
O
P
B Unidad III
65
La simetría hecha arte
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Graficar la figura simétrica de la figura mostrada, con respecto al punto "O".
O 2. Graficar la figura simétrica de la figura mostrada, con respecto al punto "P".
P
3. Graficar un pentágono regular y a su figura simétrica con respecto a uno de sus vértices. 4. Graficar un hexágono regular y a su figura simétrica con respecto a uno de sus vértices. 5. Graficar un octógono regular y a su figura simétrica con respecto a uno de sus vértices.
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. ¿Cuál de las figuras mostradas presenta simetría central?
a)
b)
c)
• 4.
2. ¿Cuál de las siguientes letras presenta simetría central?
a)
b)
Graficar las figuras simétricas de las siguientes figuras geométricas, con respecto al punto "A"
A
c) 5.
3. ¿Cuál de los siguientes polígonos presenta simetría central?
a)
Colegios
66
TRILCE
b)
c)
A
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1
11.
6.
A
A
7. 12.
A
A
8. 13.
A
A 9. 14.
A A 10. 15.
A A
Central: 619-8100
Unidad III
67
2 Reflexionemos el espejo natural En este capítulo aprenderemos: •
A reflejar figuras geométricas con respecto a una línea recta.
•
A reconocer una figura simétrica con respecto a una línea recta.
•
A trazar la recta de simetría de una figura si lo tuviera.
Eje de simetría Eje de simetría
En las construcciones se emplea simetría
En nuestro cuerpo encontramos simetría
En la naturaleza observamos simetría
Colegios
68
TR ILCE
CAPITULO
Eje de simetría
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Geometría
Conceptos básicos Reflexión de un punto respecto a una recta ! ! Dado un punto "A" y una recta l , para reflejar el punto "A" respecto a la recta l (eje de simetría), se procede de la siguiente manera: !
!
! 1ero: Se traza el segmento AH perpendicular a l
!
A
l
H
! 2do: Luego se prolonga AH a una misma distancia del eje de reflexión l
!
A l
d ! "B" es simétrico a "A" con respecto a l
!
H
d B
Reflexión de polígonos respecto a una recta Para reflejar polígonos se reflejan los vértices con respecto al eje de simetría con el procedimiento anterior y luego se unen los puntos de reflexión obteniéndose la figura simétrica.
B
l
R
R'
C
A D
Q
l
D' P
C'
P'
B' A'B'C'D' es el cuadrilátero simétrico del ! cuadrilátero ABCD con respecto a l !
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El triángulo P'QR' es el triángulo simétrico ! del triángulo PQR con respecto a l !
A'
Unidad III
69
Reflexionemos el espejo natural
E
N
M
F'
F
l
E'
M'
N' El rectángulo M'N'E'F' es el rectángulo simétrico ! de MNEF, siendo l el eje de simetría !
Trazado de las rectas o ejes de simetría Existen figuras simétricas con respecto a una , dos o más rectas. Cuadrado
Rectángulo Eje 1 Eje 1 Eje 2
Letras
Eje 2
Eje Eje
Eje
10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC ! Dibuja en cada caso, la imagen que obtienes mediante la simetría de reflexión respecto a n . !
• 1.
2.
F n E
A O B
n Colegios
70
TRILCE
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3.
2
7.
Q
P R
4.
n
n
8.
n
n 5. 9.
F n
n
M
6.
10.
n
n
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones:
• •
Las figuras simétricas son necesariamente congruentes ...........................................( Una figura puede tener más de un eje de simetría ..................................................(
) )
2. ¿Cuál de las siguientes letras es simétrica con respecto a un solo eje? Luego trazar dicho eje.
Central: 619-8100
Unidad III
71
Reflexionemos el espejo natural
! 3. Graficar una recta horizontal a y al punto "B" que pertenece a dicha recta, luego trazar el segmento de recta BE ! ! de 3 cm que forme con a un ángulo de 60º. Finalmente reflejar al segmento BE con respecto a la recta a . !
!
!
4. Graficar el ángulo AOB de 90º. Luego reflejar dicho ángulo tomando como eje de simetría a la recta que pasa por el vértice "O" y forma con el lado OB un ángulo de 30º. !
! 5. Graficar el triángulo equilátero ABC, luego se traza la recta l perpendicular a AC que contiene al ! punto "C". Reflejar al triángulo ABC con respecto a la recta l . ! !
Resolución de problemas •
Dibujar en cada caso, la imagen que obtienes ! mediante la reflexión respecto a la recta m. !
10.
6.
m m
11.
7.
m
m
8.
m
9.
12.
m 13.
Colegios
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TRILCE
m
m
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2
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC Dibuja en cada caso, la imagen que obtienes ! mediante la reflexión respecto a m. !
• 1.
4.
m
m
5.
2.
m
m
3.
m
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos ! 3. Graficar una recta vertical l y en dicha recta ubicar al punto "A", luego trazar el segmento de recta AE de 4 cm de longitud y que forme ! con la recta l un ángulo de 50º. Reflejar al ! segmento AE con respecto a la recta l . !
1. ¿Cuál de las siguientes letras es simétrica de un solo eje?
!
!
2. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura mostrada? (Trazar dichos ejes)
•
Dibujar en cada caso, la imagen que obtienes ! mediante la reflexión respecto a la recta n !
4.
n
B
A
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C
Unidad III
73
Reflexionemos el espejo natural
5.
B
C
A
11.
n
n
D
6.
n 12.
R
Q
S
P
n
7.
N
13. n
E M
T
n
8. 14.
n n 9.
15.
n
n
10.
n
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Geometría
Utilicemos la simetría en el plano cartesiano
3
En este capítulo aprenderemos: •
A graficar figuras simétricas con respecto a un punto en el plano cartesiano.
•
A graficar figuras simétricas con respecto a los ejes de coordenadas.
•
A ubicar a los puntos de simetría en forma práctica a partir de las coordenadas.
x
CAPITULO
y
Existen gráficos complejos que tienen un fundamento teórico y práctico en las matemáticas y como los mostrados, en los cuales se pueden reconocer y distinguir las simetrías aprendidas en los capítulos anteriores.
x
Saberes previos •
El plano cartesiano está formado por dos rectas ........................ perpendiculares; eje "x" o eje de .... ................................ y eje "y" o eje de ........................
•
Ubicar a los puntos: A(0; 3), B(1; –5), C(–3; 2), D(–4; 0) y E(–2; –1) y
x
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Unidad III
75
Utilicemos la simetría en el plano cartesiano
Conceptos básicos Reflexión de un punto con respecto al origen de coordenadas y
y A(1; 3)
3
B(–3; 2)
d –1
3
–3
x
1
d
2
d
d –2
x
B'(3; –2)
–3
(–1; –3) A'
Como se observa los puntos A' y B' son los puntos simétricos de A y B con respecto al origen de coordenadas respectivamente. y
C(–9; 5)
5
d
9
–9 –5
x
d
•
Completa las coordenadas del punto reflejo C'.
•
Los componentes también se reflejan.
•
Para reflejar los componentes del punto C solo se cambian de signo.
C'(....; .....)
• Regla práctica: y
P(a; b)
x
•
Para ubicar al punto simétrico de P solo hay que cambiar de signos a las coordenadas.
Es decir: Si: P(a; b) & P'(–a; –b)
P'(–a; –b)
Colegios
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TRILCE
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3
Reflexión de un punto con respecto al eje "x" o eje de abscisas y
y D(8; 9)
9
E'(–7; 5)
d
d –7
x
8
x
d
d –9
5
E(–7; –5)
D'(8; –9)
–5
Como se observa los puntos D' y E' son los puntos simétricos de D y E respectivamente con respecto al eje "x". y H(–4; 7)
7
d –4
x
•
Completa las coordenadas del punto reflejo H'.
•
La abscisa es la misma y la ordenada si cambia de signo.
d –7
H'(....;....)
• Regla práctica:
y P(a; b) • x
Para ubicar al punto P' simétrico de P con respecto al eje "x" solo se cambia de signo a la ordenada, es decir: Si: P(a; b) & P'(a; –b)
P'(a; –b)
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Unidad III
77
Utilicemos la simetría en el plano cartesiano
Reflexión de un punto con respecto al eje "y" o eje de ordenadas y R(–6; 9)
y 9
d
d
R'(6; 9)
–10
10 x
–6
6
d F'(–10; –6)
x
–6
d F(10; –6)
Como se observa los puntos R' y F' son los puntos simétricos de R y F respectivamente, con respecto al eje "y". y E'(.... ;....) d
15
–11
d
E(11; 15)
11
•
Completa las coordenadas del punto reflejo E'.
•
La ordenada es la misma y la abscisa cambia de signo.
•
Para ubicar al punto P' simétrico de P con respecto al eje "y", solo se cambia de signo a la abscisa, es decir:
x
• Regla práctica: y P'(–a; b)
P(a; b)
x
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TRILCE
Si: P(a; b) & P' (–a; b)
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Ejemplo
3
•
Reflejar el triángulo ABC con respecto al origen de coordenadas, tal que: A(5; 8), B(3; 2) y C(9; 1)
Resolución:
y
O C'(–9; –1)
B(3; 2)
C(9; 1) x
B'(–3; –2)
Ejemplo
A(5; 8)
A'(–5; –8)
•
Reflejar el triángulo PQR con respecto al eje "x", si: P(–3; 2), Q(1; 6) y R(4; 5)
Resolución: y Q(1; 6) R(4; 5)
P(–3; 2) x P'(–3; –2)
Q'(1; –6)
•
Resolución:
R'(4; –5)
Reflejar el triángulo MNQ con respecto al eje "y", si: M(–5; –3), N(–1; 4) y Q(6; 2) y N(–1; 4) N'(1; 4) Q'(–6; 2)
Q(6; 2)
x
M(–5; –3)
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M'(5; –3)
Unidad III
79
Utilicemos la simetría en el plano cartesiano
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Graficar el triángulo ABC: A(1; 4), B(4; 6) y C(1; 7). Luego reflejarlo con respecto al origen de coordenadas.
6. Graficar la figura simétrica con respecto al eje "x" del cuadrilátero ABCD, tal que: A(0; 3), B(2; 3), C(2; 6) y D(0; 6).
2. Graficar el triángulo PQR: P(–6; 0), Q(–2; 3) y R(0; 8). Luego reflejarlo con respecto al origen de coordenadas.
7. Dibuja el cuadrilátero ABCD, tal que: A(6; 2), B(8; 4), C(7; 5) y D(5; 3). Luego reflejarlo con respecto al eje "y".
3. Reflejar el triángulo MNE: M(3; 3), N(6; 2) y E(5; 7), con respecto al origen de coordenadas.
8. Graficar el triángulo ABC, tal que: A(4; 2), B(7; 2) y C(7; 6). Luego reflejarlo con respecto al eje "y".
4. Reflejar el triángulo ABC: A(1; 3), B(3; 2) y C(5; 4), con respecto al eje "x". 5. Graficar la figura simétrica con respecto al eje "x" del cuadrilátero PQRS, tal que: P(–1; 1), Q(1; 3), R(4; 4) y S(5; 2)
9. Graficar al simétrico del triángulo PQR con respecto al eje "y", tal que: P(1; 1), Q(2; 2) y R(3; 5) 10. Dibujar el triángulo PQR: P(1; 4), Q(6; 1) y R(7; 4). Luego reflejarlo con respecto al origen de coordenadas.
sociAprende sáb sotpemás... cnoC Resolución de problemas 1. ¿Cuál de los siguientes puntos es el simétrico de (–10; 18) con respecto al origen de coordenadas?
a) (10; 18)
b) (–10; –18) c) (10; –18)
2. ¿Cuál de los siguientes puntos es el simétrico de (24; –32) con respecto al eje "x"?
a) (–32; 24)
b) (24; 32)
c) (–24; 32)
3. ¿Cuál de los siguientes puntos es el simétrico de (–64; –86) con respecto al eje "y"?
a) (64; –86)
b) (–64; 86)
c) (64; 86)
4. ¿Cuál de los siguientes puntos es el simétrico de (–19; 21) con respecto al origen de coordenadas?
a) (21; –19)
b) (–21; 19)
c) (19; –21)
5. ¿Cuál de los siguientes puntos es el simétrico de (16; –11) con respecto al eje "y"? a) (–11; 16) b) (11; –16) c) (–16; –11)
Colegios
80
TRILCE
6. Graficar el segmento AB tal que: A(–5; 6) y B(– 2; 4). Luego reflejarlo con respecto al origen de coordenadas. 7. Graficar el segmento PQ tal que: P(3; –7) y Q(1; 6). Luego reflejarlo con respecto al eje "x". 8. Graficar el segmento DE tal que: D(8; –1) y E(–5; 2). Luego reflejarlo con respecto al eje "y". 9. Graficar el triángulo ABC: A(–10; 4), B(0; 6) y C(1; 3). Luego reflejarlo con respecto al eje "x". 10. Graficar el simétrico del triángulo PQR tal que: P(–7; –5), Q(–3; 0) y R(–8; 4) con respecto al eje "y". 11. Graficar el simétrico del cuadrilátero ABCD tal que: A(–2; 5), B(2; 3), C(4; 5) y D(0; 7) con respecto al origen de coordenadas.
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Aplicación cotidiana • Ronaldito se encuentra en el origen de coordenadas y su casa se encuentra en el punto (–50; 30). y
3
12. Si su colegio se encuentra en el punto simétrico a su casa con respecto a su ubicación, hallar la abscisa y la ordenada de la ubicación de su colegio.
metros 60 50 40 30 20 10
–60 –50 –40 –30 –20 –10
metros 10
20
30
–10 –20 –30
40
50
60
x
13. Hallar la abscisa de la ubicación del parque donde suele jugar Ronaldito, si se sabe que el parque se encuentra simétricamente a su casa con respecto al eje "y". 14. Hallar la ordenada de la ubicación de la casa del padrino de Ronaldito, si es el punto simétrico de la ubicación de su casa con respecto al eje "x".
–40 –50 –60
15. Graficar el recorrido de Ronaldito, si primero va al colegio, después al parque; luego va a visitar a su padrino y finalmente va a su casa.
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Graficar el triángulo ABC tal que: A(1; 4), B(4; 6) y C(1; 7). Luego reflejarlo con respecto a la recta que pasa por los puntos (0; 4) y (8; 4). 2. Dibujar el triángulo PQR tal que: P(1; 4), Q(6; 1) y R(7; 4). Luego reflejarlo con respecto a la recta que pasa por los puntos (0; –1) y (3; –1). 3. Graficar el triángulo PQR tal que: P(1; 1), Q(2; 2) y R(3; 5). Luego reflejarlo con respecto a la recta que pasa por los puntos (–2; 0) y (–2; 4). 4. Graficar el cuadrilátero PQRS tal que: P(0; 2), Q(2; 2), R(4; 4) y S(4; 6). Luego reflejarlo con respecto a la recta que pasa por los puntos (–1; 0) y (–1; 3). 5. Graficar el cuadrilátero PQRS tal que: P(0; 1), Q(3; 1), R(3; 5) y S(0; 5). Luego reflejarlo con respecto al eje "y". 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Calcular la suma de las coordenadas del punto simétrico de (–17; 23) con respecto al origen de coordenadas. 2. Encontrar la abscisa del punto simétrico de (–5; 9) con respecto al eje "y".
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3. Encontrar la ordenada del punto simétrico de (16; –4) con respecto al eje "x". 4. Graficar el simétrico del segmento AB tal que: A(2; 1) y B(3; –4) con respecto al origen de coordenadas.
Unidad III
81
Utilicemos la simetría en el plano cartesiano
5. Graficar el simétrico del segmento EF tal que: E(–4; –2) y F(6; 0) con respecto al eje "x".
11. Del problema anterior, reflejar el triángulo PQR con respecto al eje "x".
6. Graficar el simétrico del segmento PQ tal que: P(–1; 4) y Q(3; –5) con respecto al eje "y".
12. Grafica el simétrico del triángulo ABC tal que: A(–3; 4), B(1; 1) y C(4; 3) con respecto al eje "x".
7. Graficar el triángulo ABC tal que: A(–6; 0), B(–8; 3) y C(–4; 5). Luego reflejarlo con respecto al origen de coordenadas.
13. Grafica el simétrico del triángulo PQR tal que: P(2; 5), Q(3; 7) y R(5; 4) con respecto al eje "x".
8. Graficar el simétrico del triángulo ABC tal que: A(–5; –6), B(–3; –5) y C(–1; –4) con respecto al eje "x". 9. Del problema anterior, reflejar el triángulo ABC con respecto al eje "y".
14. Grafica el simétrico del triángulo DEF tal que: D(–1; –2), E(0; –6) y F(4; –3) con respecto al eje "x". 15. Grafica el simétrico del triángulo PQR tal que: P(1; 5), Q(6; 0) y R(2; –5) con respecto al eje "y".
10. Graficar el simétrico del triángulo PQR tal que: P(3; 4), Q(5; 7) y R(7; 4) con respecto al origen de coordenadas.
Colegios
82
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Geometría
Recordemos variando simetrías
4
En este capítulo aprenderemos: A diferenciar las clases de simetría.
•
A reconocer una figura simétrica, ubicando su punto o eje de simetría.
•
A reflejar una figura con respecto a un punto, a un eje o en el plano cartesiano.
CAPITULO
•
Eje Eje Utilizando las diferentes formas de reflejos mediante las simetrías aprendidas, se pueden obtener una variedad de realces de nombres para su publicidad.
y
x
Conceptos básicos Aprende más... •
Graficar las figuras simétricas con respecto al punto "E", en cada caso.
3.
1. E
2.
•
Graficar las figuras simétricas con respecto al ! eje m, en cada ejercicio. !
E
4. m
E
Central: 619-8100
Unidad III
83
Recordemos variando simetrías
5.
9.
m
y
(–2; 2)
6.
(2; 2)
m
x
(0; –5)
7.
m •
•
Graficar las figuras simétricas con respecto al origen de coordenadas de cada triángulo.
10. A(1; 3), B(2; –4) y C(4; –3) 11. A(–2; –5), B(–7; –1) y C(2; 0) •
8. (–6; 7)
Graficar las figuras simétricas de los triángulos ABC con respecto al eje "x".
y
Graficar las figuras simétricas de los triángulos PQR con respecto al eje "y".
12. P(–5; 0), Q(–1; 3) y R(0; –4) (–7; 3)
13. P(–3; –1), Q(2; 2) y R(0; –5)
(–1; 4)
x
•
Trazar el eje o los ejes de simetría de las siguientes figuras.
14.
15.
Colegios
84
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3
18:10:45
soPractica cisáb soten peccasa noC ! 1. Reflejar el triángulo ABC con respecto a n . !
10. Graficar el triángulo PQR tal que: P(3; 0), Q(1; –4) y R(5; 3). Luego reflejarlo con respecto al eje "y". ! 11. Reflejar la figura mostrada con respecto a L .
B
!
A
L n C
! 2. Reflejar el rectángulo ABCD con respecto a m. !
! 12. Reflejar la figura mostrada con respecto a L . !
B
A
m
L D
C
! 3. Reflejar la figura sombreada con respecto a b
! ! 13. Reflejar el triángulo ABC con respecto a L . !
b
L
A
B 4. Reflejar el triángulo PQR con respecto al eje "x". y
C 14. Reflejar el triángulo ABC con respecto al eje "y". y
P(0; 4)
Q(–3; –1)
R(3; –1)
x
B(4; 6)
A(–2; 0) x
C(1; –2)
5. Graficar el triángulo ABC tal que: A(–2; 5), 15. Reflejar el triángulo mostrado, respecto al eje B(0; 7) y C(3; 4) y reflejarlo con respecto al eje "y", indicando las coordenadas de la imagen. "x". 6. Graficar el triángulo ABC tal que: A(2; 5), B(6; 1) y C(4; –3) y reflejarlo respecto al origen de coordenadas. 7. Graficar el cuadrilátero ABCD tal que: A(–1; 0), B(0; 3), C(3; 3) y D(5; 0). Luego reflejarlo con respecto al eje "y".
y
B(–2; 5) C(0; 2) x
A(–4; –2)
8. Graficar el triángulo ABC tal que: A(0; 7), B(6; 0) y C(0; –5) y reflejarlo respecto al origen de coordenadas. 9. Graficar el triángulo ABC tal que: A(–2; 4), B(5; 3) y C(4; –4). Luego reflejarlo con respecto al origen de coordenadas. Central: 619-8100
Unidad III
85
UNIDAD 1
Inicio y necesidad de la Geometría
E
n la cultura egipcia hubo aportes muy importantes por la necesidad de construir y de aplicarlo en la división de terrenos destinados a su actividad económica más importante: La agricultura. Pero en Grecia fue donde se desarrolló la Geometría como ciencia, siendo "Euclides" considerado como el padre de la "Geometría Elemental".
AprendiZajes esperados •
Identificar figuras geométricas a partir de los objetos que se conoce.
•
Diferenciar entre elemento y figura geométrica.
•
Usar herramientas como las escuadras y el compás.
•
Contar puntos de corte observando y analizando los gráficos.
•
Reconocer las diferentes distancias utilizando unidades de longitud.
Razonamiento Matemático
Los lados de un triángulo
1
En este capítulo aprenderemos: A identificar y nombrar al triángulo por las longitudes de sus lados.
•
A utilizar el compás y la regla para graficar un triángulo, con las medidas reales de
sus lados.
•
A reconocer si tres segmentos cualesquiera pueden formar un triángulo.
20
mt
20
CAPITULO
•
mt
14 mt
t
16 m
12 mt
8 mt 20 mt
En un campo de fútbol, las posiciones que ocupan tres jugadores te pueden dar la idea de triángulos, como se observa en el gráfico. ¿Tres jugadores siempre formarán un triángulo?
Conceptos básicos Definición de triángulo Es la figura geométrica formada por tres segmentos consecutivos y de extremos comunes. b
a
a
c
c b Unidad III
87
Lados de un triángulo
Clasificación de triángulos de acuerdo a las longitudes de sus lados Triángulo escaleno
Triángulo isósceles
Triángulo equilátero
Los tres lados son de diferente longitud
base Dos lados son de igual longitud
Los tres lados son de igual longitud
•
Graficar el triángulo de lados 5; 7 y 9 cm.
Resolución:
Graficar un lado de preferencia el mayor:
Ejemplo
Ejemplo
Construir un triángulo conociendo las longitudes de sus tres lados
9 cm
Luego, con el compás y a partir de los extremos trazar con las medidas de los otros dos lados.
m 7c
5c m
9 cm
Finalmente el punto de intersección se une con los extremos del segmento inicialmente trazado.
5 cm
7 cm
9 cm
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TRILCE
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•
Graficar el triángulo isósceles cuyos lados miden 4; 4 y 1 cm.
Resolución:
4
cm
1
m 1c
4 cm
4 cm
1 cm
4 cm
•
Graficar el triángulo equilátero de lado igual a 3 cm.
Resolución:
3 cm
3 cm
3 cm
m
3c
3 cm
3 cm
Existencia de un triángulo
•
Graficar el triángulo cuyos lados miden 3; 4 y 7 cm.
Resolución:
1ero: 7 = 3 + 4 & El triángulo no se forma.
m
3c
4
cm
7 cm
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Ejemplo
Ejemplo
Si el lado mayor de un triángulo es igual o mayor que la suma de los otros dos lados, entonces no hay punto de intersección por lo tanto no se forma el triángulo.
2do: Como se observa no hay punto de intersección, entonces no se forma el triángulo
Unidad IV
89
Lados de un triángulo
•
Graficar el triángulo cuyos lados miden 2; 5 y 8 cm.
Resolución:
1ero: El mayor lado: 8 > 2 + 5 & El triángulo no existe.
2do: Comprobando gráficamente.
2c
5 cm
m
3ero: No hay punto de intersección, entonces no existe el triángulo
8 cm
•
Graficar el triángulo isósceles donde dos de sus lados miden 3 y 6 cm.
Resolución:
Si dos lados miden 3 y 6 cm, entonces uno de ellos se repite.
Caso I: Si se repite el lado que mide 3 cm, los lados serían: 3; 3 y 6 cm.
1ero: Comprobando si existe: 6 cm= 3 cm + 3 cm.
2do: Entonces, el triángulo de lados 6; 3 y 3 cm no existe.
Caso II: Si se repite el lado que mide 6 cm, los lados serían: 6; 6 y 3 cm.
1ero: Comprobando si existe: 6 cm < 6 cm + 3 cm.
2do: Como 6 cm es menor que 9 cm, entonces el triángulo de lados 6; 6 y 3 cm si existe.
6 cm
3 cm
6 cm
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos •
Usando el compás:
1. Graficar el triángulo (si existe) de lados 3; 4 y 5 cm.
6. Graficar el triángulo (si existe) de lados 2; 3 y 8 cm.
2. Graficar el triángulo (si existe) de lados 5; 6 y 7 cm.
7. Graficar el triángulo (si existe) cuyos lados miden 1; 5 y 7 cm.
3. Graficar el triángulo (si existe) de lados 8; 2 y 5 cm. 4. Graficar el triángulo (si existe) de lados 2; 5 y 6 cm.
8. Graficar el triángulo (si existe) de lados 3; 5 y 9 cm.
9. Graficar el triángulo (si existe) de lados 8; 3 y 6 cm. 5. Graficar el triángulo isósceles (si existe) de lados 5 y 2 cm. 10. Graficar el triángulo (si existe) cuyos lados miden 5; 5 y 3 cm. Colegios
90
TRILCE
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1 sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones:
• •
El triángulo que tiene sus tres lados de diferentes longitudes se llama isósceles ....................( ) El triángulo que tiene dos lados de igual longitud se llama equilátero ...................................( )
2. Completar la relación según el gráfico, para que el triángulo exista.
b
a
x x ......... a + b Resolución de problemas 3. Graficar el triángulo (si existe) de lados 2; 5 y 12. Graficar el triángulo isósceles (si existe) de lados 5 y 12 cm. 9 cm. 13. Marca a los puntos "E" y "F" que distan 10 cm. Luego ubicar al punto "P" que dista de "E" 4 cm y 6 cm de "F". Al unir "E"; "P" y "F", ¿formarán 5. Graficar el triángulo isósceles de lados 6; 6 y un triángulo? Graficar. 4 cm. 4. Graficar el triángulo equilátero de lado 4 cm.
6. Graficar el triángulo (si existe) de lados 2; 5 y 14. Marca a los puntos "M" y "N" que distan 11 cm. Luego ubicar al punto "A" que dista 5 cm de 7 cm. "M" y 7 cm de "N". Al unir "M"; "A" y "N", ¿formarán un triángulo? Graficar. 7. Graficar el triángulo (si existe) de lados 6; 6 y 4 cm. 8. Graficar el triángulo equilátero de lado 7 cm. 9. Graficar el triángulo (si existe) de lados 2; 5 y 6 cm. 10. Graficar el triángulo isósceles (si existe) de lados 4 y 8 cm. 11. Graficar el triángulo isósceles (si existe) de lados 9 y 3 cm.
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15. En el gráfico, ¿cuál es el máximo valor entero de "x" para que siga siendo un triángulo?
16 cm
10 cm
x
Unidad IV
91
Lados de un triángulo
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Graficar el triángulo isósceles ABC, sabiendo que su base AC mide 6 cm y el perímetro del triángulo es de 16 cm. 2. Graficar el triángulo escaleno ABC, de lados: AB = 3 cm; BC = 4 cm y AC = 5 cm. Luego graficar el triángulo equilátero AMC de lado 5 cm. Haciendo uso del transportador, calcular: mBBCM. 3. Calcular el máximo valor entero que puede tomar un lado de un triángulo, si los otros dos lados miden 18 y 24 cm. 4. Calcular el máximo valor entero que puede tomar un lado de un triángulo, si los otros dos lados miden 16 y 19 cm. 5. Calcular el perímetro de un triángulo isósceles en el cual dos de sus lados miden 18 y 8 cm.
sociAprende sáb sotpemás... cnoC
•
Utilizando el compás:
1. Graficar el triángulo de lados 1; 2 y 3 cm, comprobando si existe o no. 2. Graficar el triángulo de lados 5; 8 y 14 cm, comprobando si existe o no. 3. Graficar el triángulo de lados 6; 7 y 15 cm, comprobando si existe o no. 4. Graficar el triángulo de lados 8; 8 y 16 cm, comprobando si existe o no. 5. Graficar el triángulo de lados 11; 9 y 18 cm, comprobando si existe o no. 6. Graficar el triángulo de lados 5; 12 y 14 cm. 7. Graficar el triángulo de lados 8; 10 y 17 cm.
9. Graficar el triángulo isósceles de lados 6 y 1 cm. 10. Graficar el triángulo isósceles de lados 7 y 3 cm. 11. Graficar el triángulo de lados 4; 7 y 9 cm, comprobando si existe o no 12. Graficar el triángulo de lados 6; 8 y 10 cm, si este existe. 13. Graficar el triángulo de lados 9; 9 y 10 cm, si este existe. 14. Graficar el triángulo de lados 1; 5 y 5 cm, si este existe. 15. Graficar el triángulo de lados 13; 13 y 4 cm, si este existe.
8. Graficar el triángulo isósceles de lados 11 y 3 cm.
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Razonamiento Matemático
Los ángulos de un triángulo
2
En este capítulo aprenderemos: A identificar y nombrar al triángulo por sus medidas angulares.
•
A relacionar lados y ángulos del triángulo.
•
A interpretar y graficar a partir de un enunciado, los diferentes tipos de triángulos.
CAPITULO
•
bº
aº
qº
Si se corta una hoja de papel en forma triangular y se marcan los ángulos internos como: "aº", "bº" y "qº" y luego se doblan las puntas haciendo coincidirlas en uno de los lados, entonces siempre se formará un rectángulo.
bº
aº
bº qº
• •
qº
aº
¿Qué observas? ¿Cuánto suman "aº", "bº" y "qº"?
Saberes previos •
Un ángulo recto mide ...............................
•
Los ángulos que miden menos de 90º se llaman .......................
•
Los ángulos que miden más de 90º se llaman ............................
•
Si dos rayos están en sentidos opuestos forman un ángulo de ...........................
A Central: 619-8100
O
B Unidad III
93
Los ángulos de un triángulo
Conceptos básicos
Suma de ángulos internos del triángulo
En todo tipo de triángulo, la suma de los ángulos internos es 180º. B bº
aº + bº + cº = 180º
A
aº
cº
C
Clasificación de los triángulos de acuerdo a las medidas de sus ángulos
Triángulo acutángulo
Triángulo rectángulo
cateto
bº
aº
qº
hip
ote
Triángulo obtusángulo
nu
sa
gº
cateto
"aº", "bº" y "qº" son agudos
Un ángulo es recto
Un ángulo interno es obtuso
Observación
•
En el triángulo rectángulo, como un ángulo mide 90º, entonces los otros dos ángulos suman 90º.
aº
qº
aº + qº = 90º
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TRILCE
bº
aº
aº + bº = 90º
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2
Observación
•
En el triángulo isósceles, a lados iguales se le oponen ángulos de medidas iguales. B Si: AB =BC Se cumple: mBA = mBC aº
aº
•
A
base
C
En todo triángulo equilátero, la medida de cada ángulo interno es igual a 60º. B 60º L
A
El triángulo ABC es equilátero
L 60º
60º L
C
10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC •
Usar el transportador:
1. Dos ángulos internos de un triángulo miden 60º y 80º. Calcular la medida del tercer ángulo interno y clasificarlo.
6. En un triángulo, dos de sus ángulos miden 70º y 40º. Calcular el tercer ángulo interno y clasificarlo.
2. Dos ángulos internos de un triángulo miden 30º y 70º. Calcular el tercer ángulo interno del triángulo y clasificarlo.
7. Dos ángulos de un triángulo miden 15º y 75º. Calcular el tercer ángulo interno e indicar el tipo de triángulo.
3. Dos ángulos internos de un triángulo miden 20º y 100º. Calcular la medida del tercer ángulo interno y clasificarlo.
8. Dos ángulos de un triángulo miden 80º y 20º. Calcular el tercer ángulo interno e indicar el tipo de triángulo.
4. En un triángulo rectángulo, un ángulo interno mide 50º. Calcular la medida del tercer ángulo interno.
9. En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 55º. Calcular el tercer ángulo interno y clasificar el triángulo.
5. En un triángulo rectángulo, un ángulo interno mide 20º. Calcular la medida del tercer ángulo interno.
10. En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 45º. Calcular el tercer ángulo interno y clasificar dicho triángulo.
Central: 619-8100
Unidad III
95
Los ángulos de un triángulo
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones:
•
Si los ángulos internos de un triángulo son agudos, el triángulo se llama obtusángulo..............(
)
•
Si un ángulo interno de un triángulo es obtuso, el triángulo se llama acutángulo . .............(
)
2. Completar:
•
En todo ..................... rectángulo, la suma de los dos ángulos .................... es igual a 90º.
Resolución de problemas 3. Graficar un triángulo rectángulo, donde un ángulo agudo mide 10º. Calcular la medida del otro ángulo agudo. (Usar transportador). 4. Graficar un triángulo rectángulo, donde un ángulo agudo mide 15º. Calcular la medida del otro ángulo agudo. (Usar transportador). 5. Dos ángulos de un triángulo miden 70º y 60º. Calcular el tercer ángulo y clasificar al triángulo. (Usar transportador). 6. Graficar el triángulo, donde dos ángulos miden 20º y 30º. Calcular el tercer ángulo y clasificar al triángulo. (Usar transportador).
8. Graficar un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 4 cm y además forman un ángulo de 40º. Calcular las medidas de los otros ángulos. (Usar transportador). 9. Graficar un triángulo isósceles, cuyos lados iguales miden 6 cm y además forman un ángulo de 30º. (Usar transportador). Calcular la medida de los otros dos ángulos internos. 10. Graficar un triángulo isósceles, cuyos lados iguales miden 5 cm y además forman 120º. (Usar transportador). Calcular la medida de los otros dos ángulos internos.
7. Graficar un triángulo rectángulo isósceles y calcular uno de sus ángulos internos agudos. Los lados iguales miden 3 cm. (Usar transportador).
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Graficar el triángulo equilátero ABC de lado 6 cm, luego grafique interiormente el triángulo AEC tal que: mBEAC=40º y mBECA=30º. 2. Graficar el triángulo rectángulo ABC (mBB=90º) y el triángulo equilátero AEB, interior al triángulo ABC, además: mBC=20º. 3. Graficar el triángulo rectángulo isósceles cuyo cateto mide 4 cm, luego interiormente dibujar el triángulo isósceles obtusángulo cuyo ángulo interno mide 100º y su lado mayor es igual a la hipotenusa. 4. Graficar el triángulo equilátero ABC de lado 5 cm. Luego grafique exteriormente el triángulo rectángulo isósceles CAE de hipotenusa CE. 5. Graficar el triángulo obtusángulo isósceles, donde uno de sus ángulos internos mide 30º.
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TRILCE
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soPractica cisáb soten peccasa noC
2
6. En un triángulo isósceles, uno de los ángulos iguales mide 65º. Calcular el tercer ángulo interno.
1. Hallar "aº" 60º
70º
7. En un triángulo, dos ángulos internos miden 74º y 46º. Calcular la medida del tercer ángulo interno.
aº
8. En un triángulo, dos ángulos internos miden 27º y 53º. Calcular la medida del tercer ángulo interno.
2. Hallar "xº" xº
9. En un triángulo isósceles, el ángulo opuesto a la base mide 36º. Calcular las medidas de los otros dos ángulos.
50º
10. En un triángulo isósceles, el ángulo opuesto a la base mide 118º. Calcular las medidas de los otros dos ángulos.
3. Hallar "aº" aº
11. Graficar el triángulo, donde dos ángulos miden 45º y 75º. Calcular el tercer ángulo y clasificarlo. 12. Graficar el triángulo, tal que dos de sus ángulos miden 15º y 25º. Calcular el tercer ángulo y clasificarlo.
80º 4. Hallar "bº"
13. Graficar el triángulo, tal que dos de sus ángulos miden 25º y 65º. Calcular el tercer ángulo y clasificarlo.
130º
bº
10º
14. Graficar el triángulo, tal que dos de sus ángulos miden 40º y 75º. Calcular el tercer ángulo y clasificarlo. 15. Graficar el triángulo, tal que dos de sus ángulos miden 60º y 20º. Calcular el tercer ángulo y clasificarlo.
5. Hallar "qº" qº
25º
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45º
Unidad III
97
3
Lados y ángulos del triángulo En este capítulo aprenderemos: •
A construir triángulos con el uso del compás, conociendo medidas angulares y
longitudes de lados.
•
A identificar a los triángulos de acuerdo a sus lados y ángulos.
•
A relacionar a los elementos del triángulo para su determinación.
CAPITULO
En "Origami" (que es el arte de doblar el papel) se forman figuras diversas que en su mayoría están compuestas por triángulos. •
¿Cuántos triángulos observas en la figura?
Saberes previos •
Completar los elementos del triángulo: B Vértices: A; .................. Lados: AB; ...........; ............ A
Ángulos internos: BA; ..........
•
¿Cómo se lee la siguiente expresión?
•
Completar: Los lados de un triángulo se miden en unidades de ............................................
mBA = 40º ............................................................................................ m BC = 12 cm .......................................................................................
Colegios
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C
TR ILCE
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Geometría
Conceptos básicos
Procedimiento:
Se grafica el lado y con el transportador a partir de cada extremo del lado, graficar cada ángulo conocido.
Ejemplo
Construir un triángulo conociendo la longitud de un lado y los dos ángulos adyacentes a él.
•
Graficar el triángulo ABC, tal que: mBA = 60º; mBC = 70º y mAC = 8 cm.
Resolución:
60º
A
70º 8 cm
C
A
60º
70º 8 cm
•
Graficar el triángulo PQR, tal que: mBP = 40º; mBQ = 60º y mRP = 6 cm.
Resolución: Como se observa no se conoce la medida del ángulo "R".
Ejemplo
B
C
Hallemos la mBR con la propiedad: mBR + 40º + 60º = 180º & mBR = 80º
Q
P
40º
6 cm
80º
R
P
40º
6 cm
80º
R
Construir un triángulo conociendo las longitudes de dos lados y la medida del ángulo que forman dichos lados.
Procedimiento:
Se grafica uno de los lados conocidos de preferencia el de mayor longitud. Luego con el transportador se grafica el ángulo conocido y con la regla medir según la longitud del otro lado.
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Unidad III
99
•
Graficar el triángulo ABC, tal que: mBA = 40º; mAB = 5 cm y mAC = 8 cm.
Resolución:
B
5 40º A
8 cm
40º A
C
cm
8 cm
C
•
Graficar el triángulo PQR, tal que: mBQ = 100º; PQ = 3 cm y QR = 6 cm.
Resolución: Q
100º
100º
3c m
Q
6c
m
Ejemplo
Ejemplo
Lados y ángulos de un triángulo
6c
m
P R
R
10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Graficar el triángulo ABC, tal que: mAB = 5 cm; mBA = 30º y mBB= 50º.
6. Graficar el triángulo PQR, tal que: QR = 9 cm; mBQ = 100º y mBR = 20º
2. Graficar el triángulo ABC, tal que: mBA = 10º; mBC = 30º y AC = 12 cm.
7. Graficar el triángulo DEF, tal que: EF = 10 cm; DE= 8 cm y mBE = 80º.
3. Graficar el triángulo rectángulo isósceles de catetos igual a 3 cm.
8. Graficar el triángulo MNL, tal que: MN = 7 cm; NL = 6 cm y mBN = 100º
4. Graficar el triángulo equilátero de 12 cm de perímetro.
9. Graficar el triángulo en el cual un lado mide 9 cm y los ángulos adyacentes a él miden 30º y 50º.
5. Graficar el triángulo equilátero de 15 cm de perímetro.
10. Graficar el triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa mide 7 cm.
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3 sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones:
•
Si se conoce dos ángulos internos de un triángulo, se puede conocer el tercero .................( )
•
Si se conoce dos lados de un triángulo y un ángulo interno cualquiera, se puede graficar dicho triángulo .............................................................................................................................( )
2. Completar:
•
En todo .......................... isósceles a lados de medidas ...................... se les opone ..................... de medidas iguales.
3. Completar:
•
El perímetro del ........................ es igual a la suma de las ......................... de sus lados.
Resolución de problemas 4. Graficar el triángulo rectángulo isósceles de catetos igual a 4 cm. 5. Graficar el triángulo equilátero de perímetro igual a 9 cm. 6. Graficar el triángulo equilátero de 24 cm de perímetro. 7. Graficar un triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa mide 6 cm.
8. Graficar el triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 7 cm. 9. Graficar el triángulo MNL, tal que: mBM = 90º; MN = 4 cm y ML = 3 cm y clasificar dicho triángulo. 10. Graficar el triángulo DHE, tal que: mBH = 140º; DH = 6 cm y HE = 4 cm. Además clasificar dicho triángulo.
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Graficar un triángulo ABC equilátero. Luego, el triángulo APC isósceles (AC = CP) tal que: mBPAC = 20º y unir "B" con "P". Haciendo uso del transportador, calcular la mBBPA. 2. Graficar el triángulo PQR isósceles (PQ = QR) tal que: mBQ = mBR = 80º, luego trazar la bisectriz relativa a QR y trazar la distancia de "Q" a dicha bisectriz. 3. Graficar el triángulo ABC, tal que: mBA = 80º; mBC = 60º y AC = 6 cm, luego trazar la distancia de "B" al lado AC. ¿En qué ángulos queda dividido la mBB? 4. Graficar el triángulo PQR, tal que: mBP = 120º; mBR = 10º y PR = 7 cm, luego construir el triángulo equilátero QMR, tal que: QM = QR. Haciendo uso del transportador, calcular la mBMQP y clasificarlo. 5. Graficar el triángulo ABC, tal que: mBA = 160º; mBC = 15º y AC = 8 cm, luego construir el triángulo equilátero NBA, tal que: AB = BN. Haciendo uso del transportador, calcular la mBCBN y clasificarlo.
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Unidad III
101
Lados y ángulos de un triángulo 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Graficar el triángulo de lados 6 y 5 cm, además el ángulo entre ellos mide 50º.
9. Graficar el triángulo PQR, tal que: mBP = 60º; mBR = 40º y mPQ = 7 cm y clasificarlo.
2. Graficar el triángulo de lados 3 y 9 cm, además dichos lados forman un ángulo de 110º.
10. Graficar el triángulo ABC, tal que: mBA = 130º; mBB = 30º y mAC = 10 cm y clasificarlo.
3. Graficar el triángulo PQR, tal que: mBP = 30º; mBR = 60º y mPR = 11 cm y clasificarlo.
11. Graficar el triángulo rectángulo cuyos catetos miden 2 y 3 cm.
4. Graficar el triángulo MNL, tal que: mBM = 45º; mBL = 55º y mML = 13 cm y clasificarlo.
12. Graficar el triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm.
5. Graficar el triángulo ABC, tal que: mBA = 30º; mBB = 70º y mAC = 9 cm y clasificarlo.
13. Graficar el triángulo rectángulo isósceles cuyo cateto mide 2,5 cm.
6. Graficar el triángulo ABC, tal que: mBA = 110º; mBB = 20º y mAB = 10 cm y clasificarlo.
14. Graficar el triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa mide 5,5 cm.
7. Graficar el triángulo PQR, tal que: mBP = 20º; 15. Graficar el triángulo rectángulo isósceles cuya mBQ = 90º y mPQ = 13 cm y clasificarlo. hipotenusa mide 6,5 cm. 8. Graficar el triángulo ABC, tal que: mBA = 120º; mBC = 100º y mAC = 5 cm. ¿Se puede construir el triángulo?
Colegios
102
TRILCE
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Geometría
4
20
mt
20
mt
14 mt
6 mt
1
12 mt
8 mt
bº
20 mt
aº
qº
bº aº
CAPITULO
Recordando lo aprendido
bº
aº
qº
Síntesis teórica
qº
TRIÁNGULOS
Clases de triángulos por sus lados
Escaleno
Propiedad de la suma de ángulos internos del triángulo
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Isósceles
Clases de triángulos por sus ángulos
Equilátero
Construcción de triángulos conociendo sus lados
Acutángulo
Rectángulo
Construcción de triángulos conociendo un lado y sus ángulos adyacentes
Obtusángulo
Construcción de triángulos conociendo dos lados y el ángulo que forman Unidad III
103
Recordando lo aprendido
Conceptos básicos Aprende más... 1. Clasificar de acuerdo a sus ángulos y a sus lados, el triángulo mostrado:
8. Graficar el triángulo donde un lado mide 8 cm y los ángulos adyacentes a él miden 20º y 100º. (Usar transportador).
60º
35º
7. Graficar el triángulo donde un lado mide 9 cm y los ángulos adyacentes a él miden 50º y 70º. (Usar transportador).
2. Clasificar de acuerdo a sus ángulos y a sus lados, el triángulo mostrado:
9. Graficar el triángulo PQR, tal que: PQ = 11 cm; QR = 9 cm y mBQ = 30º. 10. Graficar el triángulo ABC, tal que: AB = 5 cm; BC = 7,5 cm y mBB = 60º. 11. Graficar el triángulo ABC, tal que: AB = 5 cm y mBB = mBC = 35º.
25º
45º
3. Graficar el triángulo cuyos lados miden 10; 8 y 6 cm (Usar compás).
12. Graficar el triángulo PQR, tal que: QR = 8 cm; mBP = 40º y mBR = 30º.
13. Graficar al triángulo en el cual dos de sus lados miden 6 y 8 cm. Además forman un ángulo 4. Graficar el triángulo cuyos lados miden 9; 6 y recto. 14 cm (Usar compás). 14. Graficar al triángulo en el cual dos de sus lados 5. ¿Cuál de los siguientes triángulos no existe? miden 10 y 5 cm. Además forman un ángulo de 60º.
cm
b)
a)
24
cm 8
cm
108º
c 13
36 cm c) 1 9
cm
15. Calcular "xº".
m
20 cm
12 cm
12
xº
18
36º
cm
6. ¿Cuál de los siguientes triángulos no existe?
12 cm cm 14
13 cm
7 cm
c)
cm
cm
b)
6
6
a)
m
cm
5c
12
8 cm Colegios
104
TRILCE
www.trilce.edu.pe
4
18:10:45
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Graficar al triángulo cuyos lados miden 13; 14 12. y 15 cm. xº
2. Graficar al triángulo cuyos lados miden 11; 10 y 9 cm. 3. Graficar al triángulo isósceles de lados 9 y 4 cm. 4. Graficar el triángulo isósceles ABC, tal que: AB = BC = 10 cm y mBB = 35º.
64º
13. 118º
5. Graficar el triángulo ABC, tal que: mBA= 45º; AB = 6 cm y AC = 7 cm. 6. Graficar el triángulo ABC, tal que: mBA= 10º; mBB = 20º y AC = 14 cm.
xº 14.
7. Graficar el triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa mide 12,5 cm. 8. Graficar el triángulo equilátero de perímetro 39 cm. 9. Graficar el triángulo equilátero de perímetro 31,5 cm. •
52º xº 15.
Calcular "xº", en cada ejercicio:
10. 71º
83º
xº
76º
xº 11.
47º 43º xº
Central: 619-8100
Unidad III
105
UNIDAD 1 A
D
H
B
M
C
A'
Inicio y necesidad de la Geometría
E
n la cultura egipcia hubo aportes muy importantes por la necesidad de construir y de aplicarlo en la división de terrenos destinados a su actividad económica más importante: La agricultura. Pero en Grecia fue donde se desarrolló la Geometría como ciencia, siendo "Euclides" considerado como el padre de la "Geometría Elemental".
AprendiZajes esperados •
Identificar figuras geométricas a partir de los objetos que se conoce.
•
Diferenciar entre elemento y figura geométrica.
•
Usar herramientas como las escuadras y el compás.
•
Contar puntos de corte observando y analizando los gráficos.
•
Reconocer las diferentes distancias utilizando unidades de longitud.
Razonamiento Matemático
1
La mediatriz en el triángulo En este capítulo aprenderemos: •
A conocer los tipos de triángulos y graficar las mediatrices.
•
A utilizar correctamente los instrumentos de dibujo: compás, regla y transportador.
L2
A
B
L3
C
D
E F
CAPITULO
L1
Entre BC y DE se han trazado dos rectas perpendiculares con la ayuda del compás. Estas rectas sirven para identificar el centro y poder equilibrar la construcción de las ventanas, darle armonía y estética al edificio. • ¿Qué líneas notables están representadas en el dibujo mostrado?
Unidad V
107
La mediatriz del triángulo
Saberes previos •
Para ubicar el punto medio de un segmento, se utiliza el compás. Se trazan dos arcos desde los extremos que sean mayores a la mitad del segmento.
•
Recta perpendicular: es la que forma un ángulo de 90º.
Conceptos básicos Mediatriz de un segmento de recta Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de uno de sus lados. B : Recta perpendicular a AC
C
A
L
Recuerda que...?
Para trazar la mediatriz se necesita un compás y una regla. También puede trazarse con un transportador, cuando se conoce el punto medio de un lado.
Cuadro resumen 1.er paso:
2.do paso:
B
A
A
B
L A
C Colegios
108
TRILCE
L
B www.trilce.edu.pe
1
10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Grafica un triángulo equilátero de lado 7 cm y luego traza la mediatriz de uno de sus lados.
6. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=40º, m R=20º y PR=7 cm. Luego, traza la mediatriz relativa a PQ.
2. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=30º y m C=60º. Luego, traza la mediatriz del lado BC. 7. Grafica un triángulo de lados 8; 8 y 4'cm. Luego, traza la mediatriz relativa al lado 3. Grafica el triángulo ABC, tal que: AB=BC=5'cm menor. y la m B=120º. Luego, traza la mediatriz del 8. Grafica un triángulo de lados 5; 6 y 7 cm. lado AC. Luego, traza la mediatriz relativa al lado intermedio. 4. Grafica el triángulo MNS, tal que: MN=5'cm, NS=7 cm y MS=8 cm. Luego, traza la mediatriz 9. Grafica el triángulo PQR, tal que: QP=5'cm, relativa al lado menor. QR=6 cm y m Q=50º. Luego, traza la me5. Grafica el triángulo CDR, tal que: CD=5'cm, diatriz de PQ. DR=4'cm y m D=110º. Luego, traza la mediatriz del lado CD. 10. Grafica el triángulo ABC, de lados 9; 4 y 8'cm. Luego, traza la mediatriz del lado mayor.
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda: 1. • •
La mediatriz es un segmento de recta.............................................................................. ( La mediatriz parte de un vértice y llega al punto medio del lado opuesto........................ (
) )
2. • •
Las mediatrices no tienen ninguna propiedad ................................................................. ( Las mediatrices dividen a un segmento en dos segmentos iguales .................................. (
) )
3. • •
En todo triángulo, las mediatrices forman un ángulo de 90º con su lado relativo............. ( En un triángulo isósceles, la mediatriz del lado diferente pasa por el vértice opuesto...... (
) )
Resolución de problemas
6. Traza la mediatriz de ST.
4. Traza las mediatrices de AB y BC.
S
B
A
C
5. Traza la mediatriz de ML.
7. Traza las mediatrices de PL y LM.
M
L Central: 619-8100
T
R
P
B
L
M Unidad V
109
La mediatriz del triángulo
8. Grafica el triángulo rectángulo ABC, recto en "B", tal que: AB=6 cm y BC=8 cm. Luego, traza la mediatriz de AC.
11. Grafica un triángulo rectángulo isósceles. Luego, traza la mediatriz de la hipotenusa.
9. Grafica el triángulo isósceles PQR, tal que: m Q=120º. Luego, traza la mediatriz de PR.
12. Grafica el triángulo AEF, tal que: AE=4 cm, EF=6 cm y AF=7 cm. Luego, traza la mediatriz relativa al lado EF.
10. Grafica un triángulo escaleno acutángulo ABC. Luego, traza la mediatriz de AB.
13. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=80º y m R=20º. Luego, traza la mediatriz de PR.
Aplicación cotidiana 14. Se desea ubicar una recta que parta del punto medio de PQ, además sea perpendicular a PQ y que llegue hasta AB.
E1 E2
15. Se desea ubicar una antena entre los puntos "A" y "B", que sea perpendicular a AB y que además equidiste de ambos puntos.
A
B
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=15º, m R=75º y PR=6 cm. Luego, traza la mediatriz de PR. 2. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=80º y m R=20º. Luego, traza la mediatriz de PQ. 3. Grafica el triángulo EDU, tal que: m D=130º y m E=20º. Luego, traza las mediatrices de ED y DU. 4. Grafica un triángulo equilátero y traza las mediatrices de dos de sus lados. 5. Grafica el triángulo isósceles ABC, tal que: m B=30º y AB=BC=8 cm. Luego, traza las mediatrices de AB y BC.
Colegios
110
TRILCE
www.trilce.edu.pe
1
18:10:45
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Traza la mediatriz de PB.
10. Traza la mediatriz de MB, si: ML=6 cm.
B
P
L
M
O
B
11. Traza la mediatriz de QS.
2. Traza la mediatriz de TR.
Q
T
S
P S
R
12. Traza la mediatriz de LB. L
3. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=40º y m C=70º. Luego, traza la mediatriz de BC. 4. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=60º y m R=45º. Luego, traza la mediatriz de QR, si además, PR=6 cm. 5. Grafica el triángulo MNP, tal que: MN=6'cm, NP=8 cm y MP=10 cm. Luego, traza la mediatriz de NP.
M
B
13. Traza la mediatriz de KM. L
M
6. Grafica el triángulo PQF, tal que: m P=40º, m F=55º y PF=6,5 cm. Luego, traza la mediatriz de PQ. 7. Grafica un triángulo obtuso de 115º y traza la mediatriz del lado mayor.
K 14. Traza la mediatriz de ML. L
8. Grafica un triángulo equilátero de lado 6,5 cm y traza una de sus mediatrices. 9. Traza la mediatriz de ML. S
L
M
15. Traza la mediatriz de QR. Q S
M
R P
Central: 619-8100
Unidad V
111
2 La altura en el triángulo En este capítulo aprenderemos: A identificar los tipos de triángulos.
•
A utilizar correctamente los instrumentos de dibujo: compás, regla y transportador.
Lado adyacente al ángulo
http://www.fbeya.com/
CAPITULO
Ángulo
Lado opuesto al ángulo
•
La altura nos permite saber qué objeto es más alto, compararlos y con ciertos datos, calcular su altura. ¿Se puede calcular la altura del edificio, sabiendo la distancia que nos separa de él y el ángulo con el cual miramos la parte alta?
Colegios
112
TR ILCE
• ¿Cuál de los tres lados es el mayor? • ¿Qué tipo de triángulo es el mostrado en la figura?
www.trilce.edu.pe
Geometría
Saberes previos •
Dos rectas perpendiculares forman un ángulo de 90º.
•
El triángulo isósceles tiene dos lados iguales, el triángulo escaleno tiene sus lados diferentes y el triángulo equilátero tiene tres lados iguales.
Conceptos básicos La altura es el segmento de recta trazado desde un vértice hacia el lado opuesto o a su prolongación, en forma perpendicular. B H
AH: altura
A
C
Recuerda que...? Para trazar las alturas en un triángulo obtusángulo, hay que prolongar los lados (opuestos a los ángulos agudos).
Cuadro resumen
Triángulo acutángulo
Triángulo rectángulo
Triángulo obtusángulo Central: 619-8100
Unidad V
113
La altura en el triángulo 10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=50º y m C=40º. Luego, traza la altura BH. 2. Grafica el triángulo PQR, tal que: PQ=3 cm, QR=4 cm y RP=5 cm. Luego, traza la altura QM. 3. Grafica el triángulo PQR, tal que: PQ=4 cm, QR=7 cm y m Q=120º. Luego, traza la altura relativa al lado QR. 4. Grafica el triángulo equilátero RST, de lado 6 cm. Luego, traza la altura relativa al lado ST. 5. Grafica el triángulo ABC, tal que: AB=5 cm, BC=6 cm y m B=110º. Luego, traza la altura BH.
6. Grafica el triángulo ABC, tal que: AC=4 cm y AB=BC=8 cm. Luego, traza la altura relativa al lado menor. 7. Grafica el triángulo MNS, tal que: MN=5 cm, NS=7 cm y MS=9 cm. Luego, traza la altura SB. 8. Grafica el triángulo RST, tal que: RS=6'cm, ST=7'cm y RT=8'cm. Luego, traza la altura relativa al lado intermedio. 9. Grafica un triángulo equilátero de lado 7 cm y luego traza una de sus alturas. 10. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=40º, m R=70º y PR=6 cm. Luego, traza la altura relativa al lado QR.
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda: 1. • •
La altura es siempre perpendicular a sus lados o a sus prolongaciones.........................( Las alturas trazadas son siempre interiores al triángulo.................................................(
) )
2. • •
Las alturas trazadas en el triángulo acutángulo son interiores . .....................................( Las alturas trazadas en el triángulo obtusángulo son exteriores ....................................(
) )
3. • •
El triángulo isósceles tiene dos alturas iguales .............................................................( El triángulo rectángulo tiene una altura trazada internamente ......................................(
) )
Resolución de problemas 4. En un triángulo ABC: m A=30º y m B=70º. Traza la altura CH.
8. En un triángulo ABC: m A=30º y m C=20º. Traza las alturas relativas a los lados AB y BC.
5. En el triángulo DEF: DE=4 cm, EF=7 cm y m E=45º. Traza la altura DM.
9. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=60º y m C=40º. Luego, traza la altura BH.
6. En un triángulo rectángulo isósceles, traza la altura relativa a la hipotenusa.
10. Grafica el triángulo EFN, tal que: EF=4'cm, FN=6 cm y m F=100º. Luego, traza la altura relativa al lado EF.
7. En un triángulo isósceles, de lados 4 y 8 cm, traza la altura relativa al lado mayor. Colegios
114
TRILCE
11. En el triángulo LMB, traza la altura MH, si: LM=8 cm, MB=6 cm y LB=10 cm. www.trilce.edu.pe
12. Traza la altura BH, en el triángulo isósceles LMB, si: LM=5 cm y MB=LB=7 cm.
13. Grafica el triángulo MPQ, tal que: MP=7 cm, PQ=6 cm y MQ=5 cm. Luego, traza las alturas MH y PR.
2
Aplicación cotidiana 14. Se quiere colocar una cámara de vigilancia en el punto "P". Si: m C1=40º, m C2=60º y C1C2=7 cm, calcula y traza la altura de "P" a C1C2. •
P
C1
A B
C2
15. Miguel corre en dirección de BA y Carlos quiere darle el alcance utilizando la menor distancia. ¿Qué línea notable hay que trazar para darle el alcance desde "C"?
C
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=35º, m R=75º y PR=6 cm. Luego, traza la altura QH y clasifica el triángulo PQR. 2. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=60º, m C=30º y AB=6 cm. Luego, traza la altura relativa a AC. 3. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=70º, m C=40º y AC=7 cm. Luego, traza la altura relativa a AB. 4. Grafica el triángulo ABC, tal que: m C=110º, m A=40º y AC=7 cm. Luego, traza la altura BH. 5. Grafica el triángulo PQM, tal que: m P=40º y m Q=120º. Luego, traza la altura QN.
Central: 619-8100
Unidad V
115
La altura en el triángulo 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Grafica la altura BH.
6. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=40º y m C=60º. Luego, traza la altura BH.
B
7. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=70º y m R=50º. Luego, traza la altura QH, si además, PR=8 cm. A
C
8. Grafica el triángulo MNP, tal que: MN=6 cm, NP=8 cm y MP=12 cm. Luego, traza la altura PH.
2. Grafica la altura PH. Q
9. Grafica el triángulo PQF, tal que: m P=45º, m F=40º y PF=7'cm. Luego, traza la altura QH.
P
10. Grafica un triángulo equilátero de lado 6 cm y traza una de sus alturas.
R
3. Grafica la altura TH.
11. Grafica un triángulo acutángulo y traza la altura de uno de sus vértices.
S
12. Grafica el triángulo RNM, tal que: RN=6 cm, MN=2 cm y m N=50º. Luego, traza la altura RH. R
T
13. Grafica el triángulo rectángulo ABC, tal que: AB=6'cm, BC=8 cm y AC=10 cm. Luego, traza la altura BH.
4. Grafica la altura SH. N
14. Grafica el triángulo EFN, tal que: m E=20º, m F=40º y EF=6 cm. Luego, traza la altura NH. 15. Grafica la altura RH.
M
S
S
5. Grafica la altura BH. L R
T
M B
Colegios
116
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Geometría
3
La mediana y la bisectriz en el triángulo En este capítulo aprenderemos: •
A identificar los tipos de triángulos.
•
A utilizar correctamente los instrumentos de dibujo: compás, regla y transportador.
aº aº
CAPITULO
Mediana Bisectriz
Las cuerdas que se utilizan para manejar o gobernar las velas en los botes, tienen la función de la mediana y de la bisectriz, tanto cuando las velas están desplegadas, como cuando están recogidas en parte. • ¿Cuáles son las líneas notables que se representan por cuerdas en el manejo de las velas?
Central: 619-8100
Unidad VI
117
La mediana y la bisectriz en el triángulo
Saberes previos •
El punto medio de un segmento es aquel que divide al segmento en dos segmentos iguales.
•
La bisectriz de un ángulo es aquel rayo que divide al ángulo en dos ángulos iguales.
Conceptos básicos B
Bisectriz Es el segmento de recta que parte al ángulo en dos ángulos iguales, comprendido entre su vértice y el lado opuesto.
M A
aº aº
AM: bisectriz C
B
Mediana Es el segmento de recta que tiene por extremos a un vértice y al punto medio del lado opuesto a dicho vértice.
K A
AK: mediana C
Recuerda que...? • •
Para trazar la bisectriz se necesita un compás o un transportador. Para trazar la mediana se necesita un compás o una regla.
Cuadro resumen B
B
L A
C
A
B
aº aº
AL: bisectriz C
B K
A
Colegios
118
TRILCE
C
A
AK: mediana C
www.trilce.edu.pe
3
10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Grafica el triángulo PQR, tal que: PQ=3 cm, QR=6 cm y PR=5 cm. Luego, traza la bisectriz PM.
6. Traza la mediana VS. M
2. Traza la mediana MP. L
R
V
7. Traza la mediana LS. M
L
C
3. Traza la bisectriz CD. M
M
C
8. Grafica el triángulo equilátero LMN, de lado 6'cm y traza la bisectriz LS.
E
C
4. Grafica el triángulo RMS, tal que: m M=70º, RM=5 cm y MS=6 cm. Luego, traza la bisectriz RP.
9. Grafica el triángulo equilátero PMQ, de lado 5'cm y traza la mediana PD. 10. Grafica el triángulo acutángulo RMS y traza la bisectriz SP.
5. Grafica el triángulo PEM, tal que: m M=90º, PM=6 cm y ME=5 cm. Luego, traza la mediana ED.
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda: 1. • •
La bisectriz es siempre interior al triángulo...................................................................... ( La mediana se traza en forma externa al triángulo........................................................... (
) )
2. • •
La bisectriz es siempre perpendicular al lado opuesto .................................................... ( La mediana es perpendicular al lado opuesto siempre .................................................... (
) )
3. • •
En el triángulo equilátero, la mediana y la bisectriz coinciden en una misma recta . ....... ( En el triángulo rectángulo isósceles, la mediana relativa a la hipotenusa es perpendicular a esta ................................................................................................... (
)
Central: 619-8100
)
Unidad V
119
La mediana y la bisectriz en el triángulo
Resolución de problemas 4. Traza la bisectriz del ángulo "P".
8. Traza la bisectriz del ángulo "R". M
P
Q
R
R
5. Traza la mediana TP.
T
9. Traza la mediana TP.
T
T
R
S
S
L
10. En un triángulo equilátero de lado 6 cm, traza una de sus medianas.
6. Traza la bisectriz del ángulo "Q". S
11. Grafica el triángulo isósceles PQR, tal que: PQ=4'cm y QR=PR=6'cm. Luego, traza la bisectriz del ángulo "P".
R
Q
7. Traza la mediana LR. L
12. Grafica el triángulo RST, tal que: m S=100º, RS=5 cm y ST=6 cm. Luego, traza la mediana SM. 13. Grafica el triángulo rectángulo MNS, tal que: MN=3 cm, NS=4 cm y MS=5 cm. Luego, traza la bisectriz del ángulo "S".
M
B Aplicación cotidiana
14. Ubica el camino más corto hacia el punto "A", de tal manera que divida al ángulo en dos ángulos iguales.
B
C
A
Colegios
120
TRILCE
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3 15. Se tienen tres postes y se quiere tender un cable entre ellos, que vaya desde el punto medio de dos de ellos al tercer punto.
PA
PB PC
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=60º, m C=30º y AB=6 cm. Luego, traza la mediana BN relativa a AC. 2. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=70º, m C=20º y AC=9 cm. Luego, traza las medianas AN y BM, tal que se corten en "G". 3. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=70º, m C=40º y AC=8 cm. Luego, traza la bisectriz BN y después, traza la mediana BM, las cuales cortan al lado AC. 4. Grafica un triángulo PQR, tal que: PQ=5 cm, QR=7 cm y PR=9 cm. Luego, traza la bisectriz de los ángulos "P" y "Q". 5. Grafica el triángulo MNE, tal que: MN=6 cm, NE=8 cm y ME=10 cm. Luego, traza las bisectrices de los ángulos "M" y "E". 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Grafica la mediana BP.
3. Grafica la mediana RS. B
A
Q
P
C
4. Grafica la bisectriz PR. Q
2. Grafica la bisectriz OM. P
O Central: 619-8100
R
Q
P
N Unidad V
121
La mediana y la bisectriz en el triángulo
5. Grafica la mediana AP.
12. Grafica el triángulo EFN, tal que: m E=60º, m F=50º y EF=5 cm. Luego, traza la bisectriz del ángulo "F".
B
13. Traza la mediana AD. A A
C
6. Grafica la bisectriz SH. S
B
C
14. Traza la bisectriz del ángulo "R". S M
N
7. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=45º y m C=55º. Luego, traza la mediana AR. 8. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=65º y m R=50º. Luego, traza la mediana QM, si además, PR=6 cm.
R 15. Traza la bisectriz PQ. A
9. Grafica un triángulo obtusángulo, cuyo ángulo vale 110º y traza la bisectriz de dicho ángulo obtuso. 10. Grafica el triángulo PQF, tal que: m P=50º, m F=45º y PF=6 cm. Luego, traza la bisectriz PM.
T
P
B
11. Grafica un triángulo rectángulo ABC, tal que: AB=5 cm, BC=9 cm y m B=90º. Luego, traza la bisectriz del ángulo "A".
Colegios
122
TRILCE
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Geometría
4
Recordando lo aprendido En este capítulo aprenderemos: •
A repasar las diferentes líneas notables: altura, bisectriz, mediatriz y mediana.
NO
NE
O
E
SE
S
http://3.bp.blogspot.com
SO
CAPITULO
N
Nivelando el terreno (alturas)
Mediante la bisectriz podemos dividir varias veces un ángulo, cada uno en la mitad del anterior, y una aplicación es la Rosa Náutica, que nos sirve para saber el rumbo a tomar en la navegación, ya sea por tierra, aire o mar. • ¿Podemos ubicar siempre un rumbo equidistante entre otros dos rumbos?
Central: 619-8100
Unidad V
123
Recordando lo aprendido
Saberes previos B • Qué líneas notables representan:
E
A a
D a
H
a
C
BH: .............................. para el triángulo ABC.
BE: ............................... para el triángulo ABH.
BD: ............................... para el triángulo BHC.
a
Conceptos básicos Altura
Es la perpendicular trazada desde un vértice a su lado opuesto en el triángulo dado.
Bisectriz
Es el segmento de recta que divide a cada ángulo interior de un triángulo, en dos ángulos de igual medida.
Mediatriz
Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de uno de sus lados.
Mediana
Es el segmento de recta que tiene por extremos a un vértice y al punto medio del lado opuesto a dicho vértice.
Recuerda que...? • •
El punto medio divide a un segmento en dos partes iguales. La bisectriz divide al ángulo en dos ángulos iguales.
Cuadro resumen B
Q BH: altura
A Colegios
124
TRILCE
H
C
QM: mediana
P
M
R www.trilce.edu.pe
4 L
L
m m: mediatriz
S
aº aº
K
M
LS: bisectriz
M
S
10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Grafica el triángulo RST, tal que: m R=30º, m T=40º y RT=6 cm. Luego, traza la mediatriz de ST. 2. Grafica el triángulo PSL, tal que: PS=6'cm, SL=7'cm y m S=40º. Luego, traza la altura PH. 3. Traza la mediana LS.
5. Traza la altura relativa a EF. E
F
D 6. Traza la mediatriz relativa a KS.
M
S
L
K
N
4. Traza la bisectriz BL. B
T
7. Grafica el triángulo isósceles ABC, tal que: AC=4'cm y AB=BC=7'cm. Luego, traza la altura AH. 8. Grafica un triángulo equilátero PQR, de lado 6'cm y traza la bisectriz del ángulo "Q".
A
C
9. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=40º, m R=70º y PR=5 cm. Luego, traza la mediatriz de QR. 10. Grafica el triángulo DEF, tal que: m D=45º, DE=6 cm y DF=5 cm. Luego, traza la mediana EM.
Central: 619-8100
Unidad V
125
Recordando lo aprendido
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
•
La bisectriz y la mediana, en el triángulo rectángulo, coinciden en una misma recta.....(
)
•
La altura y la mediatriz, en el triángulo equilátero, coinciden en una misma recta . ......(
)
2. De acuerdo al gráfico, nombra según corresponda: B
L BD: ........................................ BE: ......................................... L : ..........................................
A
D
C
E
3. Conceptualiza cada una de las líneas notables:
•
Bisectriz: ......................................................................................................................................
•
Mediatriz: .....................................................................................................................................
•
Altura: ..........................................................................................................................................
•
Mediana: ......................................................................................................................................
Resolución de problemas 4. Grafica el triángulo isósceles PQR, tal que m Q=120º. Luego, traza la bisectriz del ángulo "Q".
9. Traza la bisectriz BP. B
5. Grafica el triángulo rectángulo ABC, recto en "B", tal que: AB=4 cm y BC= 5 cm. Luego, traza la mediatriz de AC.
7. Traza la mediana MP en el triángulo isósceles LMB, tal que: LM=5 cm y MB=LB=7 cm.
C
A
6. Grafica un triángulo equilátero de lado 6,5 cm. Luego, traza la altura de uno de sus vértices.
10. Traza la mediatriz de PQ. R
8. Traza la altura BH. A
C P
Q
B Colegios
126
TRILCE
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12. Grafica el triángulo rectángulo LMB, tal que: LM=8 cm, MB=6 cm y m M=90º. Luego, traza la mediana y la mediatriz relativa a la hipotenusa.
11. Traza la mediana RS. R
4
13. Grafica el triángulo RMN, tal que: RM=6'cm, MN=7'cm y m M=45º. Luego, traza la bisectriz y la altura que parten de "R". Q
P
Aplicación cotidiana B
14. Se quiere trazar el camino más corto entre el punto "A" y la calle BC.
A
C
15. Ubica un punto externo a "A" y a "B" de tal manera que las distancias de ese punto a los extremos del segmento AB sean iguales.
A
B
socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. En el gráfico, traza la bisectriz BH, la altura BD, la mediana BM y la mediatriz de AC. A
B
Central: 619-8100
C
Unidad V
127
Recordando lo aprendido
2. Grafica el triángulo ABC, tal que: m B=100º, AB=4 cm y BC=6 cm. Luego, traza la altura BH relativa a AC y ubica los incentros de los triángulos parciales ABH y BHC. 3. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=20º, m R=40º y PR=8 cm. Luego, traza la bisectriz del ángulo exterior en "R", tal que la prolongación de PQ y dicha bisectriz exterior se corten en "E". Ubica el incentro del triángulo QER. 4. En el gráfico, ubica el incentro de los triángulos ABH y ABC. Une dichos incentros y luego, traza la mediatriz del segmento determinado al unir los incentros en mención. B
A
C
H
5. En el gráfico, ubica el incentro "I1" del triángulo BPC. Luego, une "I1" con "R" y traza la mediatriz de I1R. B
A
C P R
18:10:45
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Traza la bisectriz del ángulo "P".
3. Traza la mediatriz de PQ. P
Q
P
S
M
Q
4. Traza la altura TP.
2. Traza la mediana MS.
S
M
B L
Colegios
128
TRILCE
L
T
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5. Traza la mediatriz de PQ.
11. Traza la bisectriz BP, en el triángulo ABC, tal que: m B=45º, AB=5 cm y BC=4 cm.
P
4
12. Grafica el triángulo PQS, tal que: PQ=5'cm, QS=6'cm y PS=7'cm. Luego, traza la altura SH. 13. Traza la mediana BM, en el triángulo ABC, donde: AB=6 cm, BC=7 cm y m B=40º.
L Q
14. Traza la altura BH.
6. Traza la bisectriz SP.
B
R
T A S
15. Traza la mediatriz de PR.
7. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=40º, m Q=60º y PQ=6 cm. Luego, traza la mediana RM. 8. Grafica el triángulo MNS, tal que: MN=4 cm, NS=6 cm y m N=60º. Luego, traza la bisectriz del ángulo "M". 9. Grafica el triángulo SML, tal que: SM=6 cm, SL=5 cm y m S=50º. Luego, traza la mediatriz de SL.
C
R
P
S
10. Grafica el triángulo CDE, tal que: CD=5'cm, DE=6'cm y m D=70º. Luego, traza la mediatriz de CD.
Central: 619-8100
Unidad V
129
UNIDADUNIDAD 6 1 H = Ortocentro G = Baricentro O = Circuncentro
Ubiquemos los puntos notables en el triángulo
D
entro del campo de la Geometría Analítica, se descubrió que tres de los puntos notables de un triángulo: baricentro, ortocentro y circuncentro, podían obedecer a una misma ecuación, es decir, a una misma recta. A la recta que contiene el baricentro, ortocentro y circuncentro se le denomina "Recta de Euler". En Geometría, el baricentro o centroide de una superficie contenida en una figura geométrica plana, es un punto tal que cualquier recta que pasa por él, divide a dicha superficie en dos partes de igual momento respecto a dicha recta. En Física, el baricentro de un cuerpo material coincide con su centro de masas cuando el cuerpo es homogéneo o cuando la distribución de materia en el cuerpo tiene ciertas propiedades, tales como la simetría.
AprendiZajes esperados esperados AprendiZajes •
Identifica los puntos notables asociados al triángulo.
•
Reconoce su ubicación en los diferentes tipos de triángulos.
•
Analiza los datos disponibles para ubicar los diferentes puntos notables con los instrumentos de dibujo.
•
Formula estrategias para la resolución en los diferentes tipos de triángulos.
Geometría
1
Ubicación del circuncentro En este capítulo aprenderemos: •
A ubicar el circuncentro en los diferentes tipos de triángulos.
•
A usar correctamente el compás, transportador y regla.
CAPITULO
En el mapa de España se han ubicado tres puntos, los cuales equidistan de la ciudad de Madrid, la cual representa al circuncentro y las líneas en blanco son las mediatrices
Unidad VI
131
Ubicación drl circuncentro
Saberes previos •
Dos rectas perpendiculares forman un ángulo de 90º.
•
El punto medio de un segmento es aquel que divide al segmento en dos segmentos iguales y se traza con el compás o con la regla.
Conceptos básicos El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices de los lados de un triángulo. Q L2 "O": Circuncentro 1 : Mediatriz de PR 2 : Mediatriz de QR 3 : Mediatriz de PQ
L3 O P
R L1
Recuerda que...? •
Para ubicar el circuncentro, solo se necesitan trazar dos de las tres mediatrices de los lados de un triángulo.
•
El circuncentro en el triángulo rectángulo, se ubica en el punto medio de la hipotenusa.
•
En el triángulo obtusángulo, el circuncentro se ubica en la región exterior del triángulo.
Cuadro de resumen
H
Triángulo acutángulo
H
Triángulo rectángulo
H
Triángulo obtusángulo
"H" es circuncentro Colegios
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1
10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Grafica el triángulo PQR, tal que: PQ=4'cm, QR=7'cm y m Q=110º. Luego, ubica el circuncentro.
7. Ubica el circuncentro en el siguiente gráfico. S
2. Ubica el circuncentro del triángulo isósceles ABC, tal que: AC=4 cm y AB=BC=7 cm. 3. Grafica un triángulo equilátero de lado 6 cm y ubica su circuncentro.
P
D
8. Ubica el circuncentro en el siguiente gráfico.
4. Ubica el circuncentro del triángulo PQR, tal que: m P=30º, m R=40º y PR=7 cm.
A
5. Grafica un triángulo acutángulo y ubica su circuncentro. R
6. Ubica el circuncentro en el siguiente gráfico
W
9. Ubica el circuncentro en el siguiente gráfico.
N
L
M
M
H
C
10. Ubica el circuncentro en un triángulo de lados: 6; 8 y 10 cm.
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda: 1. •
El circuncentro es un punto interior en el triángulo acutángulo ....................................(
)
•
El circuncentro es un punto exterior en el triángulo obtusángulo ..................................(
)
2. •
El circuncentro divide a la mediatriz en la relación de 2 a 1 .........................................(
)
•
El circuncentro se obtiene al trazar dos mediatrices ......................................................(
)
3. •
El circuncentro en el triángulo rectángulo, es el punto medio de la hipotenusa ............(
)
El circuncentro es siempre interior en todo triángulo ....................................................(
)
•
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Unidad VI
133
Ubicación drl circuncentro
Resolución de problemas 4. Ubica el circuncentro en el gráfico mostrado.
7. Ubica el circuncentro en el gráfico mostrado.
5. Ubica el circuncentro en el gráfico mostrado.
8. Ubica el circuncentro del triángulo ABC, si: m A=40º, m C=30º y AC=7 cm. 9. Grafica el triángulo RMN, tal que: RM=6'cm, MN=7'cm y m M=50º. Luego, ubica el circuncentro.
6. Ubica el circuncentro en el gráfico mostrado.
10. Grafica un triángulo equilátero de lado 7'cm y luego ubica su circuncentro. 11. Grafica el triángulo LMB, tal que: LM=8'cm, MB=6'cm y LB=10'cm. Luego, ubica su circuncentro. 12. Ubica el circuncentro en el triángulo isósceles LMB, si: LM=5 cm y MB=LB=7 cm. 13. Grafica el triángulo MAE, tal que: m M=60º, m E=40º y ME=7'cm. Luego, ubica el circuncentro.
Aplicación cotidiana
A
C
14. Se quiere ubicar un reflector de luz que equidiste de las tres esquinas de un parque ("A","B" y "C"). Ubica dicho punto
B
15. Se tiene un parque circular en el cual se quiere colocar un megáfono. Indica el punto donde se debe colocar el megáfono.
Colegios
134
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1 socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=70º y m C=20º. Traza la altura BH y luego, ubica el circuncentro C1 del triángulo ABH. 2. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=60º y m C=30º. Luego, ubica su circuncentro C1 y traza la altura BH, ubicando los circuncentros de los triángulos rectángulos parciales formados. 3. Grafica el triángulo ABC, tal que: m B=120º, AB=4 cm y BC=6 cm. Luego, ubica el circuncentro "O" y traza las distancias del circuncentro a los vértices "A", "B" y "C". ¿Qué observas? 4. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=20º, m C=30º y AC=8 cm. Ubica el circuncentro. 5. Grafica un triángulo de lados 6; 7 y 9 cm. Ubica el circuncentro.
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Ubica el circuncentro en el gráfico mostrado.
5. Ubica el circuncentro en el gráfico mostrado.
2. Ubica el circuncentro en el gráfico mostrado. 6. Grafica el triángulo MAE, tal que: m M=60º, m E=40º y ME=10 cm. Luego, ubica su circuncentro.
3. Ubica el circuncentro en el gráfico mostrado.
7. Grafica el triángulo MPQ, tal que: MP=5'cm, PQ=6 cm y MQ=8 cm. Luego, ubica su circuncentro. 8. Grafica un triángulo equilátero de lado 6,5 cm y luego ubica su circuncentro.
4. Ubica el circuncentro en el gráfico mostrado.
9. Grafica el triángulo LMB, tal que: LM=8 cm, MB=6 cm y m B=90º. Luego, ubica su circuncentro. 10. Ubica el circuncentro del triángulo ABC, tal que: m A=40º, m C=50º y AC=6 cm. 11. Ubica el circuncentro del triángulo PQR, tal que: PQ=6 cm, QR=7 cm y PR=8 cm.
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Unidad VI
135
Ubicación drl circuncentro
12. Ubica el circuncentro en el gráfico mostrado.
14. Ubica el circuncentro en el gráfico mostrado.
13. Ubica el circuncentro en el gráfico mostrado. 15. Ubica el circuncentro en el gráfico mostrado.
Colegios
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TRILCE
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Geometría
2
Ubicación del ortocentro En este capítulo aprenderemos: •
A ubicar el ortocentro en los diferentes tipos de triángulos.
•
A utilizar correctamente el compás, el transportador y la regla para ubicar el ortocentro.
www.bernardoohiggins.cl
CAPITULO
O'Higgins. Carga a caballo en Rancagua, de Azarías Muñoz, 1987
Pintores famosos han empleado diversos trazos geométricos para la perfecta elaboración de sus obras. En el cruce de las líneas blancas de la pintura se encuentra el centro del cuerpo del jinete, dado un triángulo imaginario sobre la pintura. Si ambas líneas representan las alturas, el corte de éstas representa el ortocentro.
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Unidad VI
137
Ubicación del ortocentro
Saberes previos
•
Las alturas pueden ser interiores o exteriores.
•
Las alturas siempre forman un ángulo de 90º con el lado opuesto.
Conceptos básicos El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección o de concurrencia de sus alturas. M P Q
L
H
E
R
"H": ortocentro. LP: altura relativa a ME. MR: altura relativa a LE. EQ: altura relativa a ML.
Recuerda que...? •
Para ubicar el ortocentro se necesitan solo dos alturas.
•
El ortocentro en el triángulo rectángulo, se ubica en el vértice del ángulo recto.
•
En el triángulo equilátero, el ortocentro coincide con el baricentro, el circuncentro y el incentro.
Cuadro resumen B
//
B
1
L3
A
L
L1
C
Primero se traza 1 a AC; luego, se traza la paralela a 1 por el vértice "B".
Colegios
138
TRILCE
A
2
//
3
H L2 C
Después, se repite el proceso para los otros lados. "H": ortocentro
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2
10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=45º, m C=60º y AC=6 cm. Luego, ubica el ortocentro del triángulo ABC.
8. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado. S
2. Ubica el ortocentro del triángulo PQR, tal que: PQ=4 cm, QR=7 cm y m Q=120º. 3. Grafica el triángulo MNS, tal que: MN=5'cm, NS=6'cm y MS=7'cm. Luego, ubica su ortocentro. 4. Ubica el ortocentro en el triángulo equilátero PSD, de lado 5 cm.
A
D
9. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado. W
5. Grafica el triángulo ABC, tal que: AB=8 cm, BC=6 cm y AC=10 cm. Luego, ubica su ortocentro. 6. Ubica el ortocentro del triángulo PMH, tal que: m P=50º, m H=40º y PH=7 cm.
Y
Z
10. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado.
7. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado.
L
L
M S
C
M
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda. 1. •
El ortocentro es un punto exterior en el triángulo acutángulo ........................................(
)
•
El ortocentro es un punto interior en el triángulo acutángulo .........................................(
)
2. •
El ortocentro se ubica en el vértice del ángulo recto, en un triángulo rectángulo ...........(
)
•
El ortocentro se obtiene al trazar dos de sus alturas .......................................................(
)
3. •
El ortocentro divide a la altura en la relación de 2 a 1 ...................................................(
)
En el triángulo isósceles, el ortocentro se ubica en una de sus medianas .......................(
)
•
Central: 619-8100
Unidad VI
139
Ubicación del ortocentro
Resolución de problemas 4. Ubica el ortocentro del triángulo ABC, si: m A=40º, m C=30º y AC=7 cm.
10. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado.
5. Ubica el ortocentro del triángulo PQR, si: PQ=6'cm, QR=7 cm y PR=8 cm. 6. Grafica el triángulo RMN, tal que: RM=6 cm, MN=7'cm y m M=50º. Luego, ubica el ortocentro. 7. Grafica el triángulo LMB, tal que: LM=8'cm, MB=6'cm y LB=10'cm. Luego, ubica el ortocentro.
11. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado.
8. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado.
9. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado.
12. Grafica el triángulo MAE, tal que: m M=60º, m E=40º y ME=7'cm. Luego, ubica su ortocentro. 13. Grafica un triángulo equilátero de lado 7'cm. Luego, ubica su ortocentro.
Aplicación cotidiana
B
A
14. Se quiere ubicar el punto de unión de dos pilares: uno parte de "A" hacia BC en forma perpendicular y otro, de "B" hacia AC, también en forma perpendicular. C
15. Se tiene una estructura metálica de forma triangular regular, la cual se une por tres soportes perpendiculares entre sí. Ubica el punto donde se unirán los soportes, si cada lado mide 8 m.
Colegios
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TRILCE
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2 socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=70º, m C=50º y AC=8 cm. Luego, ubica el ortocentro de dicho triángulo. 2. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=60º, m C=30º y AC=8 cm. Luego, ubica el ortocentro. 3. Grafica el triángulo ABC, tal que: m B=110º, AB=8 cm y BC=6 cm. Luego, ubica el ortocentro. 4. Grafica el triángulo equilátero ABC, tal que: AB=8 cm. Luego, ubica el ortocentro. 5. Grafica el triángulo ABC, tal que: m B=120º y AB=BC=8 cm. Luego, ubica el ortocentro.
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado.
4. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado. B
B
A
A
C
2. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado.
5. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado. S
C
A
C
T B 3. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado.
R 6. Grafica el triángulo ABC, tal que: AB=6'cm, BC=8'cm y m B=40º. Luego, ubica el ortocentro.
P
R
Q
7. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=40º, m R=30º y PR=8'cm. Luego, ubica su ortocentro. 8. Ubica el ortocentro en el triángulo PQS, tal que: m P=60º, PQ=5 cm y PS=8 cm.
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Unidad VI
141
Ubicación del ortocentro
9. Grafica el triángulo MNE, tal que: m N=70º, MN=5'cm y NE=6'cm. Luego, ubica el ortocentro.
13. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado. L
M
10. Grafica el triángulo LMB, tal que: m L=60º, LM=7'cm y LB=6'cm. Luego, ubica el ortocentro. B
11. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado. M
14. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado. B
L
B
P
12. Ubica el ortocentro en el gráfico mostrado. R
Q
Colegios
142
TRILCE
M
15. Grafica el triángulo RST, tal que: m R=65º, RS=5,5'cm y RT=8 cm. Luego, ubica su ortocentro.
S
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Geometría
3
Ubicación del baricentro En este capítulo aprenderemos: • •
A ubicar el baricentro en los diferentes tipos de triángulos. A utilizar correctamente los instrumentos para la ubicación del baricentro, como el compás, transportador y regla.
http://mateselaios1.blogspot.com
CAPITULO Se construye todo tipo de triángulos de papel, a los cuales se les ha encontrado un punto donde se coloca un lápiz o un dedo y se equilibran. • ¿Qué punto puede ser, cuáles serían sus características y cómo se trazaría?
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Unidad VI
143
Ubicación del baricentro
Saberes previos •
Para ubicar el punto medio de cada lado, se utiliza el compás si no se conoce la longitud del lado y si se conoce la longitud del lado, se utiliza la regla.
•
Toda mediana es siempre interior al triángulo.
Conceptos básicos El baricentro es el punto de intersección de dos o tres medianas en todo triángulo.
Dibujamos un triángulo ABC, señalamos los puntos medios de los lados y trazamos las medianas. Si recortamos el triángulo y lo apoyamos sobre un lápiz, de modo que el baricentro coincida con la punta del lápiz, podremos comprobar que el triángulo queda en equilibrio. Esto ocurre porque el baricentro es el centro de gravedad del triángulo, es decir, el punto de aplicación de su peso.
Cuadro resumen B
B
B
N
N
P G
A
M
C
A
M
C
A
M
C
"G": baricentro "M", "N" y "P": puntos medios de cada lado GM=x; BG=2x ... BG = 2GM
Colegios
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3
10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Ubica el baricentro en el gráfico mostrado.
4. Ubica el baricentro en el gráfico mostrado.
Q
S
P
M
R
2. Ubica el baricentro en el gráfico mostrado. L
K
5. Grafica el triángulo MNS, tal que: MN=5'cm, NS=7 cm y MS=9 cm. Luego, ubica su baricentro. 6. Ubica el baricentro en el triángulo de lados 6; 8 y 10 cm.
C M 3. Ubica el baricentro en el gráfico mostrado. L
7. Grafica el triángulo RMS, tal que: m M=70º, RM=5 cm y MS=6 cm. Luego, ubica el baricentro. 8. Grafica un triángulo equilátero de lado 7 cm y luego, ubica su baricentro. 9. Ubica el baricentro en el triángulo DEF, tal que: m D=45º, DE=6 cm y DF=7 cm.
K
S
10. Grafica el triángulo ABC, tal que: m B=30º, AB=7 cm y BC=6 cm. Luego, ubica su baricentro.
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda: 1. •
El baricentro es un punto exterior en el triángulo obtusángulo . .....................................(
)
•
El baricentro es un punto interior en todo triángulo .......................................................(
)
2. •
El baricentro divide a la mediana en la relación de 2 a 1 ...............................................(
)
•
El baricentro se obtiene al trazar dos de sus medianas ...................................................(
)
3. •
El baricentro es siempre un punto exterior en todo triángulo .........................................(
)
El baricentro es el centro de gravedad del triángulo . .....................................................(
)
•
Central: 619-8100
Unidad VI
145
Ubicación del baricentro
Resolución de problemas 4. Ubica el baricentro en el gráfico mostrado.
5. Ubica el baricentro en el gráfico mostrado.
7. Ubica el baricentro en el gráfico mostrado.
8. Ubica el baricentro del triángulo ABC, si: m A=40º, m C=30º y AC=7 cm. 9. Ubica el baricentro del triángulo PQR, si: PQ=6'cm, QR=7 cm y PR=8 cm.
6. Ubica el baricentro en el gráfico mostrado.
10. Grafica el triángulo RMN, tal que: RM=6 cm, MN=7 cm y m M=50º. Luego, ubica su baricentro. 11. Grafica el triángulo LMB, tal que: LM=8'cm, MB=6'cm y LB=10'cm. Luego, ubica el baricentro. 12. Grafica un triángulo equilátero de lado 6 cm. Luego, ubica su baricentro. 13. Grafica el triángulo MPQ, tal que: MP=7'cm; PQ=6 cm y MQ=5'cm. Luego, ubica el baricentro.
Aplicación cotidiana
14. Se quiere colgar una lámpara de forma triangular equilátera de 7 cm de lado. Ubica el punto del cual debe colgarse la lámpara.
15. Se quiere colocar un techo de forma triangular, de lados 6; 7 y 8 cm. Indica el punto en el cual se quiere colocar el poste que sostendrá al techo triangular.
Colegios
146
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3 socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=70º, m C=20º y AC=8 cm. Luego, ubica el baricentro de dicho triángulo. ¿En qué relación se encuentra la distancia del baricentro al vértice "B" y del baricentro al punto medio de AC? 2. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=60º y m R=30º. Ubica el ortocentro, el circuncentro y el baricentro del triángulo. Si unes los tres puntos, ¿qué observas? 3. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=80º, m C=35º y AC=8 cm. Luego, ubica su baricentro. 4. Grafica un triángulo equilátero de lado 9 cm y ubica el baricentro y el ortocentro. ¿Qué observas? 5. Grafica un triángulo isósceles de lados 7 y 9 cm. Luego, ubica el baricentro.
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Ubica el baricentro en el gráfico mostrado.
2. Ubica el baricentro en el gráfico mostrado.
4. Ubica el baricentro en el gráfico mostrado.
5. Ubica el baricentro del triángulo ABC, si: m A=50º, m C=60º y AC=8 cm. 6. Ubica el baricentro del triángulo PQR, si: PQ=8'cm, QR=9 cm y PR=10 cm.
3. Ubica el baricentro en el gráfico mostrado.
7. Grafica el triángulo RMN, tal que: RM=8 cm, MN=6'cm y m M=40º. Luego, ubica su baricentro. 8. Grafica el triángulo LBM, tal que: LM=7 cm, MB=8'cm y LB=12'cm. Luego, ubica su baricentro. 9. Grafica un triángulo equilátero de lado 8'cm. Luego, ubica su baricentro. 10. Ubica el baricentro en el triángulo isósceles LMB, si: LM=5 cm y MB=LB=7 cm.
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Ubicación del baricentro
11. Grafica el triángulo MPQ, tal que: MP=8'cm, PQ=10'cm y MQ=12 cm. Luego, ubica su baricentro.
14. Ubica el baricentro en el gráfico mostrado.
12. Ubica el baricentro en el gráfico mostrado.
15. Ubica el baricentro en el gráfico mostrado.
13. Ubica el baricentro en el gráfico mostrado.
Colegios
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Geometría
4
Ubicación del incentro En este capítulo aprenderemos: •
A ubicar el incentro en los diferentes tipos de triángulos.
•
A utilizar correctamente el compás, el transportador y la regla para ubicar el incentro.
A qº qº
I
r B
aº aº
wº wº
C
CAPITULO
Circunferencia inscrita
Las tres bisectrices internas de un triángulo se cortan en un punto En efecto, las bisectrices de los ángulos "A" y "B" se cortan porque forman con la secante común AB, un ángulo cuya suma es menor que uno llano (Euclides). El punto "I" de intersección de estas rectas equidista de los lados adyacentes a los ángulos "A" y "B", esto es, de los tres lados. Entonces, la tercera bisectriz ha de cortar a las anteriores en el mismo punto. El punto de intersección se llama incentro del triángulo. Existe una única circunferencia interior, tangente a los tres lados de un triángulo. Se le llama circunferencia inscrita en el triángulo. • ¿Qué nos indica el incentro?
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Unidad V
149
Ubicación del incentro
Saberes previos •
Para ubicar el incentro se necesitan trazar dos o tres bisectrices interiores en un triángulo.
•
Hay bisectrices interiores y exteriores, las cuales se pueden trazar con el compás o el transportador.
Conceptos básicos El incentro es el punto de intersección de las bisectrices interiores de todo triángulo.
C
I
I
Incentro I
A
B
Recuerda que...? Al trazar las bisectrices de dos ángulos interiores se ubicará el incentro, porque la tercera bisectriz interior pasará necesariamente por este punto.
Cuadro resumen B
B
B N
M
A
C
A
M aº aº
C
A
I
bº bº
aº aº
C
"I": incentro CM: bisectriz del ángulo "C" AN: bisectriz del ángulo "A" "I": centro de la circunferencia inscrita al triángulo
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4
10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Ubica el incentro en el triángulo ABC, tal que: m A=30º, m C=40º y AC=7 cm.
8. Ubica el incentro en el gráfico mostrado. R
2. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=40º, m R=70º y PR=6'cm. Luego, ubica su incentro. 3. Ubica el incentro en un triángulo equilátero de lado 6 cm. 4. Grafica el triángulo isósceles ABC, tal que: AC=5'cm y AB=BC=7'cm. Luego, ubica su incentro.
S
M
9. Ubica el incentro en el gráfico mostrado. N
5. Ubica el incentro en el triángulo ABC, tal que: m A=100º, AB=5 cm y AC=6 cm. 6. Grafica el triángulo PQS, tal que: m Q=50º, PQ=6'cm y QS=7'cm. Luego, ubica su incentro.
7. Ubica el incentro en el gráfico mostrado.
10. Ubica el incentro en el gráfico mostrado.
M
M
Q
P
P
R
R
T
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda: 1. •
El incentro es un punto exterior en el triángulo obtusángulo ............................................(
)
•
El incentro es un punto interior en el triángulo acutángulo ...............................................(
)
2. •
El incentro divide a la bisectriz en la relación de 1 a 2 .....................................................(
)
•
El incentro se obtiene al trazar dos bisectrices interiores . .................................................(
)
3. •
El incentro es siempre un punto exterior en todo triángulo ...............................................(
)
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita .........................................................(
)
•
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Unidad VI
151
Ubicación del incentro
Resolución de problemas 4. Grafica el triángulo MAE, tal que: m M=60º, m E=40º y ME=7 cm. Luego, ubica su incentro.
11. Ubica el incentro en el gráfico mostrado.
5. Grafica el triángulo RMN, tal que: RM=6'cm, MN=7'cm y m M=50º. Luego, ubica su incentro. 6. Grafica un triángulo equilátero de lado 6'cm. Luego, ubica su incentro.
12. Ubica el incentro en el gráfico mostrado.
7. Grafica el triángulo MPQ, tal que: MP=7'cm, PQ=6'cm y MQ=5'cm. Luego, ubica su incentro. 8. Ubica el incentro en el triángulo isósceles ABC, tal que: AB=4 cm y BC=AC=7 cm. 9. Grafica el triángulo LMB, tal que: LM=8'cm, MB=6'cm y LB=10'cm. Luego, ubica su incentro.
13. Ubica el incentro en el gráfico mostrado.
10. Ubica el incentro en el gráfico mostrado.
Aplicación cotidiana
14. Se tiene un jardín de forma triangular y una pista interior circular, la mayor posible. Halla el centro de la pista circular para que se pueda colocar un poste de luz.
15. Se quiere ubicar un punto que equidiste de los tres lados de un parque, de manera que se pueda colocar una pileta en dicho punto.
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4 socisáb¡Tú sotpuedes! pecnoC 1. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=80º, m C=40º y AC=7,5 cm. Sobre el lado AC se construye el triángulo equilátero ACM, exterior al triángulo ABC. Luego, ubica el incentro "I1" del triángulo ABC y el incentro "I2" del triángulo ACM. Une "I1" e "I2". 2. Grafica el triángulo ABC, tal que: m A=70º, m C=20º y AC=8 cm. Luego, traza la altura BH relativa a AC y ubica el incentro del triángulo BHC. 3. Grafica el triángulo PQR, tal que: m P=75º, m R=40º y PR=9 cm. Luego, traza la bisectriz QM y ubica el incentro "I1" del triángulo PQM. 4. Grafica el triángulo isósceles de lados 6; 8 y 8 cm. Luego, traza la altura relativa al lado menor y luego, ubica el incentro de uno de los triángulos parciales. 5. Grafica el triángulo DEF, tal que: m D=45º, DE=6 cm y DF=5 cm. Luego, ubica su incentro.
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Ubica el incentro en el gráfico mostrado.
2. Ubica el incentro en el gráfico mostrado.
4. Ubica el incentro en el gráfico mostrado.
5. Grafica el triángulo MPQ, tal que: MP=7'cm, PQ=6'cm y MQ=8'cm. Luego, ubica su incentro. 6. Ubica el incentro en el triángulo isósceles LMB, tal que: LM=4 cm y MB=LB=6 cm. 7. Grafica un triángulo equilátero de lado 7 cm. Luego, ubica su incentro.
3. Ubica el incentro en el gráfico mostrado.
8. Grafica el triángulo LMB, tal que: LM=10'cm, MB=12'cm y LB=14'cm. Luego, ubica el incentro. 9. Ubica el incentro del triángulo PQR, si: PQ=6'cm, QR=7 cm y PR=8 cm. 10. Ubica el incentro del triángulo ABC, si: m A=50º, m C=30º y AC=8 cm.
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Unidad VI
153
Ubicación del incentro
11. Grafica el triángulo RMN, tal que: RM=9'cm, MN=10'cm y m M=60º. Luego, ubica su incentro.
14. Ubica el incentro en el gráfico mostrado.
12. Grafica el triángulo MAE, tal que: m M=50º, m E=30º y ME=6 cm. Luego, ubica el incentro. 13. Ubica el incentro en el gráfico mostrado. 15. Ubica el incentro en el gráfico mostrado.
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UNIDAD 7 UNIDAD 1
Formemos ECUACIONES CON LAS MEDIDAS DE SEGMENTOS Y DE ÁNGULOS
L
as carreteras del Perú están medidas en kilómetros y para resolver problemas con distancias entre ciudades, estas se representan por segmentos de recta. Así como con las agujas del reloj se forman ángulos que pueden ser representados por ángulos consecutivos
. AprendiZajes esperados •
Interpreta términos geométricos de segmentos y ángulos para su correcta gráfica.
•
Identifica una variable planteando una ecuación a partir de un gráfico.
•
Resuelve una ecuación algebraica donde la variable representa la longitud de un segmento o la medida de un ángulo.
1 Operaciones con segmentos En este capítulo aprenderemos: •
A diferenciar entre segmentos consecutivos y segmentos colineales.
•
A representar segmentos de recta de medidas mayores.
•
A sumar y restar medidas de segmentos de recta utilizando variables.
•
A interpretar gráficamente un enunciado con términos y notaciones geométricas.
C
CAPITULO
5m
3m A
R
Operar con segmentos de recta es fácil y sencillo, de manera que no tendremos dificultad en resolver problemas referentes a este tema. Dos son las operaciones básicas que trataremos: la suma de segmentos y la resta de segmentos, estos se basan en un principio sencillo llamado el postulado de la reunión y que se menciona de la manera siguiente: “El total es igual a la suma de las partes”. Este postulado podemos explicarlo con el siguiente ejemplo: Carlitos se dirige a la casa de Anapaula distante a 5 m, para luego enrumbarse 3 m más hacia la casa de Ronaldito, tal como indica la figura. • ¿Cuánto recorrió Carlitos?
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Geometría
Saberes previos •
Reducir: 3x+7x+6y - 5x - y
•
Calcular "x", en: 2x+3x - 18=32
•
Calcular "m", en: 23m+58 - 3m+67=47m+17
•
Calcular "y", en: 79 - 5y - 28 = 16y+7 - 3y+70y
•
Dos segmentos son iguales si tienen la misma longitud.
•
La mínima distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que los une.
Conceptos básicos Segmentos de recta consecutivos y colineales B
C
AB; BC y CD son consecutivos pero no colineales.
A
D
P
Q
R
S
Notación: Segmento AB = AB
PQ; QR y RS son consecutivos y a la vez colineales.
Medida AB = mAB = AB
Suma y resta de segmentos de recta consecutivos y colineales Ejemplo 1. Hallar: mAC
10 cm
A
2. Hallar: mPS
8 cm
P
Q
B
6 cm
R
8 cm
C
15 cm S
mAC = 10 cm + 8 cm mAC = 18 cm
Ejemplo
Resolución:
Resolución: mPS = 8 cm +6 cm +15 cm mPS = 29 cm
3. Hallar: mEF 26 cm
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A
10 cm
E
F
Resolución: mEF = 26 cm – 10 cm mEF = 16 cm Unidad VII
157
Operaciones con segmentos
4. Hallar: mPA Resolución: mPA = 32 cm – 12 cm mPA = 20 cm
32 cm
P
A
12 cm
B
Punto medio de un segmento de recta 7 cm
A
Si "M" es punto medio de AB; entonces:
7 cm
M
B
mAM = mMB ó AM = MB
10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Si: AB = 9 cm; BC = 24 cm y "M" es punto medio de BC, hallar "AM".
A
B
M
C
2. Si: PQ = 32 cm; PR = 52 cm y "M" es punto medio de PQ, hallar "MR". P
M
Q
R
3. Si: AE=10 cm; EB=34 cm y "M" es punto medio de AB, hallar "EM". A
E
M
B
4. Si: PQ=24 cm; QR=14 cm y "N" es punto medio de PR, hallar "NQ". P
N
Q
R
5. Si: EQ=16 cm; QF=22 cm y "M" y "N" son puntos medios de EQ y QF, hallar "MN". E
M
Q
N
F
6. Si: AL= 8 cm; LE=18 cm; "M" es punto medio de AL y "N" es punto medio de AE, hallar "MN". A
M
Colegios
158
N
E
7. Si: PQ=36 cm; QR=16 cm; "M" es punto medio de PR y "N" es punto medio de QR, hallar "MN". P
M
Q
N
R
8. Si: AB=10 cm; BC=13 cm y CD=18 cm, hallar "MN", siendo "M" punto medio de AB y "N" punto medio de CD. A
M
B
C
N
D
9. Si: AB=10 cm; BC=13 cm y CD=18 cm, hallar "MN", siendo "M" punto medio de AB y "N" punto medio de CD. A
B
D
C
10. Si: AC=41 cm; BD=63 cm y BC=27 cm, hallar "MN", siendo "M" punto medio de AB y "N" punto medio de CD. A
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L
M
B
C
N
D
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1 sociAprende sáb sotpemás... cnoC Comunicación matemática 1. De acuerdo a la figura, indicar si es verdadero (V) o falso (F), lo que a continuación se menciona. A
B
C
• AB ∪ BC = AC .............................(___)
• AB ∩ BC = AC ..............................(___)
• AB ∩ BC = B ................................(___)
• AB +BC = AC ...............................(___)
2. Complete de manera adecuada lo que a continuación se menciona:
• Dos segmentos son ................................ si tienen la misma longitud.
• La mínima distancia entre ........................ es la longitud del segmento que los une.
3. Relacione de manera adecuada mediante flechas los datos de ambas columnas.
•
A
M
B
a+1
a
A
•
M
MB–MA=5
B
AM=MB
B
AM>MB
a M
A
•
a+5
Resolución de problemas
9. Calcule el valor de "x", si: PR=30 cm.
A
B
C
D
x
A
B
C
D
A
B
C
D
7. Si "A", "B", "C" y "D" son puntos colineales, calcule el valor de "BC", cuando: AC=BD=3 cm y AD=5 cm. 8. Calcule el valor de "BC", si: AD=12'cm; AC=10'cm y BD=9'cm. A
B
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C
D
x+4 B
x+5 C
D
11. De la figura, encuentre el valor de "QR – PQ". x P
A
x+10
x+3
6. Hallar "BC", si: AB=14 cm, BD=18 cm y "C" es punto medio de AD.
R
10. Calcule el valor del menor segmento determinado, si: AD=21 cm.
5. Hallar "BC", si: AB=10 cm, BD=24 cm y "C" es punto medio de AD.
Q
P
4. De acuerdo a la figura, calcular "BC", si: AD=10'cm, AC=8 cm y BD=6 cm.
x+10 Q
R
12. Si "P" es punto medio de AB, calcule "AP". 8–x A
12+x M
B
P
13. Calcular "AB", si: AD=12'cm, AC=10'cm y BD=9'cm. A
B
C
D
Unidad VII
159
Operaciones con segmentos
14. Calcular "BC", si: AB=24'cm, BD=30'cm y "C" 15. Calcular "BC", si: AD=10'cm, AC=7'cm y es punto medio de AD. BD=8'cm. A
B
C
D
A
B
C
D
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Calcular "MN", si: AC+BD=80 cm. a A
a M
b B
b
C
N
D
2. Calcular "BM", si "M" es punto medio de AC y además: BC – AB =12 cm. A
B
M
3. Calcular el valor de "x", si: AD=11'cm.
A
x
C
x 2
x 3
B
D
C
4. Si: AB = 1 y AC = 21 cm, calcule el valor de la séptima parte de la longitud de BC. BC 2 A
B
C
5. De la figura, calcule el valor de "x", si: AB + AD =40 cm. 2x
A
B
a
M
a
D
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. De la figura, calcule el valor de "BC".
2. De la figura, calcule la longitud del menor segmento, si: AC=13 cm.
12 A
B
C
x D
A
x+3 B
C
10 15 Colegios
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3. Hallar el valor de la longitud del menor segmento, si: AD=27 cm. x-1
x
A
x+1
B
C
5 - 2x
B
C
D
5. De acuerdo a la figura, calcule el valor de: AB+BD. x+3
x+5
A
7 - 2x
B
C
D
2x
A
B
A
C
T
R
I
B
L
C
E
M
B
C
C
B
D
15. Si "M" es punto medio de PQ, "N" es punto medio de PM y "E" es punto medio de MQ, calcular: NE.
C
C
B
13. Si: AC=49 cm, BC=37 cm y "M" es punto medio de AB, calcular: MC.
8. Calcular "BC", si: AB=10 cm, BD=16 cm y "C" es punto medio de AD. A
M
12. Si: TI=10 cm, IL=3 cm, LE=14 cm y "R" y "C" son puntos medios de TI y LE, calcular: RC.
A
12 – x B
C
A
14. Si: AB=72 cm, "C" es punto medio de AB y "D" es punto medio de BC, hallar: AD.
7. De la figura, calcule el valor de AC. 7+x
Q
11. Si: AC=37 cm, CB=81 cm y "M" es punto medio de AB, calcular: CM.
A
6. Calcular "x", si: AC=30 cm. x
M
D
2+x
A
E
P
4. Calcule la mínima distancia entre los puntos "A" y "D". 3+x
10. Si: PE=13 cm, MQ=14 cm y "M" es punto medio de EQ, calcular: PQ.
1
D
64 P
N
M
E
Q
9. Si: AC=19 cm, BD=23 cm y BC=11 cm, calcular: AD. A
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B
C
D
Unidad VII
161
2
Sumando y restando ángulos consecutivos En este capítulo aprenderemos: •
A calcular las medidas angulares sin el uso del transportador.
•
A representar medidas angulares con variables algebraicas.
•
A interpretar mediante una ecuación un determinado gráfico de ángulos consecutivos.
CAPITULO Sabemos que una vuelta mide 360º sexagesimales, y en un reloj como en el que se muestra, las agujas forman ángulos consecutivos. Como se observa se ha dividido en sesenta partes, ya que entre los números que son doce hay cinco partes. • • •
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162
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¿Qué hora es? ¿Qué ángulo forma el horario con el minutero? ¿Qué ángulo forma el horario con el segundero?
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Geometría
Saberes previos •
¿Qué tipo de ángulo es "aº"?
•
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí.
aº
aº
"aº" es un ángulo agudo.
•
Del gráfico, AOB es un ángulo recto.
qº
aº = qº
•
A
La bisectriz de un ángulo divide a dicho ángulo en medidas iguales. A
m AOB=90º O •
B
O
bº wº
M
El ángulo llano mide 180º B A
O
B
•
Un ángulo obtuso es aquel mayor de 90º y menor de 180º.
•
Según el gráfico:
Si: OM es bisectriz de AOB, entonces: bº = wº
P
A
B
Q
Las rectas AB y PQ son perpendiculares.
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Unidad VII
163
Sumando y restando ángulos consecutivos
Conceptos básicos Ángulos consecutivos Son aquellos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común respectivamente. Q Los ángulos POQ y QOR son consecutivos R
P aº
m POR=aº+qº
qº O
B
Los ángulos AOB, BOC y COD son consecutivos
C
A xº
m BOD=yº+aº
yº aº
m AOD=xº+yº+aº
D
O Suma de ángulos consecutivos
xº aº
xº=aº+bº bº
Resta de ángulos consecutivos nº
yº yº=mº– nº
mº
Ejemplo 1. Hallar: m AOC
2. Hallar "xº" 142º
A
100º
40º O
Resolución: m AOC=40º+100º m AOC=140º Colegios
164
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A C
O
Resolución: 142º+xº=180º xº=180º–142º xº=38º
xº
Ejemplo
B
B
C
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3. Hallar: m AOB
2
Resolución:
C
B
30º
150º
B
M
A
34º 34º
C
32º
O A
O
Resolución: m AOB=150º - 30º m AOB=120º
6. Si: m BOC=54º y OM es bisectriz del ángulo AOB, hallar: m MOC.
4. Hallar "xº" C
B
xº A
M
64º O
B
C
O
Resolución: Del gráfico: M
5. Si: m AOB=68º, m BOC=32º y OM es bisectriz del ángulo AOB, hallar: m MOC. M
B
A
D
Resolución: xº+90º+64º=180º xº+154º=180º xº=180º - 154º xº=26º
A
m MOC=34º+32º m MOC=66º
C
B aº aº
A
54º C
O
aº+aº+54º=180º aº=63º Luego: m MOC=aº+54º m MOC=117º
O
Observaciones
aº bº qº aº+bº+qº=90º
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xº
yº zº
xº+yº+zº=180º
Unidad VII
165
Sumando y restando ángulos consecutivos
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. En el gráfico, OM es la bisectriz del ángulo AOB. Calcular "xº".
6. Del gráfico, calcular "xº", si OB es bisectriz del ángulo AOC y OE es bisectriz del ángulo DOF.
A
C
O
4xº
B
xº+20º M 30º
A
B
D
xº
O
E xº+10º F
7. Calcular "xº", del gráfico mostrado.
2. En el gráfico, OR es la bisectriz del ángulo MON. Calcular "bº".
30º - xº
xº+20º
M bº+10º 2bº
R
O
8. Calcular "xº", del gráfico mostrado.
40º - xº
N 3. Calcular "xº", si OB es bisectriz del ángulo AOC.
3xº
9. Calcular "xº", del gráfico mostrado.
C
B
80º - xº
xº A
70º O
D
4. Del gráfico, hallar "aº", si OD es bisectriz del ángulo COE. 100º
B
C
10. Calcular "xº", del gráfico mostrado.
45º+2xº
3xº+15º
D
aº O
A
2xº+2º
30º
E
5. Del gráfico, calcular "xº", si: OC OD y además OB es bisectriz del ángulo AOC. C B A
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D xº
O
3xº
E
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2 sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Calcular "aº+10º", del gráfico mostrado.
6. Si: OA OB y m BOC=4 m AOC, calcular: m AOC. A
2aº42º
C
aº
O
" " 2. Calcular xº , del gráfico mostrado. 2
B 7. Calcular "yº", del gráfico mostrado.
5xº+48º xº 3yº+26º
3. Calcular "qº", del gráfico mostrado.
yº
8. Si: m AOC=50º; m BOD=80º y m AOD=110º, calcular: m BOC.
5qº+10º
A B 66º - 2qº
O C
4. Si: m BOC=4'm AOB y m AOC=110º, calcular: m AOB. A
D 9. Si: m POR=35º y m QOS=62º, calcular: m QOR.
B
P
Q
O
R C
5. Si OM es bisectriz del ángulo AOB, calcular "bº". A
O
S
10. Si: m AOC=143º y m BOD=156º, calcular m BOC. C
4bº+18º O 5bº - 12º
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B
M B
A
O
D
Unidad VII
167
Sumando y restando ángulos consecutivos
11. Si m BOC=38º y OP es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m POB.
14. Si: m AOB=112º; m BOC=36º y OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM.
A
M
B
P A
B
O
C O
C 12. Si OM es bisectriz del ángulo BOC; m AOB=18º y m AOC=82º, calcular "xº".
15. Si OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD respectivamente, calcular "xº". B
C
A B
M
xº
O
M
A
N
54º 2xº
O
xº
D
C 13. Si: m AOB=36º; m BOC=100º y OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD respectivamente, calcular "xº" e "yº". B
C
M
N yº
A
xº O
D
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Calcular "xº", si: m POQ+m ROT=122º. R
P
Q xº
O
T
2. Calcular "qº", si: m AOC+m BOD=294º. C B
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A
qº O
D www.trilce.edu.pe
2 3. Calcular: m AOM, si: m AOB+m AOC=174º y OM es bisectriz del ángulo BOC. B M A
C O
4. Calcular "xº", del gráfico mostrado.
5xº xº
5. Calcular "qº", si: m AOC=80º y m BOD=140º A
B
qº O 4qº
C
D
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Calcular "aº" del gráfico mostrado.
3. Si: m AOC=87º y m AOB=52º, calcular "qº".
Q
A 120º 3aº
P
O
O
R
C
2. Calcular "xº" del gráfico mostrado.
4. Si OM es bisectriz del ángulo BOC, calcular: m AOM.
A B
O
Central: 619-8100
B
qº
2xº 32º
O C
A
28º
35º
B
M
C
Unidad VII
169
Sumando y restando ángulos consecutivos
5. Calcular "xº" del gráfico mostrado.
11. Si: m AOB=78º; m BOC=38º y OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m MOB.
B
A
A
C
O
xº 40º
M
xº
O
D
C
B
6. Calcular "qº" del gráfico mostrado.
12. Calcular "aº" del gráfico mostrado.
5qº
qº
7. Si OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM. B
A
M
73º
aº
13. Si: m AOB=44º y OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM. B
A
20º
M
100º O
C C
O
8. Calcular "aº" del gráfico mostrado.
14. Si: m AOC=130º; m BOD=100º y m BOC=70º, calcular la m AOD. 132º
A
aº
3aº
B C
9. Si ON es bisectriz del ángulo AOB, calcular "fº". C
A
fº 2fº
xº
10. Calcular "xº", si OM es bisectriz del ángulo AOC. M B
A Colegios
170
TRILCE
D
O
O
A
D
15. Calcular "xº", si: m AOC=110º y m BOD=130º.
B N
O
B
C
C
xº 108º 46º
O www.trilce.edu.pe
3
Ángulos entre dos rectas paralelas En este capítulo aprenderemos: •
A reconocer las regiones entre dos rectas paralelas.
•
A identificar a los diferentes ángulos que se forman al trazar una recta secante a dos rectas paralelas.
•
A relacionar los ángulos, según la región en que se encuentren.
•
A formar ecuaciones a partir de las relaciones que se establecen entre los ángulos anteriormente mencionados.
CAPITULO Al sur de Lima entre los kilómetros 419 y 465 de la Panamericana Sur en un terreno de más de 500 km cuadrados se encuentran las misteriosas líneas de Nazca que desde tierra no son visibles, pero desde el aire se observan estos diseños que han permanecido inalterables durante más de mil años desafiando a la ciencia y a la arqueología. • ¿Qué ángulo observas entre dos líneas paralelas? Central: 619-8100
Unidad VII
171
Ángulos entre dos rectas paralelas
Saberes previos •
•
Las rectas mostradas se denominan secantes.
Las rectas mostradas se denominan paralelas.
•
¿Cuántos ángulos se han formado en el gráfico?
•
Rpta.: 4 ángulos
Calcular "xº".
3xº+17º
53º– xº
3xº+17º= 53º– xº 4xº=36º xº=9º
Conceptos básicos Operaciones con ángulos entre dos rectas paralelas y una secante
Regiones determinadas entre dos rectas paralelas. Región externa
m • m y n son rectas paralelas (m // n)
Región interna n Región externa
Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante. L 1 4 5 8
7
a
3 b
L es la recta secante a las rectas paralelas a y b.
•
Son ocho ángulos los cuales los relacionamos de acuerdo a su región.
•
Ángulos externos: 1 ; 2 ; 7 ; 8
•
Ángulos internos: 3 ; 4 ; 5 ; 6 .
Colegios
172
6
2
•
TRILCE
www.trilce.edu.pe
Ángulos correspondientes Son aquellos pares de ángulos que se encuentran a un mismo lado de la secante, donde uno es interno y el otro externo. L
2
1
a 3
4
6
5
1 y 5; 2 y 6; 3 y 7; 4 y 8.
•
Si: a // b , se cumple que los pares de ángulos correspondientes son de medidas iguales.
b 7
8
•
3
Ángulos alternos Son aquellos pares de ángulos que se encuentran a diferente lado de la secante, siendo internos o externos. L 1
2
4 5
3 6
8
a
b
•
Alternos internos: 3 y 5 ; 4 y 6 .
•
Alternos externos: 1 y 7 ; 2 y 8 .
•
Si: a // b , se cumple que los ángulos alternos son de medidas iguales.
7
Ángulos conjugados Son aquellos pares de ángulos que se encuentran en el mismo lado de la secante, siendo internos o externos. 1 4 5 8
L 2
a
3 b
6
•
Conjugados internos: 3 y 6 ; 4 y 5 .
•
Conjugados externos: 1 y 8 ; 2 y 7 .
•
Si: a // b , se cumple que los ángulos conjugados suman 180º.
7
Observaciones •
•
a // b a aº
bº
aº=bº Central: 619-8100
b
m // n
wº
m
qº
n
wº=qº
Unidad VII
173
Ángulos entre dos rectas paralelas
•
L1 // L2 L1 xº xº +yº =180º
L2 yº
Ejemplo 1. Si: m // n , calcular "xº". m n
2xº
38º
2xº=38º xº=19º
2xº
2. Si: L1 // L2, calcular "qº". Resolución: 86º–2qº
qº+23º
L1
86º–2qº
L2
qº+23º
L1
Ejemplo
38º
Resolución:
86º - 2qº=qº+23º 63º=3qº 21º=qº
L2
3. Si: a // b , calcular "aº". Resolución:
a
a
132º 3aº
Colegios
174
TRILCE
132º
b
3aº
b
3aº+132º=180º 3aº=48º aº=16º
www.trilce.edu.pe
3
10 x 5 50
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Si: m // n , calcular "fº".
6. Calcular "fº", si: L1 // L2 .
m
L1
46º 6fº
L2
48º
n
fº+18º 2. Si: a // b , calcular "aº".
7. Si: m // n , calcular "xº". a
156º
39º
m
b
2aº+20º
n
xº 3. Si: L1 // L2, calcular "qº". L1
120º
8. Si: a // b , calcular "aº". 152º
3qº
L2
a
2aº
b
4. Si: a // b , calcular "xº". 9. Si: L1 // L2, calcular "fº".
a
42º+xº 8xº - 14º
b
L2 3fº
5. Si: m // n , calcular "aº". 45º
5aº
L1
126º
m
10. Si: m // n , calcular "bº". 140º
m
n
bº+24º
Central: 619-8100
n
Unidad VII
175
Ángulos entre dos rectas paralelas
Conceptos básicos Aprende más... Comunicación matemática 1. Relacionar correctamente: I
II
III
aº
bº
xº
qº
aº yº
•
Conjugados internos
•
Correspondientes
•
Alternos internos
2. Completar correctamente: aº
yº
mº
nº
bº
"mº" y "nº" son: ............. ......................................
"aº" y "bº" son .............. ......................................
xº "xº" e "yº" son:............... ......................................
3. Indicar si es verdadero (V) o falso (F), según las siguientes proposiciones:
• • •
Si las rectas son paralelas, los ángulos alternos son de medidas iguales ..............................( Si las rectas son paralelas, los ángulos correspondientes suman 180º .................................( Si las rectas son paralelas, los ángulos conjugados son de medidas iguales . .......................(
) ) )
Resolución de problemas 4. Si: a // b , calcular "xº".
6. Si: L1 // L2, calcular "qº". 59º
xº+26º
b
5. Si: m // n , calcular "aº".
2aº 144º
Colegios
176
TRILCE
57º
a
2qº+21º
L1 L2
7. Si: a // b , calcular "fº". m n
59º fº
a b
www.trilce.edu.pe
8. Si: m // n , calcular "bº".
12. Si: L1 // L2, calcular "qº". L1
2bº+15º
m
L2
54º qº qº
n
63º–bº
13. Si: m // n , calcular "aº".
9. Si: L1 // L2, calcular "xº". L1
3xº+52º
3
aº
L2
m
n 4aº
5xº–8º 14. Si: a // b , calcular "xº". 10. Si: a // b , calcular "qº". xº 4qº 152º
a
a
xº b
148º
b
15. Calcular "fº", si: L1 // L2. 11. Si: a // b , calcular "xº".
fº
2xº
fº
a
L1 L2
b
3fº
5xº
¡Tú puedes!básicos Conceptos 2. Si: m // n , calcular "qº".
1. Si: a // b , calcular "xº".
m
a
48º
126º xº
Central: 619-8100
n
b 136º
qº
154º
Unidad VII
177
Ángulos entre dos rectas paralelas
3. Si: a // b , calcular "xº".
5. Si: L1 // L2, calcular "bº". L1
aº aº
a
41º
bº
b
qº
40º qº
L2
xº
4. Si: m // n , calcular "fº". qº
qº
m fº
n
aº aº
18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 4. Si: m // n , calcular "fº".
1. Si: L1 // L2, calcular "xº". L1
m
n
74
136º
26
º
º-
xº
L2
xº
+
fº
5. Si: L1 // L2, calcular "aº".
2. Si: m // n , calcular "xº". m
124º
88º 2xº
L1
n 4aº
L2
3. Si: a // b , calcular "xº". 130º
2xº
6. Si: m // n , calcular "xº". a
m
b 2xº+40º
Colegios
178
TRILCE
n
5xº+4º
www.trilce.edu.pe
7. Si: a // b , calcular "xº".
12. Si: L1 // L2, calcular "xº".
a
b
116º
2xº
58º
L1 L2
2xº
8. Si: a // b , calcular "xº".
13. Calcular "aº", si: a // b . 63º
138º
a
a 2aº
b
xº
b
14. Calcular "qº", si: m // n .
9. Si: a // b , calcular "aº". a aº
3
m
b
3qº
n
aº 118º
57º 15. Calcular "xº", si: a // b .
10. Calcular "xº", si: m // n . m
n
153º a
5xº
xº+64º
3xº
b
11. Si: a // b , calcular "xº". 3xº
141º
Central: 619-8100
a b
Unidad VII
179
4 Recordemos lo aprendido Conceptos básicos Aprende más... 1. Si: PR=18 ; QS=41 "QR". P
Q
6. Si: m // n , calcular "qº".
n
y "M" es punto medio de 131º+qº M
B
C
3. Si: m AOC=108º; m BOD=84º y m AOD=131º, calcular: m BOC.
7. Si: AC=9 ; BD=13 y BC=4 , calcular "AD". A
B
D
A
P
Q
C
2xº
7xº
xº A
M
O
D
10. Calcular "xº".
Q P
3xº
5. Si: a // b , calcular "xº". 3xº+yº
a 2xº–yº
30º 2xº
11. Si: a // b , calcular "aº".
b
a
7aº–18º 12aº+8º
Colegios
180
S
R
B
4. Si: OM es bisectriz del ángulo ROQ; m POQ=32º y m POR=128º, calcular: m MOP.
TR ILCE
y PS=33
9. Calcular "xº".
O
O
D
C
8. Si: PQ=2x; RS=3x; QR=13 calcular "x".
C
B
R
m
5qº–5º
S
R
2. Si: AB=5 ; AC=19 BC, calcular "AM". A
y PS=49 , calcular
b
www.trilce.edu.pe
,
Geometría
12. Si: m // n , calcular "qº".
17. Calcular "fº", si: m // n .
136º
m
fº
m
n 4qº 13. Calcular "x", si "C" es punto medio de AD. x
3x+6
A
22
B
14. Si: QR=16 x P
18. Si: PQ=12 , QR=46 de PR, calcular "QM". P
D
C
Q
y "M" es punto medio
M
R
y PS=58 , calcular "x+y".
19. Si: m AOB=38º; m BOC=76º y OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM.
y
A
x M
n
142º
Q
y
R
N
S
B M
O
15. Calcular "aº+qº". C 20. Si: a // b , calcular "xº". qº
aº aº
xº
qº
a
16. Calcular "xº", si OM es bisectriz del ángulo AOB; OC es bisectriz del ángulo BOD y m AOD=130º. A
M
2xº
b
B
2xº O
2xº
C
3xº D 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Si: AC=19 ; BD=23 "BC". A
B
y AD=32 , calcular
2. Calcular "aº", si: m AOC=82º. A
C
D
38º O
B
4aº C
Central: 619-8100
Unidad VII
181
Recordemos lo aprendido
10. Calcular "xº".
3. Si: a // b , calcular "xº". xº
a xº b
44º
11. Si: m // n , calcular "aº".
4. Si: AD=43 cm, calcular "x". x A
2x B
16 cm
m
2aº D
C
aº+60º
5. Si: m AOC=100º; m BOD=110º y m BOC=80º, calcular: m AOD. A
B
B
A O
B
O
C
B
O
123º
a
14. Si: m // n , calcular "xº".
b
xº
49º xº
8. Si: AE=13 cm; EH=34 cm y "F" es punto medio de EH, calcular "AF". F
H
9. Si: PR=14 cm; EU=18 cm y PU=26 cm, calcular "ER".
Colegios
182
TRILCE
C
42º
7. Si: a // b , calcular "xº".
E
M
A
O
P
C
13. Si OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM.
M
38º
E
M
D
6. Si OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM.
A
n
12. Si: m AOB=50º; m BOC=90º y OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM. C
A
88º
27º
R
m n
15. Si: AL=16 cm, LE=30 cm; "M" es punto medio de AL y "N" es punto medio de AE, calcular "MN". A
M
L
N
E
U
www.trilce.edu.pe
UNIDAD 8 UNIDAD 1
Encontrando triángulos
A
mediados del siglo XX debido a las publicaciones en periódicos y revistas de noticias exageradas sobre algunas desapariciones de naves aéreas y marítimas en la región triangular mostrada, se especuló sobre la existencia de monstruos, precipicios, etc. Pero actualmente se sabe que estas desapariciones eran debido a la presencia de fenómenos naturales y al magnetismo de esta zona que hacía que las brújulas y radares no funcionarán
. AprendiZajes esperados •
Plantea ecuaciones utilizando variables en los ángulos del triángulo.
•
Plantea una o más ecuaciones a partir del gráfico de un triángulo con líneas notables.
•
Deduce y demuestra otras propiedades para un triángulo.
•
Utiliza propiedades prácticas para la solución de problemas laboriosos.
1 Aplicando la suma de ángulos internos de un triángulo en polígonos En este capítulo aprenderemos: •
A plantear una ecuación a partir de la gráfica de un triángulo, utilizando sus ángulos
internos.
•
A deducir y demostrar la ecuación para el ángulo exterior de un triángulo.
•
A utilizar propiedades para triángulos particulares.
S i=180º×2=360º
S i=180º×3=540º
S i=180º×4=720º
CAPITULO
S i=180º
Sabiendo que la suma de ángulos internos de todo triángulo es 180º, se deduce la suma de ángulos internos del cuadrilátero, pentágono, hexágono, etc.; dividiendo a los polígonos en triángulos.
Colegios
TR ILCE
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Geometría
Saberes previos • bº aº+bº+qº=180º aº •
qº
Si un ángulo interno de un triángulo mide 90º, se llama triángulo rectángulo.
• xº xº+yº=90º yº •
El ángulo interno de un triángulo equilátero mide 60º.
•
El triángulo isósceles tiene dos lados de medidas iguales.
•
Calcular "xº" en cada ejemplo: 80º
xº
42º
40º
xº=
xº
xº=
110º
xº
20º xº=
Central: 619-8100
33º
xº xº=
Unidad VIII
Ubicación del ortocentro
Conceptos básicos Definición de ángulo exterior de un triángulo
El ángulo externo se obtiene al prolongar un lado del triángulo, de tal manera que la suma de cada ángulo interno con su respectivo ángulo externo sea 180º. B • "xº" es la medida del ángulo exterior en "C"
bº
A
aº
qº+xº=180º
xº
qº C B
yº
bº
• "yº" es la medida del ángulo exterior en "B" bº+yº=180º
A
aº
qº C B • "wº" es la medida del ángulo exterior en "A"
bº wº aº A
C
Ejemplos
aº+wº=180º
qº
1. Calcular "xº" Resolución: 106º
106º
xº+4º
2. Calcular "xº"
xº
xº+4º
Resolución: 4xº
Colegios
186
TRILCE
4xº
xº
xº+xº+4º+106º=180º 2xº+110º=180º 2xº=180º–110º xº= 70º 2 xº=35º xº
4xº+xº+90º=180º 5xº=180º–90º 5xº=90º xº= 90º 5 xº=18º xº
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2
3. Calcular "wº" Resolución:
B 80º wº
B
Hallamos el ángulo interno en "A" 180º - (80º+60º)
80º wº
60º
C
A
40º
180º - 140º 40º 60º
A
Luego: wº+40º=180º ⇒ wº=140º C
4. Calcular "yº" Resolución:
B
A
38º
112º
B
yº
º
30 38º
A
C
112º
C
yº
Hallamos el ángulo interno en "B" 180º - (112º+38º) 180º - 150º 30º Luego: 30º+yº=180º yº=180º - 30º yº=150º
Propiedad del ángulo exterior La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos internos adyacentes a él.
aº qº xº
aº
xº
yº
aº=xº+yº
xº=aº+qº
wº
mº
zº
fº
nº
fº=90º+wº
zº=mº+nº
Ejemplos
1. Calcular "xº"
2. Calcular "qº"
3. Calcular "fº"
43º
18º xº
32º
qº
29º
fº
54º
Resolución:
Resolución:
Resolución:
xº=32º+43º xº=75º
qº=90º+29º qº=119º
54º=fº+18º 54º–18º=fº 36º=fº
Central: 619-8100
Unidad VI
187
Ubicación del ortocentro
10 x 5 50
Aplica lo comprendido Conceptos básicos 6. Calcular "qº".
1. Calcular "xº".
qº
14º 42º
xº
22º
77º
2. Calcular "fº".
7. Calcular "xº". fº
2xº
3xº
xº
41º
8. Calcular "qº". 3. Calcular "yº". qº
yº
39º
28º
72º
9. Calcular "xº".
4. Calcular "aº". 2xº aº 36º
xº 38º
71º
10. Calcular "fº".
5. Calcular "bº".
bº
Colegios
188
TRILCE
fº
127º
33º
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sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Calcular "xº".
2
7. Calcular "aº". aº
4xº 2xº+15º
27º 61º
2. Calcular "qº".
101º
8. Calcular "qº". 2qº+aº
3qº - aº
qº
7qº 40º 3qº
3. Calcular "aº". aº+12º
9. Calcular "xº". 73º
38º 131º
4. Calcular "yº".
xº 5yº
10. Calcular "fº".
8aº 5. Calcular "xº".
aº xº
3xº
fº
56º
11. Calcular "aº". 44º
34º
6. Calcular "fº". aº
40º
59º fº
Central: 619-8100
Unidad VI
189
Ubicación la Aplicando delsuma ortocentro de ángulos internos de un triángulo en polígonos
12. Calcular "qº".
14. Calcular "xº".
17º
24º qº
50º
58º
xº
47º 15. Calcular "aº".
13. Calcular "xº".
41º
22º
47º
100º xº
aº
65º
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Calcular "xº+yº".
4. Calcular "fº". 50º
41º
yº
xº
fº º
3fº
30
20º
2. Calcular "xº".
5. Calcular "xº". 40º
45º
25º
44º
35º xº 110º
20º
xº
70º 70º
19
º
3. Calcular "aº".
Colegios
190
TRILCE
31º
aº
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2
18:10:45
soPractica cisáb soten peccasa noC 7. Calcular "bº".
1. Calcular "aº".
45º
2a
º bº 6aº
aº
2bº
8. Calcular "fº".
2. Calcular "xº".
º 2x
fº 7xº
9. Calcular "fº".
3. Calcular "bº". fº bº 112º
43º
53º
49º
10. Calcular "xº".
4. Calcular "xº".
3xº
xº
28º
3xº+32º
2xº
5. Calcular "xº".
4xº
11. Calcular "xº". xº
30º
69º
xº
2xº
6. Calcular "aº".
aº Central: 619-8100
5aº+26º Unidad VI
191
Ubicación la Aplicando delsuma ortocentro de ángulos internos de un triángulo en polígonos
12. Calcular "bº".
14. Calcular "xº".
58º
61º
23º
xº
59º
bº 13. Calcular "qº".
15. Calcular "aº". 68º qº
80º
43º
11º
aº
50º
32
º
Colegios
192
TRILCE
www.trilce.edu.pe
2
Geometría
Operaciones con líneas notables en el triángulo En este capítulo aprenderemos: A diferenciar las líneas notables de acuerdo a sus propiedades.
•
A plantear y resolver ecuaciones utilizando propiedades del capítulo anterior en
gráficos con líneas notables.
Doblarlo, haciendo coincidir los lados AB y BC.
Finalmente, desdoblar la hoja y la marca de la doblez BD será la bisectriz. B
Ahora, marcar la doblez BD. B
B
A A
II
C
Doblamos haciendo coincidir dos vértices. Por ejemplo "A" y "C".
A
C
D
B
B
N
N
A
C
A,C
M
C
D
Finalmente se desdobla y la marca de la doblez MN es parte de la recta mediatriz de AC.
Ahora, marca la doblez MN.
B
A
CAPITULO
I
•
C
A
M
C
Teniendo un triángulo ABC de papel, a través de la doblez se obtienen las diferentes líneas notables en el triángulo. En el gráfico I se obtiene la bisectriz y en el gráfico II se obtiene la mediatriz. • •
¿Cómo doblarías el papel de forma triangular para obtener la mediana? ¿Cómo doblarías el papel de forma triangular para obtener la altura?
Central: 619-8100
Unidad VI
193
Operaciones con líneas notables en el triángulo
Saberes previos •
AE es una bisectriz en el triángulo ABC.
•
QH es una altura en el triángulo PQR.
B
Q E
A
•
aº aº
P
C
L es la recta mediatriz de DF en el triángulo DEF. E
•
NE es una mediana en el triángulo MNQ. N
L
M D
•
R
H
F
a
Q
E
a
Calcular "xº", en cada caso.
5xº
3xº
2xº
4xº
56º
5xº
xº= ..............
xº= ..............
A
15º+2xº
54º - xº
O
4xº 48º+xº
OM es bisectriz del AOB M B
xº= ..............
Colegios
194
TRILCE
xº= ..............
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Geometría
2
Conceptos básicos Bisectriz interior
Es el segmento de recta que divide al ángulo interno de un triángulo en medidas iguales. B E
Si AE es bisectriz Se cumple: aº=qº
aº qº A
C
Altura
Es el segmento que parte de un vértice y forma con el lado opuesto a este, un ángulo de 90º. B Si BH es altura Se cumple: qº=90º
qº
A
C
H
Mediatriz
Es la recta que pasa por el punto medio del lado de un triángulo, formando con él 90º. L
B Si L es mediatriz de AC Se cumple: fº=90º
A
fº M y
x
C
x=y
Mediana
Es el segmento que parte de un vértice y cae en el punto medio del lado opuesto a este vértice. B
m Si AN es mediana
N n A
Central: 619-8100
Se cumple: m=n C
Unidad VIII
195
Operaciones con líneas notables en el triángulo
Ejemplos
1. Si BE es bisectriz, calcular "xº". Resolución: B
Hallamos la m B 180º - (70º+30º) 180º - 100º 80º Como BE es bisectriz, la m B se divide en dos medidas iguales
B 40º 40º
A
70º
xº
30º
E
C
70º
A
xº
30º
E
En el triángulo ABE: xº=70º+40º xº=110º
C
2. Calcular "xº", si BH es altura. Resolución:
A
B
B
80º xº
80º xº
40º
C
H
A
Hallando la m C 180º–(40º+80º) 180º–120º 60º
60º
40º
H
En el
C
BHC: xº+60º=90º xº=30º
3. Calcular "aº", si L es mediatriz de BC. Resolución: Hallando la m C 180º - (75º+65º) 180º - 140º 40º En el NMC: aº+40º=90º aº=50º
B
B 65º
L
65º
L
M A
75º
N
aº
C
A
75º
N
aº
40º
C
4. Si AM es mediana, calcular "x". Resolución: B
B
16 M
Colegios
196
TRILCE
Por ser mediana:
M 2x
A
16
2x=16 x=8
2x C
A
C
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Geometría 10 x 5 50
2
Aplica socilo sácomprendido b sotpecnoC 1. Si AE es bisectriz, calcular "xº".
6. Si
es mediatriz de BC, calcular "xº".
B 75º
C 20º
E
º
30
A
2xº
xº
C
2. Si PA es bisectriz, calcular "xº".
30º
A
L
B
7. Si n es mediatriz de BC, calcular "xº".
Q
B
60º
n A
25º
P
xº
xº
A
R
41º
C
3. Si AM es altura, calcular "fº". 8. Si L es mediatriz de AN, calcular "fº".
D fº
L
M M
A
35º
E
A
fº
70º
N
4. Si CH es altura del triángulo ABC, calcular "yº". C
9. Si AE es mediana, calcular "y".
º 23 yº
A
26º
B
y2 - 1 E
H
B
8
Q
C
A
5. Si L es mediatriz de NP, calcular "x".
10. Si RT es mediana, calcular "a". 18 cm
P 19–x
E 11+x L
Central: 619-8100
N
3a P
Q
T R
Unidad VIII
197
Operaciones con líneas notables en el triángulo
Conceptos básicos Aprende más... 1. Si AN es bisectriz, calcular "xº".
7. Si RB es altura, calcular "qº". Q
B 62º N A xº
B 20º
C R
2. Si AN es bisectriz del triángulo AEF, calcular "qº". F qº
20º
A
51º
N
8. Si DH es altura, calcular "xº". D
N 123º
qº 82º
xº
E
3. Si PE es bisectriz del triángulo PQR, calcular "fº". Q
B
39º
H
F
9. Si L es mediatriz de AE, calcular "xº". E
fº
E
L 40º
P
61º
3xº
R A
4. Si NA es bisectriz, calcular "bº".
32º
N
N 10. Si m es mediatriz de CL, calcular "qº". M M
bº
35º
45º
A
117º
Q
5. Si QA es altura del triángulo PQN, calcular "yº".
m
qº
C
L
Q 11. Si a es mediatriz de BF, calcular "xº".
yº
H P
43º
A
14º
a
N
6. Si FP es altura del triángulo AEF, calcular "aº". P
xº B
126º F
E
28
A Colegios
198
33º
TRILCE
º aº
F www.trilce.edu.pe
Geometría
12. Si EA es mediana, calcular "x".
14. Si JL es bisectriz, calcular "xº".
2
J
E
H
A
x-8
A
N 48
xº
37º
73º
L
N
15. Calcular "aº", siendo LJ bisectriz.
13. Si PM es mediana del triángulo RPE, calcular "x".
E J
P
26
,5º
R
M
7,5 cm
A
E
L
aº
x
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Calcular "aº+qº".
4. Calcular "yº".
80º
º
2a
aº
yº
2aº
2qº
5. Calcular "fº", siendo BH altura y AE bisectriz del triángulo ABC.
2. Calcular "xº+yº".
B
60º
80º
3xº
3yº
qº 2qº
fº
A
H
E 40º
C
3. Calcular "xº". aº aº
40º
Central: 619-8100
xº
qº qº
Unidad VIII
199
Operaciones con líneas notables en el triángulo 18:10:45
Practica enbásicos casa Conceptos 1. Calcular "x", si AM es mediana. B
6. Calcular "xº - yº", si QH es altura. Q
18–x
xº
M
yº
6+x C
A 2. Calcular "y", si CN es mediana.
41º
P
62º
H
R
7. Calcular "bº", si L es mediatriz de PQ.
B –y
Q 84º
15
L
2y –3
N
A 3. Calcular "xº", si AE es bisectriz.
72º
bº
P
C
R
8. Calcular "aº - bº", si PT es altura.
B
Q 71º
69º
T
E
º
A
42
xº
bº P aº
C
4. Calcular "xº", si L es mediatriz de AC. L
36º
R
9. Si BM es mediana, calcular "x".
B
B
xº
A
39º
C
A
5. Si L es mediatriz de AC, calcular "qº". L
2x+16
D 31–x
10. Si QH es altura, calcular "qº". Q
B
M
qº
79º H
qº A
Colegios
200
TRILCE
R
67º
C
81º P
www.trilce.edu.pe
Geometría
11. Si EF es bisectriz, calcular "xº"
14. Calcular "xº", si m es mediatriz de FH. E
F
m
68º
A
xº
38º
116º
F
L
12. Si L es mediatriz de AC, calcular "bº". L A
65º
xº
Q
C
2
H
15. Calcular "xº", siendo QA altura del triángulo PQN. P xº
bº 80º
59º Q
B
A N
13. Calcular "xº", si EL es altura. D
63º
L
F xº
104º
E
Central: 619-8100
Unidad VIII
201
3 Recordemos lo aprendido En este capítulo aprenderemos: •
A identificar las propiedades que se van a utilizar en los ejercicios.
•
A resolver ejercicios variados de triángulos, también con líneas notables.
•
A resolver ejercicios combinados de triángulos con rectas paralelas.
yº
yº
qº
aº
zº xº+yº+zº=180º
yº=aº+qº
B
Q
aº aº
A
D
E
P
R
H
BE es bisectriz
QH es altura
E
E
L
N F
A L es mediatriz de EF
Colegios
202
TR ILCE
CAPITULO
xº
F
A AN es mediana
www.trilce.edu.pe
Geometría
sociAprende sáb sotpemás... cnoC 1. Calcular "aº".
7. Calcular "fº". Q
10aº
,5º
36
4aº
fº
28,5º
P
R
2. Calcular "xº". 8. Calcular "xº", si:
// BC.
xº+aº
B 58,5º
64º
xº–aº
A
71,5º xº
C
L
3. Calcular "xº", si: m // n . 9. Calcular "xº", si: n // FD .
12º xº
n
F
xº
m
39º 4. Calcular "qº", si: m // n .
E
161º
68º
36º n
D
10. Calcular "xº", si BD es bisectriz del triángulo ABC.
m
qº+20º
B
n
xº 5. Calcular "qº", si: L // AB.
B L qº
A
46º
C
A
2xº
xº
D
C
11. Calcular "fº", si BE es bisectriz del triángulo ABC. B
6. Calcular "xº". 7xº A 4xº
Central: 619-8100
27º
40º
fº E
C
Unidad VIII
203
Ubicación del baricentro
12. Calcular "xº".
14. Calcular "xº", si m es mediatriz de PA. m
Q
xº xº
43º
P
4qº
qº
A
13. Calcular "qº", si BH es altura. 15. Calcular "x", si AN es mediana.
B 74º
B
qº
52+x
124 cm
N 28º
A
C
H
A
C
¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. Calcular "xº".
4. Calcular "qº", si m es mediatriz de AC y BE es bisectriz del triángulo ABC. xº
80º
3aº aº
3qº
B
qº A
2. Calcular "yº".
20º
E
C
qº
yº
qº
aº aº
m
5. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BF, tal que: AB=BF=FC. Calcular m C.
qº
3. Calcular "xº", si AH es altura y AE es bisectriz del triángulo ABC. H B 100º
E
xº
Colegios
204
A
TRILCE
50º
C www.trilce.edu.pe
18:10:45
soPractica cisáb soten peccasa noC 1. Si PM es mediana del triángulo PQR, calcular 6. Si: L // AC, calcular "yº". "y". B Q 5y+16 75º yº M 46 - y 69º A P R 2. Si: m B=73º y m C=83º, calcular "fº", si además L es mediatriz del lado AC. L
3
L
C
7. Calcular "aº". B
B
117º
fº C
A
2aº
A
aº
C
8. Calcular "xº". A
3. Si: m B=58º; m BAC=66º y AH es altura, calcular "xº".
8 º
xº
B H
aº
B xº
A
C
9. Calcular "x", si QM es mediana.
4. Calcular "xº". M
B a
A
106º
a
Q
A C
10. Calcular "xº", si:
E
// AC. B
63º
B 81º A
xº
Central: 619-8100
P
x
x
xº
39º
14
6+
5. Si CE es bisectriz, calcular "xº".
A
C
59º
xº
L
C
C
Unidad VI
205
Ubicación del baricentro
11. Calcular "qº", si CF es altura del triángulo ABC.
14. Calcular: m C.
F
B 8xº
B 3q
qº
22º
A
º
C
A
12. Calcular "xº", si: n // PR.
7xº
5xº
15. Calcular "xº", si: L // AC. Q
B xº
P
18º
C
83,5º
n
R
A
72,5º
3xº
L
C
13. Calcular "xº", si AE es bisectriz del triángulo ABC. B E
A
Colegios Colegios
206
TRILCE
3xº
C
www.trilce.edu.pe
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