Geometria poligoanelor. Arii

Geometria poligoanelor. Arii

CUPRINS

INTRODUCERE

3

CAPITOLUL I. SUPRAFEŢE POLIGONALE

6

I.1. Poligoane. Suprafeţe poligonale convexe

6

I.2. Descompunerea suprafeţelor poligonale

12

I.3. Echivalenţa pe mulţimea suprafeţelor poligonale

20

CAPITOLUL II. ARIA SUPRAFEŢELOR POLIGONALE

30

II.1. Aria suprafeţelor poligonale

30

II.2. Calculul ariilor suprafeţelor poligonale

41

II.3. Suprafeţe măsurabile. Aria discului

45

II.4. Compararea ariilor

51

CAPITOLUL III. ASPECTE METODICE PRIVIND PREDAREA GEOMETRIEI

60

III.1. Aspecte psiho-pedagogice ale predării geometriei

60

III.2. Aspecte metodice privind predarea noţiunii de arie în

65

gimnaziu III.3. Probleme cu arii

71

BIBLIOGRAFIE

79

ANEXE

81

2

Geometria poligoanelor. Arii

INTRODUCERE Ca ştiinţă, geometria îşi are originile în antichitate. Primele cercetări de geometrie, consemnate în documente, datează de patru mii de ani şi erau destinate măsurătorilor de teren, construcţiilor şi calculelor astronomice. De aici şi cuvântul geometrie – măsurarea pământului. Una din primele cărţi de geometrie, rămasă din acea perioadă este semnată de matematicianul Ahmes, carte ce tratează despre dreptunghiuri, triunghiuri isoscele şi unghiuri şi care prezintă şi o primă relaţie ce permite calculul ariei cercului şi anume aria unui cerc de rază R poate fi aproximată prin aria unui pătrat de latură

16 9

R (ceea ce conduce la o aproximare a

numărului egală cu 3,160… ). Să mai amintim şi faptul că vechii egipteni cunoşteau că un triunghi cu laturile 3, 4, 5, unităţi este dreptunghic şi foloseau acest triunghi pentru construcţia dreptelor perpendiculare şi în particular pentru fixarea direcţiei Est-Vest. Preocupări în dezvoltarea matematicii, în general, şi a geometriei, în mod deosebit, au avut Thales din Milet (640-548 î.e.n.), Pitagora (580-500 î.e.n.), Aristotel (384-322 î.e.n.), Arhimede ( 287-212 î.e.n.), Euclid (300 î.e.n.) şi foarte mulţi alţii. Reţinem aportul deosebit ce la avut Euclid în studiul geometriei prin lucrarea sa „Elemente”, care cuprinde 13 cărţi ce conţin rezultate de geometrie şi, deşi nu în totalitate sau sub aceeaşi formă, unele din axiomele sau postulatele formulate de el (celebrul postulat V) se regăsesc printre axiomele geometriei de azi pentru că la el apare prima dată formularea postulatului al Vlea, postulat ce stă la baza geometriei studiate în şcoală; aceasta poartă numele – geometrie euclidiană. Printre problemele studiate în prima carte găsim şi câteva legate de teoria ariilor, egalitatea lor. Scopul lucrării este de a ordona şi 3

Geometria poligoanelor. Arii

demonstra teoremele descoperite de predecesorii săi. Aici a fost iniţiată şi tradiţia de a indica sfârşitul unei demonstraţii prin cuvintele “Quad erat demonstrandum” (ceea ce trebuia demonstrat ). După cum am spus, lui Arhimede i se datorează numeroase rezultate, dar nu numai în geometrie. O proprietate a mulţimii numerelor reale, cunoscută sub numele de „axioma lui Arhimede” stă la baza teoriei măsurării – în particular, teoria ariilor. Iată forma sub care apare ea azi: „pentru orice număr real x există un număr întreg n unic, astfel încât n ≤ x < n+1” (acest număr este numit partea întreagă a lui x ). Dintre matematicienii care s-au evidenţiat de-a lungul timpului în studiul geometriei reţinem contribuţia lui D. Hilbert (1862-1943 ) care, în lucrarea sa „Grundlagen der Geometrie”, elaborează prima axiomatizare a geometriei euclidiene conform cu exigenţele ştiinţei moderne. În şcoală, studiul axiomatic al geometriei se face astăzi după modelul dat de G. D. Birkhoff (1884-1944), matematician american, care prezintă un sistem axiomatic uşor modificat ca acela al lui Hilbert. El este în esenţă „Euclid aduis la zi”, adică sistemul lui Euclid din Elemente completat şi prezentat ca un sistem axiomatic, semiformalizat, motiv pentru care poate fi numit „sistemul axiomatic” Euclid-Hilbert. Cunoscând acum sistemele axiomatice, care toate conduc la construcţia, pe căi diferite, a geometriei euclidiene, este momentul să menţionăm unele concluzii referitoare la o analiză comparativă a lor. Aceasta o vom face din două puncte de vedere şi anume: primul, considerând aceste sisteme axiomatice ca şi sisteme axiomatice semiformalizate, în cadrul problemelor generale, şi al doilea în legătură cu aspectele metodologice pe care le ridică predarea geometriei în învăţământul gimnazial şi liceal la noi în ţară. Referitor la aspectele metodice ale predării geometriei euclidiene vis-àvis aceste sisteme axiomatice, vom menţiona mai întâi faptul că la noi în ţară,

4

Geometria poligoanelor. Arii

până în anul 1978, geometria a fost predată pe baze neaxiomatice. Noţiunile primare erau „cunoscute” sau „descrise” intuitiv, principiile fundamentale erau introduse atunci când erau menţionate ca atare, erau prezentate ca rezultate „intuitiv evidente”. Se obţinea astfel o teorie matematică, pornită de pe baze intuitive şi care se constituia într-o construcţie logico-deductivă coerentă şi într-un grad abstract. Acest mod de a face geometrie este esenţial cel din Elementele lui Euclid. Oricare ar fi sistemul axiomatic care ar sta la baza predării geometriei, considerăm că următoarele aspecte se pot lua în considerare, în primul rând înţelegerea punctului de vedere axiomatic în studiul geometriei euclidiene şi predarea axiomatică a geometriei trebuie realizată concret, tratarea este logicodeductivă şi sistematică, combinată permanent cu interpretări intuitive. În conformitate cu acesta şi cu manualul, vom nota dreapta care trece prin două puncte A şi B cu AB, segmentul închis determinat de aceasta cu [AB], segmentul deschis cu (AB) şi atunci când nu e pericol de confuzii distanţa dintre punctul A şi B cu AB. Programa de matematică pentru clasa a VII-a prevede studiul axiomatic şi proprietăţile ariilor suprafeţelor plane. Manualul oferă un material bogat, atât teoretic cât şi practic pentru acest capitol. Studiul ariilor nu înseamnă numai stabilirea unor formule de calcul, ci şi demonstrarea unor teoreme importante sau rezolvarea unor probleme de geometrie plană. În primul capitol am prezentat suprafeţele poligonale, descompunerea în suprafeţe triunghiulare şi echivalentele ce le putem stabili între acestea. Capitolul al doilea oferă studiul axiomatic al ariei suprafeţelor poligonale, cu folosirea lor la studiul ariei discului şi cu aplicaţii practice. Următorul capitol este axat pe studiul metodic al noţiunii de arie, probleme cu arii şi un test de evaluare a cunoştinţelor elevilor referitor la capitolul arii.

5

Geometria poligoanelor. Arii

CAPITOLUL I. SUPRAFEŢE POLIGONALE

I.1. Poligoane. Suprafeţe poligonale convexe

Definiţia 1.1.1.Se numeşte mulţime convexă o mulţime de puncte într-un plan care are următoarea proprietate: dacă P, Q sunt două puncte distincte ale mulţimii M, atunci M conţine toate punctele segmentului (PQ), adică P, Q∈ M

⇒ (PQ) ⊂ M. Exemple de mulţimi convexe: Exemplul 1. Mulţimea vidă şi mulţimea formată dintr-un singur punct sunt considerate mulţimi convexe. O mulţime formată dintr-un număr finit n ( n > 1 ) de puncte este convexă. Exemplul 2. Orice dreaptă, semidreaptă, segment sunt mulţimi convexe. Exemplul 3. Un plan, semiplan sunt mulţimi convexe. În figura 1.1 deosebim două tipuri de mulţimi:

Figura 1.1.

6

Geometria poligoanelor. Arii

Discul cu centrul în O şi raza R ( ex. a ) este mulţime convexă; exemplele b) şi c) nu sunt mulţimi convexe. Deducem, deci, că pentru a arăta că o mulţime este convexă este suficient să punem în evidenţă două puncte S, T ale acestei mulţimi pentru care (ST) este inclus în mulţime. Teorema 1.1.1

Intersecţia a două mulţimi convexe este o mulţime

convexă. Demonstraţie:

Fie M1 şi M2 două mulţimi convexe şi S, T

∈ M1 ∩

M2. Atunci S, T ∈ M1 şi S, T ∈ M2 . Cum M1 şi M2 sunt mulţimi convexe, avem (ST)

⊂ M1 şi (ST) ⊂ M2 . De aici deducem (ST) ⊂ M1



M2 , ceea ce ne arată

că şi M1 ∩ M2 este mulţime convexă. Generalizare.

Orice intersecţie de mulţimi convexe este o mulţime

convexă. În baza acestei teoreme, interiorul unui unghi, interiorul unui triunghi sunt mulţimi convexe. Observaţia 1.

Exemplele din figura 1.1 b), c) ne arată că reuniunea

a două (sau mai multe) mulţimi convexe nu este în general o mulţime convexă. Definiţia 1.1.2. Fie P1, P2, … , Pn, Pn+1 n+1 puncte situate într-un plan. Se numeşte linie poligonală (de la P1 la Pn+1) mulţimea punctelor L = [P1P2] U… U [PnPn+1]. Punctele P1, P2, … , Pn, Pn+1 se numesc vârfurile liniei poligonale L, iar segmentele [P1P2], [P2P3], …, [PnPn+1] se numesc laturile liniei L. Două vârfuri Pk, Pk+1 se numesc vârfuri vecine (consecutive, alăturate), iar laturile [Pk-1Pk], [PkPk+1] laturi vecine ( consecutive, alăturate ). Definiţia 1.1.3

O linie poligonală se numeşte simplă dacă oricare

două laturi vecine sunt disjuncte. 7

Geometria poligoanelor. Arii

Exemple de linii poligonale:

a)

c)

b)

d)

e)

Figura 1.2 Exemplele din figura 1.2. c); d); e); reprezintă linii poligonale simple. Definiţia 1.1.4. O linie poligonală P=P1P2 . . . Pn Pn +1 se numeşte poligon (cu n laturi) dacă : Pn+1 = P1 (adică P este o linie poligonală închisă)

i.

ii.

este simplă

iii.

oricare două laturi nu aparţin aceleaşi drepte

(laturi vecine). Notăm un poligon P cu vârfurile P1,P2,. . . , Pn+1 cu P=P1 P2 . . .Pn sau mai simplu P. Exemplele din figura 1.2. e),d) reprezintă un poligon cu 4 laturi (vârfuri) respectiv 5 laturi (vârfuri). De astfel, etimologia cuvântului poligon este grecească, polys =numeros, gonia, gonos =unghi, unghiuri. 8

Geometria poligoanelor. Arii

In concordantă cu acestea este şi utilizarea prescurtării n-gon pentru un poligon cu n vârfuri (pentagon, hexagon, octogon etc.). Fac excepţie poligoanele cu trei unghiuri (triunghiuri) sau cu patru unghiuri (patrulater). Definiţia 1.1.5. Numim frontiera poligonului P mulţimea Fr P alcătuită din vârfuri şi din punctele interioare laturilor poligonului P, adică ceea ce apare când desenăm poligonul P. Definiţia 1. 1.6. Segmentul [Pi Pj ]care nu sunt laturi se numesc diagonale. Definiţia 1. 1. 7. Un poligon P este convex dacă oricare ar fi [ Pk Pk+1] o latură a sa există un semiplan delimitat de dreapta Pk Pk+1 care conţine toate vârfurile sale cu excepţia vârfurilor Pk şi Pk+1.

a)

b)

EMBED PBrush c)

Figura 1.3 Exemplele a) şi b) din figura 1.3 reprezintă poligoane convexe ; poligonul c) nu este convex. 9

Geometria poligoanelor. Arii

Definiţia 1. 1. 8. Fie P un poligon convex. Se defineşte interiorul poligonului convex ca fiind intersecţia semiplanelor delimitate de suporturile laturilor poligonului şi care conţin vârfurile nesituate pe laturile respective (figura 1.4).

EMBED PBrush

Figura 1.4 Teorema 1. 1. 2.

Un poligon convex nu este o mulţime convexă, dar

interiorul unui poligon convex este o mulţime convexă. Demonstraţia este imediată, dacă ţinem seama de definiţia 1.1.2. şi 1.1.4. şi observaţia 1 (în cazul poligonului) şi pentru interiorul poligonului de definiţia 1.1.8. şi teorema 1.1.1. Reamintim în continuare câteva clase de poligoane des utilizate în practică. Definiţia 1.1.9 1. Patrulaterul cu două laturi paralele se numeşte trapez; 2. Patrulaterul cu laturile paralele două câte două se numeşte

paralelogram; 3. Paralelogramul cu două laturi vecine perpendiculare se

numeşte dreptunghi; 4. Paralelogramul cu laturile congruente se numeşte romb; 5. Un romb care este dreptunghi se numeşte pătrat.

10

Geometria poligoanelor. Arii

Figura 1.5 Definiţia 1.1.10. Un poligon convex se numeşte regulat dacă toate laturile şi unghiurile sunt congruente. Dintre toate poligoanele regulate cu denumiri consacrate amintim triunghiul echilateral şi pătratul. Pentru n laturi ( n > 4) se va folosi terminologia: pentagon regulat etc. Observaţia 2. Orice poligon regulat este convex şi inscriptibil într-un cerc şi se poate circumscrie unui cerc. Definiţia 1.1.11. Pentru orice poligon regulat, definim apotema ca fiind distanţa de la centru cercului circumscris la laturi ( sau raza cercului înscris). Definiţia 1.1.12. Se numeşte suprafaţă poligonală [P]. reuniunea unui poligon convex P cu interiorul sau Int (P), adică [P]=def P

11

∪ Int P. Poligonul P

Geometria poligoanelor. Arii

se zice că limitează pe [ P] (sau este frontiera lui [P] ), iar Int (P) se mai numeşte interiorul lui [P]. O suprafaţă poligonală cu trei laturi se numeşte suprafaţă trilaterală (triunghiulară), cu patru laturi suprafaţă patrulateră, etc. Definiţia 1.1.13. Se numeşte suprafaţă poligonală o mulţime de puncte din plan, care este reuniunea unui număr finit de suprafeţe poligonale convexe, acestea având două câte două interioarele disjuncte.

I.2. Descompunerea suprafeţelor poligonale

Definiţia triunghiurilor congruente (sau, în general, a poligoanelor congruente) s-a introdus pornind de la axiomele de congruenţă. Intuitiv două poligoane sunt congruente dacă prin suprapunere ele coincid exact, în toate părţile lor (laturi, unghiuri). In acest caz elementele lor congruente se numesc omoloage. Intuiţia ne arată că va trebui să determinăm o corespondenţă bijectivă între elementele omoloage ale celor două poligoane pentru a preciza congruenţa lor.

12

Geometria poligoanelor. Arii

Figura 1.6 De

exemplu, în

figura 1.6. poligoanele

ABCD si

EFGH sunt

congruente dar nu în această ordine. Corespondenţa între elementele omoloage este A ≡ F ; B ≡ G ; C ≡ H şi D ≡ E şi respectiv,

( AB ) ≡ ( FG ) , ( BC ) ≡ (GH ) ,

(CD ) ≡ ( HE ) , ( AD ) ≡ ( EF ) .

Prin urmare, conform acestei corespondenţe si ţinând

seama de

elementele omoloage corespondenţa se mai scrie ABCD ≡ FGHE. Se pune problema cum putem stabili congruenţa suprafeţelor poligonale (sau, mai general, asemănarea lor). Fie deci

M şi M’ două

mulţimi de puncte

din plan. Definiţia 1.2.1.

M

M'

Mulţimile

M

şi

M'

sunt congruente si vom nota

dacă există o aplicaţie f : M → M astfel ca pentru orice pereche

de puncte P , Q

∈ M să avem ( P Q ) ≡ ( f ( P) f (Q ) ).

Funcţia f cu această proprietate se numeşte izometrie. ( fig.1.7).

Figura 1.7

13

Geometria poligoanelor. Arii

Definiţia 1.2.2. Mulţimile

M ~M’

M şi M’

sunt asemenea şi vom nota

dacă există un număr k > 0 şi o funcţie bijectivă f :

astfel ca pentru orice pereche de puncte P, Q

M → M’

∈ M să avem :

PQ= kf ( P ) f ( Q ). Funcţia f cu această proprietate se numeşte asemănare, iar numărul k se numeşte raport de asemănare. Să facem observaţia că pentru k = 1 avem congruenţa. ( fig.1.8. )

EMBED PBrush

Figura 1.8 Teorema 1.2.1. Dacă triunghiurile ABC şi A’B’C’ sunt congruente, atunci [ ABC ]

≡

[ A’B’C’].

Demonstraţie. Fie Δ ABC şi Δ A’B’C’ şi fie E, F ∈ Int ( ABC), (fig. 1.9).

Figura 1.9

14

Geometria poligoanelor. Arii

Construim aplicaţia f : [ABC] → [A’B’C’] definită astfel: E’ =f ( E), F’=f(F) şi BAE

≡

≡

B’A’E’, CAP

C’A’P’ , (AE)

≡

(A’E’), (AF)

≡

(A’F’),

(în baza axiomei de construcţie a unghiurilor şi segmentelor este asigurată unicitatea acestei corespondente). Avem astfel definită o bijecţie. Din construcţie şi din ipoteză deducem că AEF şi A’E’F’ de unde (EF) = (f(E)f(F)). Deci [ABC] ≡ [A’B’C’]. Definitia 1.2.3. Numim transversala într-un triunghi orice segment ce uneşte un vârf cu un punct situat pe latura opusă. In figura 1.10. AM este transversala în ΔABC. A

B

M

C Figura 1.10

Observaţia 3. Fie P un poligon simplu şi fie A, B ∈ P. O linie poligonală care leagă punctele A şi B situată

in interiorul poligonului P determină

poligoanele P1 si P2 ale căror suprafeţe poligonale sunt disjuncte (figura 1.11).

Figura 1.11 Vom spune că suprafaţa poligonală [P] a fost descompusă prin suprafeţe poligonale [P1] si [P2]. Avem deci [P] = [P1] U [P2].

15

Geometria poligoanelor. Arii

Convenţie. Pentru simplificarea scrierilor, în cele ce urmează vom mai folosi si notaţia (pentru descompunere). În baza observaţiei de mai sus, din definiţia 1.2.3. rezultă că : [ABC] = [AMB] + [AMC] Se poate deduce imediat că putem repeta de mai multe ori acest procedeu; operaţia se va numi descompunere transversală a suprafeţei poligonale trilaterale (a triunghiului).

Figura 1.12 [ABC] = [T1] + [T2] + [T3] + [T4] sau 4

[ABC] =

∑T i i =1

Putem astfel generaliza operaţia de descompunere transversală şi să considerăm o descompunere transversală a suprafeţei triunghiulare [ABC] în 4

familia {[Ti]} i = 1,…,n, astfel se poate scrie [ABC]= ∑T i. i =1

16

Geometria poligoanelor. Arii

Observaţia 4. Modul de a considera o descompunere transversală a unui triunghi nu este unic. In figura 1.12. am considerat transversala AM. Putem însă să considerăm transversala BN

şi

să

obţinem

transversală

în

descompunerea

{[ Tk]}

k=1,…,m

şi să

scriem [ABC]=Σ [T K ]. Adică, pentru aceleaşi triunghiuri ABC putem

determina

mai

multe

descompuneri transversale ale suprafeţei [ABC]. Firesc, ne punem problema posibilităţii descompuneri unei suprafeţe poligonale oarecare şi mai ales forma suprafeţelor poligonale care oferă cea mai avantajoasă descompunere. Forma este cea triunghiulară, observaţie intuitivă. Deci am putea descompune o suprafaţă poligonală în suprafeţe triunghiulare ? Definiţia 1.2.4. Se numeşte descompunere triunghiulară a suprafeţei poligonale [P] , o familie finită de suprafeţe triunghiulare {[Ti]}i=1,…,n. care verifică următoarele condiţii: n

U[Ti ]

∑[T ] )

[P] =

ii.

interioarele a oricăror două triunghiuri oarecare sunt disjuncte:

i =1

( sau [P] =

4

i.

i =1

i

Int (Ti) ∩Int (Tj) = Φ ; i ≠ j iii.

fiecare punct interior unui triunghi Ti este interior lui P, i = 1,… , n.

iv.

fiecare punct interior lui P este interior sau pe un triunghi Ti, i = 1, … , n.

17

Geometria poligoanelor. Arii

Astfel, [P] se exprimă ca reuniune de suprafeţe triunghiulare cu interioarele disjuncte . Definiţie 1.2.5.

Fie [P] o suprafaţă poligonală şi fie {[ Ti ]}i=1,…,n o

descompunere triunghiulară. Dacă fiecare triunghi Ti permite o descompunere transversală în suprafeţe triunghiulare [Ti ,k] se obţine o altă descompunere triunghiulară a lui [P]. Spunem că descompunerea {[Ti,k]}i,k este mai fină decât descompunerea {[Ti]} i considerată. (figura 1.13.).

Figura 1.13 Putem realiza o descompunere, imediată, triunghiulară a unui poligon convex dacă ducem diagonalele dintr-unul din vârfuri, în acelaşi timp să observăm că descompunerea nu este unică ( figura 1.14 )

Figura 1.14 În ambele cazuri observăm că

descompunerea este realizată din

triunghiuri ale căror vârfuri sunt vârfuri ale poligonului P . 18

Geometria poligoanelor. Arii

Aceasta ne permite să enunţăm: Teorema 1.2.2. Fiecare suprafaţă poligonală [ P ] se poate descompune în suprafeţe triunghiulare [ Ti ], astfel încât fiecare vârf al fiecărui triunghi Ti să fie un vârf al poligonului P . Teorema 1.2.3. O suprafaţă poligonală convexă cu n laturi ( n > 3) se poate descompune în n-2 suprafeţe triunghiulare. Demonstraţie. Arătăm mai întâi ca o suprafaţă poligonală convexă cu n laturi se descompune într-o suprafaţă triunghiulară şi o suprafaţă poligonală convexă cu n-1 laturi.

Figura 1.15 Se consideră poligonul convex P = P1P2…Pn şi dreapta P1 P3 (fig.1.15.). O dreaptă care nu este suportul unei laturi a lui P are cel mult două puncte cu P, prin urmare dreapta P1 P3 intersectează poligonul P numai în P1 si P3. Rezultă că punctele P4, P5 ,…,Pn sunt de aceeaşi parte a lui P1 P 3 , ceea ce înseamnă că P1P3P4 …Pn este un poligon convex. Deoarece P3 se află în interiorul unghiului P2 P1 Pn rezultă că si P2 si Pn se află deoparte si de alta a dreptei P1 P 3 , adică interiorul triunghiului P1 P2P3 si poligonul P1 P 3 P 4 …Pn se află în semiplane opuse având astfel intersecţia vidă. Pe de altă parte este evident că: [P]=[P1P2P3 ] + [P1P3P4…Pn] Aplicând succesiv acest rezultat suprafeţelor poligonale [ P1P3P4…Pn] etc., care au câte o latură mai puţin decât precedenta se obţine teorema.

19

Geometria poligoanelor. Arii

Consecinţă. Orice suprafaţă poligonală poate fi descompusă în suprafeţe triunghiulare. (fig.1.16.).

EMBED PBrush

Figura 1.16

I.3. Echivalenţe pe mulţimea suprafeţelor poligonale

Definitia 1.3.1.

Două suprafeţe ( P ) şi ( P’) sunt echivalente aditiv

dacă pot fi descompuse într-un număr finit de suprafeţe triunghiulare congruente două câte două . Vom nota această relaţie [P] ~ [P’] . Iată câteva suprafeţe poligonale aditiv echivalente (figura 1.17).

∆ABD ≡ ∆B ' A' D' ∆BDC ≡ ∆B ' C ' D '

20

Geometria poligoanelor. Arii

Figura 1.17. [ABCD]~[A’B’C’D’] Teorema 1.3.1. Dacă două poligoane convexe sunt congruente, atunci suprafeţele poligonale respective sunt aditiv echivalente. Demonstraţie . Fie poligoanele P = P1P2…Pn si P = P1P2…Pn cu P

P’.

Desigur putem considera pentru fiecare poligon mai multe descompuneri. Fie descompunerea obţinută ducând diagonalele din vârfurile omoloage P1 si P’1. În Δ P1P2P3 si în Δ P’1P’2P’3 avem ( P1 P2 )≡ (P’1P’2), (P2P3)≡ (P'2 P’3) : P1 P2 P3 ≡ P’1 P’2 P’3 Deci,

de

aici

rezultă

congruenta

celor

două

triunghiuri,

Δ P1 P2 P3 ≡ ΔP’1 P2’P’3 . Analog pentru celelalte triunghiuri, în baza teoremei 1. 2. 1. vom putea scrie [ P1 P2 P3 ]≡ [ P’1 P’2 P’3] şi de aici va rezulta [P]≡ [P’]. Observaţia 5. In baza acestei teoreme, definiţie 1. 3. 1. se mai poate formula teorema şi astfel : Două suprafeţe poligonale [P] şi [P’] sunt aditiv echivalente dacă se pot descompune în suprafeţe poligonale congruente două câte două . Definiţia 1.3.2.

Două suprafeţe poligonale [ P ] şi [ Q ]

echivalente prin complement dacă există suprafeţe poligonale : 21

sunt

Geometria poligoanelor. Arii

{[ Pi ]} i=1,n si {[ Qi ]} i=1,n , Pi Qi , i=1,n şi n

[P]+

∑ i =1

n

[Pi ] ~ [ Q ] +

∑ i =1

[ Qi ] .

Vom nota această relaţie [ P ] ~ [ Q ] Înainte de a trece la enunţul câtorva din proprietăţile acestor relaţii, să vedem câteva exemple. Exemplul 1. Două paralelograme cu baze şi înălţimi respectiv egale sunt echivalente prin complement sau aditiv echivalente . Demonstraţie. Fie paralelogramele ABCD şi ABEF cu baza AB şi aceeaşi înălţime h. Deosebim două cazuri: Cazul 1. E∈( DC). Avem atunci [ABCD] = [ ABED] + [BCE] [ ABEF] = [ABED] + [ADF] ΔBCE ≡ ΔADF

Din aceste rezultate, conform definiţiei 1. 3. 1. avem [ABCD]≡ [ABEF]. Cazul 2. E, F ∉ ( CD) Avem relaţiile [ABCD]+[EDH ] = [ABCEH ] [ABEF] + [ EDH ] = [ABHDF] (1) Pe de altă parte avem: [ABHDF] = [ABH] + [ ADF ] [ABCEH]=[ABH ]+[BCE ] ΔBCE ≡ ΔADF

22

(2)

Geometria poligoanelor. Arii

Din relaţiile ( 1 ) si ( 2 ) rezultă deci [ ABHDF ]≡ [ABCEH ] şi de aici în baza definiţiei 1. 3. 2. avem [ABCD] ≡ [ ABEF ] . Consecinţă. Orice paralelogram este aditiv echivalent sau echivalent prin complement cu un dreptunghi având dimensiunile egale cu baza şi înălţimea paralelogramului . Exemplu 2. Orice triunghi este aditiv echivalent cu un paralelogram având aceeaşi bază şi înălţimea jumătate din înălţimea triunghiului dat . Demonstraţie. Fie ΔABC cu înălţimea AD . Fie M mijlocul lui AD. Ducem prin M o paralelă la BC si considerăm punctele H, F de intersecţie a acestei paralele cu laturile (AB) şi (AC).Alegem E∈HF în aşa fel încât F∈(HE) şi (HE) (BC). În baza construcţiei avem: ΔCEF ≡ ΔAMF [BCEH ] = [ BCFH] + [CEF ] [ ABC ] = [ BCFH ] + [AHF]

De aici putem scrie [ABC] ~ [ BCEH] Consecinţă. Orice suprafaţă triunghiulară este aditiv echivalentă cu o suprafaţă dreptunghiulară având dimensiunile egale cu baza şi jumătate din înălţimea triunghiului. Exemplu 3.

Fie patrulaterele

P=ABCD , Q≠A’B’C’D’ , şi

R=A”B”C”D” astfel ca DB ⊥ AB , A’D’⊥A’B’ , ( AB ) (DB), (A”B”)

2(A’D) , (A’B’)

2(A”D”) si A”D”

A”B”.

În aceste condiţii [ P]~ [Q] şi [Q] ~ [R].Atunci [P]~ [R].

23

(A’B’) , (A’D’)

Geometria poligoanelor. Arii

[P]~[Q] pentru ca [P] = [ABD] +[DBC] [Q] = [A’B’C’]+[A’C’D’] Δ ABC

ΔA’B’C’,ΔBDC

ΔB’D’C’

[Q]~[R] pentru ca [Q]=[A’N’M’] + [A’M’D’] + [N’M’B’] + [N’C’B’] [R]=[B”C”M”] + [N”B”M”] + [A”N”M”] + [A”B”M”] ΔA’M’D’

ΔN”B”M” ; ΔA’N’M’

ΔB”C”M”,

ΔM’N’B’

ΔA”N”M”; ΔB’C’M’

ΔA”D”M”.

Ţinând seama de cele două descompuneri ale aceluiaşi poligon [Q], suprapuse, obţinem o nouă descompunere a suprafeţei poligonale [Q] în suprafeţele triunghiulare [A’O’N’], [B’S’C’], [A’D’M’] [A’M’O’], [O’M’S’], [ S’M’C’] şi patrulaterul [ON’B’S’] şi fig .1.18 Efectuând aceeaşi descompunere (suplimentară) şi în suprafeţele poligonale [P] şi [R]’ obţinem descompunerea din figura 1. 19. si figura 1. 20.

24

Geometria poligoanelor. Arii

Avem [ P ] = [AON] + [BSD] + [BMQ] + [O1MS1] + [S1MC] + [ONBS] Δ BMO1 ≡ ΔA’M’O’

Cu congruentele Δ AON ≡ ΔA’O’N’

Δ O1MS1 ≡ ΔO’M’S’ (3)

≡ Δ B’S’C’ Δ BDM ≡ Δ A’D’M’ Δ BSD

≡ Δ S’M’C’ ONBS ≡ O’N’B’S’

Δ S1MC

[ R ] = [B”O”1C”] + [ S”M”D”] + [B”Q1”M”] + [B”M”N”] + [A”O”S”] + + [ S”D”A”] + [O”N”M”S”] Cu congruenţele Δ B”O”1C”

≡ Δ A’N’O’

≡ Δ S’B’C’ Δ B”M”N” ≡ Δ A’D’M’ Δ S”M”D”

Δ B”O”1M” ≡ ΔA’O’M’

≡ Δ O’M’S’ Δ S”D”A” ≡ Δ S’M’C’ O”N”M”S” ≡ O’N’D’S’ Δ A”O”S”

(4)

Comparând descompunerile (3) şi (4) putem afirma că [P] şi [R] au fost descompuse în poligoane congruente două câte două, deci [ P ] ~ [ R ]. Din aceste cazuri particulare (ex.3) apare firesc întrebarea dacă putem generaliza rezultatele obţinute sau nu. Înainte de a da teorema ce grupează proprietăţile relaţiilor de echivalentă, dăm fără demonstraţie următoarea teoremă: Teorema 1.3.2.

Punctele interioare comune a două poligoane P şi Q

(dacă există formează mulţimea tuturor punctelor interioare ale unei mulţimi finite de poligoane din care nu exista două să aibă puncte interioare comune (figura 1.21.).

Figura 1.21.

25

Geometria poligoanelor. Arii

Teorema 1.3.3. Relaţiile ~ şi ~ sunt relaţii de echivalentă. Demonstraţie. Din definiţiile celor două relaţii rezultă imediat proprietăţile de reflexivitate şi simetrie. Pentru tranzitivitate vom lucra separat pentru cele două relaţii. a.) Ne propunem să demonstrăm că dacă [P] , [Q] , [R] sunt trei suprafeţe poligonale astfel încât [P] ~ [Q] si [Q] ~ [R] atunci [P] ~[R]. Din [P] ~ [Q] rezultă că există mulţimile de poligoane {[Pi]}i=1,…n şi

{[Qi]}i=1,…n două câte două congruente (Pi ≡ Qi , i=1,…,n) astfel încât : [ P ] = ∑ [ Pi ] si [ Q ] = ∑ [ Qi ]

(5)

Analog, din [Q] ~ [R] avem mulţimile de poligoane {[Qj’]}j=1,…m

{[Rj]}j=1,…m două câte două congruente (Q’j ≡ Rj ) , j=1,…m astfel încât : [ Q ] = ∑ [Q”j ] si [ R ] = ∑ [ R j ] Familiile de mulţimi Qi,

i=1,…n

şi

(6)

şi Q’j, j=1,…m realizează pentru suprafaţa

poligonală [Q] două descompuneri care, suprapuse, formează o altă descompunere a lui [Q] în suprafeţe poligonale pe care le vom nota {[Qi Q’j ]}i=1,…n; j=1,…m;

( vezi ex.3 )

Conform teoremei 1.3.2. mulţimea punctelor comune interioare poligoanelor Qi si Q’j

coincide cu mulţimea punctelor interioare ale unei

mulţimi formată din poligoanele Qi Qj cu interioarele două câte două disjuncte. In plus, fiecare punct interior lui Qi este interior lui [Q], deci este sau interior sau pe un anumit Q’j , deci sau interior sau pe anumiţi Qi Q’j , pentru orice i=1, …n;j=1,…,m (def.1.2.4.). Conform aceleiaşi definiţii avem ca {[QiQ’j]}i,j realizează o descompunere în triunghiuri (sau poligoane ) a lui [Qi] si deci [Qi]= ∑ [Qi Q’j] , i=1,…n. Din ( 5 ) vom avea atunci [ Pi ] =[QiQ’j ],i=1,…n şi deci şi [P] poate fi împărţit în poligoane congruente cu mulţimea {Qi Q’j } i ,j (în ex.3. familia { Qi Q’j }

i , j

este formată din poligoanele QiQj cu interioarele

două câte două disjuncte.

26

Geometria poligoanelor. Arii

În plus, fiecare punct interior lui Qi este interior lui [Q], deci este sau interior sau pe un anumit Qj’, deci sau interior sau pe anumiţi QiQj’. Conform aceleiaşi definiţii, avem că {[QiQj’]},i,j realizează o descompunere în triunghiuri [QiQj (sau poligoane) a lui [Qi] şi deci [Qi]= ∑ j

']

, i=1,…,n. Din (5) vom avea

atunci [Pi]=[QiQj’], i=1,…, n. şi deci şi P poate fi împărţit în poligoane congruente cu mulţimea {QiQj’}i,j (în ex.3, familia {QiQj’}i,j este formată din ∆ A’O’N’, ∆ B’S’C’, ∆ A’D’M’, ∆ A’M’O’, ∆ O’M’S’,

poligoanele

∆ S’M’C’, O’N’B’S’). c

Analog raţionamentul pentru [R]. rezultă în final că [P] ~ [R]. c

c

b) Ne propunem să demonstrăm că dacă [P] ~ [Q] şi [Q] ~ [R] atunci c

[P] ~ [R]. c

Dacă [P] ~ [Q] atunci există poligonul S1, astfel ca c

[P]+ [S1] ~ [Q]+ [S1]. (7) c

Iar dacă [Q] ~ [R] atunci există poligonul S2 astfel încât: a

[Q]+ [S2] ~ [R]+ [S2]. (8) Notăm cu [S’] mulţimea punctelor comune lui S1 şi S2 si [S1], respectiv [S2’] mulţimea punctelor [S1] care nu sunt interioare lui [S2] (respectiv din [S2] care nu sunt interioare lui [S1]). Avem deci [S1]=[S’]+[S1’] şi [S2]=[S’]+[S2’]. Dacă înlocuim în (7) şi (8) avem: a

[’P]+[S’]+[S1’] ~ [Q] +[S’]+[S1] a

[Q]+[S’]+[S2’] ~ [R] +[S’]+[S2’] de unde, adăugând convenabil [S2’] respectiv [S1’] avem: a

[P]+[S’]+[S1’]+[S2’] ~ [Q] +[S’]+[S1’]+[S2’] a

[Q]+[S’]+[S2’] +[S1’] ~ [R] +[S’]+[S2’]+[S1’]

27

Geometria poligoanelor. Arii

Aplicând acum tranzitivitatea relaţiei şi ţinând seama de definiţia 1.3.2. c

avem [P] ~ [R] (adică teorema este demonstrată). Din aceste teoreme şi rezultate se poate imediat demonstra. Teorema 1.3.4. Două triunghiuri de baze şi înălţimi egale sunt echivalente. Problemă. Fie M un punct pe diagonala AC a paralelogramului ABCD. Ducem prin M paralele la AB şi AD şi notăm intersecţia acestor paralele cu laturile (AD),(BC) respectiv cu E,F,G,H (vezi figura 1.22). În acest caz paralelogramele EMHD şi FBGM sunt echivalente.

Figura 1.22. Soluţie: Ducem prin H şi G paralele la diagonala Ac. Se notează punctele de intersecţie cu laturile AD, respectiv AB prin L şi O. Din construcţie ∆ MGC≡ ∆ MHC, deci înălţimile celor două triunghiuri considerând aceeaşi bază MC, sunt egale. Deci HH’≡ GG’. Pe de altă parte, paralelogramele EMHD şi AMHD sunt echivalente prin complement, având aceeaşi bază MH şi înălţimi egale (deoarece FH // AD). Analog MFBG AMGO (aceeaşi bază MG şi înălţimi egale). În paralelogramele AMGO şi AMHD sunt echivalente prin complement (aceeaşi bază AM şi înălţimi egale HH’ şi GG’).

28

Geometria poligoanelor. Arii

Avem deci, conform teoremei 1.3.3. echivalenţa prin complement între paralelogramele EMHD şi MFBG. În încheierea acestui capitol, din exemplele şi teoremele date şi demonstrate se desprinde ca o concluzie faptul că noţiunile de aditiv echivalenţă şi echivalenţă prin complement se pot reuni într-o noţiune generală de echivalenţă. Definiţia 1.3.3. Două suprafeţe poligonale [P] şi [P’] sunt echivalente dacă sunt aditiv echivalente sau echivalente prin complement. Vom folosi în acest scop notaţia [P]∼ [P’].

CAPITOLUL II. ARIA SUPRAFEŢELOR PLANE II.1. Aria suprafeţelor poligonale După cum ştim, aflarea ariei unei mulţimi de puncte este o operaţie de măsurare. Este astfel necesar introducerea unei unităţi de măsură. Intuitiv s-a folosit ca unitate ca unitate de arie o suprafaţă pătratică de latură 1. Se poate măsura direct o suprafaţa poligonala P, dacă P se descompune într-un număr finit de unităţi de suprafaţă. (figura 2.1)

29

Geometria poligoanelor. Arii

Figura 2.1. Pentru alte mulţimi (suprafeţe poligonale) procesul direct de măsurare nu se poate aplica (figura 2. 2.).

Figura 2.2. şi aceasta pentru că nu permite descompunerea exactă în unităţi de suprafaţă (unităţi pătratice de arie). Iată de ce este nevoie de reconsiderarea formei poligonale care să stea la baza determinării ariei oricărui poligon, suprafeţe poligonale. Înainte însă este necesar să definim funcţia arie. Vom folosi ca notaţie S mulţimea suprafeţelor poligonale în planul euclidian. Definiţia 2.1. 1. 0 funcţie Α :S→Ρ

+

se numeşte funcţie arie dacă

verifică următoarele axiome: A1. Dacă suprafeţele poligonale [P,] si [P2] sunt congruente, atunci Α (P1)=Α (P2). A2. Dacă suprafeţele poligonale [P1] şi [P2] sunt disjuncte sau se intersectează doar în vârfuri sau pe laturi, atunci Α (P1U P2)=Α (P1)+Α (P2);

30

Geometria poligoanelor. Arii

respectiv convenţiei făcută în capitolul precedent Α (P1+ P2)=Α (P1)+Α (P2), vezi figura 2.3.

Figura 2.3. A3. Dacă [ABCD] este o suprafaţă pătrata de latură unitate (adică [ABCD] este o unitate de suprafaţă), atunci Α (ABCD)= 1 . Observaţia 1. Înainte de axioma A3 , să observam că, dacă funcţia Α :Σ →Ρ

+

satisface axiomele A] si A2 , atunci şi funcţia obţinută prin

înmulţirea funcţiei definită mai sus cu un număr real pozitiv λ , satisface de asemenea proprietăţile A1 şi A2. Cel puţin din acest motiv suntem în faţa unei infinităţi de funcţii "arie" şi, deci, o dificultate suplimentară în alegerea aceleia potrivite. Această problemă se rezolvă prin introducerea axiomei A3 care fixează o anumită funcţie din cele de mai sus cu rolul de arie a unei suprafeţe plane. Aşa cum am amintit mai sus e nevoie să stabilim o modalitate de a calcula aria oricărei suprafeţe poligonale. În baza teoremelor 1.2.2. şi 1.2.3. în baza cărora orice suprafaţă poligonală

se poate descompune în suprafeţe

triunghiulare, deducem că pentru a calcula aria suprafeţelor poligonale [P] (oarecare), e necesar să stabilim o formulă pentru aria suprafeţei triunghiulare. Teorema 2.1.1.

În orice triunghi, produsul unei laturi cu înălţimea

corespunzătoare este acelaşi oricare ar fi latura aleasă.

31

Geometria poligoanelor. Arii

Demonstraţie Fie ABCD în care considerăm că AD⊥BC, BE⊥AC,

CF⊥AB. Vrem să demonstrăm că

avem relaţiile BC⋅ AD=AC⋅ BE=AB⋅ CF. Deoarece

·ACD ≡ BCE ·

şi

·ADC ≡ BEC ·

rezulta că ∆ ADC ∼ ∆ BEC şi deci putem scrie raportul laturilor (de asemănare). AD AC DC = = , de unde avem AD ⋅ BC = AC ⋅ BE. BE BC EC

Analog pentru triunghiurile ∆ ACF şi ∆ ABE. Cu aceasta teorema este demonstrată. Definiţia 2.1.2. Numim caracteristică a triunghiului acest număr. Definiţia 2.1.3.

Definim aria unei suprafeţe triunghiulare [ABC],

caracteristica triunghiului ABC, înmulţită cu un număr dat k, fixat o dată pentru totdeauna şi acelaşi pentru orice triunghi. Rezultă că, dacă în ∆ ABC avem AD⊥BC, atunci (ABC)=k⋅ BC⋅ AD. Ne propunem în continuare să arătam că astfel definită aria unei suprafeţe triunghiulare, sunt verificate axiomele ariei (A1-A3) şi, de asemenea, să determinăm valoarea constantei k. Prima axiomă este verificată imediat. Fiind date două triunghiuri congruente ABC şi A'B'C' (am văzut în capitolul precedent că, în acest caz şi suprafeţele triunghiulare [ABC] şi [A'B'C’] sunt congruente - teorema 1.2.1.1,

32

Geometria poligoanelor. Arii

şi fiind considerate înălţimile AD, respectiv A'D' (AD⊥BC, A'B'⊥B'C') din congruenţa ∆ ADB≡ ∆ A'D'B’ avem AD=A'D'. Atunci Α (ABC)= k⋅ BC⋅ AD = k⋅ A’D’ ⋅ B’C’ şi deci axioma A1 este verificată. Să încercăm să verificăm axioma A2. Teorema 2.1.2. Dacă un triunghi este împărţit prin transversala AM în triunghiurile T1 şi T2, atunci aria suprafeţei triunghiulare [ABC] este egală cu suma ariilor suprafeţelor triunghiulare [T,] si [T2]. Demonstraţie. Fie [T1]=[ABM] şi [T2] = [AMC]. Din definiţia ariei unei suprafeţe triunghiulare, considerând AD⊥BC avem: Α (ABM) +Α (AMC)=k⋅ BM⋅ AD+k⋅ MC⋅ AD= =k⋅ AD⋅ (BM+MC)=k⋅ AD⋅ BC=Α (ABC)

Teorema 2.1.3. Dacă un triunghi oarecare ABC este împărţit într-un mod oarecare prin drepte într-un număr oarecare, dar finit, de triunghiuri Tk, aria suprafeţei triunghiulare [ABC] este totdeauna egală cu suma ariilor suprafeţelor tuturor triunghiurilor Tk. Demonstraţie. Să arătam mai întâi că, efectuând numai descompuneri transversale în triunghiuri Tk, aria suprafeţei triunghiulare [ABC] este suma ariilor tuturor suprafeţelor triunghiulare [Tk]k=1,…,n adică, dacă: n

[ABC]= ∑ [Tk ] atunci Α (ABC)= k =1

∑

33

Α (Tk).

Geometria poligoanelor. Arii

Într-adevăr, să presupunem adevărată teorema pentru o descompunere transversală în familia de triunghiuri {Tk}k=1,…,n şi să arătăm că este adevărată şi pentru o descompunere în n+1 triunghiuri. Pentru a obţine o descompunere transversală a triunghiului ABC în n+1 triunghiuri, e suficient să efectuăm, în familia {Tk}k=1,…,n o descompunere transversală a triunghiului Tn, obţinând triunghiurile Tn’ şi Tn+1’ cu proprietatea [Tn]= [Tn’ ]+[Tn+1’] şi Int (Tn’ )∩Int(Tn+1’)=Φ şi pentru care, aplicând teorema 2.1.2. avem: Α (Tn)= Α (Tn’)+

Α (Tn+1’ )

(2)

Notând acum:

 Tk ' , p e n t rku≠ n .  Tk’=  Tn ' , p e n t rku= n .  T ' , p e n t rku= n + 1 .  n+ 1

(3)

Am construit o nouă familie de triunghiuri {Tk}k=1,…,n+1. În plus, folosind rezultatele (1) , (2 ) , (3 ) vom avea Α (ABC)=

n

∑ k =1

Α (Tk’).

Să arătam acum că aria suprafeţei triunghiulare [ABC] nu depinde de descompunerea folosita. Fie pentru aceasta o descompunere oarecare în triunghiuri {Tk}

şi să considerăm segmentele determinate de vârfurile

triunghiurilor T, situate în interiorul triunghiului ABC sau pe (BC) şi de punctul A. Se obţine astfel o descompunere transversală a lui ABC în triunghiurile n

{Ti}i=1,..,n, adică Α (ABC)= ∑ Α (Ti’). i =1

34

Geometria poligoanelor. Arii

Suprapunând

cele

două

descompuneri, se obţine o mulţime de triunghiuri şi patrulatere. La rândul lor construind o diagonală în fiecare patrulater se obţine în final o descompunere în triunghiuri {Tik} a suprafeţei triunghiulare [ABC]. Vârfurile fiecărui triunghi Tik se vor găsi numai pe două laturi ale unui triunghi Ti, respectiv ale unui triunghi Tk, fapt ce rezultă imediat din construcţie. Aceasta ne arată că familia {[Tik]}i,k realizează o descompunere transversală atât pentru un triunghi Tk, cât şi pentru un triunghi Ti. Vom avea atunci: Α (Ti)=

n

∑ i =1

Α (Tik) şi deci Α (ABC)=

n

∑ i =1

Α (Ti) =

n

∑

Α (Tik).

i =1

n

Pe de altă parte, Α (Tk)= ∑ Α (Τ ik) şi însumând ariile tuturor i =1

triunghiurilor Tk, vom avea Α (Tk) =

n

∑ i =1

Α (Tik). n

Comparând ultimele rezultate vom avea Α (ABC)= ∑ Α (Tk), rezultat i =1

care ne arata că aria triunghiului ABC nu depinde de descompunerea făcută. Cu aceasta, teorema este demonstrată. Observaţia 3. Teorema 2.1.3. enunţată mai sus, este în acelaşi timp şi verificarea celei de-a doua axiome a ariei. Deci formula pentru calculul ariei unui triunghi dată prin definiţia 2.1.3. verifică cele două axiome ale ariei. Problema. Să se demonstreze că distanţele de la un punct al medianei AA’ a triunghiului ABC până la laturile AB şi AC sunt în raport invers cu aceste laturi.

35

Geometria poligoanelor. Arii

Rezolvare. Considerăm BC=a şi fie M∈(AA'), BA'=A'C=a/2. Ducem MP⊥AB (P∈AB), MN⊥AC(N∈AC), AD⊥BC, MD'⊥BC, D,D'∈BC. Unind pe M cu B şi C se formează: ∆ ABA’; ∆ AA’C; ∆ MAB; ∆ MAC; ∆ MBA’; ∆ MCA' . Vom avea Α (ABA’ )=k⋅ BA’⋅ AD=1/2 k ⋅ a⋅ AD Α (ACA’

)=k⋅ AD⋅ A’C=1/2

k⋅

a⋅ AD. De aici deducem Α (ABA’ )= Α (ACA’ )

(4)

De asemenea Α (MA’B)=k⋅ MD’⋅ BA’=1/2 k⋅ a⋅ MD’ Α (MA’C)=k⋅ A’C⋅ MD’=1/2 k⋅ a⋅ MD’ De unde deducem Α (MA’B)=Α (MA’C)

(5)

Comparând rezultatele (4) şi (5) avem Α (AMB)=Α (AMC). De unde vom putea scrie: k⋅ AB⋅ MP=Α (AMB)=Α (AMC)=k⋅ AC⋅ MN AB⋅ MP=AC⋅ MN sau raportul cerut

de

unde

obţinem

MP AC = . Să încercăm acum să definim MN AB

aria unui poligon (a unei suprafeţe poligonale). Fie [P] o suprafaţă poligonală, în baza teoremelor 1.2.2. şi 1.2.3. din capitolul precedent există o familie de suprafeţe triunghiulare {[Ti]}i care permite descompunerea triunghiulară a suprafeţei [P]. Urmează firesc definiţia. Definiţia 2.1.4. Fie [P] o suprafaţa poligonală. Definim aria suprafeţei poligonale [P] ca fiind suma ariilor suprafeţelor triunghiulare ce realizează o descompunere a suprafeţe [P]. Teorema 2.1.4. Aria unei suprafeţe poligonale [P] este independentă de descompunerea aleasă.

36

Geometria poligoanelor. Arii

Demonstraţie. Pentru suprafaţa poligonală [P] presupunem două descompuneri triunghiulare {[Ti]}i şi {[Tk’]}k (în figura 2.4.). Este prezentat un heptagon oarecare căruia i s-au pus în evidenta două descompuneri triunghiulare).

Figura 2.4. Suprapunând cele două descompuneri, un triunghi al unei descompuneri determină pe cealaltă familie de descompunere triunghiulară, triunghiuri sau poligoane ce, la rândul lor, pot fi descompuse în triunghiuri. Fie această familie notată {[Tik]}i,k. În baza teoremei 2.1.3. aria fiecărui triunghi Ti este suma ariilor triunghiurilor componente Tik. Însumând ariile tuturor triunghiurilor Ti avem astfel:

∑

Α (Ti) =

∑

In mod analog găsim

∑

Α (Tk’) =

∑

Α (Tik)

De unde deducem

∑

Α (Ti) =

∑

Α (Tk’) şi astfel teorema este

Α (Tik)

demonstrata. Observaţia 4. Astfel definită aria unei suprafeţe poligonale [P], aceasta verifică atât axioma A1, cât şi axioma A2 din definiţia ariei unei suprafeţe poligonale ( definiţia 2.1.1.).

37

Geometria poligoanelor. Arii

Observaţia 5.

Până aici am putut lucra atât cu aria unei suprafeţe

triunghiulare oarecare, fără să fim obligaţi să fixăm valoarea constantei k. Este şi acesta un exemplu la observaţia 1 din acest paragraf. Verificarea celei de-a treia axiome a ariei duce de fapt la determinarea valorii lui k. Fie deci [ABCD] o suprafaţă pătrată de latură 1. Conform celor arătate mai sus, putem descompune

suprafaţa

în

suprafeţele

triunghiulare [ABC] şi [ACD] şi vom avea: Α (ABC) =Α (ABC)+ Α (ACD). În baza axiomei A1 verificată şi a definiţiei 2. 1. 3, avem: Α (ABC) =Α (ACD) = k. Considerând suprafaţa ABCD o unitate de suprafaţă, având deci aria egală cu 1, vom avea 2k=1, de unde obţinem valoarea constantei k, şi anume k=1/2. Am obţinut astfel relaţia care permite calculul ariei oricărei suprafeţe triunghiulare. Teorema 2.1.5.

Aria oricărei suprafeţe triunghiulare este egala cu

jumătate din produsul unei laturi cu înălţimea corespunzătoare. Problemă. Să se calculeze aria unei suprafeţe triunghiulare având baza şi înălţimea respectiv egale cu 42 şi 20 (unităţi de lungime). Rezolvare. Fie [ABC] suprafaţa triunghiulară. Dacă notăm o latură cu b (baza) şi înălţimea cu h, conform teoremei 2.1.5. vom avea: Α (ABC)=

b⋅h 2

(6)

Înlocuind cu valorile date obţinem Α (ABC)=420 (unităţi de arie).

38

Geometria poligoanelor. Arii

Problemă. Să se calculeze aria unui triunghi, ştiind că înălţimea sa este 36, iar cele două laturi care pleacă din vârf sunt de 85 şi 60. Rezolvare. În ∆ ABC considerăm AB=85, AC=60, AD=36, AD⊥BC. Pentru a calcula lungimea bazei BC se aplică teorema lui Pitagora în ∆ ABD şi găsim BD=77, iar din ∆ ADC găsim DC=48. Avem astfel BC=125 şi de aici, folosind (6) găsim Α (ABC)=1125 (unităţi de arie). Problemă. Lungimile laturilor unui patrulater ABCD sunt (în unităţi de măsură) AB=18, BC=10, CD=10, AD= 15 şi diagonala BD=15. Să se calculeze aria suprafeţei patrulatere. Rezolvare. În patrulaterul dat ABCD, diagonala BD realizează o descompunere triunghiulară; avem deci Α (ABCD)=Α (ABD)+Α (BCD). Dar triunghiurile ABD şi BCD sunt isoscele având bazele AB şi respectiv BD şi, în urma calculelor vom avea Α (ABD)=108 (unităţi de arie) Α (BCD)=

75 7 4

şi deci aria Α (ABCD)=108+

75 7 (unităţi de arie.). 4

Problemă.

Să se arate că, folosind calculul ariilor suprafeţelor

poligonale şi axiomele ariei ca suma distanţelor unui punct variabil M, situat în interiorul unui triunghi echilateral, la laturile triunghiului este constantă. Să se determine această constantă. Rezolvare. Fie triunghiul echilateral ABC de latură a. Considerăm N,P,Q picioarele

39

Geometria poligoanelor. Arii

perpendicularelor duse din M pe laturile BC, AC respectiv AB ale triunghiului . Vom avea imediat Α (ABC)=

a2 3 . Aplicând axioma A2 vom avea: 4

Α (ABC) =Α (AMB)+Α (MBC)+Α (AMC). Calculând ariile celor trei triunghiuri ∆ AMB, ∆ MBC, ∆ AMC vom avea: a2 3 a⋅ MN+a⋅ MP+a⋅ MQ=Α (ABC)= , de unde obţinem relaţia: 2

MN+MP+MQ=Α (ABC)=

a 3 . 2

II.2. Calculul ariilor suprafeţelor poligonale Din definiţiile ariei unei suprafeţe triunghiulare şi a unei suprafeţe poligonale date în paragraful precedent, vom reţine câteva reguli de calcul pentru ariile diferitelor suprafeţe poligonale particulare. Teorema 2.2.1. Dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu catetele c1 şi c2, vom avea: Α (ABC)=

c1 ⋅ c2 . 2

Aplicaţie. Să se determine înălţimea unui triunghi dreptunghic având catetele 30 şi 40 (unităţi de lungime) folosind calculul ariilor. Rezolvare.

40

Geometria poligoanelor. Arii

Se calculează aria în două moduri. Notăm cu a ipotenuza

triunghiului

şi

h

înălţimea

corespunzătoare, vom obţine din calculul ariei h= c1 ⋅ c2 . a

Ca aplicaţie numerica se obţine h=12 . Teorema 2.2.2. Dacă [ABCD] este o suprafaţă pătratică cu 2 latura a, aria va fi: Α (ABCD)= a2. Demonstraţie. Vom scrie [ABCD]= [ABC]+[ACD]. Aplicând

teorema

precedentă

triunghiurilor

dreptunghice ABC şi ACD vom avea: Α (ABCD)=Α (ABC)+ Α (ACD) =

a2 a2 + = 2 2

a2

Teorema 2.2.3. Dacă [ABCD] este o suprafaţă dreptunghiulară cu dimensiunile a şi b, atunci Α (ABCD)= a⋅ b. Demonstraţia acestei teoreme se poate face în mai multe moduri. Iată în continuare două dintre ele. Demonstraţia 1. Descompunem suprafaţa dreptunghiulară astfel: [ABCD]=[ABC]+[ACD]. Aplicam pentru aceste triunghiuri rezultatul teoremei 2. 2. 1. (fiind dreptunghice) şi vom avea: Α (ABCD)=Α (ABC)+ Α (ACD) = a ⋅b = a ⋅b 2

Demonstraţia 2. Construim pătratul cu latura a+b vom avea: 41

a⋅b + 2

Geometria poligoanelor. Arii

[MNPD]=[AMEB]+[ENQB1+[BQPC]+[ABCD] ENQB şi ABCD sunt dreptunghiuri, deci Α (ENQB)=Α (ABCD). AMEB este un pătrat cu latura a şi deci Α (AMEB)=a2. BQPC este un pătrat cu latura b şi deci Α (BQ PC)=b2. MNPD este un pătrat cu latura a+b şi deci Α (MNPD)=(a+b)2. Cu aceasta, vom avea aşadar: (a+b)2=a2+b2+2Α (ABCD) de unde după calculele efectuate ajungem la relaţia căutată pentru calculul ariei suprafeţei dreptunghiularei [ABCD]. Problema. Laturile unui dreptunghi sunt de 54, respectiv 6 (unităţi de lungime). Sa se afle latura unei suprafeţe pătratice a cărei arie este egală cu aria suprafeţei dreptunghiulare. Rezolvare. Se calculează aria suprafeţei dreptunghiulare şi avem =324 (unităţi de arie). Din formula pentru aria suprafeţei pătratice se obţine a=18 (unităţi de lungime). Teorema 2.2.4. Fie ABCD un paralelogram având baza AB=a şi DE=h. Aria suprafeţei [ABCD] poate fi calculată astfel: Α (ABCD)=a⋅ h. (adică produsul unei baze cu înălţimea). Demonstraţie. Putem descompune suprafaţa paralelogramului în [ABCD]=[ABD]+[DBC], unde

∆ ABC≡ ∆ CDB

şi

deci

a⋅h , 2

de

unde

Α (ABD)=Α (CDB)= obţinem:

42

Geometria poligoanelor. Arii

Α (ABCD ) =

a⋅h a⋅h + =a⋅h . 2 2

Teorema 2.2.5. Aria

rombului

este

jumătate

din

produsul

d2=BD.

Ţinând

lungimilor diagonalelor sale. Demonstraţie. Notăm cu seama

de

d1=AC

şi

proprietăţile

rombului, vom

avea: [ABCD]=[ABD]+[BCD] şi d1⊥d2. De aici vom avea: Α (ABD)=Α (BCD )= Problema.

d1 d 2 d1 ⋅ d2 ⋅ = . 2 2 4

Să se calculeze aria unui romb având latura de 8 şi o

diagonală de 14. Teorema 2.2.6. Aria trapezului este jumătate din produsul dintre înălţime şi suma bazelor. Demonstraţie. Fie ABCD un trapez cu bazele BC şi AD. Notăm BC=b1; AD=b2 şi AE=h; AE⊥BC. Avem

[ABCD]=[ABC]+

[ADC] Cum triunghiurile ∆ ABC şi ∆ ADC au aceeaşi înălţime (distanţa dintre bazele trapezului) vom avea: Α (ABCD)=Α (ABC)+ Α (ACD) =

b1 ⋅ h b2 ⋅ h h ⋅ (b1 + b2 ) + = 2 2 2

Consecinţă. BC+AD este dublul liniei mijlocii, prin urmare aria suprafeţei ABCD se mai poate reţine şi sub forma: aria este egală cu produsul dintre înălţimea trapezului şi linia mijlocie. 43

Geometria poligoanelor. Arii

Teorema 2.2.7. Fie A1,A2,…,An un poligon convex regulat, având latura egală cu l şi apotema ap. Aria suprafeţei poligonale [P] va fi Α (P)=

n ⋅ l ⋅ ap 2

, unde am notat P=A1A2...An. Α (A1A2...An)=Α (A1A2O)+Α (OA2A3)+…

Demonstraţie. +Α (OA1An)=n⋅ Α (OA1A2)= n ⋅

ap ⋅ l 2

.

Observaţia 6. Ţinând seama de faptul că n⋅ l reprezintă perimetrul poligonului; reţinem aria ca fiind jumătate din produsul dintre perimetrul şi apotema poligonului. Observaţia 7. Dacă numărul laturilor poligonului este par, aria sa este egală cu jumătatea razei cercului circumscris, înmulţită cu perimetrul poligonului obţinut unind vârfurile din două în două. Justificarea acestei afirmaţii este imediată. Fie n=2⋅ k numărul laturilor poligonului P=A1A2...An. Atunci poligonul P'=A1A3A5 ...An-1 va avea k laturi, iar lungimea unei laturi l1=A1A3=A2An. Pentru două triunghiuri alăturate OA1A2 şi A1AnO ale poligonului P avem congruenţa ∆ OA1A2≡ ∆ OA1An, de unde OA1⊥A2An. În acest caz ariile vor fi Α (OA1A2)≡ Α (OA1An)= A1O ⋅ A2 M A1O ⋅ MAn A1O ⋅ A2 An R ⋅ l + = = 2 2 2 2

44

Geometria poligoanelor. Arii

De aici rezulta imediat rezultatul din observaţia 7.

Teorema 2.2.8. Aria unui poligon convex circumscris unui cerc este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul său şi raza cercului înscris.

II. 3. Suprafeţe măsurabile. Aria discului Deşi cercul nu este o figura poligonală, iar discul nu este o suprafaţă poligonală, totuşi considerăm să introducem aici şi deducerea formulei pentru calculul ariei discului, având în vedere faptul ca teoria se bazează pe aria suprafeţei poligonale. Definiţia 2.3.1. O mulţime Μ se numeşte suprafaţă măsurabilă dacă există un număr unic notat Α (Μ ) mai mare sau egal cu aria oricărei suprafeţe poligonale incluse în Μ şi mai mic sau egal decât aria oricărei suprafeţe poligonale care include pe Μ .

Definiţia 2.3.2. Se numeşte disc cu centrul în O şi rază R mulţimea: [Χ (O,R)]= Χ (O,R) ∪ Int Χ (O,R).

45

Geometria poligoanelor. Arii

Definiţia 2.3.2. Se numeşte sector de cerc determinat de arcul »AB al cercului Χ (O,R), reuniunea segmentelor [OM], unde M∈ »AB . Teorema 2.3.1. i) Şirul format din ariile poligoanelor regulate convexe înscrise în cerc, al căror număr de laturi creşte prin dublare,este crescător şi mărginit superior; ii) Şirul format din ariile poligoanelor regulate convexe circumscrise corespunzătoare este descrescător şi mărginit inferior. Demonstraţie: i) Fie P=A1A2...An. şi P’=B1B2...Bn două poligoane convexe înscrise, acesta din urmă fiind obţinut prin unirea fiecărui vârf al poligonului P cu jumătăţile arcurilor alăturate. Vrem

sa

arătam că

Α (P)