Geometria Gráfica Tridimensional Vol 2 - Mario Duarte e Alcy Paes

Mario Duarte Costa Alcy P. de A . Vieira Costa

GeOmetria Gráfica Tridimensional Ponto, Reta ·e Plano

Editora~ Universit~

2!EDICAO

Vol.2

Geometria Gráfica Tridimensional

Mario Duarte Costa Alcy P. de A. Vieira Costa

Geometria Gráfica Tridimensional Ponto, Reta e Plano Vol.2

2!EDICÃO

Editora ~ Universitári ~UFPE

1992

1. ' '

Universidade Federal de Pernambuco

'

Reitor: Prof. Éfrem de Aguiar Maranhão Vice-Reitor: Prof. José Luiz Barreira Filho Diretor da Editora: Prof. Washington Luiz Martins da Silva COMISSÃO EDITORIAL Presidente: Margarida de Oliveira Cantarem Membros: Washington Luiz Martins da Silva Francisco Cardoso Gomes de Matos Epitácio Fragoso Vieira Attilio Dal'Ollio Geraldo José Marques Pereira Galba Maria de Campos Takaki José de Moura Rocha Sérgio Alves de Sousa Maria Gabriela Martin Ávila lvon Palmeira Fittipaldi Editoração: Programação Visual: Colaboração: Montagem e impressão:

Lúcia Maria Mota de Menezes Elvira Maria R. de Paula Jorge Lopes Editora Universltãria / UFPE Editora Associada à

ASSOCIAÇÃO 8US&U:fRA ~nt1'01\A$ UNI VEASl1AfUA"

np.-e.

Costa, Mário Duarte Geometria gráfica tridimensional, ~ ed. Recife, UFPE, Editora Universitária, 1992. 2v. Conteúdo: V 1. Sistemas de representação. V. 2. Pontos, retas e planos. 1. Geometria descritiva. 1. Títulos. UFPE 515 CDU BC-88-681 515 coo

SUMÁRIO 1. POSIÇÕES DE PONTOS, RETAS E PLANOS EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃO

1.1. Cota de um ponto .•...•................ ......... 11 1.2. Cotas negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3. Posições de retas ................•............•.. 15 1.4. Verdadeira grandeza de segmentos de reta . . . . . . . . . . . • . . 15 1.5. Inclinação e declividade de retas .......•.......•..... 16 1.6. Direção de retas . . . ... ... . .......•. . .. . ...... .. .. 18 1.7. Posições de planos ......•..................... .• . 18 1.8. Retas de um plano . ... . . . ................. : ...... 18 1.9. Direção, inclinação e declividade de planos ......... • ..•. 19 1.10. Verdadeira grandeza de figuras planas ........... . •...• 20 1.11. Exercícios resolvidos ....... . ...•............ ... .. 23 1.12. Exerclcios propostos .•......... . ...•. ... .... ..... 32 2. PERTIN~NCIA

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9.

Ponto pertencente a r~ta .. . .... .. .... . ......•....•. Graduação de uma reta - intervalo .• . ........ .. .. . . .• . Traço de uma reta ...........••..• . .......•...... Retas concorrentes, paralelas e reversas . . .• .. .. . .. : .... Retas coplanares .... ..... .. .. 1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • Ponto ~ertencente a plano ........• . ...•...•. : . . • •• Graduação de um plano - Intervalo .... . . ........ . • . . . Traço de uma plano ............... . .. . .........•. Reta pertencente a plano .. .. . . .......... . ..... .....

37 38 39 40 42 42 43 45 45

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2.1 O. Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . ............ 46 2.11. Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3. INTERSEÇÃO 1nterseção de reta com reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interseção de reta com p_lano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interseção de plano com plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interseção de planos sem a utilização de projeção secundária .. Interseção de reta com plano usando somente a projeção principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Interseção de três planos entre si .... . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Seção plana de um sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Retas concorrentes com duas outras reversas ............ 3.9. Interseção de planos de mesma declividade . . . . . . . . . . . . . . 3.1 O. Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 . Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

61 62 63 64 65 65 66 68 71 75 90

4. DISTÂNCIAS E ÂNGULOS

4.1. Rebatimento de plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2. Distância de ponto a reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3. Distância de ponto a plano ........... ... ........... 101 4.4. Distância de ponto a plano, sujeita a outras condições ...... 102 4.5. Distâncias entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.6. Lugares geométricos de equidistâncias . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.7. Ângulo de duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.8. Ângulo de duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ... 111 4.9. Ângulo de dois planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.10. Lugares geométricos de ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.11. Distância de ponto a plano, sujeita a condições angulares ... 116 4.12 Retas que formam ângulos dados com duas retas ou planos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.13. Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.14. Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

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PREFÁCIO

Estamos agora com este volume completo. O primeiro volume da nossa GEOMETRIA GRÁ FI CA TRIDIMENSIONAL apresentou os sistemas de representação mais usuais, comparando-os em relação ao tipo de projeção uti lizado e à posição do paralelep(pedo de referência relativamente ao plano do desenho. Este segundo volume aborda o relacionamento entre pontos, retas e planos. Podem ~ais elementos significar vértices, arestas e faces de só lidos, em um problema, mas são também considerados independentemente. O ponto pode marcar a posição de um furo, o centro de uma esfera, a posição de um ponto material; a reta pode representar um fio, o eixo de uma viga ou de um cano, uma ga leria de mina, o eixo de um cone; o plano pode significar uma placa, uma chapa, o limite de um veio de minério, o plano de simetria de um só lido. Assim, o tratamento dado aos elementos geométricos neste trab~lho perm ite desenvolver aplicações objetivas que extrapolam o domínio da geometria teórica e aplicada saindo da matemática, çla física e da qu(mica para o campo profissional dos diversos cursos da ârea de tecnolog ia. Evidentemente não !)retendemos aprofundar os exemplos com dados técnicos que somente o segundo ciclo dos cursos de graduação propicia. O~ problemas aqu i considerados apenas revestem as questões geométricas de uma roupagem func ional que motiva o estudante, abrindo-lhe a perspectiva de associação entre a teoria muitas vezes monótona e a atividade prâtica que deverá exercer na sua vida profissional. Por outro lado, o nosso estudo não visa com exclusividade o ensino de terce iro grau. Muito pelo contrário, os dois volumes desta Geometria Gráfica Tridimensional têm como suporte teórico a geometria euclideana. Poderiam ser adotados em um curso de segundo grau, onde as aplicações dir igidas aos mais diversos ramos tecnológ icos funcionariam como orientação vocac ional

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para a escolha de um curso universitârio. O nfvel que perseguimos para o ensino de graduação exigiria um embasamento de geometria projetiva, pois somente esta permite a verdadeira compreensão da unidade existente entre os sistemas de representação. Hã poucos anos essa geometria ainda estava inclu1', da em todos os programas de geometria descritiva das nossas universidades, mas hoje são poucos os cursos superiores a conseguir tempo para desenvolvê-la adequadamente, tendo em vista a deficiência em geometria euclideana dos nossos atuais estudantes universitârios. A primeira edição deste ·2'? volume só abordava os problemas de posição relativa entre ponto~, retas e planos, objeto dos três p rimeiros capítulos. Apesar de algumas medidas fundamentais, como a inclinação, a declividade e o intervalo qe retas e planos, e da possibilidade da obtenção de vistas em verdadeira grandeza de segmentos de reta e de figuras planas, estudadas naqueles capítulos, somente no 4