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Geometría Plana Definición: Es un conjunto de proposiciones que estudia la forma, las propiedades y medidas de las figuras y cuerpos geométricos. Estas proposiciones se basan en conceptos básicos que existen en nuestra mente por lo que se les denomina términos no definidos. La Geometría utiliza los siguientes términos no definidos: - Punto - Recta - Plano - Espacio - Figura geométrica 1) Punto: elemento fundamental de la geometría que no se puede definir. El punto tiene posición pero no tiene dimensión. Ej.:

2) Recta: conjunto de puntos que se prolongan indefinidamente en direcciones opuestas. Ej.:

3) Plano: es una superficie ilimitada formada por puntos. Ej.:

4) Espacio: Ej.:

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5) Figura geométrica: es un conjunto no vacío de puntos que expresan longitud, área o volumen. Ej.: Indicar si las siguientes representaciones son o no figuras geométricas

Posiciones Relativas 1) Coplanar: si el punto pertenece al plano. Ej.:

2) Colineal: si el punto pertenece a la recta. Ej.:

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3) Externo: si un punto no pertenece a un plano o a una recta. Ej.:

4) Secantes: si las rectas tienen un punto en común Ej.:

5) Paralelas : si las rectas no tienen puntos en común Ej.:

6) Coincidentes: si las rectas tienen dos o más puntos en común. Ej.:

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Subconjuntos de la Recta: ̅̅̅̅): 1) Segmento (𝐀𝐁 Es la recta figura geométrica de puntos colineales que se encuentran desde el punto A hasta el punto B. Ej.:

⃗⃗⃗⃗⃗ ): 2) Semirecta (𝐀𝐁 Si la figura geométrica de puntos colineales que se encuentran hacia un mismo lado de A y B excluye uno de los extremos. Ej.:

⃗⃗⃗⃗⃗ ): 3) Rayo (𝐀𝐁 Es la figura geométrica de puntos colineales que se encuentran a un mismo lado de A y B incluyendo uno de los extremos. Ej.:

Proposición: Es un enunciado que puede ser verdadero o falso.

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La Geometría utiliza las siguientes proposiciones: 1) Axioma: es un enunciado cuya verdad es evidente, no necesita demostración. Los axiomas son matemáticos Ej.: -Axioma reflexivo: una cantidad es igual así mismo (K=K) -Axioma simétrico: si a = b

=> b = a

2) Postulado: es un enunciado cuya verdad no es tan evidente, pero no necesita demostración. Los postulados son geométricos. Ej.: 1. Dos puntos determinan una recta.

2. Tres puntos no coloniales determinan un solo plano.

3. Se puede construir una circunferencia si se conoce el centro y el radio

3) Teorema: es un enunciado cuyo valor de verdad debe ser demostrado, mediante axiomas, postulados, teoremas ya demostrados y definiciones Un teorema está formado por: Hipótesis (H) -> Datos del problema Tesis (T) -> Incógnita

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4. Corolario: es un enunciado que resulta de un teorema ya demostrado (conclusión) no necesita demostración Métodos de Demostración: Método deductivo: parte de verdades generales para establecer una verdad particular. Procedimiento: a) Se realiza un gráfico que se ajuste lo más exactamente posible al enunciado. Si el ejercicio le da el grafico se omite este paso. b) Se coloca la hipótesis y la tesis en forma de ecuaciones. c) En los elementos que tiene la misma medida se deben colocar iguales marcas o símbolos. d) Se deben justificar los pasos realizados en la demostración.

Segmentos Segmento unitario: Es el segmento arbitrario que se toma como unidad para medir otros segmentos. Longitud de un segmento: Es un número que representa las veces que está contenido el segmento unitario en el segmento AB. Propiedades de un segmento. 1) Dados los puntos colineales A,B,C, tenemos:

2) Dados los puntos colineales A,M, C, tenemos:

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OPERACIONES CON SEGMENTOS: 1) Suma de segmentos. Ej.:

2) Resta de segmentos. Ej.:

3) Multiplicación de un número por un segmento Ej.:

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4) División de un segmento por un número. Ej.:

5) División interna de un segmento : Consiste en localizar un punto en el interior de un segmento, al que forme dos segmentos que están en una razón dada m/n Si P es el punto que divide interiormente a AB se cumple que :

6) División externa de un segmento: Si Q es el punto que divide externamente a AB se cumple que:

7) División armónica de un segmento: Consiste en dividir un segmento interna y externamente en una misma razón.

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Si P y Q dividen armónicamente al segmento AB se cumple:

8) División en media y externa razón de un segmento: Consiste en dividir un segmento interno o externamente en dos segmentos tales que uno de ellos es media proporcional entre el segmento dado y el otro de la división. Si P divide internamente en media y externa razón al segmento AB se cumple:

Si Q divide externamente en media y externa razón al segmento AB se cumple que:

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Ángulos Definición: Es la abertura que se forma cuando se intersecan dos rayos.

Denominación: Se tiene 3 formas para determinar a un ángulo y son: a) Por un símbolo: 𝛼; ∢𝛼; 𝛼̂ b) Por la letra del vértice: ∠ 𝐵; ∢ 𝐵; 𝐵̂ c) Por las letras del vértice y los lados ̂ ∠ 𝐴𝐵𝐶; ∢𝐶𝐵𝐴; 𝐴𝐵𝐶 Unidades de medida: 1. Radián (rad): Es la abertura de un ángulo cuyo arco que subtiende es igual al radio del círculo, así:

2) Grado (º): Es una de las 360 partes en la que se divide una circunferencia. Algunas equivalencias son: 1 giro = 360o 180o = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 360o = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 1o = 60 min 1ʹ = 60ʹʹ

Medida de un ángulo: Es el número de veces que se encuentra contenida la unidad de medida. Congruencia de ángulos: Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida. Bisectriz de un ángulo: Es el segmento que divide a un ángulo en dos partes iguales. Ej.:

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Clasificación de los ángulos: - Según su medida: 1) Agudo: Si la medida es menor a 90º. Ej.:

2) Recto: Si la medida es igual a 90º Ej.:

3) Obtuso: Si la medida es mayor a 90º, pero menor que 180º. Ej.:

4) Llano: Si la medida es igual a 180º: Ej.:

5) Ángulos complementarios: Son dos ángulos cuya suma es igual a 90º. Ej.:

6) Ángulos suplementarios: Son dos ángulos cuya suma es igual a 180º. Ej.:

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-Según la posición: 1) Adyacentes: Son dos ángulos que tienen un lado y un vértice en común. Ej.:

2) Opuestos por el vértice: Son dos ángulos no adyacentes que se forman por la intersección de dos rectas. Ej.:

3) Ángulos formados por dos rectas, cortadas por una tercera:

Ángulos internos: Ángulos externos: Ángulos alternos internos: Ángulos alternos externos: Ángulos correspondientes: Propiedades de las paralelas: 1) Si la suma de los ángulos internos a un mismo lado de dos rectas cortadas por una tercera es 180º, entonces las rectas son paralelas, es decir:

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2) Si los ángulos alternos internos, alternos externas o correspondientes son iguales, entonces. Las rectas son paralelas, así:

Ángulos alternos internos: Ángulos alternas de externos: Ángulos correspondientes: Otras propiedades: 1) El ángulo formado entre bisectrices de ángulos suplementarios es igual a 90º, así:

2) Los ángulos formados entren rectas perpendiculares o rectas paralelas, son igual así:

Ejercicios de aplicación:

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Triángulo Definición: Es la figura geométrica que se forma al unir tres puntos no colineales. Representación y Elementos: Sea el siguiente gráfico:

1) Vértices: A, B, C (puntos no colineales) 2) Lados:

3) Perímetro (P): Suma de las longitudes de los lados, así: P= a+b+c Semiperímetro (S)=

perímetro 2

=

𝑎+𝑏+𝑐 2

4) Ángulos internos: Son los ángulos que se forman entre los lados y son: 𝐴̂; 𝐵̂ ; 𝐶̂ 5) Ángulos externos: Son los ángulos que se forman entre un lado y la prolongación de otro lado, así: 1̂; 2̂; 3̂ Denominación: Todo triángulo se denomina de la siguiente manera: 𝚫 𝐀𝐁𝐂

Clasificación: Los triángulos se clasifican según: 1) Sus lados: a) Escaleno: Si los lados son desiguales.

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b) Isósceles: Si tienen dos lados iguales.

c) Equilátero: Si tiene los tres lados iguales.

2) Sus Ángulos: a) Acutángulo: Si los ángulos internos son agudos.

b) Obtusángulo: Si uno de los ángulos internos es obtuso.

c) Rectángulo: Si uno de sus ángulos mide 90o

d) Equiángulo: Si los ángulos internos miden cada uno 60º

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Puntos y Líneas Fundamentales 1) Bisectriz: Es el segmento que divide a los ángulos del triángulo en dos partes iguales. - Bisectriz interna:

Incentro (I): Es el punto de interacción de las bisectrices internas. Propiedad: El incentro equidista de los lados del triángulo por lo tanto es el centro del círculo inscrito. - Bisectriz externa:

Excentro: Es el punto de intersección de dos bisectrices externas y una interna. Propiedad: El excentro es el centro del circulo ex-inscrito.

2) Altura: Es la perpendicular que va del vértice hacia el lado opuesto o a la prolongación del lado opuesto. - En un triángulo acutángulo:

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- En un triángulo rectángulo:

- En un triángulo obtusángulo:

Ortocentro (H): Es el punto de intersección de las alturas. Triángulo órtico: Es el triángulo que se forma al unir los pies de las alturas. 3) Mediana: Es el segmento que va del vértice hacia la mitad del lado opuesto.

Baricentro o centro de gravedad (G): Es el punto de interacción de las medianas. Propiedades: 1) El baricentro divide a la mediana en 2 segmentos, el uno el doble del otro.

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2) El baricentro se encuentra ubicado a un tercio de la altura respecto a cada lado. 3) Triángulo mediano: Se forma al unir los puntos medios de los lados. En nuestro gráfico:

4) Mediatriz: Es el segmento perpendicular que se levanta en los puntos medios de los lados del triángulo, independientemente del vértice. - En un triángulo acutángulo:

- En un triángulo rectángulo:

- En un triángulo obtusángulo:

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Circuncentro (O): Es el punto de intersección de los mediatrices. Propiedad: El circuncentro equidista de los vértices, por lo tanto es el centro del circulo circunscrito. Recta de Euler: Es una línea que contiene al ortocentro (H), al circuncentro (O) y al baricentro (G)

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