Geometria - Timoteo Salvador

r

.

9

Tri riáángulos

.

31

0*

Cuadril driláte áterros

.

61

0*

Polígon onoos

.

83

.

97

.

12 1

.

13 7

métrica ricass

.

16 1

reg egul ulaares

.

18 5

.

2 01

.

2 33

.

25 9

O'~ 0*

y ángul uloos

Seg egm ment ntos os

:

unfere erenncia o ~~ CiCirrcunf

GEOMET ETRiA RiA Prim ime era

- Cole oleccci ció ón

Edición:

Hecho el depós epósiito REG.

W

0*

Punt untos os

0*

Prop Pr opoorcio ionnalidad

0* 0*

Rellacion Re ciones es

notaables not

Pollígo Po ígonnos

asociados

al tri riáángulo

y sem semejanza ejanza

0* 0*

Áreeas de regio Ár regionnes Geoometría Ge

del espacio

0*

Geom omee trtr ía ía

c ar ar te te sisi an ana

planas

y ve vecctorial

Goñi

200 003 3 leg le gal Ley N° 26905

t50 t5 0132 322 2002 002-1 -1875 875

©

Colec eccció ión n D ere c h os

©

Edito ditorrial Ingen ngeniieria EIR EIRL L Prohibid ida a la reprod rodu ucc cciión total o par arccia iall de la obra ra,, sin p r ev i a a ut or i zac i ó n esc r i t a d e l A ut or y de l E d it o r .

  El c o m ú n d e nominador de l é x it itoo . es e l t r abaj abaj o. s in é l - e l h om om b re re pi e rd e S/1 v i s i ó n . Sl1 c onfi onfiaa n z a solucc i á a d e io t rar Sl1S m e tes ». -: y la r e solu

Goñ oñii d e a u t o r r ese r v ados

Impreso en Edilor oriial

Ing nge eniería

Garcitaso de la Vega 911 Ofic fic.. 404 . Lima Av. In Inca ca

RUC 201 010 007832 78326 67

COLECCION

,

GONI

' k · BISE BI SEC CTRIZ DEUN ÁN ÁNG GUL ULO O

El segm egmenlo enlo es una part rte e de la rec eciia co com mpren rend dida entre dos p un to tos de dic ha ha r ec ec ia, a,

tremoss de extremo

Seg me n to

A a ....• .... •S e gm ent o

B

A

A y B AB

L a l on g i t u d d e u n segm e n t o . e x pr pr es es a e l l ama ñ o o m edida de un s egmenlo y res dida esu ulla de la comp ompa aración del se g m en en t o c o n o trtr o t o m a d o c o m o un id a d ( m etro). AB : S e l ee ee « Icn qi qitud del se seg gme menlo nlo AB

·

O

··

d e u na na r ec i a .

  >t

3

H

9:

Recla la:: ::tt.:

~'A 'A9,a 9,a

1)

di st sta an c ia ent entrr e d os puntos

OB

es /a l ongi  

t ud ud d el el s egm egme en to d e r e c : e que un e l os punto s ..  L- __~ - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - ~

Pun t o m ed Punt edii o de u n s eg m en t o : Es aq ue uell pun t o qu que e p er er ten ene ece al segmen egmento to y q u e l o d i v i d e en d os os seg men mentt o s p arc arcii al es d e i gu gua al lo lon n gitu gitud d. A~n-'-n---'B

__ Si: M s AB  AB  AM

M

= MS; e n to nc e s

Operacion Operacio n es

mediio de AS,   v i es ~I pu n to med

c o n la lass l o n gi gitt u d es •.....

d e s egme egmen n t os

.l

'----a-- -- ~~ S e

A Ad i c i ó n ee se g m e nto s AC = AS - B C

 

S u stra st ra c ci ó n de s e g m e n t o s AB = AC - BC

a = (- b

3

+

:

{ I , L-:

AA

r 

'

· ·

· · ·

Árg rgll.l.lo o

,~OS ,~O S

B Es a qu que l a ng ng ul ul a cuya me med dida es

.r :

AOS

-c ~¡ ;a~€ a r .gu l o A 0 8 : { ~ · .~ -: -c~¡ en ,,-,~ ,~08 08= e

'

En el gráfico el L AOB es rec eciio => IJ = 90' 90',

p'

Ángulo obtuso: Es aqu aquel el angul angula a es m a y or a 9 0 y m eno r a 1 8 0 0

m . : AO B

,

·

c uy uy a m ed edida

0 .

En et triá no no ul ul o e l L AO AOS o b t u s o 9 0 < Y e 1 80 0

es 0

Seg un l a p o sició Segun sición n de s us l ados Á n g u l os o s ad adyyac en tes tes:: So r. d o s án gu l o s q ue t i ene n uuados a   d i s t i nt o e l m isis m o v é rt i c e y a d em á s e s t á n suua lado de un la do común. Si los ángu gullos AOB y SO SOC C s o n adyacent es = a+ 1 3 = O

Á ngulo nguloss con se secu cutitivv os : Se denomin denominan an asi a d os o m á s á ng u l o s q ue ue s on on a d ya ya c en en t es es c on on su i nm e di a to.

A i' B .

c.

· ~¡-/

Vérl'ce Vérl'c e: O

B

Al

En el gráfico el L AO AOB B es ag u do ~ 0° < C < 90° agu

• •

·

b

UdCS: UdCS A : :, 08

)

O

.:

oLss · oL •

El ánqu ánqulo lo es aquella fi g u r a qe qeom omet etnca nca i o r ma ma c 'a p or or 11 do s ;a~ .: ;a~osqu e ~ien ene en l m i s mo or i gen . A cichos r a yo s se res c e r - o - runa : a :- : o s f al o riri gen co- • mun mu n, vértitice ce del 8 i lg u l o . • , Re~ e~llón «uario uariorr cei a,I~ a,I ~: ;¡O A : :S A/ __

~

DE ÁNGUL ULOS OS

Según Se gún sus med edid ida as Ángu ngullo ag agu udo do:: Es aqu que el angula cuya medid dida a es mayorr que O' y me n mayo no o r q ue ue 90',

Ángulo rec ecio io:: i gu gu al al a 90' 90',

OB , Sem emiirre rreccta .•La min i ma

 l

CLA CL ASIFICAC FICACii ÓN

•

g r á f ic a

a

B

· ·

  R e pr ese n t a ci ón

En l a f igura Qp es bisecl clrriz del ang del ngul ula a AOS OS,, Ento En tonc nce es: m L AOP = m L POS

,P

O~

Si los á n ouros AOB, BOC BOC,, CO O Y O OE OE so n consec consecu ulivo s : : ; . u+l u +lh h O.. ..;; .y = m ¿A O E

E

> Á n g u lo s

o p uestos

B

A

'0':' .

.Y

 .

Si lOS ánqulc ánqulcss AOB y ',IO ',ION N so n o p uest os o s p o r el vérn érncce =m L. AOB = m L MO MON N

a. + ~ = 90'

1 ~

corrnptem co emeo eotto

c u ya

:

~ y = I~O'

I~

de O : (180 (180''

suplem sup leme ento

· ·. · .

,;r,;Wf /It :.  . :t .~~ 4> ,.q I · ' > - < ;

- O)

: ~ ~ C · ' .:.:-~

~&

¡AN ANGU GUIIOS fORM fORMAD ADO OS POR RE REms ms('(' '~~ ~~ o  o;¿,~ ;¿,~PARAl.l PARAl.l lAS·Y lAS·YUN UNA A ECTA   ,; ' -. : ' . , ,: .' . ' TRANSVERSAl TRANSVERSAl.. .   :'

I

Intern Inte rno os

Alte Al terne rness (i(iguares guares )

 

l

a=g b=h

Conru ruqados qados

a . . .h:h: :

C-t-f=1 =180 80~~

sup l ementa ementarr i o s )

I

d+e -

Á ng ng ul ul os os

~= e

d=h

b=f

c =g En ge gen nera::

  Z

t~

ot'

x 'a

- 4'

b

.

Y

~

-,

e,

Si:

:i 1 

=

Z2

,-,

X =

+ ¡J

U.

:

S i t//

L- _ _

ot'

a b

:L /f/f   o :¿2

En u na na r ec ta ta s e t om o m an l os os p u nt o s co con n secut secutii vos P; O : y R. De lal : '2?n '2?ner era a que PR + OR O R = 4 2 c m. m.~lcular el • seqrnsn seq rnsntto MR; si M •• e s p un unto medio de PO. : Res o lu lucc i ó n :

M r I p ..•.~_.'~_.'-_ .•_ . '4 ' :   _'_'__'_'_-''   Q r-X~

R

:

o

Ix=21cm 21cmll

E n u na na re c t a s e l a m a n l o s p u n t o s c o ns ns ec ec u titi v o s A; B : C, de ta tall manera que AB = 8 cm. Halla larr el valo lorr del : s e g me me n to to c uy uy os os e x trtr em em os os s on on l o s p u n t os o s me dio s d e • loss segm lo gmenlos enlos B C y A G .

I--X --X--l --l M b·

De la lig igur ura: a:

j

t ..

····aa - ······ · N

B .

.(1)

AB + 2a 2 a = 2b 8 + 2a = 2b 4=b--a 4=b ->lx=4 =41 1

· · ·a·· ····· ~

C

· · ·t

d e i zqu quii er da a derech derecha a se consi consi-deran lo s p un untos A, B, C y O, de modo que AC = a cm cm,, 3 . CO. BC 80 = a c m sa bi e nd n d o que: = 2-' Halla allarr A S

4

6-

Resolu Res olu ció ión n AB = x «>

Oalo alo::

CO

6  

1 --X -

-l ~

A I----a ----a_

C

BC

-2 ->

C on on l a l ig ur ura: ( x +

B

co  

¡

o

BC)) 3 (BC

) - a = 3(a -

p

°

n+-_ •... _-;~ ;~_ _--< --I'-- 

b

:

éle él ecmpl cmplo ozando en (1): A.8 (x + CO) + (x • AS) CO = (AS + CO + xl. x E~,?s ?s  ué1 é1ndo: ndo: x . A8 -x . CO + 2A 2AS S . CO = x . AS • x . CO + x  = x :? Red educ uciiendo: 2 . A S .

.'

1

@SO @S Ob r e u n a r ec ecii a s e d et et er er mi n an livos cuy uyas as longi gitu tud des son:

Reso soll uci ució ón

~x-<

Ma

x

13

 El Preun euniiversi ersillario 

 3=23 7+ 7+.7+

~~~~ - ~ 10~ Pi de n n:: MN = a + b + e

I

u n a I Ine a rec rectt~ s e u bi can ca n l o s p u m as consecuuvo voss A, S, C y O : de de mod o q ue ue : AS . SO + AC A C . CO CO = AO A O . SC .(1) AS.. CO = 8 AS ... (2) ... Callcular Ca

se.

f--4 --4 A

·

=2

I

Res o luci lució ón

.

~4n 4n:: ~+ ~+.. .. ..=2 =2

3(4 (4n n-x.) ~ 6n

u n a rec ecta ta s e ub i ca n lo s p u n t os o s co n s e cu t iv iv os A, B, C y º,,-siend siendo o AB = 4 Y C O = 10. 10. Hallar MN MN,, si si:: M .. bise isee ea a AC y N bise iseca ca a 85.

• :

x---  --- 

S

Geomettr ia Geome

: @ S~b S~brre

Resolució esolución n

y

O

10   7 0 '   - 10

Reso esoluc luc ió ión n S ea n

  r ('

y ~¡r l os

Dato:

: @Si

• : •

'{:::

Si e l c om om pl pl em en to de l a sustracción d e e f e ct u ar ar en· tre do doss ángu gullos e s i g u a l al suplemen plemento to d~.I~ I~~ ~suma d e d ic h o s ánqu ánqullos. Dgt gta ar m i nar u n o d e lo s á nqul nqulos. os.

án g ul ulo s,

con

90) - (l I . - ¡ 1); ::; 180

0

90'' -   90

- r-

fl = 90'

180'' 180

= 20

 f

-

> [ .\

(u +  ~)

b

-r+ a e 90'

59  

- t8C'

56~ 56 ~ 

y:::

i:::

EF../ AS, cal EF calcu cula larr

Reso esoll u c ión

Y.

~ = ± - - - - - - :: .i;

40

Como mo:: :: ::(1// (1//

.¿, // :t,

x + 50' = 180 80  

Ix

=

130 30''1

Res ol u ci ció ón

De la fig figura ura::

(2)) (2

x = 20 

2a + 20

I

c u an and d o   a  t o m e s u m áxi m o

-: (1 L . • . •

90'' a + 9 + x = 90

- x) + x =.'t80 80  

v al o r en-

·

: @En

zq..« L 4er. 4zq 60   = 20 60 20'' + x

a b

en(1 en( 1): ):a a>4a >4a--180 

;[,

+ - ~~ - - - - - - - - - - - - - +- ~,

D

  '1  

:~

: k //::¿ I

... (l)

(O-a)

Como: a - b > O ~

Resol uc i ón

Resol Res olu u c ió n

m ed i d a d e u n án gu gu lo lo e s x   , s i l a d i f ere eren n ci a entre :

S ie n d o

tres ángul ulo os

: l

I

x = 165 165''

x = 90°

efectuann d o : efectua

La

•

: @S @Sii

del enun unc ciad ado o:

tiene

Sao.

• .

Reemp eempllazando

I

De don dond de:

0= 180 180'' - 20 + t3 30' O=

@Ha @H allar ar·· x ,si:tll tll// ,

x-90 90'' 3(180 180--,)· 40 =3= 5

.(1)

15

Preu eun n l vers versna nano no''   Cl Pr

... (2)

6t 

(2) en ( 1) 1)::

61°+x +x= =90 90°° l a f i g u ra ra,, c alcula lcularr

~

~x  . ~x

Si: a + O = 260' Y T // Q

I

·

-----------------------------------------_

T

Ress olu c i ó n Re De la (ig igu ura: (2a - b) + (a + b) + (a - b) = 180 80'' 4a -t80 80'' = b ... (1)

. . . _...;..------------------_

.~.~

\Q i4 í

.

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