Geometría - Milton Donaire

´ FILOSOF´IA Y NUMEROS

Cuadernillo N◦ 5

´ FORMA GEOMETRICA DEL ´ ´ AREA DE UNA REGION CUADRANGULAR

Milton F. Donaire Serie: N´umeros umeros y Ciencia

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Milton Favio Donaire Pena n ˜a

´Indice general 1. HI HIST STOR ORIA IA

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´ 2. FOMULAS

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3. EL TEOREMA 23 ´ 3.1. CUADRILATEROS ATER OS COMCOMPLEMENTARIOS . . . . 23 4. APLICA APLICACIO CIONES NES 4.1. 4. 1. LADO LADOS S CONG CONGR RUENT UENTES ES 4.2. 4. 2. LADO LADOS S CONG CONGR RUENT UENTES ES 4.3. 4. 3. CIRCULO INSCRITO RITO . . ´ DE DISTANCIAS 4.4. RAZON DE  DISTANCIAS ´N . . . . . . . 4.5. BISECCIO ´ 4.6. LEON PIERRE ANNE . 4.7. 4. 7. SUMA SUMA DE PROD PRODUC UCTO TOS S 3

43 43 45 47 48 50 51 55

´ 4.8. AREA . . . . . . . . . . 4.9. SHARIGUIN . . . . . . . ´ 4.10. AREA . . . . . . . . . .

5. PROB PROBLE LEMA MAS S 5.1. Problema 1 . 5.2. Problema 2 . 5.3. Problema 3 . 5.4. Problema 4 . 5.5. Problema 5 . 5.6. Problema 6 .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

56 58 60

65 65 66 67 68 69 70

Presentaci´ on on En estos tiempos nos ha tocado ver c´omo omo las tecnolog tecnolog´´ıas avanzan anzan cada cada vez m´as as y que son muchas las personas que hacen uso de ella obteniendo buenos resultados. Es nuestro prop´osito, osito, en ese sentido, aprovechar estos medios para poner a su alcance de manera gratuita un conjunto de cuadernillos electr´onicos onicos de los m´as as variados temas que van desde los numeros, u´ meros, la ciencia, hasta las humanidades, con el unico u ´ nico fin de poder contribuir a la cultura de nuestra gente, pues estamos mos co conv nven enci cido doss que que un pa´ pa´ıs que que estu estudi dia, a, es un pa´ pa´ıs que despie despierta rta,, un pa´ pa´ıs que se cultur culturiza iza es un pais pais que progre progresa, sa, un pa´ pa´ıs que lee, es un pa´ pa´ıs que no se somete. 5

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Milton Favio Donaire Pena n ˜a

Introducci´ on on Este trabajo tiene como prop´osito osito dar a conocer un teorema nuevo sobre ´areas areas de regiones cuadrangulares que promete tener bastante utilidad. El teorema en cuesti´on on que se presenta en este cuadernillo permite calcular el area ´area de cualquier regi´on on cuadrangular sin tener que recurrir al cl´asico asico teorema trigono go nom´ m´etri etrico co que que iinv nvol oluc ucra ra al pro product ductoo de de las diagonales con el seno del ´angulo angulo que forman, lo cual equivale a decir que representa presenta una forma forma purame puramente nte geo geom´ m´etrietrica de obtener tal ´area, area, y es precisamente en ello, y en su simplicidad, que radica su importancia. 7

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Milton Favio Donaire Pena n ˜a

El punto de partida fue el estudio del area ´area de una regi´on on trapecial como el producto de la longitud de uno de sus lados laterales con la distancia distancia a ´el, el, desde el punto medio del otro lado lateral, la pregunta pregunta era si ese resultado resultado podr´ dr´ıa generalizarse. Al encontrarse que dicha generalizaci´on on era posible, el siguiente paso fue fue bus busca carl rlee una una demo demost stra raci ci´´on on senc sencililla la,, de de tal manera que dicho resultado pueda ser incluido en los textos de nivel medio escolar. Posteriormente se vio que el teorema era v´alido alido en todos los cuadril´ateros ateros inclusive en los cruzados y que para un cuadril´atero atero convexo, cuando se usaban las diagon diagonale aless y sus puntos medios medios,, pod´ıa ser resuelto como un caso particular del teorema de Le´on on Anne cuyo resultado se presenta presenta tambi´en en en este este cuader cuadernil nillo. lo. Por ultimo, u´ ltimo, se han agregado resultados especiales que se obtienen con el teorema de manera directa, directa, p ero que tambi tambi´´en en se pueden obtener por otros m´etodos eto dos cl´asiasicos, lo cual da la posibilidad al estudian-

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te y al profesor de resolverlos usando los teor teorem emas as co cono noci cido dos. s. As´ As´ı tambi´ tambi´en en se han han agregado en la parte final una serie de problemas aplicativos que est´an an propuestos para el lector. El Autor

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Dedic Dedicado ado al Ing. Ing.   Man Manue uell Areval evalo o V. por el gran trabajo que realiza en la divulgaci´  on e investigaci´  on de la matem´  atica  y por sus valiosos aportes a la bella geometr´ıa.

Cap´ıtulo 1 HISTORIA En los trabajos de Euclides, el cuadril´atero atero se encuentra en la tercera parte de la definici´on on 19 de su libro I “Figuras  cuadril´  ateras son aquellas que se encuentran cuentran deb debajo ajo de cuatro cuatro l´ıneas ıneas rec”mientras que para hablar de la metas ”mientras dida de su superficie, en el mismo libro escribe en la segunda parte de la proposici´on o n 34 que “...la diagonal divide al  ”, par arale alelo logr gramo amo en dos part artes es iguale iguales  s ”, en las proposiciones 35 y 36 nos habla de paralelogramos dibujados entre dos rectas paralelas que tienen la misma base y aquellos que tienen bases de igual lon11

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gitud, sucedido esto los paralelogramos tendr´an an igual area, ´area, realiza unos resultados an´alogos alogos para la superficie triangular en las proposiciones 37 y 38, para finalmente deducir en la proposici´on o n 41 que “Si un paralelogramo comparte su base  con un tri´  angulo y est´  a contenido entre  las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del tri´  angulo ”. La proposici´on on 42 del libro I de los elementos de Euclides es clave para poder deducir que en todo trapecio las regiones determinadas por las diagonales con los lados no paralelos son equivalentes, ya que este resultado puede servir para la demostraci´on on de tal proposici´on o n que Euclides presenta a modo de problema: “Construir sobre los lados de un ´  angulo dado, un paralelogramo igual a un  tri´  angulo dado ”. En 1841 en el libro Elementos de Geometr metr´´ıa de S. F. La Lacr croi oix, x, en el apar aparta ta-do 159 de la p´agina agina XXV de su und´ecieci-

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ma edici´on on nos dice que “Dos figuras de  diferentes formas, bien de una extensi´  on igual o que contienen ´  areas igua”, en ese misles, se llaman equivalentes ”, mo libro en el apartado 160 nos dice que “En los tri´  angulos y en los paralelogramos se toma arbitrariamente por base  uno de sus lados, y se da el nombre de  altu al turra a la per erppendi endicu cula larr bajad ajadaa de dessde el ´  angulo opuesto a dicho lado del  tri´  angulo o a cualquier punto del lado opuesto en el paralelogramo ”, Lacroix usa tales definiciones tan igual como actualmente lo usamos para luego enunciar expl expl´ıci ıcita tamente mente la formula formula del area ´area de un tri´angulo. angulo. En este mismo texto Lacroix se˜nala nala que el area a´rea de cualquier cualquier pol ol´´ıgono incluy incluyendo al de un cuadril´atero atero se calcula como la suma de los tri´angu angulo loss en que que ´este este se puepuede di dividir, pero Lacroix s´ı enun nuncia expl´ıcitamente las formulas para las ´areas areas de un trapecio y de cualquier paralelogramo tal y como las trabajamos actualmente.

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Milton Favio Donaire Pena n ˜a

Anos n˜os antes antes en 18 1807 07 A. M. Le Lege gend ndre re hab hab´ıa publicado el libro Elementos de La Geometr´ metr´ıa - con Notas, en dicho dicho texto ya se usan usan lo loss mis mismo mo t´ermi ermino noss que que ci cita ta La Lacr croi oix, x, as´´ı Le as Legen gendre dre en su segun segundo do Li Libro bro defidefine las figuras equivalen equivalentes, tes, tambi tambi´´en en da enunciados enunciados expl´ expl´ıcitos para las ´areas areas de las regiones paralelogr´amicas amicas y triangulares como base por altura sobre dos y tambi tambi´´en en para el trapecio como semi suma de bases por altura, no hace menci´on on del ´area area de un p ol ol´´ıgono cualquiera cualquiera pero s´ı de un pol ol´´ıgono ıgono regular. regular. En 1467 Regiomontanus publica su Tratado sobre el Tri´angulo, angulo, en el cual se formulan expl´ expl´ıcitamente tambi tambi´´en en las formas de calcular el area ´area de un tri´angulo angulo como base por altura sobre dos; y haciendo uso del seno de un ´angulo angulo por medio del c´alculo alculo del area ´area deduce que el ´area area de un tri´angulo angulo se puede calcular como la mitad del producto de dos lados lados de un tri´anguangulo con el seno del ´angulo angulo que subtienden, esto lo enuncia en su teorema 25 del libro II. De lo anterior podemos de-

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ducir que la formula trigonom´ trigonom´etrica etrica para calcular el ´area area de una regi´on on triangular se co cono nocc´ıa por aq aque uellllaa ´epo ep o ca ca,, seg segun u´ n Carl Boyer, es probable que Regiomontanus, conociera el trabajo de Nassir-al-Din-alTusi usi un astr´ str´ono onomo iran iran´´ı que sus sus est estudio udioss de la astron astronom om´´ıa lo hab´ hab´ıan lle llevvado casi casi a formalizar formalizar la trigonometr trigonometr´´ıa como una disciplina independiente, es decir comparable al trabajo que realiza Euclides con los Elementos. Es conocido adem´as as que Nassir escribi´o un trabajo estudiando a los cuadril´ateros, ateros, en el cual trabaja amplia pliame mente nte la trig trigon onom omet etrr´ıa ıa.. Cop´erni Cop´ ernico co ayuda ayuda mucho en cuanto cuanto a la divulgaci´on on de lo loss teor teorem emas as trig trigon onom´ om´etri etri-cos de Regiomontanus, sin embargo es su alumno J. Rheticus quien en su Opus Palatinum de Triangulis da una mayor madure durezz a la teor teor´´ıa fo form rmal al de la trig trigon onoometr´ıa.

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Cap´ıtulo 2 ´ FOMULAS En Geometr´ Geometr´ıa se dispone dispone del teorema de Brahamagupta para calcular el ´area area de una regi´on on cuadrangular inscrita en una circ ci rcun unfe fere renc ncia ia,, ttal al f´ormula ormula resu result ltaa ser ser una una generalizaci´on on del teorema de Her´on on para el area ´area de una regi´on on triangular. En ese sentido si p  es la mitad de la suma de las longitudes de los lados DA = a, AB = b, atero B C  = c y C D = d  de un cuadril´atero ABCD entonces: ABCD  entonces:   [ABCD] =

( p − a)( p − b)( p − c)( p − d)

Si el cuadril´atero atero no se encuentra encuentra inscrito en una circunferencia, entonces usa17

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mos una medida angular α  que es igual a la semi-suma de las medidas de dos ´anguangulos opuestos cualesquiera del cuadril´ateatero, en tal caso la formula general queda como sigue: [ABCD] ABCD]2 = p( p − a)( p )( p − b)( p )( p − c)( p )( p − d) − abcd cos2 α

Bretschne Bretschneide iderr hab´ hab´ıa lle llegad gadoo al result resultaado para el ´area area de cualquier cualquier regi´on on cuadrangular usando las diagonales x y y : [ABCD] ABCD]2 = p( p − a)( p )( p − b)( p )( p − c)( p )( p − d)− 1 (ac + bd + xy)( xy )(ac ac + bd − xy) xy ) 4

y la f´ormula ormula m´as as simple pero que hace uso de la trigonomet trigonometrr´ıa, nos indica indica que el area ´area de una regi´on on cuadrangular es igual a la mitad del producto de las longitudes de sus diagonales con el seno del ´angulo angulo formado por ellas. xy sin θ [ABCD] = 2

Al ser esta ultima, u ´ ltima, sumamente simple, se ha difundido ampliamente entre los estudiantes de la educaci´on on media regular

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as´ı com as´ comoo en el medi medioo Pre Pre univer universi sita tari rio. o. Es por ell elloo que esta esta f´ormula ormula trigon trigonom´ om´etrietrica aparece en casi todos los textos del ´ambito indicado. Algunos textos de Geoambito metr´ıa, qu que ev evitan la la f´ fo´rmul mula trigonom´etrica, indican que el ´area area de una regi´on on cuadrangu drangular lar se p odr´ dr´ıa cal calcul cular ar hacien haciendo do uso de la disecci´on, on, es decir de hacer c´alculos alculos sobre algunas partes de ella, para luego proceder a sumarlas. B

B

C

C

h h

 A

b

D

A

b

D

Figura 2.1: [ABCD [ABCD]] = b · h

Pero dos son las f´ormulas ormulas que nos han dado la idea de calcular el ´area area de una regi´on on cuadrangular en base al producto de uno de sus lados y una perpendicular relativ relativaa a dicho lado, la f´ormula ormula del area ´area para los paralelogramos y la f´ormula ormula del

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area ´area para los trapecios: La pregunta que debimos responder es ¿qu´e ten´ıan en comun u´ n estas f´ormulas ormulas en su aspecto gr´afico?, afico?, lo interesante de esto es que no tard´o en aparecer la respuesta. Se trataba de las diagonales y la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales, la conocida recta de Newton, ´unica unica en el caso del trapecio pero no determinada en el caso del paralelogramo: B

B

C

l 

l 

C

h h

 A

b

D

A

b

D

Figura 2.2: l: recta que pasa por los puntos medios de las diagonales

En base a estos resultados anteriores, es que surgi´o de manera natural, la pregunta de si esta f´ormula ormula era v´alida alida para todos los cuadril´ateros, ateros, ya que lo era en el caso del paralelogramo y en el caso del

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trapecio. Es en esa direcci´on on que se trat´o de buscar una demostraci´on on a un posible resultado general, usando inicialmente la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales, lo cual se consigui´o despu´es es de alg alguno unoss intentos, posteri osteriorm ormente ente se puso al descubiert descubiertoo que se pod´ıa llega llegarr al mismo teorema sin tener que usar la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales.

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Cap´ıtulo 3 EL TEOREMA 3.1.

´ CUADRILATEROS COMPLEMENTARIOS

Ser´a necesario para nuestro estudio introducir la idea del complemento de una regi´on. on. Definici´ on on 1. Dos cuadril´  ateros ser´  an  denominados complementarios si siendo uno, el contorno de una regi´  on convexa y el otro de una regi´  on no convexa, se pueden unir compartiendo dos  lado la dos, s, a modo modo de romp ompecab abez ezas as,, par ara  a  darnos un paralelogramo (por medio de  23

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la adici´  on de las figuras o por medio de la sustracci´  on). Cualquiera de ellas  ser´  a denominada el complemento de la  otra.

Figura Figura 3.1: 3.1: Cua Cuadri dril´ l´ateros ateros Complem Comp lementari entarios os

Notemos que siempre dos cuadril´ateros ateros complementarios tienen sus 4 lados paralelos y de igual longitud, adem´as tambi´en poseen una de sus diagonales de igual longitud, un ´angulo angulo de igual medida y uno suplementario de otro.

25

Ahora estamos en condiciones de poder dar a conocer nuestro Teorema:

´  de Cualquier reTeorema 1. El area gi´  on cuadrangular es igual al producto de las longitudes de uno de sus lados (b) con la perpendicular (h) trazada hacia dicho lado, desde el punto de  intersecci´  on del lado opuesto a ´el, el, con  la recta que pasa por el centro del paralelogramo que forma con su cuadril´  atero complementario, y que es paralela a  la diagonal no com´  un con este ´  ultimo cuadril´  atero. B

P

B

 A

 L

O

O

h

 L

C

b

C

h

 A

b

D

P

D

Figu Figura ra 3.2: 3.2: O: centro del paralelogramo, y la recta L   es paralela a la diagonal no com´un un C P , P , entonces: [ABCD] ABCD] = bh

26

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Prueba

Paso 1 : Por ser paralelogramo B

P

B L  X

C

Y

Z

A  A

D

A + B= X + Y + Z Paso 2 : Trazamos DL // C P   L 

m

m

B M

B

P

L

 Y

X

Z

C

A  A

D

M : mediana, B = Y B C L : B M : Del paso 1 y 2 se sigue: A = X + Z

27

Paso 3 M

B

P

 L

Z

X

O

A

h

C

D

 A

b

[ABCD] ABCD] = X + A + Z ABCD] = 2A [ABCD] pero A = bh De all´ı[ABCD] ABCD] = bh



Definici´ on on 2.  Denominamos mediana  de un cuadril´  atero al segmento que une  uno de sus v´ertices, ertices, con el baricentr aricentroo de la regi´  on triangular determinada por  loss otr lo otros os tr tres es v´ertic ertices es del cuadri cuadril´  l´  atero. Teorema. En todo cuadril´  atero sus medianas son concurrentes, en un punto que las divide a cada una de ellas en  la raz´  on de 3 a 1.

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Milton Favio Donaire Pena n ˜a

D

B

3k  C

G

G ABC k 

k 

G ABC

G 3k  C

 A

B

 A

D

Figura 3.3: G: Baricentro de ABCD de  ABCD

Definici´ on on 3.  En todo cuadril´  atero al  punto de concurrencia de sus medianas  le denominaremos baricentro del cuadril´  atero. atero los segTeorema. En todo cuadril´  mentos que unen los puntos medios de  sus lados opuestos, se intersecan en el  baricentro del cuadril´  atero.

Definici´ on on 4.  En todo cuadril´  atero al  segmento que une los puntos medios de  dos lados opuestos se le denomina Bimediana.

29 B

B

C G G

C

 A

D

 A

D

Figura 3.4: G: Baricentro del cuadril´atero atero

Teorema 2.  Si construimos un paralelogramo que tenga por lados, dos lados  de un cuadril´  atero dado. Y si por el  baric aricentr entro de dell cuadri cuadril´  l´  ater at eroo da dado do,, tr traazamos una recta  L   paralela a la recta que que une une el v´ertic erticee del par arale alelo logr gramo amo no contenido en el cuadril´  aterro, con  ate el v´ertic erticee del cuadri cuadril´  l´  atero no contenido en el parale lelo logr gram amo, o, enton ntoncces: El  area ´  de cualquier regi´  on cuadrangular  es igual al producto de las longitudes de  uno de sus lados (b) con la perpendicular (h) trazada hacia dicho lado desde  el punto de intersecci´  on del lado opuesto a ´el, el, con la recta que pasa por el ba-

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Milton Favio Donaire Pena n ˜a

ricentro del cuadril´  atero y que es paralela a la recta  L. B

B

L

 L

P C G

G

C h

P h

D

 A

 A

D b

b

Figura 3.5: G: baricentro, entonces [ABCD [ABCD]] = b · h B

P C E

 A

G

h

D

F

b

Figura 3.6: G: baricentro, entonces [ABCD [ABCD]] = b · h

31 

Prueba B

P

 L

M

O

S C G

N  A

D

Figura 3.7: G: baricentro

Para su demostraci´on o n basta ver que la recta L  que pasa por G  y es paralela a la recta C P , en pasa pasa por el centro P , tambi´en del paralelogramo, lo que reduce la prueba de este teorema a la del teorema 1 

Teorema 3. El area ´  de Cualquier regi´  on cuadrangular es igual al producto de las longitudes de uno de sus lados (b) con la perpendicular (h) trazada hacia dicho lado, desde el punto de  intersecci´  on del lado opuesto a ´el, el, con 

32

Milton Favio Donaire Pena n ˜a

la recta que pasa por los puntos medios  de las diagonales del cuadril´  atero. B

P C

M h

N

 A

D b

Figura 3.8: [ABCD [ABCD]] = b · h 

´ Prueba METODO 1 B

S

P M

C

h

N

D

 A b

33

Construimos el paralelogramo A paralelogramo  ABS BSD D usando su cuadril´atero atero complementario de ABCD, ABCD, como M  es M  es punto medio de la diagonal B D, entonces M   M   ser´a el centro del paralelogramo ABSD. anguABSD. En el tri´angulo ACS    se obtiene que la recta N M  ser´   ser´a AC S  se paralela a la recta S C ; es decir, al final la prueba de este teorema se reduce al teorema 1 ya demostrado.  

´ Prueba METODO 2 (Caso 1) B

B

P

P C

M

C M

h

h N

N

 A

D

 A

b

Usando regiones equivalentes [ABCD] 2[BCDN ] ABCD] = 2[BCDN  [ABCD] 2[AP D] = bh. ABCD] = 2[AP bh.

D b



34

Milton Favio Donaire Pena n ˜a 

Prueba (Caso 2) B C P

M

h

N

 A

D

b

[ABCD] ABCD]/2 = [BCDN ] = [B N P ] P ] + [N P D] − [C  [C P D] = [B N P ] P ] + [N C P ] P ] + [N P D] − [C  [C P D] − [N  [N C P ] P ] = [N P D] + [N C P ] P ] + [N P D] − [C  [C P D] − [N  [N C P ] P ] = [NCPD]  [C P D] − [N  [N C P ] NCPD] + [N P D] − [C P ] = [N C D] + [C P D] + [N P D] − [C  [C P D] − [N  [N C P ] P ] = [AN D] + [N P D] − [N  [N C P ] P ] = [AN D] + [N P D] − [AN  [AN P ] P ] = [AP D] = bh/2 bh/2 Finalmente [ABCD] ABCD] = bh



35

Cuando la regi´on on a trabajar es una regi´on on no convexa, el teorema sigue siendo igual de v´alido, alido, la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales sigue intersecando a sus 4 lados, entonces se genera un tercer caso de la f´ormula; ormula; igual que en los casos anteriores, se puede tomar cualquier lado del cuadril´atero atero como base b  para aplicar la f´ormula, ormula, y desde el punto de corte de la recta de Newton con 1 el lado opuesto se trazar trazar´´ıa la perpend erp endiicular h  a usar. B

M

P C N

h

 A

D b

Figura 3.9: [ABCD [ABCD]] = b · h 1

Lados opuestos: opuestos : aquellos que no comparten comparte n un mismo v´ertice ertice

36

Milton Favio Donaire Pena n ˜a 

Prueba (Caso 3)

B

B

N

N

P

P C

M

M

 A

D

C h

 A

D b

[ABCD] = 2[MBCD] = 2[APD] = bh

A continuaci´on on podemos realizar una modificaci´on on significativa en el c´alculo alculo del area ´area de la regi´on on cuadrangular en su forma no trigonom´etrica, ´esta sta sera´ como sigue:

Teorema 4. El area ´  de Cualquier regi´  on cuadrangular es igual al producto de las longitudes de uno de sus lados (b) con la perpendicular (h) trazada hacia dicho lado, desde el punto de  intersecci´  on del lado opuesto a ´el, el, con  la recta que pasa por el punto medio

37

de una de sus diagonales y el baricentro del cuadril´  atero. B

B

P M

C G

G

P h

M

C h

D  A

 A b

D b

Figura 3.10: [ABCD [ABCD]] = b · h

Definici´ on on 5. Denominamos puntos de  superficie de un cuadril´  atero, a los puntos de intersecci´  on de su recta de Newton, con cada uno de los lados del cuadril´  atero. Definici´ on o n 6.  Denominamos perpendicular de superficie de un cuadril´  atero, a las perpendiculares trazadas desde los puntos de superficie hacia los lados opuestos a ellos.

38

Milton Favio Donaire Pena n ˜a

Esta forma de calcular el ´area area de una regi´on on cuadrangular nos a permitido seguir guir buscan buscando do una mayor mayor genera generaliz lizaci aci´´on, on, que de por s´ı ya esta´ expresada en el enunciado del teorema 2, con ello se puede demostrar los resultados siguientes (G (G: Baricentro): B

B

m b

b

m

 L G

E  A

D

E

D

 A

n

n

C

h

C

h P

P

Figura 3.11: [AB [ABE  E ] − [E  [E C D] = b · h

De lo anterior anterior observamos observamos que la f´ormuormula que estamos presentando en este cuadernillo se puede aplicar para una regi´on on

39 2

cuadrangular cruzada pero en ese caso la formula nos arroja la diferencia de las ´areas de las regiones triangulares deterareas minadas por el cuadril´atero atero cruzado, mas no la suma suma de la lass ´area areass de de dicha dichass reg regio ione nes. s. En la figura que sigue se muestra otro resultado de ´areas areas de regiones equivalentes: B

W Z

D

 A

C

 Y

X

Figura 3.12: [AB [ABY  Y ]] = [C DX ] DX ] = [B C Z ] = [ADW ] ADW ] 2

Se denomina denomina as´ as´ı cuando cuando el cuadril´ cuadril´ atero atero tiene lados que se intersecan

40

Milton Favio Donaire Pena n ˜a

Cada una de esas regiones triangulares tiene por ´area area la diferencia de las ´areas areas de las regiones triangulares determinadas por el cuadril´atero atero cruzado ABCD cruzado  ABCD..

´  de cualquier reTeorema eorema 5. El area gi´  on cuadrangular es igual al producto de las longitudes de uno de sus lados  con la de la perpendicular hacia dicho lado, trazada desde el punto de corte  del la recta que contiene al lado consecutivo cutivo a ´el el con la recta que pasa por el  punto medio de una diagonal y que es  paralela a la otra diagonal. B

B C

C

h h

 A

b

D

 A

Figura 3.13: [ABCD [ABCD]] = b · h

b

D

41

En el siguiente gr´afico afico se aprecian las regiones triangulares determinadas que se relacionan con el teorema anterior, cada una de ellas de ´area area igual a la mitad del area ´area de la regi´ regi´on on cuadra cuadrangu ngular lar.. B

 A  A

C C

D  A C

Figura 3.14: [AB [ABA A ] = [B C C  ] = [DAA ] = [DCC  DC C  ] 







Las perpendiculares de superficie determinadas por la recta de Newton tienen la misma longitud que las perpendiculares que se determinaron el teorema anterior, escogidas convenientemente.

42

Milton Favio Donaire Pena n ˜a

h1 h2

h2

Figura 3.15: h1 = h2

NOTA La prueba del teorema 5, es bastante simple, si por B  trazamos una recta paAC   y que interseca ralela a la diagonal AC   a la recta DC  en P , P , entonces se prueba r´apidamente apidamente que [ABCD [ABCD]] = [AP D], de all´´ı la prueba all prueba se termina termina haciendo haciendo uso de la base media del tri´angulo angulo de hipotenusa P D.

Cap´ıtulo 4 APLICACIONES En este cap´ cap´ıtulo presentamos presentamos algunos algunos resultados que se pueden demostrar aplicando cando el teorem teoremaa dado, dado, pero que tambi´en en se pueden pueden obtene obtenerr usando usando otros otros m´etodos eto dos..

4.1.

LADOS CONGRUENTES

Si en un cuadril´  atero  ABCD, M  y  N   son puntos de superficie de los lados  B C  y  AD  respectivamente y  B C  =  AD , entonces la recta de Newton determina ´  angulos de igual medida con  dichos lados. 43

44

Milton Favio Donaire Pena n ˜a B a

M θ C

α

 A

D N

a

Figura 4.1: α = θ 

Prueba

[B N C ] = B C · M N · sin θ = [ABCD] ABCD]/2 [AM D] = AD ·M N ·sin α = [ABCD] ABCD]/2 De al alll´ı se si sigu guee que: que: (B C  · M N  )sin θ = (AD · M N  )sin α N )sin N )sin como B C  = AD, AD, Entonces θ=α 

45

NOTA En general, si las longitudes de los lados AD y BC fueran diferentes, se tendr´ tendr´ıa el siguiente resultado: (B C  · M N  )sin θ = (AD · M N  )sin α N )sin N )sin Si B C   = AD entonces: AD sin θ = sin α B C 

4.2.

LADOS CONGRUENTES

 ABCD D, AB = Si en un cuadril´  atero  ABC B C  = C D, y  M   es el punto de intersecci´  on de la recta de Newton del cuadri´  altero con el lado AD. Si  M  est´  a en  la prolongaci´  on del segmento DA entonces la perpendicular trazada por  M  hacia el lado B C  es igual a la diferencia de las distancias desde dicho punto hacia los otros lados del cuadril´  atero.

46

Milton Favio Donaire Pena n ˜a

 A

b D

 x  a

B

C

Figura 4.2: x = a − b 

Prueba

El ´area area de la regi´on on cuadrangular cuadrangular ABCD se puede expresar como la diferencia entre las areas ´areas de las regiones MBCD y M B A [ABCD] ABCD] = [B M C ] + [C M D] − [B M A] x · B C  a · C D b · AB + − x · B C  = 2 2 2 Como AB = B C  = C D Entonces:  x=a−b

47

4.3.

CIRCULO INSCRITO

P C

ha

r 

 A

a

B

1 1 1 1 2 Figura 4.3: + + + = ha hb hc hd r

C´  alculo del inradio de un cuadril´  atero circunscrito, en funci´  on de las per1 pendiculares de superficie  . 

Prueba

[ABCD] ABCD] = a · ha = b · hb = c · hc = ((a + b + c + d) · r)/2 d · hd = ((a 1

Llamaremos Llamarem os as a s´ı a las perp pe rpendicu endiculares lares trazadas desde el punto de intersecci´ on de la recta de Newton con los lados del cuadril´ on ateatero, hacia sus respectivos lados opuestos

48

Milton Favio Donaire Pena n ˜a

1/ha = a/[ a/[ABCD] ABCD] 1/hb = b/ b/[[ABCD] ABCD] 1/hc = c/[ c/[ABCD] ABCD] 1/hd = d/[ d/[ABCD] ABCD] Sumando 1 1 1 a+b+c+d + + = [ABCD] ha h b hc ABCD] y como [ABCD [ABCD]] = ((a ((a+ b+c +d)· r)/2 1 1 1 1 2 + + + = ha h b hc hd r

4.4.



´ DE DISTANCIAS RAZON

M  y  N  son puntos medios de las  diagonales  AC  y  B D  de un cuadril´  atero   ABCD, P  y  Q   son puntos medios  de  C M  y  B N   Las rectas  M N  y  AD

49

son secantes en  G   y las rectas  P Q y  M N   se intersecan en  S , entonces las  distancias de  G y  S  al lado B C   est´  an  en la relaci´  on de 1:4

C B

P

a

b

Q

M S

 A



N

D

G

Prueba

Sabemos que [ABCD [ABCD]] = 4[MNCB 4[MNCB]] 4(a · B C ) b · B C  = 4(a luego: b = 4 · a



50

Milton Favio Donaire Pena n ˜a

´ BISECCION

4.5.

B

P C M

N

E  A

F

D b

b

Si CE // PD entonces:

[ABPF] = [FDCP]

Si  M  y  N  son puntos medios de las  diagonales de un cuadril´  atero  ABCD, y la recta  M N   interseca al lado B C  en  P , siendo la recta  C E  paralela   paralela a la  recta  P D, con  E  en   en la recta  AD; si  F  es un punto en  AD  de modo que  AF  = DE , entonces  [ABPF ] = [P F C D] D ].

51 

Prueba

[B P A] + [P C D] = [AP D] = [AP F ] F ] + [F P D ] = [DP E ] + [F P D] = [DP C ] + [F P D ] = [F P C D] D]



Buscando en los archivos hist´oricos oricos de geometr geometr´´ıa, se puede puede encon encontrar una publicaci´on on del matem´atico atico Frances: Anne, Pier Pierre re L´eon eon (180 (18066 - 18 1850 50), ), en esta esta pupublicaci´on on ´el el presen presenta un teorema teorema que hace que el caso 1 de nuestro teorema del c´alculo alculo del ´area area de un cuad cuadri ril´ l´ater ateroo sea sea un corolario de su teorema.

4.6.

´ LEON PIERRE ANNE

Dado un cuadril´  atero, el lugar geom´etrico de todos los puntos tal que la suma de las ´  areas de los tri´  angulos determinados con dicho punto y dos lados opuestos es igual a la suma de las  ´  areas de los otros dos tri´  angulos deter-

52

Milton Favio Donaire Pena n ˜a

minados con los otros dos lados; es la  l´ıne ınea rect ctaa que que pas asaa por lo loss pu punt ntos os meme2 dios de las diagonales  . C B

M O

N

 A



D

Prueba (Original)

Repro Reproduc ducimo imoss la prueba prueba origin original al de L´eon eon Anne: Sea MN la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales; las perpendiculare dicularess bajada ba jadass desde desde los v´ertices ertices del cuadril´atero atero sobre dicha recta son iguales dos a dos, se sigue que los tri´angulos angulos 2

Puede leerse sobre este teorema en el F. G. M. (1912) Teorema 555 Problema 1613 (p´ ag ag 767), adem´as as se encuentra una generalizaci´ on on para cualquier cualqui er p ol ol´´ıgono en el libro Inducci´ Induccion o´n en la Geometr Geom etr´´ıa de Golovina Golovina y Yaglo aglom m (p´ag ag 70) de la editorial MIR

53

con bases iguales sobre el segmento M N  y co con n v´erti ertice cess en A y en C  C    son equivalentes, lo mismo para los tri´angulos angulos con v´ertices en B y en D. Entonces: [AO AOB B ] = [AM B ] + [AO AOM  M ]] + [B OM ] M ] [D OC ] = [DM C ] - [C OM ] M ] - [DOM ] M ] adem´as as AOM  M ]] = [C OM ] M ] y [D OM ] M ] = [B OM ] M ] [AO luego: [AO AOB B ] + [DOC ] = [AM B ] + [DM C ] De la misma rorma: [AO AOD D] = [AM D] + [D OM ] M ] - [AO AOM  M ]] M ] + [C OM ] M ] [C OB ] = [C M B ] - [B OM ] sumando: [AO AOD D] + [C O B ] = [AM D] + [C M B ] de los resultados obtenidos, queda demostrado que: [AO AOB B ] + [C OD] = [AO AOD D ] + [C O B ]  

Prueba (Alternativa)

Se˜ Senale n˜alemo moss que que el teor teorem emaa de L´eon eon AnAnne, se puede demostrar demostrar tambi´ tambi´en en si partiparti-

54

Milton Favio Donaire Pena n ˜a

mos usando el teorema dado al inicio del art´ıculo. C

C B

B

S

S O

 A

O

G

D

 A

G

D

Siendo O  un punto del segmento S G, entonces podremos encontrar regiones equivalentes que permiten la demostraci´on on del teorema [AO +[C O G] + AOB B ] + [DOC ] = [AO AOB B ] +[C GD] [OGD] [AO +[AOG AOB B ] + [DO C ] = [AO AOB B ] +[AO G] + GB ] [OGB] [AO AOB B ] + [DOC ] = [ABCD] ABCD]/2 de all all´´ı se sig sigue ue que: que: [B O C ] + [AO AOD D] = [ABCD] ABCD]/2 de donde se concluye que: [AO AOB B ] + [C OD] = [AO AOD D ] + [C O B ] 

55

4.7.

SUMA DE PRODUCTOS

Para todo punto S  ubicado   ubicado en la regi´  on interior de un cuadril´  atero convexo y en la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales, se verifica que la suma de los productos de dos  lados opuestos con sus respectivas distancias a ellos desde  S , se mantiene  constante: b

C

B

m

y

 x  a

M

c S N

n  A

d 

D

Figura 4.4: x · a + y · c = m · b + n · d

56

Milton Favio Donaire Pena n ˜a 

Prueba

Del teorema de L´eon eon Anne, se sabe que para los tri´angulos angulos con v´ertice ertice en S, se cumple: [ASB AS B ] + [D S C ] = [B S C ] + [ASD AS D] De al alll´ı se si sigu guee que: que: x·a+y·c=m·b+n·d

4.8.



´ AREA

Si  M  y  N  son puntos medios de las  diagonales de un cuadril´  atero  ABCD, P  y  Q  puntos medios de las diagonales   BMN MN C , y  S   el pundel cuadril´  atero  B to de superficie del lado M N   del cua BMN MN C , entonces el ´  dril´  atero  B area de  AS D  es igual a 3/2 del ´  la regi´  on  ASD area    B MN C . de la regi´  on cuadrangular  BMN

57 C B

P Q

M N

S

D

 A

Figura 4.5: [AS [ASD D] = 3 · [BMNC   [BMNC ]/2 

Prueba

m

C

B

P

a

4a

Q

M N

S

h

 A

b

D

G

58

Milton Favio Donaire Pena n ˜a

Sabemos que [BMNC ] = 2[B 2[B S C ] = a · m 2[B 2[ 2[ASD B S C ] + 2[AS D] = [ABCD] ABCD] a · m + h · b = 4a · m entonces: h · b = 3a · m (h · b)/2 = 3(a · m)/2 [ASD AS D] = 3 · [ [BMNC  BMNC ]/2

4.9.



SHARIGUIN

La recta que pasa por los puntos medios de las diagonales AC y BC del  cuadril´  atero ABCD corta a los lados  AB y DC respectivamente en los punM ] = tos M y N. Demostrar que  [DC M ] [ABN  AB N ]].

59

C B

M

L

N K

D

 A

Figura 4.6: [DC [DCM  M ]] = [ABN  AB N ] 

Prueba (Original)

Soluci´on on original del libro de Shariguin (Problema II-37 p´ag. ag. 72) Supongamos que K  es   es el punto medio de DB y L  es punto medio de AC  [AN M ] M ] = [C N M ] M ] ya que AL = LC  precisamente de esta manera: [B N M ] M ] = [DN M ] M ] de donde se deduce la afirmaci´on on 

60

Milton Favio Donaire Pena n ˜a 

Prueba (Alternativa)

Tenem enemos os un segu segund ndoo m´eto etodo si apli aplica ca-mos el teorema teorema dado en este art´ art´ıculo. ıculo. ABCD]/2 [B N A] = [ABCD] ABCD]/2 [D N C ] = [ABCD] de donde: [D C M ] M ] = [ABN  AB N ].].

4.10.



´ AREA

La recta que pasa por los puntos medios de las diagonales AC y BD del  cuadril´  atero ABCD interseca a los lados AB y DC respectivamente en los  puntos M y N. Si  L   es punto medio del segmento M N  entonces el ´  area de  AB L  es igual a la cuarta parla regi´  on  ABL te del ´  area de la regi´  on cuadrangular  ABCD.

61



Prueba

La prueba es inmediata ya que el ´area area de la regi´on on ABN  area AB N    es la mitad del ´area de la regi´on ABCD on  ABCD,, y como el ´area area de la regi´on on ABL mitad del ´area area de AB L   es la mitad ABN  AB N ,, entonces se sigue la demostraci´on on de inmediato.  B C N

L M

D  A Figura 4.7: [AB [ABL L] = [ABCD] ABCD]/4

62

Milton Favio Donaire Pena n ˜a

Comentarios 1. Parte del teorema expuesto en este cuadernillo (para el caso del cuadril´atero atero convexo y cuando   el punto de superfi3 atero y cie est´a en un lado del cuadril´atero no en sus prolongaciones), puede ser interpretado como un caso particular del teorema de L. Anne, es decir como un Corolario que se desprende del teorema de Anne, ello cuando se usa la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales. 2. Usando el teorema expuesto en este art art´ıc ıcul uloo es pos osib ible le r´apidamente apidamente demostrar trar el teorem teoremaa de L´eon eon Anne. Anne. 3. El teorema presentado para el ´area area del cuadril´atero atero es general, de modo que una perpendicular de superficie puede o no estar en la regi´on on cuadrangular. 3

Denominamos Denomina mos as´ as´ı, en este art´ art´ıculo, al punto de intersecci´ on on de la recta de Newton de un cuadril´ atero con alguna de las rectas atero que contienen a sus lados

63

4. El resu result ltad adoo mos mostr trad adoo en en est estee art art´´ıc ıcuulo es especialmente importante por su sencillez, por la forma en que se puede demostrar, y porque involucra al baricentro del cuadril´atero. atero.

64

Milton Favio Donaire Pena n ˜a

Cap´ıtulo 5 PROBLEMAS 5.1.

Problema 1

Dado un cuadrado  MBLD,  MBLD , A  es un punto en la prolongaci´on o n de DM , M , Q es un punto de M L y C  C    un punto en la prolongaci´on on de AQ de AQ  de modo que AQ = QC , la recta M L  interseca al segmento B C  en P . P . Si m∠LB LBC  C  = θ y AD · B P  = area de la regi´on ABCD on  ABCD.. K . Calcule el ´area 65

66

Milton Favio Donaire Pena n ˜a C P B

L

θ

Q

 A

5.2.

M

D

Problema 2

P  es P  es un punto en la prolongaci´on on del di´ametro ametro B C   de una semicircunferencia C  de y Q  un punto en dicha semicircunferencia, de modo que la medida del arco C Q ◦ es 37 , se prolonga el segmento B Q, hasta el punto D, y se ubica el punto A, al mismo lado que D   respecto de la recta ◦ B P , P , tal que m∠ABP  AB P  = 90 , y AB = [AP D] = S , B C  = C D = 2C P . P . Si [AP calcule el ´area area de la regi´on A on  ABP BP D  (con◦ sidere la aproximaci´on ta tan 26, 5 = 1/2).

67  A D

Q

B

5.3.

C

P

Problema 3

on del C  es un punto en la prolongaci´on C  es di´ametro ametro AB de AB  de una semicircunferencia y  un punto en dicha semicircunferencia, N  un N  se traza N H  perpendicular   perpendicular a AB (H  en AB) AB ) de modo que resulta AH  = H C , luego se contruye el cuadrado   HCDQ que pasa por N  N ,, S   S   es otro punto de la semicircunferencia tal que los arcos S N  y N B miden igual, adem´as as las rectas N B y AS  se  se intersecan en M  y  y las rectas M Q y DC  se  se intersecan en P . P . Conociendo que el area ´area de la regi´on on AMPH es AMPH es S . Calcule el area ´area de la regi´on on trapecial HQDB trapecial  HQDB..

68

Milton Favio Donaire Pena n ˜a

M Q

S

D

N P

 A

5.4.

O

H

B

C

Problema 4

ABCD, y un cuaDado un rect´angulo angulo ABCD, dril´atero A atero ADN   donde M  est´   est´a en AB, DNM  M  donde AB , N    interseca de modo que el segmento M N  en P  al P  al lado B C , y el segmento N D interseca en Q   al lado B C . Si adem´as a s se sabe que la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales del cuadril´atero atero mbi´en por P . ADNM p ADNM  pasa tambi´ P . Demuestre que: [M [M B P ] P ] + [DC Q] = [QN P ]. P ].

69 N

B

P

Q

C

M

D

 A

5.5.

Problema 5

Dado un cuadril´atero atero convexo A convexo  ABC BCD D donde la recta que pasa por los puntos medios medios de las diagon diagonale aless del cuadri cuadril´ l´atero, atero, interseca en M  a DC , si el si sim´ m´etri etrico co de D   respecto de AM   AM   es el punto P   P   ubicado en el segmento AB. AB . Demuestre que [M P B ] = [M C B ].

70

Milton Favio Donaire Pena n ˜a B

P

C

M

 A

5.6.

D

Problema 6

Dado un rect´angulo ABCD angulo  ABCD,, Q  es un punto de B C  y P  un P  un punto de AD, AD, de modo que AP  = QC . N  es   es un puntop de P Q y F  un F  un punto en la prolongaci´on on de B N  N ,, si P Q ∩ AF  = {M } y AM  = M F  siendo adem´as as B M  ∩ AN  = {E }. Calcule la raz´on o n de las ´areas areas de las regiones [ABE  AB E ] y [ENDM ].].

71 Q

B

C

N E M  A

P

F D

72

Milton Favio Donaire Pena n ˜a

Bibliograf´ıa [1] Eves, [1]  Eves, Howard, Howard,  Estudio de Todas  Las Geome eometr´ıas.   Hispano. Americana: Mexico, 1969 ´re, Gabriel Marie, [2] Frere, e Marie,  ExerciJ. Gigo Gigord rd.. Par´ Par´ıs ıs:: ses ses de Geom´etri etrie  e   J. 1920 [3] L. I. Golovina, I. M. Yaglom, glom,   Inducci´  on en la Geome Geometr tr´´ıa  ıa  Ed. MIR. Mosc´u: u: 1976 [4] Donaire, [4]  Donaire, M., M.,  Formas y N´  umeros  - La geometr´ıa en las Olimp´ıadas de  Matem´  atica. Universidad de Ciencias y Humanidades. Per´u: u: 2010 [5] Jose [5]  Jose Araujo, Guillermo Keilhauer, Norma Pietrocola, 73

74

Milton Favio Donaire Pena n ˜a

Valeri Vavilov, Vavilov,  Area y Volumen  en la Geometria Elemental. Ed. Red Ol´ Ol´ımpi ımpica ca.. Buen Buenos os Aires Aires:: 20 2000 00 ´ ngulos Cabri (2008 [6] Tria 2018), 2018),  Problema 867 . Espa˜na: na: 2018 http://personal.us.es/rbarroso/trian guloscabri/ [7] Coolidge, J. L.,   A Hist Histor oric ically  ally  Int Inter eres esti ting ng For ormu mula la for for th thee Area  Amer. Math. of a Quadrilateral.   Am Monthly 46, 345-347, 1939. [8] Regiomontanus, J. M., De  Triangulis Omnimodis.  1464. [9] Carl B. Boyer,   Hi Historia de la  Matem´  atica.  John Wiley - Sons, Traducci´on on Ed. Alianza Editorial 1986. [10] Weisstein, Eric W.,   BretschFrom Mathneider’s Formula.   Fr World A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Bret schneidersFormula.html

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Este cuadernillo se culmin´o, o, en su versi´on on 18.8 el 30 de Julio del 2018 Lima - Per´u