Geometria Sem 8

GEOMETRÍA TEMA 8

PIRÁMIDE – CONO – ESFERA SNI3G8

DESARROLLO DEL TEMA

PIRÁMIDE I.

DEFINICIÓN Es aquel poliedro en el cual una de sus caras es una región poligonal cualquiera denominada base y sus otras caras son regiones triangulares denominadas caras laterales, todas ellas tienen un vértice en común al cual se le denomina vértice o cúspide de la pirámide. P

Arista lateral Altura

tres, cuatro, cinco, ... lados respectivamente; tal como se muestra en la siguiente figura.

Vértice

h

Cara lateral C

A Arista básica

E

o

II. PIRÁMIDE REGULAR

D Base

En la figura se muestra una pirámide pentagonal P – ABCDE.

A. Área de la superficie lateral (ASL) A SL = suma de la áreas de las caras laterales

A. ¿Qué es una pirámide regular? Es aquella pirámide cuya base está limitada por un polígono regular (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, etc.) y, además, tiene todas sus aristas laterales de igual longitud. En toda pirámide regular las caras laterales son congruentes y el pie de su altura es el centro de la base.

B. Área de la superficie total (AST) B. Apotema de la pirámide regular (Ap)

AST = ASL + Abase

Es la perpendicular trazada del vértice de la pirámide hacia una arista básica.

Abase: área de la base

C. Volumen (V)

M V=

(Abase ).h 3

H

h: longitud de la altura de la pirámide

C

Observación

B

¿Cómo se nombra una pirámide? De acuerdo al número de lados de su base las pi rámides pueden ser: tri angul ares, cuadrangulares, pentagonales, ... si su base tiene

SAN MARCOS REPASO 2014 – I

Ap D E

O F

A

N

ap En la figura se muestra una pirámide hexagonal regular M – ABCDEF.

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GEOMETRÍA

TEMA 8

PIRÁMIDE – CONO – ESFERA

• Ap: apotema de la pirámide (MN = Ap).

A. Altura

• ap: apotema del polígono regular ABCDEF. •

O: centro de la base.

•

MO : altura de la pirámide, O es el pie de dicha altura.

•

α : medida del diedro formado por una cara lateral con la base.

•

β : medida del ángulo formado por una arista lateral con la base.

h=

a 6 3

B. Volumen V=

MON: aplicando el teorema de Pitágoras.

a3 2 12

III. PIRÁMIDE IRREGULAR ¿Qué es una pirámide irregular?

(AP)2 = (ap)2 + H2

Es aquella que no tiene todas las características de una pirámide regular.

H: longitud de la altura de la pirámide. 1. Área de la superficie lateral ASL = p(Ap)

p: semiperímetro de la base 2. Área de la superficie total

En el gráfico se muestra las siguientes pirámides irregulares: • Pirámide pentagonal M – ABCDE. • Pirámide cuadrangular M – ABCF • Pirámide pentagonal M – AFCDE En cada una de las pirámides se aplica las siguientes fórmulas:

AST = ASL + Abase Abase: área de la base 3. Volumen (V) V=

(A base ).H 3

1. Área de la superficie lateral (ASL)

A SL = suma de la áreas de las caras laterales

h: longitud de la altura de la pirámide

2. Área de la superficie total (AST)

Observación

AST = A SL +A base

¿Qué es un tetraedro regular?

Abase: área de la base

Es aquella pirámide regular cuyas cuatro caras son regiones triangulares equiláteras.

3. Volumen (V)

Notación

V=

Tetraedro regular P-ABC

(Abase ).h 3

h: longitud de la altura de las pirámides irregulares.

CONO I.

DEFINICIÓN El estudio sistemático de las pirámides y el conocimiento de la circunferencia y algunas otras líneas curvas, han conllevado a la obtención y subsiguiente estudio de otras figuras, entre las cuales destaca el cono, el cual es muy parecido a una pirámide, con la diferencia de que su base es una región curva en lugar de una poligonal.

TEMA 8

GEOMETRÍA

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SAN MARCOS REPASO 2014 – I

PIRÁMIDE – CONO – ESFERA

II. CONO DE REVOLUCIÓN O CONO CIRCULAR RECTO

D. Volumen (V)  πr 2   .h V=  3   

A. ¿Qué es un cono de revolución? Es aquel sólido geométrico generado por una región triangular rectangular al girar 360° en torno a uno de sus catetos.

h: longitud de la altura

Observación Desarrollo de la superficie de un cono de revolución.

O: centro de la base del cono r: radio de la base

La superficie lateral es equivalente con su respectivo desarrollo, este es un sector circular cuyo centro es el vértice del cono y tiene por radio a la generatriz. ASL < > Asector

B. Área de la superficie lateral (ASL) A SL=πrg

g: longitud de la generatriz

C. Área de la superficie total (AST)

⇒ πrg =

A ST =A SL +Abase

θπr 2 360°

⇒

r θ =  .360°  g

Abase: área de la base

ESFERA I.

DEFINICIÓN

II. FÓRMULAS

Es el sólido que se genera cuando se hace girar 360° un semicírculo alrededor de su diámetro.

A. Área de la superficie esférica ASE = 4π R 2

B. Volumen V=

4 π R3 3

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1 En una pirámide cuadrangular regular, la arista lateral mide 8 cm y el radio de la circunferencia circunscrita a la base

A ) 28 2 D) 26 2

B) 30 4 E) 35 7

C) 32 7

h2 = 64 – 8 → 56 h = 2 14 Área lateral de la pirámide:

Resolución:

1 SL = 4  .(4 2)(2 14 )  2 

mide 4 cm. Calcula el área lateral de la pirámide.

∴ SL = 32 7

Nivel Fácil

Respuesta: C) 32 7

UNMSM 2001

SAN MARCOS REPASO 2014 – I

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GEOMETRÍA

TEMA 8

PIRÁMIDE – CONO – ESFERA

Problema 2

S2 =

El área total de una pirámide regular pentagonal es 45 m2 y su área lateral 2

es 25 m . Calcula la medida del ángulo

25 → S2 = 5 m2 5

Luego: S1 = S2 .Cosθ  

D) 110 u3

Resolución:

53

Respuesta: D) 37º

/2

UNMSM 2003

B) 20º D) 37º

C) 140 u3

⇒ θ = 37°

NIVEL INTERMEDIO

A ) 15º C) 36º E) 45º

B) 124 u3

E) 130 u3

4 = 5. Cosθ → Cosθ = 4 5

diedro que forma una cara lateral con la base de la pirámide.

A) 144 u3

2r

Problema 3 2

En la figura, el cilindro tiene 54 π cm de volumen y altura igual al diámetro de su base. Si la altura del cono es el doble de la altura del cilindro, calcula el volumen del cono.

Resolución:

4r

r

r

Por dato: πr 2 (2r) = 54π

r 3 = 27 → r = 3 Radio del cono: R = 2r Volumen del cono:

V=

∴ V = 144π u3

S T = S1 + SB

⇒ SB = 45 – 25 = 20 m2

UNMSM 2004

Pero: S1 = 20 → S1 = 4 m 2 5

TEMA 8

1 π(2.3)2 (4.3) 3

GEOMETRÍA

NIVEL INTERMEDIO

4

Respuesta: A) 144 π u

SAN MARCOS REPASO 2014 – I