Geometria IVbimestre
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INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
En Primaria y Secundaria
“El mejor nivel educativo” R.D.R. Nº 052-2007
YURI CHIRINOS SÁNCHEZ
1
MATEMÁTICA-GEOMETRÍA ARQUITECTURA DEL CONOCIMIENTO: MARCO CONCEPTUAL-3ro
VIII. ÁREAS DE LAS FIGURAS
IX. SÓLIDOS
GEOMÉTRICAS Temporalización:
GEOMÉTRICOS
(Del 09 de Octubre al 02 de Noviembre)
Temporalización: (Del 05 de Noviembre al 30 de Noviembre)
12.2.Relaciones de áreas 12.3.Área de la región polígono regular 12.4.Área de la regiones circulares
13. Sólidos Geométricos. 13.1. Definición. 13.2. Determinación del plano 13.3. Poliedros 13.4. Prisma y Pirámide 13.5. Cilindro y Cono 13.6. Esfera 13.7. Ejercicios aplicando las propiedades.
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2
ÁREAS TRIANGULARES Fórmula de Herón REGIÓN: Es aquella parte de una superficie plana delimitada por una línea.
a
ÁREA: Es el número que indica la medida de una región, es decir es igual al número de veces que se utiliza la región unitaria.
b
P=
abc 2
c ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
A = p(p a)(p b)(p c)
A continuación daremos una serie de fórmulas para calcular las áreas de diversas regiones triangulares.
Por el Inradio
Fórmula básica r
h
A=P.r
Expresión Trigonométrica
b a
A=
ab Sen 2
h
h
b
PROPIE DADES: b
A=
l
h
l
ÁREAS
ENTRE
DOS
Si dos triángulos tienen la misma altura, entonces la relación entre sus áreas será igual a la relación entre sus bases.
bxh 2
Triángulo equilátero B
A
RELACIÓN DE TRIÁNGULOS:
b
l
C
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3
MATERIAL DE CLASES
OBSERVACIONES: 1. En todo triángulo se trazan las tres medianas, se determinan seis triángulos equivalentes
1.
Calcular el área de la región triangular ABC, si: BC=15, AC=17, AB=8. Rpta.: ........................................................
2.
En la figura. Calcular el área de la región triangular ABC.
*
*
S S
S
S b
S S
S
S
b 2.
En todo triángulo si se une el baricentro con sus tres vértices, se determinan tres triángulos parciales equivalentes.
Rpta.: ........................................................
3.
En el gráfico: AM es mediana, S1 = 19, S2 = 11. Calcular Sx
3. En todo triángulo si se une el baricentro con los puntos medios de los tres lados se generan tres regiones equivalentes. Rpta.: ........................................................ 4.
En el gráfico: calcular el área de la región triangular ABC.
4. En todo triángulo si se unen los puntos medios de sus tres lados se determinan cuatro triángulos parciales equivalentes. Rpta.: ........................................................
A 5.
A A
En el gráfico, calcular la relación entre las áreas de las regiones sombreadas y no sombreadas.
A
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4
Rpta.: ................................................ Rpta.: ................................................ 6.
10. Si ABC es un triángulo equilátero; calcular su área en función de r.
En el gráfico, calcular el área de la región triangular ABH.
11. En el gráfico. Si: AB = CD = 4. Calcular el área de la región sombreada. Rpta.: ........................................................ 7.
En la figura, calcular el área de la región sombreada. Si ABCD es un rectángulo, AE = 4, BE = 6.
Rpta.: ................................................ 12. En el gráfico. Si: OA = OB = √5 y PH = 2(EF). Calcular el área de la región sombreada
Rpta.: .................................................. 8.
En el gráfico: calcular el área de la región DFC; si: AD = DC, DF = 6. Rpta.: ................................................ 13. En el gráfico ̅̅̅̅ 𝐴𝐵: Diámetro. Calcular: (S1 + S2); si, R = 4u.
Rpta.: .................................................. 9.
En el gráfico: si el área de la región triangular ABC es 22√ 2u2 . Calcular a.
Rpta.: ................................................
14. En un trapecio rectángulo ABCD se tiene que la ̅̅̅̅ mide 3u. En la altura 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ se ubica base menor 𝐵𝐶 el punto F; tal que el ángulo AFD es el doble del
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5
ángulo BCF y FD = 8u. Calcular el área del triángulo CFD.
20. En la figura, BP = 4, AC = 10. Calcular el área de la región sombreada. Rpta.: ................................................
15. En el gráfico. Calcular el área de la región sombreada.
Rpta.: ................................................
Rpta.: ................................................
16. En el gráfico: Calcular el área de la región sombreada, si: AH=4, HC=12.
Rpta.: ................................................
17. En la figura: calcular AC. Si el área de la región triangular ABC es 12. Si: BH = 3(AC). Calcular AC.
18. El área de la región triangular ABC es 4√3. Calcular su perímetro. Rpta.: ................................................
19. En el gráfico: si BC = 10, calcular el área de la región triangular ABC. Rpta.: ................................................
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6
MATERIAL DE CLASES 1.
En el gráfico. Calcular el área de la región cuadrada ABCD; si: CE=ED Rpta.: ........................................................
2.
En el gráfico: calcular el área de la región romboidal si: QR = 9, RS = 4 y MS = 7.
10. En el gráfico: calcular el área de la región trapecial.
Rpta.: ........................................................ 11. En el gráfico: calcular el área de la región trapezoidal de FOCD si el área de las regiones triangulares BOC y AOF tienen valores 9 y 25 ̅̅̅̅//𝐵𝐶 ̅̅̅̅ . respectivamente, 𝐴𝐷
Rpta.: ........................................................ 3.
Calcular el área de una región rombal sabiendo que la longitud de su lado es 13 y de su diagonal mayor es 24. Rpta.: ........................................................
4.
Un rectángulo está inscrito en una circunferencia 9 de radio 5, si uno de los lados del rectángulo tiene como longitud 8. Calcular el área de la región rectangular. Rpta.: ........................................................
5.
Calcular el área de la región limitada por un trapecio isósceles cuyas bases miden 2 y 8 respectivamente, los ángulos adyacentes a la base mayor mide 53° cada uno. Rpta.: ........................................................
6.
Calcular el área de una región cuadrada, si las longitud de sus diagonales 8√2 . Rpta.: ........................................................
7.
Rpta.: ........................................................
12. En el gráfico: calcular el área de la región mostrada, si: AB=12, BC=5, CD=4, DE=13.
Rpta.: ....................................................... 13. En el gráfico: calcular el área de la región ̅̅̅̅ es base media, cuadrangular APQC. Si: 𝑃𝑄 AC=8, QH= 6 .
En el gráfico: ¿qué valor debe tomar x, para que el área del triángulo ABE sea la mitad del área del trapecio BCDE?
Rpta.: ........................................................ Rpta.: ........................................................ 8.
9.
Un terreno de forma rectangular tiene un perímetro igual a 46, siendo su diagonal igual a 17 ¿calcular el área del terreno? Rpta.: ........................................................
14. El perímetro de una región rectangular es 60 además el largo es el doble de su ancho. Calcular su área. Rpta.: .......................................................
Uno de los ángulos interiores de un rombo mide 150º, el perímetro de su región es 24. Calcular el área de dicha región rombal. Rpta.: ........................................................
15. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y en B, se sabe que: BC=6, AD=8. Si el área de la región trapecial es 35. Calcular AB. Rpta.: .......................................................
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7
3.
La diagonal de un rectángulo ABCD mide 15, el lado BC mide 12. Determine el área de ese rectángulo. A) 108 B) 120 C) 180 D) 135 E) 90
4.
Halle el área de un cuadrado, sabiendo que una de sus diagonales mide 10.
16. En el cuadrado ABCD, M y N son puntos medios y calcular el área de la región ABPD; de mayor perímetro. (Sx)
A) 50
B) 100
D) 100 } Rpta.: ........................................................
5.
17. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de área 144u2 y de centro O.
2
C) 50
2
E) N.A.
En la figura: ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 12. Determine el área del cuadrilátero AMDO.
B
M
C
O
A A) 144 D) 36
Rpta.: ....................................................... ̅̅̅̅ // 𝐴𝐷 ̅̅̅̅, 18. En la figura, ABCD es un trapecio, 𝐵𝐶 S(BPC)=4, S(APD)=9. Calcular S(ABCD)
Halle el área de un paralelogramo ABCD cuyos lados miden 12 y 8, se sabe además que una de sus alturas mide 9. A) 80 B) 90 C) 76 C) 72 E) 78
7.
Se tiene un trapecio rectángulo ABCD, cuyos ángulos A, B y D miden 90°, 90° y 45° respectivamente. Halle el área del trapecio si
AB = 3, y la base menor BC mide 4. A) 16,5 B) 33 C) 22,5 D) 45 E) 64
19. En el gráfico: calcular el área de una región romboidal ABCD.
Rpta.: .......................................................
TAREA DOMICILIARIA Determine el área de un rectángulo cuyos lados miden 1,2m y 96cm. ( en m ) . A) 11,52 B) 0,1152 C) 1,152 D) 1,232 E) 1.23 Halle el área de un rectángulo, si su perímetro es 50 m, siendo la medida de uno de sus lados de 11 m. 2
A) 100 m D) 154
m2
2
B) 108 m E) 164
8.
Halle el área de un rombo cuyas diagonales miden 15 y 22. A) 165 B) 156 C) 330 D) 235 E) 135
9.
Si las diagonales AC y DB de un cuadrilátero ABCD son mutuamente perpendiculares, Determine su área si: AB = 12 y BD = 20. A) 120 B) 240 C) 150 D) 180 E) N.A.
10. Se tiene un trapecio ABCD de bases que miden: BC = b, y AD = 3b. Si: M y N son puntos medios de las diagonales, ¿qué porcentaje del área del trapecio es el área del triángulo MND? A) 12,8% B) 25% C) 20% D) 12,5% E) 10%
2
2.
C) 108
6.
Rpta.: .......................................................
1.
D B) 72 E) 100
2
C) 112 m
m2 YURI CHIRINOS SÁNCHEZ
8
11. En la figura que se muestra: determine la relación que existe entre las partes sombreada y no sombreada, ABCD es encuadrado y “O”, su centro.
B
15. En la figura, halle la relación entre las áreas del triángulo AMR y el paralelogramo ABCD.
B
R
C
C A O
A
A) 1/2 D) 1/4
D
A) 5: 8 D) 8: 3
B) 3: 8 E) 5: 3
C) 3:5
M B) 3/4 E) 2/3
D C) 1/3
CIRCUNFERENCIAS MATERIAL DE CLASES
12. Determine el área del rombo ABCD si su perímetro es de 64.
1.
B 5
A
En el gráfico: calcular el área de la región sombreada. Si O1 y O2 son centros, r = 2 y R = 5.
C
D A) 160 D) 240
B) 320 E) N.A.
C) 120
13. En la figura: las habitaciones tienen forma cuadrada, la sala tiene una extensión de 27 2
Rpta.: ........................................................
2
m , la de la oficina es de 12 m . ¿Cuál es la extensión del salón de actos?
2.
En el gráfico O es centro: calcular el área del sector circular.
Sala Salón de actos
Ofic.
A) 70 m
2
B) 85 m
2
D) 75 m
2
E) 90 m
2
C) 60 m
2
14. En la figura: ABCD es un rectángulo. ¿Cuál debe ser el valor de “x” para que el área del triángulo ABE sea la mitad del área del trapecio AECD?
B
x
E
Rpta.: ........................................................ 3.
C
En el gráfico O es centro, A es punto de tangencia: calcular el área de la corona circular. AB = 4.
2
A A) 16/3 D) 3/8
4 B) 8/3 E) 5
D C) 3/16 Rpta.: ........................................................
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9
4.
En el gráfico O es centro: calcular el área Del segmento circular sombreado AOB.
9.
Calcular el área de un círculo inscrito a un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 y 15. Rpta.: ........................................................
10. En la figura: calcular el área de la región sombreada. Si: AB = 6, BC = 8. Si O es centro.
Rpta.: ........................................................ 5.
En el gráfico: calcular el área de la región sombreada. Si O y Q son centros OB = 4. Rpta.: ........................................................ 11. En el gráfico: Calcular el área del círculo. Si: AB = BC = 5 y AC = 6. M, N, P son puntos de tangencia, si: O es centro.
Rpta.: ........................................................ 6.
En el gráfico: calcular el área de la región sombreada.
Rpta.: ........................................................ 12. En el gráfico: calcular el área de la corona circular. Rpta.: ........................................................ 7.
En el gráfico: calcular el área de la región sombreada. Si ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 es diámetro y además AO = ̂ 60º OB = 3; m𝐴𝑀
Rpta.: ........................................................ 13. Si: AB=4, OA=R, OP=r. Además: P es punto de tangencia. Rpta.: ........................................................
8.
En el gráfico: calcular el área del círculo si está inscrito en el sector circular. Si O es centro.
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................ YURI CHIRINOS SÁNCHEZ
10
̂ = 90º, AB = 6√2. Calcular el 14. En el gráfico: m 𝐴𝐵 área del círculo. Si: O es centro.
18. En el gráfico: calcular R; si O es centro y el área de la región sombreada es 10 .
Rpta.: ........................................................ Rpta.: ........................................................
19. En el gráfico. Calcular el área de la región sombreada. Si: BC = 4, O es centro y OBCD es un cuadrado (B y D son puntos de tangencia).
15. En
el gráfico: ABCD es un cuadrado, AB = 2√ 2 . Calcular el área de la región sombreada. Si: O1 y O2 son centros.
Rpta.: ........................................................ 20. En el gráfico: el área del círculo es 9 . Calcular el área de la región cuadrada. R: Radio.
Rpta.: ........................................................ 16. En el gráfico O es centro: calcular el área del
sector circular AOB. Si OA = 6.
Rpta.: ........................................................ Rpta.: ........................................................ TAREA DOMICILIARIA 17. En el gráfico P y O son centros: calcular el área de la región sombreada.
1.
Halle el área de un círculo sabiendo que su radio mide 5. A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 36
2.
Encuentre la longitud del radio de un círculo cuya área es de 36 unidades cuadradas. A) 12 B) 6 C) 5 D) 10 E) N.A.
3.
Determine el área correspondiente a un cuarto de círculo cuyo radio mide 12.
Rpta.: ........................................................
A) 90 D) 54
B) 72 E) 45
C) 36
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11
8. 4.
Determine el área de la región circular de la figura: BD mide 12
B
C
A
D
A) 12 D) 36 5.
C) 24
D) 3( 2 - 3 9.
B) 8 E) N.A.
60° 30°
B) 36
C) 45
E) 30
B
A
D B) 32 E) 24
C) 16
A) 4(4 + )
B) 4(4 -
)
E) N.A.
D) 5(4 -
)
C) 8(4 -
)
11. En la figura, halle el área de la parte sombreada: ABCD es un cuadrado cuyo perímetro es 32.
B
C
A
D
C O
4
A D) 16 (4 – )
C
B
C
En la figura: determine el área de la región sombreada.
A) 16
B
10. Determine el área de la región sombreada, se sabe que ABCD es un rectángulo cuyo perímetro es de 20.
D
7.
E) N.A.
En la figura, determine al área de la región sombreada, se sabe que ABCD es un cuadrado cuya área es de 64 unidades cuadradas.
A) 32 D) 16
A
D) 54
3)
C) 9
C) 16
En la figura, determine el área de la región limitada por: OA, OB, OD y las curvas AB y CD, se sabe además que: OC = CB = OD = 6.
A) 27
B
B) 12
B
O
O
60°
A) 6
En la figura: Halle el área de la región sombreada sabiendo que AB = 16, “O” es el centro.
A) 12 D) 9 6.
A
O
B) 18 E) N.A.
A
Encuentre el área de la región sombreada: “O” es el centro del sector cuyo radio mide 6
D B) 8
C) 32
A) 16( - 2)
B) 32( -2)
D) 24( +2)
E) N.A.
C) 48( -1)
E) N.A. YURI CHIRINOS SÁNCHEZ
12
12. Se tiene una circunferencia cuya longitud es de 12 . Determine el área de su círculo. A) 24
B) 12
D) 64
E) 18
SÓLIDOS POLIEDROS
C) 36
Son aquellos poliedros cuyas caras son polígonos regulares. Solamente existen 5 poliedros regulares: VERTICE CARA
13. Halle el área de la región sombreada, se sabe que el hexágono es regular y su lado mide 6.
ARISTA
CONVEXO
NO CONVEXO
TEOREMA DE EULER C=5 V=6 A=9
A) 18(2 -3)
B) 24(3 -2)
D) 24(2 -3)
E) N.A.
C)36(2 -3)
)
B) 8 ( -2)
D) 4( - 2)
E) 8( + 2)
A) 4(4 -
A) 50 D) 45
B) 60 a E) 54 h
C: N° de caras V: N° de vértices A: N° de aristas V
A
TETRAEDRO
4
4
OCTAEDRO
8
6
ICOSAEDRO
20
12
HEXAEDRO (Cubo)
6
8
DODECAEDRO
12
20
TETRAEDRO REGULAR
OCTAED
a a 6 h Altura: h = 3
a h
A = a2 3
TETRAEDRO REGULAR
B
Siendo:
C
C)4( - 2)
15. Halle el área de la región sombreada: AB = 12 y BC = 8, AB, BC y AC son diámetros. Determine el área de la región sombreada
A
C+V=A+2
FORMA DE LA CARA
14. Determine el área de la región sombreada, el cuadrado tiene un perímetro de 16 unidades.
C=6 V=6 A = 10
V=
3
a 2 12
OCTAEDRO REGULAR
C a a 6 h Altura: h = C) 40 3
2
A = a2 3
V=
A = 2a 3
V=
3
a 2 3
d=a 2
3
a 2 12
d Diagonal del sólido
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13
HEXAEDRO REGULAR (CUBO)
5.
cm3 .
A = 6a2 a
D
A) 456 D) 1546
D=a 3 V = a3
6.
a
Paralelepípedo ortoedro)
rectangular
(rectoedro
8.
A = 2(ab + ac + bc) 9.
V = abc
Determine el número de caras laterales de un prisma que tiene un total de 11 caras. A) 11 B) 10 C) 8 D) 9 E) 7
B) S/. 310 E) S/. 298
C) S/. 256
Una piscina tiene por dimensiones; 10 m, 7 m, y 2,5 m. Si ésta se encuentra llena en sus 3/5
10. Encuentre la cantidad de vértices de un prisma que posee 12 caras laterales. A) 24 B) 18 C) 12 D) 20 E) 15
Determine la cantidad de aristas laterales de un prisma que tiene un total de 14 caras. A) 10 B) 12 C) 8 D) 15 E) N.A.
11. Encuentre la longitud de la mayor diagonal en una de las caras laterales de un prisma rectangular cuyas dimensiones son de 12; 16 y 10. A) 25 B) 26 C) 14 D) 20 E) 23
Encuentre el área lateral de un cubo cuya arista lateral mide 8 A) 32 B) 128 C) 256 D) 512 E) 424
12. En un recipiente de base rectangular, lleno parcialmente con agua, se introducen dos bloques cuyos volúmenes son de 1/4 de metro cúbico cada uno. Si las dimensiones del recipiente son 2 m, 4 m, y 1,8 m de alto. Indique
Halle el área total de un cubo, sabiendo que la diagonal de cada una de sus caras mide 10. B) 300 E) 900
Un pintor cobra S/. 7 por cada metro cuadrado de su trabajo. Cuánto es lo que debe cobrar por pintar una habitación que tiene dimensiones 4 m, 2,5 m y 2,4 m de alto.
partes, determine la cantidad de m 3 de agua que se necesita para llenarla. A) 110 B) 35 C) 70 D) 140 E) 50
MATERIAL DE CLASES
A) 600 D) 1500
En el problema anterior determine el costo de cada uno de estos paquetes, si el comerciante compra la harina a S/. 6 cada kilo el que ocupa
A) S/. 277 D) S/. 246
D2 = a 2 + b 2 + c 2
4.
C) 120
A) S/. 1,2 B) S/. 1,1 C) S/. 1,05 D) S/. 1,02 E) S/. 1,08
b
a
B) 210 E) 250
1000 cm3 .
c
D
3.
C) 1728
Un fabricante decide vender su harina en cajas de forma rectangular, cuyas dimensiones son: 10 cm, 6 cm y 3 cm. Determine la cantidad de harina
A) 150 D) 180
u
7.
2.
B) 912 E) 980
(en cm3 ) que contiene cada uno de estos paquetes.
Observación
1.
Las dimensiones de un ladrillo son: 18 cm, 12 cm y 8 cm. Determine el volumen de este ladrillo en
C) 500
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14
PRISMA – PIRÁMIDE
en qué nivel (en cm.) se eleva la altura del recipiente. A) 8 D) 14
B) 6,25 E) 10,4
C'
C) 9,6
A'
B'
13. Se sabe que un cubito de 6 cm de arista pesa 40 g. Determine el peso de un cubo hecho del mismo material y con una arista de 15 cm. A) 100 B) 600 C) 625 D) 720 E) 1000
Aristas laterales AA' , BB' , CC' Aristas básicas AB , BC , AC
C
14. Encuentre la longitud de la diagonal de un prisma rectangular cuyas caras tiene dimensiones: 12 m, 4 m, y 3 m. A) 13 B) 15 C) 16 D) 17 E) 14
A
Bases ABC y A'B'C'
Caras laterales ABB'A', BB'C'C, ACC'A'
B
Área lateral (A L ) A BASE
16. Para llenar un recipiente de base rectangular con medidas de 5 m. 2 m, y 1,4 m de alto se utilizan baldes de 0,16 m 3 . Si ya se han echado 40 de estos baldes, ¿hasta qué altura se encuentra ocupado el recipiente? A) 80 cm B) 72 cm C) 56 cm D) 64 cm E) 45 cm
AL =
Perímetro Base
x
h
h: Altura del prisma
h
Área total (A T ) A T = A L + 2A Base A BASE Volumen (V)
17. En el problema anterior, determine qué cantidad de baldes hace falta agregar para llenar el recipiente. A) 48 B) 72 C) 36 D) 40 E) N.A.
V=A
Base x
Altura
Observación Si las bases son polígonos regulares entonces el Prisma es regular.
18. Determine la altura de una caja cuyo volumen es 3
de 9 m . Las bases tienen por dimensiones 3 m y 2 m. A) 1,2 B) 1,8 C) 0.9 D) 1,4 E) 1,5
PIRÁMIDE Vértice o cúspide
19. Halle el área total de una caja de zapatos con medidas de 36 cm, 25 cm y 20 cm. (en m 3 ). A) 0,3 B) 0,03 C) 0.003 D) 0.25 E) 0.025
Arista lateral h Arista básica Base V=
AB x h 3
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15
PIRÁMIDE REGULAR
2
D) 480 m 6.
h B A
7.
A L = p Base x Ap
B) 384 m
2
2
E) 366 m
Con respecto al problema número 5, si la altura de dicha pirámide mide 8 m, halle el volumen de esta pirámide.
3
B) 360 m
3
3
E) 280 m
A T = A L + A BASE
8.
VOLUMEN (V)
1 A Base x h 3
Se quiere guardar líquido en dos recipientes de la misma capacidad: uno de ellos tiene la forma de un prisma cuadrangular, mientras que el otro es piramidal regular. Si el recipiente prismático tiene por dimensiones: 10 cm, 6 cm y 4 cm. determine la altura del recipiente piramidal si la arista de su base mide 12 cm. A) 6cm D) 8c,
9.
3
C) 298 m
3
D) 310 m
ÁREA TOTAL (AT)
2
C) 360 m
2
A) 384 m
semiperímetro
V=
2
D) 484 m
D
ÁREA LATERAL (AL)
p
E) N.A.
A) 296 m
M
C) 360 m
Para el problema anterior, determine el área total de dicha pirámide.
C O
2
B) 240 m
2
O
O : Vértice h : Altura OM: Ap = Apotema de la pirámide
2
A) 120 m
B) 4cm E) N.A.
C) 5cm
Para el sólido de la figura: tiene por base un cubo de arista 6 cm y remata en una pirámide de 5 cm de apotema. Determine el área de la pieza.
MATERIAL DE CLASES
1.
Si una pirámide tiene un total de trece caras, determine la cantidad de aristas laterales. A) 10 B) 11 C) 14 D) 14 E) 12
2.
Para el problema anterior, determine la cantidad total de aristas de la pirámide.
3.
A) 18 B) 25 C) 24 D) 36 E) 27 Si una pirámide tiene un total de 10 caras, encuentre la cantidad de vértices de ese sólido. A) 10 D) 15
4.
B) 9 E) 8
C) 11
A) 135 cm2
B) 220 cm2
2
2
D) 160 cm
m3 . Si el área de una de sus caras es de 96 m2 , determine la longitud de una de sus aristas.
3
A) 264 cm
3
5.
B) 8 E) 6
E) 280 cm
10. Para el problema anterior, determine el volumen de este sólido.
En un prisma, se sabe que su volumen es de 480
A) 12 D) 5
C) 240 cm2
D) 280 cm
C) 10
3
B) 296 cm
3
C) 320 cm
E) N.A.
11. Con respecto al problema anterior, determine el
Halle el área lateral de una pirámide cuadrangular regular si las aristas de la base miden 12 m cada una, mientras que la apotema de cada cara mide 10 m.
peso de esta pieza, sabiendo que cada pesa 2,5 g. A) 660 g D) 700 g
B) 740 g E) 625 g
cm3
D) 800 g
YURI CHIRINOS SÁNCHEZ
16
12. Se tiene un recipiente cuya base tiene forma rectangular y lleno con suficiente cantidad de agua. Las dimensiones de la base son: 60 cm y 40 cm, si en él se introduce dos pirámides
19. Para el problema anterior, determine el perímetro de la base del prisma. A) 41,2 cm D) 40,6 cm
3
iguales con volumen de 2400 cm cada una. Determine hasta qué altura sube el nivel de agua si inicialmente tenía 20cm de altura. A) 25 cm D) 30 cm
B) 22 cm E) N.A.
20. Un prisma Determine tiene base 15 cm, su
C) 24 cm
B) 220 cm2 C) 180 cm2
D) 160 cm2
E) 270 cm2
C) 38,7 cm
y una pirámide tiene igual volumen. la altura de la pirámide si el prisma rectangular con medidas de 24 cm y altura mide 12 cm. Mientras que la
pirámide tiene por área de la base 720
3
13. El volumen de una pirámide es de 960 cm . Si la altura mide 16 cm, determine el área de su base. A) 210 cm2
B) 37,8 cm E) 36,6 cm
A) 20cm D) 15cm
B) 18cm E) 21cm
cm2 .
C) 24cm
21. Se desea construir una pieza metálica que pese 720 g. Si el peso de cada cm3 es de 3,6 g, qué altura deberá tener una pieza de base rectangular de 6 cm de largo y 4cm de ancho.
15. Halle la apotema de una pirámide de base exagonal regular, si el área lateral mide 360 cm2 y la arista de la base mide 12 cm. A) 10 cm B) 15 cm C) 9 cm D) 16 cm E) 12 cm
A) 9 cm D) 10,2 cm
B) 7,2 cm E) N.A.
C) 8,33 cm
22. Según el problema anterior, determine el costo de dicha pieza, si se cobra S/ 0,25 por cada gramo. A) S/. 80 B) S/. 360 C) S/. 240 D) S/. 180 E) S/. 250
16. En la figura, se muestra un sólido en el cual ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 24 cm. Determine el área de este sólido si la apotema mide 15 cm.
E
C
B
D
A
F C) 720 cm2
A) 960
B) 840
D) 660 cm2
E) 750 cm2
17. En el problema anterior, se sabe que EF mide 32 cm. Determine el volumen de este sólido. 3
A) 7220 cm
3
D) 6144 cm
3
B) 6840 cm
3
C) 8400 cm
3
E) 6645 cm
18. Las áreas de las caras laterales de un prisma 2
pentagonal regular son de 68 cm cada una. Si la arista lateral mide 9 cm, determine el área lateral de dicho prisma. 2
A) 360 cm
2
D) 380 cm
2
B) 280 cm
2
C) 320 cm
2
E) 340 cm
YURI CHIRINOS SÁNCHEZ
17
Cilindros
4.
Generatriz
Cilindro recto de revolución Área lateral (A L ) ABASE A L = 2rg g
Calcular el volumen de un cilindro circular recto cuya área de su superficie lateral es 100 y su altura es igual al diámetro de su base. Rpta.: ........................................................
5.
Área total (A T )
Calcular el área de la superficie total del cilindro recto:
A T = A L + 2A Base A T = 2r(g + r)
r
Volumen (V) g : Generatriz r : Radio de las bases
V = r 2g Rpta.: ........................................................
MATERIAL DE CLASES 1.
6.
En un cilindro recto, el área de su base es 81 u2. Si la generatriz es el doble del diámetro. Hallar el área de la superficie lateral. Rpta.: ........................................................
7.
Calcular el área de la superficie total del cilindro recto. Si AB=2 u, “O” centro de la base.
Calcular el volumen del cilindro recto, si el área de la base es 16 u 2 AD = 4 u.
Rpta.: ........................................................ 2.
Si el diámetro de la base del cilindro recto mide 4u. Calcular el área de la superficie total. Rpta.: ........................................................ 8.
La altura de un cilindro recto mide 6 u y el área de su superficie lateral es 36 u 2. Calcular su volumen. Rpta.: ........................................................
9. Rpta.: ........................................................ 3.
El área de la superficie lateral de un cilindro es 62 su volumen 3u3 . Calcular el área de su superficie total.
Un cilindro está lleno de agua hasta la mitad, se suelta un pedazo metálico entonces el nivel de agua aumenta en 3,5cm. Si el diámetro del cilindro es de 8cm. Determine el volumen del pedazo metálico. Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
YURI CHIRINOS SÁNCHEZ
18
10. La figura muestra un tarro de leche cuya altura
Desarrollo lateral del cono
es 12u y el radio de la base mide 4u. Hallar el área de la etiqueta. (Suponer que la etiqueta cubre todo el área lateral)
g g
h
g
2r
r
=
2r g
ESFERA Rpta.: ........................................................
Círculo menor
CONO CIRCULAR RECTO DE REVOLUCIÓN R
Círculo mayor o máximo
2R R
Vértice
A = 4R
3 V = 4 R 3
Generatriz Altura g
g h
h
HUSO Y CUÑA ESFÉRICA
r
r
HUSO
CUÑA R
g
g
h O
R
R
v R
r AH =
R
R2
VC =
90°
R3 270°
ÁREA LATERAL (AL) CASQUETE ESFÉRICO (zona esférica de una base)
A L = r.g
h
ÁREA TOTAL (AT)
A C = 2R.h
A T = r . (g + r)
R
VOLUMEN (V)
V=
2
1 r 2. h 3 YURI CHIRINOS SÁNCHEZ
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SEGMENTO ESFÉRICO DE UNA BASE
R VSE = r
5. Calcular el volumen y el área de la superficie total de un cono recto, si su generatriz mide 6, la cual forma con la base un ángulo que mide 60°. Rpta.: ........................................................
h h 2 + r 2 2
3
6. Calcular el volumen de una esfera cuya área de su superficie esférica es 144 u2 . Rpta.: ........................................................
h
7. Calcular la razón entre el área de la superficie lateral del cono y el área de su base. “O” centro de la base.
MATERIAL DE CLASES 1. Demostrar que el volumen de la esfera inscrita en un cilindro circular recto es los 2/3 del volumen del cilindro. Rpta.: ........................................................ 2. Calcular el volumen de la esfera. Si el área de la región sombreada es 4 u2 . “O” centro de la esfera.
Rpta.: ........................................................
8. Calcular la longitud del radio de la semiesfera, si el área de la superficie esférica es 48 u2 . R=Radio. Rpta.: ........................................................ 3. En el gráfico: Calcular el área de la superficie esférica. OB =Radio, CB = 4u
Rpta.: ........................................................ 9. Calcular el volumen y el área de la superficie esférica. Si el área de la región sombreada es 36 u2 . “O” es centro de la esfera.
Rpta.: ........................................................ 4. Calcular el volumen del cono, “O” centro de la base.
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................ YURI CHIRINOS SÁNCHEZ
20
10. Calcular el área de la superficie total del cono circular recto, si el radio de su base mide 4u, r: Radio.
17. Calcular el volumen del cono que se muestra en el gráfico. “O” centro de la base.
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
11. El área de la superficie lateral de un cono de revolución es igual a 65u2 y el área de su base es 25 u2 . Calcular el volumen del cono. Rpta.: ........................................................ 12. Calcular el radio de la esfera inscrita en un cubo, cuya área de su superficie total es 24u2. Rpta.: ........................................................ 13. Una esfera se encuentra inscrita en un cilindro recto. Calcular la relación entre el volumen de la esfera y el volumen del cilindro. Rpta.: ...................................................... 14. En el gráfico: Calcular la relación entre los volúmenes de la semiesfera y el cono. O y Q son centros.
15. Una esfera cuyo radio mide 3u es equivalente a un cono circular recto cuyo radio de la base mide 2 u. Calcular la medida de la altura del cono. Rpta.: ........................................................ 16. Calcular el volumen de una esfera circunscrita a un cubo cuya área de la superficie total es 288 u2 . Rpta.: ........................................................
YURI CHIRINOS SÁNCHEZ
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